七-八年级三角形的奥数题及其答案

初中数学奥数题及答案篇一:经典初中数学题【题4】已知:如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AB?ED，AC?FD，证明AB=DE，AC=DF.【题5】已知:如图，?ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA,3，PB,4，PC,5( 【题6】如图:?ABC中，?ACB=90?，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF?AE，垂足是F，过B作BD?BC交CF的延长线于D。

(1) 求证:AE=CD;(2) 若AC=12?，求BD的长.【题7】等边三角形CEF于菱形ABCD边长相等. 求证:(1)?AEF=?AFE(2)角B的度数【题8】如图，在?ABC中，?C=2?B，AD是?ABC的角平分线，?1=?B，求证:AB=AC+CD.【题9】如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F. 求证:AF=FC121【题10】如图，将边长为1的正方形ABCD绕点C旋转到A'B'CD'的位置，若?B'CB=30度，求AE的长.【题11】AD,BE分别是等边?ABC中BC,AC上的高。

M,N分别在AD,BE的延长线上，?CBM=?ACN.求证AM=BN.【题12】已知:如图，AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，点E、F在AD上，且AE=DF，?ABE,?DCF.【练1】如图，已知BE垂直于AD，CF垂直于AD，且BE=CF. (1)请你判断AD是三角形ABC的中线还是角平分线,请证明你的结论。

(2)链接BF,CE，若四边形BFCE是菱形，则三角形ABC中应添加一个什么条件,篇二:初中奥数题及答案初中奥数题试题一一、选择题(每题1分，共10分)1(如果a，b都代表有理数，并且a，b=0，那么 ( ) A(a，b都是0 B(a，b之一是0 C(a，b互为相反数 D(a，b互为倒数答案:C解析:令a=2，b=,2，满足2+(,2)=0，由此a、b互为相反数。

八上数学奥数题三角形
（最新版）
目录
1.三角形的基本概念和性质
2.三角形的分类
3.三角形的重要定理
4.三角形的应用
正文
数学中的三角形是指由三条线段组成的封闭图形。

它是几何学中最基本的形状之一，具有许多重要的性质和定理。

下面我们将详细介绍三角形的基本概念、分类、重要定理以及其在数学奥数题中的应用。

一、三角形的基本概念和性质
1.三角形的概念：三角形是由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。

2.三角形的性质：三角形具有稳定性，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

同时，三角形的内角和为 180 度。

二、三角形的分类
1.按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。

2.按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

三、三角形的重要定理
1.勾股定理：在直角三角形中，直角边上的两个边长平方和等于斜边的平方。

2.余弦定理：在任意三角形中，任意一角的余弦值等于其余两角的余弦值之和。

3.正弦定理：在任意三角形中，任意一角的正弦值等于其余两角的正弦值之比。

四、三角形的应用
1.在解直角三角形问题时，通常利用勾股定理解直角三角形，求解边长或角度。

2.在解任意三角形问题时，可以利用余弦定理和正弦定理解出角度或边长。

在数学奥数题中，三角形问题通常涉及角度和边长的计算、三角形形状的判断等。

掌握三角形的基本概念、性质、定理和应用，有助于提高解决这类问题的能力。

《三角形综合》例题1: AD, EF, BC相交于O点，且AO OD, BO= OQ EO= OF.求证：△ AEE^A DFC例题2：P为正方形ABCD对角线BD上任一点，PF丄DQ PE! BC.求证：APIEF.例题3：A ABC的高AD与BE相交于H,且BH k AC.求证：/ BCh+=Z ABC例题4:在正方形ABCD中, P, Q分别为BC CD边上的点，/ PAQ= 45求证：PQ= PB+ DQ例题5:过厶ABC的顶点A分别作两底角/于E.求证：ED// BC.例题6:如图，P是等边三角形ABC内部的一点，PA= 2, PB= 2 3, PC= 4,求ABC的边例题7:如图（I），凸四边形ABCD如果点P满足/ APD=Z APB=a。

