高等数学A2重积分期末复习题

高等数学A 2期末期末综合测试综合测试综合测试（（二）参考答案参考答案一、填空填空、、选择题选择题（（27%）1．曲面z xy =在点()122，，处的法线方程是122.211x y z −−−==−−. 2. 已知D 是由直线1,10x y x y x +=−==及所围，则(1) 1 .Dy d σ+=∫∫ 3. 若曲线L 是221x y +=在第一象限的部分，则 1 .Lxds =∫4. 设(,)ln ,2y f x y x x=+则22(1,0)1.4f y ∂=−∂5. 设函数322(,)42f x y x x xy y =−+−，则下列说法正确的是【 B 】(A) 点()2,2是(),f x y 的极小值点； (B) 点()0,0是(),f x y 的极大值点；(C) 点()2,2不是(),f x y 的驻点； (D) ()0,0f 不是(),f x y 的极值。

6. 函数22(,)f x y x y =+在点()11，处沿着下列哪个方向的方向导数最大？（ A ）(A) ()11，； (B) ()21，； (C) ()01，； (D) ()10， 7. 曲线L 为沿22=4x y +顺时针方向一周.则()12Lxdy ydx C −=∫ (A)2π−； （B） 4π； (C） 4π−； (D) 0.8．积分()10,y dy f x y dx =∫（ A ）(A)()210,x x dx f x y dy ∫∫； (B) ()21,xx dx f x y dy ∫∫； (C) ()10,xdx f x y dy ∫∫； (D) ()210,x dx f x y dy ∫.注意注意：：()()110,,(01)y ydy f x y dx dy f x y dx y if y =−≤≤≤∫∫∫9.下列级数中条件收敛的是（ B ）(A)1211(1)sin n n n ∞+=−∑； （B）1(1)n n ∞=−∑；(C）1)1(1+−∑∞=n n n n； （D）)1(1)1(1+−∑∞=n n n n .二、解答题(24分) 1. 设函数()22ln ,yxz x ye=++求()1,0.dz解：22222221,;yyxxz x y z y e e x x y xy x y x∂∂=−=+∂+∂+所以()1,02d d .dz x y =+ 2. 设sin ,,2,uz e v u xy v x y ===−求,.z z x y∂∂∂∂解：sin(2),xyz e x y =− [sin(2)cos(2)],[sin(2)2cos(2)].xy xy z z e y x y x y e x x y x y x y∂∂=−+−=−−−∂∂ 3．设(),xyz f e y = 求2,.z z x x y∂∂∂∂∂解：12;xy z ye f f x ∂′′=+∂21111222122(1)())xy xy xy xy z xy e f ye xe f yf f xe f yf x y ∂′′′′′′′′′′=+++++∂∂212112122sin sin (1)(cos cos 22xy xy xy y yxy e f f xye f y y f yf ′′′′′′′′=++++++ 4. 设方程sin y ze x z e +−=确定隐函数(),z z x y =,求()()0,10,1,.z z x y ∂∂∂∂解法一：由0,1x y ==得，0z =；(,,)sin F sin ,F ,F cos ;y z y z y z x y z F x y z e x z e z e e x z +++=−−=−==−设，则(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)F F sin 0, 1.F cos F cos y zy xy zy z zzzzze x e x zy e x z +++∂∂=−===−=−=−∂−∂−解法二解法二：：首先由0,1x y ==得，0z =，对sin y ze x z e +−=两边求全微分得，()sin cos 0y z e dy dz zdx x zdz ++−−=，将0,1,0x y z ===代入，得 []0(0,1)100x y dy dz dz dx dy ==+=⇒=−，所以(0,1)(0,1)0, 1.zzx y∂∂==−∂∂三、计算计算题题（30分）1.求(2d d ,D x y ∫∫ 其中22: 4.D x y +≤解：(2282d d d (2)d .3Dx y πθρρρπ−=−⋅=∫∫∫∫2. 求,zdv Ω∫∫∫其中Ω是球面z =0z =所围成的闭区域。

