正弦定理和余弦定理的应用

余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是初中数学中非常重要的定理，它们在解决三角形相关问题时起到了至关重要的作用。

在本文中，我将为大家详细介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的实用性和重要性。

一、余弦定理的应用余弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。

它的数学表达式为：c² = a²+ b² - 2abcosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为夹角。

1. 求解三角形的边长假设我们已知一个三角形的两边和它们之间的夹角，想要求解第三边的长度。

这时，我们可以利用余弦定理来解决这个问题。

例如，已知一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，夹角为60°，我们可以利用余弦定理来计算第三边的长度。

根据余弦定理，我们可以得到c² = 5² + 8² - 2×5×8×cos60°，即c² = 25 + 64 -80cos60°。

进一步计算可得c² = 89 - 80cos60°，再开方可得c ≈ 2.92cm。

因此，这个三角形的第三边长约为2.92cm。

2. 求解三角形的角度除了求解边长外，余弦定理还可以用来求解三角形的角度。

例如，已知一个三角形的三边长分别为3cm、4cm和5cm，我们可以利用余弦定理来计算它的夹角。

根据余弦定理，我们可以得到cosC = (3² + 4² - 5²) / (2×3×4)，即cosC = (9 + 16 - 25) / 24。

计算可得cosC = 0，因此C的值为90°。

通过以上两个例子，我们可以看到余弦定理在求解三角形边长和角度时的实用性和重要性。

它为我们解决各种三角形相关问题提供了有力的工具。

二、正弦定理的应用正弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。

正弦定理和余弦定理在三角学及相关领域中具有广泛的应用，通过这两个定理，我们可以解决许多与三角形相关的问题。

以下是关于正弦定理和余弦定理的应用的详细探讨。

一、正弦定理的应用正弦定理是三角学中的一个基本定理，它表达了三角形中任意一边与其对应的角的正弦值之间的关系。

正弦定理在实际应用中具有广泛的用途，以下是几个具体的应用示例：1. 航海与测量：在航海和大地测量中，正弦定理被用来计算地球上两点之间的距离。

由于地球表面可以近似为一个球体，因此可以通过测量两点的纬度和经度，利用正弦定理计算出两点之间的实际距离。

2. 电气工程：在电气工程中，正弦定理被用来分析交流电路中的电压、电流和电阻之间的关系。

通过正弦定理，我们可以推导出各种电气元件（如电阻、电容和电感）的等效电路模型，从而简化电路分析。

3. 通信与信号处理：在通信和信号处理领域，正弦定理被用来分析信号的频谱特性和传输特性。

通过正弦定理，我们可以将复杂的信号分解为一系列正弦波的组合，从而更容易地理解和处理信号。

二、余弦定理的应用余弦定理是另一个重要的三角定理，它表达了三角形中任意一边的平方等于其他两边平方之和减去这两边夹角的余弦值乘以这两边乘积的2倍。

余弦定理同样具有广泛的应用，以下是几个具体的应用示例：1. 几何学：在几何学中，余弦定理被用来解决与三角形边长和角度相关的问题。

例如，在已知三角形的两边及其夹角时，我们可以利用余弦定理求出第三边的长度。

此外，余弦定理还可以用于判断三角形的形状（如锐角三角形、直角三角形或钝角三角形）以及求解三角形的内角。

2. 物理学：在力学中，余弦定理被用来求解连接杆件的长度和角度问题。

例如，在机器人学和机械设计中，我们需要确定各个杆件之间的相对位置和角度，以便实现预期的运动轨迹。

余弦定理可以帮助我们解决这个问题。

此外，余弦定理还在许多其他领域中得到应用，如航空航天、土木工程、计算机图形学等。

在这些领域中，余弦定理通常被用来求解与空间几何和三维变换相关的问题。

余弦定理与正弦定理的应用鉴于题目为"余弦定理与正弦定理的应用"，本文将探讨以余弦定理和正弦定理为基础的数学应用，展示它们在解决几何问题中的重要性和实用性。

一、余弦定理的应用余弦定理是三角学中的基本定理之一，它描述了一个三角形的边与角之间的关系。

余弦定理的数学表达式如下：c² = a² + b² - 2ab·cosC其中，a、b为三角形的两边，C为这两边间的夹角，c为三角形的对边。

1. 三角形边长的计算利用余弦定理，我们可以根据已知的角度和两边长度，计算出第三边的长度。

这对于解决实际问题具有重要意义。

例如，在导航中，我们可以通过已知两个位置和与之相对应的夹角，计算两地之间的距离。

2. 计算三角形的角度除了计算边长，余弦定理还可以用于求解三角形内的角度。

当我们已知三角形的三边时，可以利用余弦定理求解其中一个角的度数。

这在地质勘探、天文学等领域中具有广泛应用。

二、正弦定理的应用正弦定理也是解决三角形问题中常用的定理之一。

正弦定理描述了一个三角形的边与角之间的关系。

正弦定理的数学表达式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c为三角形的三条边，A、B、C为对应的角。

1. 钝角三角形的侧边和角度计算当三角形中存在一个钝角时，可以利用正弦定理计算该三角形的边长和角度。

这对于建筑设计、航海测量等领域具有实际应用。

例如，在房屋设计中，当一个空间的角度不为90度时，我们可以利用正弦定理计算出相应的边长和其他角度的大小。

2. 解决无直角的三角形问题正弦定理的另一个重要应用是解决不含有直角的三角形问题。

在实际生活和工程中，我们常常遇到不能直接利用余弦定理求解的三角形问题。

在这种情况下，正弦定理提供了一种可行的解决方法。

总结：余弦定理和正弦定理是数学中重要的定理，它们的应用广泛，涵盖了多个领域。

通过利用余弦定理和正弦定理，我们可以计算三角形的边长和角度，解决实际问题，满足测量和设计的需求。

余弦定理与正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是数学中的两个重要的三角函数定理，它们在解决各种几何和数学问题时具有广泛的应用。

本文将介绍余弦定理和正弦定理的公式及其应用，帮助读者更好地理解和运用这两个定理。

一、余弦定理的应用余弦定理是解决三角形中边和角之间关系的重要定理。

设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角分别为A、B、C，那么根据余弦定理可以得出以下公式：a² = b² + c² - 2bc·cosAb² = a² + c² - 2ac·cosBc² = a² + b² - 2ab·cosC余弦定理可以用来求解未知边长或角度的问题。