且/ BPC= L ----------- PB和/C的角平分线的垂线，AD丄BD于D, AE丄CE长./ CPD=B,则称点P为四边形ABCD的—个半等角点.（I ）在图（3 ）正方形ABCD内画一个半等角点P,且满足a^B。

（2 ）在图（4 ）四边形ABCD中画出一个半等角点P,保留画图痕迹（不需写出画法）.（3 ）若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2 （如图（2）），证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点。

O到厶ABC的两边AB AC所在直线的距离相等，且(3)若点O在厶ABC的外部，AB= AC成立吗？请画图表示。

A ASts(1)如图1,若点O在BC上，求证:AB= AC;(2)如图2,若点O在厶ABC的内部，求证:AB= AC;例题8:已知：点ACB 的平分线相交于点 O,过点0作EF// BC 交AB190°+A ; 2③设OD m AEAF n 贝卜S AEF④EF 不能成ABC 的中位线.2.如图1, AB CD 是两条线段， M 是AB 的中点，S DMC S DAC和S DBC 分别表示△ DNC△ DAC △ DBC 的面积。

相似三角形奥数题121．如图，等腰△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AC于E，F 为DE的中点，AF、BE交于H，求证：AF⊥BE。

2．如图，△ABC中，∠C=90°，D、E是BC边上的点，且∠ABC=1 2∠ADC=13∠AEC。

若BD=11，DE=5，求AC。

3．如图，等腰Rt△ABC中，B=90，AD是BC边的中线，BE⊥AD交AC于E，EF⊥BC。

若AB=BC=a，求EF。

4．如图，在锐角三角形ABC中，AD、CE分别为BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=22，求点B到AC的距离。

5．如图，△ABC中，DE∥BC，已知S△OBC=n2，S△BOD=mn(n>m)，其中O为BE和CD的交点，求S BCED和S ADE 。

6．如图，D为等边△ABC的边BC上一点。

已知BD=1，CD=2，CH⊥AD于点H，连结BH。

试证：∠BHD=60°。

7．如图，平行四边形ABCD的面积是60，E、F分别是AB、BC的中点，AF与DE、DB分别交于G、H，求四边形EBHG的面积。

8．如图，在等边△ABC 的BC 边上有一点D ，BD : DC=1 : 2，作CH ⊥AD ，H 为垂足，连结BH ，求证：△ADB ∽△BDH 。

9．如图，△ABC 中，BC=2AC ，D 、E 分别是BC 、AB 上的点，且∠1=∠2=∠3。

如果△ABC 、△EBD 、△ADC 的周长为m 、m 1、m 2，求12m m m的值。

10．如图，在直线l 的同侧有三个相邻的等边三角形△ABC 、△ADE 、△AFG ，且G 、A 、B 都在直线l 上，设这三个三角形边长分别为a 、b 、c ，连结GD 交AE 于N ，连BN 交AC 于L ，求AL 的长。

11．如图，△PQR 与△P'Q'R'是两个全等的等边三角形，六边形ABCDEF 的边长分别记为AB=a 1，BC=b 1，CD=a 2，DE=b 2，EF=a 3，FA=b 3，求证：a 12+a 12+a 12= b 12+b 12+b 12为BC 外一动点，当A 运动到使∠BAP=∠CAQ 时，△ABC 是什么三角形？证明你的结论。

八上数学奥数题三角形摘要：1.三角形的基本概念2.三角形的分类3.三角形的性质4.三角形的应用5.八上数学奥数题中的三角形问题正文：【三角形的基本概念】三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形有三个顶点和三个内角，内角之和为180 度。

