信号与系统_系统函数的零极点分析

传递函数零极点形式
函数的零极点形式是一种用来描述函数特性的数学表示形式。

在这种形式下，函数被表示为其零点和极点的乘积。

具体而言，对于一个多项式函数，其零极点形式可以表示为：
\[H(s)=K(s-z_1)(s-z_2)(s-z_3)...(s-z_n)/(s-p_1)(s-p_2)(s-p_3)...(s-p_m)\]
其中，\(H(s)\)是函数的传递函数，\(K\)是常数项，\(z_i\)表示零点，\(p_i\)表示极点。

函数的零点是使得函数值为零的输入值，而极点则是使函数在该点处趋于无穷大的输入值。

通过对函数进行因式分解，我们可以将其表示为一个或多个零点与极点的乘积。

零极点形式的表示方式能够提供关于函数的重要信息，例如函数的稳定性、振荡性等。

对于控制系统设计和信号处理等应用，函数的零极点形式非常有用，因为它们可以帮助我们理解系统的行为并进行系统分析。

摘要现今数字信号处理理论与应用已成为一门很重要的高新科学技术学科，通过功能强大的MATLAB软件与数字信号处理理论知识相互融合在一起，既使我们对数字信号处理的理论知识能够有更加深厚的解也提高了动手能力，实践并初步掌握了MATLAB 的使用。

根据本次课题要求，通过使用MATLAB，方便了对系统函数的繁琐的计算，并且直观形象的用计算机进行模拟仿真，通过观察图，由图像的特征从而进一步的对系统进行形象的分析。

本课题中给出了系统函数，对其稳定性进行分析我们可以通过MATLAB画零极图观察极点的分布，另外还可以通过MATLAB分析系统的单位阶跃响应、单位脉冲响应、幅频相频特性的图形更加具体的对系统进行分析。

关键字：离散系统函数、MATLAB、零极点分布、系统稳定性。

一、设计原理1.设计要求（1）：根据系统函数求出系统的零极点分布图并且判断系统的稳定性。

（2）：求解系统的单位阶跃响应，并判断系统的稳定性。

（3）：求系统的单位脉冲响应，并判断系统的稳定性（4）：求出各系统频率响应，画出幅频特性和相频特性图（zp2tf,zplane，impz等）2、系统稳定性、特性分析进行系统分析时我主要利用MATLAB软件绘制出系统零极点的分布图、单位脉冲响应图、单位阶跃响应图等。

采用MATLAB 软件进行设计时我调用了软件本身的一些函数来对课题进行绘图和分析。

诸如zplane、impz、stepz、freqz等。

对系统函数的零极图而言：极点在单位圆内,则该系统稳定,极点在单位圆外，则该系统为非稳定系统。

当极点处于单位圆内，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而收敛；当极点处于单位圆上，系统的冲激响应曲线为等幅振荡；当极点处于单位圆外，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而发散。

系统的单位阶跃响应若为有界的则系统为稳定系统。

由以上的判据配合图形对系统的稳定性进行分析，达到我们的课程要求。

系统函数H（z）的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。

信号与系统分析简述题一、简述《信号与系统》的主要研究内容。

《信号与系统》主要是以线性时不变系统作为研究对象，当信号作用与线性时不变系统时，从输入输出描述法和状态变量法来研究系统响应。

当求得系统响应后，根据系统的激励与响应之间的关系求得系统函数，进而根据系统的固有属性来研究系统的内在属性，例如：因果性、稳定性和滤波特性等。

二、输入输出描述法和状态变量分析法的区别。

输入输出描述法：将系统看作一个黑匣子，根据系统的输入和基本属性来求解系统的输出响应，只描述系统单输入和单输出的关系，而不讨论系统内部的结构。

状态变量分析法：通过列些系统的状态方程和输出方程，进而求解得出系统函数和各响应。

不仅揭示了系统的内部特性，还可以用来描述非线性、时变系统和多输入多输出系统。

三、简述常用的输入输出描述法及其优缺点。

常用的输入输出描述法主要包括时域分析和变换域分析。

时域分析法：主要通过系统的微分方程（差分方程）、激励和起始状态，利用经典法、双零法和卷积法等来求解系统响应。

该方法均在时域中进行计算，物理概念清晰，但是计算量大。

变换域分析法：对于连续系统来说主要包括傅里叶变换和拉普拉斯变换；对于离散系统来说，则采用z变换。

变换域求解的计算量小，但是物理意义不清晰，因此常常会进行逆变换，将结果变换成时域的形式。

四、如何判断系统的因果性、稳定性、滤波特性等。

当用系统作用表示时，可通过定义法即响应不得超前激励，有界输入有界输出来判断因果稳定；当用h（t）表示时，则通过u（t）和绝对可积来判断因果稳定；当用系统函数来表示时，对于连续系统，通过系统函数的极点只能分布在s平面的左半开平面来判断，对于离散系统，通过系统函数的极点只能位于单位圆内来判断。

