2020届重庆市育才中学高三毕业班上学期第一次月考检测数学(理)试题(解析版)

2020届重庆市直属校高三3月月考理科数学试题第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合A={x|x 2<9},B={-3,-2,-1,0,1,2},则A∩B=A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-2,-1,0,1,2}D.{-2,–1,0}2.设(1+i)(a+bi)=2,其中a,b 是实数,i 为虚数单位,则|3a+bi|=A.2C.3.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16,则log 2a 9=A.15B.16C.17D.184.若实数x,y 满足约束条件20,20,240x y x y x y -+⎧⎪⎪⎪-⎨⎪⎪+-⎪⎩…„?,则z=x+y 的最小值为A.-8B.-6C.1D.35.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。

这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期。

现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为 A.35 B.710 C.45 D.9106.如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中,ABCD 为平行四边形,E,F 分别在线段DB,DD 1上,且112DE DF EB FD ==,G 在CC 1上且平面AEF ∥平面BD 1G ,则1CG CC =A.12B.13C.23D.147.在直角坐标系xOy 中，半径为lm 的⊙C 在t= 0时圆心C 与原点O 重合，⊙C 沿x 轴以1m/s 的速度匀速向右移动，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ，令y=cosx ，则y 关于时间t （0≤t≤l, 单位：s ）的函数的图象大致为8.(()n mx n N +∈的展开式中,各二项式系数和为32,各项系数和为243,则展开式中x 3的系数为A.40B.30C.20D.10 9.设函数f(x)=cos(ωx+φ)(x∈R)(ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,如果127,(,)1212x x ππ∈，x 1≠x ,且f(x 1)=f(x 2),则f(x 1+x 2)=A.2-B.12-C.2 D ．1210.已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上,球O 的半径为4,ΔABC 是边长为6的等边三角形,记ΔABC 的外心为O 1.若三棱锥P-ABC的体积为PO 1=A.B.C.D.11.设双曲线2222:1(0,x y C a b a b-=>>)的左顶点为A,右焦点为F(c,0),若圆A:(x+a)2+y 2=a 2与直线bx-ay=0交于坐标原点O 及另一点E ﹐且存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切,切点为EF 的中点,则双曲线的离心率为D.3212.函数1ln()(0)()(0)x x x f x xe x -'-<⎧⎪=⎨⎪⎩…，若关于x 的方程f 2(x)-af(x)+a-a 2=0有四个不等的实数根,则a的取值范围是 A. 4(,1]5B.(–∞,-1)∪[1,+∞)C.(-∞,-1)∪{1}D.(-1,0)∪{1}第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a r 与b r 的夹角为120°,且(1,3),||a b =-=r r 则a b ⋅=r r ____.14.已知函数f(x)=3|x-a|(a ∈R)满足f(x)=f(4-x),则实数a 的值为____.15.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足222(2)2()0n n S n n S n n -+--+=,n ∈N *,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和T 2020=___.16.设抛物线y 2=2x 的焦点为F,准线为1,弦AB 过点F 且中点为M ﹐过点F,M 分别作AB 的垂线交l 于点P,Q,若|AF|=3|BF|,则|FP|·|MQ|=____.三、解答题:(共70分)17.(本小题满分12分)在ΔABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足(cos )c b A A =+(I)求角B 的大小;(II)若a=4,且BC求ΔABC 的周长.18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为平行四边形,点E 在AB 上,AE=2EB=2,且DE ⊥AB.以DE 为折痕把ΔADE 折起,使点A 到达点F 的位置,且∠FEB=60°.(I)求证:平面BFC ⊥平面BCDE ﹔(II)若直线DF 与平面BCDE,求二面角E-DF-C 的正弦值.19.(本小题满分12分)为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内,武汉某制药厂在该药品的生产过程中,检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测,测量其主要药理成分含量(单位:mg).根据生产经验,可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N(μ,σ2).在一天内抽取的20件产品中,如果有一件出现了主要药理成分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的药品,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对本次的生产过程进行检查.(I)下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量:其中x i为抽取的第i件药品的主要药理成分含量,i=1,2,…,20.用样本平均数x作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查?(I)假设生产状态正常,记X表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的药品件数,求P(X=1)及X的数学期望.附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)≈0.9974,0.997419≈0.95.20.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线与C交于A,B两点.ΔABF2的周长为,且椭圆的离心率为2.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程:(I)设点P为椭圆C的下顶点,直线PA,PB与y=2分别交于点M,N,当|MN|最小时,求直线AB的方程.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e ax-x-1,且f(x)≥0.(I)求a﹔(IⅡ)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,问:是否存在x0∈(x1,x2),使f'(x)=k成立?若存在,求出x的值(用x1,x2表示);若不存在,请说明理由.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2(cos2θ+3sin2θ)=12,直线l的参数方程为2x ty t=-+⎧⎪⎨⎪=⎩(t为参数),直线l与曲线C交于M,N两点.(I)若点P的极坐标为(2,π),求|PM|·|PN|的值; (Ⅱ)求曲线C的内接矩形周长的最大值.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲.已知函数f(x)=x|x-a|,a∈R.(Ⅰ)当f(2)+f(-2)>4时,求a的取值范围;(Ⅱ)若a>0,∀x,y∈(-∞,a],不等式f(x)≤|y+3|+|y-a|恒成立,求a的取值范围.。

2020-2021学年重庆市育才中学高一（上）月考数学试卷（1月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合U={−2,−1,0，1，2}，A={x∈Z|−2<x<2}，则∁U A=()A. ⌀B. {0,1}C. {−1,0，1}D. {−2,2}2.设角θ的终边过点(−1,2)，则tanθ=()A. 12B. 2 C. −2 D. −123.“0<x<1”是“log2(x+1)<1”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件4.设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a5.已知函数f(x+1)=2x−3，若f(m)=4，则m的值为()A. 72B. 92C. 112D. 1326.已知tanα=2，则sinα+2cosα3sinα−cosα的值为()A. −25B. 45C. 23D. 257.关于x的方程x2−2mx+m2−m=0有两个正的实数根，则实数m的取值范围是()A. m>0B. m≥0C. m≥1D. m>18.已知函数f(x)=3x−13x+1+x+sinx，若∃x∈[−1,1]，使得f(x2−x)+f(−k+2x)<0成立，则实数k的取值范围是()A. (−14,+∞) B. (0,+∞) C. (−∞,2) D. (2,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.在下列函数中，最小正周期为π的所有函数为()A. y=tan(2x−π4) B. y=|cosx|C. y=cos(2x+π6) D. y=sin2x10.下列结论正确的是()A. 当x >0时，√x √x ≥2B. 当x >2时，x +1x 的最小值是2 C. 当x <54时，4x −2+14x−5的最大值是1D. 设x >0，y >0，且x +y =2，则1x +4y 的最小值是5211. 下列结论正确的是( )A. 在锐角△ABC 中，sinAsinB <cosAcosBB. 函数f(x)=tan(2x +π3)+1的对称中心是(kπ2−π6,1)，k ∈Z C. 方程x =π8是函数y =sin(2x +5π4)的图象的一条对称轴方程 D. 若α,β∈(0,π2)，又sinα=35，cos(α+β)=−1213，则sinβ=566512. 设函数f(x)=min{|x −2|,x 2,|x +2|}，其中min{x,y ，z}表示x ，y ，z 中的最小者，下列说法正确的是( )A. 函数f(x)为奇函数B. 若x ∈[1,+∞)时，有f(x −2)≤f(x)C. 若x ∈R 时，f(f(x))≤f(x)D. 若x ∈[−4,4]时，|f(x)−2|≥f(x)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知扇形的半径与面积都为2，则这个扇形的圆心角的弧度数是______． 14. 函数f(x)=(13)−x2+6x−5的单调递增区间是______ ．15. 已知sin(π3+α)=√33，则cos(π6−α)= ______ ．16. 定义在R 上的函数f(x)=f(2−x)及f(x)=−f(−x)，且在[0,1]上有f(x)=x 2+1，则f(201912)= ______ ．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知sinα=35，且π2<α<π．(Ⅰ)求cosα的值； (Ⅱ)求tan(π4+α)的值．18.已知函数f(x)=a x(a>0且a≠1)的图象经过点(2,19).(1)比较f(2)与f(b2+2)的大小；(2)求函数g(x)=a x2−2x(x≥0)的值域．19.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π2)，且f(0)=12．(1)求φ的值；(2)当x∈[0,π2]时，函数y=f(x)的最小值．20.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P=3√2a−6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q=14a+2，设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元)．(1)当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益；(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？21.已知函数f(x)=12(sinx+|sinx|)，x∈R．(l)求函数f(x)的单调增区间．(2)设关于x的函数g(x)=−2sin2x−2acosx−2a+1的最小值为ℎ(a).试确定满足ℎ(a)=12的a的值．22.已知f(x)=2x−a2x+1(a∈R)的图象关于坐标原点对称．(1)求a的值，并求出函数F(x)=f(x)+2x−42x+1−1的零点；(2)若函数ℎ(x)=f(x)+2x−b2x+1在[0,1]内存在零点，求实数b的取值范围；(3)设g(x)=log4k+x1−x ，已知f(x)的反函数f−1(x)=log21+x1−x，若不等式f−1(x)≤g(x)在x∈[12,23]上恒成立，求满足条件的最小整数k的值．23.若函数f(x)对任意的x∈R，均有f(x−1)+f(x+1)≥2f(x)，则称函数f(x)具有性质P．(1)若函数f(x)具有性质P，且f(0)=f(n)=0(n>2,n∈N∗)，求证：对任意i∈{1,2，3，⋅⋅⋅，n−1}有f(i)≤0；(2)在(1)的条件下，是否对任意x∈[0,n]均有f(i)≤0.若成立给出证明，若不成立给出反例并说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合U={−2,−1,0，1，2}，A={x∈Z|−2<x<2}={−1,0，1}，所以∁U A={−2,2}．故选：D．用列举法写出集合A，再根据补集的定义写出∁U A.本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2.【答案】C【解析】解：若角θ的终边过点(−1,2)，=−2．则tanθ=2−1故选：C．由题意利用任意角的三角函数的定义，得出结论．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．先解出对数不等式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由log2(x+1)<1得0<x+1<2，解得−1<x<1，则“0<x<1”是“log2(x+1)<1”的充分不必要条件，故选A．4.【答案】D【解析】解：∵0<0.32<1log20.3<020.3>1∴log20.3<0.32<20.3，即c<b<a故选：D．要比较三个数字的大小，可将a，b，c与中间值0，1进行比较，从而确定大小关系．本题主要考查了对数值、指数值大小的比较，常常与中间值进行比较，属于基础题．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．由2x−3=4，得x=72，再由m=x+1，能求出结果．【解答】解：∵函数f(x+1)=2x−3，f(m)=4由2x−3=4，得x=72，∴m=x+1=72+1=92．故选B．6.【答案】B【解析】解：因为tanα=2，则sinα+2cosα3sinα−cosα=tanα+23tanα−1=2+23×2−1=45．故选：B．由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：∵方程x 2−2mx +m 2−m =0有两个实数根，∴△=4m 2−4(m 2−m)≥0， ∴m ≥0，关于x 的方程x 2−2mx +m 2−m =0有两个正的实数根，对应的二次函数f(x)=x 2−2mx +m 2−m 的开口向上，对称轴在y 的右侧， 所以f(0)>0， 可得m 2−m >0， ∴m <0或m >1， ∴1<m ， 故选：D ．由已知可得判别式△≥0、对应的二次函数满足f(0)>0，即可求出m 的范围． 本题考查一元二次方程的根；熟练掌握一元二次方程中判别式确定根的存在，再由两根都是正数，结合根与系数的关系求解是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：函数f(x)=3x −13x +1+x +sinx =1−23x +1+x +sinx ， 那么f(−x)=1−3x1+3x −x −sinx =−f(x)，可得f(x)为奇函数， 由函数y =3x −13x +1在x ∈[−1,1]是递增函数，函数y =x +sinx ，则y′=1+cosx ≥0在x ∈[−1,1]成立， ∴函数y =x +sinx 是递增函数， ∴函数f(x)在定义域R 上是递增函数，由∃x ∈[−1,1]，使得f(x 2−x)+f(2x −k)<0成立， 即x 2−x <k −2x 在x ∈[−1,1]有解，即x 2+x <k ，∵函数y =x 2+x 在[−1,−12)递减，在(−12,1]递增，故y ≥−14， ∴k >−14， 故选：A ．根据f(x)的单调性和奇偶性，脱去不等式中的“f ”，即可求解实数k 的取值范围． 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，考查运算能力，属于中档题．9.【答案】BCD【解析】解：A ：y =tan(2x −π4)的最小正周期为π2； B ：y =|cosx|的最小正周期为12⋅2π1=π；C ：y =cos(2x +π6)的最小正周期为2π2=π；D ：y =sin2x 的最小正周期为2π2=π． 故选：BCD ．根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论． 本题主要考查三角函数的周期性及求法，考查了函数思想，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：选项A ，√x +√x≥2√√x ⋅√x=2，当且仅当√x =√x ，即x =1时，等号成立，故选项A 正确；选项B ，y =x +1x 在(2,+∞)上单调递增，∴y >2+12=52，即选项B 错误； 选项C ，设y =4x −2+14x−5=(4x −5)+14x−5+3，令t =4x −5∈(−∞,0)，则y =t +1t +3=−(−t −1t )+3≤−2√(−t)⋅1(−t)+3=1，当且仅当−t =−1t ，即t =−1时，等号成立， ∴4x −2+14x−5的最大值为1，即选项C 正确；选项D ，1x +4y =12(1x +4y )(x +y)=12(1+4+yx +4xy)≥12×(5+2√y x ⋅4xy)=92， 当且仅当yx =4xy，即x =23，y =43时，等号成立， ∴1x +4y 的最小值为92，即选项D 错误．故选：AC ．选项A ，直接利用基本不等式即可；选项B ，由于x 的取值范围限定，需要几何对勾函数进行分析；选项C ，令t =4x −5∈(−∞,0)，则y =t +1t +3，再使用基本不等式即可； 选项D ，采用“乘1法”得解．本题考查基本不等式的应用，熟练掌握“乘1法”和拼凑法是解题的关键，注意检验取等的条件，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】CD【解析】解：对于A ：cosAcosB −sinAsinB =cos(A +B)=−cosC ， 由于△ABC 为锐角三角形，故cosC >0， 所以sinAsinB >cosAcosB ，故A 错误； 对于B ：函数f(x)=tan(2x +π3)+1，令2x +π3=kπ2，解得x =kπ4−π6，(k ∈Z)的对称中心是(kπ4−π6,1)，k ∈Z ，故B 错误； 对于C ：当x =π8时，f(π8)=sin(π4+5π4)=−1，故C 正确；对于D ：若α,β∈(0,π2)，又sinα=35，cos(α+β)=−1213， 所以cosα=45，sin(α+β)=513则sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=513×45+1213×35=5665，故D 正确． 故选：CD ．直接利用三角函数的关系式的变换，正切函数的图象和性质，正弦函数的图象和性质，角的恒等变换，和同角三角函数的关系式的变换判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正切函数的图象和性质，正弦函数的图象和性质，角的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.【答案】BC【解析】解：在同一直角坐标系中画出函数y =|x −2|，y =x 2，y =|x +2|的图象如右图所示， 由图象可知：f(x)={|x +2|,x ≤−1x 2,−1<x <1|x −2|,x ≥1，则有f(−x)=f(x)，可得f(x)为偶函数；故A错误，又当x≥1时，f(x)=|x−2|，f(x−2)的图象可看作f(x)的图象右移2个单位得到，当x≥1时，f(x)的图象在f(x−2)图象之上，∴当x∈[1,+∞)时，有f(x−2)≤f(x)，故B正确；又由图象可知：若x∈R时，f(x)≥0，可令t=f(x)，由y=f(t)和y=t(t≥0)的图象可知：当t≥0时，y=t在曲线y=f(t)的上方，∴当t≥0时，有t≥f(t)，即有f(f(x))≤f(x)成立，故C正确；若x∈[−4,4]，f(−4)=2，f(−4)−2=0，则f(−4)>|f(−4)−2|，即|f(x)−2|≥f(x)不成立，故D不正确，故选：BC．在同一直角坐标系中画出y=|x−2|，y=x2，y=|x+2|，求得f(x)的解析式，结合图象可得奇偶性，由图象平移、两图象的关系以及特殊值，即可得到所求结论．本题主要考查分段函数的图象和性质，考查图象变换及性质，运用数形结合思想方法是解题的关键，属于中档题．13.【答案】1【解析】【分析】本题考查了扇形的弧长与面积计算问题，是基础题．设扇形的圆心角为α，由此求出弧长和面积，列方程求得α的值．【解答】解：设扇形的圆心角为α，则弧长l=2α，所以扇形的面积为：S=12rl=12×2×2α=2，解得α=1．故答案为：1．14.【答案】[3,+∞)【解析】解：函数f(x)=(13)−x 2+6x−5=3x 2−6x+5 的单调递增区间，即函数y =x 2−6x +5的增区间，即[3,+∞)，故答案为：[3,+∞)．由题意利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，得出结论．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．15.【答案】√33【解析】解：cos(π6−α)=sin(π2−π6+α)=sin(π3+α)=√33， 故答案是：√33． 直接利用关系式的变换和诱导公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，诱导公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．16.【答案】−54【解析】【分析】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性、周期性的应用，属于基础题．根据题意，将f(x)=f(2−x)及f(x)=−f(−x)变形，分析可得f(x)是周期为4的周期函数，由此可得f(201912)=f(−12+2020)=f(−12)=−f(12)，结合函数的解析式计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)=f(2−x)及f(x)=−f(−x)，则有f(2−x)=−f(−x)， 变形可得f(x +2)=−f(x)，则有f(x +4)=−f(x +2)=f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，则有f(201912)=f(−12+2020)=f(−12)=−f(12)，在[0,1]上有f(x)=x 2+1，则f(12)=14+1=54，故f(201912)=−f(12)=−54，故答案为：−54． 17.【答案】(本题满分13分)解：(Ⅰ)∵sinα=35，且π2<α<π，∴cosα=−√1−sin 2α=−45.----------------------------------------------(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知sinα=35，cosα=−45，∴tanα=sinαcosα=−34，∴tan(π4+α)=tan π4+tanα1−tan π4⋅tanα=1+(−34)1−1⋅(−34)=17.-------------------(13分)【解析】(Ⅰ)利用同角三角函数基本关系式即可求得cosα的值；(Ⅱ)利用同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式即可计算求值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．18.【答案】解：(1)由已知得：a 2=19，解得：a =13，∵f(x)=(13)x 在R 上递减，2≤b 2+2，∴f(2)≥f(b 2+2)；(2)∵x ≥0，∴x 2−2x ≥−1，∴(13)x 2−2x ≤3，故g(x)的值域是(0,3]．【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查指数函数的性质，是一道基础题．(1)求出a 的值，根据函数的单调性比较函数值的大小即可；(2)根据函数的单调性求出函数的值域即可．19.【答案】解：(1)∵f(0)=sinφ=12，又0<φ<π2，∴φ=π6．(2)由(1)可得f(x)=sin(2x +π6)，∵x ∈[0,π2]，∴2x +π6∈[π6,7π6]，∴函数y =f(x)的最小值为−12．【解析】(1)根据f(0)=sinφ=12，结合范围0<φ<π2，可得φ的值．(2)根据正弦函数的性质即可求解．本题考查了三角函数的图象和性质，考查了函数思想，属于基础题．20.【答案】解：(1)当x =50时，在乙城市投资为70万元，∴公司总收益为3√100−6+14×70+2=43.5万元．