线段的垂直平分线与角平分线专题复习教程文件

线段的垂直平行线与角平分线专题复习本文档将重点复线段的垂直平行线与角平分线的相关知识。

以下是考察这一专题的关键点：1. 垂直平行线：- 定义：两条直线垂直或平行的关系。

- 特点：垂直线的斜率相乘为-1；平行线的斜率相等。

- 判定方法：- 斜率判定法：比较两条直线的斜率。

- 截距判定法：比较两条直线的截距。

- 两组垂直线的特点：斜率之乘积为-1，截距之和为0。

2. 角平分线：- 定义：将一个角分成两个相等的角的直线。

- 特点：角平分线将角分成两个相等的角。

- 判定方法：- 角度判定法：两条角平分线互相垂直。

- 斜率判定法：两条角平分线的斜率的倒数相等。

3. 例题：以下例题旨在帮助你巩固对线段的垂直平行线与角平分线的理解：1. 两条直线的斜率分别为$k_1=2$和$k_2=-\frac{1}{2}$，判断它们的关系。

2. 有一个角，将其平分成两个相等的角。

该角的角度为$80^\circ$，求两个相等角的度数。

3. 给定两条直线的斜率，求它们的角平分线的斜率。

4. 答案：1. 两条直线的斜率分别为$k_1=2$和$k_2=-\frac{1}{2}$，根据斜率判定法可以判断它们为垂直关系。

2. 有一个角，将其平分成两个相等的角。

该角的角度为$80^\circ$，因为两个相等角角度相等，所以每个相等角的度数为$\frac{80^\circ}{2}=40^\circ$。

3. 给定两条直线的斜率$k_1$和$k_2$，根据斜率判定法，角平分线的斜率即为$\frac{\frac{k_1+k_2}{2}}{-1}$。

希望这份文档能够帮助你复习线段的垂直平行线与角平分线的专题。

如果还有其他问题，请随时提问。

第二节线段的垂直平分线与角平分线知识点1 线段的垂直平分线的判定与性质1.垂直平分线：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，就叫这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。

这就是垂直平分线的定义（多媒体展示定义）。

几何语言：∵MN是AA′的垂直平分线∴AP=PA′(即点P是AA'的中点)∠MPA= ∠MPA′=90°2.线段的垂直平分线的性质a)线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。

b)数学语言：∵l⊥AB，AC=BC，且点P在l上∴PA=PB3.尺规法画垂直平分线。

分别以点A和点B为圆心，大于½AB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线CD即为所求。

4.三角形的外心（1）对任意一个三角形，其三条边的垂直平分线必交于一点，这个点叫做这个三角形的外心。

外心到三角形各个顶点的距离相等。

（2）三角形的外心任意一个三角形三条边的垂直平分线必交于一点，这个点叫做这个三角形的外心。

外心到三角形各个顶点的距离相等。

例1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（）A．3 B．6 C．12 D．16例2.作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．例3.如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，若∠A ＝50°，∠DCB ＝2∠ACD ，则∠B 的度数为（ ）A ．26°B ．36°C ．52°D ．45°知识点2 角的平分线的判定与性质1.作法：(1)以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N.(2) 分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部相交于点C. (3) 画射线OC.射线OC 即为所求．2.角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．3. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．例1.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于21MN 长为半径画弧，两弧交于点O ，作射线AO ，交BC 于点E ．已知CE ＝3，BE ＝5，则AC 的长为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5 例2.如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝45°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ．若DE ＝1，则BC 的长为（ ）A ．2+2B ．2+3C ．2+3D ．3。

A 在BC 的垂直平分线上 复习课——第十九章 线段的垂直平分线和角平分线
普陀区课题组
教学目标：
2．会灵活运用线段垂直平分线、角平分线的定理和逆定理解决相关问题，体会构造基本图形的重要性.
教学重点与难点：线段垂直平分线、角平分线的定理及逆定理的灵活应用. 教学过程：
教师活动
学生活动
设计意图 一、建立知识结构
问：今天主要复习线段的垂直平分线、角的平分线相关知识.
问1:几何证明的依据有哪些？
问2:定理和公理都是命题,由命题你想到了什么？
(师生共同完成回答)
教师帮助建立知识结构：
在建立知识结构的同时复习各知识点.PPT 显示线段垂直平分线的定理及逆定理，角平分线定理及逆定理的图形语言表示.
(1) ⇒
AB=AC (2) ⇒
（3） ⇒
PM=PN (4)
答1：定义、公理、定理
答2：逆命题、逆定理、线段垂直平分线的定理及逆定理、角平分线定理及逆定理，点的三种基本轨迹.
梳理知识，建立知识结构.
学生了解知识点，重点在于线段垂直平分线、角平分线定理及逆定理，点的三种轨迹.
复习线段的垂直平分线定理及逆定理、角平分线定理及逆定理运用的规范书写.
C D A B N M
C D
A
B N M
C A
B C D A B N M O P N
M B A
B M N O A P B
M
N
O
A P
2
1
O
M
B
A。