根据三角形的边长关系，可以分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形。

【三角形的分类】1.不等边三角形：三条边长都不相等的三角形。

2.等腰三角形：有两条边长相等的三角形。

3.等边三角形：三条边长都相等的三角形。

【三角形的性质】1.稳定性：三角形的三个顶点固定，三条边长确定，不会发生形状变化。

2.内角和：三角形的三个内角之和为180 度。

3.外角和：三角形的三个外角之和为360 度。

4.内角平分线：三角形的每个内角平分线将相对边分成两段，这两段之比等于这两个内角的度数之比。

5.外角平分线：三角形的每个外角平分线将相对边分成两段，这两段之比等于这两个外角的度数之比。

6.高：从三角形的一个顶点到对边作垂线，垂足到顶点的线段称为高。

【三角形的应用】三角形在实际生活和数学问题中有广泛的应用，如建筑结构、测量土地、解决几何问题等。

在数学中，三角形是许多几何概念的基础，如相似、全等、角平分线、中线等。

【八上数学奥数题中的三角形问题】八上数学奥数题中的三角形问题主要涉及三角形的性质、分类、计算和应用。

例如，求解三角形的面积、周长、角度、高、中线等。

解决这类问题需要熟练掌握三角形的基本概念和性质，灵活运用相关定理和公式。

学校奥数题及答案解析学校奥数题及答案解析1.三边均为整数，且最长边为11的三角形有多少个？参考答案：11,11,11;11,11,10;11,11,9;...11,11,1;11,10,10;11,10,9;...11,10,2;11,9,9;...11,9,3;11,8,8;...11,8,4;11,7,7,...11,7,5;11,6,6;1+3+5+7+9+11=6^2=36假如将11改为n的.话，n=2k-1时，为k^2个三角形；n=2k时，为(k+1)k个三角形。

2.已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数确定含有无穷多个完全平方数．参考答案证明：首先由级数各项为正可知公差d=0,d=0,则a1=a2=a3=...=an=...所以只要有一项为完全平方数，全部项均为完全平方数，由于级数的项数为无限，所以命题得证。

d0，时d确定为正整数。

不妨设第i项为完全平方数ai=k^2(i=1,2,3,...),则ai+(2k+d)d=k^2+2kd+d^2=(k+d)^2,也为完全平方数，所以第i+(2k+d)d项为完全平方数，一般的有i+(2nk+n^2d)(n=1,2,3,...)项均为完全平方数（数学归纳法的证明略），由于n可取无穷项，所以命题得证。

综上命题成立。

3.求全部的素数p，使4p^2＋1和6p^2＋1也是素数．参考答案考虑p对5的余数,余数为1时余数为1时：4p^2+1≡4*1+1≡0(mod5)，由于4p^2+1=4*2^2+1=17,而又可以被5整除，所以确定不是素数；余数为2时：6p^2+1≡6*4+1≡0(mod5)，由于6p^2+1=6*2^2+1=25,而又可以被5整除，所以确定不是素数；余数为3时：6p^2+1≡6*9+1≡0(mod5)，由于6p^2+1=6*2^2+1=25,而又可以被5整除，所以确定不是素数；余数为4时：4p^2+1≡4*16+1≡0(mod5)，由于4p^2+1=4*2^2+1=17,而又可以被5整除，所以确定不是素数；所以由上可知5|p，然而p是质数，所以p只能是5。

【导语】三⾓形是由同⼀平⾯内不在同⼀直线上的三条线段‘⾸尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应⽤。

常见的三⾓形按边分有普通三⾓形（三条边都不相等），等腰三⾓（腰与底不等的等腰三⾓形、腰与底相等的等腰三⾓形即等边三⾓形）；按⾓分有直⾓三⾓形、锐⾓三⾓形、钝⾓三⾓形等，其中锐⾓三⾓形和钝⾓三⾓形统称斜三⾓形。