滤波特性则是通过系统函数的零极点分布粗略画出幅频特性曲线，根据幅频特性曲线的走势来判断。

五、连续时间信号、离散时间信号、模拟信号和数字信号有什么区别。

连续时间信号是指时间自变量在其定义的范围内，除若干不连续点以外均是连续的。

传递函数存在零极点对消，系统能控能观[中括号]：传递函数的零极点对消对系统的控制与观测性引言传递函数是描述连续时间线性时不变系统的数学工具，它能够帮助我们理解系统的特性以及系统的控制能力和观测性。

传递函数中的零点和极点对系统的控制和观测性起着关键作用。

本文将通过详细的步骤和分析，探讨传递函数中零极点对消的概念，以及如何实现系统的控制和观测能力。

一、传递函数的定义与实例传递函数是描述系统输入与输出关系的函数，它可以表示为H(s)=N(s)/D(s)，其中N(s)和D(s)分别是系统的分子部分和分母部分。

作为一个例子，我们考虑一个简单的一阶系统传递函数H(s)=1/(s+1)。

二、传递函数的零点和极点传递函数中的零点和极点是指使得传递函数取得零值和无穷值的输入信号。

对于上述的例子H(s)=1/(s+1)，传递函数的极点为s=-1。

极点的位置对系统的动态响应和稳定性具有重要影响。

三、传递函数的零极点对系统稳定性和控制性的影响传递函数的极点位置决定了系统的稳定性。

如果系统的所有极点都位于左半平面，则系统是稳定的。

相反，如果系统的极点存在于右半平面，系统则是不稳定的。

对于例子H(s)=1/(s+1)来说，它的极点位于s=-1，因此系统是稳定的。

另一方面，传递函数的零点位置对系统的控制性能有着重要影响。

零点相当于系统对输入信号的特殊灵敏度，它们可以导致更好的系统响应和稳定性。

如果系统具有零点，那么对于某些输入信号，系统可以减小或者抵消输出信号。

对于例子H(s)=1/(s+1)来说，系统没有零点，因此无法通过零极点对消的方法来控制输出。

四、零极点对消的概念与实现零极点对消是一种通过调整传递函数中的参数，使得系统的零点和极点相互抵消，从而改变系统的特性和性能的方法。

这种方法可以用于增加或减小系统对某些输入信号的灵敏度，提高系统的控制性能。

具体实现零极点对消方法有很多种，这里我们以反馈控制为例进行说明。

反馈控制可以通过引入额外的控制信号和传递函数来改变系统的特性。

信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。

第一章 信号与系统 1、信号的分类 ①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号 连续周期信号f (t )满足f (t ) = f (t + m T )， 离散周期信号f(k )满足f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,…两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。

③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号 2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷）2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号3.1 单位冲激函数的性质f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a)例： 3.2序列δ(k )和ε(k )f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0)4、系统的分类与性质?d )()4sin(91=-⎰-t t t δπ)0()()(f k k f k =∑∞-∞=δ4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统4.3 线性系统与非线性系统①线性性质T[a f (·)] = a T[ f (·)](齐次性)T[ f1(·)+ f2(·)] = T[ f1(·)]+T[ f2(·)] （可加性）②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：y(·) = y f(·) + y x(·) = T[{ f(·) }, {0}]+ T[ {0}，{x(0)}] (可分解性)T[{a f(·) }, {0}] = a T[{ f(·) }, {0}]T[{f1(t) + f2(t) }, {0}] = T[{ f1(·) }, {0}] + T[{ f2(·) }, {0}](零状态线性) T[{0},{a x1(0) +b x2(0)} ]= aT[{0},{x1(0)}] +bT[{0},{x2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统T[{0}，f(t -t d)] = y f(t -t d)(时不变性质)直观判断方法：若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。