下面通过几个实际问题来展示余弦定理的应用。

【例1】已知一个三角形的两边长度分别为5cm和6cm，夹角为60°，求第三边的长度。

解：根据余弦定理，可得c² = 5² + 6² - 2×5×6·cos60°c² = 25 + 36 - 60c² = 61c = √61因此，第三边的长度约为7.81cm。

【例2】已知一个三角形的两边长度分别为7cm和9cm，夹角为30°，求夹角的余弦值。

解：根据余弦定理，可得cosA = (7² + 9² - 2×7×9·cos30°) / (2×7×9)cosA = (49 + 81 - 63) / 126cosA = 67 / 126所以，夹角A的余弦值约为0.532。

二、正弦定理的应用正弦定理是另一个求解三角形边与角关系的重要定理。

与余弦定理类似，设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角分别为A、B、C，那么根据正弦定理可以得出以下公式：a / sinA =b / sinB =c / sinC通过正弦定理可以求解未知边长或角度的问题。

余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是解决三角形问题中常用的数学定理。

它们可以帮助我们求解三角形的边长、角度和面积等。

本文将分别介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的具体使用方法。

一、余弦定理的应用余弦定理是一个用来描述三角形边长和夹角之间关系的定理。

在任意三角形ABC中，假设边长分别为a、b、c，而对应的夹角为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab·cosC1. 求解三角形边长假设我们已知一个三角形的两个边长a和b，以及它们夹角C的大小。

我们可以通过余弦定理来求解第三个边长c。

例如，已知三角形ABC中，边AB的长度为5，边AC的长度为8，而夹角B的大小为60度。

按照余弦定理，我们可以用下式来计算边BC的长度：BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cosB代入具体数值，即可求得：BC² = 5² + 8² - 2·5·8·cos60°BC² = 25 + 64 - 80·0.5BC² = 89 - 40BC² = 49BC = √49 = 7因此，边BC的长度为7。

2. 求解三角形夹角在某些情况下，我们已知三角形的三个边长，但需要求解其中一个夹角的大小。

余弦定理同样可以解决这个问题。

例如，已知三角形ABC的边长分别为a=4、b=7、c=9。

我们想要求解夹角C的大小。

根据余弦定理，我们可以得到：c² = a² + b² - 2ab·cosC代入具体数值，我们可以得到：9² = 4² + 7² - 2·4·7·cosC81 = 16 + 49 - 56·cosC16 + 49 - 81 = 56·cosC-16 = 56·cosCcosC = -16 / 56 = -0.2857由于余弦函数的定义域为[-1, 1]，该结果无解，即无法构成三角形。

余弦定理及正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。

它们被广泛应用于测量、导航、工程等领域。

下面将分别介绍余弦定理和正弦定理，并说明它们在实际应用中的具体运用。

一、余弦定理余弦定理描述了一个三角形的边与夹角之间的关系。

对于任意一个三角形 ABC，其边长分别为 a、b、c，对应的夹角分别为 A、B、C。

根据余弦定理，可以得到以下等式：a² = b² + c² - 2bc * cosAb² = a² + c² - 2ac * cosBc² = a² + b² - 2ab * cosC余弦定理可以用于解决以下问题：1. 测量三角形边长：如果已知三角形的两个边长和它们之间的夹角，可以利用余弦定理计算出第三条边的长度。

2. 计算三角形的夹角：如果已知三角形的三条边长，可以利用余弦定理的逆运算求解三个夹角的大小。

3. 解决航海导航问题：根据已知的方位角和航程，可以利用余弦定理计算船只的坐标位置。

二、正弦定理正弦定理描述了三角形边与其对应角的正弦值之间的关系。

对于任意一个三角形 ABC，其边长分别为 a、b、c，对应的夹角分别为 A、B、C。

根据正弦定理，可以得到以下等式：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理可以用于解决以下问题：1. 求解三角形的面积：如果已知三角形的两边和它们之间的夹角，可以利用正弦定理求解三角形的面积。

2. 判定三角形类型：根据三边的长度和正弦定理，可以判断三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。

3. 解决建筑工程问题：在建筑测量中，需利用正弦定理计算高度、距离等未知量。

综上所述，余弦定理和正弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。

通过运用这些定理，我们可以计算三角形的边长、夹角，求解三角形的面积，判断三角形的类型等。

在测量、导航、工程等领域，都离不开这两个定理的应用。

正弦定理与余弦定理的应用正弦定理和余弦定理是中学数学中重要的几何定理，它们在解决三角形相关问题时起着关键作用。

本文将以实际例子为基础，详细介绍正弦定理和余弦定理的应用。

一、正弦定理的应用正弦定理是解决三角形边长和角度之间关系的重要工具。

它的表达式为：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，其中$a$、$b$、$c$分别为三角形的边长，$A$、$B$、$C$为对应的角度。

例子一：已知三角形$ABC$中，$AB=5$，$BC=8$，$\angle B=45^\circ$，求$\angle A$和$\angle C$的大小。

解析：根据正弦定理可得：$\frac{5}{\sin A}=\frac{8}{\sin 45^\circ}$。

通过求解可得$\sin A=\frac{5\sin 45^\circ}{8}$，进而得到$\angle A=\sin^{-1}\left(\frac{5\sin 45^\circ}{8}\right)$。

同理，可以求得$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B$。

通过计算可得$\angle A\approx 28.07^\circ$，$\angle C\approx106.93^\circ$。

例子二：已知三角形$ABC$中，$AB=6$，$BC=9$，$\angle A=30^\circ$，求$AC$的长度。

解析：根据正弦定理可得：$\frac{6}{\sin 30^\circ}=\frac{AC}{\sin C}$。

通过求解可得$\sin C=\frac{AC\sin 30^\circ}{6}$，进而得到$AC=\frac{6\sin C}{\sin30^\circ}$。

由于$\sin C=\sin (180^\circ-\angle A-\angle B)$，可以通过计算得到$AC\approx 10.39$。

余弦定理与正弦定理的应用在数学中，余弦定理和正弦定理是解决三角形的边长和角度关系的重要工具。

它们的应用范围广泛，不仅限于几何学，还可以在物理学、工程学以及实际生活中的各种测量和计算问题中使用。

本文将介绍余弦定理和正弦定理的基本原理，并通过一些实际应用例子来展示它们的实用性。

一、余弦定理余弦定理是指在任意三角形中，三条边和它们所对的角之间存在着一个关系，即：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中，a、b、c为三角形的三条边，C为夹角。