线段的垂直平分线与角平分线复习(1)知识点1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.知识点2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.知识点3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线相交于一点,,i j k ,,i j k O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1　如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cm D ．12cm针对性练习：已知1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。

第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 引入垂直平分线的概念通过实际例子，让学生感受垂直平分线的作用和意义。

引导学生思考：如何找到一个线段的垂直平分线？1.2 垂直平分线的性质讲解线段的垂直平分线的性质，如垂直、平分等。

通过几何图形，让学生理解并证明垂直平分线的性质。

1.3 垂直平分线的作图教授如何作一条线段的垂直平分线的方法。

让学生动手实践，尝试作图并验证结果。

第二章：角平分线的定义与性质2.1 引入角平分线的概念通过实际例子，让学生感受角平分线的作用和意义。

引导学生思考：如何找到一个角的角平分线？2.2 角平分线的性质讲解角的角平分线的性质，如将角平分、垂直等。

通过几何图形，让学生理解并证明角平分线的性质。

2.3 角平分线的作图教授如何作一个角的角平分线的方法。

让学生动手实践，尝试作图并验证结果。

第三章：垂直平分线与角平分线的联系讲解垂直平分线与角平分线的交点的性质和特点。

通过几何图形，让学生理解并证明垂直平分线与角平分线的交点的性质。

3.2 垂直平分线与角平分线在解题中的应用通过实际例子，讲解垂直平分线与角平分线在解题中的应用。

引导学生思考：如何运用垂直平分线与角平分线解决问题？第四章：垂直平分线与角平分线的综合应用4.1 垂直平分线与角平分线的几何证明通过几何图形，让学生理解和证明垂直平分线与角平分线之间的关系。

引导学生思考：如何运用垂直平分线与角平分线进行几何证明？4.2 垂直平分线与角平分线在实际问题中的应用通过实际例子，讲解垂直平分线与角平分线在实际问题中的应用。

引导学生思考：如何运用垂直平分线与角平分线解决实际问题？第五章：巩固与拓展5.1 垂直平分线与角平分线的练习题提供一些有关垂直平分线与角平分线的练习题，让学生巩固所学知识。

引导学生思考：如何运用垂直平分线与角平分线解决练习题？5.2 垂直平分线与角平分线的拓展知识讲解与垂直平分线与角平分线相关的拓展知识，如线段垂直平分线的性质等。

线段的垂直平分线和角平分线复习陈坊中小学周青目标：（1）记住线段垂直平分线、角平分线性质、判定定理。

（2）学会运用线段垂直平分线、角平分线的性质和判定解决数学问题。

（3）了解并掌握垂直平分线、角平分线基本图形和常见辅助线的作法。

重难点：重点和难点：线段垂直平分线和角平分线性质的应用。

教学过程:一、知识回顾二、例题讲解【例1】：如图，在△ABC中， BC=12,AB的垂直平分线交BC 边于点F, AC的垂直平分线交BC边于点H.求△AFH的周长。

变式1：如上图，在△ABC中，△AFH的周长为12,AB 的垂直平分线交BC边于点F, AC的垂直平分线交BC边于点H.求BC长为。

变式2：如上图，在△ABC中， AB的垂直平分线交BC 边于点F, AC的垂直平分线交BC边于点H.若∠B=35°，∠C=25°,则∠FAH=变式3：如下图，在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=120°,AB 的垂直平分线交BC边于点F.求证：CF=2BF【例2】如下图，已知∠AOB和∠AOB内一点P，你能在OA 和OB边上各找一点O和R，使得由P、Q、R三点组成的三角形周长最短吗？【例3】已知:如下图, 点P是∠AOB内部的一点, PC⊥OA, PD ⊥OB ，垂足分别为点C和点D。

（1）若OP平分∠AOB，你能得出什么结论？（2）你能添加一个条件，使点P在∠AOB的平分线上吗？（3）如下图, 点P是∠AOB内部的一点,若PC=PD，∠1+∠2=1800。

那么点P在∠AOB的平分线上吗？【例4】已知：如图，AP、BP分别平分∠DAB和∠CBA，PE、PF分别垂直于AD、BC，垂足为E、F.求证：点P在EF的垂直平分线上.分析：（1）从已知条件你能想到什么定理？（2）缺少了什么?怎么办？（3）能得到什么结论?（4）用什么定理来证明结论?【例4】已知：如图，AP、BP分别平分∠DAB和∠CBA，PE、PF分别垂直于AD、BC，垂足为E、F.求证：点P在EF的垂直平分线上.（1）若把上图中的DA、CB延长相交于点O，点P还落在什么特殊的位置上？为什么？（2）OE＝OF吗？为什么？三、小结四、布置作业。