(2)f(x)=3√2x −6+14(120−x)+2=3√2x −14x +26(40≤x ≤80)． f′(x )=√22√x −14， 令f′(x )=0得x =72，∴当40≤x ≤72时，f′(x )>0，当72<x ≤80时，f′(x )<0，∴f(x)在[40,72]上单调递增，在(72,80]上单调递减，∴当x =72时，f(x)取得最大值．∴该公司在甲城市投资72万元，在乙城市投资48万元，总收益最大．【解析】本题考查了函数模型的应用，函数最值的计算，属于中档题．(1)根据收益公式计算；(2)得出f(x)的解析式，通过求导判断f(x)在定义域上的单调性，从而可得f(x)取得最大值时对应的x 的值，从而得出最佳投资方案．21.【答案】解：(1)当sinx≥0时，即2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z时，f(x)=12(sinx+ sinx)=sinx，当sinx<0时，即2kπ−π<x<2kπ，k∈Z时，f(x)=12(sinx−sinx)=0，k∈Z，∴函数f(x)的周期T=2π，函数f(x)的增区间：[2kπ,2kπ+π2]，k∈Z．(2)g(x)=−2sin2x−2acosx−2a+1=2cos2x−2acosx−(2a+1)，令cosx=t，可得t∈[−1,1]，换元可得y=2t2−2at−(2a+1)，可看作关于t的二次函数，图象为开口向上的抛物线，对称轴为t=a2，当a2<−1，即a<−2时，[−1,1]是函数g(x)的递增区间，g(x)的最小值为g(x)=1≠12；当a2>1，即a>2时，[−1,1]是函数y的递减区间，g(x)的最小值为g(x)=−4a+1=12，得a=18，与a>2矛盾；当−1≤a2≤1，即−2≤a≤2时，g(x)的最小值为g(x)=−a22−2a−1=12，得a2+4a+3=0，解得a=−1或a=−3(舍去)，综上可得满足ℎ(a)=12的a的值为−1，此时g(x)的最小值为12．【解析】(1)化简可得f(x)的解析式，结合图象可得周期和单调区间；(2)变形可得g(x)=2cos2x−2acosx−(2a+1)，令cosx=t，可得t∈[−1,1]，换元可得y=2t2−2at−(2a+1)，由二次函数区间的最值可得．本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的图象以及利用换元法转化为一元二次函数的最值问题是解决本题的关键，是中档题．22.【答案】解：(1)由题意知f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0，得a=1，∴F(x)=2x−12x+1+2x−42x+1−1=(2x)2+2x−62x+1，由(2x)2+2x−6=0，得2x=2，∴x=1，即F(x)的零点为x=1．(2)ℎ(x)=2x−12x+1+2x−b2x+1=(2x)2+2x+1−1−b2x+1，由题设知ℎ(x)=0在[0,1]内有解，即方程(2x)2+2x+1−1−b=0在[0,1]内有解．∴b=(2x)2+2x+1−1=(2x+1)2−2在[0,1]内单调递增，∴2≤b≤7，故当2≤b≤7时，函数ℎ(x)=f(x)+2x−b2x+1在[0,1]内存在零点．(3)由f−1(x)≤g(x)，得log21+x1−x ≤log4k+x1−x,k+x≥(1+x)21−x，显然x∈[12,23]时，k+x>0,即k≥2x2+x+11−x．设m=1−x,由于x∈[12,23 ]，∴m∈[13,12]，于是2x2+x+11−x=2m2−5m+4m=2m+4m−5∈[4,233]，∴k≥233．故满足条件的最小整数k的值是8．【解析】本题综合考查了函数的奇偶性、指数函数与对数函数的单调性、基本不等式的性质、反函数，考查了推理能力和计算能力，属于难题．(1)由题意知f(x)是R上的奇函数，由f(0)=0，得a=1，即可得出F(x)，令F(x)=0解得即可．(2)由题设知ℎ(x)=0在[0,1]内有解，即方程(2x)2+2x+1−1−b=0在[0,1]内有解．分离参数，利用指数函数和二次函数的单调性即可得出．(3)由f−1(x)≤g(x)，得log21+x1−x ≤log4k+x1−x,k+x≥(1+x)21−x，通过化简、换元、利用基本不等式的性质即可得出．23.【答案】证明：(1)假设f(i)为f(1)，f(2)，…，f(n−1)中第一个大于0的值，则f(i)−f(i−1)>0，因为函数f(x)具有性质P，所以，对于任意n∈N∗，均有f(n+1)−f(n)≥f(n)−f(n−1)，所以f(n)−f(n−1)≥f(n−1)−f(n−2)≥⋯≥f(i)−f(i−1)>0，所以f(n)=[f(n)−f(n−1)]+⋯+[f(i+1)−f(i)]+f(i)>0，与f(n)=0矛盾，所以，对任意的i ∈{1,2，3，…，n −1}有f(i)≤0．(2)不成立．例如f(x)={x(x −n),x 为有理数x 2,x 为无理数， 理由：当x 为有理数时，x −1，x +1均为有理数，f(x −1)+f(x +1)−2f(x)=(x −1)2+(x +1)2−2x 2−n(x −1+x +1−2x)=2，当x 为无理数时，x −1，x +1均为无理数，f(x −1)+f(x +1)−2f(x)=(x −1)2+(x +1)2−2x 2=2所以，函数f(x)对任意的x ∈R ，均有f(x −1)+f(x +1)≥2f(x)，即函数f(x)具有性质P ．而当x ∈[0,n](n >2)且当x 为无理数时，f(x)>0．所以，在(1)的条件下，“对任意x ∈[0,n]均有f(x)≤0”不成立．【解析】(1)采用反证法证明，即假设f(i)为f(1)，f(2)，…，f(n −1)中第一个大于0的值，由此推理得到矛盾，进而假设不成立，原命题为真；(2)由(1)中的结论，我们可以举出反例，如f(x)={x(x −n),x 为有理数x 2,x 为无理数，证明对任意x ∈[0,n]均有f(x)≤0不成立．本题考查的知识点是抽象函数及其应用，反证法，其中在证明全称命题为假命题时，举出反例是最有效，快捷，准确的方法，属于中档题．。

2020届重庆市育才中学高三上学期入学考试数学（理）试题一、单选题1．已知函数()f x 在0x x =处可导,若()()00021x f x x f x lim x∆→+∆-=∆,则()0'f x =（ ） A ．2 B ．1C ．12D ．0【答案】C【解析】根据条件得到()()0002122x f x x f x lim x∆→+∆-=∆，计算得到答案. 【详解】()()()()00000221122x x f x x f x f x x f x limlimxx ∆→∆→+∆-+∆-=∴=∆∆ 即()()()000021'22x f x x f x f x lim x∆→+∆-==∆ 故选：C 【点睛】本题考查了导数的定义，意在考查学生的计算能力.2．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()A B =R I ð A ．{}01x x <≤ B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x <<【答案】B【解析】分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<， 结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ⋂=<<. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．关于x 的不等式2210x ax -+>的解集为R 的一个必要不充分条件是( ) A ．11a -≤≤B ．01a <<C ．11a -<<D ．1a <-或1a >【解析】先求得命题的充要条件,再根据其必要不充分条件关于a 的范围应为充要条件关于a 的范围的子集,进而选择即可 【详解】由题,若关于x 的不等式2210x ax -+>的解集为R ,则()2240a ∆=--<,即11a -<<,则关于x 的不等式2210x ax -+>的解集为R 的充要条件为11a -<<, 所以它的必要不充分条件关于a 的范围应为集合{}|11a a -<<的子集, 故选:B 【点睛】本题考查判断必要不充分条件,考查一元二次不等式恒成立问题4．函数()2cos x xf x x+=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先判断函数为奇函数，再求出()1f 即可判断()()()()22cos cos x x x xf x f x xx-+-+-==-=--，则函数()f x 为奇函数，故排除A D ，， 当1x =时，()11cos10f =+>，故排除B ， 故选C ． 【点睛】本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值，属于基础题.5．函数y x =的最大值是( ) A ．-1 B ．1C ．-2D ．2【答案】D【解析】利用换元法,()0t t =≥,则22x t =-,代回可得2219224y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭,由二次函数的性质解得最值即可【详解】()0t t =≥,则22x t =-,所以2219224y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭, 则当0t =时,max 2y =, 故选:D 【点睛】本题考查换元法求函数最值,使用换元法时要注意新元的取值范围 6．某程序框图如图所示,若输出的结果是62,则判断框中可以是( )A ．4?i >B ．5?i >C ．3?i >D ．6?i >【答案】B【解析】根据程序框图,逐步执行,直到62S =,结束循环,即可得出判断条件 【详解】由图,0,1S i ==；1022,112S i =+==+=； 2226S =+=,213i =+=； 36214S =+=,314i =+=； 414230S =+=,415i =+=；530262S =+=,516i =+=,此时输出,所以对于判断条件,5i =不满足,6i =满足, 故选:B 【点睛】本题考查利用输出结果补全程序框图,属于基础题 7．函数()2ln 43y x x =-+的单调递减区间为（ ）A ．(2,)+∞B ．(3,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,1)-∞【答案】D【解析】设t= x 2-4x+3，则y=lnt ，先确定函数的定义域，根据对数函数的性质判断y=lnt 的单调性，再判断二次函数的单调性，进而解决问题. 【详解】设t=x 2-4x+3，则y=ln （x 2﹣4x+3）=lnt ，则t=x 2-4x+3＞0，求得x ＜1，或x ＞3，故函数的定义域为{x|x ＜1或x ＞3}， 易知y=lnt ，在t>0单调递增；易知 t=x 2-4x+3在x<1时，单调递减，在x>3时，单调递增，根据复合函数的单调性规律，可知y=ln （x 2﹣4x+3）在（-∞，1 ）上为减函数，故选D 【点睛】复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解． 8．若1x =是函数()3221()(1)33f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为（ ）A ．-2B ．3C ．-2或3D ．-3或2【答案】B【解析】由题意可知'(1)0f =，这样可求出a ，然后针对a 的每一个值，进行讨论，看1x =是不是函数的极值点. 【详解】()()()()3'2222()2(131)133f x f x x a x a a x a x a a x =++-=++-+-⇒+-，由题意可知'(1)0f =，()'2(1)1(1)303a a a f a =++-⇒+-=⇒=或2a =-当3a =时，()2'22389(9)(()2(1))1f x x a x a a x x x x +-=++-=+-=+-， 当1,9x x ><-时，'()0f x >，函数单调递增；当91x -<<时，'()0f x <，函数单调递减，显然1x =是函数()f x 的极值点；当2a =-时，()'2222()2(1)321(1)0a a x x x f x a x x =++-+-=-+=-≥，所以函数是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故本题选B. 【点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出a 的值，没有通过单调性来验证1x =是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.9．已知函数()2ln f x x ax x =--在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦存在单调递减区间,则a 的取值范围是( ) A ．[)1,+∞ B ．()1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】B【解析】先求导可得()221ax x f x x--+'=,则可转化问题为2210ax x --+<在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解,进而求解即可 【详解】由题,()212121ax x f x ax x x--+'=--=, 因为0x >,则若函数()2ln f x x ax x =--在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦存在单调递减区间,即2210ax x --+<在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解,即存在x ∈11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦,使得2112a x x ->+成立, 设[]()12,3t t x =∈,则()221124u t t t t ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭,当2t =时,()()min 22u t u ==, 所以22a >,即1a >, 故选:B 【点睛】本题考查利用导函数处理函数的单调性问题,考查已知函数单调性求参数,考查转化思想10．设函数()(()2ln 22f x x x =-<<,则使得()()210f x f x +->成立的x 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．15,44⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】先由解析式可判定()f x 是奇函数,且单调递增,再利用奇函数的性质将问题转化为()()21f x f x >-,进而利用函数的单调性求解即可 【详解】由题,()()((()222ln 2ln 2ln 10f x f x x x x x-+=-+=+-=,所以()f x 是奇函数, 当02x ≤<时,y =,所以()f x 单调递增,所以根据奇函数的性质可得()f x 在()2,2-上单调递增, 因为()()210f x f x +->,所以()()()211f x f x f x >--=-,所以21222212x x x x >-⎧⎪-<<⎨⎪-<-<⎩,解得113x <<,故选:C 【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性,考查利用奇偶性和单调性解抽象函数不等式 11．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ,2F ,P 是它们的一个公共点,且122F PF π∠=,记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ,2e ,则221211e e +=( ) A ．2 B．C ．4D ．3【答案】A【解析】由椭圆与双曲线的定义可得1212+=PF PF a ,1222-=PF PF a ,则112=+PF a a ,212=-PF a a ,且122F F c =,再由122F PF π∠=,根据勾股定理2221212PF PF F F +=,代入整理即可【详解】设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的实半轴长为2a ,则根据椭圆及双曲线的定义:1212+=PF PF a ,1222-=PF PF a , 则112=+PF a a ,212=-PF a a , 设122F F c =,因为122F PF π∠=,所以2221212PF PF F F +=,即()()()22212122a a a a c ++-=,化简可得222122a a c +=,因为1a e c=,所以2212112e e +=, 故选:A 【点睛】本题考查椭圆与双曲线的定义的应用,考查椭圆与双曲线的离心率12．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其中()g x 为偶函数，当0x >时，'()0g x >恒成立；且()f x 满足：①对x R ∀∈，都有(3)(3)f x f x +=-；②当[3,3]x ∈-时，3()3f x x x =-.若关于x 的不等式2[()](2)g f x g a a ≤-+对3323,2322x ⎡⎤∀∈---⎢⎥⎣⎦恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．RB ．[0,1]C ．133133,22⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦D ．(,0][1,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】∵函数()g x 满足：当0x >时，()0g x '>恒成立，∴函数()g x 为R 上的偶函数，且在[0)+∞，上为单调递增函数，且有(||)()g x g x =，∴2[()](2)g f x g a a ≤-+，33232322x ⎡∈---⎢⎣，恒成立2|()||2|f x a a ⇔-+≤恒成立，只要使得定义域内2max min |()||2|f x a a -+≤，由(3)(3)f x f x +=，得(3)()f x f x +=，即函数()f x 的周期23T =∵[33]x ∈-，时，3()3f x x x =-，求导得2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，该函数过点(30)(00)(30)，，，，，如图，且函数在1x =-处取得极大值(1)2f -=，在1x =处取得极小值(1)2f =-，即函数()f x 在R 上的最大值为2，∵3322x ⎡∈---⎢⎣，，函数的周期是∴当3322x ⎡∈---⎢⎣，时，函数()f x 的最大值为2，由22|2|a a -+≤，即222a a -+≤，则20a a -≥，解得1a ≥或0a ≤.故选D ．【点睛】此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考查了函数的周期的定义，及利用周期可以求得[x ∈时，3()3f x x x =-的值域为[22]-，，还考查了函数恒成立．二、填空题13．曲线f (x )＝x ln x 在点M (1，f (1))处的切线方程为________. 【答案】x-y-1=0【解析】由题意可得：()1'ln ln 1f x x x x x=+⨯=+， 则()'1ln111f =+=，且()10f =， 据此可得切线方程为：()011y x -=⨯-， 即：x-y-1=0.14．)121x dx -=⎰______.【答案】223π+【解析】由题,)1112211x dx x dx ---=+⎰⎰⎰,利用几何法求得1-⎰利用微积分定理求得121x dx -⎰,进而求解即可【详解】)1112211x dx x dx ---=+⎰⎰⎰,设y 则()2210x y y +=≥,所以1-⎰,以1为半径的圆的面积的一半,即()121122ππ-=⨯⨯=⎰；又()113233111112113333x dx x --==⨯-⨯-=⎰,所以)121223x dx π-=+⎰,故答案为:223π+【点睛】本题考查微积分定理的应用,考查几何法求定积分15．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=-+,且在区间[)2,4上,()2,234,34x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩,则函数()3log y f x x =-的零点的个数为______. 【答案】5【解析】由()()22f x f x -=-+可得()f x 关于()2,0中心对称,由奇函数可得()()22f x f x -=+,即周期为4,分别画出()y f x =与3log y x =的图像,由图像得到交点个数即为零点个数 【详解】由题,因为()f x 满足()()22f x f x -=-+, 所以()f x 关于()2,0中心对称, 又因为()f x 是奇函数,所以()()()222f x f x f x -=--=-+, 所以()()22f x f x -=+,即()f x 的周期为4, 画出()y f x =与3log y x =的图像,如图所示,则交点有5个,故函数()3log y f x x =-的零点有5个, 故答案为:5 【点睛】本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性的应用,考查零点的个数问题,考查数形结合思想16．已知()()ln 0f x a x x a =+>对于区间11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的任意两个相异实数1x ,2x ,恒有()()121211f x f x x x -<-成立,则实数a 的取值范围是______. 【答案】15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】利用导函数易得()f x 在()0,∞+上单调递增,设12x x <,则()()12f x f x <,由此可得()()211211f x f x x x ->-,则()()121211f x f x x x +<+,所以设()()1g x f x x =+,则()g x 在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,即()0g x '≥在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,进而求解即可 【详解】因为0a >,所以()10a a xf x x x+'=+=>在()0,∞+上恒成立,即()f x 在()0,∞+上单调递增,设12x x <,则()()12f x f x <, 因为()()121211f x f x x x -<-, 所以()()211211f x f x x x ->-,则()()121211f x f x x x +<+, 设()()1g x f x x =+,则()g x 在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增, 所以()()222110x ax g x f x x x+-''=-=≥在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,则max 1a x x ⎡⎤≥-+⎢⎥⎣⎦, 因为y x =-在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,1y x =在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以1y x x =-+在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减, 所以当14x =时,1x x -+取得最大值为154,故a 的范围是15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,故答案为: 15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【点睛】本题考查利用导函数判断函数的单调性,考查定义法判断函数单调性,考查转化思想三、解答题17．在ABC ∆中,a ､b ､c 分别是角A ､B ､C 的对边,已知sin sin 3c A a C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1)求角C 的大小;(2)若2c =,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3π；（2【解析】（1）利用正弦定理化边为角可得sin sin sin sin 3C A A C π⎛⎫=+⎪⎝⎭,即sin sin 3C C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,进而求解即可；（2）由（1）,利用余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-⋅,整理后可得224ab a b =+-,利用均值定理求得ab 的最大值,进而求得面积的最大值 【详解】（1）Q sin sin 3c A a C π⎛⎫=+⎪⎝⎭, sin sin sin sin 3C A A C π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭,Q 在ABC V 中sin 0A >,sin sin 3C C π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭,3C C ππ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭,3C π∴=（2）由（1）,则2222cos c a b ab C =+-⋅,即224a b ab =+-,22424ab a b ab ∴=+-≥-,4ab ∴≤,当且仅当2a b ==时,等号成立,则ab 的最大值为4,此时ABC V 面积的最大值为:11sin 4222S ab C =⋅=⨯⨯= 【点睛】本题考查利用正弦定理化边为角,考查三角形面积的最值,考查余弦定理的应用,考查均值定理求最值18．