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2011年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛复赛参赛说明1、北京工业大学数学建模复赛试题共有两道（A、B），请选择你最熟悉的一道题目回答，不必做其他题目。
2、请按规定的时间内上交试卷，过期无效。
试卷要在用A4纸打印完成，手写无效。
3、由于竞赛题目有一定的难度，因此不必做完上一个问题，才能回答下一个问题，而是需要完整地把解题的思想表达出来。
由于有些题目中的问题较多，或难度较大，很可能在一周的业余时间内做不完，你可以对某些问题不作回答，有兴趣的同学可以在竞赛后再作深入研究。
4、由于题目难度不可能完全相同，评审中将向难度较大的题目倾斜，请参赛选手在选题时加以考虑。
5、尽管本次竞赛研究生和本科生均能参加，但在评分上两者的要求是不同的，在阅卷时将对研究生有更高的要求。
6、本次竞赛从开题到5月4日（周三）下午一点半截止，为期一周，5月4号1点30分到2点30分在数理楼2316进行收题工作，请务必准时上交题目纸质版，过时不候。
A题：城市经济数据分析与区域合作改革开放30年来，中国经济取得了巨大的发展，这个发展从整个经济增长水平来看从1978年到2009年我国GDP按照可比价格年均增长在9%以上，其发展水平世界瞩目。
但是我国区域经济发展存在不平衡现象，东部沿海城市与中西部地区差距过大，严重制约了国民经济的进一步发展。
扩大内需、调整经济结构、加快城市化建设进程和促进欠发达地区的经济繁荣是我国国民经济的下一步重要战略决策。
表A.1（见下页）列出了我国99个城市的经济数据，这些数据是根据中国统计信息网公布的2009年度GDP数据及其它网上信息得到的。
表中选择了各省中具有代表性的城市，加上所有直辖市，考察这些城市的经济数据和产业结构。
如果考虑选择其中GDP（生产总值）排在较靠前的城市组成城市集合A,将GDP 排在较靠后的城市组成城市集合B，考虑建立一种经济合作和技术援助的关系，希望通过较发达地区和欠发达地区的人才流动、教育与技术支援、经济合作交流以及国家的一些税收政策等带动和促进欠发达地区的经济繁荣与城市化进程。
A题：交通拥堵的成因与解决方案交通拥堵是绝大多数城市普遍存在的问题，直接影响人的生活质量。
请充分发挥你们的观察力，设计合理的问题分析路径，提练出城市交通拥堵的突出问题（提出好问题，其实非常不平凡，其重要性绝对不在解决问题之下），拍摄一段视频来支撑你们的论点（参加答辩的同学需要播放这段视频）。
建议从你们身边感触最深的痛点入手，哪怕是一个路口或一段道路的交通改善。
交通拥堵问题是人们普遍关心的，但应对的策略是见仁见智、众说纷纭，各地采取的对策和措施也不尽相同，而且真正有效解决问题的案例实际上并不多。
因为这个问题相当复杂，所以希望你们聚焦研究的重点，不必求全也不要追求使用高深的数学方法，更不要人云亦云，特别不要照搬现成的结论。
努力发挥你们的原创精神！问题1：根据你们提炼出来的问题和你们设定的分析路径，搜集相关数据，特别是关注你们身边的第一手数据和资料，通过数学建模的方法，分析该问题的成因。
问题2：在问题分析的基础上，通过进一步的数学建模，深入讨论并给出交通改善的长期应对策略和可操作的解决方案。
问题3：结合你们对问题1和问题2的研究，用通俗地语言写一篇不超过一页A4纸的报告，给城市交通管理部门提供决策参考。
B题：中央空调系统的数据分析与控制策略一、问题的背景随着全球气候的变迁和空调技术的发展，越来越多的大型建筑物利用中央空调系统来实现室内温度和湿度的调节控制。
特别是随着“智慧城市”建设步伐的快速推进，如何围绕智慧城市建设实现中央空调系统的智能控制与节能，这是智慧城市建设中的重要研究课题之一。
中央空调系统的优化控制策略研究也是实际中的一个很有普遍意义的重要课题。
图1给出了常见的一类中央空调系统的基本结构示意图，该系统包括三套冷却装置Chiller，记为CH-1/2/3）、两个冷却塔（CoolingTower，记为CT-1/2，二者等效）、三个冷凝水泵（CondenserWaterPump，记为CWP-1/2/3）和四个冷水泵（ChilledWaterPump，记为CHWP-1/2/3/4）。
ＵＤＣ：６２１．３中文图书分类号：ＴＰｌ８１学校代码：１０００５学号：￥２０１００２１５０密级：公开北京工业大学工学硕士学位论文题目：基于数据挖掘的高校学科建设决策支持系统研究与实现…英文题目：Ｉ也ＳＥＡＲＣＨＡＮＤＩＭＰＬＥＭＥＮＴＡＴＩＯＮＯＦＤＥＣＩＳＩＯＮＳＵＰＰＯＩＨＳＹＳＴＥＭＩＮＣＯＬＬＥＧＥＤＩＳＣＩＰＬＩＮＥＣＯＮＳＴＲＵＣＴＩＯＮＢＡＳＥＤＯＮＤＡＴＡＭＩＮＩＮＧ论文作者：学科专业：研究方向：申请学位：指导教师：所在单位：答辩日期：授予学位单位：张文超控制科学与工程数据挖掘与计算机应用工学硕士李亚芬高级工程师电子信息与控制工程学院２０１３年６月北京工业大学北京工业大学工学硕士学位论文这三部件就形成了初级决策支持系统结构（也被称作传统的决策支持系统）。
