( 高考第二轮)函数与导数(浙教版)

第4讲 利用导数研究函数的极值、最值高考定位 考查函数极值、最值的求法，综合考查与范围有关问题.

真题感悟

1.（2017-全国II卷）若兀=一2是函数/⑴=（齐+。兀一1）心t的极值点，则心）的极小值为

（）

A.-l B.-2e~3 C.5e~3 D.l

解析 f ©) = [x2 + (a + 2)x + a - l]-ex_ 1 ,贝!]/ z( - 2) = [4 - 2(a + 2) + a - l]-e_3 = 0 a =-1 ,贝= (x2 - x - l)-e%'1 , / '(x) = (x2 + x - 2)-ex_ 1 ,令f '(x) = 0 ,彳寻x = -

=1 ,

当xv - 2或x>l时,f \x)>0 ,当-2

2.(2017-浙江卷)已知函数f(x) = (x—^/2x~ l)e~v兀三㊁・ ⑴求沧)的导函数；

「1 )

⑵求的在区间b +呵上的取值范围.

解 (1 护(兀)=(%—寸 2x— 1 )，e 一' + (x—\)2x— 1) (e J'

=、i _皆7尸—(兀—G1)" —芹r”+侮—尸

( 2 } _( 1) ⑵令Z(x) = (l-x) 1- Je_x=0,

当兀变化时，»,才（对的变化如下表:

X 1

2 仃 1

b 1丿 1 (5} lb 5) 5

2 (5 )

/W

— 0 + ■ 0 —

1 _1

2e 2、

0

1 V

2e 2 解得X=1

1 1 1 则兀X）在区间b +刈上的最大值为严一;

又 f(x) = (x_p2x— 1 )e ' = g(寸2x -1 _ l)2e v^0.

几1)=0, f国=苏 5

2,

综上JCr）在区间 是0,

热克聚焦丨分类突破

热点一 用导数解决函数的极值问题

【例1】求下列函数的极值：

(1) /(兀)=兀2—2x一41n x；

3

(2) f(x)=ax — 3x2 +1 — ~(a W R 且 a*0)・

高考定位 在高考压轴题中,函数与方程、不等式的交汇是考查的热点,常以含 指数函数、对数函数为载体考查函数的零点（方程的根）、比较大小、不等式证明、 不等式恒成立与能成立问题.

（2018 •浙江卷）已知函数»=^~lnx

⑴右夬兀）在x=x\ 9兀2（兀1上兀2）处导数相等，证明：/（兀1）+/（无2）＞8 —

81n 2；

（2）若"W3—41n2,证明：对于任意40,直线y=kx+a与曲线y=/（x）有唯一公共点. 证明（1）函数加的导函数

由弘尸％»得未_±=未_右

因为小冷2'所以± + 土 = 2 ^ 項题感考点整合I ■■■■■■■■■■ 真题感悟 明考向鑿沂要点鑒 由基本不等式得，/石梟=需+\禺三2徧扃， 因为小冷2，所以兀1兀2>256.

由 题意得/(x 1)+/(兀2)一In X[ +寸扃 一In X2=^\[x[X2 一ln(XiX2). 设 g(x)=2&—Inx，则 g&)=右&—4),

所以QO时，g《x)、g(x)的变化情况如下表：

X (0, 16) 16 (16，+oo)

— 0 +

g(x)

2-4h 2 、 x

由 f(x)=kx+a 得 k= 所以g(x)在［256, +oo)上单调递增，故g(xix2)>g(256) = 8-81n2,

即/(%1)+/(兀2)>8 —81n 2・

所以，存在x0^(m,斤)使夬兀())=阪+© 所以，对于任意的aWR及kW(0, +00)，

直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点. (2)令心严+? H — 'ldl+ 1

t k丿 ?+1,贝(加)一km—a>\a\-\~k—k—么20,

f(n)—kn—a

设恥尸 ----- ---- ，

则“尸^^竺亠宁凹，其中缈导皿

由(1)可知 g(x)2g(16),又 aW3_41n 2,故一g(x)—1+oW—g(16)—l+a=—3 +

41n 2+aWO,

第1页/共3页 2019年高考数学第一轮复习：函数与导数专题攻略

2019年高考数学第一轮复习：函数与导数专题攻略

函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，在近几年的高考中， 函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分．一般为2个选择题或2个填空题，1个解答题 ，而且常考常新。

在选择题和填空题中通常考查反函数、函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的应用以及从函数的性质研究抽象函数。

在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。其主要表现在：

1．通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象。

2．在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。

3．从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查。

4．一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。

5．涌现了一些函数新题型。

6．函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，第2页/共3页 而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。

要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。

课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是，但学生写作文运用到文章中的甚少，即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题，方法很简单，每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换，可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解，也可让学生个人搜集，每天往笔记本上抄写，教师定期检查等等。这样，一年就可记300多条成语、300多则名言警句，日积月累，终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中，自然会出口成章，写作时便会随心所欲地“提取”出来，使文章增色添辉。7．多项式求导（结合不等式求参数取值范围），和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题。

大题考14-

函数与导数题型(_)导数的简单应用问题

主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单

调性、极值与最值问题.［典例感悟］

［解］当。=0 时，/(x)=lnx+x,

则/⑴=1,

・•・切点为(1,1),又f (x)=;+l,

•••切线斜率k=f (1)=2,

故切线方程为j-l=2(x-l),即2x—y — l=0.［典例1］ 已知函数/（x）=lnx— 2+x,

⑴当。=0时, 求曲线丁=/（兀）在⑴/⑴）处的切线方程; ⑵令g(x)=f(x)—(ax—l),求函数g(兀)的极值.

［解］g(x) =f(x) — (ax—l)=lnx—^ax2^(l—a)x+l,

—ax2+(l—a)x+l

x 9

①当“WO时，

Vx>0,:・g‘ (x)>0.

•••gd)在(0, +8)上是增函数，函数g(Q无极值点.

②当Q0时，W (护论±£怦士1

存+1) 1

-------- ，令g‘ (x)=0#x=-. . 1

则g‘ (x)=-—«x+(l—a)= I “丿

因此gd）在（o, £上是增函数，在办+8上是减函数.

・•」=+时,gd）取极大值£尸111:-亦京+（1-必:+

1=2a~lna^

由①②得，当aWO时，函数g&）无极值； 当a>0时，函数g（x）有极大值丄一Ina,无极小值. (* 宴

•••当xe 0,打时,g‘ (x)>0；当兀W 打，+8 时,g‘ (x)<0. ©

(1 、 ［方法技巧］

求函数y =/(对在某个区间上极值的步骤

第一步

第二步

第三步 I求导数广&)

:求方程f (%)二0的根血

;检查f (%)在兀二兀0左右的符号1

①左正右负0/(%)

在％二光0处取极犬值

________________ y ②左负右正O/G) 在％二%。处取极小值 (3

［演练冲关］

1.已知函数/(x)=alnx+x2—ax(tz ).

⑴若x=3是/(x)的极值点，求/(兀)的单调区间; 解：/(对的定义域为(0, +8),