2019年5月,重庆市育才中学开展了“最美教室”文化布置评比活动,工作人员随机抽取了16间教室进行量化评估,其中评分不低于9分的教室评为优秀,以下表格记录了它们的评分情况:(1)现从16间教室随机抽取3个,求至多有1个优秀的概率;(2)以这16间教室评分数据估计全校教室的布置情况,若从全校所有教室中任选3个,记X 表示抽到优秀的教室个数,求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）121140；（2）见解析 【解析】（1）由表格可知有4个教室优秀,从16间教室随机抽取3个,至多有1个优秀的情况分别是没有优秀的和只有一个优秀的,由此求解即可； （2）由样本估计总体可知优秀的概率为14,则1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭,进而根据二项分布求解即可 【详解】（1）设i A 表示所抽取的3间教室中有i 个教室优秀,设抽取3间教室中至多有1个优秀为事件A ,则()()()3211212401331616121140C C C P A P A P A C C =+=+= （2）由表格数据可知,从16间教室中任选1个优秀的概率为41164=, 由题可知X 的可能取值为0,1,2,3,则()33270464P X ⎛⎫===⎪⎝⎭,()2131********P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()22313924464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()3113464P X ⎛⎫===⎪⎝⎭, 所以X 的分布列为X0 1 2 3P2764 2764 964 164所以()27279130123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查用样本估计总体,考查二项分布的分布列与期望,考查数据处理能力 19．已知长方形ABCD 中，1AB =，2AD =，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示.（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值. 【答案】（1）1；（2）77. 【解析】（1）若AB ⊥CD ，得AB ⊥面ACD ，由于AB ⊥AC .,所以AB 2＋a 2＝BC,解得a 2=1，成立;（2）四面体A ﹣BCD 体积最大时面ABD ⊥面BCD ，以A 为原点，在平面ACD 中过O 作BD 的垂线为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A ﹣CD ﹣B 的余弦值． 【详解】(1)若AB ⊥CD ，因为AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ， 所以AB ⊥面ACD ⇒AB ⊥AC . 由于AB=1, AD=BC=2 ,AC=a , 由于AB ⊥AC .,所以AB 2＋a 2＝BC,所以12＋a 2＝(2)2⇒a ＝1,所以在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 可以垂直,此时a 的值为1 (2)要使四面体A －BCD 体积最大，因为△BCD 面积为定值22， 所以只需三棱锥A －BCD 的高最大即可，此时面ABD ⊥面BCD . 过A 作AO ⊥BD 于O ，则AO ⊥面BCD ， 以O 为原点建立空间直角坐标系o xyz (如图)，则易知,显然，面BCD 的法向量为 ,设面ACD 的法向量为n r＝(x ，y ，z ), 因为所以，令y ＝2，得n r＝(1，2，2)，故二面角A －CD －B 的余弦值即为|cos n u u r r OA ，.【点睛】传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.20．已知圆C :()22116x y -+=和定点()1,0F -,M 是圆C 上任意一点,线段MF 的垂直平分线交MC 于点N ,设动点N 的轨迹为E . (1)求E 的方程;(2)过点()1,0作直线l 与曲线E 相交于P ,Q 两点(P ,Q 不在x 轴上),试问:在x 轴上是否存在定点T ,总有OTP OTQ ∠=∠?若存在,求出点T 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在,定点()4,0T 【解析】（1）由题可得圆心C 为()1,0,由MN FN =可推出N 的轨迹是以C 、F 为焦点的椭圆,进而求出椭圆方程即可；（2）设存在点(),0T t 满足题意,当k 不存在时显然成立,当k 存在时,设直线l 为()1y k x =-,联立直线方程和椭圆方程,可得()()22224384120k x k x k +-+-=,利用韦达定理得到12,x x 的关系,由OTP OTQ ∠=∠可知0TP TQ k k +=,利用斜率公式整理求解即可 【详解】（1）由题,圆心C 为()1,0,半径4r =, 由垂直平分线的性质可知MN FN =,所以4FN CN MN CN MC r +=+===,所以由椭圆定义可知轨迹E 是以C 、F 为焦点的椭圆, 所以24a =,即2a =,因为1c =,所以2223b a c =-=,所以轨迹方程为:22143x y +=（2）存在,设存在点(),0T t 满足题意,当k 不存在时,由椭圆的对称性,x 轴上的点均符合题意； 当k 存在时,设直线l 为()1y k x =-,联立()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得()()22224384120k x k x k +-+-=, 设()11,P x y ,()22,Q x y ,则2122843k x x k +=+,212241243k x x k -=+, 因为OTP OTQ ∠=∠,则0TP TQ k k +=,所以12120y yx t x t+=--,即()1221120x y x y t y y +-+=, 所以()()12122120kx x t k x x tk -+++=,则()2222412821204343k k k t k tk k k -⋅-+⋅+=++, 所以()24043t k k -=+,即()40t k -=,所以当4t =时,无论k 为何值,都满足题意, 所以存在定点()4,0T ,总有OTP OTQ ∠=∠ 【点睛】本题考查定义法求轨迹方程,考查椭圆的方程,考查椭圆中的定点问题,考查运算能力 21．已知函数()()22ln f x x a x a x =+++.(1)讨论函数()f x 的单调区间;(2)若存在两个不相等的正数1x ,2x ,满足()()12f x f x =,证明:12'02x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）先求导可得()()()()2122x a x a f x x a x x++'=+++=,令()0f x '=解得11x =-,22a x =-,由()f x 的定义域为()0,∞+,分别讨论02a -≤与02a->时的情况即可；（2）由（1）可判定当存在两个不相等的正数1x ,2x ,满足()()12f x f x =时,0a <, 设()()()g x f x f a x =---,利用导函数可判断当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()()f x f a x >--,设设12x x <,则10,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,2,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭,将1x 代入可得()()11f x f a x >--,由()()12f x f x =可得()()21f x f a x >--,根据()f x 的单调性可得21x a x >--,则120x x a ++>,利用其即可证明1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭【详解】（1）由题,函数()f x 的定义域为()0,∞+,()()()()()2222122x a x a x a x a f x x a x x x+++++'=+++==, 令()0f x '=,即()()210x a x ++=,解得11x =-,22a x =-, 当02a-≤,即0a ≥时,在()0,∞+上()0f x '>,所以()f x 在()0,∞+上单调递增； 当02a ->,即0a <时,在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '<,在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上()0f x '>,所以()f x 在0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减,在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 （2）证明:由（1）,当0a ≥时,()f x 在()0,∞+上单调递增,则不存在两个不相等的正数1x ,2x ,满足()()12f x f x =,所以0a <,设()()()()42ln ln g x f x f a x x a a x a x a =---=++---,则()()()()2222444x a a a x ax ax a ax g x x x a x x a x x a ++++-'=+-==+++, 令()0g x '=,解得2ax =-, 所以当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()0g x '<,所以()g x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时,()0g x '>,所以()g x 在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,所以()min 02a g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,所以当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()0g x >, 即当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()()f x f a x >--, 由（1）得()f x 在0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减,在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增, 不妨设12x x <,则10,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,2,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭, 所以()()11f x f a x >--,又因为()()12f x f x =,所以()()21f x f a x >--, 因为1,2a a x ⎛⎫--∈-+∞ ⎪⎝⎭,所以21x a x >--,即120x x a ++>, 因为()()1212121222x x x x a x x f x x +++++⎛⎫'=⎪+⎝⎭,1>0x ,20x >, 所以1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用导函数判断函数的单调性,考查利用导数处理函数中的双变量问题,考查分类讨论思想和推理论证能力22．在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos 12sin 1x y αα=-⎧⎨=+⎩(α为参数),在以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈.(1)求曲线C 的极坐标方程;(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,P 为曲线C 上的一动点,求AB . 【答案】（1）22cos 2sin 20ρρθρθ+--=；（2）【解析】（1）先将曲线C 的参数方程化为普通方程,再转化为极坐标方程即可； （2）将4πθ=代入曲线C 的极坐标方程中,利用韦达定理求解即可【详解】（1）由题,曲线C 的普通方程为()()22114x y ++-=,即222220x y x y ++--=,因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,所以曲线C 的极坐标方程为:22cos 2sin 20ρρθρθ+--=（2）由题,将4πθ=代入22cos 2sin 20ρρθρθ+--=中,所以220ρ+--=,即220ρ-=, 所以120ρρ+=,122ρρ=-, 所以12AB ρρ=-===【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查曲线内的弦长问题23．已知函数()1f x x x a =++-. (1)当1a =时,求不等式()3f x <的解集; (2)若()2f x ≥的解集为R ,求a 的取值范围. 【答案】（1）33,22⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）3a ≤-或1a ≥ 【解析】（1）将函数整理为分段函数形式,分类讨论求解即可；（2）由()11f x x x a a ++-≥=+,转化问题为12a +≥,进而求解即可 【详解】（1）当1a =时,()11f x x x =++-,则()112,1112,11112,1x x x x f x x x x x x x x --+-=-<-⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪++-=≥⎩,所以当1x <-时,23x -<,解得32x >-,则312x -<<-； 当11x -≤<时,23<； 当1x ≥时,23x <,解得32x <,则312x ≤<,综上,解集为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭ （2）因为()()()111x x x a x x a a f =≥+--+=-++,第 21 页 共 21 页 则由()2f x ≥的解集为R 可得12a +≥,解得3a ≤-或1a ≥【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式,考查绝对值三角不等式的应用,考查分类讨论思想。

2020-2021学年重庆市育才中学高一上学期1月月考数学试题一、单选题 1．已知集合2,1,0,1,2U ，{}22A x Z x =∈-<<，则UA =（ ）A ．∅B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}2,2-【答案】D【分析】由补集的定义运算即可得解. 【详解】由题意，集合2,1,0,1,2U ，{}{}221,0,1A x Z x =∈-<<=-，所以{}U2,2A =-.故选：D.2．设角θ的终边过点()1,2-，则tan θ=（ ） A ．12B ．2C ．2-D ．12-【答案】C【分析】由任意角三角函数定义直接求得结果. 【详解】角θ的终边过点()1,2-，∴tan 2θ=-.故选：C.3．“01x <<”是“2log (1)1x +<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】根据2log (1)111x x +<⇔-<<以及充分不必要条件的定义可得. 【详解】因为2log (1)111x x +<⇔-<<， 所以(0,1) (1,1)-,所以01x <<”是“2log (1)1x +<”的充分不必要条件. 故选A ．【点睛】本题考查了对数不等式以及充分必要条件,属基础题. 4．设0.3222,0.3,log 0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】D【分析】利用指数函数、对数函数的性质可以得到a ，b ，c 的取值范围，再结合a ，b ，c 的取值范围，即可按照从小到大的顺序得到a ，b ，c 的大小.【详解】解：0.30221a =>=，20.30.091b ==<，22log 0.3log 10c =<=；c b a ∴<<.故选：D.【点睛】方法点睛：本题是利用指数、对数函数的性质比较大小的题目，常用的方法： (1)作差法； (2)作商法；(3)利用函数的单调性（指数和对数经常化为同底）； (4)图像法；(5)构造中间量法，比如和0，±1进行比较.5．已知函数()123f x x +=-，若()4f m =，则m 的值为（ ） A ．72B ．92C ．112D ．132【答案】B【分析】利用换元法，可得()f x 的解析式，然后计算，可得结果. 【详解】由()123f x x +=-，令1t x =+，则1x t =- 所以()()21325f t t t =--=- 则()25f x x =-，又()4f m =所以92542m m -=⇒= 故选：B【点睛】本题主要考查利用换元法求解函数的解析式，属基础题. 6．已知tan 2α=，则sin +2cos 3sin cos αααα-的值为A ．25-B ．45C ．23D ．25【答案】B【分析】化简原式为tan +23tan 1αα-即得解.【详解】原式分子分母同时除以cos α得sin +2cos 3sin cos αααα-=tan +22+24=3tan 1615αα=--.故选：B【点睛】本题主要考查同角的商数关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.7．关于x 的方程2220x mx m m -+-=有两个正的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）. A ．0m > B ．0m ≥ C ．m 1≥ D ．1m【答案】D【分析】由已知可得判别式△0、对应的二次函数满足(0)0f >，即可求出m 的范围．【详解】解：方程2220x mx m m -+-=有两个实数根，∴△2244()0m m m =--，0m ∴，x 的方程2220x mx m m -+-=有两个正的实数根，对应的二次函数22()2f x x mx m m =-+-的开口向上，对称轴0x m =≥所以(0)0f >， 可得20m m ->，0m ∴<或1m ， 1m ∴>，故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程的根；熟练掌握一元二次方程中判别式确定根的存在，再由两根都是正数，结合根与系数的关系求解是解题的关键．8．已知函数()31sin 31x x f x x x -=+++，若[]1,1x ∃∈-，使得()()220f x x f k x -+-+<成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,∞+C ．(),2-∞D ．()2,+∞【答案】A【分析】根据奇偶性定义可知()f x 为奇函数，利用导数和函数单调性的性质可判断出0x ≥时，()f x 单调递增，由奇函数的性质可知()f x 在R 上单调递增，从而将不等式化简为221124k x x x ⎛⎫>+=+- ⎪⎝⎭，根据能成立的思想可知2min 1124k x ⎡⎤⎛⎫>+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由二次函数最值可求得结果. 【详解】()3113sin sin 3113x xx xf x x x x x -----=--=--++，()()f x f x ∴-=-， ()f x ∴为R 上的奇函数；令()()sin 0g x x x x =+≥，则()1cos 0g x x '=+≥，()g x ∴在[)0,+∞上单调递增，()21sin 31x f x x x =-+++， 当0x ≥时，231xy =+为减函数，()g x 为增函数，()f x ∴为增函数， 又()f x 为奇函数，()f x ∴在R 上单调递增；由()()220f x x f k x -+-+<得：()()()222f x x f k x f k x -<--+=-，22x x k x ∴-<-，即221124k x x x ⎛⎫>+=+- ⎪⎝⎭，[]1,1x ∃∈-，使得()()220f x x f k x -+-+<成立，∴当[]1,1x ∈-时，2min 1124k x ⎡⎤⎛⎫>+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当12x =-时，2min111244x ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，14k ∴>-，即实数k 的取值范围为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.二、多选题9．在下列函数中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．sin 2y x =B ．cos y x =C ．cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】ABC【分析】利用周期公式或图像判断即可. 【详解】对于A ，2T ππω==，对于B ，cos y x =的周期是2π，cos y x =的图像是把cos y x =的图像的x 轴下方部分关于x 轴对称，周期减半，故cos y x =的周期是π， 对于C ，2T ππω==，对于D ，2ππT ω==， 故选：ABC.【点睛】此题考函数的周期的求法，属于简单题. 10．下列结论正确的是（ ） A ．当0x >2≥ B ．当2x >时，1x x+的最小值是2 C ．当54x <时，14245x x -+-的最大值是1D ．设0x >，0y >，且2x y +=，则14x y +的最小值是52【答案】AC【分析】根据基本不等式可得答案，注意等号成立的条件. 【详解】A 选项：当0x >0>2≥，当且仅当1x =时等号成立，A 选项正确；B 选项：设122x x >>，则()()()121212121212111x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫--=+-+=- ⎪⎝⎭， 因为122x x >>，所以124x x >，()12121210x x x x x x -->，所以()()12f x f x >， 即()f x 在()2,+∞上是单调递增函数，15()222f x >+=， B 选项错误； C 选项：当54x <时，450x -<，则()450x -->，11425432314554x x x x ⎛⎫-+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭，当且仅当15454x x -=-即1x =时等号成立，C 选项正确；D 选项：当0x >，0y >，()(1414114191452222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+⋅=⋅+++≥⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当24,33x y ==时等号成立，D 选项错误.故选：AC.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 11．下列结论正确的是（ ）A ．在锐角ABC 中，sin sin cos cos AB A B < B ．函数()tan 213πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的对称中心是,126k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈ C ．方程8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程 D ．若,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又3sin 5α=，()12cos 13αβ+=-，则56sin 65β【答案】CD【分析】对于A ，由锐角三角形特点可确定A B +范围，利用两角和差余弦公式可证得A 错误； 对于B ，令()232k x k Z ππ+=∈，可确定对称中心横坐标知B 错误； 对于C ，将8x π=代入524x π+，结合正弦函数对称轴可知C 正确； 对于D ，利用同角三角函数关系可求得()cos ,sin ααβ+，由()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦，利用两角和差正弦公式可求得D 正确.【详解】对于A ，ABC 为锐角三角形，2A B ππ∴<+<，()cos 0A B ∴+<，即cos cos sin sin 0A B A B -<，sin sin cos cos A B A B ∴>，A 错误； 对于B ，令()232k x k Z ππ+=∈，解得：()46k x k Z ππ=-∈， ()f x ∴的对称中心为,164k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈，B 错误； 对于C ，当8x π=时，53242x ππ+=， 32x π=是sin y x =的一条对称轴，8x π∴=是5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一条对称轴，C 正确；对于D ，,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,αβπ∴+∈，又3sin 5α=，()12cos 13αβ+=-，4cos 5α∴=，()5sin 13αβ+=，()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα∴=+-=+-+⎡⎤⎣⎦541235613513565⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭，D 正确. 故选：CD.【点睛】思路点睛：本题考查三角函数对称轴和对称中心的求解、三角恒等变换中的两角和差公式的求解；求解三角函数对称轴和对称中心时，常采用整体对应的方法来进行求解；已知三角函数值求其他三角函数值时，常采用配凑角的方式，利用已知角表示出所求角，从而利用两角和差公式来进行求解.12．设函数(){}2min 2,,2f x x x x =-+，其中{}min,,x y z 表示x ，y ，z 中的最小者，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 为奇函数B ．若[)1,x ∈+∞时，有()()2f x f x -≤C ．若x ∈R 时，()()()ff x f x ≤D ．