该结构明确了三个部件之间的关系和职能，数据部件主要用于数据的管理与存储，模型部件主要用于数据和模型的计算，两者都集成到人机交互部件才形成可以提供辅助决策的ＤＳＳ［９１。
它与管理信息系统最大的区别在于多了模型部件，形成了以模型计算为主题的系统。
传统的决策支持系统其实是运筹学和管理科学结合的产物，它是将运筹学应用到管理科学基础之上，对管理问题用定量的分析方法，建立数学模型，通过模型求解和计算，达到辅助决策的目的。
但是通过定量模型来操作数据，仅仅是对决策过程中结构化和具有明确过程性的部分进行求解，对于半结构化和非结构化起不到决策支持的作用，随着决策环境的日趋复杂，传统的决策支持系统局限性也日益突出，具体表现在：１）大多数决策问题几乎很难建立数学模型，或者即便建立了数学模型，求解过程也是相当的复杂甚至不能得到收敛解【ｌｏ】：２）系统进行决策支持的过程是被动的，不能根据环境变化提供主动决策支持【ｌｌ】；３）系统所用到的模型库管理系统没有通用的产品。
这些缺陷都使传统决策支持系统的发展受到严重阻碍。
目前，所应用的决策支持系统几乎很少使用该系统模型，但是即使如此，以后所发展起来的决策支持系统结构都深受传统三部件结构的影响【圳。
2013全国数学建模
摘要：
一、2013 全国数学建模竞赛概况
1.竞赛时间与地点
2.参赛队伍与规模
3.竞赛奖项设置
二、2013 全国数学建模竞赛获奖情况
1.我校获奖情况
2.获奖学生名单与指导教师
3.全国大学生数学建模竞赛的历史与影响力
正文：
一、2013 全国数学建模竞赛概况
2013 年全国数学建模竞赛于某年某月某日举行，地点分布在全国各地。
该竞赛是面向全国高校的大学生数学建模比赛，旨在培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
参赛队伍来自全国各地高校，规模宏大。
竞赛奖项设置包括全国一、二、三等奖。
二、2013 全国数学建模竞赛获奖情况
在2013 年全国数学建模竞赛中，我校共有9 名学生（分3 组）获得3 项全国二等奖，取得了近8 年来最好的成绩。
至此，我校在这项赛事中共获得全国一、二等奖累计达16 项。
获奖学生名单如下：廖然，蔡晨，屠春飞；李约纳，吴晓萍，沈智；刘佳屹，边梦娜，杨文瀚。
指导教师为王福来、罗季、孙洁、郑学东。
全国大学生数学建模竞赛创办于1992 年，每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。
最优化与存储模型实验作业一、 基本实验1.拟合问题有关部门希望研究车速与刹车距离之间的关系，01y x ββ=+，其中x 为车速，y 为刹车距离，现测得50组数据(,)(1,2,,50)i i x y i =（见表5.1），用三种方法（（1）平方和最小；（2）绝对偏差和最小；（3）最大偏差最小）估计系数0β，1β，并分析三种方法的计算效果（注：用Lingo 软件求解，用其他软件画出散点图和回归直线），说明那一种方法得到的结果更合理。
解：x 为车速，y 为刹车距离，（1）平方和最小；（2）绝对偏差和最小；（3）最大偏差最小。
三种情况下相应的无约束问题为：01010150210,15010,110,150min (),min ,min max ,i i i i i i i i i z x y z x y z x y ββββββββββββ==≤≤=+-=+-=+-∑∑编写相应的Lingo 程序分别为（由于β和α在程序中不好体现，我们仍然用a表示α，b表示β）：（1）平方和最小：sets:Quantity/1..50/: x, y;endsetsdata:x=4, 4, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14,15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 22,23, 24, 24, 24, 24, 25;y=2, 10, 4, 22, 16, 10, 18, 26, 34, 17, 28, 14, 20, 24, 28, 26, 34, 34, 46, 26, 36 ,60, 80, 20, 26, 54, 32, 40, 32, 40, 50, 42, 56, 76, 84, 36, 46, 68, 32, 48, 52, 56, 64, 66, 54, 70, 92, 93, 120, 