第02讲_线段的垂直平分线与角平分线知识图谱线段的垂直平分线知识精讲垂直平分线（中垂线）定义1：经过某条线段的中点，且垂直于这条线段的直线定义2：中垂线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，中垂线是线段的一条对称轴性质（1）垂直平分线垂直且平分其所在线段（2）垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等l为中垂线AC=BC，AD=BD判定在同一平面内，到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上A BlOA BlOCD尺规作图作法：如图（1）分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于C 、D 两点；（2）作直线CD ，CD 为所求直线三点剖析重难点：垂直平分线的性质和判定，垂直平分线的画法 考点：垂直平分线的性质和判定，垂直平分线的画法 易错点：①垂直平分线的画法和角平分线的画法进行区分②垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线。

垂直平分线的概念和性质例题1、 如图，△ABC 中，AC=8，BC=5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，则△BCE 的周长为 ．【答案】 13【解析】 △DE 是AB 的垂直平分线， △EA=EB ，则△BCE 的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13例题2、 如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于点E ．若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长为___．【答案】 6【解析】 ∵DE 是BC 边上的垂直平分线， ∴BE=CE ．∵△EDC 的周长为24， ∴ED+DC+EC=24，①∵△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，∴（AB+AC+BC ）﹣（AE+ED+DC+AC ）=（AB+AC+BC ）﹣（AE+DC+AC ）﹣DE=12， ∴BE+BD ﹣DE=12，② ∵BE=CE ，BD=DC ， ∴①﹣②得，DE=6例题3、 已知△ABC ，∠BAC=110°，DE ，FG 分别是AB ，AC 的垂直平分线且DE 交BC 于M 点，FG 交BC 于N 点，求∠MAN 的度数。

……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………线段的垂直平分线与角平分线专题复习知识点复习：1、线段垂直平分线的性质C线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点垂直平分线性质定理：1）（.的距离相等m BDAD＝，∵ CD⊥AB，且定理的数学表示：如图1BC.AC＝∴DBA定理的作用：证明两条线段相等图1.）线段关于它的垂直平分线对称（2C线段垂直平分线的判定定理：、2m. 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上BC＝定理的数学表示：如图2，∵ AC DBA.点C在线段AB的垂直平分线m上∴图2.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上A3、关于线段垂直平分线性质定理的推论ki（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：O的距三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．CBj图3.离相等.性质的作用：证明三角形内的线段相等 2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：（若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；反之，也则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 若三角形是钝角三角形，成立。

、角平分线的性质定理：4角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.，定理的数学表示：如图4B，C⊥OA于点CF是是∠∵ OEAOB的平分线，FOE上一点，且D DF.，∴ CF＝DOBDF⊥于点EF 1OAC4图……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.、角平分线性质定理的逆定理：5角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.B D定理的数学表示：如图5， PC＝PD，PD⊥OB于D，且于∵点P在∠AOB的内部，且PC⊥OAC，P.AOB的平分线上P∴点在∠AOC5图用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角定理的作用：A平分线FR 6、关于三角形三条角平分线的定理：QIE 1）关于三角形三条角平分线交点的定理：（三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相DPB6图C.等、∠ABCBAC定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠、∠ACB的平分线，那么： I；相交于一点① AP、BQ、CRFI. ＝D、E、F，则DI＝EI、、②若IDIE、IF分别垂直于BC、CAAB于点①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题定理的作用：.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：这个交点叫做三角形的内心（即三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部..内切圆的圆心）7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图： 2）会作已知角的角平分线；）会作已知线段的垂直平分线；（（1.）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形（3精品习题：到D3，则点，且AD：DC=5：的平分线．在△1ABC中，∠C=90o，BD是∠ABC.已知，AC=32 _______.AB的距离为:SS= BAD，则（）平分∠，，中，在△．2如图，ABDAD=4AB=3AC?C?BCADA3:44:316:19 D．不能确定．A． B． C2……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………3．如图，ΔABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD分为三个三角形，则S：S：S等于______.CAO?ABO?BCO?．的度数为 AC．则∠PAQABBAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分和4．如图所示，∠?．90的关PC上，则PD与PB，平分∠ABC，点P5D=AD∥BC，∠恰好在CD，AP平分∠DAB系是（） PD=PC D．无法判断A．PD>PC B．PD<PC C．三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修一个超市，C、6．如图，有AB、( )使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在AC、BC两边高线的交点处．在A 两边中线的交点处、BCACB.在 BC两边垂直平分线的交点处、C．在AC 的角平分线的交点处BD.在∠A、∠处，E的中点折叠，将△斜边AB上的高，BCD沿CDB点恰好落在ABABCRtCD．7如图，是△( ) A则∠等于 ooo．A25 B.30 C.45 D.60o3……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………），则有（=AD，BC=BD8．AC AB．CD垂直平分B AB A．垂直平分CDACBCD平分∠CD互相垂直平分D．C．AB与．下列结论中不一定成立B，⊥OB，垂足分别为A平分∠AOB，PA⊥OA，PB9．如图，OP）的是（AB垂直平分OP D=OB．CB PA=PB．PO平分∠APB．OA A．小红的爸爸想在本镇的三条随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，10．，建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选相互交叉的公路（如图所示））处。