该定理可以用于计算三角形的边长或夹角大小，特别适用于已知两边和夹角，求解第三边或第三个角的情况。

例如，我们有一个三角形，已知两条边分别为a=5cm，b=7cm，夹角C为60度。

我们可以利用余弦定理来计算第三条边c的长度：c^2 = 5^2 + 7^2 - 2×5×7×cos60°c^2 = 25 + 49 - 70×0.5c^2 = 24c = √24c ≈ 4.9cm通过余弦定理，我们可以得到这个三角形的第三边c约为4.9cm。

除了计算边长，余弦定理还可以用于计算三角形的角度。

例如，我们有一个三角形，已知三边分别为a=6cm，b=8cm，c=10cm。

我们可以利用余弦定理来计算各个角的大小：cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)通过上述公式，我们可以求得角A，角B和角C的余弦值，再利用反余弦函数求得它们的度数。

二、正弦定理正弦定理是指在任意三角形中，三条边和对应的角的正弦之间存在着一个关系，即：a / sinA =b / sinB =c / sinC正弦定理可以用于解决已知一个角和与之对应的两个边，求解其他角和边长的问题。

例如，我们有一个三角形，已知角A为30度，边a为5cm，边b 为7cm。

三角函数的正弦定理与余弦定理三角函数是数学中一门重要的分支，在几何学、物理学等领域有广泛的应用。

其中，正弦定理与余弦定理是三角函数的重要定理之一，可以用于求解各种三角形的边长和角度。

本文将分别介绍正弦定理与余弦定理的概念与应用。

一、正弦定理正弦定理是用来求解三角形的边长与角度之间的关系的定理。

对于任意三角形ABC，其三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。

正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R其中，R为该三角形外接圆的半径。

利用正弦定理，我们可以在已知两边和一个夹角的情况下，求解出第三条边的长度，或者在已知三边长度的情况下，求解出三个角度的大小。

这在实际问题求解中非常有用。

例如，已知一个三角形的两条边分别为3和4，夹角为60°，我们可以利用正弦定理来求解第三条边的长度。

根据正弦定理可知：a/sinA = b/sinB = c/sinC那么代入已知条件，我们可以得到：3/sin60° = c/sinC进而可以得到：c = (3 * sinC) / sin60°通过计算，我们可以求得c的值。

二、余弦定理余弦定理是用来求解三角形的边长和角度之间的关系的定理。

对于任意三角形ABC，其三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。

余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC利用余弦定理，我们可以在已知两边和一个夹角的情况下，求解出第三条边的长度，或者在已知三边长度的情况下，求解出三个角度的大小。

例如，我们已知一个三角形的两条边分别为3和4，夹角为60°，我们可以利用余弦定理来求解第三条边的长度。

根据余弦定理可知：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC代入已知条件，我们可以得到：c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 * 3 * 4 * cos60°通过计算，我们可以求得c的值。

正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用正弦定理和余弦定理是解三角形中非常常用的定理。

它们可以帮助我们在已知一些边长或角度的情况下，求解出其他未知边长或角度。

在本文中，我们将详细介绍正弦定理和余弦定理的概念，并阐述它们在解三角形中的运用。

一、正弦定理正弦定理是解三角形中最为基础和常用的定理之一、它可以用来求解三角形的任意一个角度或边长。

正弦定理的表达形式如下：a / sinA =b / sinB =c / sinC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。

在应用正弦定理求解问题时，需要注意以下几个方面：1.已知两边和它们对应的夹角，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 a = b * sinA / sinB 或 a = c * sinA / sinC。

2.已知两边和它们对应的夹角，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinA = a * sinC / c 或 sinA = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 A 的值。

3.已知两个角度和一个对边，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 b = a * sinB / sinA 或 b = c * sinB / sinC。

4.已知两个角度和一个对边，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinB = b * sinA / a 或 sinB = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 B 的值。

由于正弦定理可以用来求解任意一个角度或边长，因此它非常灵活和实用。

二、余弦定理余弦定理是解三角形中另一个重要的定理。

它可以用来求解三角形的边长或角度。

余弦定理的表达形式如下：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cosAb^2 = c^2 + a^2 - 2ac * cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。

正弦定理与余弦定理的使用三角函数是数学中的重要概念，其中正弦定理与余弦定理是常用的三角函数定理。

本文将对正弦定理与余弦定理的使用进行探讨。

1. 正弦定理的使用正弦定理是指在任意三角形ABC中，三条边a、b、c与其对应的角A、B、C之间的关系。

其数学表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理可以用于求解三角形内部元素的相关问题。

例如，已知三角形两边长度和夹角时，可以利用正弦定理求解第三边的长度。

又或者已知两边长度和夹角时，可以通过正弦定理求解夹角的大小。

2. 余弦定理的使用余弦定理是指在任意三角形ABC中，三条边a、b、c与其对应的角A、B、C之间的关系。

其数学表达式为：c² = a² + b² - 2abcosC余弦定理也常用于求解三角形内部元素的相关问题。

例如，已知三边长度时，可以通过余弦定理求解夹角的大小。

又或者已知两边长度和夹角时，可以利用余弦定理求解第三边的长度。

3. 使用示例现假设有一个三角形ABC，已知边长a=5，边长b=7，夹角C=60度。

我们可以通过正弦定理和余弦定理来求解其他未知量。

首先应用正弦定理，根据a/sinA = b/sinB = c/sinC，我们可以得到c/sinC = a/sinA，带入已知条件可得：c/sin60 = 5/sinA进一步化简可得：c = 5*sin60 / sinA对于未知角A，我们可以通过求反正弦函数来得到其大小。

