高年级 决赛A卷

2017年“数学花园探秘”科普活动小学高年级组决赛试卷A（测评时间：2017年1月1日8:00—9:30）一．填空题Ⅰ（每小题8分，共40分）1. 算式⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-631163163的计算结果是________． 〖答案〗64 〖作者〗武汉 明心书院 夏端2. 一个边长为100厘米的正五边形和五个扇形拼成如图的“海螺”，那么这个图形的周长是________厘米（π取3.14）．〖答案〗2384 〖作者〗广州 沃伦教育 李冰莹3. 在2016年里约奥运会女排决赛中，中国队战胜了塞尔维亚队获得冠军．统计4局比赛中中国队的得分，发现前2局的得分之和比后2局的得分之和少12%，前3局的得分之和比后3局的得分之和少8%．已知中国队在第2局和第3局中各得了25分，那么中国队在这4局中的得分总和为________分．〖答案〗94 〖作者〗北京 高思教育 赵家鹏4. 右面两个算式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字；那么四位数“李白杜甫”＝________．〖答案〗9285 〖作者〗北京 摩比思维 张诗梦5. n 个数排成一列，其中任意连续三个数之和都小于30，任意连续四个数之和都大于40，则n的最大值为________．〖答案〗5 〖作者〗长沙 拓维·天问数学 叶军 徐斌二．填空题Ⅱ（每小题10分，共50分）6. 算式2222220172017201720172017214161201412016120162016201620162016201620161248163264+++++-----------的计算结果是________． 〖答案〗32〖作者〗北京 智康一对一 尹彪7. 有一个四位数，它和6的积是一个完全立方数，它和6的商是一个完全平方数；那么这个四位数是________．〖答案〗7776 〖作者〗北京 学而思培优 胡浩8.在空格里填入数字1～6，使得每行、每列和每个2×3的宫（粗线框）内数字不重复．若虚线框A,B,C,D,E,F中各自数字和依次分别为a,b,c,d,e,f，且a＝b，c＝d，e＞f．那么第四行的前五个数字从左到右依次组成的五位数是________．〖答案〗31462 〖作者〗北京智益加陈岑9.抢红包是微信群里一种有趣的活动，发红包的人可以发总计一定金额的几个红包，群里相应数量的成员可以抢到这些红包，并且金额是随机分配的．一天陈老师发了总计50元的5个红包，被孙、成、饶、赵、乔五个老师抢到．陈老师发现抢到红包的5个人抢到的金额都不一样，都是整数元的，而且还恰好都是偶数．孙老师说：“我抢到的金额是10的倍数．”成老师说：“我和赵老师抢到的加起来等于孙老师的一半．”饶老师说：“乔老师抢到的比除了孙老师以外其他所有老师抢到的总和还多．”赵老师说：“其他所有老师抢到的金额都是我的倍数．”乔老师说：“饶老师抢到的是我抢到的3倍．”已知这些老师里只有一个老师没说实话，那么这个没说实话的老师抢到了________元的红包．〖答案〗16 〖作者〗北京厚朴教育李陆欧10.如图，P为四边形ABCD内部的点，AB:BC:DA=3:1:2，∠DAB=∠CBA=60°．图中所有三角形的面积都是整数．如果三角形P AD和三角形PBC的面积分别为20和17，那么四边形ABCD的面积最大是________．〖答案〗147 〖作者〗北京资优教育科技中心成俊锋三．填空题Ⅲ（每小题12分，共60分）11.有一列正整数，其中第1个数是1，第2个数是1、2的最小公倍数，第3个数是1、2、3的最小公倍数，……，第n个数是1、2、……、n的最小公倍数．那么这列数的前100个数中共有________个不同的值．〖答案〗36 〖作者〗成都科雅数学彭泽12.如图，有一个固定好的正方体框架，A、B两点各有一只电子跳蚤同时开始跳动．已知电子跳蚤速度相同，且每歩只能沿棱跳到相邻的顶点，两只电子跳蚤各跳了3歩，途中从未相遇的跳法共有________种．〖答案〗343 〖作者〗北京资优教育科技中心成俊锋ABACDPB 201713.甲以每分钟60米的速度从A地出发去B地，与此同时乙从B地出发匀速去A地；过了9分钟，丙从A地出发骑车去B地，在途中C地追上了甲；甲、乙相遇时，丙恰好到B地；丙到B地后立即调头，且速度下降为原来速度的一半；当丙在C地追上乙时，甲恰好到B地．那么AB两地间的路程为________米．〖答案〗1620 〖作者〗北京资优教育科技中心陈平14.在一个8×8的方格棋盘中放有36枚棋子，每个方格中至多放一枚棋子，恰好使最外层所有方格中均没有棋子．规定每一步操作可选择一枚棋子，跳过位于邻格（具有公共边的方格）的棋子进入随后的空格中，同时拿掉被跳过的棋子（如下图所示）；若邻格中没有棋子，则不能进行操作．那么最后在棋盘上最少剩下________枚棋子．〖答案〗2 〖作者〗武汉明心书院付谦。