零极点分布与增益曲线零极点分布和增益曲线是表征连续时间线性非时变（LTI）系统的重要工具。

它们提供有关系统频率响应、稳定性和其他特性的宝贵见解。

零点零点是传递函数分母多项式根的倒数。

它们对应于系统频率响应中的无限增益点。

零点分布决定了增益曲线的形状和整体响应。

极点极点是传递函数分子多项式根的倒数。

它们对应于系统频率响应中的零增益点。

极点分布决定了系统的稳定性和阻尼特性。

增益曲线增益曲线是系统频率响应的幅度-频率图。

它表示系统输出信号相对于输入信号幅度的变化。

增益曲线受零极点分布的影响。

零极点分布的影响零极点分布对增益曲线和系统性能有以下影响：共振峰：零点靠近极点会导致增益曲线出现共振峰。

峰值频率由零点和极点的相对位置决定。

带宽：零点和极点之间的距离决定了系统的带宽。

带宽较宽的系统响应频率范围较广。

相位裕度：零极点分布影响系统的相位裕度。

相位裕度是系统稳定性的度量，由极点和零点的相对位置决定。

增益曲线的特征增益曲线的关键特征包括：增益幅度：增益幅度是增益曲线的峰值或最大值。

截止频率：截止频率是增益曲线下降到特定值（通常为 3 dB）的频率。

共振频率：共振频率是增益曲线上共振峰发生的频率。

带宽：带宽是增益曲线高于特定值（通常为 3 dB）的频率范围。

系统稳定性零极点分布对于系统的稳定性至关重要。

系统稳定当且仅当所有极点的实部为负。

应用零极点分布和增益曲线在许多领域有广泛的应用，包括：控制系统设计滤波器设计信号处理通信系统通过理解零极点分布和增益曲线之间的关系，工程师可以优化系统性能以满足特定要求。

北京理工大学信号与系统实验报告6-离散时间系统的z域分析————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：实验6 离散时间系统的z 域分析（综合型实验）一、 实验目的1） 掌握z 变换及其反变换的定义,并掌握ＭAT ＬＡＢ实现方法。

2） 学习和掌握离散时间系统系统函数的定义及z 域分析方法。

3） 掌握系统零极点的定义,加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。

二、 实验原理与方法 1. z 变换序列(n)x 的z 变换定义为(z)(n)znn X x +∞-=-∞=∑ (1）Z 反变换定义为11(n)(z)z 2n rx X dz jπ-=⎰(2）MA ＴＬA Ｂ中可采用符号数学工具箱z ｔrans 函数和ｉz ｔｒans 函数计算z 变换和z 反变换： Z=ztran ｓ（Ｆ）求符号表达式Ｆ的z 变换。

Ｆ=iztra ｎｓ（Z)求符号表达式Z 的ｚ 反变换 2. 离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数H(z)定义为单位抽样响应ｈ(n)的z 变换(z)(n)znn H h +∞-=-∞=∑ (３）此外连续时间系统的系统函数还可由系统输入与输出信号z 变换之比得到(z)(z)/X(z)H Y = (4)由(4）式描述的离散时间系统的系统时间函数可以表示为101101...(z)...MM NN b b z b z H a a z a z----+++=+++ (5） 3. 离散时间系统的零极点分析ＭＡTLAB 中可采用roots 来求系统函数分子多项式和分母多项式的根，从而得到系统的零极点。

此外还可采用MATL ＡB 中zpl ａne 函数来求解和绘制离散系统的零极点分布图,zp ｌane 函数的调用格式为：zplane(b,a) ｂ、a 为系统函数分子分母多项式的系数向量(行向量) zplane （z,p) z 、ｐ为零极点序列(列向量) 系统函数是描述系统的重要物理量，研究系统函数的零极点分布不仅可以了解系统单位抽样响应的变化,还可以了解系统频率特性响应以及判断系统的稳定性; 系统函数的极点位置决定了系统的单位抽样响应的波形，系统函数零点位置只影响冲激响应的幅度和相位，不影响波形。

第七章 系统函数一、单项选择题X7.1（浙江大学2004考研题）一个因果、稳定的离散时间系统函数)(z H 的极点必定在z 平面的 。

（A ）单位圆以外 （B ）实轴上 （C ）左半平面 （D ）单位圆以内 H (s )只有一对在虚轴上的共轭极点，则它的h (t )应是 。

（A ）指数增长信号 （B ）指数衰减振荡信号 （C ）常数 （D ）等幅振荡信号 X7.3（浙江大学2003考研题）如果一离散时间系统的系统函数)(z H 只有一个在单位圆上实数为1的极点，则它的h (k )应是 。

（A ）ε(k ) （B ）)(k ε- （C ）)()1(k kε- （D ）1X7.4（浙江大学2002考研题）已知一连续系统的零、极点分布如图X7.4所示，1)(=∞H ，则系统函数H (s )为 。

（A ）2+s （B ）1+s （C ）)2)(1(++s s （D ）1-s X7.5（西安电子科技大学2004考研题）图X7.5所示信号流图的系统函数H (s )为 。

（A ）26132+++s s s （B ）2132++s s （C ）26132--+s s s （D ）1212-+s sX7.6（哈尔滨工业大学2002考研题）下列几个因果系统函数中，稳定（包括临界稳定）的系统函数有 个。

（1）4312+--s s s （2）s s s 312++ （3）34234+++s s s （4）33223++++s s s s （5）1224++s s s （6）2421s s +（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）4X7.7（哈尔滨工业大学2002考研题）下面的几种描述中，正确的为 。

（A ）系统函数能提供求解零输入响应所需的全部信息； （B ）系统函数的零点位置影响时域波形的衰减或增长； （C ）若零极点离虚轴很远，则它们对频率响应的影响非常小； （D ）原点的二阶极点对应)(2t t ε形式的滤形。