接下来，我们可以应用余弦定理来求解角C的大小。

根据c² = a² +b² - 2abcosC，带入已知条件可得：5² = 7² + c² - 2*7*c*cos60进一步化简可得：c² - 7c + 21 = 0通过解一元二次方程，我们可以求解得到c的值。

通过以上的例子，我们可以看到正弦定理与余弦定理在解决三角形相关问题时的重要性。

数学解题技巧之余弦定理与正弦定理的应用在数学解题中，余弦定理与正弦定理是两个非常重要且经常被使用的定理。

它们能够帮助我们求解各种三角形相关的问题。

本文将探讨余弦定理与正弦定理的定义、应用以及解题技巧。

一、余弦定理余弦定理是描述三角形边与角之间关系的定理。

它可以用来解决一些已知三边或两边一角的三角形问题。

假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，角A对应于边a，角B对应于边b，角C对应于边c。

则余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中，^2表示乘方，cosC表示角C的余弦值。

余弦定理可以应用于以下几种情况：1. 已知三边求角度：如果已知三角形的三个边长a、b、c，我们可以利用余弦定理计算角A、角B、角C的大小。

2. 已知两边一角求边长：如果已知三角形的两个边长a、b和它们夹角C，我们可以利用余弦定理计算第三个边c的长度。

3. 已知两边和夹角求第三边：如果已知三角形的两个边长a、b和它们夹角C，我们可以利用余弦定理计算第三个边c的可能范围。

二、正弦定理正弦定理也是解决三角形相关问题的重要工具。

它可以描述三角形的边和角之间的关系。

对于一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，角A对应于边a，角B对应于边b，角C对应于边c。

正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理的应用有以下几种情况：1. 已知两角一边求另外一边：如果已知三角形的两个角A、B和一边c的长度，我们可以利用正弦定理计算另外两个边a、b的长度。

2. 已知两边一角求角度：如果已知三角形的两个边长a、b和夹角C 的大小，我们可以利用正弦定理计算另外两个角A、B的大小。

3. 已知三边求角度：如果已知三角形的三个边长a、b、c，我们可以利用正弦定理计算三个角A、B、C的大小。

三、解题技巧1. 判断何时使用余弦定理或正弦定理：根据已知条件的不同，确定使用何种定理。

如果已知两边一角，则通常使用余弦定理；如果已知两角一边，则通常使用正弦定理。

正弦定理与余弦定理的应用三角学是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，尤其是测量学中。

而正弦定理和余弦定理作为三角学中的基本定理，具有重要的实际应用价值。

本文将探讨正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用。

1. 正弦定理的应用正弦定理是指在任意三角形ABC中，三边长度a、b、c与其对应的角度A、B、C之间的关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

根据这个定理，我们可以得到以下几个实际问题中的应用。

1.1 测量高度正弦定理常用于测量无法直接得到的高度。

例如，在测量一棵树的高度时，我们可以站在树的底部和树的顶部，分别测量出与水平线的夹角，然后利用正弦定理可以求得树的高度。

这种方法在工程测量、地理测量等领域也得到广泛应用。

1.2 三角形的边长比较正弦定理可以用于比较三角形的边长。

例如，在一个三角形中，已知两个角的大小和一个边的长度，我们可以利用正弦定理求得另外两个边的长度。

这对于解决实际问题中的边长比较非常有帮助。

1.3 解决航空、航海等问题正弦定理在航空、航海、导弹制导等领域也有着广泛的应用。

通过测量角度、距离等信息，可以利用正弦定理计算出目标的位置、飞行轨迹等重要参数，从而更好地实现对目标的监控和控制。

2. 余弦定理的应用余弦定理是指在任意三角形ABC中，三边长度a、b、c与其对应的角度A、B、C之间的关系：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC。

以下是余弦定理的一些实际应用。

2.1 测量距离余弦定理可以用于测量两点之间的距离。

例如，在航海中，通过测量其中一个角度、两点间的距离和另一个角度，可以利用余弦定理求得两个点之间的距离。

这对于制定航线、航行安全等都起着重要的作用。

2.2 三角形的面积计算余弦定理可以用于计算三角形的面积。

已知三角形的三边长度a、b、c，以及两个角的大小A、C，可以利用余弦定理计算出三角形的面积。

这在建筑、地理等领域中都有重要的应用。

2.3 解决物理问题余弦定理在物理学中也有广泛的应用。

正弦、余弦定理与应用正弦、余弦定理是解决三角形中各边和角关系的重要工具。

在几何学和三角学中，它们被广泛应用于测量和计算问题。

本文将介绍正弦、余弦定理的概念及其应用，并通过实例展示其有效性。

一、正弦定理正弦定理是解决三角形中边和角之间关系的定理。

对于任意三角形ABC，其三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理的应用可以帮助我们求解未知边或未知角。

例如，给定一个三角形的两边长度和它们之间的夹角，我们可以通过正弦定理计算出第三边的长度。

例如，假设三角形ABC，已知边AB的长度为5，边AC的长度为7，夹角BAC的大小为30°。

应用正弦定理，我们可以得到：5/sin30° = 7/sinBAC通过代入数值并解方程，我们可以求得角BAC的大小。

正弦定理使我们能够通过已知边长和夹角大小来计算其他边长和角度。

二、余弦定理余弦定理是另一个用于三角形中边和角之间关系的定理。

对于任意三角形ABC，其三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosC通过余弦定理，我们可以计算三角形中的边长或角度。

