北京市顺义区第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷 Word版含答案

2017-2018学年北京市顺义一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共40分）1．（5分）经过点B（3，0），且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线的方程是（）A．2x﹣y﹣6=0 B．x﹣2y+3=0 C．x+2y﹣3=0 D．x﹣2y﹣3=02．（5分）圆（x﹣1）2+y2=2的圆心到直线x﹣y+3=0的距离为（）A．1 B．2 C．D．3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥ABC．AC1与DC成45°角D．A1C1与B1C成60°角4．（5分）两直线y=3ax﹣2和（2a﹣1）x+5ay﹣1=0分别过定点A，B，则|AB|的值为（）A．B．C．D．5．（5分）若点A（﹣2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线L过点P（1，1）且与线段AB相交，则L的斜率k的取值范围是（）A．k≤或k≥B．k≤﹣或k≥﹣C．≤k≤D．﹣≤k≤﹣6．（5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m7．（5分）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．5 B．10 C．D．8．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4二、填空题（每题5分，共30分）9．（5分）在直角坐标系中，直线的斜率是．10．（5分）若两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，则a等于．11．（5分）已知实数x，y满足4x+3y﹣10=0，则x2+y2的最小值是．12．（5分）过圆x2+y2=8内的点P（﹣1，2）作直线l交圆于两点A，B．若直线l的倾斜角为135°，则弦|AB|的长为．13．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．14．（5分）把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：①AC⊥BD；②△ADC为正三角形；③AD与平面BCD成60°角．则其中正确的结论是．（只填序号）三、解答题（共80分）15．（10分）如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O 上任意一点，求证：BC⊥平面PAC．16．（16分）（1）求经过两直线2x﹣3y﹣3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y﹣1=0平行的直线方程．（2）求圆心在直线l1：y﹣3x=0上，与x轴相切，且被直线l2：x﹣y=0截得的弦长为的圆的方程．17．（13分）在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M，N，E分别是AB，PC，AD的中点，平面EMN交PD于F．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：MN∥EF．18．（13分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（1）AD边所在直线的方程；（2）矩形ABCD外接圆的方程．19．（14分）如图，在三棱柱中ABC﹣A1B1C1，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别为A1C1，BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥C﹣ABE的体积．20．（14分）直线y=kx+b与圆x2+y2=4于A，B两点，记△AOB的面积为S（其中O为坐标原点）（1）当k=0，b=1时，求S的值；（2）当k=0，0＜b＜2时，求S的最大值；（3）当b=2，S=1时，求实数k的值．2017-2018学年北京市顺义一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共40分）1．（5分）经过点B（3，0），且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线的方程是（）A．2x﹣y﹣6=0 B．x﹣2y+3=0 C．x+2y﹣3=0 D．x﹣2y﹣3=0【解答】解：设与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为：x﹣2y+c=0，把点（3，0）代入，3﹣0+c=0，解得c=﹣3，∴经过点B（3，0），且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线的方程是x﹣2y﹣3=0．故选：D．2．（5分）圆（x﹣1）2+y2=2的圆心到直线x﹣y+3=0的距离为（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：圆心坐标为（1，0），圆心到直线的距离d===2，故选：D．3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥ABC．AC1与DC成45°角D．A1C1与B1C成60°角【解答】解：由题意画出如下图形：A．因为AD∥A1D1，所以∠C1A1D1即为异面直线A1C1与AD所成的角，而∠C1A1D1=45°，所以A错；B．因为D1C1∥CD，利平行公理4可以知道：AB∥CD∥C1D1，所以B错；C．因为DC∥AB．所以∠C1AB即为这两异面直线所成的角，而，所以C错；D．因为A1C1∥AC，所以∠B1CA即为异面直线A1C1与B1C所成的角，在正三角形△B1CA中，∠B1CA=60°，所以D正确．故选：D．4．（5分）两直线y=3ax﹣2和（2a﹣1）x+5ay﹣1=0分别过定点A，B，则|AB|的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线y=3ax﹣2，令x=0，求得y=﹣2，可得直线y=3ax﹣2经过定点A（0，﹣2），直线（2a﹣1）x+5ay﹣1=0，即a（2x+5y）﹣x﹣1=0，令2x+5y=0，可得﹣x﹣1=0，求得x=﹣1，y=，可得a（2x+5y）﹣x﹣1=0经过定点B（﹣1，），则|AB|==，故选：C．5．（5分）若点A（﹣2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线L过点P（1，1）且与线段AB相交，则L的斜率k的取值范围是（）A．k≤或k≥B．k≤﹣或k≥﹣C．≤k≤D．﹣≤k≤﹣【解答】解：∵A（﹣2，﹣3），P（1，1）∴直线PA的斜率k PA==，同理可得直线PB的斜率k PB==∵直线L过点P（1，1）且与线段AB相交，且在斜率变化过程中倾斜角总是锐角∴L的斜率k的取值范围是≤k≤故选：C．6．（5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l∥α，m⊂α，则l∥m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选：B．7．（5分）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．5 B．10 C．D．【解答】解：由题意知，点A在圆上，则A为切点，则OA的斜率k=2，则切线斜率为﹣，则切线方程为：y﹣2=﹣（x﹣1），即x+2y﹣5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以，所求面积为=．故选：D．8．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．二、填空题（每题5分，共30分）9．（5分）在直角坐标系中，直线的斜率是．【解答】解：∵直线即y=﹣x+3∴直线的斜率为﹣故答案为：﹣10．（5分）若两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，则a等于﹣1．【解答】解：a=1时，两条直线不平行，舍去．a≠1时，两条直线分别化为：，，∵l1∥l2，∴，，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．11．（5分）已知实数x，y满足4x+3y﹣10=0，则x2+y2的最小值是4．【解答】解：∵y=（10﹣4x），∴x2+y2=x2+[（4x﹣10）]2，=+4，∴x2+y2的最小值为4，故答案为：4．12．（5分）过圆x2+y2=8内的点P（﹣1，2）作直线l交圆于两点A，B．若直线l的倾斜角为135°，则弦|AB|的长为．【解答】解：∵若直线l的倾斜角为135°，∴直线l的斜率为k=﹣1，∴直线AB的方程为y﹣2=﹣（x+1），即x+y﹣1=0∴圆x2+y2=8的圆心到直线AB的距离为d==，∴|AB|=2=2=2×=，故答案为：13．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为2．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，在Rt△BCE中，BC=，在Rt△BCD中，BD=，在Rt△ACD中，AD=2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．14．（5分）把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：①AC⊥BD；②△ADC为正三角形；③AD与平面BCD成60°角．则其中正确的结论是①②．（只填序号）【解答】解：由正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，知：在①中，取BD中点O，连结AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，且AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，∵AC⊂平面AOC，∴AC⊥BD，故①正确；在②中，由①得∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，从而∠AOC=90°，∴AD=CD=AC，∴△ADC为正三角形，故②正确；在③中，由AO⊥BD，AO⊥OC，得AO⊥平面BCD，∴∠ADO是AD与平面BCD所成角，∵∠ADO=45°，∴AD与平面BCD成45°角．故答案为：①②．三、解答题（共80分）15．（10分）如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O 上任意一点，求证：BC⊥平面PAC．【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，点C为⊙O上异于A、B的任意一点，∴AC⊥BC，∵PA垂直于⊙O所在平面，BC⊂⊙O所在平面，∴BC⊥PA，∵AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．16．（16分）（1）求经过两直线2x﹣3y﹣3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y﹣1=0平行的直线方程．（2）求圆心在直线l1：y﹣3x=0上，与x轴相切，且被直线l2：x﹣y=0截得的弦长为的圆的方程．【解答】解：（1）两直线2x﹣3y﹣3=0和x+y+2=0联立，可得交点为（﹣，﹣），由经过两直线2x﹣3y﹣3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y﹣1=0平行的直线方程设为3x+y+t=0，可得﹣﹣+t=0，可得t=．则所求直线方程为15x+5y+16=0．