2017年“数学花园探秘”科普活动小学高年级组决赛试卷A（测评时间：2017年1月1日8:00—9:30）一．填空题Ⅰ（每小题8分，共40分）1. 算式⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-631163163的计算结果是________． 〖答案〗64 〖作者〗武汉 明心书院 夏端2. 一个边长为100厘米的正五边形和五个扇形拼成如图的“海螺”，那么这个图形的周长是________厘米（π取3.14）．〖答案〗2384 〖作者〗广州 沃伦教育 李冰莹3. 在2016年里约奥运会女排决赛中，中国队战胜了塞尔维亚队获得冠军．统计4局比赛中中国队的得分，发现前2局的得分之和比后2局的得分之和少12%，前3局的得分之和比后3局的得分之和少8%．已知中国队在第2局和第3局中各得了25分，那么中国队在这4局中的得分总和为________分．〖答案〗94 〖作者〗北京 高思教育 赵家鹏4. 右面两个算式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字；那么四位数“李白杜甫”＝________．〖答案〗9285 〖作者〗北京 摩比思维 张诗梦5. n 个数排成一列，其中任意连续三个数之和都小于30，任意连续四个数之和都大于40，则n的最大值为________．〖答案〗5 〖作者〗长沙 拓维·天问数学 叶军 徐斌二．填空题Ⅱ（每小题10分，共50分）6. 算式2222220172017201720172017214161201412016120162016201620162016201620161248163264+++++-----------的计算结果是________． 〖答案〗32〖作者〗北京 智康一对一 尹彪7. 有一个四位数，它和6的积是一个完全立方数，它和6的商是一个完全平方数；那么这个四位数是________．〖答案〗7776 〖作者〗北京 学而思培优 胡浩在空格里填入数字1～6，使得每行、每列和每个2×3的宫（粗线框）内数字不重复．若虚线框A,B,C,D,E,F中各自数字和依次分别为a,b,c,d,e,f，且a＝b，c＝d，e＞f．那么第四行的前五个数字从左到右依次组成的五位数是________．〖答案〗31462 〖作者〗北京智益加陈岑8.抢红包是微信群里一种有趣的活动，发红包的人可以发总计一定金额的几个红包，群里相应数量的成员可以抢到这些红包，并且金额是随机分配的．一天陈老师发了总计50元的5个红包，被孙、成、饶、赵、乔五个老师抢到．陈老师发现抢到红包的5个人抢到的金额都不一样，都是整数元的，而且还恰好都是偶数．孙老师说：“我抢到的金额是10的倍数．”成老师说：“我和赵老师抢到的加起来等于孙老师的一半．”饶老师说：“乔老师抢到的比除了孙老师以外其他所有老师抢到的总和还多．”赵老师说：“其他所有老师抢到的金额都是我的倍数．”乔老师说：“饶老师抢到的是我抢到的3倍．”已知这些老师里只有一个老师没说实话，那么这个没说实话的老师抢到了________元的红包．〖答案〗16 〖作者〗北京厚朴教育李陆欧9.如图，P为四边形ABCD内部的点，AB:BC:DA=3:1:2，∠DAB=∠CBA=60°．图中所有三角形的面积都是整数．如果三角形PAD和三角形PBC的面积分别为20和17，那么四边形ABCD的面积最大是________．〖答案〗147 〖作者〗北京资优教育科技中心成俊锋三．填空题Ⅲ（每小题12分，共60分）10.有一列正整数，其中第1个数是1，第2个数是1、2的最小公倍数，第3个数是1、2、3的最小公倍数，……，第n个数是1、2、……、n的最小公倍数．那么这列数的前100个数中共有________个不同的值．〖答案〗36 〖作者〗成都科雅数学彭泽11.如图，有一个固定好的正方体框架，A、B两点各有一只电子跳蚤同时开始跳动．已知电子跳蚤速度相同，且每歩只能沿棱跳到相邻的顶点，两只电子跳蚤各跳了3歩，途中从未相遇的跳法共有________种．〖答案〗343 〖作者〗北京资优教育科技中心成俊锋ABACDPB 2017甲以每分钟60米的速度从A地出发去B地，与此同时乙从B地出发匀速去A地；过了9分钟，丙从A地出发骑车去B地，在途中C地追上了甲；甲、乙相遇时，丙恰好到B地；丙到B地后立即调头，且速度下降为原来速度的一半；当丙在C地追上乙时，甲恰好到B地．那么AB两地间的路程为________米．〖答案〗1620 〖作者〗北京资优教育科技中心陈平12.在一个8×8的方格棋盘中放有36枚棋子，每个方格中至多放一枚棋子，恰好使最外层所有方格中均没有棋子．规定每一步操作可选择一枚棋子，跳过位于邻格（具有公共边的方格）的棋子进入随后的空格中，同时拿掉被跳过的棋子（如下图所示）；若邻格中没有棋子，则不能进行操作．那么最后在棋盘上最少剩下________枚棋子．〖答案〗2 〖作者〗武汉明心书院付谦（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