衷心祝愿： 每一位同学在新学期中，能取得更大的进步！我信我能行：良心无愧； 信心无畏； 恒心无敌； 青春无悔。

课题：“线段的垂直平分线”专题复习课学科： 数学 所教年级：八年级 参赛课题：“线段的垂直平分线”专题复习课 课型：复习课 参赛教师：哈39中学 胡松涛 赛课时间：一、教材内容分析“线段的垂直平分线”专题复习课是人教版八年级数学上册第十三章的内容，它是在学生认识了线段的垂直平分线的定义、性质、判定的基础上，对线段的垂直平分线的定义、性质、判定进行更为深入的探究，是为今后证明线段相等和直线互相垂直的重要依据。

在几何证明、计算中，线段的垂直平分线的性质和判定也有着重要的地位，因此本节课具有承上启下的重要作用。

二、教学设计【教学目标】1.知识与技能：能够熟练的运用定义、性质和判定解决三角形的面积与线段的关系问题。

2.过程与方法：（1）经历应用—反思—归纳—应用的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。

（2）通过小组合作探究式的学习，让孩子们学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．3.情感态度与价值观：通过对线段垂直平分线定义、性质和判定的更深层次的探究过程，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获得成功的体验，建立学习的自信心。

【教学重难点】教学重点：线段垂直平分线的定义、性质和判定的综合应用。

教学难点：利用“转化“的思想解决三角形的面积与线段的关系。

三、教学流程《一》 创设情境，复习导入请同学们准备好以下学习用具。

准备工具：三角板或直尺、铅笔、练习本、学案。

☆设计意图：培养孩子们课前准备好学习备品的好习惯，为更好地完成本节课的教学服务。

活动1：已知：如图，给出以下条件：①PA=PB ；②AC=BC ；③PC ⊥AB ；④点P 在AB 的垂直平分线上. 请你从中任意选出一个或者两个条件作为题设，一个条件作为结论。