（2）由已知设圆心为（a，3a），与轴相切则r=|3a|，圆心到直线的距离d=，弦长为2得7+=9a2，即a2=1解得a=±1，圆心为（1，3）或（﹣1，﹣3），r=3，圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=9，或（x+1）2+（y+3）2=9．17．（13分）在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M，N，E分别是AB，PC，AD的中点，平面EMN交PD于F．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：MN∥EF．【解答】证明：（1）取CD中点O，连结NO、MO，∵M，N，E分别是AB，PC，AD的中点，∴NO∥PD，MO∥AD，∵PD∩AD=D，NO∩MO=O，PD、AD⊂平面APD，MO、NO⊂平面MNO，∴平面PAD∥平面MNO，∵MN⊂平面MNO，∴MN∥PAD．（2）由（1）得平面PAD∥平面MNO，∵MN⊂平面MNO，MN⊂平面PAD，平面EMN交PD于F，∴MN∥EF．18．（13分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（1）AD边所在直线的方程；（2）矩形ABCD外接圆的方程．【解答】解：（1）∵AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为﹣3．又因为点T（﹣1，1）在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1），3x+y+2=0．（2）由，解得点A的坐标为（0，﹣2），∵矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|2=（2﹣0）2+（0+2）2=8，∴．从而矩形ABCD外接圆的方程为（x﹣2）2+y2=8．19．（14分）如图，在三棱柱中ABC﹣A1B1C1，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别为A1C1，BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥C﹣ABE的体积．【解答】证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1．（2）取AB中点G，连接EG，FG，∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG=AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；解：（3）∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=，∴三棱锥C﹣ABE的体积：VE﹣ABC=S△ABC•AA1=×（××1）×2=．20．（14分）直线y=kx+b与圆x2+y2=4于A，B两点，记△AOB的面积为S（其中O为坐标原点）（1）当k=0，b=1时，求S的值；（2）当k=0，0＜b＜2时，求S的最大值；（3）当b=2，S=1时，求实数k的值．【解答】解：（1）当k=0，b=1时，y=1与圆x2+y2=4于A，B两点，则A（﹣，1），B（，1），AB=2，O到直线AB的距离h=1，∴△AOB的面积为S===．（2）当k=0时，直线方程为y=b，设点A的坐标为（x1，b），点B的坐标为（x2，b），由x2+b2=4，解得，∴|AB|=|x 2﹣x1|=2．∴S==b≤=2．当且仅当b=，即b=时，S取得最大值2．（3）设圆心O到直线y=kx+2的距离为d，则d=．∵圆的半径为R=2，∴===．∴S====1，即k2﹣4|k|+1=0，解得k=2+，或k=2﹣或k=﹣2+或k=﹣2﹣．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

顺义区2015-2016学年度 第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________. 12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点.求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为45,求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ） 求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ） 求证：AC ⊥PB ； （II ） 求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ） 求p 的值；（II ） 设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ） 求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.顺义区2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132） 说明：1.第9题，答对一个空给3分。

2015年秋季学期期中质量调研考试高二数学（理科）试题一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{2,0,1,4}A =，集合{04,R}=<≤∈B x x x ，集合C A B = ．则集合C 可表示为A ．{2,0,1,4}B ． {1,2,3,4}C ．{1,2,4}D ． {04,R}x x x <≤∈2.复数z 满足(1i)1z -=（其中i 为虚数单位），则z =A ．11i22- B ．11i 22+ C ．11i 22-+ D ．11i 22-- 3．下列函数中，为奇函数的是A ．122xx y =+ B ．{},0,1y x x =∈C ．sin y x x =⋅D ．1,00,01,0x y x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩4．下面几种推理中是演绎推理．．．．的为A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；B ．猜想数列111,,,122334⋅⋅⋅⨯⨯⨯的通项公式为1(1)n a n n =+()n N +∈； C ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=；D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=5．已知()()32213af x x a x=+-+,若()18f '-=,则()1f -= A ．4 B ．5 C ．2- D ．3- 6．“1ω=”是“ 函数()cos f x x ω=在区间[]0,π上单调递减”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．如图1，在矩形OABC 内：记抛物线21y x =+ 与直线1y x =+围成的区域为M （图中阴影部分）． 则区域M 面积与矩形OABC 面积之比为 A ．118 B ．112C ．16 D ．1311+8. 已知可导函数()f x ()x ÎR 满足()()f x f x ¢>，则当0a >时，()f a 和e (0)a f 大小关系为A. ()<e (0)a f a fB. ()>e (0)a f a fC. ()=e (0)a f a fD. ()e (0)a f a f ≤ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．函数f x =()的定义域为 ．10．某几何体的三视图如图3所示，其正视图是边长为2 的正方形，侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则此几 何体的体积是 ．11.已知双曲线2222:1x y C a b -=与椭圆22194x y+=有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，则双曲线C 的方程为 ．12. 设实数,x y 满足,102,1,x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩向量2,x y m =-()a ，1,1=-()b ．若// a b ，则实数m 的最大值为 ．13.在数列{}n a 中，已知24a =， 315a =，且数列{}n a n +是等比数列，则n a = ． 14. 已知111()1()23f n n n+=+++鬃??N ，且27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ，推测当2n ≥时，有__________________________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.（本小题满分12分）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像经过点π(,1)12． （1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，若222a b c ab +-=，且π()212A f +=．求sin B ．16.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：2222n n n na a S a -+=，且0,.n a n +>∈N（1）求123,,;a a a（2）猜想}{n a 的通项公式，并用数学归纳法证明17．（本小题满分14分）如图3所示，平面ABCD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为 矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BC CE ⊥， 4DC CE ==，2BC BF ==．（1）求证：//AF 平面CDE ；（2）求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值； （3）求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值．18.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24(1)(1)(2)(N )n n n S n a n *++=+∈． （1）求1a ，2a 的值； （2）求n a ； （3）设1n n n b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．19.（本小题满分14分）设双曲线C ：12222=-by a x （a >0，b >0）的一个焦点坐标为（3，0），离心率e =A 、B 是双曲线上的两点，AB 的中点M （1，2）.（1）求双曲线C 的方程； （2）求直线AB 方程；（3）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？20．（本小题满分14分）设函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->. （1）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围； （2）当a =1时，求函数)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值.ADBCFE图3参考答案9． {2}x x ≥； 10． 83； 11．2214y x -=； 12．6；13．123n n -⋅-； 14．2(2)2n n f +>；三、解答题15．解：（1）由题意可得π()112f =，即πsin()16ϕ+=． ……………………………2分0πϕ<< ，ππ7π666ϕ∴<+<， ππ62ϕ∴+=， π3ϕ∴=． ……………5分（2）222a b c ab +-= ，2221cos 22a b c C ab +-∴==， (7)分sin C ∴==． …………………………………………8分 由（1）知π()sin(2)3f x x =+，π(+)sin()cos 2122A f A A π∴=+==()0,A π∈ ， sin A ∴==， ……………………………10分 又sin sin(π())sin()B A C A C =-+=+ ，1sin sin cos cos sin 2B A C A C ∴=+==12分 16． （1）1111112a a S a ==+-，所以，11a =-?