2020高中数学 第二章 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.3 直线与平面平行的性质检测 新人教A版必修2
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2.2.3 直线与平面平行的性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知直线l∥平面α， P∈α，那么过点P且平行于l的直线( )
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，在平面α内
C．有两条，不一定都在平面α内
D．有无数条，不一定都在平面α内
解析：如图所示，
因为l∥平面α，P∈α，
所以直线l与点P确定一个平面β，
α∩β＝m，
所以P∈m，所以l∥m且m是唯一的．
答案：B
2．过平面α外的直线l作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
解析：若l∥α，则l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…；若l∩α＝P，则a，b，c，…交于点P.
答案：D
3．若两个平面与第三个平面相交有两条交线且两条交线互相平行，则这两个平面( )
A．有公共点 B．没有公共点
C．平行 D．平行或相交
答案：D
4.如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是( )
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A．平行 B．相交
C．异面 D．平行和异面
解析：因为E，F分别是AA1，BB1的中点，
所以EF∥AB.
又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，
所以AB∥平面EFGH.
又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，
所以AB∥GH.
答案：A
5.如图所示，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )
A．MN∥PD
B．MN∥PA
C．MN∥AD
D．以上均有可能
解析：因为MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，
平面PAD∩平面PAC＝PA，
所以MN∥PA.
答案：B
二、填空题
6．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG.则EH与BD的位置关系是______．
解析：因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD.因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.
答案：平行
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7.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析：由于在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝22.
又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，
所以F为DC的中点，
所以EF＝12AC＝2.
答案：2
8．如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的关系是________．
解析：因为AC∥面A1B1C1D1，根据线面平行的性质知l∥AC.
答案：平行
三、解答题
9．如图，AB，CD为异面直线，且AB∥α，CD∥α，AC，BD分别交α于M，N两点，求证AM∶MC＝BN∶ND.
证明：连接AD交α于点P，连接MP，NP，
因为CD∥α，面ACD∩α＝MP，
所以CD∥MP，所以AMMC＝APPD.
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同理可得NP∥AB，APPD＝BNND，
所以AMMC＝BNND.
10．如图，直三棱柱ABCA′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′.
图①
证明：法一 连接AB′，AC′，如图①所示由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABCA′B′C′为直三棱柱，
所以M为AB′的中点．
又N为B′C′的中点，
所以MN∥AC′.
又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，
所以MN∥平面A′ACC′.
法二 取A′B′的中点P，连接MP，NP，AB′，如图②所示，因为M，N分别为AB′与B′C′的中点，
图②
所以MP∥AA′，PN∥A′C′，
所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.
又MP∩NP＝P，
所以平面MPN∥平面A′ACC′.
而MN⊂平面MPN，
所以MN∥平面A′ACC′.
B级 能力提升
1．下列命题中，正确的命题是( )
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A．若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α
B．若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行
C．若a⊂α，则a与α有无数个公共点
D．若a⊄α，则a与α没有公共点
解析：对于A，直线a与平面α有可能相交，所以A错；对于B，平面α内的直线和直线a可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时有一个公共点，所以D错．
答案：C
2．对于平面M与平面N，有下列条件：①M、N都垂直于平面Q；②M、N都平行于平面Q；③M内不共线的三点到N的距离相等；④l，m为两条平行直线，且l∥M，m∥N；⑤l，m是异面直线，且l∥M，m∥M；l∥N，m∥N，则可判定平面M与平面N平行的条件是________(填正确结论的序号)．
解析：由面面平行的判定定理及性质定理知，只有②⑤能判定M∥N.
答案：②⑤
3.如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.
(1)求证：l∥BC.
(2)问：MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
证明：(1)因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，
所以l∥BC.
(2)平行．
如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE.
因为N是PC的中点，所以EN綊12CD.
因为M为▱ABCD边AB的中点，
所以AM綊12CD.
所以EN綊AM，所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE.
又MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD， 精品
所以MN∥平面PAD.