若[]4,4x ∈-时，()()2f x f x -≥ 【答案】BC【分析】在同一直角坐标系中画出函数22,,2y x y x y x =-==+的图像，求得的解析式，结合图像可得奇偶性，由图像平移、两图像的关系以及特殊值，即可得到所求结论【详解】在同一直角坐标系中画出函数22,,2y x y x y x =-==+的图像，如图所示，由图像可知22,1(),112,1x x f x x x x x ⎧+≤-⎪=-<<⎨⎪-≥⎩，则有()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，所以A 错误；当1≥x 时，()2f x x =-，(2)f x -的图像可看作()f x 的图像向右平移2个单位得到，当1≥x 时，()f x 的图像在(2)f x -的图像的上方，所以当[)1,x ∈+∞时，有()()2f x f x -≤，所以B 正确；由图像可知，若x ∈R 时，()0f x ≥，令()t f x =，由()y f t =和y t =（0t ≥）的图像可知，当0t ≥时，y t =在曲线()y f t =的上方，所以当0t ≥时，有()t f t ≥，即有()()()ff x f x ≤，所以C 正确；若[]4,4x ∈-时，(4)2,(4)20f f -=--=，则(4)(4)2f f ->--，即()()2f x f x -≥不成立，所以D 错误，故选：BC【点睛】关键点点睛：此题考查分段函数，考查函数性质有应用，解题的关键是画出函数图像求出函数解析式，然后逐个分析判断即可，考查数形结合的思想，属于中档题三、填空题13．已知扇形的半径与面积都为2,则这个扇形的圆心角的弧度数是______. 【答案】1【分析】由扇形的面积公式212S r α=⋅⋅，代入已知条件，即可求得结果． 【详解】解：根据扇形面积公式212S r α=⋅⋅得21222α=⨯⨯，解得1α=，故答案为1.【点睛】本题考查扇形的面积公式，是基础题． 14．函数()26513x x f x +--⎛⎫ ⎪⎝⎭=的单调递增区间是__________．【答案】[)3,+∞【分析】由复合函数“同增异减”的原则进行判断，可得函数的单调递增区间.【详解】解：函数()26513x x f x +--⎛⎫ ⎪⎝⎭=可看成由函数()13uf u ⎛⎫ ⎪⎝⎭=与函数265u x x =-+-复合而成，其中()13uf u ⎛⎫⎪⎝⎭=在(,)-∞+∞上单调递减，265u x x =-+-在(,3)-∞上单调递增，在[3,)+∞单调递减，由复合函数“同增异减”的原则可得：当[3,)x ∈+∞，()f x 单调递增， 故答案为：[)3,+∞.【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，熟悉复合函数“同增异减”的原则是解题的关键.15．已知sin 3πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【分析】利用诱导公式可知cos sin 63παπα⎛⎫-=⎛⎫+ ⎪⎝⎪⎝⎭⎭，可直接得到结果.【详解】cos cos sin 62333ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：3. 16．定义在R 上的函数()()2f x f x =-及()()f x f x =--，且在[]0,1上有()21f x x =+，则120192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．【答案】54-【分析】根据已知等式可推导得到()()4f x f x +=，确定()f x 以4为周期，结合()()f x f x =--可化简得到11201922f f⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入解析式可求得结果. 【详解】()()f x f x =--，()()22f x f x ∴-=--，()()2f x f x ∴=--，()()()()42f x f x f x f x ∴+=-+=--=⎡⎤⎣⎦，()f x ∴是以4为周期的周期函数， 111115201945051222244f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯-=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：54-.四、解答题 17．已知3sin 5α=，且2παπ<<．（1）求cos α的值； （2）求tan 4απ⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（1）45-；（2）17. 【分析】（1）根据同角三角函数平方关系可直接求得结果；（2）利用同角三角函数商数关系可求得tan α，由两角和差正切公式可求得结果. 【详解】（1）2απ<<π，cos 0α∴<，4cos 5α∴===-；（2）由（1）可得：sin 3tan cos 4ααα==-， 3tantan 1144tan 3471tan tan 144παπαπα+-⎛⎫∴+=== ⎪⎝⎭-+. 18．已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的图象经过点12,9⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）比较f （2）与f (b 2＋2)的大小； （2）求函数g (x )＝22xxa - (x ≥0)的值域．【答案】（1）f （2）≥f (b 2＋2)；（2）(0，3]．【分析】（1）待定系数法求得参数a ，再利用指数函数的单调性即可比较大小； （2）利用不等式法，结合指数型复合函数单调性，即可求得值域. 【详解】（1）由已知得a 2＝19，解得a ＝13， 因为f (x )=13x⎛⎫ ⎪⎝⎭在R 上递减，则2≤b 2＋2，所以f （2）≥f (b 2＋2)．（2）因为0x ≥，所以222(1)11x x x =---≥－， 所以2213x x-⎛⎫⎪⎝⎭≤3，又22103x x-⎛⎫> ⎪⎝⎭，故函数g (x )＝22xxa -(x ≥0)的值域为(0，3]．【点睛】本题考查待定系数法求指数函数解析式，以及利用其单调性比较大小和求值域，属基础题.19．已知函数()()sin 202f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，且()102f =． （l ）求ϕ的值．（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =的最小值． 【答案】（1）6π；（2）12-. 【分析】（1）由()102f =可构造方程，结合ϕ的结果可得结果； （2）由x 的范围可求得26x π+的范围，由正弦函数性质可确定最值点，由此得到最值.【详解】（1）()10sin 2f ϕ==且02πϕ<<，6πϕ∴=；（2）由（1）知：()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴当7266x ππ+=，即2x π=时，()min 71sin62f x π==-. 20．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike ”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入a (单位：万元)满足P=6，乙城市收益Q 与投入a (单位：万元)满足Q=14a+2，设甲城市的投入为x (单位：万元)，两个城市的总收益为f (x )(单位：万元).（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司的总收益； （2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大? 【答案】（1）43.5(万元)；（2）甲城市投资72万元，乙城市投资48万元. 【分析】（1）直接代入收益公式进行计算即可.（2）由收益公式写出f (x )=-14x+26，令，将函数转为关于t 的二次函数求最值即可.【详解】（1）当x=50时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元，所以公司的总收益为6+14×70+2=43.5(万元). （2）由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资(120-x )万元，所以f (x )=6+14(120-x )+2=-14x+26，依题意得40120-40x x ≥⎧⎨≥⎩，，解得40≤x ≤80.故f (x )=-14x+26(40≤x ≤80). 令t ∈，4， 所以y=-14t 2+t+26=-14(t-2+44. 当t=，即x=72万元时，y 的最大值为44万元，所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元.【点睛】本题考查函数模型的应用，考查函数最值的求解，属于基础题. 21．已知：函数()()1sin sin 2f x x x =+，x ∈R ． （1）求函数()f x 的单调增区间．（2）设关于x 的函数()22sin 2cos 21g x x a x a =---+的最小值为()h a ．试确定满足()12h a =的a 的值． 【答案】（1）()2,22k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦；（2）1-. 【分析】（1）分别在sin 0x ≥和sin 0x <两种情况下得到()f x 解析式，由此可确定单调递增区间；（2）令[]cos 1,1x t =∈-，将函数变为()22221g t t at a =---，分别在12a ≤-、12a≥和112a-<<三种情况下，根据二次函数单调性确定最小值，从而构造方程求得结果. 【详解】（1）当sin 0x ≥，即()22k x k k Z πππ≤≤+∈时，()sin f x x =， 此时()f x 的单调递增区间为()2,22k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦； 当sin 0x <，即()22k x k k Z πππ-≤≤∈时，()0f x =，此时()f x 无单调递增区间；综上所述：()f x 的单调递增区间为()2,22k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦. （2）()()2221cos 2cos 212cos 2cos 21g x x a x a x a x a =----+=---，令[]cos 1,1x t =∈-，则()22221g t t at a =---，()g t ∴是开口方向向上，对称轴为2at =的二次函数； ①当12a≤-，即2a ≤-时，()g t 在[]1,1-上单调递增， ()()122211h a g a a ∴=-=+--=，不满足()12h a =；②当12a≥，即2a ≥时，()g t 在[]1,1-上单调递减，()()1222141h a g a a a ∴==---=-+，令()12h a =，解得：18a =，不满足2a ≥；③当112a-<<，即22a -<<时，()g t 在1,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增， ()22122a a h a g a ⎛⎫∴==--- ⎪⎝⎭，令()12h a =，解得：1a =-或3a =-（舍），1a ∴=-； 综上所述：满足()12h a =的a 的值为1-. 【点睛】关键点点睛：本题第二问考查根据函数最值求解参数值的问题，解题关键是能够利用换元法将问题转化为对于二次函数单调性的讨论，根据单调性确定最值点，从而利用最值构造方程.22．已知()()221x x af x a R -=∈+的图象关于坐标原点对称．（1）求a 的值，并求出函数()()42121xx F x f x +--+=的零点； （2）若函数()()221xxbh x f x =+-+在[]0,1内存在零点，求实数b 的取值范围； （3）设()4log 1k x g x x +=-，()21log 1x h x x +=-，不等式()()h x g x ≤在12,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求满足条件的最小整数k 的值．【答案】（1）1a =，()F x 零点为1x =；（2）[]2,7；（3）8.【分析】（1）根据()f x 图象关于原点对称，可得()()f x f x -=-，由此构造等式求得a ；将()F x 的零点转化为方程4260x x +-=的根的求解，解方程可求得结果； （2）令[]21,2xt =∈，将问题转化为()()221g t t t b =+-+在[]1,2内存在零点，结合零点存在定理可构造不等式求得结果；（3）将恒成立的不等式转化为2211x x k x++≥-，令1x t -=，将问题转化为425t t +-在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值的求解问题，通过函数单调性求得最大值后即可得到所求的最小整数. 【详解】（1）()f x 图象关于原点对称，()()f x f x ∴-=-，2122212121x x x x x xa a a----⋅-∴==-+++，1a ；()21442621212121x x x x x x xF x -+-∴=+--=+++， 210x +>，()F x ∴的零点即为4260x x +-=的根，由4260x x +-=得：()()23220xx+-=，22x ∴=，解得：1x =，()F x ∴的零点为1x =.（2）由（1）知：()()4221212212121x x x x x x xb bh x +⋅-+-=+-=+++， 令2x t =，则当[]0,1x ∈时，[]21,2xt =∈，()h x 在[]0,1内存在零点等价于()()221g t t t b =+-+在[]1,2内存在零点，当480b ∆=+=，即2b =-时，()10g -=，不满足题意； 当480b ∆=+>，即2b >-时，()g t 为开口方向向上，对称轴为1t =的二次函数，()g t ∴在[]1,2上单调递增，()g t ∴在[]1,2内存在零点，只需()()()()12270g g b b ⋅=--≤，解得：27b ≤≤；综上所述：若()h x 在[]0,1内存在零点，则实数b 的取值范围为[]2,7.（3）由()()h x g x ≤得：2421log log log 11x k xx x ++≤=--11x x+∴≤-12,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，整理可得：2211x x k x++≥-，令1x t -=，则11,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且1x t =-， ()()2222111212544251t t x x t t t x t t t-+-+++-+∴===+--，42y t t=+在(上单调递减，max 412325212533t t ⎛⎫∴+-=⨯+-= ⎪⎝⎭，233k ∴≥，满足当12,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，01k x x +>-， ∴满足条件的最小整数8k .【点睛】关键点点睛：本题第三问考查函数中的恒成立问题的求解，解题关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为变量与函数之间的大小关系问题，通过函数值域的求解方法可确定函数最值，由此得到变量的取值范围.23．若函数()f x 对任意的x ∈R ，均有()()()112f x f x f x -++≥，则称函数()f x 具有性质P ．（1）若函数()f x 具有性质P ，且()()()002,f f n n n N*==>∈，求证：对任意{}1,2,3,,1i n ∈⋅⋅⋅-有()0f i ≤；（2）在（1）的条件下，是否对任意[]0,x n ∈均有()0f i ≤．若成立给出证明，若不成立给出反例并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）不成立，()()2,,x x n x f x x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数，理由见解析.【分析】（1）假设()f i 为()()()1,2,,1f f f n ⋅⋅⋅-中第一个大于0的值，由性质P 推导可证得()0f n >，与已知矛盾，由此证得结论； （2）根据性质P 的定义可证得()()2,,x x n x f x x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数满足性质P ，但x 为无理数时，不满足()0f i ≤，由此可得结论.【详解】（1）假设()f i 为()()()1,2,,1f f f n ⋅⋅⋅-中第一个大于0的值，则()10f i -≤，()()10f i f i ∴-->；()f x 具有性质P ，()()()112f n f n f n ∴-++≥，∴对于任意n *∈N ，都有()()()()11f n f n f n f n +-≥--，()()()()()()11210f n f n f n f n f i f i ∴--≥---≥⋅⋅⋅≥-->，()()()()()()()()11210f n f n f n f n f n f i f i f i ∴=--+-+-+⋅⋅⋅++-+>⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，与()0f n =矛盾，故假设不成立，∴对任意{}1,2,3,,1i n ∈⋅⋅⋅-有()0f i ≤.（2）不成立，例如：()()2,,x x n x f x x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数.理由如下：当x 为有理数时，1x -与1x +均为有理数，()()()()()()()()11211112f x f x f x x x n x x n x x n -++-=---+++---()()()()2221111222x n x x n x x nx =---++-+-+=；当x 为无理数时，1x -与1x +均为无理数，()()()()()2221121122f x f x f x x x x -++-=-++-=；()f x ∴对于任意x ∈R ，都有()()()112f x f x f x -++≥，即()f x 具有性质P ，但当[]0,x n ∈且当x 为无理数时，()0f x >；∴在（1）的条件下，“对任意[]0,x n ∈均有()0f i ≤”不成立.【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够熟练应用反证法，将不易说明的问题通过假设存在，证得与已知矛盾的方式来进行说明.。

重庆市涪陵实验中学校2020届高三数学上学期第一次月考试题 理（含解析）第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分；每小题只有唯一符合题目要求的答案）1.已知集合{{},0,1,2,3,4A x y B ===，则A B =I （ ） A. φB. {}0,1,2C. {}0,1,2,3D.(]{},34-∞U【答案】C 【解析】 【分析】首先求得集合A ，然后进行交集运算即可.【详解】求解函数=y {}|3A x x =≤，结合交集的定义有：{}0,1,2,3A B ⋂=. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.若命题00:,1x P x Z e ∃∈<，则p ⌝为（ ）A. ,1x x Z e ∀∈<B. ,1x x Z e ∀∈≥C. ,1x x Z e ∀∉<D.,1x x Z e ∀∉≥【答案】B 【解析】 【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可． 【详解】因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题p ：00:,1x P x Z e∃∈<，则￢p 为：∀x ∈Z ，e x ≥1，故选：B ．【点睛】本题考查特称命题与全称命题的否定，是基础题．3.下列函数中，既在()0,∞+上单调递增，又是奇函数的是（ ） A. y x = B. 1y x x -=-C. 1y x x -=-D. lg y x =【答案】C 【解析】 【分析】利用奇偶性排除A,D,利用单调性排除B 即可 【详解】在A 中，y ＝|x |是偶函数，故A 错误；在B 中，y ＝x ﹣1﹣x 在（0，+∞）上单调递减，又是奇函数，故B 错误； 在C 中，y ＝x ﹣x ﹣1在（0，+∞）上单调递增，又是奇函数，故C 正确； 在D 中，y ＝lgx 在（0，+∞）是非奇非偶函数，故D 错误． 故选：C ．【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性的判断，考查函数的单调性、奇偶性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 4.定积分()1214d x x x --=⎰（ ）A. 0B. 1-C. 23-D. 2-【答案】C 【解析】 【分析】利用微积分基本定理求出即可。

重庆市育才中学2021届高三上期（11.29）周考数学测试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量(2,1),(1,),==-⊥a b x a b , 则x 的值为 A.12-B.-1C. 2D.-2 2．已知函数e ,0,()1,0⎧≤=⎨->⎩x x f x x x ,则f (f (1))=A.0B. 1C. eD. 1-e3．已知集合{|||}==A x x x ,集合2{|430}=++>B x x x , 命题p : x ∈A , 命题q : x ∈B , 则p 是q 的 A.充分不必要条件 B 必要不充分条件 C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4．复数z 满足| z -1|=1,则| z |的最大值为 A.1B. 2C. 3D. 25．在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛．现将四位同学安排在1, 2,3, 4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有( )种． A. 12B. 14C. 16D. 186．如图1,在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 为矩形. PA ⊥底面ABCD , PA =AB =2, AD =4. E 为P C 的中点，则异面直线P D 与BE 所成角的余弦值为 A.35B.3010 C.1010D.310107．科克曲线 ( Koch curve) (如图 2) 是一种典型的分形曲线．它是科克(Koch ，H. von)于1904年构造出来的．其形成如下：把一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形. 取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷．外界的边比原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花．它是一个无限构造的有限表达，每次变化面积都会增加，但总面积不会超过起初三角形的外接圆．按照上面的变化规则，第四个图形的面积与第三个图形的面积之差为A.23243 B.43243C.163243 D.398．已知函数221()cos ,()2=--=-f x x x g x x k , 若f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，则k 的值为A. -1B. 0.C. 1D . 2二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分) 9．函数g (x ) = ln(2x +1) -ln( 2x -l ) , 关于g ( x ) 下列说法正确的是 A ．定义域为( 0 ,+∞) B ．值域为(0, +∞) C ．g (x )为减函数 D ．g (x )为奇函数10．已知函数f ( x ) = 2(| sin x | +sin x )• cos x , 关于f ( x )下列说法正确的是A ．f (x )为奇函数B ．2π为f (x )的周期C ．f ( x )的值域为[ -2,2]D ．f (x )的单调增区间为[2k π, 2k π+π4](k ∈Z )11．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为线段B 1D 1上一动点（包括端点），则以下结论正确的有A. 三棱锥P –A 1BD 的体积为定值13B. 过点P 平行于平面A 1BD 的平面被正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1截得的多边形的面积为32C. 直线PA 1与平面A 1BD 所成角的正弦值的范围为36[,]D. 当点P 与B 1重合时，三棱锥P - A 1BD 的外接球的体积为32π 12．设a >0, b >0, a +b = 1, 则A ．a 2 +b 2的最小值为12B ．4a +1b的范围为[ 9 , +∞)C ．ab的最小值为2 2 D ．若c > l , 则2311(2)1+-⋅+-a c ab c 的最小值为8三、填空题（本大题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分．把答案填写在答题卡相应位置上） 13．二项式5()+x x x展开式中的常数项为＿＿＿＿．14．某产品的广告投入x (万元)与销售额y (万元)具有较强的线性相关性,该产品的广告投入x (万元)与相应的销售额y (万元)的几组对应数据如下表所示:x 1 2 3 4 y356ac15．已知双曲线()222:10y C x b b-=>左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线分别交双曲线C 的两条渐近线于点M ，N 两点.若点M 是线段2F N 的中点，且12NF NF ⊥，则b =16．在在△ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b ,c , ∠B = 60° ,且b 2s in A c os C +bc sin B cos A =4s in B ,则b =, a +2c 的最大值为 ．（第一空2分，第二空3分）四、解答题（共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．