，又∵0n a >，所以11a =.221221=12a S a a a +=+-， 所以2a =, 3312331=12a S a a a a ++=+- 所以3a =（2）猜想n a =证明： 1o 当1n =时，由（1）知11a =成立．2o 假设()n k k +=?N 时，k a =成立1+11111=(1)(1)22k k k k k k ka a a S S a a +++-=+--+- 1112k k a a ++=+-所以21120k k a +++-=1k a +=所以当1n k =+时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n +ÎN 都成立．17．解：（法一）（1）取CE 中点为G ，连接DG 、FG ，//BF CG 且BF CG =，∴ 四边形BFGC 为平行四边形，则//BC FG 且BC FG =． ∴ …………2分四边形ABCD 为矩形， //BC AD ∴且BC AD =，//FG AD ∴且FG AD =，∴四边形AFGD 为平行四边形，则//AF DG ． DG ⊂ 平面CDE ，AF ⊄平面CDE ，//AF ∴平面CDE ． ……………………………………………………4分（2）过点E 作CB 的平行线交BF 的延长线于P ，连接FP ，EP ，AP ，////EP BC AD ，∴A ，P ，E ，D 四点共面．四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形，∴EP CD ⊥，EP CE ⊥，又 CD CE C = ，EP ∴⊥平面CDE ，∴EP DE ⊥，又 平面ADE 平面BCEF EP =，∴DEC ∠为平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的平面角．……………………7分4DC CE ==，∴cos CE DEC DE ∠==． 即平面ADE 与平面BCEF ． ……………………9分 （3）过点F 作FH AP ⊥于H ，连接EH ，根据（2）知A ，P ，E ，D 四点共面，////EP BC AD ，∴BC BF ⊥，BC AB ⊥，AD BC FEP又 AB BF B = ， BC ∴⊥平面ABP ， ∴BC FH ⊥，则FH EP ⊥．又 FH AP ⊥， FH ∴⊥平面ADE ．∴直线EF 与平面ADE 所成角为HEF ∠． ……………………………11分4DC CE ==，2BC BF ==，∴0sin 45FH FP ==EF ==HE =，∴cos HE HEF EF ∠===． 即直线EF 与平面ADE． ……………………………14分 （法二）（1） 四边形BCEF 为直角梯形，四边形∴BC CE ⊥，BC CD ⊥， 又 平面ABCD ⊥平面BCEF ，且 平面ABCD 平面BCEF BC =，DC ∴⊥平面BCEF ．以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y CD 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：(2,0,4)A ，(2,0,0)B ，(0,0,0)C ，(0,0,4)D ，(0,4,0)E ，(2,2,0)F ， 则(0,2,4)AF =- ，(2,0,0)CB =． ………………2分BC CD ⊥ ，BC CE ⊥， CB ∴为平面CDE 的一个法向量．又0220(4)00AF CB ⋅=⨯+⨯+-⨯=，//AF ∴平面CDE ． …………………………………………………………4分（2）设平面ADE 的一个法向量为1111(,,)n x y z = ，则110,0.AD n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩(2,0,0)AD =- ，(0,4,4)DE =-，∴11120440x y z -=⎧⎨-=⎩， 取11z =，得1(0,1,1)n = ． ……………………………6分 DC ⊥ 平面BCEF ，∴平面BCEF 一个法向量为(0,0,4)CD =，设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α，则cos α= 因此，平面ADE 与平面BCEF． …………………9分 （3）根据（2）知平面ADE 一个法向量为1(0,1,1)n =，(2,2,0)EF =- ，1111cos ,2EF n EF n EF n ⋅∴<>===-⋅，………12分 设直线EF 与平面ADE 所成角为θ，则cos sin ,EF n θ=<因此，直线EF 与平面ADE． ………………………14分 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．18． 解：（1）当=1n 时，有2114(11)(+1=1+2a a ⨯+）（），解得1=8a ．当=2n 时，有21224(21)(1)(22)a a a ⨯+++=+，解得2=27a ．……………2分（2）（法一）当2n ≥时，有2(2)4(1)1n n n a S n ++=+, ……………①211(1)4(1)n n n a S n--++=． …………………② ①—②得：221(2)(1)41n n n n a n a a n n-++=-+，即：331(1)=n n a n a n -+．…………5分 ∴1223333===1(1)(1)3n n n a a a a n n n --==+-…．∴ 3=(1)n a n + (2)n ≥．………………………………………8分 另解：33333121333121(1)42(1)(1)3n n n n n a a a n n a a n a a a nn ---+=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+- ． 又 当=1n 时，有1=8a ， ∴3=(1)n a n +． …………………………8分（法二）根据1=8a ，2=27a ，猜想：3=(1)na n +． ………………………………3分用数学归纳法证明如下：（Ⅰ）当1n =时，有318(11)a ==+，猜想成立． （Ⅱ）假设当n k =时，猜想也成立，即：3=(1)k a k +．那么当1n k =+时，有2114(11)(1)(12)k k k S k a +++++=++，即：211(12)4(1)11k k k a S k +++++=++，………………………①又 2(2)4(1)1kk k a S k ++=+， …………………………②①-②得：22223111(3)(2)(3)(2)(1)4=2121k k k k k a k a k a k k a k k k k ++++++++=--++++， 解，得33+1(2)(11)k a k k =+=++． ∴当1n k =+时，猜想也成立． 因此，由数学归纳法证得3=(1)n a n +成立．………………………………………8分（3） 211111=(1(11n n n b a n n n n n +=<=-+++))， .................................10分 ∴1231=n n n T b b b b b -+++++ (22222)11111=234(1)n n ++++++ (2)11111<22323(1)(1)n n n n +++++⨯⨯-+… 111111111=()()()()4233411n n n n +-+-++-+--+… 1113=4214n +-<+．………………………………………14分19．解：（1）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧===33a ce c ，解得a =1. （1分） 所以222312b c a =-=-=， （2分）故双曲线C 的方程为2212y x -=. （3分） （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，则有221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩. 两式相减得：121212121()()()()2x x x x y y y y -+=-+ ， （4分） 由题意得12x x ≠，221=+x x ，421=+y y ， （5分） 所以1)(221212121=++=--y y x x x x y y ，即1=AB k . （6分）故直线AB 的方程为1y x =+. （7分） （3）假设A 、B 、C 、D 四点共圆，且圆心为P. 因为AB 为圆P 的弦，所以圆心P 在AB 垂直平分线CD 上；又CD 为圆P 的弦且垂直平分AB ，故圆心P 为CD 中点M . （8分） 下面只需证CD 的中点M 满足|MA |=|MB |=|MC |=|MD |即可.由22112y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得：A （-1，0），B （3，4）. （9分）由（1）得直线CD 方程：3y x =-+， （10分）由22312y x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩得：C （-3+52，6-52），D （-3-52，6+52）， （11分）所以CD 的中点M （-3，6）. （12分） 因为102364||=+=MA ，102436||=+=MB ，1022020||=+=MC ，1022020||=+=MD ， （13分）所以||||||||MD MC MB MA ===，即 A 、B 、C 、D 四点在以点M （-3，6）为圆心，102为半径的圆上. （14分） 20．解：（1）∵3211()(0)32a f x x x ax a a -=+--> ∴()2()1(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-， （1分） 令()0f x '=，解得121,0x x a =-=> （2分） 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：故函数)(x f 的单调递增区间为（-∞，-1），（a ，+∞）；单调递减区间为（-1，a ）；（4分） 因此)(x f 在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，要使函数)(x f 在区间(2,0)-内恰有两个零点，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧<>-<-0)0(0)1(0)2(f f f ， （5分）解得103a <<， 所以a 的取值范围是（0，31）. （6分） （2）当a =1时，131)(3--=x x x f . 由（1）可知，函数)(x f 的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间为（-1，1）；31)1()(-=-=f x f 极大值. （7分）①当t +3<-1，即t <-4时，因为)(x f 在区间[t ，t +3]上单调递增，所以)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值为583311)3()3(31)3()(233max +++=-+-+=+=t t t t t t f x f ； （9分） ②当231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，因为)(x f 在区间(]1,-∞-上单调递增，在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，且31)1()2(-=-=f f ，所以)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为31)1()2(-=-=f f . （10分）由231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，且-1 [t ，t +3]，所以)(x f 在[,3]t t +上的最大值为31)1()(max -=-=f x f ； （11分） ③当t +3>2，即t >-1时， 由②得)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为31)1()2(-=-=f f . 因为)(x f 在区间（1，+∞）上单调递增，所以)2()3(f t f >+，故)(x f 在[],3t t +上的最大值为58331)3()(23max +++=+=t t t t f x f . （13分） 综上所述，当a =1时，)(x f 在[t ，t +3]上的最大值⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤--->-<+++=)14(31)14(58331)(23max t t t t t t x f 或. （14分）。