2012年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2012A1、设P 是函数xx y 2+=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为B A ,，则PB PA ⋅的值是◆答案：1-★解析：设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002((),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- 2012A 2、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足c A b B a 53cos cos =-，则BAtan tan 的取值为◆答案：4★解析：由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=，故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 5a cb a cA AB c a b ac b c a B B A b c a c b bc+-⋅+-=====+-+-⋅2012A 3、设]1,0[,,∈z y x ，则||||||x z z y y x M -+-+-=的最大值为◆答案：12+★解析：不妨设01,x y z ≤≤≤≤则M =所以 1.M ≤=当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M =2012A 4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足3π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则||||AB MN 的最大值为◆答案：1★解析：由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()AF BFAF BF +≥+-22().AF BFMN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MN AB的最大值为1.2012A 5、设同底的两个正三棱锥ABC P -和ABC Q -内接于同一个球.若正三棱锥ABC P -的侧面与底面所成角为045，则正三棱锥ABC Q -的侧面与底面所成角的正切值为◆答案：4★解析：如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==2012A 6、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是◆答案：).+∞★解析：由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x -取得最大值1)(2).a -+因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞2012A 7、满足31sin 41<<n π的所有正整数n 的和为◆答案：33★解析：由正弦函数的凸性,有当(0,6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sinsin sin sin sin .134********πππππ<<<<<<故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.2012A 8、某情报站有D C B A ,,,四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。

2018年迎春杯高年级决赛a卷解析
2018年迎春杯是中国国家级的高中生大赛，几乎参加了全国各地的高中生，有学生代表着中国各地的高中来参赛，大家展示出自己的智慧，证明中国青少年的教育水平，证明他们的聪明才智，也被认为是一场非常精彩的比赛。

迎春杯高年级决赛A卷主要针对高中生进行，分为数学、生物、物理、化学、政治等不同科目，全部组合在一起，构成了迎春杯的最高科学竞赛。

首先，从数学部分讲起，该科的内容包括几何、代数、解析、建模、离散数学等，要求参赛者都要有基本的内容熟悉，并能够解决复杂的数学问题，以及解决不同技术和思维方式。

其次，所有科目都是重点学习的，物理科目包括了基本力学、热力学、电磁学、量子力学等，参赛者必须具备应用力学、流体力学、电路学、形状学和微粒子学等多领域的基础知识，并能够运用相关知识解决实际问题。

再次，参赛者在化学方面要具备基本的无机化学、有机化学、物理化学、分析化学和生物化学等基本知识，要求运用理论原理实验实践解决实际问题，以及具备的实验技能，能够自主解决实验中常见的问题。

最后，参赛者还应该具备生物和政治等科学知识，以及能够深入理解社会问题，有较高的政治敏感性，这样才能很好地完成比赛。

2018年迎春杯高年级决赛A卷的出现，标志着中国教育水平的
不断提高，也为高中生提供了一次挑战自我，展示自我实力的机会。

参赛者们可以通过分析和研究，解决问题，以及有效地利用知识，来了解比赛的内容，从而取得很好的成绩。

高中物理竞赛模拟试题（决赛）一、在一边长为a 的正n 边形的个顶点上，各有一个质点。

从t=0时刻开始，各质点以相同的速率ν开始运动，运动过程中所有的质点都为逆时针方向，并且始终对准它的下一个质点运动，问经过多少时间后所有质点同时相遇？二、如图所示，物体A 质量为m ，吊索拖着A 沿光滑竖直杆上升，吊索通过滑轮B 与卷扬机相连，收吊索的速度为ν0，滑轮B 到竖直杆的距离为0l ，B 滑轮在水平杆上向右以速度ν运动。

求左边吊索恰好竖直，AB 绳与水平方向成θ角时，吊索中的张力是多少？三、一个空心半圆形圆管竖直在铅垂面内，管口连线在水平面内。

管内装满重量为W 的一系列小球，左、右最高的一个小球恰好和管口平面相切，共有2n 个小球。

求从左边起第k 个和第k+1个小球之间的相互压力（忽略所有摩擦）四、如图所示，O 、A 、B 三点在同一水平直线面上，O 点有一个固定的水平长钉，A 点为一固定点，OA 相距l 。

B 处有一小球，用一根长2l 的轻绳和A 点相连。

现给B 球一个竖直向下的速度ν0，使它要能击中A 点。

求ν0的最小值为多少？五、质量为M 的宇航站和和质量为m 的飞船对接在一起沿半径为nR 的圆形轨道绕地球运动，这里的n=1.25，R 为地球半径，然后飞传从宇航站沿运动方向发射出去，并沿某椭圆轨道飞行，其最远点到地心的距离为8nR ，如果希望飞船绕地球运动一周后恰好与宇航站相遇，则质量比m/M 应该为多少？六、液体A 、B 互不相溶，它们的饱和气压p 与温度T 的关系是k0(i n ip a l i A B p T b ==+）（或） 式中p 0为标准大气压，a 、b 为液体本身性质所决定的常量。

已测得两个温度点的p i/p 0值如下：（1）在外部压强为p 0时，确定A 、B 的沸点。

（2）现将液体A 和B 各100g 注入容器中，并在A 表层覆盖有薄层无挥发性的液体C ，C 与A 、B 互不相溶，C 的作用防止A 自由挥发，各液层不厚，液内因重力而形成的附加压均可忽略，A 、B 的摩尔质量比γ=M A /M B =8今对容器缓慢持续加热，液体温度t ℃随时间τ的变化如图所示。

