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即13
7
=
2������������++11,解得
m=6.故选
B.
关闭
B
解析 答案
-19-
考点1 考点2 考点3
考向2 项的系数的最值问题
例 5 已知(3√x+x2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x-1)n 的展开式的
二项式系数和大 992,则在
2x-
1 x
2n
的展开式中,二项式系数最大的
项为
大值
-4-
知识梳理 考点自测
1.������n0 + ������n1 + ������n2+…+������nn=2n. 2.������n0 + ������n2 + ������n4+…=������n1 + ������n3 + ������n5+…=2n-1.
-5-
知识梳理 考点自测
12345
项的n的最小值是( )
A.3
B.4
C.5 关闭
D.6
∵Tk+1=C������������ (x2)n-k
1 2������ 3
������
=
1 2������
C������������ x2n-5k,∴令
2n-5k=0,得
n=52k,∴n
的最
小值是 5.
关闭
C
解析 答案
-8-
知识梳理 考点自测
12345
1+30+90+20=141.
考点1 考点2 考点3
-17-
(方法二)将
1 + ������ + 1
������
6
看作 6 个因式相乘,要得到常数,取因式中的
6 个 1 相乘,或取 1 个 x,1 个���1���,4 个 1 相乘,或取 2 个 x,2 个���1���,2 个 1 相
乘,或取 3 个 x,3 个���1���相乘,故常数项为 1+C61C51 + C62C42 +
故展开式中 x3y3 的系数为 80-40=40.
(2)展开式的通项公式 Tr+1=C5������ ·(x3)5-r·2√1������
������
=
C5������ ·2-r·������15-72������ (r=0,1,2,…,5). 令 15-72r=8,得 r=2,于是展开式中 x8 的系数是C52·2-2=52.
关闭
4n
解析 答案
-10-
考点1 考点2 考点3
考点 1 通项公式及其应用(多考向)
考向1 已知二项式求其特定项(或系数)
(
例1(1)(2017吉林长春模拟) )
������
2
-
2 ������3
5
的展开式中的常数项为
A.80 B.-80 C.40 D.-40
(1)(∵2)Tr���+���21=- 1���C��� 5������8(的x2)展5-r开- ���式���23 中������ =,x(7-2的)rC系5������ x数10为-5r,
关闭
由于(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,其展开式的通项为
Tr+1=C5������ (x2+x)5-ryr(r=0,1,2,…,5),因此只有当 r=2 时,T3=C52(x2+x)3y2
中才能含有 x5y2 项.设(x2+x)3 的展开式的通项为
Ti+1=C3������ (x2)3-i·xi=C3������ x6-i(i=0,1,2,3),令 6-i=5,得 i=1,则(x2+x)3 的展开式
12345
5.1+3C���1��� +9C���2��� +…+3nC������������=
.
关闭
∵(1+3)n=C���0��� + C���1��� ·3+C���2��� ·32+…+C������������ ·3n,∴1+3C���1��� +9C���2��� +…+3nC������������ =4n.
中 x5 项的系数是C31=3,故(x2+x+y)5 的展开式中,x5y2 的系数是
关闭
CC52·3=10×3=30.
解析 答案
-12-
考点1 考点2 考点3
考向3 求因式之积的特定项系数
例3(2017全国Ⅰ,理6)
1
+
1 ������2
(1+x)6
展开式中x2的系数为(
)
A.15 B.20 C.30 D.35
(5)在(a+b)n的展开式中,某项的系数与该项的二项式系数相同.(
)
(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
关闭
答案
-6-
知识梳理 考点自测
12345
2.
2������-
1 ������
4
的展开式中的常数项为(
)
A.-24 B.-6
C.6 D.24
关闭
因为二项展开式的通项 Tr+1=C4������ (2x)4-r
11.3 二项式定理
-2-
知识梳理 考点自测
1.二项式定理
二项式定理 二项展开式
(a+b)n= C���0��� an+C���1��� an-1b+…+C������������ an-rbr+…+C������������ bn (n
∈N+)
Tr+1= C������������ an-rbr ,它表示第
2.求三项展开式中某些特定项的系数的方法:(1)通过变形先把三 项式转化为二项式,再用二项式定理求解;(2)两次利用二项式定理 的通项公式求解;(3)由二项式定理的推证方法知,可用排列、组合 的基本原理去求,即把三项式看作几个因式之积,要得到特定项看 有多少种方法从这几个因式中取因式中的量.
3.求两个因式之积的特定项系数也有两种方法:(1)利用通项公式 法;(2)利用排列组合法.
数项时 r=2m.
由题可知 r∈{0,1,2,3,4,5,6},m∈{0,1,2,3,4,5,6},则 m 的可能取值为
0,1,2,3,对应的 r 分别为 0,2,4,6.
当 m=0,r=0 时,常数项为 1;当 m=1,r=2 时,常数项为 30;当 m=2,r=4
时,常数项为 90;当 m=3,r=6 时,常数项为 20.故常数项为
关闭
.(用数字作答)
由 思10考-5r如=0何,得求r二=2项, 展开式的项或特定项的系数?若已知特定项的系
∴数T如3=何(-2求)2二C52项=4式0.中的参数?
(2)∵展开式的通项为
Tr+1=C8������ (x2)8-r·-
1 ������
������
=(-1)rC8������ x16-3r,令 16-3r=7, 关闭
,系数的绝对值最大的项为
.
思考如何求二项展开式中项的系数的最值? 答案:-8 064 -15 360x4
-20-
考点1 考点2 考点3
解析:由题意知,22n-2n=992,即(2n-32)(2n+31)=0,故 2n=32,解得 n=5.由
二项式系数的性质知,
2������-
1 ������
10
的展开式中第 6 项的二项式系数最
r+1 项(0≤r≤n,r
的通项公式 ∈N)
二项式系数 二项展开式中各项的系数为C���0��� , C���1��� ,…,C������������
-3-
知识梳理 考点自测
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称 性 增减 性
最大 值
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,
即 C������������ = C������������-������
(方法二)(1+x)6 的二项展开式通项为 Tr+1=C6������xr,
1
+
1 ������ 2
(1+x)6 的展
开式中含 x2 的项的来源有两部分,一部分是 1×C62x2=15x2,另一部分
是������12 × C64x4=15x2,故
1
+
1 ������ 2
(1+x)6 的展开式中含 x2 的项为
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)(a+b)n 的展开式中的第 r 项是C������������ an-rbr. ( )
(2)在二项展开式中,系数最大的项为中间的一项或中间的两项.(
) (3)在(a+b)n的展开式中,每一项的二项式系数都与a,b无关.( )
(4)通项Tr+1=Cnran-rbr中的a和b不能互换.( )
C63C33=1+30+90+20=141.
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考点1 考点2 考点3
考点 2 二项式系数的性质与各项系数和(多考向)
考向1 二项式系数的最值问题
例 4 已知 m 为正整数,(x+y)2������ 展开式的二项式系数的最大值为 a,(x+y)2������+1展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a=7b,则
大,故二项式系数最大的项为 T6=C150(2x)5
-
1 ������
5
=-8 064.