例如，已知三角形ABC的两边长度分别为3和4，夹角C的大小为60°，我们可以通过余弦定理计算第三边的长度。

应用余弦定理，我们可以得到：c² = 3² + 4² - 2*3*4*cos60°通过计算，我们可以求得第三边的长度c。

余弦定理在解决三角形中边和角关系时非常有用，特别是当仅已知两边和它们之间的夹角时。

三、应用案例正弦、余弦定理广泛应用于测量和计算相关问题。

以下是一些实际应用案例：1. 三角测量：正弦、余弦定理可以用于三角形测量中。

例如，在地理测量中，通过测量三角形的边长和角度可以确定地球上两点之间的距离。

4．7正弦定理、余弦定理及其应用1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．其中R是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式：①a＝2R sin A，b＝____________，c＝____________；②sin A＝a2R，sin B＝，sin C＝；③a∶b∶c＝______________________.2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝，b2＝，c2＝.若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理．(2)余弦定理的推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.若C为锐角，则cos C>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cos C<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A，类似地，sin2B＝____________________；sin2C＝__________________.注意式中隐含条件A＋B＋C＝π.3．解三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理，只有一解．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有__________________．如在△ABC(3)已知三边，用____________定理．有解时，只有一解．(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．4．三角形中的常用公式及变式(1)三角形面积公式S△＝＝＝＝＝．其中R ，r 分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A ＋B ＋C ＝π，则A ＝__________，A2＝__________，从而sin A ＝____________，cos A ＝____________，tan A＝____________；sin A 2＝__________，cos A 2＝__________，tan A2＝__________.tan A ＋tan B ＋tan C ＝____________.(3)若三角形三边a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝____________⇔2sin B ＝____________⇔2sin B2＝cos A －C 2⇔2cos A ＋C 2＝cos A －C 2⇔tan A 2tan C 2＝13.(4)在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝____________，c ＝____________.(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)自查自纠1．(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2)①2R sin B 2R sin C ②b 2R c2R③sin A ∶sin B ∶sin C2．(1)b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C a 2＋b 2(2)b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c 22ab > <(3)互化 sin 2C ＋sin 2A －2sin C sin A cos B sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C 3．(1)正弦(2)正弦 一解、两解或无解 ①一解②两解 ③一解 ④一解 (3)余弦 (4)余弦 4．(1)12ab sin C 12bc sin A 12ac sin B abc 4R 12(a ＋b ＋c )r(2)π－(B ＋C ) π2－B ＋C2 sin(B ＋C )－cos(B ＋C )－tan(B ＋C ) cos B ＋C 2 sin B ＋C21tanB ＋C 2tan A tan B tan C (3)a ＋c sin A ＋sin C (4)a cos C ＋c cos A a cos B ＋b cos A在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝( )A ．1 B. 3 C.322D ．2解：c 2＝1＋4－2×2×14＝4，c ＝2.故选D .(2017·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( ) A ．a ＝2b B ．b ＝2a C ．A ＝2B D ．B ＝2A解：sin(A ＋C )＋2sin B cos C ＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以2sin B cos C ＝sin A cos C ⇒2sin B ＝sin A ⇒2b ＝a .故选A .(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 解：由题意sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， 得sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，即sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝0， 所以A ＝3π4.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得2sin 3π4＝2sin C，即sin C ＝12，得C ＝π6.故选B .(2015·北京)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2A sin C＝________.解：sin2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a c ×b 2＋c 2－a 22bc ＝2×46×25＋36－162×5×6＝1.故填1.(2017·浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6＝________.解：将正六边形分割为6个等边三角形，则S 6＝6×⎝⎛⎭⎫12×1×1×sin60°＝332.故填 332.类型一 正弦定理的应用(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b＝________.解：在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.故填2113.【点拨】先根据条件得到至少两个角的正弦值，再利用正弦定理，实现边角互化．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.解：由正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ⇒cos B ＝12⇒B ＝π3.故填π3.类型二 余弦定理的应用(2017·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝3，AB →·AC →＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a .解：因为AB →·AC →＝－6，所以bc cos A ＝－6. 又S △ABC ＝3，所以bc sin A ＝6，因此tan A ＝－1.又0＜A ＜π，所以A ＝3π4.又b ＝3，所以c ＝2 2.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝⎛⎭⎫－22＝29，所以a ＝29.【点拨】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆与内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类与整合思想．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010 C ．－1010 D ．－31010解：由题意可得13a ＝c sin π4＝22c ，则a ＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c .由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52c 2＋c 2－92c 22×102c ×c＝－1010.故选C . 类型三 正、余弦定理的综合应用△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B .① 因为A ＝π－(B ＋C )，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C .② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B .又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即4＝a 2＋c 2－2ac cos π4，又a 2＋c 2≥2ac ，所以ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2＋1.【点拨】(1)化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值．(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A.(1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．解：(1)证明：由题意知2⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin Bcos A cos B，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin (π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)由(1)知c ＝a ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 222ab＝38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时等号成立，故cos C 的最小值为12.类型四 判断三角形的形状在三角形ABC 中，若tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试判断三角形ABC 的形状．解法一：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2A sin 2B ，所以tan A tan B ＝sin 2Asin 2B，所以sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B，即sin2A ＝sin2B .所以2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，因此A ＝B 或A ＋B ＝π2，从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法二：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2A sin 2B ，所以tan A tan B ＝sin 2A sin 2B ，所以cos B cos A ＝sin A sin B ，再由正、余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac b 2＋c 2－a 22bc ＝ab，化简得(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0，即a 2＝b 2或c 2＝a 2＋b 2. 从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形．【点拨】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．(2016·济南一中检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别为a ，b ，c ，A 为锐角，lg b ＋lg 1c＝lgsin A ＝－lg 2，则△ABC 为( )A ．锐角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解：由lg b ＋lg 1c ＝lg b c ＝－lg 2＝lg 22，得b c ＝22，即c ＝2b .由lgsin A ＝－lg 2，得sin A ＝22，又A 为锐角，所以cos A ＝22.由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得a ＝b ， 故B ＝A ＝45°，因此C ＝90°.故选D .类型五 解三角形应用举例(2015·湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解：设此山高h (m)，则BC ＝3h ，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠CBA ＝105°，∠BCA ＝45°，AB ＝600(m)．在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin A ＝ABsin C，即3h sin30°＝600sin45°，解得h ＝1006(m)．故填1006. 【点拨】①解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也常用到解三角形的方法．②不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于________m.解：因为tan15°＝tan(60°－45°)＝tan60°－tan45°1＋tan60°tan45°＝2－3，所以BC ＝60tan60°－60tan15°＝120(3－1)m.故填120(3－1)．1．