淮 海 工 学 院11 – 12 学年 第 二 学期 高等数学A （2） 期末总复习一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分）1. 由向量)2,0,1(=OA ，)2,1,0(=OB 围成的三角形OAB ∆面积为--------------（A ） （A ）23（B ）2 （C ）3 （D ）4注1：已知,a b ，会求,,a b a b a b ⋅⨯⨯，举例说明并练习.注2：已知,a b ，会求由,a b 构成的面积s a b =⨯，举例说明并练习.2．)tan()1(),(2222y x y y x y x f +-+=，则(,1)xx f x =-----------------------------（B ） （A ）1 （B ）2 （C ）x （D ）x 2 注1：二元初等函数求偏导数值，将另一变量的值代入，在对该变量求导. 如： 2(,)1,f x y y xy =+求(3,1),(,1),(,1),(0,1),(0,),(0,)x x xx y y yy f f x f x f f y f y . 又如：对选择题2，求(1,1),(0,1)x y f f .3. z y e u x-+=ln 在点)1,1,0(-处沿下列哪个方向的方向导数最大-----------（B ） （A ）)1,1,0(- （B ）)1,1,1(- （C ）)1,1,0( （D ）)1,0,1(注1：(,,)u f x y z =在点0M 处沿梯度方向000((),(),())x y z f M f M f M 的方向导数达到最大值222000()()()x y z f M f M f M ++.如：函数32),,(222+-+=z y x z y x f 在点)27,1,1(处沿下列哪个方向的方向导数最大？并求最大值.简要解答：,2x f x =z f y f z y 4,2-==则 )72,2,2()27,1,1(-=g r a df ，6)27,1,1(][max )27,1,1(==∂∂grad l f . 又如：对选择题3，求方向导数的最大值.4．二次积分⎰⎰exdy y x f dx 1ln 0),(的另一种积分次序为----------------------（B ）（A ） x d y x f dy ye e ⎰⎰1),( （B ） x d y x f dy eey ⎰⎰10),(（C ）x d y x f dy ee ey⎰⎰1),( （D ）x d y x f dy eeey ⎰⎰1),(注1：在直角坐标系下，交换二次积分的积分次序，需熟练描绘积分区域的图形，并将其表示成另一种积分区域. 如：⎰⎰1),(yydx y x f dy 的另一种积分次序为--------------------------------------------（C ） （A ）⎰⎰10),(xx dy y x f dx （B ）⎰⎰10),(xxdy y x f dx（C ）⎰⎰102),(xx dy y x f dx （D ）⎰⎰12),(x xdy y x f dx又如：x d y x f dy e ey ⎰⎰1),(的另一种积分次序为⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0),(.5．2272(21)(1)x y x y ds +=++=⎰----------------------------------------------------------------（D ）（A ）0 （B ） π （C ）2π （D ） 22π注1：第一种曲线积分的计算需利用(,),L Lx y L ds s ∈=⎰与对称奇偶性来完成.如：设L 为椭圆2215x y +=，其周长为l ，则()(5)Lx y x yd s ++=⎰----------------（D ） （A ）15l （B ） l （C ） 5l （D ） 5l6．设∑为锥面22y x z +=与平面1z =所围立体Ω的表面内侧，则223x zdydz xyzdzdx zdxdy ∑--=⎰⎰----------------------------------------------------（D ）（A ）π- （B ）3π- （C ）3π （D ）π 注1：第二种曲线积分的计算需利用高斯公式与kdv kv ΩΩ=⎰⎰⎰来完成，注意内外侧. 如：设空间闭区域{}(,,)1,2,||3x y z x y z Ω=≤≤≤，∑是Ω的整个边界曲面的外侧，用高斯公式计算得23xdydz ydzdx zdxdy ∑-+=⎰⎰ 96 .又如：对选择题6，设∑为空间闭区域{}22(,,)1,1x y z x y z Ω=+≤≤的表面内侧，用高斯公式计算223x zdydz xyzdzdx zdxdy ∑--⎰⎰.简要解答: Ω是半径为1、高为2的圆柱体，其体积为2π，令2,23P x z Q xyz R z ==-=-，则3x y z P Q R ++=-则原式()xyz P QR dv Ω=++⎰⎰⎰3dv Ω=⎰⎰⎰6π=．7．设)1(1+=n n u n ，则级数-------------------------------------------------------------（ D ）（A ）∑∑∞=∞=121n n n nu u 与都收敛 （B ）∑∞=1n nu 与∑∞=12n nu都发散（C ）∑∞=1n nu收敛，而∑∞=12n nu发散 （D ）∑∞=1n nu发散，而∑∞=12n nu收敛注1：对于p 级数11p n n ∞=∑，当1p ≤时发散，当1p >时收敛． 如：下列级数中收敛的是--------------------------------------------------------------------（D ）（A ）∑∞=+11n n n （B ）∑∞=+1)1(1n n n （C ）∑∞=+11n n n （D ）∑∞=+111n n n又如：若级数5611pn n∞-=∑收敛，则p 的取值范围是-----------------------------------------（A ）（A ）(,23)-∞ （B ）(,23]-∞ （C ）(23,)+∞ （D ）[23,)+∞ 8．设)(x f 是以π2为周期的周期函数，其在],(ππ-上的解析式为21,0()3,0x x f x x x ππ⎧--<≤=⎨-<≤⎩，若记)(x f 的傅里叶级数为()S x ，则(8)S π=-----（C ） （A ）1 （B ）32（C ）2 （D ）3注1：以π2为周期的)(x f 满足狄利克雷收敛条件，若0x 为)(x f 的第一类间断点，则)(x f 的傅里叶级数001()[()()]2S x f x f x +-=+.如：对选择题8，24(7)2S πππ--+=.二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1. 设),(y x f z =是由 z x z y 25)35ln(-=- 所确定的隐函数,求23x y z z +. 注1：设),(y x f z =是由(,,)0F x y z =所确定的隐函数，则有公式法如下： ,x x z y y z z F F z F F =-=-．解：设=),,(z y x F z x z y 25)35ln(+-------------------------------------1 则03532,355,5≠--=-=-=zy F z y F F z y x (3分,偏导错一个扣分)则23x y z z +(23)x y z F F F =-+ =5.-------------------------------------------------3如： 设0)3cos()2sin(=-+-z y z x 确定了隐函数),(y x z z =，求23x y z z +. 2． 设1(,)z f xy x y x =+，其中f 可微，求)0,1(dz . 解：12211()z f yf f x x x ∂=-++∂-----------------------------------------------------------------2121()z xf f y x∂=+∂-----------------------------------------------------------------------------2 )0,1(dz= 212[(0,1)(0,1)][(0,1)(0,1)]f f dx f f dy -++.-----------3注1：含抽象复合函数的偏导数计算需利用链式法则.如： )(),(xyg yx xy f z +=,其中g f ,均可微，求x y xz yz +. 简要解答: ),(1221y x g x y f y yf x z '-+=∂∂ ),(1221y x g x f yx xf y z '+-=∂∂ 则12x y xz yz xyf +=.又如：对计算题2，求x y z z -.注2：(,)z f x y =的全微分公式为x y dz z dx z dy =+，求出,x y z z ，可得dz ， 进一步，将00,x x y y ==代入dz ，可得00(,)x y dz，或00(,)dz x y .如：设(,)y z yf x y x=-，其中f 可微，求(1,0)dz -.简要解答: 122()x y z y f f x =-+，121()y z f y f f x=+-， 因x y dz z dx z dy =+，则(1,0)(0,1)dz f dy -=-. 又如：对计算题1，求dz .3．设D 由23,1y x y x ==-及x 轴所围成，求2221(1)Ddxdy x y ++⎰⎰. 解: :01,03D r πθ≤≤≤≤----------------------------------------------2则原式122300(1)d r rdr πθ-=+⎰⎰-----------------------------------------212220(1)(1)6r d r π-=++⎰12π=.----------------------------------3 注1：若积分区域为圆（扇、环）域，被积函数为22()f x y +，则用极坐标.如： 若{}1),(22≤+=y x y x D ，求221Dx y dxdy --⎰⎰.简要解答: 原式212001d d πθρρρ=-⋅⎰⎰01)1(32232ρπ--=32π=. 又如：对计算题3，求2231(1)Ddxdy x y ++⎰⎰.4．取L 为22132x y +=的顺时针方向，用格林公式求422(2)(1)23L x y dy y dx x y +-++⎰. 解：原式41(2)(1)6L x y dy y dx =+-+⎰-------------------------------------------------------2221321(21)6Green x y d σ+≤=-+⎰⎰--------------------------------------------------------------3 221321622x y d σπ+≤=-=-⎰⎰.----------------------------------------------------------2 注1：用格林公式求LPdx Qdy +⎰时，若,P Q 含分母，利用(,)x y L ∈将分母变为常数，再用格林公式进行计算，注意L 的逆（顺）时针方向. 如：设L 是221x y +=的逆时针边界曲线，则=+--+⎰Lyx dyy x dx y x 22)()(π2-. 再如：对计算题4，求2(2)(2)y Ly y dx xy e dy --+⎰.三、计算题（8分）记曲面zxy z ln 21+=在点),,(0000z y x M 处的切平面为∏，若已知直线z y xL -==32:与∏垂直，求点),,(0000z y x M 及∏的方程. 解： 设=),,(z y x F z z x y 21ln-+，则 )211,1,1(),,(000--=z x F F F M z y x ------2 由L ⊥∏，知 0000111211,22112x z x z --==⇒==- ------------------------------3 代入zxy z ln 21+=可得：2ln 210+=y ----------------------------------------------1故∏：0)2()2ln 21()21(2=----+-z y x ，即 02ln 22=--+z y x .---2注1：曲面(,,)0F x y z =在点0M 处的法向量为0(,,)x y z M F F F .如：在曲面xy z =上求一点，使该点处曲面的法线垂直于平面.093=+++z y x 简要解答: 设所求点为 ),,(0000z y x M , 令(,,)F x y z z xy =- 则点0M 处的法向量为000(,,)(,,1)x y z M F F F y x =-由已知得113100-==x y ，解之得: 1,300-=-=y x ，则 3000==y x z 故所求点为)3,1,3(--.又如：求曲面0162222=++-+-z x z y x 在)1,3,1(处的切平面I 的方程, （1）判断平面∏：0536=---z y x 与切平面I 的位置关系；（2）判断直线11:63x z L y --==与切平面I 的位置关系. 