北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理工类） 2015.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{3,}A x x x =≤∈R ，{10,}B x x x =-≥∈N ，则AB =（ ）A ．{0,1}B ．{0,12},C ．{2,3}D ． {1,2,3}2．已知(0,)α∈π，且3cos 5α=-，则tan α=（ ） A ．34 B ．34- C ．43 D ．43-3. 已知等差数列{}n a 的公差为2，若124, , a a a 成等比数列，那么1a 等于（ ） A. 2 B. 1 C. 1- D. 2-4. 给出下列命题：①若给定命题p ：x R ∃∈，使得210x x +-<，则p ⌝：,x R ∀∈均有012≥-+x x ； ②若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；③命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+-x x 则2≠x ，其中正确的命题序号是（ ）A ．① B. ①② C. ①③ D. ②③5.已知函数()sin()(00)2f x A x x R A ωϕωϕπ=+∈>><，，，的图象（部分）如图所示，则()f x 的解析式是（ ）A ．()2sin()6f x x π=π+B ．()2sin(2)6f x x π=π+C ．()2sin()3f x x π=π+D ．()2sin(2)3f x x π=π+6.设p ：2101x x -≤-，q ：2(21)(1)0x a x a a -+++<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,)2B ．1[0,)2C ．1(0,]2D ．1[,1)27.在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=3=，,M N 分别是BC 边上的三等分点，则ANAM ⋅的值是A ．5B ．421C ．6D ．88.已知定义在R 上的函数⎩⎨⎧-∈-∈+=),0 ,1[,2),1 ,0[,2)(22x x x x x f 且)()2(x f x f =+．若方程()2=0f x kx --有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,1)3B ．11(,)34--C ．11(,1)(1,)33--D ．1111(,)(,)3443--第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.已知三个数π221(),log 3,log π2，其中最大的数是 ．10．已知平面向量2113()(-)，，，a =b =．若向量()λ⊥a a +b ，则实数λ的值是 ．11．如图，在ABCD 中，E 是CD 中点，BE xAB y AD =+，则x y += ．12.若函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0ωϕ≠>)是偶函数，则ϕ的最小值为 ．13. 若函数sin ()cos a x f x x -=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 .14. 如图，已知边长为4的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连结AE ，作EF ⊥AE 交∠BCD 的外角平分线于F .设BE x =，记()f x EC CF =⋅，则函数()f x 的值域是 ；当ECF ∆面积最大时，EF = .FEDCBA三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数2()cos2cos 222x x x f x =-. （Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调递减区间及对称轴方程.16. （本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差1d =，前n 项和为n S ，且1n nb S =. （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求证：1232n b b b b ++++<.17．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．且21cos -=B ． （Ⅰ）若322==b a ,，求角C ； （Ⅱ）求C A sin sin ⋅的取值范围．18. （本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+． （Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间; （Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥.19. （本小题满分14分）已知函数2()e (1)xf x ax bx -=++(其中e 是常数，0a >，b ∈R )，函数()f x 的导函数为()f x '，且(1)0f '-=．(Ⅰ)若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)当15a >时，若函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为4e ，试求,ab 的值．20. （本小题满分14分）已知实数数列}{n a 满足：),2,1(||12 =-=++n a a a n n n ，b a a a ==21,，记集合{|}.n M a n *=∈N（Ⅰ）若2,1==b a ，用列举法写出集合M ；（Ⅱ）若0,0<<b a ，判断数列}{n a 是否为周期数列，并说明理由； （Ⅲ）若0,0≥≥b a ，且0≠+b a ，求集合M 的元素个数的最小值.北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期中统一考试数学答案（理工类） 2015.11一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15. （本小题满分13分）解： 2()cos2cos 222x x xf x =-cos 1x x =-- 2sin() 1.6x π=--…………………………4分（I ）ππ()2sin 1036f =-=. …………………………6分 （II ）由22262k x k ππ3ππ+≤-≤π+得 22()33k x k k 2π5ππ+≤≤π+∈Z .所以函数)(x f 的单调递减区间是[2,2]()33k k k 2π5ππ+π+∈Z . ……10分 令62x k ππ-=π+得()3x k k 2π=π+∈Z .所以函数)(x f 的对称轴方程是()3x k k 2π=π+∈Z . …………………………13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为等差数列{}n a 中，11a =,公差1d =,所以21(1)22n n n n n S na d -+=+=. 则22n b n n=+. …………………………5分（Ⅱ） 因为222(1)n b n n n n ==++ ，所以12311112()122334(1)n b b b b n n ++++=++++⨯⨯⨯+11111112(1)223341n n =-+-+-++-+ 12(1)1n =-+. 因为1011n <<+， 所以1232n b b b b ++++<. …………………………13分 17．（本小题满分13分）（I ）在ABC ∆中，因为1cos 2B =-，又(0,π)B ∈，所以2π3B =，且sin B =由正弦定理,sin a bB =可得2sin A =则1sin 2A =. 又因为2π3B =，所以6A π=.所以6C π=. …………………………6分（II ）sin sin sin()sin A C C C π⋅=-⋅1sin )sin 2C C C=-⋅112cos244C C +- 11sin(2)264C π=+-因为(0,)3C π∈，所以52(,)666C πππ+∈. 所以1sin(2)(,1]62C π+∈.则C A sin sin ⋅的取值范围是1(0,]4. …………………………13分18. （本小题满分13分）解：函数的定义域为(0,)+∞.2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a f x x a x x x -++--'=+-+==.…………2分(Ⅰ)（1）当01a <<时，因为0x >，令()0f x '> 得1x >或0x a <<， 令()0f x '< 得1a x <<，所以函数()f x 的单调递增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调递减区间是(,1)a . （2）当1a =时，因为0x >，所以()0f x '≥成立.函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.（3）当1a >时，因为0x >，令()0f x '> 得x a >或01x <<， 令()0f x '< 得1x a <<，所以函数()f x 的单调递增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调递减区间是(1,)a .…………………………7分（Ⅱ）当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+，211(1)(1)()x x x f x x x x x-+-'=-+==.令()0f x '= 得1x =或1x =-（舍）.当x 变化时，(),()f x f x '变化情况如下表：所以1x =时,函数()f x 的最小值为(1)2f =. 所以1()2f x ≥成立. …………………………13分 19. （本小题满分14分）解：因为2()e (1)xf x ax bx -=++，所以2()e ((2)1)xf x ax a b x b -'=-+-+-．因为(1)0f '-=，所以(2)10a a b b ---+-=，即231b a =+． …………2分 (Ⅰ)当1a =时，2b =．又(0)1,(0)1f f '==，所以曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为11(0)y x -=-．即10x y -+=． …………………………5分(Ⅱ)由已知得231()e (1)2xa f x ax x -+=++． 所以23131()e [(2)1]22x a a f x ax a x -++'=-+-+-1e (1)[2(31)]2x x ax a -=-+--．因为0a >，131()e (1)[2(31)]e (1)()22x xa f x x ax a a x x a---'=-+--=-+-．