( 本小题满分10分）2020年10月，第27届全国中学生物理学奥林匹克竞赛，在重庆育才中学隆重举行，若将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[ 50, 60) , [ 60,70) , [ 70,80) , [ 80 ,90) , [ 90,100 ]的分组作出频率分布直方图如图 4 所示. （1）求频率分布直方图中 a 的值，并估计这 50 名学生成绩的中位数；（2）若按照分层随机抽样从成绩在[ 80, 90) , (90, 100] 的两组中抽取了6人，再从这6人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[ 90 , 100] 的人数，求ξ的分布列和数学期望．18．( 本小题满分 12 分） 在①sin sin sin +=--A b cB C b a ,②3sin =c a A,③23=⋅S CA CB 这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答在△ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , S 为△ABC 的面积，若. （1）求角C 的大小；（2）点D 在CA 的延长线上，且A 为CD 的中点,线段BD 的长度为2 , 求△ABC 的面积S 的最大值.（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）19．( 本小题满分12 分）已知数列{a n }满足a 2 =2, a 5 =5,且122,2,2++n n n a a a 构成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；的（2）S n 为数列{2}n a 的前n 项和，记12++=⋅n n n n S b S S , 求证：b 1+b 2+…＋b n <12 .20．( 本小题满分 12 分） 已知函数f ( x ) = ax 2-2ln x .（1）当 a = 1时，求y =f ( x )在点(1, f (l))处的切线方程； （2）若对∀x ∈[l, 3], 都有f (x )≤14恒成立，求a 的取值范围.21．( 本小题满分 12 分）如图 5, 四边形ABCD 是一个边长为2的菱形，且∠B =π3，现沿着AC 将△ABC 折到△EAC 的位置，使得平面EAC ⊥平面ACD , M , N 是线段EC , ED 上的两个动点（不含端点），且=EM ENEC ED,平面AMN 与平面ACD 相交于l .（1）求证：l //MN ;（2）P 为l 上的一个动点，求平面PEC 与平面ACD 所成锐二面角的最小值．22． ( 本小题满分 12 分）已知椭圆22221(0)：+=>>x y C a b a b的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 作斜率为33的直线与C 相交于A , B ,且AB ⊥OB ，O 坐标原点． （1）求椭圆的离心率e ;（2）若b =l ，过点F 作与直线AB 平行的直线l ，l 与椭圆C 相交于P , Q 两点，( i ) 求k OP •k OQ 的值；( ii) 点M 满足2=OM OP ，直线MQ 与椭圆的另一个交点为N ，求NMNQ的值．重庆市育才中学2021届高三上期（11.29）周末考试测试题答案一、选择题CBAD BBBC二、多选题ABC BC BCD ABD三、填空题37．由观察可知：第一个图形有3条边，第二个图形有12条边（不算里面绿色的这条边，每一条边变为4条边），第三个图形有48条边，第四个图形有192条边，后一个图形与前一个图形相比，每一条边会增加一个边长为前面边长的13的小三角形，故第二个图形比第一个图形多3个小三角形（第一个图形3条边），第三个图形比第二个图形多12个小三角形，第4个图形比第三个图形多48个小三角形，故面积之差为214827⎛⎫=⎪⎝⎭，故选B．8．即f（x）＝g（x）有唯一解，即23cos2k x x=+有唯一解，令()23cos2h x x x=+，h′（x）＝3x-sinx，h″（x）＝3-cosx＞0，所以h′（x）在R上单调递增．又h′（0）＝0，当x∈（-∞，0）时，h′（x）＜0，当x∈（0，＋∞）时，h′（x）＞0，故h（x）在（-∞，0）上减，在（0，＋∞）上单增，h（x）min＝h（0）＝1．当x→-∞时，h（x）→＋∞，当x→＋∞时，h（x）→＋∞，故k＝h（x）有唯一解，k ＝1，故选C．11．A选项111111326P A BD A PBDV V--===，A不正确；B选项此平面为平面B1D1C，故三角形B1D1C2B选项正确；由等体积法知：点P到平面A1BD，当点P在线段B1D1上运动时，|PA1|max＝1（P为端点时），1min||2PA=，设直线PA1与平面A1BD所成角为θ，则sinθ∈⎣⎦，C正确；∠B1BD＝∠B1A1D＝90°，所以三棱锥P-A1BD的外接球的球心为B1D锥P-A1BD，D正确，故选BCD．12．A选项：由()222122a ba b++=≥，当且仅当12a b==时取等，知A正确；B选项：()41414559b aa ba b a b a b⎛⎫+=++=+++=⎪⎝⎭≥，当且仅当223a b==，13b=时取得最小值9，B选项正确；C11a b++==121219412222+=+=，C选项不正确；D选项：()2223314224a a ba a bab ab b a+++-=-=+≥．当且仅当b＝2a，13a=，23b=时取等，()231112414811a c c ab c c ⎛⎫+-⋅+-++⎪--⎝⎭≥≥，当且仅当32c =时取等，选项D 正确，故选ABD ． 17．解：（1）（0.012＋0.024＋0.04＋a ＋0.008）×10＝1，∴a ＝0.016，∵[50，60），[60，70）的概率之和为（0.012＋0.024）×10＝0.36．∴中位数为0.14701073.50.4+⨯=（分）．（2）[80，90）共0.016×10×50＝8（人），[90，100]共0.008×10×50＝4（人）． ∴[80，90）抽取了4人，[90，100]抽取了2人． ξ的取值为0，1，2．()3436C 10C 5P ξ===，()214236C C 31C 5P ξ===，()124236C C 12C 5P ξ===，∴()1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=．18．解：（1）选①：sin sin sin A b c B C b a +=--，∵由正弦定理得a b cb c b a+=--， ∴a （b-a ）＝（b ＋c ）（b-c ），即a 2＋b 2-c 2＝ab ，∴1cos 2C =，∵C ∈（0，π），∴π3C =．选②：由正弦定理得sin sin C A =cos 1C C =+， π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵C ∈（0，π），∴ππ5π,666C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴ππ66C -=，∴π3C =．选③：2S CB =⋅，sin cos ab C C ，∴tan C C ∈（0，π），∴π3C =． （2）在△BCD 中，由余弦定理知a 2＋（2b ）2-2×a×2b×cos60°＝22， ∴a 2＋4b 2-2ab ＝4≥2·a·2b -2ab ＝2ab ，∴ab≤2，当且仅当a ＝2b ， 即a ＝2，b ＝1时取等号，此时ab 的最大值为2，面积1sin 2S ab C ==． 19．（1）解：2n a ，12n a +，22n a +构成等比数列，∴()122222n n n a a a ++=⋅，∴2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是一个等差数列，由a 2＝2，a 5＝5，3d ＝a 5-a 2，∴d ＝1，a 1＝1，a n ＝a 1＋（n-1）d ＝n ．（2）证明：22n a n =，∴{}2na 是一个以2为首项，以2为公比的等比数列，∴()12122212n n n S +-==--，∴()()1121221122222222n n n n n n b +++++==----⋅-， ∴1223341221111111112222222222222222n n n n b b b ++++++=-+-++-=-<-------． 20．解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝x 2-2lnx ，f （1）＝1，()2'2f x x x=-，k ＝f′（1）＝0，∴f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y ＝1．（2）法一：由题意()max 14f x ≤，()()2212'2ax f x ax x x-=-=．①当a≤0时，f′（x ）＜0，f （x ）在[1，3]上单调递减，∴()()max 114f x f a ==≤恒成立，∴a≤0；②当a＞0时，f′（x ）＞0，x >，∴f （x ）在⎛⎝上单减，在⎫+∞⎪⎭上单增， 1，a≥1时，f （x ）在[1，3]上单增，()()max134f x f =≤，12ln 349a +≤，舍去；3，109a <≤时，f （x ）在[1，3]上单减，()()max 114f x f =≤，14a ≤，∴109a <≤；（ⅲ）当13<<，119a <<时，f （x ）在⎡⎢⎣上单减，⎤⎥⎦上单增， ()()11,413,4f f ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤14a ≤，∴1194a <≤， 综上，14a ≤．法二：()212ln 4f x ax x =-≤恒成立，212ln 4xa x +≤，令()212ln 4x g x x+=，()334ln 2'x g x x -=，g′（x ）＞0，381e x <<， ∴g （x ）在[1，38e ]上单增，[38e ，3]上单减，()114g =，()12ln 314394g +=>， ∴()min 14a g x =≤． 21．（1）证明：∵EM ENEC ED=，∴MN ∥CD ， ∵MN ⊄平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，∴MN ∥平面ACD ，∵平面AMN 与平面ACD 相交于l ，MN ⊂平面AMN ，∴l ∥MN ．（2）解：AB ∥CD ，由（1）可得MN ∥CD ，∴AB ∥CD ，∴A ，B ，M ，N 四点共面， 平面AMN∩平面ACD ＝AB ＝l ，∴P 在AB 上，如图，取AC 的中点为O ，π3B ∠=，则BO ⊥AC ，EO ⊥AC ，平面EMC ⊥平面ACD ， 平面EAC∩平面ACD ＝AC ， ∴EO ⊥平面ACD ．法一：以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则A （0，-1，0），B0，0），C （0，1，0），D（0，0），E （0，0设AP AB λ=，),1,0Pλ-，则(0,1,EC =，()3,2,0CP λλ=-，平面EPD 的法向量(),,n ab c =，则()0,320,EC n b CP n a b λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令c ＝λ，则a ＝2-λ，b =， ()2,n λλ=-，平面ACD 的法向量为()0,0,1m =，∴cos ,n m <>=，∵平面PEC 与平面ACD 所成角为锐二面角，令λ＞0，∴1cos ,2n m <>===， 当且仅当λ＝2时取等，此时平面PEC 与平面ACD 所成锐二面角有最小值π3． 法二：EO ⊥平面ACD，且EO =O 作OF ⊥PC 于F ，连接EF ， 则EF ⊥PC ，∴∠EFO 为所求锐二面角的平面角，记为θ，∴tan EO OF θ==，当OF 最大时，θ最小， ∵OF ⊥FC ，∴F 在以OC 为直径的圆上，当F 与C 重合时，|OF|max ＝1，∴tan OE OF θ==， ∴θ的最小值为π3．22．解：（1）已知|OA|＝a ，||2a OB =，π6BAF ∠=，则4a B ⎛- ⎝⎭，代入椭圆C 的方程：2222311616a a a b +=，∴225a b=，a =，∴2c b =，∴c e a =． （2）（i ）由（1）可得b ＝1，a C ：2215x y +=，设直线l：2x =+，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），N （x 3，y 3）． ∵2OM OP =，∴11,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭， 联立直线l 与椭圆C的方程：222,55,x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2810y +-=，Δ＞0恒成立，12y y +=，1218y y =-，∴))12121212522348x x y y y y =++=+++=， ∴121215OP OQ y y k k x x ⋅==-． （ⅱ）设NM NQ λ=，()01NM NQ λλ=<<，1133,22x y NM x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2323,NQ x x y y =--，()()13231323,2,2x x x x y y y y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩∴()()123123221,221,x x x y y y λλλλ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩()()()()31231212,2112,21x x x y y y λλλλ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩∵P ，Q ，N 在椭圆上，∴221155x y +=，222255x y +=，223355x y +=，()()()()2212122222554141x x y y λλλλ--+=--，∴()()()2222221122121254545201x y x y x x y y λλλ+++-+=-，由（ⅰ）可知x 1x 2＋5y 1y 2＝0，∴1＋4λ2＝4（1-λ）2，∴38λ=， ∴38NM NQ =．。

重庆育才中学高2020级高三下3月月考数学理科试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}|12,|14,A x x B x x x Z =-≤≤=-<<∈，则A B =I （ ） A. {}0,1,2 B. []0,2C. {}0,2D. ()0,2【答案】A 【解析】因为{}{|12},0,1,2,3A x x B =-≤≤=，所以{0,1,2}A B ⋂=，应选答案A． 2.已知复数21iz =-+，则（ ） A. 2z = B. z 的实部为1C. z 的虚部为1-D. z 的共轭复数为1i +【答案】C 【解析】分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()()()()21211112i i z i i i ----===---+--．则z =，选项A 错误；z 的实部为1-，选项B 错误； z 的虚部为1-，选项C 正确； z 的共轭复数为1zi =-+，选项D 错误.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知向量()1,1a =r ，()24,2a b +=r r ，则向量a r ，b r的夹角为( )A.3π B.6π C.4π D.2π 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给数据求出向量b r的坐标，然后代入向量夹角公式cos a b a bθ⋅=r r r r 即可得解. 【详解】因为()24,2a b +=r r ，()1,1a =r，所以()()()()4,224,22,22,0b a =-=-=r r ，设向量a r ，b r的夹角为θ，则cos 2θ==， 因为0θπ≤≤， 所以4πθ=，所以向量a r ，b r的夹角为4π， 故选：C.【点睛】本题考查了向量的坐标表示，向量的夹角公式，考查了计算能力，属于基础题. 4.“()()ln 2ln 10a b --->”是“1ab>”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由对数的运算性质与不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案.【详解】解：由()()ln 2ln 10a b --->，得201021a b a b ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，得1a b >>，1ab∴>； 反之，由1ab>，不一定有()()ln 2ln 10a b --->，如2,1a b =-=- ∴“()()ln 2ln 10a b --->”是“1ab>”成立的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查对数的运算性质与不等式的基本性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题. 5. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．． ．A. 288+36B. 60C. 288+72D. 288+8【答案】A 【解析】试题分析:由三视图知：该几何体是由底面圆的半径为3，高为8的半圆柱和长为8，宽为6，高为6的长方体的组合体，所以该几何体的体积是21V 38866362882ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ． 考点：1、三视图；2、空间几何体的体积．【易错点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的体积，属于容易题．解题时要看清楚是求表面积还是求体积，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体的体积即可． 6.某程序框图图所示，若该程序运行后输出的值是95，则a =( )A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】D 【解析】 【分析】本题根据所要得出的结果来求判断条件，进行若干轮的循环求解，找到结束点即可. 【详解】初始条件1S =,1K =；运行第一次，131122S =+=⨯，2K =； 运行第二次，3152233S =+=⨯，3K =； 运行第三次，5173344S =+=⨯,4K =； 运行第四次，7194455S=+=⨯，5K =，要输出的值是95，必须条件满足，停止运行，所以判断框填4?K >， 故选：D.【点睛】本题考查了补全程序框图，考查了计算能力，属于中档题.7.圆C 是心直线:(21)(1)20l m x m y m ++++=的定点为圆心，半径4r =，则圆C 的方程为（ ） A. 22(2)(2)16x y ++-= B. 22221)6()(x y -+-= C. 22(2)(2)16x y -++= D. 22(2)(2)16x y +++=【答案】A 【解析】由()()21120m x m y m ++++=有()()220x y m x y ++++=，所以直线过定点()2,2-，则所求圆的方程为()()222216x y ++-=，故选择A.8.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面，有以下四个命题： ①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ；其中真命题的序号是（ ） A. ②③ B. ③④C. ①④D. ①②【答案】A 【解析】对于命题①，直线,m n 可以相交和异面，故是错误的；对于命题②，由二面角的定义可知直线m n ⊥，故是正确的；对于命题③，由异面直线所成角的定义可知直线m n ⊥，故是正确的；对于命题④，直线,m n 可以相交和异面，故是错误的，应选答案A ．9.数列{a n }满足()21*1232222n n na a a a n N -+++⋯+=∈，则a 1a 2a 3…a 10=（ ） A. 551()2B. 1011()2-C. 911()2-D. 601()2【答案】A 【解析】 【分析】由题,当2n ≥时,得到22123112222n n n a a a a ---+++⋯+=,与题目中式子相减,即可得到12n n a =,进而求解【详解】解：n =1时,a 1=12, ∵211232222n n n a a a a -+++⋯+=, ∴2n ≥时,22123112222n n n a a a a ---+++⋯+=, 两式相减可得2n -1a n =12, ∴12n na =, n =1时，也满足∴12310a a a a =L 55231012310111111222222++++⎛⎫⨯⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭L L , 故选A【点睛】本题考查数列递推式,考查数列的通项,解题的关键是确定数列的通项,进而求解 10.函数()cos()(0,)2f x x πωϕωω=+><的部分图象如图所示，则函数3()()g x f x ϕπ=-的最小正周期为A. πB. 2πC. 4πD.2π【答案】A 【解析】 【分析】先根据图象求周期得ω，再根据点坐标求ϕ，最后根据()g x 图象确定周期.【详解】由图知7πππ2ππ241234T T ωω=-=⇒==⇒=，点π03⎛⎫⎪⎝⎭，是五点作图的第二个点，则πππ2326ϕϕ⨯+=⇒=-，∴()()3π1cos 2π62g x f x x ϕ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，由图象知()y g x =与π1cos 262y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期相同，均为2ππ2T ==，故选A.【点睛】已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应特殊点求ϕ.11.已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F ∆的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有12122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≤成立，则双曲线的离心率取值范围是( )A. (B. )+∞C. (D.)+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据所给条件和三角形面积公式，求得a ，c 的关系式，即可求得离心率的范围. 【详解】设12PF F ∆的内切圆半径为r ， 则111=2IPF S PF r ∆⋅，221=2IPF S PF r ∆⋅，12121=2IF F S F F r ∆⋅，因为12122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≤，所以1212PF PF F -≤， 由双曲线的定义可知12=2PF PF a -，12=2F F c ，的所以2a ≤，即ca≥ 故选：B.【点睛】本题考查了求双曲线离心率的范围，其主要方法为根据条件得出一个关于,,a b c 的齐次式，再化简转化成关于e 的不等式即可得解，本题属于较难题.12.已知函数21(),()2ln 2,()f x kx g x x e x e e==+≤≤，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y e =对称，则实数k 的取值范围是（ ） A. 224[,]e e-- B. 2[,2]e e-C. 24[,2]e e-D. 24[,)e-+∞ 【答案】B 【解析】 分析】设()M ,x kx ，则()N ,2x e kx -,推导出2k lnx x=-，由此利用导数性质能求出实数k 的取值范围. 【详解】因为函数()()21,2ln 2,f x kx g x x e x e e ⎛⎫==+≤≤⎪⎝⎭的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y e =对称，所以设()M ,x kx ，则()N ,2x e kx -,所以22ln 2e kx x e -=+，所以2k lnx x =-，222lnxk x+='-，由0k '=得x e =， 因为21x e e ≤≤，所以1,)x e e⎡∈⎢⎣时，0k '<，2k lnx x =-是减函数； 当2(,x e e ⎤∈⎦时，0k '>，2k lnx x=-是增函数， 所以x e =时，22k lne e e =-=-；当2x e =时，22224k lne e e =-=-， 当1x e=时，2121k ln ee e =-=；所以2min k e=-，2max k e =，所以实数的取值范围是22e e，⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, 所以选B.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要构造函数，由导函数确定研究构造的函数的单调性，从而可求出结果.【二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13.2-⎰=______.【答案】2π 【解析】 【分析】根据被积函数y =22x ≤≤）表示一个半圆，利用定积分的几何意义即可得解.【详解】被积函数y =（22x ≤≤）表示圆心为(0,0)，半径为2的圆的上半部分，所以221=2=22ππ-⋅⎰.故答案为：2π.【点睛】本题考查了利用定积分的几何意义来求定积分，在用该方法求解时需注意被积函数的在给定区间内的函数值符号，本题属于中档题.14.已知46n n C C =，设()()()()201234111n nn x a a x a x a x -=+-+-++-L ，则12n a a a +++=L _____． 【答案】1023 【解析】 【分析】根据组合数公式性质可得10n =；分别代入1x =和2x =求得0a 和012n a a a a +++⋅⋅⋅+，作差即可得到结果.【详解】46n n C C =Q 10n ∴=即：()()()()2012101034111n x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+- 代入1x =可得：()100341a -==代入2x =可得：()1010012642n a a a a -==+++⋅⋅⋅+1012211023n a a a ∴++⋅⋅⋅+=-=本题正确结果：1023【点睛】本题考查组合数的性质、二项展开式系数和的应用问题，对于与二项展开式系数和有关的问题，常采用特殊值的方式来求解.15.