2016年“数学花园探秘”科普活动小高年级组决赛试卷A一、填空题（每小题8分，共40分） 1. 算式201520161232015123201512320152016201620162016⨯++++++++ 的计算结果是 ．【答案】2017 【分析】1201612017120162016n n n ==++，所以原式=201520162017201620152017⨯=⨯．2. 销售一件商品，利润率为25%，如果想把利润率提高到40%，那么售价应该提高到 %． 【答案】12【分析】设成本为“1”，则售价需要提高1.4 1.2512%1.25-=．3. 小明发现今年的年份2016是一个非常好的数，它既是6的倍数，又是8的倍数，还是9的倍数．那么下一个既是6的倍数，又是8的倍数，还是9的倍数的年份是 年． 【答案】2088【分析】[]6,8,972=，所以下一个这样的年份是2088年．4. 在电影《大圣归来》中，有一幕孙悟空大战山妖．有部分山妖被打倒，打倒的比站着的多三分之一；过了一会儿再有2个山妖被打倒，但是又站起来10个山妖，此时站着的比打倒的多四分之一．那么现在站着的山妖有 个． 【答案】35【分析】开始打倒的占总数的47，后来打倒的占总数的49，所以一共有4486379⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭个山妖，现在站着的有4631359⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭个．5. 在空格内填入数字1~6，使得每行和每列的数字都不重复．图中相同符号所占的两格数字组合相同，数字顺序不确定．那么最后一行前五个数字按从左到右的顺序组成的五位数是 ．【答案】46123 【分析】二、填空题（每小题10分，共50分）6. 请将0~9分别填入下面算式的方框中，每个数字恰用一次；现已将“1”、“3”、“0”填入；若等式成立，那么等式中唯一的四位被减数是 ．130.2016-⨯=【答案】2196【分析】设这个算式为130.2016a bc de fg -⨯=，则2a =．后面两个数的乘积为整数，即3de fg ⨯是100的倍数，所以3de 和fg 一个是25的倍数，一个是4的倍数，则这两个数中，必有一个数以75结尾．如果75fg =，则30.75200de ⨯>，不成立．所以3375de =，如果60fg ≥，等式同样不成立，所以fg 是小于60的4的倍数，剩下的数（4、6、8、9）中，只能组成48满足要求，所以48fg =， 进而求得这个四位数为2196．7. 2016名同学排成一排，从左至右依次按照1，2，…，n 报数（2n ≥）．若第2016名同学所报的数恰是n ，则给这轮中所有报n 的同学发放一件新年礼物．那么无论n 取何值，有 名同学将不可能得到新年礼物． 【答案】576【分析】由题目条件可知，2016n ，522016237=⨯⨯，所以当2n =时，所有编号为2的倍数的同学均能拿到礼物，同理可得编号为3和7的倍数的同学也能拿到礼物，因此只有编号与2016互质的同学拿不到礼物，小于2016且与2016互质的数的个数为1112016111576237⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭个．8. 如图，正十二边形的面积是2016平方厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米．【答案】672 【分析】如下图所示，阴影部分可以等积变形成下图形状，并设正三角形面积为a ，四边形面积为b ．则整个正十二边形是由12个a 和6个b 组成，而阴影部分由4个a 和2个b 组成，所以阴影部分面积为672平方厘米．9. 四位数好事成双除以两位数成双的余数恰好是好事；如果不同的汉字表示不同的数字且好事和成双不互质，那么四位数好事成双最大是 ．【答案】7281【分析】设abcd =好事成双，则99991abcd ab ab cd ababcd cd n ab n n cd cd cd -+÷=⇒==⇒-=， 设(),ab cd m =，则(),,,1ab mx cd my x y ===， 99991mx xn my y-==，所以y 为99的因数，又因为不同汉字代表不同数字，所以y 为3或9，如果9y =，ab 最大为72，此时81cd =；如果3y =，x 只能为2，这时66ab <，所以四位数最大为7281．10. 老师用0至9这十个数字组成了五个两位数，每个数字恰用一次；然后将这五个两位数分别给了A 、B 、C 、D 、E 这五名聪明且诚实的同学，每名同学只能看见自己的两位数，并依次发生如下对话：A 说：“我的数最小，而且是个质数．”B 说：“我的数是一个完全平方数．”C 说：“我的数第二小，恰有6个因数．”D 说：“我的数不是最大的，我已经知道ABC 三人手中的其中两个数是多少了．”E 说：“我的数是某人的数的3倍．” 那么这五个两位数之和是 ． 【答案】180【分析】由A 的话可知，A 的十位是1，又因为是质数，所以A 有可能是13，17，19；C 能断定自己的数第二小，且有6个因数，所以可能是20，28，32； B 是完全平方数，但不能含有1和2，所以B 有可能是36，49，64；D 能断定自己不是最大的，说明他的数是53或54或十位数不超过4，但大于等于34；E 是某人的数的3倍，由上面信息可知，只能是A ，且推得A 为19，则E 为57．最后根据D 能知道ABC 三人手中两个数，试验可知，BCD 手中数分别为36，28，40， 综上所述，五个两位数之和是180．三、填空题（每小题12分，共60分）11. 如图，直角三角形ABC 中，AB 的长度是12厘米，AC 的长度是24厘米，D 、E 分别在AC 、BC上．那么等腰直角三角形BDE 的面积是 平方厘米．【答案】80【分析】过D 点作BE 垂线DF ，则BF FD FE ==．因为ABC FDC ∆∆ ，所以12DF AB FC AC ==， 则BF FE EC ==．所以23BE BC =，则()222244122432099BE BC ==⨯+=，80BDE S ∆=．12. 已知1000091111++++999999999S =个，那么S 的小数点后第2016位是 ．【答案】6 【分析】首先，••10910.0001999n n -= 个个，即小数点后第n ，2n ，3n ，…位都是1，其它为都是0．所以当n 是2016的因数时，91999n个化成小数后，小数点后第2016位是1，其余情况小数点后第2016位是0．522016237=⨯⨯，有36个因数，在不考虑进位的情况下，这一位上有36个1相加，这一位的数字是6，下面考虑进位，因为2017是质数，所以2017位上只有2个1相加，单独不构成进位，而201810092=⨯，有4个因数，本身也不足以向第2018位进位，显然2019位即以后都不足以进位到2016为，所以第2016位是6．13. A 、B 两地间每隔5分钟有一辆班车出发，匀速对开，且所有班车的速度都相同；甲、乙两人同时从A 、B 两地出发，相向匀速而行；甲、乙出发后5分钟，两地同时开出第一辆班车；甲、乙相遇时，甲被A 地开出的第9辆班车追上，乙也恰被B 地开出的第6辆班车追上；乙到A 地时，恰被B 地开出的第8辆班车追上，而此时甲离B 地还有21千米．那么乙的速度是每小时 千米． 【答案】27【分析】设甲乙在C 点相遇，对于甲乙各自来说，每次被班车追上的时间是固定的，所以乙从B 到C的时间是从C 到A 时间的3倍，所以3v v =乙甲．则当乙走完全程时，甲走全程的13，全程为26321=32÷千米．下面考虑甲乙相遇时，班车的情况；甲恰被A 地开出的第9辆追上，乙也恰被B 地开出的第6辆班车追上，所以追上乙的那班车比追上甲的那班车早出发了15分钟，又因为两辆班车相遇在距A 点四分之一处，所以追上乙的班车比追上甲的班车多走了全程的12，即634千米．所以班车的速度为6316344÷=千米每小时．所以班车跑完全程需要12小时， 下面求乙的速度；在乙到达A 时，第8辆班车恰好追上，这辆班车出发时，乙已经走了40分钟，所以乙走全程用时217326+=小时，则乙的速度为6372726÷=千米每小时．14. 将一个固定好的正方形分割成3个等腰三角形，有如图的4种不同方式；如果将一个固定好的正方形分割成4个等腰三角形，那么共有 种不同方式．【答案】21【分析】如下图所示，除了第一个外，每个都可以旋转出4个，所以共14521+⨯=种．。