简要解答: （1）令162),,(222++-+-=z x z y x z y x F则,14-=x F x 62,2+=-=z F y F z y ，切平面I 法向量)8,6,3(1-=n切平面I 方程为： 07863=++-z y x ，∏平面法向量为)3,1,6(2--=n由021=∙n n 知 21n n ⊥ ，即 ∏⊥I . （2）直线L 的方向向量为(6,1,3)s =-由10n s ∙=，知1n s ⊥，又直线L 上的点(1,0,1)∉I ，则L I .注意：当1n s ⊥时，若直线L 上的某点M ∈I ，则有L ⊂I . 四、计算题（８分）求幂级数∑∞=+---11212)12(2)1(n n n nn x 的收敛半径和收敛域．解: =+∞→|)()(|lim 1x u x u n n n 24x -----------------------------------------------------------------2当142<x 时，即2||<x 时，该级数绝对收敛-------------------------------------------1 当214x >时，即||2x >时，该级数发散------------------------------------------------1 则收敛半径2=R ---------------------------------------------------------------------------12±=x 时，相应级数为∑∞=--±1121)1(41n n n 收敛--------------------------------------2∴收敛域为]2,2[-． -------------------------------------------------------------------------1注1：熟练掌握求幂级数收敛半径和收敛域的解题方法与过程． 如：求幂级数n n n x n 2114⋅⋅∑∞=-的收敛半径和收敛域．简要解答: 1lim |()()|n n n u x u x +→∞=24x ，当241x <时，即||12x <时，该级数绝对收敛； 当241x >时，即||12x >时，该级数发散，则收敛半径12R = ，12x =±时，相应级数为14n n∞=∑发散，∴收敛域为(12,12)-． 五、证明计算题（本题8分）求证：23(32)(2)y y x e x y dx x e x y dy +-+-+为某二元函数(,)u x y 的全微分， 并求(,)u x y ．解: 23(,)32,(,)2yyP x y x e x y Q x y x e x y =+-=-+ ----------------------------------1231y P Q x e y x∂∂=-=∂∂-----------------------------------------------------------------------2 则(,)u x y 与积分路径无关-------------------------------------------------------------------1 (,)u x y =(,)23(0,0)(32)(2)x y y yx e x y dx x e x y dy C +-+-++⎰----------------------12300(32)(2)x yy x x dx x e x y dy =++-+⎰⎰---------------------------------------2322y x e x xy y C =+-++．-----------------------------------------------------------1 注1：x y LPdx Qdy du Q P Pdx Qdy +=⇔=⇔+⎰与积分路径L 无关，且000(,)(,)(,)(,)x y x yx y x y u Pdx Qdy P x y dx Q x y dy C =+=++⎰⎰⎰，一般取00(,)x y 为原点.如：证明：dy y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(22-++在整个xoy 平面内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数．简要解答: 因x y y x yPx Q cos 2sin 2+-=∂∂=∂∂，则命题得证； (,)2(0,0)2(2sin sin )x y xyu Pdx Qdy C xdx y x x y dy C=++=+-+⎰⎰⎰22sin cos y x x y C =++又如：对证明计算题五，求证:LI Pdx Qdy =+⎰与积分路径L 无关,仅与L 的起点仅与L 的起点(0,0)A 与终点(,)B x x 有关，并求出I ． 简要解答: 因231y Q Px e x y∂∂==-∂∂，则命题得证； (,)23(0,0)(32)(2)x x xxy I Pdx Qdy x x dx x e x y dy =+=++-+⎰⎰⎰32x x e x =+．六、计算题（本题8分）求,122σd y x D⎰⎰-+ {}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤．[解] 如图,原式122222(1)(1)D D x y d x y d σσ=--++-⎰⎰⎰⎰------------------------------212222(1)2(1)DD x y d x y d σσ=+-+--⎰⎰⎰⎰-----------------------------221112220000(1)2(1)dx x y dy d r rdr πθ=+-+-⎰⎰⎰⎰-------------------------2143π=-.----------------------------------------------------------2七、应用题（本题8分）如图ABCD 是一块边长为100m 的正方形地皮，其中ATPN 是一座半径为90m 的扇形小山，P 是弧TN 上一点，其余部分都是平地.某开发商想在平地上建造一个有边落在BC 与CD 上的矩形停车场PQCR ， 设,PR x AM y ==，求该停车场PQCR 的最大面积.解：在Rt APM ∆中，222(100)90x y -+=----------------------------------1 停车场PQCR 的面积(100)S x y =-，,(0,100)x y ∈------------------------1 构造222(100)[(100)90]L x y x y λ=-+-+-， ------------------------------------------1 由(100)2(100)0,20x y L y x L x y λλ=---==-+=----------------------1 解得x y =或100x y +=------------------------------------------------1 当x y =时，易得2950S m =---------------------------------------------------------------------1 当100x y +=，易得2(1405090002)S m =----------------------------------------------1 故停车场PQCR 的最大面积为2(1405090002)m -.-----------------------1 注1：此类优化应用题应化为条件极值问题，一般利用拉格朗日乘数法解决，也可将条件代入目标函数转化为无条件极值问题加以解决.如：2008年5月12日我国四川汶川发生了强烈地震，整个汶川地区的道路网受到了空前的破坏，为重建家园，政府决定建立一个优化的道路系统．现有一个道路子网将连接汶川地区的四个农庄A B C D 、、、，A B C D 、、、恰好座落在边长为km 2的正方形顶点上，该道路子网有一条关于,AD BC 对称的中心道21O O 及四条支道1122O A O B O C O D 、、、，整个设计要求11,O A O B x ==22O C O D y ==，设21O O 长为2z ，问,,x y z 为多少时，道路子网总长度最短？A BO 1O 2D C简要解答:221122x y z -+-+=，且(1,2),(1,2),(0,1)x y z ∈∈∈该题要求在上述条件下求道路总长度2()d x y z =++的条件最小值构造拉格朗日函数222()(1122)L x y z x y z λ=+++-+-+-222220120122011220x y z xL x y L y L L x y z λλλλ⎧=+=⎪-⎪⎪⎪=+=⎨-⎪⎪=+=⎪=-+-+-=⎪⎩解得213,1333x y z ===-，可使道路子网总长度最短． 注意：本题也可将221122x y z -+-+=化为222211z x y =----，代入目标函数222()2(1)11d x y z x y x y =++=++----令0x y d d ==进行求解．八、微分方程复习题1、yx ey +='的通解为----------------------------------------------------------------------（ B ）（A ）C e e yx=-- （B ）C e e y x =+- （C ）C e e y x =+- （D ）C e e y x =+ 注1：一阶可分离变量微分方程()()y f x g y '=的解法为()()dyf x dxg y =⎰⎰.对选择题1，,x y y e e '=y xe dy e dx -=⎰⎰，则选（ B ）.如：求23x y y e -'=的通解.2、12x y C C e =+是下列哪个微分方程的通解------------------------------------------（ A ） （A ）0='-''y y （B ）0='+''y y （C ）0=-''y y （D ）0=+''y y 注1：0y py qy '''++=的特征方程为20r pr q ++=，0,∆<不要求；若0,∆>特征方程有两个不同实根12r r ≠，原方程通解为1212r x r xy C eC e =+； 若0,∆=特征方程有两个相同实根r ，原方程通解为12()rx y C C x e =+.对选择题2，因011,x x x e e e ==为该微分方程的两个特解，则120,1r r ==为其特征方程有两个不同实根，其特征方程为2(1)0r r r r -=-=，故选（A ） 如：0=-''y y 的通解为12x x y C e C e -=+； 通解为12x x y C e C e -=+，则微分方程为0=-''y y . 又如：20y y y '''++=的通解为12()xy C C x e -=+； 通解为12()x y C C x e -=+，则微分方程为20y y y '''++=.3、 微分方程x xe y y y 244-=+'+''的一个特解可设为---------------------------（C ） （A ）2()x ax b e -+ （B ）x e b ax x 2)(-+ （C ）x e b ax x 22)(-+ （D ）xe x 23-注1：xy py qy ceλ'''++=的特解可设为*k xy ax eλ=，当λ为其相应特征方程20r pr q ++=的非特征根，单根，重根时，k 分别取0,1,2.注2：()x y py qy cx d e λ'''++=+的特解可设为*()k xy ax b x e λ=+，当λ为其相应特征方程20r pr q ++=的非特征根，单根，重根时，k 分别取0,1,2.对选择题3，因2λ=-为其相应特征方程2440r r ++=的重根，取2k =，其特解可设为*22()x y ax b x e -=+；1y y '''+=的特解可设为*y ax =.4、解微分方程.0)0(222⎩⎨⎧==+'-y xe xy y x注1：y Py Q '+=的通解可用公式法()Pdx Pdxy e Qe dx C -⎰⎰=+⎰，也可用构造法，利用()'PdxPdxye Qe ⎰⎰=求其通解.解（一）：公式法：22)(,2)(x xe x Q x x P -==⎰=∴2)(x dx x P ， 2)(222)(x dx e xedx e x Q x x dxx P =⋅=⎰⎰⎰-故通解为)(22C x e y x +=-由0)0(=y 得0=C ， 因此 22x e x y -=.解（二）：构造法：222()'2xdx xdx x ye xe e -⎰⎰=，则2()'2x ye x =，于是222x yexdx x C ==+⎰,有22()x y e x C -=+，下与解（一）相同.如：求解微分方程2111y x y x x +'-=++． 简要解答: 公式法， 111121()1dx dx x x x y e e dx C x -+++⎰⎰=++⎰ ln(1)ln(1)21()1x x x e e dx C x +-++=++⎰21(1)()1x dx C x =+++⎰(1)(arctan )x x C =++ 构造法：111121()'1dx dx x x x e y e x --+++⎰⎰=+，则ln(1)ln(1)21()'1x x x e y e x -+-++=+， 化简得21()'11y x x =++， 则21arctan 11y dx x C x x ==+++⎰，有(1)(arctan )y x x C =++． 注意：ln u e u =，如311ln ln ln ln 23ln 22311,,u x x x xx x x e u ee e e e e x x --=====．。