某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是____________． 【答案】18 【解析】根据题意得到这个学生有两种选择，其一是从物理化学生物中选两门，剩下的里面选一门，或者从物理化学生物中选一门，剩下的里面选两门，故情况为2112333318.C C C C +=故答案为18.16.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且1AP=AC =，过点A 分别作AE PB ⊥于点E ，AF PC ⊥于点F ，连结EF ，当AEF ∆的面积最大时，tan BPC ∠=__________.【答案】2【解析】 【分析】利用PA ⊥平面ABC ，根据线面垂直的性质定理可得PA BC ⊥，结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明出BC ⊥平面PAB ，进而可以证明出BC AE ⊥，再结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明AE ⊥平面PBC ，因此可以证明出AE PC ⊥，最后利用线面垂直定理证明出PC ⊥平面AEF ，因此得到AE EF ⊥，PC AF ⊥，且F 为PC 中点.解法1：设AB x =，BC y =，利用三角形面积公式可以求出AE长，在利用PFE PBC ∆∆∽，求出EF 的长，最后求出AEF ∆的面积表达式，利用换元法和配方法求出AEF ∆面积平方的最大值，最后求出tan BPC ∠的值；解法2：设BPC θ∠=，求出EF 、BC 、PB 、AB 的大小，再求出AE 的大小，最后求出AEF S ∆表达式，利用同角三角函数的关系中商关系和基本不等式求出最大值，根据等号成立的条件求出tan BPC ∠的值.【详解】因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AB BC ⊥， 所以BC ⊥平面PAB ，所以BC AE ⊥，又PB AE ⊥， 所以AE ⊥平面PBC ，所以AE PC ⊥，又AF PC ⊥，所以PC ⊥平面AEF ，综上AE EF ⊥，PC AF ⊥，且F 为PC 中点. 解法1：设AB x =，BC y =，则221x y +=，又1AP=AC =，则AE =，又PFE PBC ∆∆∽，可得EF =12AEF S EF AE ∆=⋅⋅=， 所以()()()22222222218181x x x y S x x -==++，令21x t +=，则222222(1)(2)32123113118884464t t t t S t t t t t ---+-⎛⎫⎛⎫===-+-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以当134t =时即213x =，223y =，()max 18AEF S ∆=，此时tan BC BPC PB ∠===. 解法2.设BPC θ∠=，则tan 2EF PF θ==tan 2EF θ=.又BC θ=，PB θ=，所以AB =PA AB AE PB ⋅==所以11tan 222AEFS EF AE θ∆=⋅⋅=⋅=221tan 1tan 1428θθ+-==≤⋅=当且仅当22tan 1tan θθ=-即tan 2θ=时，取等号.故答案为：2【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的综合应用，考查了基本不等式的应用，考查了配方法的应用，考查了推理论证能力和数学运算能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，17~22题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求二选一作答.17.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知222b c a +-=. （1）若tan B =a b ；（2）若23B π=,b =BC 边上的中线长. 【答案】（1）52；（2【解析】 【分析】（1）由222b c a +-=求出cos A ，从而求出sin A，再由tan 12B =得出sin B ，再根据正弦定理即可得解；（2）通过三角形内角和求出角6C A B ππ=--=，再利用正弦定理得出2c =，在ABD ∆中利用余弦定理，即可得解.【详解】（1）由222b c a +-=得cos A =6A π∴=,tan 12B =Q ，1sin 5B ∴=. 由正弦定理得，sin sin a b A B=，则1sin 251sin 52b B a A ===，∴52a b =（2）6A π=Q ,6C A B ππ=--=，AB BC ∴=，由sin sin c bC B=得2c =，取BC 中点D ，在ABD ∆中，2222cos 7AD AB BD AB BD B =+-⨯⨯⨯=，AD ∴=，即BC【点睛】本题考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查了计算能力和转化思想，属于中档题. 18.某篮球队员进行定点投篮训练，每次投中的概率是34，且每次投篮的结果互不影响. （1）假设这名队员投篮5次，求恰有2次投中的概率；（2）假设这名队员投篮3次，每次投篮，投中得1分，为投中得0分，在3次投篮中，若有2次连续投中，而另外一次未投中，则额外加1分；若3次全投中，则额外加3分，记ξ为队员投篮3次后总的分数，求ξ的分布列及期望.【答案】（1）45512；（2）分布列见解析，24364. 【解析】 【分析】（1）根据题意以及二项分布的定义可知，投中的次数服从二项分布，即X B :35,4⎛⎫⎪⎝⎭即可得解；（2）首先求出ξ的所有可能取值，再求出所有可能取值的概率，列出分布列，利用期望公式即可得解. 【详解】（1）设X 为队员在5次投篮中投中的次数，则X B :35,4⎛⎫ ⎪⎝⎭， 在5次投篮中，恰有2次投中的概率为：()2325332144P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=45512或0.0879 （2）由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6()3110464P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭()2139134464P ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭ ()3139244464P ξ==⨯⨯= ()22311393444432P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的()33276464P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭ ξ的分布列为：24364E ξ=【点睛】本题考查了二项分布，以及求概率和期望， 考查了计算能力，属于较难题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC中点（1）证明：BE DC ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2 【解析】 【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明BE DC ⊥； （2）设(,,)F a b c ，由BF AC ⊥，求出113,,222F ⎛⎫⎪⎭⎝，求出平面ABF 的法向量和平面ABP 的法向量，利用向量法能求出二面角F AB P --的余弦值.【详解】证明：（1）∵在四棱锥P −ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.的∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， B （1，0，0），P （0，0，2），C （2，2，0），E （1，1，1），D （0，2，0）， (0,1,1)BE =u u u r，(2,0,0)DC =u u u r ，0BE DC ∴⋅=u u u r u u u r，∴BE DC ⊥；（2）∵F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，∴设(,,)F a b c ，,[0,1]PF PC λλ=∈u u u r u u u r，则(,,2)(2,2,2),(2,2,22)a b c F λλλλλλ-=-∴-， (21,2,22),(2,2,0)BF AC λλλ∴=--=u u u r u u u r，∵BF AC ⊥，2(21)220BF AC λλ∴⋅=-+⋅=u u u r u u u r，解得1113,,,4222F λ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭， 113(1,0,0),,,222AB AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，设平面ABF 的法向量(,,)n x y z =r，则0113222n AB x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1z =，得(0,3,1)n =-r ， 平面ABP 的一个法向量(0,1,0)m =u r，设二面角F AB P --的平面角为θ，则||cos ||||m n m n θ⋅===⋅u r r u r r ，∴二面角F AB P --【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点()10F ，，过F 作两条互相垂直的弦AB CD ，，设AB CD ，中点分别为M N ，． (1) 求椭圆的标准方程；(2)求以A B C D ，，，为顶点的四边形的面积的取值范围；【答案】(1)2212x y += (2) 1629⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率c a =1c ，=求出a 、b ，即可求椭圆的方程； （Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，直接求出面积．②当两弦斜率均存在且不为0时，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且设直线AB 的方程为y=k （x-1），与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求出AB ，CD 即可求解面积的表达式，通过基本不等式求出面积的最值．【详解】解：(1) 由题意：12cc a ==，．∴1a b c ===．则椭圆的方程为2212x y +=(2) ①当两直线一条斜率不存在一条斜率为0时， 11·222S AB CD ==⨯= ②当两直线斜率存在且都不为0时，设直线AB 方程为()()()11221y k x A x y B x y =-，，，， 将其带入椭圆方程整理得：()2222124220kxk x k +-+-=221212224221212k k x x x x k k-+==++，)2122112kAB xk+-=+同理，)2212kCDk+=+))()222222224214114111···=221222+2+5121kk k k kS AB CDk k k kkk⎛⎫+⎪+++⎝⎭===++⎛⎫++⎪⎝⎭22162,29121kk⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭⎛⎫++⎪⎝⎭，当1k=±时，169S=综上所述四边形面积范围是1629⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，弦长公式的求法以及基本不等式的应用，是综合性比较强的题目．21.已知函数()ln2f x a x x=-，()()()2ln1222xg x x e a x=++-+-.（1）讨论函数()f x的单调性；（2）若0x≥时，()0g x≥恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）2a≤.【解析】【分析】（1）对()ln2f x a x x=-求导可得：()()'220a x af x xx x-+=-=>，对a进行分类讨论即可求出单调性；（2）由题可得：()()()()()'212122011xxe x a x aag x e a xx x+-+++=+--=≥++，通过切线放缩可得：()'2121ax xg xx⎡⎤⎛⎫--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥+，再分2a≤，2a>两种情况讨论即可得出a的取值范围.【详解】（1）由题知()()'220a x af x xx x-+=-=>①当0a≤时，恒有()'0f x<，得()f x在()0,∞+上单调递减；②当0a >时，由()'0fx =，得2a x =，在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，有()'0f x >，()f x 单调递增； 在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，有()'0f x <，()f x 单调递减. （2）由题知()()()()()'212122011x x e x a x a a g x e a x x x +-+++=+--=≥++，由0x ≥时，恒有11x e x ≥+≥，知()()()()2'212121211a x x x a x a g x x x ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥+-+++⎝⎭⎣⎦≥=++ ①当102a-≤，即2a ≤时，()'0g x ≥恒成立，即()g x 在0x ≥上单调递增， ()()00g x g \?（合题意）；②当102a->，即2a >时，此时导函数有正有负，且有()'00g =， 由()'221x a g x e a x =+--+，得()()''221x a g x e x =-++，且()''g x 在0x ≥上单调递增， 当2a >10>，101e >=，()''020g a =-<，)''11210g-=->故()'g x在()1-上存在唯一的零点0x ，当[)00,x x ∈时，()''0g x <，即()'g x 在()00,x x ∈上递减，此时()()''00g x g ≤=，知()g x 在()00,x x ∈上递减，此时()()''00g x g ≤=与已知矛盾（不合题意）；综合所述：满足条件的实数a 的取值范围2a ≤【点睛】本题考查了利用导数求函数单调性，在解题过程中用到了分类讨论和数形结合思想，还考查了函数的放缩以及虚设零点问题，需要较强的计算和思考能力，属于难题.22.在平面直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为42(4x cos y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数），在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，P 为曲C 上的一动点，求△P AB 面积的最大值. 【答案】（1）24cos 120ρρθ--=；（2） 【解析】【分析】．1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程即可；（2．设A ，B 两点的极坐标分别为1π,6ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合二次方程根据系数的关系及极径的意义可求得12AB ρρ=-，又由题意得△P AB 中边AB 上最大的高为圆心C 到直线l 的距离加上半径，进而可得面积的最大值．【详解】（1）将方程424x cos y sin αα=+⎧⎨=⎩，，（α为参数），消去参数α后可得224120x y x +--=，∴曲线C 的普通方程为224120x y x +--=，将222x y ρ+=，cos x ρθ=代入上式可得24cos 12ρρθ-=， ∴曲线C 的极坐标方程为24cos 120ρρθ--=． （2）设A ，B 两点的极坐标分别为1π,6ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6ρ⎛⎫⎪⎝⎭，由2412π6cos ρρθθ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，，消去θ整理得2120ρ--=， 根据题意可得1ρ，2ρ是方程2120ρ--=的两根，∴12ρρ+=1212ρρ=-，∴12AB ρρ=-==∵直线l 30y -=，∴圆C 的圆心()2,0到直线l 的距离为1d ==，又圆C 的半径为4r =， ∴ ()()()max 111422PAB S AB d r =+=⨯+=V ． 【点睛】．1．进行方程间的变化时要注意相关方程的概念和转化公式的灵活运用．．2）解决参数方程或极坐标方程下的解析几何问题时，一种方法是直接根据极坐标、参数方程求解．另一种方法是转化成普通方程后在直角坐标系内求解． 23.已知函数()2f x x a x a =+++（1）若(1)3f >，求实数a 的取值范围； （2）证明：m R ∈时，1()()6f m f m-+≥． 【答案】（1）{}|30a a a -或； （2）见解析. 【解析】 【分析】．1．()13f >即为123a a +++>分类讨论即可得到结果； ．2．利用三角绝对值不等式即可得到结果.【详解】（1）()13f >即为123a a +++>．当2a <-时，233a --> ，得3a <-； 当21a -≤≤-时，13>，无解当1a >-时，233a +>，得0a >． 所以()13f >时，实数a 的取值范围为{}|30a a a -或． （2）证明：()1121222f m f m a m a a a m a a m a a m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-++-+++++=-++++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭122246m m m m≥+++≥+= 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

重庆高2024级高三上期第一次测试题（数学）（答案在最后）一、单选题（本大题共8小题，共40分.）1.若集合{}2560A x x x =--≤，(){}ln 214B x y x ==-，则()RA B ⋂=ð（）A.(]1,7- B.(]1,6- C.()7,+∞ D.()6,+∞【答案】C 【解析】【分析】求出集合A ,B 中元素的范围，然后求()A B R ð即可.【详解】{}{}256016A x x x x x =--≤=-≤≤,(){}{}{}ln 21421407B x y x x x x x ==-=->=>,()()R ,16,A ∴=-∞-+∞ ð,()()R 7,A B +∞∴= ð.故选：C.2.不等式2210ax x -+>（R a ∈）恒成立的一个充分不必要条件是（）A.2a >B.1a ≥ C.1a > D.102a <<【答案】A 【解析】【分析】分0a =和0a ≠两种情况讨论求出a 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】当0a =时，210x -+>，得12x <，与题意矛盾，当0a ≠时，则0Δ440a a >⎧⎨=-<⎩，解得1a >，综上所述，1a >，所以不等式2210ax x -+>（R a ∈）恒成立的一个充分不必要条件是A 选项.故选：A .3.若0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.c a b >>B.c b a >>C.a b c>> D.b a c>>【解析】【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【详解】由 1.01x y =在R 上递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=，由0.5y x =在[0,)+∞上递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>.故选：D4.若0a >，0b >，()lg lg lg 3a b a b +=+，则a b +的最小值为（）A.43B.423+ C.6D.333+【答案】B 【解析】【分析】根据对数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可.【详解】由()()()lg lg lg 3lg 3lg 331a b a b a b bab ab a b a b ⇒=⇒=+⇒=+=+-+，因为0a >，0b >，所以10b ->，即1b >，所以333(1)42(1)4423111b a b b b b b b b +=+=+-+≥⋅-+=+---，当且仅当311b b =--时取等号，即31b =+时取等号，故选：B5.函数21sin 21x x y x +=⋅-的部分图象大致为（）A. B.C.D.【答案】B【分析】判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除AC ，根据函数在(0,π)上的符号排除D ，可得答案.【详解】函数21sin 21x x y x +=⋅-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，定义域关于原点对称，因为211221sin()sin sin 211221x x x x xxx x x --+++-⋅=-⋅=⋅---，故函数21sin 21x x y x +=⋅-为偶函数，其图象关于y 轴对称，故AC 不正确；当π()0,x ∈时，sin 0x >，21x >，故21sin 021x x y x +=⋅>-，故D 不正确.故选：B.6.2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按[]0,10，(]10,20，(]20,30，(]30,40，(]40,50分组，分别得到频率分布直方图如下：估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是1x 和2x ，方差分别是21s 和22s ，则（）A .12x x >，2212s s > B.12x x >，2212s s < C.12x x <，2212s s > D.12x x <，2212s s <【答案】A 【解析】【分析】分别计算出1x 和2x ，进行比较；由方差的意义比较21s 和22s ，即可得到答案.【详解】由题意进行数据分析，可得：()()()()10.0201000.01020100.03030200.015300.75x ⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=，解得：140x =；()()()()20.0101000.02020100.03030200.025300.75x ⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=，解得：236x =；所以12x x >.比较两个频率分布直方图可以看出：雪上项目的数据更分散，冰上项目的数据更集中，由方差的意义可以得到：2212s s >.故选：A7.已知函数()2af x x x=+．若曲线()y f x =存在两条过()2,0点的切线，则a 的取值范围是（）A.(,1)(8,)-∞⋃+∞ B.(,1)(8,)-∞-⋃+∞C.(,0)(8,)-∞⋃+∞ D.(,8)(0,)-∞-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】对函数求导，设切点坐标，写出切线方程，将点（2,0）代入得到20020x ax a +-=，由题意存在两条切线，可得方程有两个不等实数根，由判别式大于0可得答案.【详解】()212af x x '=-，设切点坐标为（000,2a x x x +），则切线方程为00200(1)()22a a y x x x x x --=--，又切线过点（2,0），可得00200(1)(2)22a ax x x x --=--，整理得20020x ax a +-=，曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足()280a a ∆=-->，解得0a >或8a <-，故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查过某点的切线方程的求法和切线的条数问题，运用了转化思想，将切线的条数转化为方程的根的个数.8.已知函数()()211xf x a a =>+，给出下列四个命题：①()f x 在定义域内是减函数；②()()1g x f x =-是非奇非偶函数；③()()()1h x f x f x =+-的图象关于直线1x =对称；④()()1F x f x =-是偶函数且有唯一一个零点.其中真命题有（）A.①③B.②③C.③④D.①④【答案】D 【解析】【分析】利用复合函数单调性的求法判断()()211xf x a a =>+单调性，判断()()0g x g x -+=是否成立即可判断()g x 的奇偶性，应用特殊值求出()0h 、()2h ，反证法判断图象是否关于直线1x =对称，利用()()1F x f x =-的性质即可确定零点的个数.【详解】函数()()211x f x a a =>+可看成函数()11xu a a =+>与函数2y u =的复合函数，①函数()11xu a a =+>在R 上是增函数，函数2y u=在()0,+¥上是减函数，故()f x 在定义域内是减函数，真命题；②()()2111x g x f x a =-=-+，且()()0g x g x -+=，故()g x 是奇函数，假命题；③()()()200111h f f a =+=++，()()()22222111ah f f a a =+-=+++，若()()02h h =，则1a =，假命题；④()()1g x f x =-是奇函数，则()()1F x f x =-是偶函数，且当0x >时，()()2111x F x f x a =-=-+在()0,+¥上是增函数，故()()00F x F >=，函数有唯一一个零点0，真命题.故选：D.二、多选题（本大题共4小题，共20分.每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的是（）A.3x >是24x >的充分不必要条件B.“0x ∃∈R ，0012x x +≥”的否定是“x ∀∈R ，12x x+>”C.钝角一定是第二象限角D.定义在[],a b 上的偶函数()()25f x x a x b =+++的最大值为30.