因为15a >，所以3112a a->-．令31()e (1)()02xa f x a x x a --'=-+->得，3112a x a --<<； 令31()e (1)()02xa f x a x x a --'=-+-<得，1x <-或312a x a->． 所以函数()f x 在31(1,)2a a --上单调递增，在(,1)-∞-和31(,)2a a-+∞上单调递减．①若3112a a-≥，即1a ≥时，函数()f x 在区间[1,1]-上单调递增．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为131(1)(1)4e e 2a f a +=++=．解得28e 35a -=．显然符合题意．此时28e 35a -=， 212e 25b -=．②若3112a a -<，即115a <<时， 函数()f x 在31(1,)2a a --上单调递增，在31(,1)2a a-上单调递减．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为3113222319191()e e 222a a a a a a f a ------=⋅=⋅． 又因为115a <<，所以291452a -<<，131122a -<-<． 所以13122eee a --<<．所以1322291e 4e 5e 2a a --<⋅<． 不满足函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为4e.综上所述，28e 35a -=， 212e 25b -=为所求． …………………………14分20. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）}0,1,2,1{-=M ． …………………………2分 （Ⅱ）因为0,0<<b a ，),2,1(||12 =-=++n a a a n n n ，所以数列的前11项分别为：b a b a b a a b a b b a b a b a ,,,2,,,,2,,,-----+-----． 所以101112,a a a a a b ====．又因为),2,1(||12 =-=++n a a a n n n ，所以数列中10a 至18a 依次重复1a 至9a ， 以此类推，于是，对任意正整数n ，有1109,+++==n n n n a a a a ， 所以9是数列}{n a 的周期．使1122,T T a a a a ++==成立的最小9T =． ………………………………………8分 （Ⅲ）对b a ,分情况讨论．（1）若b a <<0，则数列的前5项b a a a b b a ---2,,,,中至少有4项互不相同； （2）若0>>b a ，则数列的前4项为b a a b b a 2,,,--，当02≥-b a 时，数列的第五、六项为b a b a --,32；当02<-b a 时，数列的第五、六项为b a b 3,+-. 易知数列中至少有4项互不相同；（3）若b a =<0，或0,0=>b a ，或0,0>=b a ，则由数列的前7项可知，数列中至少有4项a a a 2,,,0-，或b b b 2,,,0-互不相同．综上，集合M 的元素个数不小于4，又由（1）可知，当2,1==b a 时，集合M 的元素个数为4，所以，求集合M 的元素个数的最小值是4．…………………………14分。

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.B3.C4. D5.B6.C7. B8.D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 2,10x x ∃∈-≤R 10. 11. y =12. 60︒，30︒ 13. 210x y z -++= 14. ①②③ 注：12题第一空2分，第二空3分；14题少选不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：设AC 交BD 于点O ，连结OQ ． 【 1分】因为 底面ABCD 为菱形，所以 O 为AC 中点． 因为 Q 是PA 的中点，所以 OQ ∥PC ． 【 4分】 因为 OQ ⊂平面BDQ ，PC ⊄平面BDQ ，所以PC ∥平面BDQ ． 【 5分】 （Ⅱ）证明：连结OP ． 【 6分】因为 底面ABCD 为菱形，所以 BD AC ⊥，O 为BD 中点． 【 8分】 因为 PB PD =，所以 BD PO ⊥． 【10分】 所以 BD ⊥平面PAC ． 【11分】 因为 BD ⊂平面BDQ ，所以 平面PAC ⊥平面BDQ ． 【13分】16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为抛物线22(0)y px p =>的准线方程为2px =-， 【 2分】 所以 122p -=-， 解得1p =， 【 4分】所以 抛物线的方程为22y x =. 【 5分】 （Ⅱ）证明：设11(,)M x y ，22(,)N x y .将(2)y k x =-代入22y x =，消去y 整理得 22222(21)40k x k x k -++=. 【 7分】 所以 124x x =. 【 8分】由2112y x =，2222y x =，两式相乘，得 2212124y y x x =， 【 9分】注意到1y ，2y 异号，所以 124y y =-. 【10分】 所以直线OM 与直线ON 的斜率之积为12121y y x x ⋅=-， 【12分】 即 OM ON ⊥. 【13分】17.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为 111ABC A B C -直三棱柱， 所以 1AA AB ⊥，1AA AC ⊥. 又 AB AC ⊥，所以 AB ，AC ，1AA 两两互相垂直. 【 1分】如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -. 【 2分】则 (2,0,0)B ，(0,C ，1A ，1B ，1C .由 11111(42B D B C ==-u u u u r u u u u r ，得3(2D . 【 3分】所以 1(2BD =-u u u r ，1AC =u u u r . 因为 1330BD AC ⋅=-=u u u r u u u r， 【 4分】 所以 1BD A C ⊥. 【 5分】（Ⅱ）解：1(,22BD =-u u u r，1(2,0,A B =u u u r . 设平面1A DB 的一个法向量为111(,,)x y z =m ，则10,0.A B BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rm m 【 7分】 所以1111120,10.2x x y ⎧-=⎪⎨-++=⎪⎩ 取11z =，得3(,,1)22=-m . 【 9分】 又平面11A DB 的一个法向量为(0,0,1)=n ， 【10分】 所以1cos ,2⋅〈〉===m nm n m n， 【12分】因为二面角11B A D B --的平面角是锐角，所以二面角11B A D B --的大小是60︒. 【13分】18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为点B 在圆O．不妨设B，由对称性知1)C -， 【 2分】所以 312OB OC ⋅=-=u u u r u u u r． 【 5分】（Ⅱ）解：设00(,)B x y ，由对称性知00(,)C x y -，且22004x y +=． 【 6分】设1110(,)()P x y y y ≠±，则22114x y +=． 【 7分】101110:()PB y y l y y x x x x --=--，101110:()PC y y l y y x x x x +-=--． 【 9分】在上述方程中分别令0y =，解得 011010M x y x y x y y -=-，011010N x y x y x y y +=+． 【11分】所以 222222220110011022221010(4)(4)4M N x y x y y y y y x x y y y y ----⋅===--． 所以||||4OM ON ⋅=． 【13分】（Ⅰ）证明：由俯视图可得，222BD BC CD +=，所以 BD BC ⊥． 【 1分】 又因为 ⊥PD 平面ABCD ，所以 PD BC ⊥， 【 3分】所以 ⊥BC 平面PBD ． 【 4分】 （Ⅱ）证明：取PC 上一点Q ，使:1:4PQ PC =，连结MQ ，BQ ． 【 5分】由左视图知 4:1:=PD PM ，所以 MQ ∥CD ，14MQ CD =． 【 6分】在△BCD 中，易得60CDB ︒∠=，所以 30ADB ︒∠=，又 2=BD ， 所以1AB =，AD =又因为 AB ∥CD ，CD AB 41=，所以 AB ∥MQ ，AB MQ =． 所以四边形ABQM 为平行四边形，所以 AM ∥BQ ． 【 8分】 因为 ⊄AM 平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ，所以 直线AM ∥平面PBC ． 【 9分】 （Ⅲ）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43． 【10分】 证明如下：因为 ⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． 所以 )3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(M C B A D ．设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ． 【11分】 所以)3,0,3(-=AM ，)0,1,3(--=t BN ．要使AM 与BN 所成角的余弦值为43，则有 ||||||AM BN AM BN ⋅=u u u u r u u u ru u u u r u u u r ． 【12分】所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得 0=t 或2，均适合40≤≤t ． 【13分】 故点N 位于D 点处，或CD 中点处时，均符合题意． 【14分】（Ⅰ）解：由2220,3412,x y x y -=⎧⎨+=⎩解得x = 【 2分】所以,A C 两点的坐标为2和(2-， 【 4分】所以 AC ==【 5分】 （Ⅱ）解：① 当直线AD 的斜率不存在时，此时易得3(1,)2A ，3(1,)2B -，3(1,)2C --，3(1,)2D -，所以平行四边形ABCD 的面积为||||6AB CD ⋅=. 【 6分】② 当直线AD 的斜率存在时，设直线AD 的方程为(1)y k x =-，将其代入椭圆方程，整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=. 【 8分】 设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y .则 2142834k x x k+=+，214241234k x x k -=+. 【10分】 连结1AF ，1DF ，则平行四边形ABCD 的面积11214142||||2||AF D S S F F y y y y ∆==-=-. 【11分】又 2222214141414()()[()4]y y k x x k x x x x -=-=+-222216(1)9(34)k k k +=⨯+. 【13分】所以 6S =<. 综上，平行四边形ABCD 面积的最大值是6. 【14分】。