85;enddataMin=@sum(quantity: (a*x+b-y)^2);@free(a);@free(b);运行结果见xueyunqiang-chapter5-1所以拟合结果是：=-y x3.93240917.57909（2）绝对偏差和最小：编写Lingo程序：sets:Quantity/1..50/: x, y;endsetsdata:x=4, 4, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 25;y=2, 10, 4, 22, 16, 10, 18, 26, 34, 17, 28, 14, 20, 24, 28, 26, 34, 34, 46, 26, 36 ,60, 80, 20, 26, 54, 32, 40, 32, 40, 50, 42, 56, 76, 84, 36, 46, 68, 32, 48, 52, 56, 64, 66, 54, 70, 92, 93, 120, 85;enddataMin=@sum (quantity: @abs(a*x+b-y));@free(a); @free(b);运行结果见xueyunqiang-chapter5-1(2)所以拟合结果为;y x=-3.411.6,（3）最大偏差最小：编写Lingo程序：sets:Quantity/1..50/: x, y;endsetsdata:x=4, 4, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14,15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 22,23, 24, 24, 24, 24, 25;y=2, 10, 4, 22, 16, 10, 18, 26, 34, 17, 28, 14, 20, 24, 28, 26, 34, 34, 46, 26, 36 ,60, 80, 20, 26, 54, 32, 40, 32, 40, 50, 42, 56, 76, 84, 36, 46, 68, 32, 48, 52, 56, 64, 66, 54, 70, 92, 93, 120, 85;enddataMin=@max (quantity: @abs(a*x+b-y));@free(a); @free(b);运算结果见xueyunqiang-chapter5-1(3)所以拟合结果为：=-412,y x三种拟合结果为：（1） 3.93240917.57909=-y x（2） 3.411.6,=-y x（3）412,=-y x在Matlab中绘制散点图和拟合直线图如下：>>x=[4 4 7 7 8 9 10 10 10 11 11 12 12 12 12 13 13 13 1314 14 14 14 15 15 15 16 16 17 17 17 18 18 18 18 19 19 1920 20 20 20 20 22 23 24 24 24 24 25];>>y=[2 10 4 22 16 10 18 26 34 17 28 14 20 24 28 26 34 34 4626 36 60 80 20 26 54 32 40 32 40 50 42 56 76 84 36 46 6832 48 52 56 64 66 54 70 92 93 120 85];>> plot(x,y,'s')>> hold on>> x=0:0.05:25;y=3.932409*x-17.57909;plot(x,y,'b');>> hold on;>> x=0:0.05:25;y=3.4*x-11.6;plot(x,y,'r-');>> hold on;>> x=0:0.05:25;y=4*x-12;plot(x,y,'m- -');由散点图可知最上角的点明显异于其他点，最大偏差最小回归直线受最大偏差影响明显，最小二乘统计性质较好，但是受异常点的影响，也有向上偏移的趋势，而最小一乘受异常点影响的程度较小，基本上在主流数据之间。
北京工业大学2012-2013学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号 姓名 成绩注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。
数据结果保留3位小数。
考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤等编第三版（或第四版）高等教育出版社，不能携带和查阅任何其他书籍、纸张、资料等。
考试时允许使用计算器。
考试时间120分钟。
考试日期：2013年1月日一、（10分）欲对某班《数理统计与随机过程》的期末考试成绩作分析。