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要谨防漏解．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角的关系(注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论)或边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不要约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状．3．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos(B ＋C )，sin A2＝cos B ＋C 2，sin2A ＝－sin2(B ＋C )，cos2A ＝cos2(B ＋C )等． 4．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际，从而得出实际问题的解．5．正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．1．(北京丰台2017届期末)在△ABC 中，C ＝π4，AB ＝2，AC ＝6，则sin B 的值为( )A.12B.22 C ．－12 D.32解：由正弦定理得2sin C ＝6sin B ，解得sin B ＝32.故选D .2．(2016·天津)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解：由余弦定理得13＝9＋AC 2＋3AC ⇒AC ＝1.故选A .3．设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若b cos C ＋c cos B ＝a sin A, 则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定解：由已知和正弦定理可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A ·sin A ，即sin(B ＋C )＝sin A sin A ，亦即sin A ＝sin A sin A .因为0<A <π，所以sin A ＝1，A ＝π2.所以△ABC 为直角三角形．故选B .4．(2016·山东)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 解：在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 因为b ＝c ，所以a 2＝2b 2(1－cos A )， 又因为a 2＝2b 2(1－sin A )， 所以cos A ＝sin A ，所以tan A ＝1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π4.故选C .5．(2015·天津改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解：由cos A ＝－14得sin A ＝154，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12bc ×154＝315，解得bc ＝24，又b －c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b －c )2＋2bc －2bc cos A ＝22＋2×24－2×24×⎝⎛⎭⎫－14＝64，得a ＝8.故选D . 6．(2016·长春质检)在△ABC 中，D 是BC 中点，已知∠BAD ＋∠C ＝90°，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解：如图，由题可知，∠BAD ＋∠C ＝∠B ＋∠CAD ＝90°，在△ABD 中，BD sin ∠BAD ＝BD cos C ＝ADsin B ，在△ADC 中，CD sin ∠CAD ＝AD sin C ＝CD cos B，所以sin B cos C ＝sin Ccos B ，即sin2B ＝sin2C ，所以B ＝C 或2B ＋2C ＝π，则此三角形为等腰三角形或直角三角形．故选D .7．(2016·北京)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝________.解：由正弦定理知sin A sin C ＝a c ＝3，所以sin C ＝sin2π33＝12，则C ＝π6，所以B ＝π－2π3－π6＝π6，所以b ＝c ，即bc ＝1.故填1.8．(2017·浙江节选)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________．解：取BC 中点E ，由题意，AE ⊥BC .△ABE 中，cos ∠ABC ＝BE AB ＝14，所以cos ∠DBC ＝－14，sin ∠DBC ＝1－116＝154，所以S △BCD ＝12×BD ×BC ×sin ∠DBC ＝152.故填152.9．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b . 解：(1)由题设A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )． ①将①两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4.所以b ＝2.10．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin ∠B sin ∠C；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．解：(1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD ，因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC .由正弦定理可得sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC ，AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6.由(1)知AB ＝2AC ，故AC ＝1.(2016·北京)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求角B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．解：(1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0＜B ＜π，所以B ＝π4.(2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以C ＝3π4－A ，0＜A ＜3π4.所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎫3π4－A ＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A＝2cos A －22cos A ＋22sin A＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4. 因为0＜A ＜3π4，所以π4＜A ＋π4＜π，故当A ＋π4＝π2，即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值为1.1．(2016·大兴区模拟)在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，∠B ＝π3，则∠A 等于( )A.π6B.π4C.3π4D.π4或3π4解：因为b >a ，由正弦定理得到sin A ＝a sin B b ＝22，所以∠A ＝π4.故选B .2．(2016·湖南四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋b 2－c 2)tan C ＝ab ，则角C 为( )A.π6或5π6B.π3或2π3C.π6D.2π3解：由题意得a 2＋b 2－c 22ab ＝12tan C ，则cos C ＝cos C 2sin C ，且cos C ≠0，所以sin C ＝12，所以C ＝π6或5π6.故选A .3．(2016·郑州一测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B ＝asin A ，则cos B ＝( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32解：因为b 3cos B ＝a sin A ，所以由正弦定理得sin B 3cos B ＝sin A sin A，所以tan B ＝3，又0<B <π，所以B ＝π3，所以cos B＝12.故选B . 4．(北京通州2017届期末)在△ABC 中，a ＝2，B ＝π3，△ABC 的面积等于32，则b 等于( )A.32B ．1 C. 3 D ．2 解：由△ABC 面积公式可得S ＝12ac sin B ＝32，12×2c ×32＝32，c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋12－2×2×1×cos π3＝3，b ＝ 3.故选C .5．(2016·厦门期中测试)如图，D ，C ，B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( )A ．10 mB ．5 3 mC ．5(3－1) mD ．5(3＋1) m解：直角三角形中，根据三角函数的定义得AB tan30°－ABtan45°＝10，解得AB ＝5(3＋1) (m)．故选D . 6．(2016·河南三市调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积为( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3解：由c 2＝(a －b )2＋6，可得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，由余弦定理得2ab cos C ＝2ab －6，因为C ＝π3，所以ab ＝6，所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝12×6×32＝332.故选C .7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab ＝________.解法一：由正弦定理sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，即sin(B ＋C )＝sin A ＝2sin B ，有a b ＝sin Asin B ＝2.解法二：由余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2b ，化简得a ＝2b ，因此，ab ＝2.解法三：由三角形射影定理，知b cos C ＋c cos B ＝a ，所以a ＝2b ，所以ab＝2.故填2.8．(武汉市2018届高三起点调研)在钝角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝3，则c 的取值范围是________．解：在钝角△ABC 中，a ＝4，b ＝3，则4－3＜c ＜4＋3，即1＜c ＜7，若C 是钝角，则cos C ＜0，则a 2＋b 2－c 22ab＜0，即c 2＞a 2＋b 2＝25，所以c ＞5，即5＜c ＜7；若A 是钝角，则cos A ＜0，则b 2＋c 2－a 22bc ＜0，即c 2＜a 2－b 2＝7，所以c ＜7，又1＜c ＜7，则1＜c ＜7.综上可知，c 的取值范围是(1，7)∪(5，7)． 故填(1，7)∪(5，7)．9．(2016·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )． 又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B .又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.10．(2016·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc .(1)证明：sin A sin B ＝sin C ；(2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .解：(1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C ，变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin (π－C )＝sin C .所以sin A sin B ＝sin C .(2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，即sin B ＝4cos B .故tan B ＝sin Bcos B＝4.(2017·福建漳州质检)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中b ≠c ，且b cos B ＝c cos C ，延长线段BC 到点D ，使得BC ＝4CD ＝4，∠CAD ＝30°.(1)求证：∠BAC 是直角；(2)求tan ∠D 的值．解：(1)证明：因为b cos B ＝c cos C ，由正弦定理，得sin B cos B ＝sin C cos C ，所以sin2B ＝sin2C .又b ≠c ，所以2B ＝π－2C ，所以B ＋C ＝π2，所以∠A ＝90°.即∠BAC 是直角．(2)设∠D ＝α，由题意知CD ＝1，BC ＝4， 在△ABC 中，因为∠BAC ＝90°，∠ACB ＝30°＋α，所以cos(30°＋α)＝ACBC ，所以AC ＝4cos(30°＋α)．在△ACD 中，AC sin α＝CD sin ∠CAD，即AC sin α＝112＝2，所以AC ＝2sin α，所以4cos(30°＋α)＝2sin α，即2⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α＝sin α，整理得3cos α＝2sin α，所以tan α＝32，即tan ∠D ＝32一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 解：函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B . 2．若tan α>0，则( )A ．sin2α>0B ．cos α>0C ．sin α>0D ．cos2α>0解：因为tan α>0，所以α∈⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )，即α是第一、三象限角．所以2α∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z )，再根据三角函数值在各象限的符号知，sin2α>0.故选A .3．