北京顺义区高丽营第一中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设P是椭圆上一动点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值是()参考答案：C略2. 如图，直线与直线的图像应是（）参考答案：A3. 在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为( )A． B． C． D．参考答案：D略4. 某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为 ( )A.15，5，25B.15，15，15C.10，5，30D.15，10，20参考答案：D略5. 若某班从名男生、名女生中选出人参加志愿者服务,则至少选出名男生的概率为( )A. B. C. D.参考答案：D6. 在等比数列{a n}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（）A．2 B．3 C．4 D ．8参考答案：A7. 2．一个口袋中装有个球，其中有个红球，个白球．现从中任意取出个球，则这个都是红球的概率是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C略8. 过点A(4,a)和B(5,b)的直线与直线y=x+m平行，则|AB|的值为( )A.6B.C.2D.不能确定参考答案：B略9. 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是( )A 、12.5 12.5B 、12.5 13C 、13 12.5D 、13 13参考答案：B 略10. 观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )． A ．76B ．80C ．86D ．92参考答案：B 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在等差数列{a n }中,若a 1+a 2=3,a 3+a 4=5,则a 7+a 8等于 .参考答案：9 略12. 计算的结果为▲ ．参考答案：即答案为.13. 已知椭圆的两个焦点为、，且，弦AB 过点，则△的周长为______________参考答案：20 略14. 已知函数过（1， 2）点，若数列的前n 项和为，则的值为_________. 参考答案：15. 三个互不重合的平面把空间分成部分，则所有可能值为__________．参考答案：，，或若三个平面互相平行，则可将空间分为部分；若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为部分； 若三个平面交于一线，则可将空间分成部分；若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分成部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点（如墙角三个墙面的关系），则可将空间分成部分．故的所有可能值为，，或．16. 以下四个命题：①已知A 、B 为两个定点，若（为常数），则动点的轨迹为椭圆.②双曲线与椭圆有相同的焦点.③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.④过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；其中真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）参考答案：②③。

顺义一中高二上学期期中测试数学试题一、 选择题（每题5分共40分）1.经过点A(3，0)且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程是（ ） A x-2y-3=0 B x-2y+3=0 C 2x+y+3=0 D 2x-y-3=02. 圆x 2＋y 2＝1和圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0的位置关系是( )A ．外切B ．内切C ．外离D ．内含 3. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于 ( )D 64．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中直线AC 与直线BC 1所成角为（ ）A 30︒B 60︒C 90︒D 45︒ 5. 圆x 2+y 2-4x=0在点（1，)3处的切线方程为（ ）A 023=-+y xB 043=-+y xC 043=+-y xD 023=+-y x 6．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是A 若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B 若l α⊥，l m //，则m α⊥C 若l α//，m α⊂，则l m //D 若l α//，m α//，则l m //7．一个正方体的表面积是6，则此正方体的外接球的体积是（ ）A π34B π86C π6D π23 8．曲线y=1+24x -与直线y=x+1有( )个交点 A 0 B 1 C 2 D 不确定二、填空题（每题5分共30分）9. 30y +-=的斜率是10. 已知直线方程：1l ：2x －4y ＋7=0；2l ：x －ay ＋5=0且1l ∥2l ，则a = 。

11. 圆1622=+y x 的点到直线03=--y x 的距离的 最大值是_____________．12．直线3x-y-6=0被圆x 2+y 2-2x-4y=0截得的弦AB 的 长为_____________13. 右图为某几何体的三视图如图，则几何体的表面积____体积为_________PABCM N14. 如上右图，P 为ABC ∆所在平面外一点，点M 、N 分别是PAB ∆、PBC ∆的重心则MN ：AC ＝——————————注意：请将选择题和填空题答案直接填在下表和横线上 9____________________10_______________11___________12__________13___________ _______ 14_________________ 三、解答题（共80分）15.（本题13分）已知平行四边形的两条边所在直线方程分别是x+y-1=0,3x-y+4=0且它的对角线的交点M(3，3),求这个平行四边形其他两边所在直线方程。

顺义一中2017-2018学年度第一学期期中考试高二数学试卷选择題（每雔5分共40分）1.经过点我口，0》且与直线2太十^54垂裒的直线方程是1^\ 11~2^~3^0 8 11~203二0 0 2農巧43二0 0 2叉-广3=02.0\^2的@心科导线太-少+3-0的距离为X 〉(^) I(日）2―《0 72 2^23、在正方体心-砩^：,马中，下列几种说法正确的是【〉丄扣^丄/^ ^水：,与00成45‘角0、与5^成60’角1两茛线丨雄302和卩广“广巧幻―】#)分别过定点浓及則丨必的值为105^若点#一2，一巩一^,一21寊线7过点/^丨)且4线段狀相交.则7的斜率及 的取伹范围是6丨〉汽.长是成身巧丨.―^6^设八历是两条不同的直线^“是一个平面，则下列命埋正确的是〈〉'^若7丄扣，埘仁汉.埘7丄汶11若7丄这.///历，则坩丄戊"7所///01.所//众.兑1"讯〔若///“，财^己知0戊/屮/巧和点#1，2厂则过4且与00相切的宜线与两坐铴轴围成的三角肜 的面枳为《〉11. 50-100^民己知圆+ ‘广4/疋丨和两点/((―叫巧所力乂历》技.若3(7上存在点尸，使得^尸5 = 90^则和的#大值为《517扎6 5二、墣空厢（毎185分共30分）9在直角坐标系中，鱼线冗今卜3。

0的斜串是^^10.知果两条直线I ：似十2少十6【0与々平行.那么口。

鲁11-己知实数X、乂满足釭十3少一丨0二0丨劂夕+^的最小值是―――12.过圓2十7二8内的点忾叫‘2〉作3线7交圆于1 8两点厂^57的傾斜免为丨衫。

.14.把正方形沿对角线50折成直二面角丨对于下列鈷论【①水:丄即②“以：为正三角形③45与平面识：!)成60‘炻其中正确结论是^^只填序号）三.解答0(共肋分）15.(本埋10分）如阁.己知烈垂貞于所在的平面，狀是0(7的直径，^'是0夕上任 敢一点.求证：疋丄平面产灰：16，（本尨8分）（丨）求经过两直线2^~37~330和#彡斗2二0的交点且与宜线七十广-1=0平行的夏线方程.(本西8分）〔2〉求拥心在1：夕一知：0上，与I轴相切，且被百线乓3-7=0截徇 弦长为20的圆的方捏.’14.把正方形沿对角线50折成直二面角丨对于下列鈷论【①水:丄即②“以：为正三角形③45与平面识：!)成60‘炻其中正确结论是^^只填序号）三.解答0(共肋分）15.(本埋10分）如阁.己知烈垂貞于所在的平面，狀是0(7的直径，^'是0夕上任 敢一点.求证：疋丄平面产灰：16，（本尨8分）（丨）求经过两直线2^~37~330和#彡斗2二0的交点且与宜线七十广-1=0平行的夏线方程.(本西8分）〔2〉求拥心在1：夕一知：0上，与I轴相切，且被百线乓3-7=0截徇 弦长为20的圆的方捏.17.(本埋13分〉細棱银户-赢^中，四边形仙⑶是平行四边形’^/’祝，2分别尸⑴求证：圆平面卩40(幻求证：似//^14818.(本313分）如图，矩形的两条对角线相交于点对(^!)),沁5边所在苴线的 方程为欠-3少~6二0点7'(-1,15在乂/)边所在直线上^(^)求边所在直线的方程：乃000求矩形450*2？外接睡的方程：19.(本小题瀵分“分）如图.在三棱柱籣棱垂宜于庠面’43丄识：.80丨，五、/1'分别为4。

2016顺义一中高二（上）期中数学（理）一、选择题：（本大题共有八道小题，每个小题只有一个正确答案，请将各题的正确答案填到下面相应的表格内，总分40分）1．（5分）“a，b是异面直线”是指（）A．a⊂平面a，b⊂平面β且α∩β=∅B．a⊂平面α，b⊄平面αC．a⊂平面α，b⊂平面βD．a∩b=∅且a不平行于b2．（5分）原点到直线x+2y﹣5=0的距离为（）A．1 B．C．2 D．3．（5分）直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或04．（5分）对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（）A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥α C．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α5．（5分）已知直线l的斜率k满足﹣1≤k＜1，则它的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．或D．或6．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A．8 B．10 C．12 D．147．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12 D．60+128．（5分）三条直线l1：x﹣y=0，l2：x+y﹣2=0，l3：5x﹣ky﹣15=0构成一个三角形，则k的取值范围是（）A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0C．k∈R且k≠±5，k≠﹣10 D．k∈R且k≠±5，k≠1二、填空题：（本大题共6道小题，请把正确答案填在相应的横线处，总分30分）9．（5分）已知点A（a，2）到直线l：x﹣y+3=0距离为，则a= ．10．（5分）在正四面体ABCD中，E是BC边的中点，则AE与BD所成角的余弦值为．11．（5分）已知三点A（0，a），B（2，3），C（4，5a）在一条直线上，则实数a的值是，直线的倾斜角是．12．（5分）过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．13．（5分）给出下列命题：①如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于β；②如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ③若α∥β，β⊥γ，则α⊥γ④若α⊥β，α∩β=a，a⊥b，则b⊥α．其中正确命题的序号是．14．（5分）已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（填上所有正确答案的序号）．①y=x+1；②y=2；③y=x．三、解答题：（本小题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．（13分）已知直线l与直线4x﹣3y+5=0垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．