2020年东莞市高中数学竞赛决赛试题、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分.每小题各有四个选择支，仅有一个选 择支正确.请把正确选择支号填在答题表的相应位置.）1.若集合M {a,b,c}中的元素是 ABC 的三边长，则 ABC 一定不是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形A. 13么，下列不等式恒成立的是（、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分.请把答案填在答题卡相应题的横线上.）2.设 cos100 k ,则 tan80 =()A.1 k2k如果直角 3. 如图，一个空间几何体的正视图，左视图，俯视图均为全等的等腰直角三角形, 三角形的直角边长都为1,4. C 那么这个几何体的体积为（ DA. 16若A 、 B 两点分别在圆6x 16y 482y 4x8y 44 0上运动，则 | AB |的最大值为5.设X 1,X 2是函数f （x ） 2008x定义域内的两个变量，且 X 112(x 1 X2),那19A | f (a) f (X 1)|| f (X 2)B. f(x 1)f(x 2) f 2(a)C | f(a) f(xj|1f3) f ⑸1D. |f(a) f(x 1)||f(x 2) f ⑻|6.已知函数 f （n ）n / cos — (n 5f(1) f(2) f(2008) ()f (10) f (21) f (32) f(43)A. 1B .0C . -1D. 47.右图的发生器对于任意函数 f X x D可制造出一系列的数据，其工作原理如下：①若输入数据x0 D ,则发生器结束工作；②若输入数据x0 D时，则发生器输出X i,其中X i f X o ,并将X i反馈回输入端.现定义f x 2X 1, D （0,50）.若输入X0 1,那么，当发生器结束工作时，输出数据的总个数为.8.若点（1,1 ）到直线xcos ysin 2的距离为d ,则d的最大值是9.从[0, 1]之间选出两个数，这两个数的平方和小于0.25的概率是2 110.函数y x X —（x n, n 1 ,其中n为正整数）的值域中共有2020个整数，则正2整数n ^11.把1, 2,3,…，100这100个自然数任意分成10组，每组10个数，将每组中最大的数取出来，所得10个数的和记为S .若S的最大值为M ,最小值为N ,则M N .12.设集合A xx2 x 2 , B Xx 2 ,其中符号x表示不大于x的最大整数，则A B .三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13.（本小题满分12分）已知向量AB (1 tanx,1 tanx) , AC (sin(x —),sin(x —)).4 4(1)求证：BAC为直角；（2）若x [-,-],求ABC的边BC的长度的取值范围. 4 414． (本小题满分12 分)已知函数f(x) ax2 (a 2)x 1.若a为整数，且函数f(x)在(2, 1)内恰有一个零点，求a 的值.15． (本小题满分12 分)设A 、B 是函数y log 2 x 图象上两点, 其横坐标分别为a 和a 4 , 直线l : x a 2 与函数y log 2 x 的图象交于点C , 与直线AB 交于点D .(1)求点D 的坐标；(2)当ABC的面积大于1时，求实数a的取值范围.16.(本小题满分14分)如图，在正方体ABCD A1B1c l D1中，E、F分别为棱AD、AB的中点.(1)求证：EF //平面CB1D1 ；(2)求证：平面CAA〔CU平面CB1D1 ；(3)如果AB 1 , 一个动点从点F出发在正方体的DA上的点，最终又回到点F ,指表面上依次经过棱BB1、B1c1、C1D1、D1D、出整个路线长度的最小值并说明理由17.(本小题满分14分)2、，已知以点C(t,-)(t R,t 0)为圆心的圆与x轴交于O、A两点，与y轴交于O、B两点，其中。