(2015·厦门模拟)已知角θ是第二象限角，sin θ＝34，那么角2θ为( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解：因为sin θ＝34且角θ为第二象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－74，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－18，sin2θ＝2sin θcos θ＝－378.所以角2θ为第三象限角．故选C .4．(2016·江西三校联考)函数y ＝sin 2x 的图象的一个对称中心为( )A ．(0，0) B. ⎝⎛⎭⎫π4，0 C.⎝⎛⎭⎫π4，12 D.⎝⎛⎭⎫π2，1 解：因为y ＝sin 2x ＝1－cos2x 2，令2x ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π4＋k π2，k ∈Z ，所以函数y ＝sin 2x 的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，12.故选C .5．(2016·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝cos2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解：因为f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，而sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取最大值5.故选B .6．(2016·淮南二模)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)满足f (x )≤f (a )对x ∈R 恒成立，则函数( ) A ．f (x －a )一定为奇函数 B ．f (x －a )一定为偶函数 C ．f (x ＋a ) 一定为奇函数 D ．f (x ＋a )一定为偶函数解：由题意得f (a )＝sin(2a ＋φ)＝1，则2a ＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以f (x ＋a )＝sin(2x ＋2a ＋φ)＝sin(2x ＋2k π＋π2)＝cos2x ，此时函数为偶函数．故选D .7．(2016·南开模拟)△ABC 中三个内角为A ，B ，C ，若关于x 的方程x 2－x cos A cos B －cos 2C2＝0有一根为1，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解：依题意，可得1－cos A cos B －cos 2C 2＝0，因为cos 2C 2＝1＋cos C 2＝1－cos （A ＋B ）2＝1－cos A cos B ＋sin A sin B2，所以1－cos A cos B －1－cos A cos B ＋sin A sin B2＝0，整理得：cos(A －B )＝1，又A ，B 为△ABC 的内角，所以A ＝B ，所以△ABC 一定为等腰三角形．故选B .8．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝( ) A ．－45 B ．－35 C.45 D.35解：因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝－435，所以32sin α＋12cos α＝－45.所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3＝－12cos α－32sin α＝45.故选C .9．(2016·湖南师大附中二模)设f (x )＝1＋cos2x ＋sin2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＋a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3，则常数a ＝( ) A ．1 B ．1或－5C ．－2或4D ．±7解：f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x 2cos x＋a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2cos x ＋2sin x ＋a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝(a ＋2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，则|a ＋2|＝3，所以a ＝1或a ＝－5.故选B . 10．(2017·天津)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：根据条件，由⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12得0＜θ＜π6，推出sin θ＜12，而当sin θ＜12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4＞π12.故选A .11．(2015·郑州模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－cos2x ，其中x ∈R ，给出下列四个结论： ①函数f (x )是最小正周期为π的奇函数； ②函数f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝2π3；③函数f (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0；④函数f (x )的递增区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z . 则正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解：f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－cos2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3－cos2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，不是奇函数，①错；f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝1，②正确；f ⎝⎛⎭⎫5π12＝－sin π＝0，③正确；令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋23π，k ∈Z ，④正确．综上知正确结论的个数为3.故选C . 12．(2015·重庆)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝cos αcos 3π10＋sin αsin 3π10sin αcos π5－cos αsin π5＝cos 3π10＋tan αsin 3π10tan αcos π5－sin π5＝cos 3π10＋2tan π5sin 3π102tan π5cos π5－sinπ5＝cos π5cos 3π10＋2sin π5sin 3π10sin π5cos π5＝⎝⎛⎭⎫cos π5cos 3π10＋sin π5sin 3π10＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－π5sin 3π1012sin 2π5＝3cosπ10cos π10＝3.故选C .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sin α＝13，则sin(2 019π－α)＝________.解：sin (2 019π－α)＝sin (π－α)＝sin α＝13.故填13.14．cos43°cos77°＋sin43°cos167°的值为________．解：cos43°cos77°＋sin43°cos167°＝cos43°cos77°＋sin43°(－sin77°)＝cos120°＝－12.故填－12.15．(2015·广东模拟)已知角φ的终边经过点P (3，－4)，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为________． 解：根据题意，T ＝2π3，ω＝2πT ＝3，sin φ＝－45，cos φ＝35，f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin ⎝⎛⎭⎫3×π12＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝22(sin φ＋cos φ)＝－210.故填－210.16．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解：由题意，b sin B ＝c sin C ，即sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22，结合b ＜c ，可得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°.故填75°.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(北京西城2017届期末)已知函数f (x )＝sin(2ωx －π6)＋2cos 2ωx －1(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，7π12上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋(2cos 2ωx －1) ＝⎝⎛⎭⎫sin2ωx cos π6－cos2ωx sin π6＋cos2ωx ＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为0≤x ≤7π12，所以π6≤2x ＋π6≤4π3.所以，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值为1；当2x ＋π6＝4π3，即x ＝7π12时，f (x )取得最小值为－32.18．(12分)(2017福建三明质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且B ＝60°，c ＝4，b ＝6. (1)求sin C ；(2)求△ABC 的面积．解：(1)B ＝60°，c ＝4，b ＝6，在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C ，得sin C ＝c sin B b ＝4×326＝33.(2)由于b ＞c ，所以B ＞C ，则C 为锐角，所以cos C ＝63， 则sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝32×63＋12×33＝32＋36，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×32＋36＝62＋2 3. 19．(12分)(2016·长沙模拟)已知向量a ＝(2sin x ，3cos x )，b ＝(－sin x ，2sin x )，函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边且f (C )＝1，c ＝1，ab ＝23，a >b ，求a ，b 的值．解：(1)由题意得f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x cos x ＝3sin2x ＋cos2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)由(1)和条件可得f (C )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6－1＝1， 则sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＝1. 因为0＜C ＜π，所以2C ＋π6＝π2，即C ＝π6.所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，又c ＝1，ab ＝23，所以a 2＋12a 2＝7，解得a 2＝3或a 2＝4，所以a ＝3或2，所以当a ＝3时，b ＝2，当a ＝2时，b ＝ 3. 因为a >b ，所以a ＝2，b ＝ 3.20．(12分)(2015·福建)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0，2π)内有两个不同的解α，β，求实数m 的取值范围．解：(1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π2 的图象，故f (x )＝2sin x ，从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z )．(2)f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝⎛⎭⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋φ)(其中sin φ＝15，cos φ＝25)． 依题意，sin(x ＋φ)＝m5在区间[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5)．21．(12分)(2015·山东)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由题意知f (x )＝sin2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin2x 2－1－sin2x 2＝sin2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π (k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立．所以S △ABC ＝12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.22．(12分)(武汉2018届调研)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足cos2A －cos2B ＋2cos(π6－B )cos ⎝⎛⎭⎫π6＋B ＝0. (1)求角A 的值；(2)若b ＝3且b ≤a ，求a 的取值范围．解：(1)由已知cos2A －cos2B ＋2cos ⎝⎛⎭⎫π6－B cos ⎝⎛⎭⎫π6＋B ＝0，得2sin 2B －2sin 2A ＋2⎝⎛⎭⎫34cos 2B －14sin 2B ＝0， 化简得sin A ＝32，又△ABC 为锐角三角形，故A ＝π3.(2)若b ＝3≤a ，所以c ≥a ，因而π3≤C ＜π2，π6＜B ≤π3，12＜sin B ≤32.由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ，即2a 3＝3sin B，即a ＝32sin B ，由12＜sin B ≤32，知a ∈[3，3)．所以a 的取值范围是[3，3)．。