假设这门课成绩X (单位：分)服从正态分布2(,)N μσ。
若班级平均成绩在75分以上则认为该班成绩良好。
现从该班中随机抽取9名同学，得到他们成绩的平均分为78.44，标准差为11.40。
请根据以上结果回答如下问题：（1）取显著性水平α=0.05，分别给出下述两个问题的检验结果：检验问题I “H 0: 75μ≤，H 1: 75μ>” 检验问题II “H 0: 75μ≥，H 1: 75μ<” （2）对以上结论你如何解释？ 二、（15分）将酵母细胞的稀释液置于某种计量仪器上，数出每一小格内的酵母细胞数X ，共观察了413个小方格，结果见下表。
试问根据该资料，X 是否服从Poisson 分布？(显著性水平取0.05α=)三、（15分）某公司在为期8个月内的利润表如下：(1)求该公司月利润对月份的线性回归方程；(2)对回归方程进行显著性检验：（取05.0=α）；(3)解释回归系数的意义；（4）求第11月利润的预测区间（取050.=α）。
(本题计算结果保留两位小数)。
四、（15分）某消防队要考察4种不同型号冒烟报警器的反应时间（单位：秒）。
今将每种型号的报警器随机抽取5个安装在同一条烟道中，当烟量均匀时观测报警器的反应时间，得数据如下：） （2） 如果各种型号的报警器的反应时间有显著性差异，求均值差B A μμ-的置信水平为95%的置信区间。
五、（15分）设{N(t),t }是强度为的Poisson 过程，试求 (1) P{N(1)<2};(2) P{N(1)=1 且 N(2)=3}; (3) P{N(1)≥2|N(1)≥1}.六、（15分）设{}0,≥n X n 为时齐马氏链，状态空间{}3,2,1=I ，一步转移概率矩阵为 P=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛05.05.05.005.05.05.00初始分布P （X 0=1）=P （X 0=2）=0.25。
数学建模国赛2013年b题摘要：一、数学建模国赛简介1.数学建模国赛背景2.2013 年数学建模国赛B 题内容二、2013 年数学建模国赛B 题解析1.题目背景及要求2.问题一解析3.问题二解析4.问题三解析三、数学建模竞赛对参赛者的意义1.提升实际问题解决能力2.增强团队协作能力3.培养创新思维四、数学建模竞赛的准备与建议1.积累建模知识与技能2.加强团队配合与沟通3.注重实际问题分析与解决正文：数学建模国赛是一项在我国有着广泛影响力的学科竞赛活动，旨在选拔优秀的数学建模人才，推动数学建模教育的发展。
2013 年的数学建模国赛B题，以一道实际问题为背景，要求参赛者运用数学方法解决实际问题。
2013 年数学建模国赛B 题的内容是：“输电线路的优化设计”。
该题目要求参赛者针对一个实际的输电线路工程，通过建立数学模型，分析并提出优化方案。
具体包括三个问题：1.根据给定的线路参数，计算输电线路的总电阻；2.分析不同输电线路的设计方案，确定最优设计方案；3.建立输电线路的运行维护模型，预测线路的运行状态。
通过参与数学建模竞赛，参赛者能够提升自己的实际问题解决能力。
在竞赛过程中，他们需要针对实际问题，灵活运用数学知识和方法，寻求问题的解决方案。
此外，数学建模竞赛也非常注重团队协作，参赛者需要与队友紧密配合，共同完成竞赛任务。
这不仅能够增强团队协作能力，还能培养参赛者的创新思维。
对于想要参加数学建模竞赛的同学们，有以下几点建议：1.积累建模知识与技能：熟练掌握常用的数学建模方法和工具，例如线性规划、动态规划、图论等；2.加强团队配合与沟通：与队友共同学习、讨论和解决问题，提高团队协作效率；3.注重实际问题分析与解决：在平时的学习和生活中，多关注实际问题，培养自己分析问题和解决问题的能力。
数学建模国赛对于参赛者来说，既是一次挑战，也是一次锻炼和成长的机会。
微分方程实验作业一、 基本实验1. 微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随t 增加的运动方向，确定平衡点， 并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：,,,,(1)(2)(3)(4);2;2;2.dx dx dx dxx x y x dt dt dt dtdy dy dy dy y y x y dt dt dt dt ⎧⎧⎧⎧==-==-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪===-=-⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩解：（1）易知12(),(,)f x y x f x y y ==，，则上述代数方程组的实根为x=0,y=0,可知微分方程的平衡点为（0,0）. 线性微分方程组的系数矩阵为1001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求得特征值λ1=1>0，λ2=1>0；p=-(λ1+λ2)=-2<0,q=(λ1)* (λ2)=1>0,所以根据平衡点与稳定性的各种情况表可知，平衡点（0,0）是不稳定的。