找出你认为正确的命题。

☆设计意图：数学教学应当从学生已有的知识出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习。

专题06线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】 (1)【考点二线段垂直平分线的判定】 (4)【考点三利用角平分线的性质求解】 (8)【考点四角平分线的判定】 (11)【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】 (14)【过关检测】 (20)【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】∴()SAS ADE CDE △△≌，∴36DCE A ==︒∠∠，∴72BEC A ACE ∠=∠+∠=︒，故答案为：72︒．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，全等三角形的性质与判断，线段垂直平分线的定义，正确推出36DCE A ==︒∠∠是解题的关键．【变式训练】【答案】8【分析】根据垂直平分线的性质定理，得【详解】解：∵AB 的中垂线交【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理，掌握垂直平分线的性质定理是解题的关键．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．3．（2023春·广东深圳·七年级校考期末）如图，在ABC 中，DM ，EN 分别垂直平分边AC 和边BC ，交边AB 于M ，N 两点，DM 与EN 相交于点F ．(1)若10cm AB =，求CMN 的周长；(2)若o 65MFN ∠=，则MCN ∠的度数为______°．【答案】(1)10cm(2)50【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得MA MC =，NB NC =，则CMN 的周长CM CN MN AM MN BN AB =++=++=；（2）根据等边对等角可得A MAC ∠=∠，B NCB ∠=∠，根据三角形内角和定理，列式求出FMN FNM ∠+∠，再求出A B ∠∠+，即可求解．【详解】（1）解：∵DM ，EN 分别是AC ，BC 的中垂线∴MA MC =，NB NC=∴CMN C CM MN CN AM MN BN =++=++ AB =10cm =；（2）由（1）得MA MC =，NB NC =，由DM ，EN 分别垂直平分AC 和BC ，可得90MDA NEB ∠=∠=︒，∴A MCA ∠=∠，B NCB ∠=∠，∵在MNF 中，65MFN ∠=︒，∴115FMN FNM ∠+∠=︒，根据对顶角的性质可得：FMN AMD ∠=∠，FNM BNE ∠=∠，在Rt ADM △中，9090A AMD FMN ∠=︒-∠=︒-∠，在Rt BNE 中，9090B BNE FNM ∠=︒-∠=︒-∠，∴909065A B FMN FNM ∠+∠=︒-∠+︒-∠=︒，∴65MCA NCB ∠+∠=︒，在ABC 中，65A B ∠+∠=︒∴115ACB ∠=︒，∴()50MCN ACB MCA NCB ∠=∠-∠+∠=︒．故答案为：50．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质和整体思想的利用．【考点二线段垂直平分线的判定】例题：（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，AD 为三角形ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，连接EF 交AD 于点O ．(1)若BE DE =，60BAC ∠=︒，求CDF ∠的度数；(2)写出AD 与EF 的关系，并说明理由；【答案】(1)15︒(2)AD EF ⊥，AD 平分EF【分析】（1）根据三角形内角和可得C ∠，再利用内角和即可得出CDF ∠；（2）由角平分线的意义及两个垂直可证明ADE ADF V V ≌，从而有,AE AF DE DF ==，由线段垂直平分线的判定知，AD EF ⊥，AD 平分EF ．【详解】（1）解：∵DE AB⊥90BED ∴∠=︒∵BE DE=45B ∴∠=︒∵60BAC ∠=︒180456075C ∴∠=︒-︒-︒=︒∵DF AC⊥90DFC ∴∠=︒∴15CDF ∠=︒（2）解：AD EF ⊥，AD 平分EF ；理由如下：∵AD 平分BAC ∠，∴∠=∠DAB DAC ，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴90DEA DFA ∠=∠=︒，∵AD AD =，∴ADE ADF V V ≌，∴AE AF DE DF ==，，∴AD 是线段EF 的垂直平分线，即AD EF ⊥，AD 平分EF ．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，等腰三角形的性质，三角形内角和，角平分线的性质．找到Rt AED △和Rt ADF ，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，完成证明是关键．【变式训练】1．（2023秋·广西河池·八年级统考期末）如图，在ABC 中，边AB ，BC 的垂直平分线交于点P ．(1)求证：PA PB PC ==；(2)求证：点P 在线段AC 的垂直平分线上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据垂直平分线的性质直接可得到答案；（2）根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案；【详解】（1）证明：∵边AB 、BC 的垂直平分线交于点P ，∴PA PB =，PB PC =，∴PA PB PC ==；（2）证明：∵边AB ，BC 的垂直平分线交于点P ，∴PA PB =，PB PC =，∴PA PC =，∴点P 在AC 的垂直平分线上．【点睛】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，点D 是等边ABC 外一点，120BDC ∠=︒，DB DC =，点E ，F 分别在AB ，AC 上，连接AD 、DE 、DF 、EF ．(1)求证：AD 是BC 的垂直平分线；(2)若ED 平分BEF ∠，5BC =，求AEF △的周长．【答案】(1)见解析；(2)10．【分析】（1）根据到线段两端距离相等的点在垂直平分线上即可证明；（2）如图，过D 作DM EF ⊥于M ，结合已知易证90DBE ∠=︒即DB AB ⊥，同理可得DC AC ⊥，易证()Rt DBE Rt DME HL ≌得BE ME =，同理可得CF MF =，然后转换求周长即可．【详解】（1）证明：ABC 是等边三角形，AB AC ∴=，∴A 在BC 的垂直平分线上，又DB DC =，∴D 在BC 的垂直平分线上，AD ∴是BC 的垂直平分线；（2）如图，过D 作DM EF ⊥于M ，120BDC ∠=︒ ，DB DC=30DBC ∴∠=︒又ABC 是等边三角形，90DBE DBC ABC ∴∠=∠+∠=︒A DB B∴⊥同理可得DC AC∴⊥ED 平分BEF ∠，DM EF⊥DB DM DC∴==DF ∴平分CFE ∠，在Rt DBE 与Rt DME 中DE DE DB DM=⎧⎨=⎩()Rt DBE Rt DME HL ∴ ≌BE ME∴=同理可得CF MF=()AEF C AE AF EF AE AF EM MF =++=+++ ()AE AF EB CF =+++()()AE EB AF CF =+++AB AC=+210BC ==.【点睛】本题考查了垂直平分线的判定，角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质；解题的关键是通过相关性质构造线段相等、进行转换．【考点三利用角平分线的性质求解】A ．14B ．26【答案】D 【分析】如图：作DF AC ⊥交∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥∴4DF DE ==，∴12ABC ADC ADB S S S AC ==+ 【变式训练】1．（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A ．三角形三条边的垂直平分线的交点B ．三角形三条角平分线的交点C ．三角形三条高所在直线的交点D ．