知识点22 线段垂直平分线、角平分线、中位线

中位线中线高线角平分线垂线区别定义定理中位线、中线、高线、角平分线、垂线都是常见的几何概念。

它们在不同的几何图形中具有不同的定义和性质。

下面将逐个介绍它们的定义和定理，并探讨它们的重要性和应用。

首先，中位线是指在一个三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段。

具体来说，对于三角形ABC，连接点A与边BC的中点D所得的线段AD即为三角形ABC的中位线。

同理，连接点B与边AC的中点E所得的线段BE以及连接点C与边AB的中点F所得的线段CF也都是三角形ABC的中位线。

中位线的定理是指中位线的三个交点构成一个等边三角形。

这意味着，无论三角形的尺寸和外形如何，它的三个中位线必定相等，并且它们的交点是一个等边三角形的重心。

其次，中线是指在一个三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段。

与中位线相似，中线也有三个，分别是从顶点A到边BC的中点M，从顶点B到边AC的中点N，以及从顶点C到边AB的中点P所得的线段。

中线的定理是指它们的交点构成一个等边三角形。

这意味着，在任意三角形中，三个中线必定相等，并且它们的交点是一个等边三角形的重心。

第三，高线是指在一个三角形中，从一个顶点向对边作垂直线段。

具体来说，对于三角形ABC，从顶点A向边BC作垂直线段AH，从顶点B向边AC作垂直线段BK，以及从顶点C向边AB作垂直线段CL，它们分别是三角形ABC的三条高线。

高线的定理是指三角形的三条高线交于一个点，这个点称为三角形的垂心。

垂心是三角形内部一个特殊的点，它与三角形的顶点和对边之间的距离满足最短距离的性质。

接下来，角平分线是指将一个角等分成两个相等的角的线段。

对于三角形ABC，角BAC的角平分线是从角BAC的顶点A出发，将角BAC 等分为两个相等的角的线段AD。

角平分线的定理是指三角形内的三个角的角平分线交于一个点，这个点称为三角形的内心。

内心是三角形内部一个特殊的点，它与三角形的三个边之间的距离满足最短距离的性质。

最后，垂线是指与另一条直线（边）垂直相交的线段。

三角形的中位线角平分线和垂线三角形的中位线、角平分线和垂线三角形是初中数学中一个重要的图形，它由三条边和三个顶点组成。

在三角形中，中位线、角平分线和垂线是三条与三角形内部相关的特殊线段。

本文将介绍中位线、角平分线和垂线在三角形中的性质和应用。

一、中位线中位线是连接一个三角形的两个顶点和对边中点的线段。

对于三角形ABC，三条中位线分别为AD，BE和CF（D、E和F分别为边BC、AC和AB的中点）。

中位线具有以下性质：性质1：三角形中的三条中位线互相平分。

性质2：三角形中的三条中位线交于一个点，该点被称为中心。

性质3：中心到各顶点的距离等于中心到对边中点的距离，而且中心是中位线的重心。

应用：中位线的应用较多，最常见的是利用中位线求三角形重心。

重心是以三角形三条中位线的交点为顶点的新三角形的重心。

我们可以根据中位线的性质计算重心的坐标。

二、角平分线角平分线是从一个角的顶点出发，平分这个角的角度的线段。

对于三角形ABC，角BAC的角平分线为AD（D在BC上）。

角平分线具有以下性质：性质1：角平分线把原来的角分成两个相等的角。

性质2：三角形的三条角平分线交于一点，该点被称为内角平分点。

性质3：内角平分点到三个顶点的距离相等。

应用：角平分线的应用较多，最常见的是利用角平分线求三角形内心。

内心是以三角形的三条角平分线的交点为顶点的新三角形的内心。

我们可以根据角平分线的性质计算内心的坐标。

三、垂线垂线是从一个顶点引出，与对边垂直相交的线段。

对于三角形ABC，从顶点A引出的垂线为AD（D在BC上）。

垂线具有以下性质：性质1：垂线与对边垂直相交，交点为垂足。

性质2：三角形的三条垂线交于一点，该点被称为垂心。

应用：垂线的应用较多，可以用于求解三角形的垂心。

垂心是以三角形的三条垂线的交点为顶点的新三角形的垂心。

我们可以根据垂线的性质计算垂心的坐标。

综上所述，三角形的中位线、角平分线和垂线在几何学中具有重要的地位和应用。

角平分线的性质一、本节学习指导角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。

其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。

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二、知识要点1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

如下图：0C平分/ AOB•••0C平分/ AOB•••/ AOC M BOC2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

【重点】如第一个图：•••OC平分/ AOB（或/ 仁/ 2）, PEL OA,PDLOB••• PD=PE此时我们知道△ OPE^A OPD（直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边）3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

如第一个图：••• PE L OA,PDL OB,PD=PE•••OC T 分/ AOB（或/ 仁/ 2）4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。

如下图：I ---------------1 ---------------- 1A C BVC是AB的中点••• AC=BC5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。