由于2121df d x dx x x dt dx dt =⋅=⋅=，2221df d y dy y y dt dy dt=⋅=⋅=，可知''''(),()x t y t 在x=0和y=0处变号，且随着t 的增加远离远点。
根据x,y 一二阶导数的符号，图形（手画）如下1-1：图1-1（2）易知12(),(,)2f x y x f x y y =-=，，则上述代数方程组的实根为x=0,y=0,可知微分方程的平衡点为（0,0）. 线性微分方程组的系数矩阵为1002A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求得特征值λ1=1>0，λ2=-2<0；p=-(λ1+λ2)=-1<0,q=(λ1)* (λ2)=-2<0,所以根据平衡点与稳定性的各种情况表可知，平衡点（0,0）是不稳定的。
2121()df d x dx x x dt dx dt =⋅=-⋅-=，222224df d y dyy y dt dy dt=⋅=⋅=，根据x,y 一二阶导数的符号，可得如下图形1-2：图1-2（3）易知12(),(,)2f x y y f x y x ==-，，则上述代数方程组的实根为x=0,y=0,可知微分方程的平衡点为（0,0）. 线性微分方程组的系数矩阵为0120A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， p=-(λ1+λ2)=-（a 11+a 22）=0,q=(λ1)* (λ2)= a 11a 22- a 21a 12=2>0,所以根据平衡点与稳定性的各种情况表可知，平衡点（0,0）是不稳定的。
2122df d x dyx dt dt dt ===-,22222df d y dxy dt dt dt==-=-.根据x,y 一二阶导数的符号，可得如下图形1-3：图1-3(4) 易知12()1,(,)2f x y x f x y y =-+=-，，则上述代数方程组的实根为x=1,y=0,可知微分方程的平衡点为（1,0）. 线性微分方程组的系数矩阵为1002A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， p=-(λ1+λ2)=-（a 11+a 22）=3>0,q=(λ1)* (λ2)= a 11a 22- a 21a 12=2>0,所以根据平衡点与稳定性的各种情况表可知，平衡点（1,0）是稳定的,随着t 的增加，x,y 趋向稳定点（1,0）。
2121(1)1df d x dxx x dt dx dt =⋅=-⋅-+=-,222224df d y dyy y dt dy dt=⋅=-⋅-=.根据x,y 一二阶导数的符号，x <1时，'0,''0x x ><,x>1时，'0,''0x x <>；y>0时，'0,''0y y <>，y<0时，'0,''0y y ><，可得如下图形1-4：图1-42. 种群增长模型一个片子上的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落.设病菌的数目为N ，单位成员的增长率为r1，则由Malthus 生长律有1dNr N dt=⋅，但是，处于周界表面的那些病菌由于寒冷而受到损伤，它们死亡的数量与N 1/2成比例，其比例系数为r2，求N 满足的微分方程.不用求解，图示其解族.方程是否有平衡解，如果有，是否为稳定的?解：由题意可得病菌的数目N 满足的微分方程为：1212()dNr N r N f N dt=-=，r 1为单位成员的增长率，r 2为比例系数。
令()f N =0，可得方程的两个平衡点为N1=0,N2=2221/r r ；对N 进行二阶求导得到：111222212122()1()()2d N df N r r N r N r N dt dt -==-⋅-⋅。
令220d Ndt=，可求得N 1=2221/4r r ，N 2=2221/r r ，N 3=0；则N=0，N=2221/4r r ，N=2221/r r 把第一象限（因为数量N 和时间t 都为正值）划为三部分，且从下到上三部分中分别有：0<N<2221/4r r 时,0,dN dt >220d N dt>，递增下凸函数； 2221/4r r <N<2221/r r 时,0,dN dt >220d N dt <，递增上凸函数； 2221/r r <N 时，0,dN dt <220d N dt>，为递减下凸函数。