16．（13分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，．（Ⅰ）AB∥平面A1B1C；（Ⅱ）证明CB1⊥BA1；（Ⅲ）已知，求三棱锥C1﹣ABA1的体积．17．（13分）在△ABC中，已知2sinBcosA=sin（A+C）．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若BC=2，△ABC的面积是，求AB．18．（13分）已知两直线l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0．求分别满足下列条件的a，b的值．（1）直线l1过点（﹣3，﹣1），并且直线l1与l2垂直；（2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．19．（14分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB中点，F是DC上的点，且为△PAD中AD边上的高．（Ⅰ）证明：PH⊥平面ABCD；（Ⅱ）若PH=1，AD=2，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积；（Ⅲ）证明：EF⊥平面PAB．20．（14分）数列{a n}满足a1=a，a2=﹣a（a＞0），且{a n}从第二项起是公差为6的等差数列，S n是{a n}的前n项和．（1）当n≥2时，用a与n表示a n与S n；（2）若在S6与S7两项中至少有一项是S n的最小值，试求a的取值范围；（3）若a为正整数，在（2）的条件下，设S n取S6为最小值的概率是p1，S n取S7为最小值的概率是p2，比较p1与p2的大小．数学试题答案一、选择题：（本大题共有八道小题，每个小题只有一个正确答案，请将各题的正确答案填到下面相应的表格内，总分40分）1．【解答】在A中，a，b不相交，但a，b有可能平行，故A错误；在B中，a⊂平面α，b⊄平面α，直线a，b有可能相交或平行，故B错误；在C中，a⊂平面α，b⊂平面β，直线a，b有可能相交或平行，故C错误；在D中，a∩b=∅且a不平行于b，直线a，b既不相交又不平行，故“a，b是异面直线”，故D正确．故选：D．2．【解答】．故选D．3．【解答】当a=0时，两直线重合；当a≠0时，由，解得 a=，综合可得，a=，故选：A．4．【解答】∵两条不相交的空间直线a和b，有a∥b 或 a与b是异面直线，∴一定存在平面α，使得：a⊂α，b∥α．故选B．5．【解答】由直线l的斜率k满足﹣1≤k＜1，可得﹣1≤tanα＜1（0≤α＜π），则或．∴倾斜角α的取值范围是或．故选：D．6．【解答】由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C．7．【解答】三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底==10，S后=，S右==10，S左==6．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．故选：B．8．【解答】由l1∥l3得k=5，由l2∥l3得k=﹣5，由得，若（1，1）在l3上，则k=﹣10．故若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5且k≠﹣10．故选C．二、填空题：（本大题共6道小题，请把正确答案填在相应的横线处，总分30分）9．【解答】∵点A（a，2）到直线l：x﹣y+3=0距离为，∴，化为|a+1|=2，∴a+1=±2．解得a=1或﹣3．故答案为：1或﹣3．10．【解答】作AO⊥平面BCD，交平面BCD于点O，取BD中点F，以O为原点，OF为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，设正四面体ABCD的棱长为2，则A（0，0，），E（0，，0），B（1，，0），D（0，﹣，0），=（0，，﹣），=（﹣1，，0），设AE与BD所成角为θ，则cosθ===．∴AE与BD所成角的余弦值为．故答案为：．11．【解答】∵三点A（0，a），B（2，3），C（4，5a）在一条直线上，∴=，解得a=1．则实数a的值是1，设直线的倾斜角是θ，tanθ==1，解得θ=45°．故答案分别为：1；45°．12．【解答】①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y﹣3=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x﹣y=0．综上，所求直线的方程为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0．故答案为：2x﹣y=0或x+y﹣3=013．【解答】在①中，如果α⊥β，那么α内的直线与β相交、平行或包含于β，故①错误；在②中，如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么由面面垂直的性质得l⊥γ，故②正确；在③中，若α∥β，β⊥γ，则由面面垂直的判定定理得α⊥γ，故③正确；在④中，若α⊥β，α∩β=a，a⊥b，则b与α相交、平行或b⊂α，故④错误．故答案为：②③．14．【解答】设点M到直线的距离为d，①d==3＞4，故直线上不存在点到点M距离等于4，不是“切割型直线”；②d=2＜4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M距离等于4，是“切割型直线”；③d==4，直线上存在一点，使之到点M距离等于4，是“切割型直线”．故答案为：②③．三、解答题：（本小题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．【解答】依题意可设直线l的方程为y=kx+m，因直线l与直线4x﹣3y+5=0垂直，故有得故直线l的方程为，其与x轴、y轴的交点坐标分别为与（0，m），故直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为：，解得m=±6，因此，所求直线l的方程为或，即3x+4y﹣24=0或3x+4y+24=0．16．【解答】（ I）证明：∵AA1∥BB1，AA1=BB1∴四边形ABB1A1是平行四边形，∴AB∥A1B1．又AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C∴AB∥平面A1B1C．（ II）证明：连结B1C，AB1，∵AA1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥AA1，又，即AC⊥AB，AB∩AA1=A，AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，∴AC⊥平面ABB1A1，∵BA1⊂平面ABB1A1，∴AC⊥BA1．∴四边形ABB1A1是平行四边形，AB=AA1，∴四边形ABB1A1是正方形，∴AB1⊥BA1．又AC∩AB1=A，AC⊂平面AB1C，AB1⊂平面AB1C，∴BA1⊥平面AB1C，∵CB1⊂平面AB1C，∴CB1⊥BA1．（ III）∵，∠CAB=，∴．又，∴三棱锥C 1﹣ABA1的体积V=V===．17．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）∵A+B+C=π，∴sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB，…（3分）∴2sinBcosA=sin（A+C）化为：2sinBcosA=sinB，…（4分）∵B∈（0，π），∴sinB＞0，∴cosA=，…（6分）∵A∈（0，π），∴A=；…（7分）（Ⅱ）∵A=，∴cosA=，又BC=2，S△ABC=AB•AC•sin=，即AB•AC=4①，∴由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=AB2+AC2﹣AB•AC，…（9分）∴AB2+AC2=BC2+AB•AC=4+4=8，…（11分）∴（AB+AC）2=AB2+AC2+2AB•AC=8+8=16，即AB+AC=4②，联立①②解得：AB=AC=2，则AB=2．…（13分）18．【解答】（1）∵l1⊥l2，∴a（a﹣1）+（﹣b）•1=0，即a2﹣a﹣b=0①又点（﹣3，﹣1）在l1上，∴﹣3a+b+4=0②由①②得a=2，b=2．（2）∵l1∥l2，∴=1﹣a，∴b=，故l1和l2的方程可分别表示为：（a﹣1）x+y+=0，（a﹣1）x+y+=0，又原点到l1与l2的距离相等．∴4||=||，∴a=2或a=，∴a=2，b=﹣2或a=，b=2．19．【解答】（Ⅰ）由AB⊥平面PAD，PH⊆平面PAD可得：AB⊥PH，又PH为△PAD中边AD的高，即PH⊥AD，而AB∩AD=A，AB，AD⊆平面ABCD，故由线面垂直的判定定理可得：PH⊥平面ABCD．解：（Ⅱ）由E为PB中点可得：三棱锥E﹣BCF的体积为，而又由（1）可得：，故所求三棱锥E﹣BCF的体积为．证明：（Ⅲ）取AB的中点G，连接GE，GF，PF，由题意知：，又AG∥DF，故四边形ADFG为平行四边形，于是得AD∥FG，而EG为△ABP的中位线，故EG∥AP，又AD∩AP=A，EG∩FG=G，可得平面EFG∥平面ADP，而AB⊥平面ADP，于是有AB⊥平面EFG，又EF⊆平面EFG，因此，EF⊥AB，在Rt△PDF中，，在Rt△BFG中，，而PD=AD=FG，BG=AG=DF，故 BF=PF，在等腰三角形BPF中，E为底边BP的中点，于是有EF⊥BP，又AB∩BP=B，AB，BP⊆平面PAB，故由线面垂直的判定定理可得：EF⊥平面PAB．20．【解答】（1）由已知，当n≥2时，a n=﹣a+6（n﹣2），即a n=6n﹣（a+12）．∴S n=a1+a2+a3++a n=a+（n﹣1）（﹣a）+•6=3n2﹣（a+9）n+2a+6．（2）由已知，当n≥2时，{a n}是等差数列，公差为6，数列递增．若S6是S n的最小值，则即∴24≤a≤30．若S7是S n的最小值，则即∴30≤a≤36．∴当S6与S7两项中至少有一项是S n的最小值时，a的取值范围是[24，36]．（3）∵a是正整数，由（2）知，a=24，25，26，，36．当S6是S n最小值时，a=24，25，26，27，28，29，30当S7是S n最小值时，a=30，31，32，33，34，35，36∴p1=p2=．11 / 11。

2016-2017北京市顺义牛栏山第一中学高二期中考试数学试题理科一、选择题（每小题5分，共40分） 1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（）．A ．π4，1 B ．3π4，1- C ．π2，不存在D ．π，不存在【答案】C【解析】∵直线1x =垂直于x 轴， ∴倾斜角为π2，斜率不存在，故选C ．2．已知两条直线1:20l ax y --=，2:(2)10l a x y +-+=，若12l l ⊥，则a =（）．A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】D【解析】∵直线20ax y --=和(2)10a x y +-+=互相垂直， ∴(2)(1)(1)0a a ++--=，即2210a a ++=， 解得1a =-， 故选D ．3．圆心为(1,1)且过原点的方程是（）．A ．22(1)(1)1x y -+-=B ．22(1)(1)1x y +++=C ．22(1)(1)2x y +++=D ．22(1)(1)2x y +++=【答案】D， 所以圆的方程为22(1)(1)2x y -+-=， 故选D ．4．下列命题正确是（）．A ．垂直于同一直线的两直线平行B ．垂直于同一平面的两平面平行C ．平行于同一平面的两直线平行D ．垂直于同一直线的两平面平行【答案】D【解析】A 项，在空间，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，平行或异面，故A 错误；B 项，垂直于同一平面的两平面平行或相交，故B 错误；C 项，平行于同一平面的两条直线有可能相交，平行或异面，故C 错误；D 项，垂直于同一直线的两平面平行，故D 正确． 综上所述，故选D ．5．直线l 过点(2,0)-且与圆2220x y x +-=有两个交点时，斜率k 的取值范围是（）．