如图：【重点】V AB丄CD•••/ AOC M AOD M BOC =/ BOD=90或VZ AOC=90••• AB丄CD注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所形成的四个角中的一个角是直角就可以了。

反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角。

6、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

•••△ABC^A A'B'C'••• AB=A'B',BC=BC,AC=AC;Z A=Z A', Z B=Z B', Z C=Z C'三、经验之谈：本节的重点是第2点，角平分线的性质，这条性质在以后的几何题型中用的非常多，本章的三角形全等也不例外，如果我们碰到题目中出现角平分线，我们要会利用它的性质。

三角形的高线、角平分线与中位线三角形是几何学中的基础概念之一，它有许多有趣而重要的性质和定理。

其中，高线、角平分线和中位线是比较常见且常用的三角形线段。

本文将介绍这三种线段的定义、性质和应用。

一、高线高线是指从三角形的一个顶点到对边上垂直的线段。

对于任意三角形ABC，以顶点A为例，从A点引一条垂直于BC边的线段AD，AD 就是三角形ABC的高线。

同理，从B和C点分别引出高线，得到的线段分别为BE和CF。

高线具有以下性质：1. 高线的长度可以不相等，取决于三角形的形状和大小。

2. 高线相交于一个点，这个点被称为三角形的垂心，记为H。

3. 垂心与三个顶点的连线分别垂直于对边。

高线的应用：1. 高线可以帮助我们确定三角形的垂直性质。

如果一个三角形的三条高线相交于一个点且互相垂直，那么这个三角形就是直角三角形。

2. 高线还可以用于解决一些几何问题，如寻找最短路径或确定最佳角度等。

二、角平分线角平分线是指从一个角的顶点引出的线段，将该角分成两个相等的角。

对于任意三角形ABC，以角A为例，从A点引一条线段AD，使得∠BAD=∠DAC，AD就是角A的平分线。

同理，从B和C点分别引出平分线，得到的线段分别为BE和CF。

角平分线具有以下性质：1. 三角形的三条角平分线相交于一个点，称为三角形的内心，记为I。

2. 内心到各边的距离相等，即ID = IE = IF。

3. 内心与各边的连线平分相应的内角。

角平分线的应用：1. 角平分线可以帮助我们确定三角形的内切圆，即内心为圆心，与三边相切。

内切圆有许多有趣的性质与应用。

2. 角平分线还可以用于构造一些特殊的图形或解决几何问题。

三、中位线中位线是指连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。

对于任意三角形ABC，以顶点A为例，连接A点与BC中点M的线段AM，AM 就是三角形ABC的中位线。

同理，从B和C点分别连接中点，得到的线段分别为BM和CM。

中位线具有以下性质：1. 三角形的三条中位线交于一个点，称为三角形的重心，记为G。

《线段垂直平分线的性质》课堂笔记
一、知识点
1.线段垂直平分线的定义：如果一条直线与一个线段的两个端点相交，并且与这
条线段所在的直线垂直，那么这条直线就是这个线段的垂直平分线。

2.线段垂直平分线的性质：
（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3.线段垂直平分线的判定：
（1）如果一个点到一条线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上。

（2）如果一条直线与一条线段只有一个公共点，且这个公共点到线段两个端点的距离相等，那么这条直线是这条线段的垂直平分线。

4.线段垂直平分线的画法：用直尺和圆规作一条线段的中垂线。

二、重要公式
1.线段垂直平分线的性质定理：若AD是线段BC的垂直平分线，则AB=AC。

2.线段垂直平分线的判定定理：若AB=AC，则AD是BC的垂直平分线。

三、解题方法
1.利用定义和性质解决实际问题时，要注意分析问题中的条件，合理地选择解题
方法。

2.在解决与线段垂直平分线有关的问题时，常常利用几何图形中的“轴对称”性质，
通过翻折、旋转等方法把复杂的问题化为简单的问题。

3.在解与三角形中垂线有关的问题时，要注意三角形中垂线的性质定理的应用，
以及与三角形中位线定理的区别和联系。

4.在解与多边形中垂线有关的问题时，要灵活运用多边形中垂线的性质定理和判
定定理，结合图形特点进行分析。

中考专题复习24角平分线、线段中垂线和三角形的中位线3．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4.中点四边形：考点1 角平分线的性质例1【点拨】【对点练习】1.2.3.4.5.考点2 垂直平分线的性质例21. 如图，已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于D ，连接CD ，CD ＝( )A 、3B 、4C 、4.8D 、5【点拨】勾股定理及逆定理，中位线定理，中垂线的性质。