下⾯是为⼤家带来的初⼆年级奥数三⾓形测试题及答案，欢迎⼤家阅读。

⼀、选择题（每⼩题3分，共30分）1.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直⾓三⾓形的是（）．A. 6，8，10B. 8，15，17C. 1，√3，2D. 2，2，2√3【答案】D2. P为△ABC外部⼀点，D，E分别在AB，AC的延长线上，若点P到BC，BD，CE的距离都相等，则关于点P的说法的是( )A. 在∠DBC的平分线上B. 在∠BCE的平分线上C. 在∠BAC的平分线上D. 在∠DBC，∠BCE，∠BAC的平分线上【答案】D3.在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂⾜分别为E，F，则下列四个结论中：①AB上任⼀点与AC上任⼀点到D的距离相等；②AD上任⼀点到AB，AC的距离相等；③∠BDE＝∠CDF；④∠1＝∠2.正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C4. 到三⾓形三个顶点距离相等的点是（ ）A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三条⾼线的交点C. 三条边的中线的交点D. 三条⾓平分线的交点【答案】A5. 如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）A. AB=2BDB. AD⊥BCC. AD平分∠BACD. ∠B=∠C【答案】A6. 等腰三⾓形⼀腰上的⾼与另⼀腰的夹⾓是50°，则这个等腰三⾓形的底⾓为（ ）A. 70°B. 20°C. 70°或20°D. 40°或140°【答案】C7.在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于点D，若AC=6，则BD=（）A. 6B. 3C. 9D. 12【答案】C8.有A、B、C三个居民⼩区的位置成三⾓形，现决定在三个⼩区之间修建⼀个购物超市，使超市到三个⼩区的距离相等，则超市应建在( )A. 在AC、BC两边⾼线的交点处B. 在AC、BC两边中线的交点处C. 在∠A、∠B两内⾓平分线的交点处D. 在AC、BC两边垂直平分线的交点处【答案】D9.OD平分，则的度数是（）A.5°B.16°C.18°D.24°【答案】A10.Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A⼆、填空题（每⼩题3分，共30分）11.等腰三⾓形的底⾓是50°，则顶⾓的度数为__________【答案】80°12.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂⾜为D，AC=4cm，CB=8cm，△ACE的周长是_____．【答案】12cm13. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M在AB上，且∠ACM＝∠BAC，则CM的长为_______．【答案】9；14.等腰三⾓形的⼀边是7，另⼀边是4，其周长等于__________.【答案】15或1815.如图，在平分，则的度数是__________．【答案】30°16. 在△ABC中，AD是它的⾓平分线，若S△ABD：S△ACD＝3：2，则AB：AC＝_______．【答案】3:2；17.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=26°，则∠CDE= ．【答案】71°．18. 等边三⾓形是⼀个轴对称图形，它有条对称轴．【答案】3等腰三⾓形⼀腰上的⾼与另⼀腰的夹⾓是28°，则顶⾓是．【答案】62°或118°20.已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三⾓形，若OA1=a，则△A6B6A7的边长为．【答案】32【解析】三、解答题21. （7分）点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，求∠AOD的度数．【答案】110°22. （7分）尺规作图：如图所⽰，直线、、为围绕区域的三条公路，为便于公路维护，需在区域内筹建⼀个公路养护处，要求到三条公路的距离相等，请利⽤直尺和圆规确定符合条件的点的位置（保留作图痕迹，不写作法）．23.（7分）在四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：OC平分∠ACD.试题解析：过点O作OE⊥AC，∴OE=OB ⼜∵点O为BD的中点∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC平分∠ACD．24. （7分）在△ABC中，AB=AC，BD是⾓平分线，BD=AD，求∠A的度数．【答案】∠A=36°25. （10分）在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的⾼，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E．求证：CE=AB．【答案】证明略．26. （10分）直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．①⽤含x的代数式表⽰∠EOF;②求∠AOC的度数．【答案】（1）55°；（2）①∠FOE= x;②100°．27. （12分）已知P点是∠AOB平分线上⼀点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂⾜为C、D．（1）求证：∠PCD＝∠PDC；（2）求证：OP是线段CD的垂直平分线.试题解析：（1）∵OP是∠AOB的⾓平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC＝PD，∴∠PCD＝∠PDC；（2）∵OP是∠AOB的⾓平分线，∴∠COP＝∠DOP，∵PC⊥OA，PD⊥OB，∴∠OCP＝∠ODP＝90°，∴点O在CD的垂直平分线上，∵PC＝PD，∴点P在CD的垂直平分线上，∴OP是CD的垂直平分线.。