2023-2024学年全国高考专题数学高考真卷考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 4 分 ，共计16分 ）1. 已知集合＝，那么下列表示正确的是（ ）A.B.C.D.2. 在一项调查中有两个变量（单位：千元）和（单位：），如图是由这两个变量近年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为关于的回归方程类型的是( )A.B.C.D.3. 已知函数，则的最大值为( )A.B.C.D.A {0,1,2}0⊆A0∈A{1}∈A{0,1,2}Ax y t 8y x y=a +bxy=c +d x−√y=m +nx 2y=p +q (q >0)e xf (x)=x sin 2sin x +2f (x)−2−11(+−2)=022−−−−−√4. 方程表示的曲线是( )A.一个圆和一条直线B.一个圆和一条射线C.一个圆D.一条直线卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 11 小题 ，每题 4 分 ，共计44分 ）5. 设，则不等式的解集为________．6. 已知向量与向量的夹角为，若且，则的值为________.7. 已知是等比数列，＝，＝，则数列前项的和为________．8. 已知点在直线＝，则＝________．9. 若，，则的值域是________．（请用区间表示）10. 已知复数＝，＝（为虚数单位），且是实数，则实数的值为________．11. 若圆的半径为，则________．12. 在中，角，，的对边分别为，，．若，则________．13. 数据，，，，，，，的第百分位数是________．14. 的展开式中的系数为________．（用数字作答）15. 已知三棱锥的三条侧棱都相等，顶点在底面上的射影为，则是的________心．(+−2)=0x 2y 2x −3−−−−−√x ∈R |x −3|<1a →b →120∘=+c →a →b →⊥c →a →||a →||b →{}a n a 22a 5{}a n 5P(3cos θ,sin θ)l :x +3y 1sin 2θf(x)=2x −5x +3x ∈[1,4)f (x)z 16+2i z 21+ai i +z 1a +−4x −2y +F =0x 2y 23F =△ABC A B C a b c b sin B +c sin C =a sin A A =10，1097654，32280(x −2)6x 3P −ABC P ABC O O △ABC三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 15 分 ，共计60分 ）16. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，＝，是的中点．Ⅰ证明：平面；Ⅱ求二面角的余弦值；Ⅲ若点在线段（不包含端点）上，且直线平面，求线段的长．17. 已知是定义域为的奇函数，当时，＝．（1）求；（2）求的解析式．18. （阅读题）在考察野生动物时，常常需要了解野生动物种群的大小，一种常用的方法是，先捕捉一定数量的动物，做上记号（假定记号不会消失），放回到原群体中，过适当时间后，再捕捉第二个样本，统计其中有标记的动物数，最后根据以上资料就可以估计该种群的大小．它的原理是：在捕捉第二个样本时，捉到有标记的动物数是一个服从超几何分布的随机变量，依据超几何分布的期望，就可以估计该种群的大小．现有某野生动物研究小组在山区随机捕捉了只山猫，做上记号后放回山里，一个月后他们又在该山区捕捉了只山猫，发现其中有只有记号．试估计该山区山猫种群的数量． 19. 已知函数在点处的切线与轴平行．（1）求实数，的值；（2）证明：．P −ABCD ABCD PD ⊥ABCD PD DC E PC ()PA //BDE ()B −DE −C ()F PB PB ⊥DEF DF f(x)R x >0f(x)−24x f(2)+f(−1)f(x)X 40202f(x)=ax −ln(x +b)(1,1)x a b >(n ∈N,n ≥2)∑k=2n1k −f(k)3−n −2n 2n(n +1)参考答案与试题解析2023-2024学年全国高考专题数学高考真卷一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 4 分 ，共计16分 ）1.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】直接由查元素与集合，集合与集合间的关系逐一核对四个选项得答案．【解答】∵集合＝，∴．2.【答案】B【考点】散点图【解析】散点图呈曲线，排除选项，且增长速度变慢，排除．选项，故选【解答】解：散点图呈曲线，故排除选项；又因变量的增长速度变慢，故排除，选项.故选.3.【答案】D【考点】三角函数的最值A {0,1,2}0∈A 4C D BA C D B由三角函数的有界性得：设，则，由“对勾函数”的单调性得：，在为减函数，在为增函数，可得结果．【解答】解：设，则，则，设.由“对勾函数”的性质可得：在上单调递减，在上单调递增.又，，所以，所以的最大值为.故选.4.【答案】D【考点】曲线与方程【解析】将方程等价变形，即可得出结论．【解答】解：由，可化为或，∵不成立，∴，∴方程表示的曲线是一条直线．故选．二、 填空题 （本题共计 11 小题 ，每题 4 分 ，共计44分 ）5.【答案】【考点】绝对值不等式t =sin x +2t ∈[1,3]g(t)==t +−4(1≤t ≤3)(t −2)2t4t [1,2)(2,3]t =sin x +2t ∈[1,3]x =sin 2(t −2)2g(t)==t +−4(1≤t ≤3)(t −2)2t 4t g(t)[1,2)(2,3]g(1)=1g(3)=13g =g(1)=1(t)max f (x)1D (+−2)=0x 2y 2x −3−−−−−√=0x −3−−−−−√+−2=0(x −3≥0)x 2y 2+−2=0(x −3≥0)x 2y 2x −3=0(+−2)=0x 2y 2x −3−−−−−√D (2,4)由含绝对值的性质得，由此能求出不等式的解集．