《高等数学 AII 》模拟复习题二一、 单项选择题1、设P （x,y ），Q (x,y )在单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，则xQy P ∂∂=∂∂ 是在G 内任意闭曲线积分⎰=+Ldy y x Q dx y x P 0),(),(的（ C ）A 、充分但不必要条件；B 、必要但不充分条件；C 、充分必要条件；D 、既非充分也非必要条件. 2.设l 取圆周922=+y x 的正向，则曲线积分⎰=-+-ldy x x dx y xy 2)4()22(（ C ）A 、π2-；B 、π9-；C 、π18-；D 、π36- 3.设L 为左半圆周)0(222≤=+x R y x , 将曲线积分22(34)Lx y ds -⎰ 化为定积分的正确结果是( D )A 、0322(3cos 4sin )R t t dt π--⎰；B 、0322(3cos 4sin )R t t dt π-⎰ ；C 、322(3cos 4sin )R t t dt π--⎰；D 、332222(3cos 4sin )R t t dt ππ-⎰.4、设∑是xoy 平面内的一个闭区域xy D ，则曲面积分⎰⎰∑ds z y x f ),,(化为二重积分为（A ）A 、⎰⎰xyD dxdy y x f )0,,(； B 、⎰⎰xyD dxdy z y f ),,0(；C 、⎰⎰xyD dxdy z x f ),0,(； D 、⎰⎰∑dxdy y x f )0,,(.二、填空题1.设平面曲线L 为下半圆周24x y --=，则曲线积分⎰+Lds y x 22ln =2ln 2π.2、设空间曲线22220x y z a L x y z ++=⎧⎨++=⎩，曲线积分222()L x y z ds ++=⎰322222)(a ds a ds z y xLLπ⎰⎰==++3、设(,)f x y 在2214x y +≤具有二阶连续的偏导数，L 是2214x y +=顺时针方向，则[3(,)](,)x y L y f x y dx f x y dy ''++⎰的值等于π6.4.设Ω是由光滑曲面∑所围成的空间闭区域且体积为V ，则∑外侧的积分⎰⎰∑=-+-dxdz x y dxdy y z )()(2V5、设L 为xoy 平面内直线4=y 上一段，则⎰Ldy y x Q ),（= 0 .三、计算题1、计算⎰⎰∑+ds z 41，其中∑为22y x z +=上1≤z 的部分解：dxdy y x y x ds z y x 22122)2()2(1)(414122++++=+⎰⎰⎰⎰≤+∑=⎰⎰+πθ2012)41(rdr r dπ3=2、计算⎰⎰∑++++23222)(z y x zdxdy ydzdx xdydz 其中∑是球面2222a z y x =++的外侧。