【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。

奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更⾼、更强。

国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。

下⾯是为⼤家带来的⼋年级奥数全等三⾓形试题及答案，欢迎⼤家阅读。

1．如图，∠D=∠C=90°，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA=28°，则∠ABE的度数是（）A. 62°B. 31°C. 28°D. 25° 2．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，测得BC=9，BE=3，则△BDE的周长是 ( )A. 6B. 9C. 12D. 15 3．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A. 30°B. 40°C. 20°D. 35° 4．如图，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（ ）A. 4B. 5C. 6D. ⽆法确定 5．如图，在和中，，若添加条件后使得≌，则在下列条件中，不能添加的是（）．A. ，B. ，C. ，D. ， 6．如图，某同学把⼀块三⾓形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配⼀块完全⼀样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）A. 带①去B. 带②去C. 带③去D. 带①和②去 7．如图，在四边形ABCD中，M、N分别是CD、BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC，已知∠MAN = 74°，∠DBC = 41°，则∠ADC的度数为（）．A. 49°B. 47°C. 45°D. 43° 8．如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75° 9．如图，AD是△ABC中∠BAC的⾓平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是 ． 10．如图，已知OC平分∠AOB，CD//OB，若OD=3cm，则CD=___________cm. 11．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的⾼，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的⾯积等于_____． 12．如图，△ABC≌△DEF，已知∠A＝50°，∠B＝60°，则∠F＝____度. 13．如图，△ABC中，BA=BC，∠ABC=40°，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点O，E在BC边上，F在AC边上，将∠A沿直线EF翻折，使点A与点O恰好重合，则∠OEF的度数是_____． 14．如图，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE．若∠A=40°，则∠FDE=__________°． 15．如图，点C、D在BE上，BC=DE，∠1=∠2，要使得△ABD≌△AEC，还需要添加⼀个边或⾓的条件，你添加的条件是__________． 16．如图，直线l上有三个正⽅形a，b，c，若a，c的边长分别为5和12，则b的⾯积为_________________. 17．如图，在 ABC中，∠ABC=45°，AD,BE是 ABC的⾼，AD,BE相交于点F.求证：BF=AC． 18．⑴已知：如图1，等腰直⾓三⾓形ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的外⾓平分线，交CB边的延长线于点D．求证：BD=AB+AC ⑵对于任意三⾓形ABC，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的外⾓平分线，交CB边的延长线于点D，如图2，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系并加以证明． 图1 图2 19．如图，校园有两条路OA、OB，在交叉⼝附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这⾥安装⼀盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌⼀样远，并且到两条路的距离也⼀样远，请你⽤尺规作出灯柱的位置点P。

【导语】经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三⾓形叫做全等三⾓形，⽽该两个三⾓形的三条边及三个⾓都对应相等。