则可以得到N （t ）的图形2-1：图2-1对于方程的两个平衡点，其中N 1=0是不稳定的；N 2=2221/r r 是稳定的。
3. 单种群开发模型考虑单种群开发方程： (1)().dx xr x Ex E r dt N=--< （1） 在不求解的情况下，绘出其解族曲线；（2） 用数学表达式证明：在稳定状态下，最优捕捞率*2r E =解：（1）令(1)=()'()0().dx xr x Ex f x x t E r dt N=--==< 可以求得120,()0Nx x r E r==->；且0()'()0;r x r E x t N <<->时，()'()0;rx r E x t N>-<时，求x 的二阶导数：22212()()''()().d x df dx r E r E r x x x x t E r dt dx dt r N r N--=⋅=--=<有直线0,()()2N Nx x r E x r E r r ==-=-和将第一象限划分为三部分。
且：0()''()0;2r x r E x t N <<-<时，()()''()0;2r r r E x r E x t N N-<<-<时， ()''()0;rx r E x t N >->时， '()''()x t x t ，的符号已经确定，可以得到解族曲线图3-1：图3-1由图像可以看出120,()Nx x r E r==-不是稳定点是稳定点。
（E<r ） （2）(1)=(),()xr x g x Ex f x N-=记 可知抛物线=()(1),xg x r x N =-y 两根为120,x x N ==，抛物线开口向下，在2Nx =处取得最大值记为m h 。
直线()f x Ex =的斜率为E,且抛物线=()(1),xg x r x N=-y 在x=0处的切线为y rx =，只有E<r ，存在()()f x g x 与的交点，即有稳定的平衡点。
稳定状态下：()-()=0=r(1-)x-Ex xf xg x N即：r(1-)x=Ex xN，()()f x g x 与相交（如图3-2）。
在2Nx =时达到最大捕捞量，此时： 1r(1-)-E =0222N N N N ⋅，求解得到：2r E =，最优捕捞率即为2r 。
图3-24. Compertz 模型设渔场鱼量自然增长服从Compertz 模型ln dx N rx dt x= 其中，r 为固有增长率，N 为最大的种群数量。
若单位时间内捕捞量为h Ex =，试讨论鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h ，此时捕捞强度m E 和鱼量水平*0x 。
解：（1）平衡点及其稳定性： ln =()defdx N rx g x dt x=, r 为固有增长率，N 为最大的种群数量。
鱼量x （t ）变化规律为：()()=f(x)defdxg x h x dt=-，令f(x)=0,可知： (ln )0N x r E x -=，平衡点即为12/0,E r N x x e ==。
/0E r N x e <<时，'()0x t <；/E r Nx e>时，'()0x t >。
求x 的二阶导数：''()(ln )(ln )N Nx t r E x r E x x =+⋅⋅-123/0,,E E r N x x x Ne e ===，由于x<=N 。
可知/0,,E r Nx x x N e===将第一象限分割成两部分。
/0E r N x e <<时，''()0x t >；/E r Nx N e<<时，''()0x t <。
根据'()''()x t x t ，的符号，可得到图4-1图4-1当初始条件02/E rNx x e<=，随着时间推移很快到达0，表明渔场中的鱼很快会被捕光。
当初始条件02/E r Nx x e>=时，渔场中的鱼量可以自动调节而趋于N 。
对于方程来说0是稳定的平衡点，2/E r Nx e=不是稳定的平衡点。
（2）最大持续产量、捕捞强度和鱼量水平：分析ln =()defN rx g x x，由于21'()ln ()ln N N Ng x r rx r r x x x x =+⋅⋅-=-'()0g x =，求解得到Nx e=。
当0Nx e<<，'()0g x >；N x N e <<时，'()0g x <；Nx e=时，'()0g x =； 所以，()g x 在N x e =时，取得极大值为ln N N rNr N e e e=。
(),()g x h x 交于Nx e =处便可得到平衡点，此时()=m rN Nh x h E e e==，求得E=r 。
