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从梯子的倾斜程度谈起练习题2doc 初中数学【基础练习】一、填空题：1.在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 1，BC = 2，那么sin A = ，cos A = ；2.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB = 3BC ，那么sin B = ，cos B = ；3.在△ABC 中，∠C = 90°，3BC = AC 3，那么tan A = ，sin A = .二、选择题：1.在Rt △ABC 中，假设各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的各三角函数值〔 〕；A. 都扩大2倍B. 都缩小2倍C. 没有变化D. 不能确定2.在△ABC 中，∠C = 90°，假设sin A = 23，那么cos B 等于〔 〕. A. 35 B. 23 C. 553 D. 25 三、解答题：1.在△ABC 中，∠C = 90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分不为a 、b 、c ，b - a = 7cm ，c = 13cm ，求∠A 的三个三角函数值.2.如图1-2，四边形ABCD 中，∠ADB =∠DBC = 90°，AD = 6，sin A = 45 ，BC = 12，求∠C 的三个三角函数值.【综合练习】如图1-3，：△ABC 中，D 是AB 的中点，CD ⊥AC ，且tan ∠BCD = 13，求tan A 的值.【探究练习】：tan α= 3，求ααααcos 6sin 5cos 3sin 4-+的值.图1-2A D B 图1-3C A D B练习二【基础练习】一、1.552；55； 2. 322，31； 3. 33，21. 二、1. C ， 2. B. 三、1. sin A = 513 ，cos A = 1213 ，tan A = 512 . 2. sin C = 13132，cos C = 13133，tan C = 32. 【综合练习】32. 【探究练习】53.。
1.1 从梯子的倾斜程度谈起一、判断题1．cosx=21=60°． （ ）2．（sin45°－21）°=1． （ ）3．α是锐角，且sin α=23，则α=30°． （ ） 4．cos45°－cos15°=cos30°=23． （ ） 5．若sinA=23，则A 无解． （ ）6．若α为锐角，则2)1(cos -α=cos α－1． （ ） 7． 若A 为锐角则0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1． （ ） 8． 若a 为锐角，则sina+cosa ＞1． （ ） 二、 选择题1．cosA=23（A 为锐角），则∠A 的度数为_______________． [ ]A ．60°B ．30°C ．45°D ．30°或60°2．若A+B=90°，则B A 22sin sin +的值等于_______________．[ ]A ．1B ．2)cos (sin B A +C ． A 2sin 2D ．83．已知△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，则cosA 等于_______________．[ ]A ．23 B ．22 C ． 23 D ． 214． 若三角形三个内角的比是1：2：3，则它们正弦值的比为________．[ ]A ．1：2：3B ． 1：2：2C ．1：3：2D ．2：3：2 5． 在△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=1，那么cosB=________．[ ]A ．52 B ．53 C ．54 D ． 556． 等腰三角形底边长是10，周长是40，则其底角的正弦值是________．[ ]A ．32 B ．322 C ．324 D ． 3257．cos30︒+︒⋅30sin 130cos =________．[ ]A ．32 B ． 31 C ． 43 D ．218．若α是锐角，那么sin α+cos α的值________．[ ]A ．大于1B ．等于1C ．小于1D ．不能确定9． 在△ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ．则sinB=________．[ ]A ．AB CD B ．BC AC C ． AB BC D ．ABAC10． cos 260°－sin 260°的值为________．[ ]A ．1B ．21C ． 22D ．2511． 在△ABC 中，∠C=90°，a=8，b=15，sinA+sinB+sinC 等于________．[ ]A ．1737 B ． 1738 C ． 1739D ． 1740 12．若α是锐角，那么sin α+cos α的值________．[ ]A ．大于1B ．等于1C ．小于1D ．不能确定 三、填空题1． 设直角三角形的两条直角边的比为5:12，则较大锐角的正弦值等于______．2．已知∠B 是锐角，cosB －1=0，则∠B=__________．3．若cosB=22，则∠B=__________度．（为锐角） 4．已知cosA=21，则锐角A=__________．5． sin60°·cos45°=_______．6．在△ABC 中，∠C=90°，若cosA=21，则sinA=__________．7．在△ABC 中，∠C=90°，3a=3b ，则sinA__________．8． )160(sin 2-︒=__________．9．在△ABC 中，∠C=90°，a=8，b=45，则sinA+sinB+sinC=__________．10．在△ABC 中，AB=1，AC=2，BC=1，则sinA=______∠A=______。