全等三⾓形指两个全等的三⾓形，它们的三条边及三个⾓都对应相等。

全等三⾓形是⼏何中全等之⼀。

根据全等转换，两个全等三⾓形经过平移、旋转、翻折后，仍旧全等。

正常来说，验证两个全等三⾓形⼀般⽤边边边（SSS）、边⾓边（SAS）、⾓边⾓（ASA）、⾓⾓边（AAS）、和直⾓三⾓形的斜边，直⾓边（HL）来判定。

下⾯是为⼤家带来的⼋年级奥数全等三⾓形测试题及答案，欢迎⼤家阅读。

⼀、选择题：1.△ABD≌△CDB，下⾯四个结论中，不正确的是（）A．△ABD和△CDB的⾯积相等 B．△ABD和△CDB的周长相等C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD=BC2.△ABC≌△DEF，AB=2，AC=4，若△DEF的周长为偶数，则EF的取值为（）A．3 B．4 C．5 D．3或4或53.亮亮书上的三⾓形被墨迹污染了⼀部分，很快他就根据所学知识画出⼀个与书上完全⼀样的三⾓形，那么这两个三⾓形完全⼀样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA4.已知△ABC的三个元素,则甲、⼄、丙三个三⾓形中,和△ABC全等的图形是（）A．甲和⼄ B．⼄和丙 C．只有⼄ D．只有丙5.△ABD≌△CDB，下⾯四个结论中，不正确的是（）A．△ABD和△CDB的⾯积相等 B．△ABD和△CDB的周长相等C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD=BC6.在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠A=∠A′，若证△ABC≌△A′B′C′还要从下列条件中补选⼀个，错误的选法是（）A．∠B=∠B′ B．∠C=∠C′ C．BC=B′C′ D．AC=A′C′7.在△ABC中，∠B=∠C，与△ABC全等的三⾓形有⼀个⾓是100°，那么△ABC中与这个⾓对应的⾓是（）A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D8.如图，ΔABC≌ΔADE，AB=AD， AC=AE，∠B=28o，∠E=95o，∠EAB=20o，则∠BAD为（）A．77o B．57o C．55o D．75o9.如下图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（）A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE10.如图所⽰，已知AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）A．∠A与∠D互为余⾓ B．∠A=∠2 C．△ABC≌△CED D．∠1=∠211.如图，已知AB=AD，那么添加下列⼀个条件后，仍⽆法判定△ABC≌△ADC的是（ ）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°12.在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表⽰某⼈从A地到B地的不同⾏进路线（箭头表⽰⾏进的⽅向），则路程最长的⾏进路线图是（）⼆、填空题：13.如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=________14.如图，△DAF≌△DBE，如果DF=7 cm，AD=15 cm，则AE= cm．15.如图，点F、C在线段BE 上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还需补充⼀个条件，依据是．16.通过学习我们已经知道三⾓形的三条内⾓平分线是交于⼀点的．如图，P是△ABC的内⾓平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的⾯积为 ．17.如图所⽰，某同学把⼀块三⾓形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配⼀块完全⼀样的玻璃，那么最省事的办法是带去玻璃店．18.．如图，O是△ABC内⼀点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC= ．三、解答题：19.如图，点B、F、C、E在⼀条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．20.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC，求证：AB=CD，AD=BC．21.如图，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：AB∥DE．22.如图，在△ABC中，D是AB上⼀点，DF交AC于点E，DE=FE，AE=CE，AB与CF有什么位置关系？证明你的结论．23.（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F.①求证：OE=BE；②若△ABC 的周长是25，BC=9，试求出△AEF的周长；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外⾓∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC 与∠PAC的数量关系式. 24.问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．⼩王同学探究此问题的⽅法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF=BE+DF ；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= ∠BAD，上述结论是否仍然成⽴，并说明理由；实际应⽤：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中⼼（O处）北偏西30°的A处，舰艇⼄在指挥中⼼南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中⼼的距离相等，接到⾏动指令后，舰艇甲向正东⽅向以60海⾥/⼩时的速度前进，舰艇⼄沿北偏东50°的⽅向以80海⾥/⼩时的速度前进.1.5⼩时后，指挥中⼼观测到甲、⼄两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹⾓为70°，试求此时两舰艇之间的距离．参考答案1.答案为：C2.答案为：B3.答案为：D4.答案为：B5.答案为：C6.答案为：C7.答案为：A8.答案为：A9.答案为：D10.答案为：D.11.答案为：C.12.解：A．延长AC、BE交于S，∵∠CAB=∠EDB=45°，∴AS∥ED，则SC∥DE．同理SE∥CD，∴四边形SCDE是平⾏四边形，∴SE=CD，DE=CS，即⾛的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；B、延长AF、BH交于S1，作FK∥GH与BH的延长线交于点K，∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，∴△SAB≌△S1AB，∴AS=AS1，BS=BS1，∵∠FGH=180°﹣70°﹣43°=67°=∠GHB，∴FG∥KH，∵FK∥GH，∴四边形FGHK是平⾏四边形，∴FK=GH，FG=KH，∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，∵FS1+S1K＞FK，∴AS+BS＞AF+FK+KH+HB，即AC+CD+DE+EB＞AF+FG+GH+HB，13.答案为：2014.答案为：8;15.答案为：AC=DF，SAS．16.答案为：5;17.答案为：③．18.答案为：125°．19.证明：∵FB=CE，∴FB+FC=CE+FC，∴BC=EF，∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AC=DF．20.解：如图，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平⾏四边形，∴AB=CD，AD=BC．21.证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠B=∠DEF，∴AB∥DE．22.解：AB∥CF．证明如下：∵∠AED与∠CEF是对顶⾓，∴∠AED=∠CEF，在△ADE和△CFE中，∵DE=FE，∠AED=∠CEF，AE=CE，∴△ADE≌△CFE．∴∠A=∠FCE．∴AB∥CF．23.（1）∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EDB=∠OBC，∴∠EOB=∠EBO，∴OE=BE（2）△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+EB+FC=AB+AC=25-9=16(3)延长BA，证明P点在∠BAC外⾓的⾓平分线上（11分），从⽽得到2∠PAC+∠BAC=180°24.解：问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成⽴．证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF= ∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；实际应⽤：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF= ∠AOB，⼜∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF=AE+BF成⽴，即EF=1.5×（60+80）=210海⾥．答：此时两舰艇之间的距离是210海⾥．。