【解答】因为AB=10,AC=8,BC=8,由勾股定理的逆定理可得三角形ABC 为直角三角形，因为DE 为AC 边的中垂线，所以DE 与AC 垂直，AE=CE=4，所以DE 为三角形ABC 的中位线，所以DE=12BC =3,再根据勾股定理求出CD=5. 故选D【对点练习】 1.2.3.4.图2A5.考点3 三角形中位线例3 (2014·泰安)如图，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，连接DC 并延长到点E ，使CE ＝13CD ，过点B 作BF ∥DE ，与AE 的延长线交于点F.若AB ＝6，则BF 的长为( )A ．6B ．7C ．8D ．10【点拨】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD ＝12AB ＝3，则结合已知条件CE ＝13CD ，可以求得ED ＝4.然后由三角形中位线定理可以求得BF ＝2ED ＝8.【解答】∵ ∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，AB ＝6，∴ CD ＝12AB ＝3.又∵ CE ＝13CD ，∴ CE ＝1，∴ ED ＝CE ＋CD ＝4.又∵ BF ∥DE ，点D 是AB 的中点， ∴ AE AF ＝AD AB ＝12，∴ 点E 是AF 的中点． ∴ ED 是△AFB 的中位线， ∴ BF ＝2ED ＝8. 故选C.【点评】本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．根据已知条件求得ED 的长度是解题的关键与难点．【对点练习】2.3.1．△ABC 的三条中位线围成的三角形的周长为15 cm ，则△ABC 的周长为( )A ．50 cmB ．45 cmC ．30 cm D.152cm2．如图，在周长为20 cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为( )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm第2题图第3题图3．如图，在△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，下面四个结论：①∠AFE ＝∠AEF ；②AD 垂直平分EF ；③S △BFD S △CED ＝BFCE；④EF 一定平行BC.其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④4．如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AD ，AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为( )A.12 B ．1 C.72D ．7 5．如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P.若BC ＝10，则PQ 的长为( )A.32B.52C ．3D ．4第5题图第6题图6．如图，在四边形ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ，且AC 丄BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2，…，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n .下列结论正确的有( )①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形；②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形；③四边形A 5B 5C 5D 5的周长是a ＋b4；④四边形A nB nC nD n 的面积是ab2n ＋1.A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①②③④7．如图，∠AOP ＝∠BOP ＝15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC ＝4，则PD ＝__________．第7题图第8题图8．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A 的度数是________．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为________°.10. 已知D，E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB，AC的中点，O是△ABC所在平面上的动点，连接OB，OC，点G，F分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，G，F，E.(1)如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形．(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？(直接写出答案，不需要说明理由) 11．12．11 / 11。

中位线中线高线角平分线垂线区别定义定理中位线是指将三角形 ABC 划分为两个三角形的线段，即 AB 线和 AC 线。

中线是指连接三角形 ABC 中任意两边中点的线段。

高线是指过三角形 ABC 顶点且垂直于底边的线段。

角平分线是指连接三角形 ABC 任意两个角顶点的线段。

垂线是指连接三角形 ABC 顶点和底边中点的线段。

区别定义定理：1. 中位线将三角形 ABC 划分为两个三角形，中线连接三角形 ABC 中任意两边中点，高线过三角形 ABC 顶点且垂直于底边，角平分线连接三角形 ABC 任意两个角顶点。

2. 中位线定理指出，三角形 ABC 的中位线平行于三角形 ABC 的任意一条边，且中位线的长度等于该边的一半。

中线定理指出，三角形 ABC 的中线长度等于该三角形周长的一半。

高线定理指出，三角形 ABC 的高线垂直于底边，且高线的长度等于该三角形周长的一半。

角平分线定理指出，三角形 ABC 的角平分线交于点 O，且角平分线的长度为该角的一半。

拓展：1. 中位线将三角形 ABC 划分为两个三角形，意味着中位线将三角形 ABC 的顶点和底边分成了两个部分，每个部分都是三角形 ABC 的一个内角。

中线连接三角形 ABC 中任意两边中点，意味着中线将三角形 ABC 的两边连接在一起，并且中线的长度等于该边的一半。

高线过三角形 ABC 顶点且垂直于底边，意味着高线将三角形 ABC 的顶点和底边分成了两个部分，并且高线的长度等于该边的一半。

角平分线连接三角形 ABC 任意两个角顶点，意味着角平分线将三角形ABC 的顶点和角顶点分成了两个部分，并且角平分线的长度等于该角的一半。

2. 中位线定理、中线定理、高线定理和角平分线定理都是三角形相关的定理，它们为三角形的研究提供了重要的工具。

中位线定理和中线定理提供了测量三角形周长和长度的方法，高线定理和角平分线定理提供了测量三角形内角和和角度的方法。

这些定理的应用可以帮助人们更好地理解和掌握三角形的知识。

一、角平分线1、定义：从一个角的顶点引出一条射线（线在角内），把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

三角形三个角平分线的交点叫做三角形的内心。

2、性质：三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。

在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（逆定理）在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。

二、中线1、定义：三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。

2、性质：任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点。

由定义可知，三角形的中线是一条线段。

由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。

且三条中线交于一点。

这点称为三角形的重心。

每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

三、垂线（也叫高线）1、定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足。

2、性质：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

在连接直线外一点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短。

简称垂线段最短。

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直四、垂直平分线1、定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

（逆定理）到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上五、中位线1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2、性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

三角形的中位线所构成的小三角形（中点三角形）面积是原三角形面积的四分之一。