三角形三条中线的交点【答案】B【答案】5【分析】根据垂线段最短确定点【详解】解： O是BA上任意一点，∴当PO BA⊥时，OP的值最小，∠，P是BD又 BD平分ABC(1)求PAD∠的度数；=．(2)试说明PD PC∵AP 平分DAB ∠，PD AD ⊥，PE ∴PE PD =．∵BP 平分ABC ∠，PC BC ⊥，PE ∴PE PC =，【考点四角平分线的判定】例题：（2023·全国·八年级假期作业）如图，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，连接AD ．求证：AD 是BAC ∠的外角平分线．【答案】证明见解析【分析】作DE BA ⊥交BA 的延长线于E ，DF AC ⊥于F ，DG BH ⊥于G ，根据角平分线的性质得到DE DF =，根据角平分线的判定定理证明结论．【详解】证明：作DE BA ⊥交BA 的延长线于E ，DF AC ⊥于F ，DG BH ⊥于G ，DB 平分ABC ∠、DC 平分ACH ∠，DE DG ∴=，DF DG =，DE DF ∴=，又DE BA ⊥，DF AC ⊥，∴AD 是BAC ∠的外角平分线．【点睛】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．【变式训练】1．（2023·广东惠州·校联考二模）如图，CB CD =，180D ABC ∠+∠=︒，CE AD ⊥于E ．(1)求证：AC 平分DAB ∠；(2)若10AE =，4DE =，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）过C 点作CF AB ⊥，交AB 的延长线于点F ．由AAS 证明CDE CBF ≌，可得CE CF =，结论得证；（2）证明Rt ACE Rt ACF ≌，可得AE AF =，可求出AB ．【详解】（1）证明：过C 点作CF AB ⊥，交AB 的延长线于点F ．∵CE AD ⊥，∴90DEC CFB ∠=∠=︒，∵180D ABC ∠+∠=︒，180CBF ABC ∠+∠=︒，∴D CBF ∠=∠，又∵CB CD =，∴CDE CBF ≌，∴CE CF =，∴AC 平分DAB ∠；（2）解：由（1）可得4BF DE ==，在Rt ACE 和Rt ACF 中，CE CF AC AC=⎧⎨=⎩，∴Rt ACE Rt ACF ≌，∴10==AE AF ，∴6AB AF BF =-=．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形．2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若,BD CD BE CF ==．(1)求证：AD 平分BAC ∠；(2)请猜想+AB AC 与AE 之间的数量关系，并给予证明．【答案】(1)见解析(2)2AB AC AE +=，证明见解析【分析】（1）根据HL 证明Rt Rt DBE DCF ≌ ，得到DE DF =，再根据角平分线的判定定理，求证即可；（2）通过HL 证明Rt Rt ADE ADF ≌△△，得到AE AF =，利用线段之间的关系，求解即可．【详解】（1）证明：∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴90E DFC ∠=∠=︒，在Rt DBE 和Rt DCF 中，BD CD BE CF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL DBE DCF ≌△△，∴DE DF =，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴AD 平分BAC ∠．（2）解：2AB AC AE +=，证明如下：在Rt ADE △和Rt ADF 中，AD AD DE DF=⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ADE ADF ≌△△，∴AE AF =，∴2AB AC AB AF CF AB AE BE AE +=++=++=．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】例题：（2023秋·河北保定·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，90C = ∠，DE AB ⊥于点E ，点F 在AC 上，BD DF =．(1)求证：CF EB =．(2)连接CE ，求证AD 垂直平分CE ．(3)若10AB =，6AF =，求CF 的长．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)2CF =【分析】（1）利用角平分线的性质可得DC DE =，再利用“HL ”证明t R DCF Rt DEB △≌△，即可证明CF EB =；（2）利用“HL ”证明Rt ACD Rt AED ≌，可得AC AE =，所以点A 在CE 的垂直平分线上，根据DC DE =，可得点D 在CE 的垂直平分线上，进而可以解决问题；（3）设CF BE x ==，则AE AB BE x AC AF FC x 106=-=-==+=+，即可建立方程求解．【详解】（1）证明：∵DE AB ⊥于点E ，∴90DEB ∠= ，又AD 平分BAC ∠，90C = ∠，∴DC DE =，在t R DCF △和Rt DEB 中，DF DB DC DE =⎧⎨=⎩，∴()t R DCF Rt DEB HL ≌，∴CF EB =．（2）证明：连接CE ，如图在Rt ACD 和Rt AED △中，AD AD DC DE =⎧⎨=⎩，∴()Rt ACD Rt AED HL ≌，∴AC AE =∴点A 在CE 的垂直平分线上，∵DC DE =，∴点D 在CE 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分CE （3）解：设CF BE x ==，∵10AB =，6AF =，∴AE AB BE x 10=-=-，AC AF FC x 6=+=+，∵AE AC =，∴106x x -=+，解得：2x =∴2CF =【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题关键是在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定．【变式训练】1．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，连接EF ．(1)求证：AD 为CAB ∠的角平分线；(2)若8AB =，6AC =，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)7AE =DG 为BC 的垂直平分线，CD BD ∴=，DE AB ∵⊥，DF AC ⊥，90DEB DFC ∴∠=∠=︒，在Rt DEB △和Rt DFC △中，(1)求证：BD平分∠ABC；(2)如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM 【答案】(1)见解析(2)MC=1.5【分析】（1）由∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，得∠【详解】（1）证明：∵∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，∴∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，∵CE平分∠ACF，∴∠ACF=2∠ECF，∴∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，∴BD平分∠ABC；（2）解：连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，∵QG垂直平分AC，∴AQ=CQ，∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，∴QM=QN，∴Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），∴NA=MC，∵QM=QN，BQ=BQ，∴Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），∴NB=MB，∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，∴7=4+2MC，∴MC=1.5．