【解答】解：∵，不等式，∴，解得．∴不等式的解集为．故答案为：．6.【答案】【考点】平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】【考点】等比数列的前n 项和【解析】根据题意，设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式求出和的值，结合等比数列的前项和公式计算可得答案．【解答】根据题意，设等比数列的公比为，若＝，＝，则＝＝＝＝＝，所以前项的和＝＝，−1<x −3<1|x −3|<1x ∈R |x −3|<1−1<x −3<12<x <4|x −3|<1(2,4)(2,4)12{}a n q q a 1n {}a n q a 22a 4q 14{}a n 5S 28.【答案】【考点】二倍角的三角函数【解析】由题意可得＝，两边平方，可得＝ 的值．【解答】∵点在直线＝，∴＝，两边平方，可得＝，9.【答案】【考点】函数的值域及其求法【解析】利用分离参数法即可求解．【解答】解：若，，可得，∵，∴，∴.故答案为：.10.【答案】−893cos θ+3sin θ1sin 2θ2sin θcos θP(3cos θ,sin θ)l :x +3y 13cos θ+3sin θ1sin 2θ2sin θcos θ=−89[−,)3437f(x)=2x −5x +3x ∈[1,4)f (x)==2−2(x +3)−11x +311x +3x ∈[1,4)<≤11711x +3114f(x)∈[−,)3437[−,)34372【考点】复数的运算【解析】由已知求得，再由虚部为求解值．【解答】∵＝，＝，∴＝＝，由题意，＝，即＝．11.【答案】【考点】圆的一般方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵圆的半径为，∴，解得．故答案为：．12.【答案】【考点】余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答13.【答案】+z 10a z 16+2i z 21+ai +z 1(6+2i)+(1−ai)7+(2−a)i 2−a 0a 2−4+−4x −2y +F =0x 2y 23=312(−4+(−2−4F )2)2−−−−−−−−−−−−−−−−√F =−4−4【考点】众数、中位数、平均数、百分位数【解析】无【解答】解：将数据从小到大排列：，则，故第百分位数为．故答案为：．14.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：的通项公式为，令，则，∴的系数为.故答案为：.15.【答案】外【考点】棱锥的结构特征【解析】利用线面垂直的性质定理、勾股定理、三角形外心的性质即可得出．【解答】9.52，2，3，4，5，6，7，9，10，10i =10×80%=880=9.59+1029.5−160(x −2)6=(−2T r+1C r 6x6−r )r 6−r =3r =3x 3(−2=−160C 36)3−160ABC O如图所示，∵顶点在底面上的射影为，∴底面．∴＝＝＝．，，，∵＝＝．∴＝＝．∴是的外心．三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 15 分 ，共计60分 ）16.【答案】（1）证明：连接＝，连接，∵底面为正方形，∴为对角线，的中点，又是中点，∴，∵在平面内，不在平面内，∴平面；（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设＝＝，则，，，，则，设平面的一个法向量为，则，可取，又平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则，故二面角的余弦值为；Ⅲ假设上存在点，使得平面，设，则＝，∴，∴，由得＝，解得，∴，．P ABC O OP ⊥ABC ∠POA ∠POB ∠POC 90∘OA =P −O A 2P 2−−−−−−−−−−√OB =P −O B 2P 2−−−−−−−−−−√OC =P −O C 2P 2−−−−−−−−−−√PA PB PC OA OB OC O △ABC AC ∩BD O OE ABCD O AC BD E PC OE //PA OE BDE PA BDE OE //BDE D DA DC DP x y z PD DC 2A(2,0,0)P(0,0,2)E(0,1,1)B(2,2,0)=(0,1,1),=(2,2,0)DE →DB →BDE =(x,y,z)m ⋅=y +z =0m DE →⋅=2x +2y =0m DB →=(1,−1,1)m DEC =(2,0,0)DA →B −DE −C θcos θ=cos <,>==m DA →⋅m DA →||||m DA →3–√3B −DE −C 3–√3()PB F PB ⊥DEF =λ(0<λ<1),F(x,y,z)PF →PB →(x,y,z −2)λ(2,2,−2)F(2λ,2λ,2−2λ)=(2λ,2λ,2−2λ),=(2,2,−2)DF →PB →⋅=0PB →DF →4λ+4λ−2(2−2λ)0λ=13F(,,)232343||==DF →(+(+(23)223)243)2−−−−−−−−−−−−−−−−√26–√3【考点】直线与平面平行二面角的平面角及求法【解析】Ⅰ利用中位线定理可得，进而得证；Ⅱ建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式得解；Ⅲ假设存在，并设出的坐标，根据题设建立方程，解出即可得出结论．