高二数学计数应用题

高二下计数原理专项练习题在高二下学期，计数原理是数学课程中的一个重要内容。

为了帮助同学们更好地掌握计数原理知识，以下是一些针对计数原理的专项练习题。

1. 一个班级有10个男生和8个女生。

如果要选出3个学生组成一个小组，其中至少有一个女生，那么有多少种不同的小组组合？答案示例：有 ${8 \choose 1} \times {17 \choose 2} = 816$ 种不同的小组组合。

2. 一家餐馆提供3种主菜和5种甜点供客人选择。

如果客人必须选择1道主菜和1道甜点，那么客人有多少种不同的选择组合？答案示例：有 $3 \times 5 = 15$ 种不同的选择组合。

3. 一条由红色、蓝色和绿色组成的蛇游戏，蛇的身体长度为10节。

如果蛇每次只能向前移动一节，并且蛇头不能碰到自己的身体，那么蛇能够有多少种不同的移动路径？答案示例：蛇的移动路径数目为 $3^{10} = 59049$ 种。

4. 一个5位数的密码，每位数字都是从1到9的数字。

如果密码不能有重复的数字，并且最大位数数字必须大于最小位数数字，那么一共有多少种不同的密码？答案示例：在满足条件的情况下，一共有 $9 \times 8 \times 7 \times6 \times 5 = 15120$ 种不同的密码。

5. 在一个双人棒球大赛中，共有5名打者。

每名打者击球时都有3种可能的结果：全垒打、安全上垒或被出局。

那么共有多少种不同的比赛结果？答案示例：共有 $3^5 = 243$ 种不同的比赛结果。

通过以上专项练习题，你能够更好地理解和运用计数原理的知识。

希望同学们能够在学习中不断探索，提高自己的数学能力。

祝你学业有成！。

年级高二学科数学选修2-3总课题计数原理总课时第23课时分课题 1.4 计数应用题分课时第1课时主备人兴长乡审核人上课时间预习导读阅读选修2-3第26--28页，然后做教学案，完成前三项。

学习目标利用排列组合知识，以及两个基本原理解决较综合的计数问题，逐步掌握解决计数问题的常用方法，提高应用意识和分析解决问题的能力。

回顾：简要复习前面所学内容。

解排列问题，首先必须认真审题，明确问题是否是排列问题，其次是抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。

思考：在前面的学习中我们已经学习过几种常用的解题技巧？自我构建快乐无限1、高二（1）班有30名男生，20名女生，从50名学生中选3名男生，2名女生分别担任班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？2、2名女生、4名男生排成一排，（1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？（2）2名不相邻的不同排法共有多少种？（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）有不同排法共有多少种？3、从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13000的有多少个？合作探究拓展提升解题方法总结：（一）特殊元素的“优先安排法”例如：用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A.24B.30C.40D.60（二）总体淘汰法对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减又不能少减。

如上题：（三）合理分类和准确分步解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

例如：五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，那么不同的站法有（）A.120B.96C.78D.72（四）相邻问题——捆绑法对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”在一起，看作一个“大”的元素，与其它元素排列，然后再对相邻的元素内部进行排列。

1.4计数应用题双基达标(限时15分钟)1．4名不同科目的实习教师被分配到三个班级，每班至少有一人的不同分法有________．解析将4名教师分三组，然后全排列分配到不同的班级，共有C24A33＝36(种)．答案36种2．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和复数，则可以组成________个不同的对数值．解析C28＝56，又log24＝log39，又log39＝log24，log23＝log49，log49＝log23所以可以组成52个对数值．答案523．某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________．解析分两类：第一类，每个城市只能投资一个项目，共有A35种方案；第二类，有一个城市投资2个项目，共有C23·A15·A14种方案．由分类加法计数原理得共有A35＋C23A15A14＝120(种)方案．答案1204．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有________．解析排除法：从反面考虑：C24C24－C24＝6×6－6＝30.答案305．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，有1,2号中至少有1名新队员的排法有________种(用数字作答)．解析(1)当有1名老队员时，其排法有C12C23A33＝36(种)；(2)当有2名老队员时，其排法有C22·C13·C12·A22＝12(种)，∴共有36＋12＝48(种)．答案486．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C318＝816(种)；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C518＝8 568(种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C12C418＋C318＝6 936(种)；(4)法一(直接法)至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有C112C48＋C212C38＋C312C28＋C412C18＝14 656(种)．法二(间接法)由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C520－(C512＋C58)＝14 656(种)．综合提高(限时30分钟)7．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个(用数字作答)．解析分两大类：(1)四位数中如果有0，这时0一定排在个、十、百位的任一位上，如排在个位，这时，十、百位上数字又有两种情况：①可以全是偶数；②可以全是奇数．故此时共有C23A33C14＋C23A33C14＝144(种)．(2)四位数中如果没0，这时后三位可以全是偶数，或两奇一偶．此时共有A33C13＋C23C13A33C13＝180(种)．故符合题意的四位数共有144＋180＝324(种)．答案3248．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________．解析依题意得，这四项工作中必有一项工作有2人参加．因为甲、乙不会开车，所以只能先安排司机，分两类：(1)从丙、丁、戊三人中任选一人开车；再从其余四人中任选两人作为一个元素同其余两人从事其他三项工作，共有C13C24A33种方案；(2)先从丙、丁、戊三人中任选两人开车，其余三人从事其他三项工作，共有C23A33种方案，所以不同安排方案的种数是C13C24A33＋C23A33＝126.答案1269．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是________．解析先保证3位女生中有且只有两位女生相邻，则有C23·A22·A33·A24种排法，再从中排除甲站两端的排法，∴所求排法种数为A22·C23·(A33A24－2A22·A23)＝6×(6×12－24)＝288.答案28810．某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为________．解析设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有C14种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有C24A33种方法，这时共有C14C24A33种参加方法；(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有C24种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A33种方法，这时共有C24A33种参加方法；综合(1)(2)，共有C14C24A33＋C24A33＝180(种)参加方法．答案18011．4位参加辩论比赛的同学，比赛规则是：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题做答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0分，则这4位同学有多少种不同得分情况？解分两类：第一类四位同学中有两人选甲，两人选乙，有C24A22A22＝24(种)不同的情况；第二类四位同学中都选甲或都选乙，有2C24C22＝12(种)不同的情况．共有24＋12＝36(种)不同的情况．12．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？解(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24·A22＝A24(种)测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同排法A46·A24·A44＝103 680(种)．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一C16·C33A44＝576(种)．件正品出现．所以不同测试方法共有A14·()13．(创新拓展)如图所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.则：(1)以这12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？(2)以这10个点(不包括A，B)中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？其中含点C1的有多少个？解(1)构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：①四个点从C1，C2，…，C6中取出，有C46个四边形；②三个点从C1，C2，…，C6中取出，另一个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有C36C16个四边形；③二个点从C1，C2，…，C6中取出，另外二个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有C26C26个四边形．故满足条件的四边形共有N＝C46＋C36C16＋C26C26＝360(个)．(2)类似于(1)可分三种情况讨论得三角形个数为C36＋C16C24＋C26C14＝116(个)．其中含点C1的有C25＋C15C14＋C24＝36(个)．。