高等数学A2期末总复习题及答案一、高等数学选择题
1．函数的定义域为.
A、正确
B、不正确
【答案】B
2．是微分方程．
A、正确
B、不正确
【答案】A
二、二选择题
3．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
4．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
二、二选择题
5．设函数，则导数．
A、正确
B、不正确
【答案】B
6．是偶函数．
A、正确
B、不正确
【答案】B
7． ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
8．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
9．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
10．.
A、正确
B、不正确
【答案】A
11．设，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
二、二选择题
12．函数的图形如图示，则是函数的
( )．
A、最大值点
B、极大值点
C、极小值点也是最小值点
D、极小值点但非最小值点
【答案】C
13．设，则=（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
14． ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
15．是偶函数．
A、正确
B、不正确
【答案】A。

高等数学期末复习题库第八章空间解析几何和向量代数一、选择题1、设向量(2,,1)a t = ，()1,-1,2b = ，若a b ⊥，则t =()(A)4(B)2(C)4-(D)22、已知向量)4,1,1(,-=⊥a b a，)1,,2(-=m b ，则=m ()；(A)1(B)1-(C)2(D)2-3、设向量(1,1,1)a =- ，(4,2,2)b =-，则向量a 与向量b 的关系是()(A)//a b (B)a b ⊥ (C)a b < (D)||||a b < 4、设向量2,24,a i mj k b i j nk =++=++ 若//a b，则()(A)2,1m n ==(B)2,4m n ==(C)1,1m n ==(D)1,2m n ==5、向量()1,,2a m = ，()2,4,b n = ，若//,a b，则()(A)2,1m n ==(B)2,4m n ==(C)1,1m n ==(D)1,2m n ==6、向量()2,1,a k =-，()3,2,1b =-- ，相互垂直，则k =()(A)4(B)1-(C)3(D)27、下面方程为圆柱面的方程是()(A)z =(B)222z x y=+(C)224x y +=(D)2221324x y z +-=8、下列方程的图形为旋转抛物面的是（）(A)z =(B)221x y +=(C)z =(D)22z x y =+9、将yoz 坐标面上的抛物线2z y =绕z 轴旋转一周而成的旋转抛物面的方程是()(A)z =(B)22z x y =+(C)z =(D)22=1x y +10、下列方程的图形为旋转抛物面的是()(A)22z x y =+(B)z =(C)z =(D)22=9x y +11、下面说法正确的是()(A)22z x y =+是旋转抛物面，z =是圆锥面(B)2224x y z ++=是旋转面，222z x y =+是球面(C)224x y +=是圆柱面，22z x y =+是旋转抛物面(D)22x y z -=旋转抛物面，222z x y =+是圆柱面12、过点()3,1,1-且与平面24120x y z ---=平行的平面方程是()(A)241311x y z -++==-(B)311241x y z --+==--(C)243=0x y z ---(D)247=0x y z ---13、直线11111x y z -+==-与平面2+2x y z -=的位置关系是()(A)平行(B)垂直(C)夹角为4π(D)夹角为4π-14、过点()12,4-，且与平面2340x y z -+-=垂直的直线方程是()(A)2312=0x y z ++-(B)244=0x y z -+-(C)124231x y z -+-==-(D)231124x y z -+-==-二、填空题1、过点(2,1,3)-且与平面2340x y z -+=垂直的直线方程为.2、过点(1,2,3)-且与直线3123x yz -==--垂直的平面方程为.三、解答题1、设(1,2,1),(2,1,3)a b =-= ，求(2)a a b ⋅+及a b ⨯ .2、设(2,1,3),(1,1,2)a b =-=- ，求a b ⋅ 及a b ⨯.3、设(0,1,4),(2,1,1)a b =-=-，求3a b ⋅ 及||a b ⨯ .4、设平面通过点(1,2,1)-且与两向量(1,0,1),(1,1,0)a b =-=都平行，求该平面的方程.5、一平面过点()2,-4,1且垂直与平面231x y z ++=与651,x y z -+=求该平面方程.6、求过点()0,2,4且与两平面21x z +=和32x y -=平行的直线方程.7、求垂直于两平面30x y z --+=与210x y z +--=且通过点()1,-2,-1的平面方程.8、一平面过原点且垂直于平面231x y z ++=与651,x y z -+=求该平面方程.9、求过点(1,2,1)且垂直于平面21x y z --=与20x y z --=的平面方程.第九章多元微分学一、选择题1、设函数2(,)2f x y x =+，则(1,1)'=y f ().(A)3(B)2(C)1(D)122、设函数(),z f x y =在点()00,x y 处可偏导，则()(A)(),f x y 在点()00,x y 处可微(B)()()0000,=,0x y f x y f x y ''=时，(),f x y 在点()00,x y 处必有极值(C)(),f x y 在点()00,x y 处有极值时，必有()()0000,=,0x y f x y f x y ''=(D)(),f x y 在点()00,x y 处连续3、设(,)f x y 偏导数存在，则00000(2,)(,)lim x f x x y f x y x∆→-∆-=∆()(A)002(,)f x y '-(B)002(,)f x y '(C)001(,)2f x y '-(D)001(,)2f x y '4、设函数(),z f x y =在点()00,x y 处存在连续偏导数，则()(A)()()0000,=,0x y f x y f x y ''=(B)(),f x y 在点()00,x y 处必有极值(C)(),f x y 在点()00,x y 处可微(D)(),f x y 在点()00,x y 处不连续5、设()z f ax by =+，且f 可微，则()(A)z z x y ∂∂=∂∂(B)z z x y ∂∂=-∂∂(C)z za b x y ∂∂=∂∂(D)z z ba x y∂∂=∂∂6、考虑二元函数(),f x y 的下面四条性质：(1)(),f x y 在()00,x y 处连续(2)(),x f x y '、(),y f x y '在()00,x y 处连续(3)(),f x y 在()00,x y 处可微(4)()00,x f x y '、()00,y f x y '存在若用""P Q ⇒表示可由性质P 推出性质Q ，则下列四个选项中正确的是().(A)()()()231⇒⇒(B)()()()321⇒⇒(C)()()()341⇒⇒(D)()()()314⇒⇒7、设函数(),z f x y =且()()0000,=,0,x y f x y f x y ''=则函数(),f x y 在点()00,x y 处()(A)必有极值，可能是极大值，也可能是极小值(B)必有极大值(C)可能是极值，也可能无极值(D)必有极小值8、设函数(),z f x y =在点()00,x y 处可微，则下面结论错误的是()(A)()()()00,,,limx y x y f x y →在()00,x y 存在(B)(),x f x y '、(),y f x y '在()00,x y 处连续(C)函数(),f x y 在()00,x y 处连续(D)()00,x f x y '及()00,y f x y '存在9、设函数2xz y =在点()11，处的全微分是()(A)2dz dx dy =-(B)2dz dx dy =+(C)2dz dx dy=+(D)2dz dx dy=-10、若(),,zf x y z xy x=+-则()1,0,1x f 等于()(A)0(B)1(C)1-(D)2-11、曲线221z x y y ⎧=+⎨=⎩在点()0,1,1处的切线对于x 轴的倾角是()(A)0(B)4π(C)3π(D)2π12、二元函数(),f x y 在()00,x y 处两个偏导数()00,x f x y '、()00,y f x y '存在是(),f x y 在()00,x y 处连续的()(A )充分而非必要条件(B )必要而非充分条件(C )充分必要条件(D )既非充分也非必要条件13、设函数yz x =，则(,1)|e zy∂=∂()(A)e(B)1e(C)1(D)014、若函数(),z f x y =在()00,x y 处可微，且()00,0x f x y '=，()00,0y f x y '=，则(),f x y 在()00,x y 处()(A)必有极值，可能是极大值，也可能是极小值(B)可能有极值，也可能无极值(C)必有极大值(D)必有极小值15、设33z x x y =--，则它在点(1,0)处()(A)取到极小值(B)取不到极值(C)取到极大值(D)无法判断是否有极值二、填空题1、函数21z x y=+的定义域为.2、函数)2ln 21z y x =-+的定义域为.3、函数()1ln z x y =+的定义域为.4、()()(),2,0sin 3lim2x y xy y→=.5、()(),0,1lim x y →=.6、()()(),2,0sin lim x y xy y→=.7、()(),0,3tan lim x y xyx →=.8、()()(),2,0ln 1lim x y xy x→+=.9、设函数(),z f x y =，在点()00,x y 具有偏导数，且在点()00,x y 处有极值，则()00,y f x y '=.10、曲线221z x y x ⎧=+⎨=⎩，在点()1,0,1处的切线对于y 轴的倾角为.三、解答题1、设函数2ln 5xyz xy e =+-，求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂.2、设22(,,)xy z f x y e x y =+-，其中f 具有一阶连续偏导数，求,z z x y∂∂∂∂.3、设(),z z x y =由方程30z y xyz e -+=所确定，求z x ∂∂，,z dz y∂∂4、设函数2sin()yz xy x xe =-+，求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂.5、设223(,)xy z f x y e =-，其中f 具有一阶连续偏导数，求,z z x y∂∂∂∂.6、设(),z z x y =由方程2230z x yz e y --=所确定，求z x ∂∂，,z dz y ∂∂7、设(),z z x y =由方程点220z y x z e ++=所确定，求z x ∂∂，zy∂∂及.dz 8、设()22,xyz f x y e=-，其中f 具有一阶偏导数，求z x ∂∂，.z y∂∂9、设44224z x y x y =++，求z x ∂∂，z y∂∂及y x z∂∂∂2.10、设()22,z f x y xy =-，其中f 具有一阶偏导数，求z x ∂∂，.zy∂∂11、设(),z z x y =由方程点0z e xyz -=所确定，求z x ∂∂，z y∂∂.12、设()2222,u f xy z x y z =++，其中f 具有一阶偏导数，求u u x y∂∂∂∂，.13、设44224z x y x y =+-，求dz ，yx z∂∂∂2.14、设()2cos z x y xy =-，求z x ∂∂，z y ∂∂及yx z∂∂∂2.15、设(),z z x y =由方程点33340x y z xyz +++=所确定，求z x ∂∂，zy∂∂及.dz 16、求二元函数2126332--++-=y x y x z 的极值.17、求二元函数8632+-+=xy y x z 的极值.18、求函数33124z x y xy =+-+的极值.19、求函数22685z x x y y =--++的极值.20、求函数333z x y xy =+-的极值点与极值.21、求二元函数46332--+=xy y x z 的极值.四、应用题与证明题1、设()22,z f x y =+其中f 是可微函数，求证：0.z z y x x y∂∂-=∂∂2、设11,x y z e⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=求证：222.z zx y z x y∂∂+=∂∂3、设yxz xe =，求证：.z z xy z x y∂∂+=∂∂4、设z =，求证：22220.z zx y∂∂+=∂∂5、设(),z z x y =由(),0F x z y z ++=所决定，其中(),F u v 具有一阶偏导数，求证：1.z z x y∂∂+=-∂∂6、设(),yz xyf u u x==，且()f u 可导，求证：2.z z xy z x y∂∂+=∂∂第十章二重积分一、选择题1、设1{(,)0,01}2D x y x y =≤≤≤≤，则=⎰⎰+Dy x y x e d d 2().(A)1(1)2e -(B)1e -(C)2(1)e -(D)21(1)2e -2、交换二次积分的顺序⎰⎰-xy y x f x 1010d ),(d =()；(A)⎰⎰110d ),(d yxy x f y (B)⎰⎰yxy x f y 11d ),(d (C)⎰⎰-yxy x f y 1010d ),(d (D)⎰⎰-1110d ),(d yxy x f y 3、设(,)f x y 是连续函数,210(,)=⎰⎰xx dx f x y dy ()(A)110(,)⎰⎰ydy f x y dx(B)10(,)⎰y dy f x y dx(C)1(,)⎰y dy f x y dx(D)11(,)⎰⎰dy f x y dx4、二次积分()1201,xdx f x y dy -⎰⎰更换积分次序后为()(A)()2110,dy f x y dx ⎰⎰(B)()2210,y dy f x y dx -⎰⎰(C)()1201,ydy f x y dx-⎰⎰(D)()2212,ydy f x y dx-⎰⎰5、二次积分()1,xdx f x y dy ⎰⎰更换积分次序后为()(A)()100,xdy f x y dx⎰⎰(B)()11,ydy f x y dx⎰⎰(C)()1,y dy f x y dx⎰⎰(D)()1,xdy f x y dx⎰⎰二、填空题1、设D 是由422≤+y x 所确定的闭区域，则=⎰⎰Dy x d 5d .2、设平面区域是由1,==y x y 与y 轴所围成，则=⎰⎰Dy x d 4d .3、设平面区域D 是由224x y +=y 轴所围成，则3Ddxdy =⎰⎰.4、设平面区域D 是由,4y x y ==与y 轴所围成，则2Ddxdy =⎰⎰.5、设平面区域D 是由直线220x y -+=与x 轴及y 轴所围成，则2Ddxdy =⎰⎰.6、设平面区域D 是由直线240x y -+=与x 轴及y 轴所围成，则4Ddxdy =⎰⎰.三、解答题1、计算22(2)DI x y d σ=+-⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围的闭区域.2、计算DI σ=⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围的闭区域.3、计算二重积分22,x y Ded σ--⎰⎰其中D 是由22+y 1x =及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.4、计算二重积分22,xy De d σ+⎰⎰其中D 是由22+y 1x y x ==，和0x =在第一象限围成的闭区域.5、计算二重积分,Dxydxdy ⎰⎰其中D 是由坐标轴，直线=1x y +所围成的闭区域.6、计算二重积分,Dxydxdy ⎰⎰其中D 是由直线=2y x +、=y x 、=4x 和y 轴所围成的闭区域.四、应用题与证明题1、已知一元函数f 连续，证明()()()21100.y xdy f x dx e e f x dx =-⎰⎰2、证明：()()()ln 12211.2exydx xf y dy e e f y dy =-⎰⎰⎰3、计算以xoy 面上的圆221x y +=围成的闭区域为底，221z x y =++为顶的曲顶柱体的体积.第十二章无穷级数一、选择题1、设正项级数1n n u ∞=∑，当1lim n n n uu +→∞=()时，级数1n n u ∞=∑收敛.(A)1(B)12(C)2(D)32、若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数不收敛的是()(A)1(10)∞=+∑nn u (B)110∞=+∑nn u (C)10∞=∑nn u(D)110∞=∑nn u3、若级数1n n u ∞=∑收敛（0n u ≠），则必有()(A)211()n n u n ∞=+∑收敛(B)1(1)nnn u∞=-∑收敛(C)1||n n u ∞=∑收敛(D)211()n n u n∞=+∑发散4、幂级数211(1)n n n x ∞-=-∑在（－1，1）内的和函数()s x =()(A)21x x -+(B)21x x --(C)221x x -+(D)221x x --5、幂级数11(1)n nn x ∞-=-∑在（－1，1）内的和函数()s x =()(A)1x x-(B)1x x -+(C)1x x+(D)1x x--6、幂级数12(1)1(1)n n n x∞--=-=∑()(A)211x -，11x -<<(B)211x +，11x -<<(C)211x-，x -∞<<∞(D)211x+，x -∞<<∞7、幂级数11(1)nn n x ∞-=-=∑()(A)11x -，11x -<<(B)11x +，11x -<<(C)11x -，11x -<<(D)11x -+，11x -<<8、幂级数0(1)nn n x ∞=-=∑()(A)11x -，11x -<<(B)11x +，11x -<<(C)11x -，11x -<<(D)11x -+，11x -<<二、填空题1、判断正项级数1(2n ∞=+∑的敛散性（收敛还是发散）.2、判断正项级数1n ∞=的敛散性（收敛还是发散）.3、幂级数113n n n x n ∞=⋅∑的收敛半径为.4、幂级数11n n nx ∞-=∑的收敛区间为，和函数为.5、函数3x e 展开为麦克劳林级数是.6、函数12x-展开为麦克劳林级数是.三、解答题1、判定级数1(1)nn ∞=-∑是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？2、判定级数12/311(1)n n n ∞-=-∑是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？3、判定级数1(1)n n ∞=-∑是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？4、求幂级数11n n nx ∞-=∑的收敛半径、收敛区间及和函数.5、求幂级数1111n n x n ∞-=+∑的收敛半径、收敛区间.6、求幂级数112n nn x n ∞=⋅∑的收敛半径、收敛区间.。