【答案】ACD 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断A ，根据含量词的命题的否定方法判断B ，根据象限角的定义判断C ，根据偶函数的性质和二次函数图象及性质判断D.【详解】∵242x x >⇔>或<2x -，∴3x >是的充分不必要条件，A 对，“0x ∃∈R ，0012x x +≥”的否定是“x ∀∈R ，12x x+<”，B 错，∵钝角的取值范围为(,)2ππ，∴钝角一定是第二象限角，C 对，∵()()25f x x a x b =+++在[],a b 上的偶函数，∴5,5a b =-=，即()25([5,5])f x x x =+∈-，∴函数()25([5,5])f x x x =+∈-的最大值为30，D 对，故选：ACD.10.已知二项展开式()831f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法正确的有（）A.()f x 的展开式中的常数项是56B.()f x 的展开式中的各项系数之和为0C.()f x 的展开式中的二项式系数最大值是70D.()i 16f =-，其中i 为虚数单位【答案】BC 【解析】【分析】结合二项式系数的性质、系数的性质及对数的运算计算即可得.【详解】()()832441881C1C kkk kk kk T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，对A ：令2440k -=，即6k =，则()66781C 28T =-=，故A 错误；对B ：令1x =，即()811101f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故各项系数之和为0，故B 正确；对C ：由8n =，故二项式系数中的最大值为488765C 704321⨯⨯⨯==⨯⨯⨯，故C 正确；对D ：()()8831i i i+i 0i f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：BC.11.为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（）A.甲乙丙三人选择课程方案有120种方法B.恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为59C.已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为2536D.设三名同学选择课程“礼”的人数为ξ，则12E ξ=【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项考查了排列组合的内容；B 选项利用排列组合分别算出基本事件总数与满足题意的基本事件个数，代入古典概型公式计算；C 选项利用条件概率的公式代入求解；D 选项利用二项分布的公式求解.【详解】甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程，则选择方法有36216=种，故A 错误；恰有三门课程没有被三名同学选中，表示三位同学每个人选择了不重复的一门课程，所以概率为363120521966A ==，故B 正确；已知甲不选择课程“御”的概率为56，甲乙丙都不选择“御”的概率为3316652521=，所以条件概率为125252165366=，故C 正确；三名同学选择课程“礼”的人数为ξ，则ξ服从二项分布1(3,)6B ξ ，则11362E ξ=⨯=，故D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素（或位置）的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．12.已知函数,1()1ln ,1xx f x x x x ⎧<⎪=-⎨⎪≥⎩，()g x kx k =-，则（）A.()f x 在R 上为增函数B.当14k =时，方程()()f x g x =有且只有3个不同实根C.()f x 的值域为()1,-+∞D.若()()1()()0x f x g x --≤，则[)1,k ∈+∞【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数解析式作出函数图象，判断函数单调性及值域；根据导数求方程()()f x g x =的根的个数；数形结合求得()()1()()0x f x g x --≤成立时，参数范围；【详解】根据函数解析式作出函数图象，由图象易知，()f x 在R 上不是增函数，故A 错误；当1x ≥时，1()f x x'=，则(1)1f '=，()g x 过定点(1,0)，当14k =时，()g x 与()f x 在1x ≥上相交，共2个交点；当1x <时，21()(1)f x x '=-，过点(1,0)作()f x 的切线，设切点为00(,)x y ，则0001x y x =-，00200111(1)x x x x -=--，解得01x =-，1(1)4f '-=，故当14k =时，()g x 与()f x 在=1x -处相切，有1个交点；故当14k =时，()g x 与()f x 共有3个交点，故B 正确；由图易知()(1,)f x ∈-+∞，故C 正确；当1x ≥时，()()1()()0x f x g x --≤等价于()()f x g x ≤，由函数图象，及上述分析知，1k ≥；当1x <时，()()1()()0x f x g x --≤等价于()()f x g x ≥，由函数图象，及上述分析知，14k ≥；故若()()1()()0x f x g x --≤，1k ≥，故D 正确；故选：BCD三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.7log 2252log 8log 8log 57-⋅+=____________.【答案】2【解析】【分析】根据对数的运算性质及换底公式计算即可.【详解】7log 2252lg8lg 532log 8log 8log 57lg 5lg 2-⋅+=-⋅+3lg 25532lg 2=-=-=.故答案为：2.14.函数12y ⎛=⎪⎝⎭的值域为________________，单调递增区间为____________.【答案】①.1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦②.[]1,3（开闭均可）【解析】域，根据复合函数的单调性和指数函数的单调性求出函数的单调增区间即可.【详解】令2230x x -++≥，解得13x -≤≤，所以函数12y ⎛=⎪⎝⎭的定义域为[]1,3-，则()[]2223140,4x x x -++=--+∈，[]0,2，所以11,124⎛⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即函数12y ⎛= ⎪⎝⎭的值域为1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦；令[]1,3t x =∈-，令223u x x =-++，其在[)1,1-上是增函数，在[]1,3上是减函数，而函数t =在定义域内为增函数，所以函数t =在[)1,1-上是增函数，在[]1,3上是减函数，因为函数12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，所以函数12y ⎛=⎪⎝⎭的单调递增区间为[]1,3.故答案为：1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦；[]1,3（开闭均可）.15.甲、乙、丙3所学校每所学校各派出两名同学，现从这六名同学中任取两名，安排到甲、乙、丙3所学校交流.每所学校至多安排一名同学，每名同学只能去一所学校且不能去自己原先的学校，则不同的安排方法有________种.【答案】42【解析】【分析】根据所选学生是否来自同一学校分类讨论即可.【详解】若这两名同学选自同一个学校，则有1132C C 6⋅=种安排方法；若这两名同学选自两所不同学校有211322C C C ⋅⋅种选法，比如1，2分别选自甲乙两所学校，则1去乙，2可去甲或丙校，若1去丙校，则2只能去甲校，即此时有3种方法安排学生，故有()211322C C C 2136⋅⋅⨯+=种安排方法.综上有36+6=42种安排方法.故答案为：4216.若关于x 的不等式e ln 0x x ax a x --≥对任意,()0x ∈+∞恒成立，则实数a 的最大值是___________.【答案】e 【解析】【分析】先将e ln 0x x ax a x --≥转化为()e ln e0xxx a x -≥，再令e (0)xt x x =>构造函数()ln t f t t =，求导得到()f t 单调性，最后参变分离得到a 的取值范围即可.【详解】由e ln 0x x ax a x --≥可得()e ln 0xx a x x -+≥，()e ln e0xxx a x -≥，令e (0)xt x x =>，()1e 0x t x '=+>，故e xt x =在()0,∞+上单增，0t >.令()(0ln t f t t t=>且1)t ≠，()2ln 1()ln t f t t -'=，当t e >时，()0,()f t f t '>单增，当01t <<或1e t <<，()0,()f t f t <'单减.又()e ln e0xxx a x -≥等价于ln 0t a t -≥，当1t =时，10≥恒成立，a R ∴∈；当1t >时，可得ln ta t≤，即(e)e a f ≤=，e a ∴≤；当01t <<时，可得ln ta t≥，又0t →时，()0f t →，0a ∴≥.综上，0e a ≤≤，故a 的最大值是e .故答案为：e .四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设{}n a 是等差数列，110a =-，且23410,8,6a a a +++成等比数列，（1）求{}n a 的通项公式：（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，求使得n n S a ≥成立的n 的取值范围.【答案】（1）212n a n =-；（2）{1n N n *∈=或}12n ≥.【解析】【分析】（1）设数列{}n a 的等差为d ，根据已知建立方程，解之可得数列的通项公式.（2）由（1）得n S ，由已知得不等式211212n n n -≥-，解之可求得n 的取值范围.【详解】解：（1）∵{}n a 是等差数列，110a =-，且23410,8,6a a a +++成等比数列，设数列{}n a 的等差为d ，.∴()()()23248106a a a +=++，∴2(22)(43)d d d -+=-+，解得2d =，∴1(1)1022212n a a n d n n =+-=-+-=-；（2）由110,2a d =-=，得2(1)102112n n n S n n n -=-+⨯=-，由n n S a ≥，得211212n n n -≥-，即213120n n -+≥，解得1n ≤或12n ≥.又n N *∈，∴n 的取值范围为{1n N n *∈=或}12n ≥.18.已知函数()2xf x e x=-()1求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;()2若函数()()g x f x a =-，[]1,1x ∈-恰有2个零点，求实数a 的取值范围【答案】(1)x+y-1=0.(2)22ln 22a e -<≤-.【解析】【分析】(1)求得f （x ）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；(2)函数()()[],1,1g x f x a x =-∈-恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可.【详解】（1）因为()e 2xf x x =-，所以()e 2xf x '=-.所以()0 1.f '=-又()01,f =所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1,y x -=-即10x y +-=.（5分）（2）由题意得，()e 2xg x x a =--，所以()e 2xg x '=-.由()e 20xg x ='-=，解得ln2x =，故当1ln2x -≤<时，()0g x '<，()g x 在[)1,ln2-上单调递减；当ln21x <≤时，()0g x '>，()g x 在(]ln2,1上单调递增.所以()()min ln222ln2g x g a ==--.又()11e +2g a --=-，()1e 2g a =--，若函数恰有两个零点，则()()()11e 20,1e 20,ln22220,g a g a g ln a -⎧-=+-≥⎪=--≥⎨⎪=--<⎩解得22ln2e 2a -<≤-.所以实数a 的取值范围为(]22ln2,e 2--.【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.19.如图，在四棱锥A －BCDE 中，△BCE 为等边三角形，平面ACD ⊥平面CDE ，AC ⊥CD ，二面角D －AC －E 的大小为60°．（1）求证：CD ∥平面ABE ；（2）若AC ＝BC ＝2，点G 为线段AB 上的点，若直线CB 与平面CEG所成角的正弦值为7，求线段AG 的长度．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可；（2）建立坐标系用向量法求解即可【小问1详解】在四棱锥A BCDE -中，因为平面ACD ⊥平面CDE ，平面ACD 平面CDE CD =，AC CD ⊥，AC ⊂平面ACD ，所以AC ⊥平面CDE ；又,CE CD ⊂平面CDE ，所以AC CE ⊥，AC CD ⊥，所以ECD ∠为二面角D AC E --的平面角，所以60ECD ∠= ，又60BEC ∠= ，所以//CD BE ．又BE ⊂平面ABE ，CD ⊄平面ABE ，所以//CD 平面ABE ．【小问2详解】取BE 的中点F ，连接CF ，则CF BE ⊥，又//BE CD ，所以CF CD ⊥，又AC ⊥平面CDE ，CF ⊂平面CDE ，所以AC CF ⊥，所以AC ，CF ，CD 两两垂直．以C 为坐标原点，CF ，CD ，CA 所在的直线为,,x y z 轴建立的空间直角坐标系，则()0,0,2A ，)3,1,0B-，()0,0,0C ，)3,1,0E ，则)3,1,0CE = ，)3,1,2AB =--，)3,1,0CB =- ，设()3,,2AG AB λλλλ==--，所以)3,,22CG CA AB λλλλ=+=-- 设平面CEG 的法向量为(),,n x y z =，则00CG n CE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即3(22)030x y z y λλλ-+-=+=，令3x =，可得=3y -，()311z λλλ=≠-，所以33,3,1n λλ⎫=-⎪-⎭ ，设直线CB 与平面CEG 所成的角为α，则2621732391sin cos ,n CBn CB n CBαλλ⋅==⋅==⎛⎫++ ⎪-⎝⎭，解得12λ=，所以AG 的长为122AB =20.随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助.某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）.按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求这300名员工日行步数x （单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数ξ（单位：千步）服从正态分布()2,N μσ，其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2，求该企业被抽取的300名员工中日行步数(14,18]ξ∈的人数；（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8~14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元.求工会慰问奖励金额X （单位：元）的分布列和数学期望.附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，(22)P μσξμσ-<≤+0.9545≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈.【答案】(1)12(2)47(3)分布列见解析，()=216E X 【解析】【分析】(1)用每组数据中该组区间的中点值为代表，利用公式直接可求解.(2)由题意得()212,2N ξ∼，求出()1418P ξ<≤即可求解出答案.(3)由频率分布直方图可知每人获得奖金额为0元的概率为0.02，每人获得奖金额为100元的概率为：0.88，每人获得奖金额为200元的概率为：0.1,X 的取值为0，100，200,300,400.分布求出概率，列出分布列，求出数学期望.【详解】（1）由题意有0.005250.005270.04290.29211x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+0.112130.032150.0152170.00521911.6812⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=≈（千步）（2）由()2,N ξμσ，由（1）得()212,2N ξ∼所以()()()()1141812+2123261810142P P P P ξξξξ<≤=<≤+⨯=<≤-<≤⎡⎤⎣⎦()10.99730.68270.15732≈-=所以300名员工中日行步数(14,18]ξ∈的人数：3000.1573=47⨯.(3)由频率分布直方图可知：每人获得奖金额为0元的概率为：0.00522=0.02⨯⨯.每人获得奖金额为100元的概率为：()0.04+0.29+0.112=0.88⨯每人获得奖金额为200元的概率为：0.1X 的取值为0，100，200,300,400.()200.02=0.0004P X ==()121000.020.880.0352P X C ==⨯⨯=()1222000.020.1+0.880.7784P X C ==⨯⨯=()123000.10.880.176P X C ==⨯⨯=()24000.10.01P X ===所以X 的分布列为：X0100200300400P0.00040.03520.77840.1760.01()=00.0004+1000.0352+2000.7784+3000.176+4000.01=216E X ⨯⨯⨯⨯⨯（元）【点睛】本题考查利用频率分布直方图求平均值，正态分布，离散型随机变量的概率分布列与数学期望，属于中档题.21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2，求AOB 面积的最大值．【答案】（1）2213x y +=（2）2【解析】【分析】（1）由题意计算即可得；（2）结合韦达定理与题目条件，将AB 用与k 有关的等式表示出来，从而求得AB 的最大值，即可得AOB 面积的最大值.【小问1详解】设椭圆的半焦距为c，则有2a =、2c =，即a =c =则2221b a c =-=，故所求椭圆方程为2213x y +=；【小问2详解】设()11A x y ，，()22.B x y ，①当AB x ⊥轴时，即有12x =，则有2213y ⎝⎭+=，即234y =，即2y =±，则AB =，②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+，则有2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()222316330k x kmx m +++-=，()()2222Δ36431330k m k m =-+->，即22310k m -+>，有122631km x x k -+=+，()21223131m x x k -=+，点O 到直线l的距离32d ==，即()22314m k =+，则()()()()22222212223161143131m km AB kx x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎢⎥=+-=+-⨯ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()()()()()()222222222222221213112131361313131m k k k m k m k k k k⎡⎤-+++-⎢⎥=+-=⎢⎥+++⎣⎦()()()2222422319112396131k k k k k k++==++++，当0k =时，有23AB =，故AB =，当0k ≠时，22212334196AB k k=+≤+++，当且仅当2219k k =，即33k =±时等号成立，即2AB ≤，综上所述，max 2AB =，故AOB 面积最大值133322242S AB =⨯⨯=⨯=.【点睛】关键点睛：本题关键在于结合韦达定理，表示出AB 与k 的关系，从而得到AB 的最大值.22.已知函数ln e ()=+xxf x x x，()ln()g x a x =-，已知0x =是函数()y xg x =的极值点．（1）求曲线()f x 在()()1,1f 处的切线方程，并判断函数()f x 的零点个数；（2）若对任意的()0,x ∈+∞，e ln 1-≥+x x x kx 恒成立，求实数k 的取值范围；（3）设函数()()()x g x h x xg x +=．证明：()1h x <．【答案】（1）()2e 11e 0x y +-+-=，()f x 在定义域(0,)+∞上存在唯一零点（2）1k （3）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求导数，再求(1)f '，即可求得切线，然后求出函数单调区间,利用零点存在定理即可判断函数零点个数.（2）首先参变分离，求函数()F x 的单调区间，设出零点，分析函数单调区间，求最小值，然后整体换元，即可求解.（3）首先确定定义域，再令()()t x xf x =换元，然后对()t x 进行单调性分析，求出参数a 的值，从而求出()h x 的表达式，再对()h x 进行分析，即可求证.【小问1详解】21ln ()(1)e x x f x x x -'=++，所以121ln1(1)(11)e 2e 11f -'=++=+，又1ln1(1)e e 1f =+=所以切线方程为：()()e 2e 11y x -=+-，即切线方程为：()2e 11e 0x y +-+-=；根据21ln ()(1)e xxf x x x -'=++，可知()f x '在(0,1)上为正，因此()f x 在区间(0,1)上为增函数，又12e1e e ()0e ef -=<，(1e 0f =>），因此1()(1)0e f f <，即()f x 在区间(0,1)上恰有一个零点，由题可知()0f x >在(1,)+∞上恒成立，即在(1,)+∞上无零点，则()f x 在定义域(0,)+∞上存在唯一零点．【小问2详解】原不等式可化为e ln 1x x x k x-- ，令e ln 1()x x x F x x--=，则ln ()x x xe x F x x+'=，由（1）可知()F x 在0(0,)x 上单调递减，在0(x ，)∞+上单调递增，0()()min F x F x ∴=，设()f x 的零点为0x ，即0000ln e 0x x x x +=，下面分析0000ln e 0x x x x +=，设00e x x t =，则00ln xt x =-，可得0000ln ln ln x tx x x t =-⎧⎨+=⎩，即0(1)ln x t t -=若1t >，等式左负右正不相等，若1t <，等式左正右负不相等，只能1t =．因此0000000e ln 1ln ()1x x x xF x x x --==-=，即1k ．【小问3详解】证明：由题意，()g x 的定义域为(,)a -∞，令()()t x xg x =，则()ln()t x x a x =-，(,)x a ∈-∞，则1()ln()ln()x t x a x x a x a x a x--'=-+⋅=-+--，因为0x =是函数()y xg x =的极值点，则有(0)0t '=，即ln 0a =，所以1a =，当1a =时，1()ln(1)ln(1)111x t x x x x x--'=-+=-++--，且(0)0t '=，因为22112()01(1)(1)x t x x x x ---''=+=<---，则()t x '在(,1)-∞上单调递减，所以当(,0)x ∈-∞时，()0t x '>，当(0,1)x ∈时，()0t x '<，所以1a =时，0x =是函数()y xg x =的一个极大值点．综上所述，1a =；所以()ln(1)y xg x x x ==-，要证()1()x g x xg x +<，即需证明ln(1)1ln(1)x x x x +-<-，因为当(,0)x ∈-∞时，ln(1)0x x -<，当(0,1)x ∈时，ln(1)0x x -<，所以需证明ln(1)ln(1)x x x x +->-，即(1)ln(1)0x x x +-->，令()(1)ln(1)m x x x x =+--，则1()(1)1ln(1)ln(1)1m x x x x x-'=-⋅+--=---，所以(0)0m '=，当(,0)x ∈-∞时，()0m x '<，当(0,1)x ∈时，()0m x '>，所以0x =为()m x 的极小值点，所以()(0)0m x m >=，即ln(1)ln(1)x x x x +->-，故ln(1)1ln(1)x x x x +-<-，所以()1()x g xxg x+<．【点睛】(1)切线方程的求法主要利用导数求解切线斜率，其次需要注意题目中的关键字眼“在”与“过”的不同.(2)函数零点的个数的判断主要利用零点存在定理，利用函数在某区间端点值异号来判断.(3)导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