【解答】（1）证明：连接＝，连接，∵底面为正方形，∴为对角线，的中点，又是中点，∴，∵在平面内，不在平面内，∴平面；（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设＝＝，则，，，，则，设平面的一个法向量为，则，可取，又平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则，故二面角的余弦值为；Ⅲ假设上存在点，使得平面，设，则＝，∴，∴，()OE //PA ()()F AC ∩BD O OE ABCD O AC BD E PC OE //PA OE BDE PA BDE OE //BDE D DA DC DP x y z PD DC 2A(2,0,0)P(0,0,2)E(0,1,1)B(2,2,0)=(0,1,1),=(2,2,0)DE →DB →BDE =(x,y,z)m ⋅=y +z =0m DE →⋅=2x +2y =0m DB →=(1,−1,1)m DEC =(2,0,0)DA →B −DE −C θcos θ=cos <,>==m DA →⋅m DA →||||m DA →3–√3B −DE −C 3–√3()PB F PB ⊥DEF =λ(0<λ<1),F(x,y,z)PF →PB →(x,y,z −2)λ(2,2,−2)F(2λ,2λ,2−2λ)=(2λ,2λ,2−2λ),=(2,2,−2)DF →PB →=0→→=1由得＝，解得，∴，．17.【答案】∵是定义域为的奇函数，当时，＝，∴＝＝＝，设，则，∵时，＝，且＝，＝＝，＝，又＝，故．【考点】函数解析式的求解及常用方法函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）根据已知可知＝，代入即可求解．（2）设，则，根据时，＝，及＝，＝即可求解函数解析式．【解答】∵是定义域为的奇函数，当时，＝，∴＝＝＝，设，则，∵时，＝，且＝，＝＝，＝，又＝，⋅=0PB →DF →4λ+4λ−2(2−2λ)0λ=13F(,,)232343||==DF →(+(+(23)223)243)2−−−−−−−−−−−−−−−−√26–√3f(x)R x >0f(x)−24x f(2)+f(−1)f(2)−f(1)14−212x <0−x >0x >0f(x)−24x f(x)−f(x)f(−x)−f(x)−24−x f(x)2−4−x f(0)0f(x)= −2,x >04x 0,x =02−,x <04−x f(2)+f(−1)f(2)−f(1)x <0−x >0x >0f(x)−24x f(x)−f(x)f(0)0f(x)R x >0f(x)−24x f(2)+f(−1)f(2)−f(1)14−212x <0−x >0x >0f(x)−24x f(x)−f(x)f(−x)−f(x)−24−x f(x)2−4−x f(0)0(x)=−2,x >0x故．18.【答案】，其中，为指定样品数，为样品容量，为指定样本总数，为总体中的个体数．，∴，解得＝．估计该山区山猫种群的数量为只．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】根据，可得，即可得出．【解答】，其中，为指定样品数，为样品容量，为指定样本总数，为总体中的个体数．，∴，解得＝．估计该山区山猫种群的数量为只．19.【答案】解：（1）∵，又由已知得①②由①，②解得：，（2），设当时有，设，则恒成立即在上是增函数，∴等价于，∴，∴．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程f(x)= −2,x >04x 0,x =02−,x <04−x X ∼H(n,M,N)X n M N E(X)=nM N 40=2n 20n 400400X ∼H(n,M,N)E(X)=nM NX ∼H(n,M,N)X n M N E(X)=nM N 40=2n 20n 400400f'(x)=a −1x +b f'(1)=0f(1)=a −ln b =1a =1b =0k −f(k)=ln k =ln n ，=，=−=b n T n 3−n −2n 2n(n +1)a n T n T n−14−1n 2n ≥2=>0，=ln n >01a n −1n 24b n h(x)=−ln x(x ≥2)−1x 24h'(x)=−=>0x 21x −2x 22h(x)[2,+∞)>b n a n −≥−=h(2)=−ln 2>01a n 1b n 1a 21b 234++...+>++...+=1ln 21ln 31ln n 43484−1n 23−n −2n 2n(n +1)>(n ∈N,n ≥2)∑k=2n 1k −f(k)3−n −2n 2n(n +1)数列与函数的综合【解析】（1）求导数，利用，，即可求实数，的值；（2），设，则恒成立，即在上是增函数，等价于，即可证明结论．【解答】解：（1）∵，又由已知得①②由①，②解得：，（2），设当时有，设，则恒成立即在上是增函数，∴等价于，∴，∴．f'(1)=0f(1)=a −ln b =1a b k −f(k)=ln k h(x)=−ln x(x ≥2)−1x 24h'(x)=−=>0x 21x −2x 22h(x)[2,+∞)>b n a n −≥−=h(2)=−ln 2>01a n 1b n 1a 21b 234f'(x)=a −1x +b f'(1)=0f(1)=a −ln b =1a =1b =0k −f(k)=ln k =ln n ，=，=−=b n T n 3−n −2n 2n(n +1)a n T n T n−14−1n 2n ≥2=>0，=ln n >01a n −1n 24b n h(x)=−ln x(x ≥2)−1x 24h'(x)=−=>0x 21x −2x 22h(x)[2,+∞)>b n a n −≥−=h(2)=−ln 2>01a n 1b n 1a 21b 234++...+>++...+=1ln 21ln 31ln n 43484−1n 23−n −2n 2n(n +1)>(n ∈N,n ≥2)∑k=2n 1k −f(k)3−n −2n 2n(n +1)。