07级高等数学(A2)期末练习题1.设33223z x y x y =+-,则dz = .2.设y x z e =,则dz = .3.设y z x =,则dz = .4.设22()z f x y =+,且f 可导,则dz = .5.设33z yx xy =+,则22z x∂=∂ .6.设22sin()z x y =+,则2z x y∂=∂∂ .7. 设22ln()z x y =+,则22z y∂=∂ .8.曲面3z e z xy -+=在点(2,1,0)处切平面方程为 ,法线方程为 . 9.曲面222436x y z ++=(0)y ≥上平行于平面0x y z -+=的切平面方程为 . 10.交换积分秩序,则2100(,)y dy f x y dx =⎰⎰.11.交换积分秩序,则ln 1(,)e xdx f x y dy =⎰⎰.12.交换积分秩序,则10(,)dy f x y dx =⎰ .13.设{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤,则323(3)Dx x y y dxdy ++=⎰⎰ . x yDedxdy +=⎰⎰ .14.设区域D 由两坐标轴及直线2x y +=围成,则(32)Dx y dxdy +=⎰⎰ .15.设(,)|0,022D x y x y ππ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭,则sin cos Dx yd σ=⎰⎰ . 16.设L 为圆周222(0)x y a a +=>,则Lds =⎰ ,22()nLx y ds +=⎰ .17.设L为半圆周1y =+则(Ly ds -=⎰ .18.设曲面∑为球面2222(0)x y z R R ++=>,则dS ∑=⎰⎰ ,222()nx y z dS ∑++=⎰⎰ .19.设曲面∑为z a =+则(z dS ∑-=⎰⎰ .20.设1∑和2∑分别为1x y z ++=和123y z x ++=在第一卦限的部分,则1()x y z dS ∑++=⎰⎰ ,2(632)x y z dS∑++=⎰⎰ .21.设曲面∑为圆柱面222x y a +=,0z h ≤≤,∑=⎰⎰.22.设曲面∑为2221,z x y a =+≤,则2z dS ∑=⎰⎰ .23.微分方程'20y xy -=的通解为 .24.微分方程()()0x y x x y y e e dx e e dy ++-++=的通解为 .25.当λ= 时,曲线积分(2)()Lx y dx x y dy λ+++⎰与路径无关.26.当λ= 时,曲线积分2322()(63)Lxy y dx x y xy dy λ-+-⎰与路径无关.27.微分方程''5'60y y y -+=的通解为 .28.微分方程22440d y dy y dxdx-+=的通解为 .29.微分方程''90y y +=的通解为 .30.设20x y z ++-=,求z x∂∂,z y∂∂.31.设lnx z zy=,求z x∂∂,z y∂∂.32.设(,)u v Φ具有连续偏导数,(,)z z x y =由方程(,)0cx az cy bz Φ--=所确定,求z x∂∂,z y∂∂.33.设(,)z z x y =由方程(,)0z z F x y yx++=确定,其中F 具有一阶连续偏导,求z x∂∂,z y∂∂.34.求u xyz =在附加条件1x y z ++=下的极大值. 35.求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体.36.将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体.问矩形的边长各为多少时,才可使圆柱体积最大? 37.计算22x yDed σ+⎰⎰,其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域.38.计算D⎰⎰,其中D 是由圆周222x y x +=所围成的闭区域.39.计算22ln(1)Dx y dxdy ++⎰⎰,其中D 是由221x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.40.计算arctanDy dxdy x⎰⎰,其中D 是由224x y +=,221x y +=及直线0y =,y x =所围成的在第一象限内的闭区域.41.求曲面2222z a x y =--(0)a >与22z x y =+所围成立体的体积. 42.求曲面222z x y =--与z =.43.求曲面2222x y z az ++=(0)a >与222z x y =+所围成立体(含有z 轴的部分)的体积. 44.求曲面z =223x y z +=所围成立体的体积.45.求曲面222z x y =+与2262z x y =--所围成立体的体积. 46.已知L 为逆时针方向的上半圆周222x y x +=,计算221LI xy dy x ydx =-⎰及2I =224()Lxy dy x y x dx -+⎰.47.计算22()(sin )Lx y dx x y dy --+⎰,其中L是圆周y =(0,0)到点(1,1)的一段弧.48.计算3222(2c o s )(12s i n 3)Lx y y x d x y x x y d y -+-+⎰,其中L 为抛物线22x y π=上由点(0,0)到(,1)2π的一段弧.49.计算(sin 2)(cos 2)xxLe y y dx e y dy -+-⎰,其中L 为上半圆周222()x a y a -+=,0y ≥沿逆时针方向.50.利用高斯公式计算3331()I x dydz y dzdx x z dxdy ∑=+++⎰⎰,2222(1)I xz dydz x ydzdx y z dxdy ∑=+++⎰⎰其中∑是曲面0)z a =>的上侧.51.计算(2)x z dydz ydzdx zdxdy ∑-++⎰⎰,其中∑为锥面222z x y =+(02)z ≤≤取上侧.52.计算2(2)8(41)x x dydz yzdzdx x zdxdy ∑-++-⎰⎰,其中∑为抛物面22z x y =+ (01)z ≤≤取下侧.53.计算下列二阶常系数非齐次方程.(1)2'''2xy y y e +-= (2)4''95xy y e += (3)'''21y y x -=- (4)2''4'4y y y x -+= (5)''2'xy y y e -+= (6)''cos xy y e x +=+ 54.已知(0)1f =,且()f x 具有一阶连续导数,试确定()f x ,使2[(2)()][()]0y x xy f x dx x y f x dy +-++=为全微分方程,并求此全微分方程的通解.55.已知(1)1f =,且()f x 连续可导,试确定()f x ,使2()[2()]0yf x dx xf x x dy +-=为全微分方程,并求此全微分方程的通解.56.已知(0)1ϕ=-,且()x ϕ具有一阶连续导数,试确定()x ϕ,使[cos ][()sin ]0()x xy e y dx x e y dy x x ϕϕ++-=+为全微分方程,并求此全微分方程的通解.。