三角形奥数题5．如图，△ABC中，DE∥BC，已知S△OBC=n2，S△=mn(n>m)，其中O为BE和CD的交点，求S BCED BOD和S ADE 。

6．如图，D为等边△ABC的边BC上一点。

已知BD=1，CD=2，CH⊥AD于点H，连结BH。

试证：∠BHD=60°。

7．如图，平行四边形ABCD的面积是60，E、F分别是AB、BC的中点，AF与DE、DB分别交于G、H，求四边形EBHG的面积。

8．如图，在等边△ABC的BC边上有一点D，BD : DC=1 : 2，作CH⊥AD，H为垂足，连结BH，求证：△ADB∽△BDH。

9．如图，△ABC中，BC=2AC，D、E分别是BC、AB上的点，且∠1=∠2=∠3。

如果△ABC、△EBD、△ADC的周长为m、m1、m2，求12m mm的值。

10．如图，在直线l的同侧有三个相邻的等边三角形△ABC、△ADE、△AFG，且G、A、B都在直线l上，设这三个三角形边长分别为a 、b 、c ，连结GD 交AE 于N ，连BN 交AC 于L ，求AL 的长。

11．如图，△PQR 与△P'Q'R'是两个全等的等边三角形，六边形ABCDEF 的边长分别记为AB=a 1，BC=b 1，CD=a 2，DE=b 2，EF=a 3，FA=b 3，求证：a 12+a 12+a 12=b 12+b 12+b 1212．如图，设P 、Q 是线段BC上的两定点，且BP=CQ ，A 为BC 外一动点，当A 运动到使∠BAP=∠CAQ 时，△ABC是什么三角形？证明你的结论。

13．如图，△ABC的面积是其内接矩形△QRS面积的三倍，并且边BC与高AD的值是有理数，问矩形PQRS周长的值在什么情况下是有理数？在什么情况下是无理数？14．如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ACB=45°⑴求这个三角形三边之比AB : BC :AC ；⑵设P 为△ABC 内一点，且PA=62+，PB=326，PC=3226，求∠APB 、∠BPC 、∠CPA 。