重庆市育才中学2019-2020学年高一上学期期中考试试题数学一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.1-8题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，9,10题是多选题 1.若1∈{x ，x 2}，则x =（ ） A. 1 B. 1-C. 0或1D. 0或1或1-【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果 【详解】根据题意，若1∈{x ，x 2}，则必有x =1或x 2=1， 进而分类讨论：①、当x =1时，x 2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去， ②、当x 2=1，解可得x =-1或x =1（舍）， 当x =-1时，x 2=1，符合题意， 综合可得，x =-1， 故选B ．【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题. 2.函数113y x x =--的定义域为（ ） A. ()3,+∞ B. [)1,+∞C. [)1,3D. [)()1,33,⋃+∞ 【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式可列出让式子有意义的不等式组，求解即可得到结果. 【详解】依题意得：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得，x ≥1且x ≠3，所以不等式组的解集是：[)()1,33,⋃+∞.故选：D.【点睛】本题考查函数的定义域，注意认真计算，属基础题. 3.设x ∈R ，则“()211x -<”是“05x <<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先求解()211x -<得02x <<，根据集合的关系判断命题的推导关系，由{}{}|02|05x x x x <<<<可得正确选项.【详解】由()211x -<得，02x <<，显然，{}{}|02|05x x x x <<<<，根据集合的关系可判断命题的推导关系，所以，“()211x -<”是“05x <<”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，利用集合法判断充分性和必要性是解题的关键，属基础题. 4.已知函数(1)31f x x +=-，则()f x 的解析式是（ ） A. ()31f x x =- B. ()34f x x =- C. ()32f x x =- D. ()32f x x =+【答案】B 【解析】 【分析】根据换元法求出解析式即可.【详解】由题意得，设t =x +1，则x =t -1，所以()3(1)134f t t t =--=-， 即()34f x x =-，所以函数()f x 的解析式为()34f x x =-. 故选：B.【点睛】本题考查函数解析式的求法，利用换元法求解析式是本题的关键，属基础题. 5.下列函数中，既是奇函数，又在(0,+∞)上单调递减的函数是（ ）A. y x =-B. y x =-C. 21y x =-D. 2y x=-【答案】A 【解析】 【分析】由基本初等函数的单调性和奇偶性，对A ，B ，C ，D 各项分别加以验证，不难得到正确答案. 【详解】对于A ，y x =-在(0,+∞)上显然是减函数，且在R 上满足()()f x f x -=-，故A 正确； 对于B ，y x =-为偶函数，故B 不正确； 对于C ，21y x =-为偶函数，故C 不正确； 对于D ，2y x=-在(0,+∞)上单调递增，故D 不正确. 故选：A.【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性，掌握基本初等函数的单调性和奇偶性是关键，属基础题. 6.已知f （x ）={4040x x x x +<->，则f [f （-3）]的值为（ ） A. 3 B. 2C. 2-D. 3-【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得函数的解析式，结合函数的解析式的特征要计算f[f （-3）]，必须先计算f （-3）进而即可得到答案．【详解】由题意可得：()4,04,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，所以f （-3）=-3+4=1， 所以f （1）=1-4=-3， 所以f[f （-3）]=f （1）=-3． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解决此类问题的关键是熟悉解析式特征与所求不等式的结构，此类题目一般出现在选择题或填空题中，属于基础题型，着重考查了推理与运算能力. 7.函数11142x xy =--在[)0,x ∈+∞上的值域为（ ）A. [)1,-+∞B. 5[,)4-+∞ C. 5[,1)4-- D. 5[,1]4-- 【答案】D 【解析】 【分析】令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，换元转化为二次函数，利用配方法可得函数的值域. 【详解】令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则21y t t =--，由[)0,x ∈+∞，(0,1]t ∈，2215124y t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，则12t =时，min 54=-y ，1t =时，max 1y =-，所以函数11142x xy =--在[)0,x ∈+∞上的值域为5[,1]4--. 故选：D.【点睛】本题考查函数的值域，考查换元法，考查配方法的运用，属于基础题.8.已知函数()xF x e =满足()()()F x g x h x =+，且()()g x h x ，分别是R 上的偶函数和奇函数，若不等式1(2)()2g x ah x ≥+在(]0,2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. (]0,2 B. [)2,+∞C. (],2-∞D. (],0-∞【答案】C 【解析】 【分析】由()()()F x g x h x =+及()()g x h x ，的奇偶性可求得()()g x h x ，，进而可把1(2)()2g x ah x ≥+表示出来，利用换元得到210t t a +≥-，分离出参数a 后，转化为求函数的最值问题即可解决. 【详解】由()()()F x g x h x =+，即()()xe g x h x =+①， 则()()xeg x h x -=-+-，又()()g x h x ，分别是R 上的偶函数和奇函数，所以()()xeg x h x -=-②，联立①②解得()2x x e e g x -+=，()2x xe e h x --=.因为1(2)()2g x ah x ≥+，所以22()1222x x x x e e a e e --+-≥+，即22)0(1xx x x ee a e e -----+≥，令x x t e e -=-，由(]0,2x ∈，得22(0,]t e e -∈-，则210t t a +≥-，变形得1a t t ≤+，即1a t t≤+在22(0,]t e e -∈-上恒成立，所以min1a t t ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，又12t t +≥，当且仅当1t =时，等号成立，所以2a ≤.故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性及函数恒成立问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，本题综合性强，属难题.9.(多选)若函数1xy a b =+-(0a >,且1a ≠)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有（ ） A. 1a > B. 01a << C. 0b > D. 0b <【答案】AD 【解析】 【分析】根据指数型函数的图象分布列式可解得.【详解】因为函数1x y a b =+- (0a >,且1a ≠)的图像经过第 一、三、四象限，所以其大致图像如图所示:由图像可知函数为增函数，所以1a >.当0x =时，110y b b =+-=<， 故选AD.【点睛】本题考查了指数函数的图象,属于基础题.10.（多选）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则函数()f x满足（ ） A. (0)0f =B. ()y f x =是奇函数C. ()f x 在[],m n 上有最大值()f nD. (1)0f x ->的解集为(),1-∞【答案】ABD 【解析】 【分析】先研究函数的奇偶性，可以先令x =y =0求得f (0)的值，再令y =-x ，代入原式，可得奇偶性；然后结合单调性的定义判断单调性，最后判断函数在[],m n 上的最值情况以及根据单调性求解不等式(1)0f x ->即可.【详解】令x =y =0，则f (0)=f (0)+f (0)，所以f (0)=0，故A 正确；再令y =-x ，代入原式得f (0)=f (x )+f (-x )=0，所以f (-x )=-f (x )，故该函数为奇函数，故B 正确；由f (x +y )=f (x )+f (y )得f (x +y )-f (x )=f (y )，令x 1<x 2，再令x 1=x +y ，x 2=x ，则y =x 1-x 2<0，结合x <0时，f (x )>0，所以f (x 1)-f (x 2)=f (x 1-x 2)>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以原函数在定义域内是减函数，所以函数f (x )在[],m n 上递减，故f (n )是最小值，f (m )是最大值，故C 错误；又(1)0f x ->，即(1)(0)f x f ->，结合原函数在定义域内是减函数可得，10x -<，解得1x <，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性以及利用单调性求最值和解函数不等式的方法，综合性较强，合理赋值是解决抽象函数问题的常用手段，属中档题. 二、填空题：本题共5小题，每题4分，共20分 11.若集合A ＝{260x x x +-≤}，B ＝{x |42x x +-≤0}，则A B =_______. 【答案】[4,2]- 【解析】 【分析】化简集合A 、B ，根据并集的定义写出AB 即可.【详解】依题意，{}2|60{|32}A x x x x x =+-≤=-≤≤，4|0{|42}2x B x x x x +⎧⎫=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭，则{|42}[4,2]AB x x =-≤≤=-.故答案为：[4,2]-.【点睛】本题考查集合的并集运算，注意认真计算，仔细检查，属基础题.12.已知函数()y f x =的对应关系如下表，函数()y g x =的图象是如图的曲线ABC ，其中(1,3)A ，(2,1)B ，()3,2C ，则((2))g f 的值为___，((2))f g 值为___.【答案】 (1). 1 (2). 3 【解析】 【分析】根据函数图象和表格确定函数值的对应关系即可得到结论. 【详解】由图象可知f (2)=2，g (2)=1，由表格可知f (1)=3， 则((2))(2)1g f g ==，((2))(1)3f g f ==， 故答案为：1，3.【点睛】本题主要考查函数值的计算，要求熟练掌握根据图象法和表格法确定对应函数值的关系，属基础题.13.已知关于x 的不等式2210ax ax a -++>的解集是R ，则实数a 的取值范围是_________． 【答案】[0,)+∞ 【解析】 【分析】通过讨论a 与0的关系，分析不等式不是二次不等式的情况；若是二次不等式，则利用二次函数的图像与性质得到关于a 的不等关系求解即可.【详解】当a =0时，原不等式变为1>0，恒成立，故不等式的解集是R ，所以a =0符合条件； 当a ≠0时，要使不等式原不等式的解集为R ，则方程2210ax ax a -++=无实根，且二次函数221y ax ax a =-++的图象是开口向上的，即2(2)4(1)00a a a a ⎧∆=-⨯+<⎨>⎩，解得0a >.综上，实数a 的取值范围是0a ≥. 故答案为：[0,)+∞.【点睛】本题主要考查了学生对一元二次不等式的解法的掌握与应用，着重考查了一元二次不等式恒成立的等价关系，属中档题.14.函数2321()()12x x f x +-=-的单调递增区间为________，值域为__________. 【答案】 (1). [)1,+∞ (2). 15[,)16-+∞【解析】 【分析】可以看出该函数是由211ty ⎛⎫= ⎪⎭-⎝和223t x x =-++复合而成的复合函数，从而求函数223t x x =-++的单调区间即可得到原函数的单调区间，配方2223(1)44t x x x =-++=--+≤，然后根据指数函数的单调性即可求出原函数的值域.【详解】令223x x t -++=，则211ty ⎛⎫= ⎪⎭-⎝减函数，根据复合函数单调性法则，223t x x =-++的单调减区间[1,)+∞为原函数的单调增区间， 则原函数的单调增区间为[1,)+∞；又2223(1)44t x x x =-++=--+≤，则41516112211t ⎛⎫⎛-⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝≥-=-⎭.所以该函数的值域为15[,)16-+∞. 故答案为：[)1,+∞，15[,)16-+∞.【点睛】本题考查复合函数的单调性，指数函数的单调性和值域，以及二次函数单调区间的求法，配方求二次函数值域的方法，注意仔细审题，认真计算，属中档题.15.已知函数24,1()2,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若存在1212,,x x R x x ∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】1,(1,)2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先求出2()4f x x ax =-+的对称轴2x a =，分12a <和12a ≥两种情况进行讨论分析，得到a 的不等关系即可求出结果.【详解】当1x ≤时，2()4f x x ax =-+，对称轴2x a =. 若21a <，即12a <，则2()4f x x ax =-+在(,2)a -∞上单调递增，在(2,1]a 上单调递减，故存在1212,,x x R x x ∈≠，使得12()()f x f x =成立；若21a ≥，即12a ≥，则2()4f x x ax =-+在(,1]-∞时单调递增，当1x >时，()2f x ax =+也是单调递增的，则令214112a a -+⨯>⨯+，解得1a >，此时，存在1212,,x x R x x ∈≠，使得12()()f x f x =成立. 综上，实数a 的取值范围是1,(1,)2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：1,(1,)2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查分段函数的图象和性质，着重考查学生分类讨论的思想和逻辑推理能力，对a 进行合理分类是解决本题的关键，属难题.三、解答题：本题共6小题，每题15分，共90分 16.已知函数()25f x x =--的定义域为A ，()()2ln 1220g x x x =-+-的定义域为B .（1）求出集合,A B ； （2）求()R C A B ⋂；（3）若}{5C x a x a =-<<，且()C A B ⊆⋃，求a 的取值范围．【答案】（1）A ={x |3≤x ≤7}，B ={x |2＜x ＜10}；（2）(C R A )∩B ={x |2<x <3或7<x <10}；（3）a ≤3 【解析】 【分析】（1）分别求解250x --≥和212200x x -+->即可得到集合A ，B ； （2）根据集合补集和交集的定义进行计算求解即可；（3）先求出A ∪B ，再根据集合的包含关系讨论集合C 是否为空集，由此可得到a 的不等关系，从而求出结果.【详解】（1）对于函数()2--5f x x =，有250x --≥，解得3≤x ≤7，则A ={x |3≤x ≤7}，对于函数()()2ln 1220g x x x =-+-，有212200x x -+->，解得2＜x ＜10，则B ={x |2＜x ＜10}；（2）由C R A ={x |x <3或x >7}，∴(C R A )∩B ={x |2<x <3或7<x <10}； （3）由（1）知，A ∪B ={x |2＜x ＜10}， 当C ≠∅时，要使C ⊆(A ∪B )，须有55210a aa a -<⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，解得52<a ≤3；当C =∅时，5-a ≥a ，解得a ≤52． 综上所述，a 的取值范围是a ≤3．【点睛】本题考查函数的定义域，集合的交并补运算，以及根据集合的包含关系求参数的范围，注意仔细审题，认真计算，属中档题. 17.化简、求值 （1）计算：()21log 39320.125log 22--；（2）已知13x x -+=12x x -的值； （3）已知lg 2,lg3m n ==，求lg 45的值.【答案】（1）12；（25（3）21n m +-； 【解析】 【分析】（1）根据指数的运算法则计算求解即可； （2）先求出0x >，再根据2112)2(xx x x --=++即可求出结果；（3）根据对数的运算法则将lg 45化简变形即可得到结果.【详解】（1）原式21193log 3322191log 2283822-⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭；（2）依题意，0x >，由221111222(())25x x xx x x ---=+=++=+可得，125x x -+=； （3）210lg 45lg(59)lg5lg9lglg3lg10lg 22lg3212n m =⨯=+=+=-+=+-. 【点睛】本题考查指数和对数的运算，注意认真计算，属基础题.18.已知函数()f x 是偶函数，当()0x ∈+∞，时，()1f x x x=+. （1）求当()0x ∈-∞，时，()f x 的解析式； （2）在答题卡上坐标系内画出函数图像的草图，并通过观察图像写出()f x 的值域； （3）求解不等式()24f x x<-.【答案】（1）()1f x x x=--；（2）图像见解析，值域为)2,⎡+∞⎣；（3）()()2501,3--⋃， 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质求出解析式即可； （2）画出图象并写出值域即可；（3）分()0x ∈+∞，和()0x ∈-∞，两种情况下求解不等式即可得到结果. 【详解】（1）当()0x ∈-∞，时，()0x -∈+∞，，()1f x x x-=--， 因为函数()f x 是偶函数，所以()()1f x f x x x=-=--； （2）由（1）知，()1,01,0x x xf x x x x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，图象如下图，由图可得函数()f x 的值域为)2,⎡+∞⎣；（3）当()0x ∈+∞，时，()1f x x x =+24x<-，即2430x x -+<，解得13x <<， 当()0x ∈-∞，时，()1f x x x=--24x <-，即2410x x +-<，解得250x -<<，∴综上所述，不等式解集是()()2501,3-⋃,. 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解析式，以及画函数图象并利用图象求值域和求解函数不等式，注意仔细审题，认真计算，属中档题. 19.已知函数()()1xf x eg x x ==-，.（1）写出()y g f x =⎡⎤⎣⎦的单调递增区间（不需要说明原因）； （2）若函数()y f g x m ⎡⎤=+⎣⎦与x 轴有交点，试求m 的取值范围；（3）若函数()y g f x k ⎡⎤=+⎣⎦在[]1,ln3ln 2x ∈--上的图像不全在x 轴下方，试求k 的取值范围. 【答案】（1）增区间为()0,∞+；（2）1m ≤-；（3）11k e≥- 【解析】 【分析】（1）根据()1xy g f x e ==-⎡⎤⎣⎦的解析式写出单调递增区间即可；（2）将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦m +与x 轴有交点转化为方程1x e m -+=0有解的问题，求出1x e -的范围即可得到m 的范围；（3）函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦+k 在[1,ln3ln 2]x ∈--上的图像不全在x 轴下方，即()y g f x =⎡⎤⎣⎦+k 的最大值不小于零，先求出|1|xe -的范围，可得1|1|1xe k k e -+≤-+，令11k e-+≥0即可求出结果. 【详解】（1）()1xy g f x e ==-⎡⎤⎣⎦，则该函数的单调增区间为()0,∞+；（2）由于函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦m +与x 轴有交点，即方程1x e m -+=0有解，1x e m -=-，又由于10x -≥，那么11x e -≥，故1m -≥，即1m ≤-；（3）函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦+k 在[1,ln3ln 2]x ∈--上的图像不全在x 轴下方， 即()y g f x =⎡⎤⎣⎦+k 的最大值不小于零.由于[1,ln3ln 2]x ∈--，1111,2xe e ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则10|1|1xe e≤-≤-，故1|1|1xk e k k e ≤-+≤-+，所以11k e -+≥0，即11k e≥-. 【点睛】本题考查函数的图象与性质，函数与方程的关系以及函数的最值的应用，着重考查学生的转化能力，属中档题.20.某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数p 与听课时间t （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的曲线．当(]0,14t ∈时，曲线是二次函数图象的一部分，当[]14,40t ∈时，曲线是函数()()log 5830,1a y x a a =-+>≠图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于80时学习效果最佳．（1）试求()p f t =的函数关系式；（2）教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．【答案】（1）（2）122232t -≤≤【解析】【详解】【解】（1）当[014]t ∈，时， 设2()(12)82(0)p f t c t c ==-+<，所以当[014]t ∈，时，21()(12)824p f t t ==--+. 当[1440]t ∈，时，将(14，81)代入()log 583a y x =-+，得1.3a = 于是（2）解不等式组得122214.t -<解不等式组131440{log (5)8380t t ≤≤-+>，得1432.t ≤<故当122232t -<<时，()80p t >，答：老师在()122232t ∈-，时段内安排核心内容能使得学生学习效果最佳． 21.对于定义在D 上的函数()f x ，如果对于任意的x D ∈，存在常数0M >都有()f x M ≤成立，则称M为函数()f x 在D 上的一个上界.已知函数()11()()142x xf x a =+-.（1）当1a =时，试判断函数()f x 在()-0∞，上是否存在上界，若存在请求出该上界，若不存在请说明理由； （2）若函数()f x 在[)0+∞，上的上界为3，求出实数a 的取值范围. 【答案】（1）函数()f x (,0)-∞上不存在上界，详见解析；（2）[-3,3]【解析】 【分析】（1）当1a =时，()14x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+112x⎛⎫- ⎪⎝⎭，由此可求出函数()f x 的单调性和值域，从而得到结论；（2）由题意知，|()|3f x ≤在[)0+∞，上恒成立，将不等式进行变形可得，()33f x -≤≤，化简整理得，11224222x x x x a -⎛⎫⎛⎫-⨯-≤≤⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11224222x x x x max mina ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯-≤≤⨯-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，设2xt =，则()h t =12t t --，()p t =14t t-，分别求出()h t 在[1,)+∞上的最大值和()p t 在[1,)+∞上的最小值即可得到结果.【详解】（1）当1a =时，()14x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+112x⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为()f x 在()0-∞，上递减，所以()()01f x f >=， 即()f x 在()0-∞，的值域为()1+∞，，故不存在常数M >0，使|()|f x M ≤成立， 所以函数()f x 在()0-∞，上不存在上界；（2）由题意知，|()|3f x ≤在[)0+∞，上恒成立. ()33f x -≤≤，11124424x x xa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≤≤- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11224222x xx x a -⎛⎫⎛⎫-⨯-≤≤⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[)0+∞，上恒成立， 所以11224222x xx xmax mina ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯-≤≤⨯-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 设2x t =，则()h t =12t t --，()p t =14t t-，由[0,)x ∈+∞得1t ≥， 设112t t ≤<，()1h t －()2h t =()()211212210t t t t t t -->，()1p t －()2p t =()()121212410t t t t t t --<，所以()h t 在[1,)+∞上递减，()h t 在[1,)+∞上的最大值为()1h =－3， 而()p t 在[1,)+∞上递增，()p t 在[1,)+∞上的最小值为()1p =3， 所以实数a 的取值范围为[-3,3].【点睛】本题考查函数的性质和不等式恒成立问题，着重考查学生的转化与化归的能力，恒成立问题一般转化为最值问题，其中分离参数是常用方法，属难题.。