第七章 微分方程一、教学要求：掌握可分离变量的方程、可降阶微分方程的解法，一阶线性微分方程的解法；二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

理解齐次方程的概念；线性微分方程解的性质及解的结构定理。

二、练习题：1、方程的通解中应包含的任意常数的个数为（ ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 02、微分方程是( )微分方程．A ．一阶线性齐次B ．一阶线性非齐次C ．可分离变量D ．二阶线性齐次3、已知，，是方程的三个解，则通解为 ( ) ABC D4、已知是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ ）A ．B ．C ．D ．5、微分方程不是 ( )A. 线性方程B. 非齐次线性方程C. 可分离变量方程D. 齐次方程6、下面哪个不是微分方程的解（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 7、微分方程的通解是 8、微分方程的通解是222(1)1xxd ye e dx+⋅+=2(1)0y dx x dy --=x y cos =xe y =x y sin =()()()xf y x Q dx dyx P dxy d =++22xc e c x c y x sin cos 321++=()()x x e x c e x c y -+-=sin cos 21()x c x c e c c y x sin cos 12121--++=()x c x c e c c y xsin cos 12121++++=2,sin ,1x y x y y ===221sin 1x C x C y ++=2321sin x C x C C y ++=21221sin C C x C x C y --+=212211sin C C x C x C y --++=0ydx xdy -=''5'60y y y +-=65x x e e -+x e 6x e -6x x e e -+01=+''y 044=+'+''y y y9、微分方程的通解为 10、微分方程满足初始条件的解为 11、微分方程的通解是12、微分方程的通解是 13、微分方程的通解为 14、方程x x y sin +=''的通解是=y 15、微分方程04=+''y y 的通解为16、求微分方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解 17、求微分方程x e y dx dy-=+的通解 18、求方程1sin '+=xy y x x的通解．第八章 向量代数与空间解析几何一、教学要求：掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积）；单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式及其运算；平面方程和直线方程及其求法；两个向量垂直与平行的条件。

高等数学A （2）复习题一、空间解析几何1. 设→→→→+-=k j i a 2，→→→→-+=k j i b 3， 求：(1) 与→a ，→b 均垂直的单位向量；(2) )()23(b a b a ρρρ⨯•-→；(3) 向量→a 的方向余弦。

2. 已知三角形的顶点为A )2,1,3(-、B )2,2,4(、C )3,0,1(，求此三角形的面积。

3. 已知 →→→→+-=k j i a 3，→→→→+-=k j i b 2，计算以→a ，→b 为邻边的平行四边形的面积。

4. 平行四边形ABCD 的两边为b a AB ϖρ2+=→--，3AD a b =-u u ur r r ，其中2,3==b a ρρ，并且a b ⊥r r ，求：(1)b a ρρ+；(2) 平行四边形ABCD 面积。