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，在ABC 中，DE 是AC 边的垂直平分线，分别交BC AC 、于D 、E 两点，连接AD ，25BAD ∠=︒，35C ∠=︒，则B ∠的度数为（）A ．70︒B ．75︒C ．80︒D ．85︒【答案】D 【分析】利用垂直平分线的性质，可得35DAC C ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理，可得B ∠的度数．【详解】解：DE 是AC 边的垂直平分线，35DAC C ∴∠=∠=︒，根据三角形内角和定理，可得18085B BAD DAC C ∠=︒-∠-∠-∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练利用垂直平分线的性质是解题的关键．2．（2023春·四川达州·八年级统考期末）如图，点P 为定角AOB ∠平分线上的一个定点，且MPN ∠与AOB ∠互补．若MPN ∠在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA 、OB 相交于M 、N 两点，则以下结论中，不正确的是（）A ．OM ON +的值不变C ．MN 的长不变【答案】C 【分析】如图作PE OA ⊥于E ∠∠EPM FPN =，由OP 平分∵∠∠90PEO PFO ==︒，∴∠∠180EPF AOB +=︒，∵∠∠180MPN AOB +=︒，∴∠∠MPN EPF =，∴∠∠EPM FPN =，∠故选：C【点睛】本题主要考查角平线的性质定理、全等三角形的判定和性质；能够结合角平分线的性质定理作出角平分线上点到两边的垂线段，构建全等三角形是解题的关键．二、填空题【答案】6【分析】过点C 作CP AB ⊥再根据三角形的面积公式求出【详解】解：过点C 作CP ∵BD 平分ABC ∠，PE AB ⊥∴PE EF =，∴CP CE PE CE EF =+=+的最小值．∵ABC 的面积为18，AB =性，是一道比较好的题目．三、解答题(1)如图1，若DE OB ∥．①DEO ∠的度数是︒，当DP OE ⊥时，x =②若EDF EFD ∠=∠，求x 的值；(2)如图2，若DE OA ⊥，是否存在这样的x 的值，使得说明理由．②∵20DEO ∠=︒，EDF EFD ∠=∠，∴80EDF ∠=︒，又∵140ODE ∠=︒，∴1408060ODP ∠=︒-︒=︒，∴60x =；（2）存在这样的x 的值，使得4EFD EDF ∠=∠．分两种情况：①如图2，若DP 在DE 左侧，∵DE OA ⊥，∴90EDF x ∠=︒-︒，∵20AOC ∠=︒，∴20EFD x ∠=︒+︒，当4EFD EDF ∠=∠时，()20490x x ︒+︒=︒︒﹣，解得68x =；②如图3，若DP 在DE 右侧，∵90EDF x ∠=︒-︒，18020160EFD x x ∠=︒-︒-︒=︒-︒，∴当4EFD EDF ∠=∠时，()160490x x ︒-︒=︒-︒，解得104x =；综上所述，当68x =或104时，4EFD EDF ∠=∠．(1)如图1，求BGC ∠的度数；(2)如图2，求证：EG FG =；(3)如图3，过点C 作CD EC ⊥交BF 延长线于点D ，连接AD ，点N 在BA 延长线上，连接NG 交AC 于点M 使DAC NGD ∠=∠，若:1:2EB FC =，10CG =，求线段MN 的长．【答案】(1)120︒(2)见解析∴60BGH CGH ∠=∠=︒，∵60BGE CGF GBC GCB ∠=∠=∠+∠=∴G BGH C CG GH B E F ∠∠=∠=∠=，∵GBC GBE ∠=∠，BG BG=∴BGE BGH ≌△△，∴EG GH =，∵CE 平分ACB ∠，∴2ACB ACE ∠=∠，∵CD EC ⊥，∴90ECD ∠=︒，∴90ACE ACD ∠+∠=︒，∵180ACB ACP ∠+∠=︒，∴2ACP ACD ∠=∠，∴CD 平分ACP ∠，∵DR AC ⊥，DP BC ⊥，∴DR DP =，∵BF 平分ABC ∠，DR AC ⊥，DQ AB ⊥，∴DP DQ =，∴DR DQ =，∴AD 平分QAC ∠，∵60BAC ∠=︒，∴60DAQ DAC ∠=∠=︒，∴60NGD DAC ∠=∠=︒，由（1）得120BGC ∠=︒，∴18060BEG FGC BGC ∠=∠=︒-∠=︒，∵60MGF ABF BNG ∠=∠+∠=︒，60FGC FBC ECB ∠=∠+∠=︒，(1)如图1，请指出AB 与PB 的数量关系，并说明理由．(2)如图2，当P ，Q 两点都在射线ON 的反向延长线上时，线段AB ，PB 是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)AB PB =，理由见解析(2)存在，理由见解析【分析】（1）连接BQ ，根据BC 垂直平分OQ ，可知BO BQ =，则BOQ BQO ∠=∠，根据OF 平分MON ∠，则AOB BOQ ∠=∠，即AOB BQO ∠=∠，根据OA QP =，可知AOB PQB △≌△，则可知AB PB =；（2）如图，连接BQ ，根据BC 垂直平分OQ ，可知BQ BO =，CQ CO =结合条件可证BQC BOC △≌△，则BQO BOQ ∠=∠，根据OF 平分MON ∠，BOQ FON =∠∠，可知AOF FON BOQ ∠=∠=∠，则AOF BQO =∠∠，进而可知AOB PQB =∠∠，由此可证AOB PQB △≌△（SAS ），则AB PB =．【详解】（1）解：AB PB=理由如下：连接BQ∵BC 垂直平分OQ∴BO BQ=∴BOQ BQO∠=∠∵OF 平分MON∠∴AOB BOQ∠=∠∴AOB BQO∠=∠∵OA QP=∴AOB PQB△≌△∴AB PB =；（2）存在，理由：如图，连接BQ ，∵BC 垂直平分OQ ，∴BQ BO =，CQ CO=在BQC 和BOC 中，BC BC CQ CO BQ BO =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴BQC BOC △≌△（SSS ）∴BQO BOQ ∠=∠，∵OF 平分MON ∠，BOQ FON =∠∠，∴AOF FON BOQ ∠=∠=∠，∴AOF BQO =∠∠，∴AOB PQB =∠∠，在△AOB 和△PQB 中，OA PQ AOB PQB BO BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩【知识回顾】（1）如图1，P 是BOA ∠的平分线上的一点，PE OB ⊥于点E ，作PD OA ⊥于点D ，试证：【深入探究】（2）如图2，在ABC 中，BD 为ABC ∠的角平分线交于AC 于D 点，其中10,AB BC AD +=BD Q 平分BAC ∠，DM DN ∴=，11,22ABD CBD S AB DM S BC =⋅= ABD S AB S BC∴= ，∴BC∥EF由①知：∠CBP＝90°∴BP⊥EF∵EB＝EP∴EF是线段BP的垂直平分线∴PF＝BF∴∠PFE＝∠BFE＝30°（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP∴△QEP≌△DEC（SAS）则PQ＝DC＝DB∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线∴QF＝DF∵CD＝AD∴∠CDA＝∠A＝60°∴∠CDB＝120°∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP ∴△FQP≌△FDB（SAS）∴∠QFP＝∠BFD∵EF是DQ的垂直平分线∴∠QFE＝∠EFD＝30°(1)【理解运用】如图2，在ABC 中，D 为BC 上一点，点D ，E 关于直线AB 对称，连接判断点B 是否为点D ，F 关于直线AB 的“等角点”，并说明理由；(2)【拓展提升】如图2，在（1）的条件下，若70A ∠=︒，AB AC =，点Q 是射线EF 上一点，且点D ，Q 角点”为点C ，请利用尺规在图2中确定点Q 的位置，并求出BQC ∠的度数；(3)【拓展提升】∵D 、E 关于AB 对称，∴BE BD =，AB DE ⊥，∴ABE ABC ∠=∠，∵ABE MBF Ð=Ð，∴ABC MBF Ð=Ð，∴点B 是点D ，F 关于直线AB 的“等角点”；（2）如图2，∵70A ∠=︒，AB AC =，∴55ABC ACB ∠=∠=︒．∵点D ，Q 关于直线AB ，AC 的“等角点”分别为点B 和点C ，∴55MBQ NCQ ∠=∠=︒，∴70CBQ BCQ ∠=∠=︒，∴40BQC ∠=︒；（3）如图3，。