解三角形正,余弦定理在现实生活中的应用解三角形的正弦定理和余弦定理在现实生活中有广泛的应用。

例如，测量距离、测量高度、航海模型、物理问题等都与这些定理有关。

以下是一些例子：
1. 测量距离
利用正弦定理和余弦定理可以测量出无法直接测量的距离。

假设你想知道两个建筑物之间的距离，但你不能直接测量它们之间的直线距离。

你可以站在其中一个建筑物旁边，用一个工具测量你与另一个建筑物之间的角度和高度差，然后使用正弦定理或余弦定理计算出两个建筑物之间的直线距离。

2. 测量高度
同样可以利用正弦定理和余弦定理测量出无法直接测量的高度。

假设你想知道一个树的高度，但你只能在地面附近测量树的影子长度。

你可以使用正弦定理或余弦定理计算出树的高度。

3. 航海模型
在航海中，可以利用正弦定理和余弦定理计算船只的位置。

假设你知道船只在某个时间点的位置和朝向，以及它的速度和方向，你可以使用正弦定理和余弦定理计算出船只在任何其他时间点的位置和朝向。

这对于导航非常重要。

4. 物理问题
在物理学中，正弦定理和余弦定理也有很多应用，例如在振
动、波动等问题中。

例如，当一个弹簧上放置一个小球时，小球会以一定的频率来回摆动。

通过测量小球的振幅、周期等参数，可以使用正弦定理和余弦定理计算出小球的运动轨迹和速度。

正弦定理与余弦定理的应用正弦定理与余弦定理是中学数学中常见且常用的公式之一。

这两个公式的应用非常广泛，从三角形的测量和构建到机械工程和电子学都可以看到它们的身影。

本文将介绍正弦定理和余弦定理的概念及其应用。

一、正弦定理正弦定理用于求三角形中的一个角的正弦值，通常用于确定三角形的大小和形状。

正弦定理说：一个三角形的任何一条边与该边所对面的角的正弦成比例。

也就是说，如果一个三角形有三个边a、b和c，分别对应的角为A、B和C，则有：sin A / a = sin B / b = sin C / c现在我们考虑一个具体的示例。

假设我们想找到一个三角形中的一个角，已知它所对面的边为10，另外两条边分别为8和6。

我们可以通过正弦定理来解决这个问题：sin A / 10 = sin B / 8 = sin C / 6我们知道，正弦函数的值是相对边与斜边的比值。

因此，我们可以用三角形的边长长度和正弦函数的值来解出角A、B和C的值。

具体操作方法可以参考三角函数表。

正弦定理的应用不仅仅限于求解角的大小，还可以用于确定三角形的面积。

面积等于1/2ab sin C。

因此，如果我们知道三角形的三个边长，则可以通过正弦定理来计算它的面积。

二、余弦定理该定理源于海伦定理（三角形面积公式），后被欧拉称之为余弦定理。

它通常用于确定三角形中的一个角的余弦值。

与正弦定理不同的是，余弦定理提供了一种更加通用的方法来计算三角形中的一个角的大小。

余弦定理说：一个三角形的每个角的余弦都等于在该角的两条边的平方和与这两条边所对的夹角的余弦乘积，再用它们的和减去这个余弦乘积。

即：cos A = (b² + c² - a²) / 2bc 或者 a² = b² + c² - 2bc cos A。

如果我们知道三角形的三个边长，则可以使用余弦定理来计算其各角的大小。

与正弦定理一样，余弦定理同样可用于计算面积。