A ．(-B ．(C ．⎛ ⎝⎭D ．11,88⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设直线l 为(2)y k x =+，因为直线l 与圆22(1)1x y -+=有两个交点， 所以圆心(1,0)到直线l 的距离小于半径，1<，解得k <<故选C ．6．椭圆22154x y +=上一点P ，以及点P 及1F 、2F 为顶点的三角形面积为1，则点P 的坐标为（）．A ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1⎫±⎪⎪⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．1⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设00(,)P x y ，则2200154x y +=，∵1212001||||||12PF F S F F y y =⋅==△，∴01y =±，0x =，∴点P 的坐标为1⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭， 故选D ．7．某三棱锥的三视图如图所示，则其表面积为（）．俯视图侧视图A．2+B．4C．2+D ．5【答案】A【解析】根据三视图画出该几何体的直观图，如图所示：DABC12222ABC S =⨯⨯=△；112ABC S ==△；112BCD S ==△122ACD S =⨯=△所以三棱锥的表面积22S =+++=+ 故选A ．8．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为1d ，2d ，3d ，4d ，则1234d d d d +++=（）．A ．12BC ．34D ．1【答案】B【解析】从P 与各顶点相连，构成4个小棱锥，如图所示：DABCP因为正四面体的边长为l，其高为h =， 则12341111133333Sh Sd Sd Sd Sd =+=+， ∴1234h d d d d =+++，∴1234d d d d +++= 故选B ．二、填空题（每小题5分，共30分）9．直线3210x y --=在y 轴上的截距为__________． 【答案】12-【解析】令0x =，解得12y =-，故直线321x y --在y 轴上的截距为12-．10．圆22230x y x y ++-=的圆心坐标为__________． 【答案】31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】22230x y x y ++-=化为标准方程为22313(1)24x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以圆心坐标为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．11．以(1,3)N 为圆心，并且与直线3470x y --=相切的圆的方程为__________．【答案】22256(1)(3)25x y -+-=【解析】因为点(1,3)N 到直线3470x y --=的距离1343711655d -⨯-==，所以由题意可知165r d ==， 故所求圆的方程为：22256(1)(3)25x y -+-=．12．某四棱锥三视图如图所示，则该四棱锥最长棱的棱长为__________．主视图侧视图俯视图【解析】由三视图画出四棱锥的直观图，如图所示，D ABCP底面ABCD 是正方形，PB ⊥底面ABCD ，所以最长的棱为PD ==．13．已椭圆221x my +=，则m =__________． 【答案】4或14【解析】椭圆化成标准方程得2211y x m+=，，∴22222234c a b e a a -===，224a b =， ∴14m=或41m =，故4m =或14．14．设1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，若在直线2a x c=上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是__________．【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】设直线2a x c=与x 轴的交点为Q ，连接2PF ，∵1PF 的中垂线过点2F ，∴122||||F F PF =，可得2||2PF c =，又∵22||a QF c c =-，且22||||PF QF ≥，∴22a c c c-≥，即223c a ≥，∴22213c e a =≥，e (0,1)e ∈1e <，故离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎣⎭．三、解答题（共80分）15．已知圆22:(1)9C x y -+=内有一点合(2,2)P ，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点 （Ⅰ）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程．（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求弦AB 的长． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）当弦AB 被点P 平分时，AB CP ⊥， ∵20221CP k -==-， ∴12AB k =-，∴直线l 的方程为12(2)2y x -=--，即260x y +-=．（Ⅱ）当直线斜率为l 时，直线l 的方程为y x =， 圆心(1,0)到直线l的距离2d =，圆的半径为3，故弦||AB ==．16．在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ．（Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ． （Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ．E DABC C 1B 1A 1【答案】见解析【解析】E A 1B 1C 1CBAD（Ⅰ）证明：连结1A B ， ∵D 是1AB 的中点，∴D 是1A B 的中点，∵在1A BC △中，D 是1A B 的中点，E 是1A C 的中点， ∴DE BC ∥，又DE ⊄平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ， ∴DE ∥平面11BCC B ．（Ⅱ）证明：∵111ABC A B C -是直棱柱， ∴1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA AB ⊥， 又AB AC ⊥， ∴AB ⊥平面11ACC A ， ∵AB ⊂平面11ABB A ， ∴平面11ABB A ⊥平面11ACC A ．17．已知直线1l 过点(1,2)P -且与直线2:110l x y -+=平行，直线3l 过点(0,1)Q 且与直线2:110l x y -+=垂直．（Ⅰ）求直线1l ，3l 的方程．（Ⅱ）若圆M 与1l ，2l ，3l 同时相切，求圆M 的方程． 【答案】见解析【解析】解：（1）设11:0l x y c -+=，将(1,2)-代入得1120C --+=，13C =， 故:30l x y -+=，设32:0l x y C ++=，将(0,1)Q 代入得21C =-， 故3:10l x y +-=．（2）联立3010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩，(1,2)A -，联立11010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得56x y =-⎧⎨=⎩，(5,6)B -，所以圆心坐标为(5,2)-或(1,6)-．又(5,2)-到30x y -+=的距离d =∴r =故与1l ，2l ，3l 都相切的圆的方程为22(5)(2)8x y ++-=或22(1)(6)8x y ++-=．18．椭圆C 一个焦点为(1,0)F ，离心率e =． （Ⅰ）求椭圆C 的方程式．（Ⅱ）定点(0,2)M ，P 为椭圆C 上的动点，求||MP 的最大值；并求出取最大值时P 点的坐标求．（Ⅲ）定直线:2l x =，P 为椭圆C 上的动点，证明点P 到(1,0)F 的距离与到定直线l 的距离的比值为常数，并求出此常数值． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）根据题意得1c =，c e a ==∴a =1c =，1b =， 故椭圆C 的方程为2212x y +=．（Ⅱ）设P 点坐标为10(,)x y ，则220012x y +=，||MP ===∵011y -≤≤，∴当01y =-时，MP 取得最大值3．∴||MP 最大值为3，此时P 点坐标为(0,1)-．（Ⅲ）设P 点(,)x y ，则2212x y +=，P 点到(1,0)F ===)x =-， P 到直线2x =的距离为2x -，∵)22x x -=-， 故P 到(1,0)F．19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ．D AB CEF P（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ． 【答案】见解析【解析】P FECBAD（Ⅰ）证明：∵PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PD BC ⊥，又∵底面ABCD 为矩形， ∴BC CD ⊥， ∴BC ⊥平面PCD ， ∵BC ⊂平面PBC ， ∴平面PCD ⊥平面PBC ．（Ⅱ）证明：∵PD DC =，E 是PC 中点， ∴DE PC ⊥，又平面PCD ⊥平面PBC ，平面PCD 平面PBC PC =， ∴DE ⊥平面PBC ，∴DE PB ⊥，又∵EF PB ⊥，EFDE E =，∴PB ⊥平面EFD ．20．已知椭圆C 的标准方程为2211612x y +=，点(0,1)E ． （Ⅰ）经过点E 且倾斜角为3π4的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求||AB ． （Ⅱ）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、N 且||||ME NE =，若存在，求出直线p 斜率的取值范围；若不存在说明理由．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）l 经过点(0,1)E 且倾斜角为3π4， 所以直线l 的方程为1y x =-+， 联立22111612y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩或227157x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴||7AB ==． （Ⅱ）设直线:p y kx m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 将直线:p y kx m =+与椭圆联立可得：2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(34)84480k x kmx m +++-=， ∴2222644(34)(448)0k m k m ∆=-+->，∴221612k m +>， ∴122834km x x k -+=+，212244834m x x k -=+， 设MN 中点00(,)F x y ， ∴12024234x x km x k +-==+，002334m y kx m k =+=+， ∵||||ME NE =，∴EF MN ⊥，∴1EF k k ⋅=-，∴2231341434m k k kmk -+⋅=--+， ∴2(43)m k =-+代入①可得：2221612(43)k k +>+，∴4216830k k +-<，解得1122k -<<． 故直线p 斜率的取值范围是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．。