《线段的垂直平分线与角平分线专题复习》课时教案【课题】《线段的垂直平分线与角平分线专题复习》【课型】复习【教学目标】知识：复习线段的垂直平分线与角平分线的性质与判定及其推论，掌握它们的画图方法。

能力：学生经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，能够用综合法证明。

情感：在探究性学习活动中养成刻苦钻研的习惯，具有勇于探索创新的精神。

【教学重难点】复习线段的垂直平分线与角平分线的性质与判定及其推论，掌握它们的画图方法和应用。

【教学方法】自主探究法【教具与教学准备】导学案、PPT、多媒体【学情分析】通过观察、操作、想象、推理、交流等活动能够解决本节课的内容。

【教学过程】一、激趣导入，交代目标：（一）激趣导入设计意图（以旧引新，从学生熟知的知识入手，起点低，让全体同学都参与，也为类比探索新知做好准备。

）知识回顾（2分钟）1、复习回顾：线段的垂直平分线与角平分线的性质与判定及其推论。

（二）交代目标多媒体出示，让一名学生读出来，共同学习，从而明确本节课的学习目标设计意图：明确本节课的学习目标，使学生的学习有针对性。

（一）依据导纲，自主学习探究一：关于线段垂直平分线（先自主探究，然后组内交流讨论，各个小组展示）图11、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD∴ AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.性质的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。