5. 求由yOz 平面上曲线 223y z -= 绕Oz 轴旋转一周所得的曲面方程。

6. 求过点)2,3,1(-且平行于平面132=-+z y x 的平面方程。

7. 求点)2,2,1(0-P 与平面11435=-+z y x 的距离。

8. 求直线 41112:1--==+z y x L 与 22221:2-=-+=z y x L 的夹角。

9. 求过点)5,3,2(-且与平面 13=+y x 垂直的直线方程。

10. 求过点），，（4120-P 且与直线 ⎩⎨⎧=---=-+-022012z y x z y x l ： 平行的直线方程。

11. 求平面1x z -=与xOy 平面的夹角。

12. 求过点)3,2,1(且与直线223032+12=0x y z x y z ++-=⎧⎨-+⎩垂直的平面方程。

二、多元函数微分学1．求极限 （1）x xyy x sin lim)2,0(),(→；（2）xyxy y x 11lim)0,0(),(-+→；（3）2222)0,0(),(cos 1)(limyx y x y x +-+→；（4）y x y x xye xy +→+)1ln(lim )0,1(),(；（5）2222)0,0(),(1sin)(limy x y x y x ++→。

学院 专业 班级 学 姓名封线内不要答题 密封线内不要答题江 苏 科 技 大 学 07 － 08 学年（2）学期高等数学A2课程试题(A )卷一． 填空题(每小题4分，共20分)1．设),,(22xy e y x f z -=其中f 具有一阶连续偏导数,则____________________=∂∂xz2._____________________222=++⎰ds z y x L,其中3,sin ,cos :===z t y t x L)0(π≤≤t3.微分方程065=-'+''y y y 的通解_____________________=4.幂级数nn n xn n 11)1(21+--∑∞=-的收敛域为___________________________5.⎰=++-Lxxdy x e dx y ye_______________________________)()(33,其中L 是顺时针方向的圆周122=+y x二、单项选择题(每小题4分，共20分)1.曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(P 处的法线方程是( ))(A 001122-=-=-z y x )(B 101122--=-=-z y x )(C02112-=-=-z y x )(D102112--=-=-z y x2.),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 处存在是),(y x f 在该点的方向导数存在的( ))(A 充分条件)(B 必要条件 )(C 充要条件 )(D 无关条件3.设{}0,1),(22≥≤+=x y x y x D ,),(y x f 为D 上的连续函数,则dxdyy x f D)(22⎰⎰+为( ))(A rdr r f )(12⎰π⎰1)()(r d r r f B π ⎰1)(2)(r d r r f C π⎰12)(2)(r d r r f D π4.级数)cos1()1(1na n n --∑∞=(常数0>a )( ))(A 发散 )(B 条件收敛 )(C 绝对收敛 )(D 收敛性与a 的取值有关5.方程x e y y y x 2sin 52=+'-''的一个特解应具有的形式( )x Ae A x 2cos )()2s i n 2c o s ()(x B x A xe B x +)2sin 2cos ()(x B x A e C x+)2s i n 2c o s ()(2x B x A e x D x +三.解下列各题(3⨯6分=18分)1.计算dxdy x y x D)(22-+⎰⎰ 其中D 是由直线x y y ==,2及x y 2=所围成的闭区域2.判别级数nn n 5sin31π∑∞=的敛散性3．求微分方程sin =-+xx x y dxdy 满足初始条件1==πx y的特解四 .解下列各题(3⨯7分=21分) 1．设)11(11x y f x z -+=求证:222z yz yxz x =∂∂+∂∂2．计算dSy x z )342(⎰⎰∑++,其中∑为平面1432=++z y x 在第一卦限中的部分3．将积分dzz dy dx y x yx x⎰⎰⎰--+-2222222110化为球面坐标系下的积分并求其值五（本题共8分）计算⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ,其中∑为半球面222yx R z --=的上侧六.(本题共7分) 将651)(2++=x x x f 展开成1+x 的幂级数七．(本题6分)设)(x f 与)(x g 在()+∞∞-,内可导,0)(≠x g ,且有)()(x g x f =', )()(x f x g =',)()(22x g x f ≠,试证明方程0)()(=x g x f 有且仅有一个实根07-08高等数学A2课程试题（A ）卷参考答案及评分标准一．填空题（每小题4分，共20分） 1．122xy xf yf e ''+ 2．2π3．612x x y c e c e -=+ 4．(1,1)- 5．32π-二．单项选择题（每小题4分，共20分） 1（C ） 2（D ） 3（A ） 4（C ） 5（B ）三.解下列各题（每小题6分，共18分） 1. 22()Dx y x dxdy +-⎰⎰解:222102()yydy x y x dx =+-⎰⎰3分=1366分2．解：1113sin5limlim3sin5n n n n n nnnu u ππ+++→∞→∞=2分=315< 5分因此原级数收敛 6分 3．解：1sin (),()x P x Q X xx==1分()()()P xdx Px dx y e Q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 2分=11sin dx x x dx e dx c x x e⎰⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰3分=1(cos )x c x-+ 4分 当,1x y ππ==时,c=-1 5分1(cos 1)y x xπ∴=-+-特解为6分三．解下列各题（每小题7分，共21分） 1.证明：令1111(,,)()F x y z f zx yx=--1分则221111()x F f xy x x ''=--2分22111111()()()y F f f yxyyx y'''=---=-3分21z F z'=-4分22111()x z F zz f x F x y x '⎡⎤∂'∴=-=--⎢⎥'∂⎣⎦ 5分2211()z z f yyyx∂'=-∂ 6分因此222z z x yz x y∂∂+=∂∂ 7分2..解:4423z x y =--42,3z z xy∂∂=-=-∂∂2分原式=44(42)233Dx y x y ⎡--++⎢⎣⎰⎰ 5分 (其中D 是0,0,123x y x y ==+=直线围攻成的区域)=43Ddxdy ⎰⎰= 7分3.解:001z y x ≤≤⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎪⎩在球面坐标系下变为在球面坐标系下变为: 00402r πϕπθ⎧⎪≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩ 4分原式=42240cos sin d d drππθϕϕϕ⎰⎰157分五.(本题8分)解:,,P x Q y R z ===1,1,1P Q R xyZ∂∂∂===∂∂∂ 1分x d y d zy d z d xz d x d yx d y d zy d z'∑∑+++++⎰⎰⎰⎰ =3dxdydz Ω⎰⎰⎰(其中'∑为平面0z =的下侧,Ω为'∑∑与围成的封闭区域) 4分=314323R π⨯⨯=32R π 5分又xdydz ydzdx zdxdy '∑++⎰⎰=0 7分则xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰=32R π 8分六. (本题7分)21()56f x x x =++111(2)(323x x x x ==-++++=1111(1)2(1)2x x -++++2分而1(1)(1)201(1nnn x x x ∞==-+-<<++∑4分11(1)(1)311222(1)2nnnn x x x ∞=+=--<<++∑6分因此2111()(1)(1)(1)562nnn n f x x x x ∞+===--+++∑20x -<< 7分七.证明:()()()()f x g x g x f x ''==()()f x f x ''∴= 1212()()x xx x f x c e c e g xc ec e--=+=-2分04)()(2122≠=-c c x g x f 则21c c 与都不为零 又210)(c c x g 与∴≠是异号的常数不妨设0021<>c c 和 则-∞=+∞=+∞→+∞→)(lim )(lim x f x f x x()+∞∞-∴,)(在x f 内至少有一个实根 4分又)()(x g x f ='>0 )(x f ∴单调增加 0)(=∴x f 有且仅有一个实根 0)(≠x g 0)()(=∴x g x f 有且仅有一个实根0021><c c 和的情况同理可证. 6分。