第一章 直角三角形的邊角關係從梯子的傾斜程度談起、30°,45°,60°角的三角函數值(A 卷)(50分鐘,共100分)班級：_______ 姓名：_______ 得分：_______ 發展性評語：_____________一、請準確填空(每小題3分,共24分)1.圖1表示甲、乙兩山坡情況,其中t a n α_____t a n β,_____坡更陡.(前一空填“>”“<”或“=”,後一空填“甲”“乙”)αβ1213 34 甲乙圖12.在△ABC 中,∠C =90°，BC =3，AB =4.則∠B 的正弦值是_____.3.小明要在坡度為53的山坡上植樹，要想保證水準株距為5 m ，則相鄰兩株樹植樹地點的高度差應為_____m.4.在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，則sin A =_____，tan A =_____.5.在△ABC 中，AB =AC =10，BC =16，則sin B =_____.6.觀察一副三角尺，把兩個角拼在一起，其和仍為銳角，此和是_____度.7.在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =258，則cos B =_____.8.有一攔水壩的橫斷面是等腰梯形，它的上底長為6米，下底長為10米，高為23米，那麼此攔水壩斜坡的坡度為_____，坡角為_____.二、相信你的選擇(每小題3分，共24分) 9.已知在Rt △ABC 中，∠C =90°.若sin A =22，則sin B 等於 A.21B.22C.23D.110.在△ABC 中，∠C =90°，a 、b 分別是∠A 、∠B 所對的兩條直角邊，c 是斜邊，則有A.sin A =a cB.cos B =cbC.tan A =baD.cos B =ab11.如圖2，兩條寬度均為40 m 的公路相交成α角，那麼這兩條公路在相交處的公共部分(圖中陰影部分)的路面面積是α圖2 A.αsin 1600(m 2) B.αcos 1600(m 2) C.1600sin α(m 2) D.1600cos α(m 2)12.在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =21，則BC ∶AC ∶AB 等於 A.1∶2∶5B.1∶3∶5C.1∶3∶2D.1∶2∶313.小剛在距某電信塔10 m 的地面上(人和塔底在同一水平面上)，測得塔頂的仰角是 60°，則塔高A.103 mB.53 mC.102 mD.20 m14.李紅同學遇到了這樣一道題：3tan(α+20°)=1，你猜想銳角α的度數應是A.40°B.30°C.20°D.10°15.在△ABC 中，若tan A =1，sin B =22，你認為最確切的判斷是A.△ABC 是等腰三角形B.△ABC 是等腰直角三角形C.△ABC 是直角三角形D.△ABC 是一般銳角三角形16.把Rt △ABC 的三邊都擴大十倍，關於銳角A 的正弦值：甲同學說擴大十倍；乙同學說不變；丙同學說縮小十倍.那麼你認為正確的說法應是A.甲B.乙C.丙D.都不正確三、考查你的基本功(共35分)17.(16分)計算或化簡： (1)3cos30°+2sin45°; (2)︒︒︒sin60cos60tan45－·tan 30°;(3)(sin60°+cos 45°)(sin 60°－cos 45°); (4)6tan 2 30°－3sin 60°－2sin 45°;18.(8分)根據下列條件，求出Rt △ABC (∠C =90°)中未知的邊和銳角.(1)BC =8，∠B =60°. (2)∠B =45°，AC =6.19.(5分)在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是中線，AC =6，CD =5，求sin ACD 、cos ACD 和tan ACD .20.(6分)如圖3，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 是BC 邊上一點，AC =2，CD =1，設 ∠CAD =α.(1)求sin α、cos α、tan α的值; (2)若∠B =∠CAD ，求BD 的長. 四、生活中的數學(共11分)21.(5分)一艘輪船從西向東航行，上午10時航行到點A 處，此時測得在船北偏東30°上有一燈塔B ，到11時測得燈塔B 正好在船的正北方向，此時輪船所處位置為C 點 (如圖4)，若該船的航行速度為每小時20海裡，那麼船在C 點時距離燈塔B 多遠？(3取1.73)A BCDαB北CAB CD圖3圖4圖522.(6分)如圖5，河岸護堤AD 、BC 互相平行，要測量河兩岸相對兩樹A 、B 的距離，小趙從B 點沿垂直AB 的BC 方向前進，他手中有足夠長的米尺和含有30°角的一塊三角板.(1)請你幫小趙設計一下測量AB 長的具體方案; (2)給出具體的數值，求出AB 的長. 五、探究拓展與應用(共6分)23.(6分)要求tan30°的值，可構造如圖6所示的直角三角形進行計算：作Rt △ABC ，使∠C =90°，斜邊AB =2，直角邊AC =1，那麼BC =3，∠ABC =30°，tan30°=BC AC=31=33.在此圖的基礎上通過添加適當的輔助線，可求出tan15°的值.請你寫出添加輔助線的方法，並求出tan15°的值.C21A30o圖6 參考答案一、1.< 乙 2.47 3.3 4.22 1 5.53 6.75 7.2588.3 60°二、9.B 10.C 11.A 12.C 13.A 14.D 15.B 16.B三、17.(1)25 (2)31 (3)41 (4)21－2 18.(1)∠A =30° AB =16 AC =83. (2)∠A =45° BC =6 AB =23. 19.解：∵∠BCA =90°，CD 是中線, ∴CD =21AB =AD =BD . ∴∠A =∠ACD ,AB =2CD =10. ∴BC =22AC AB -=8.則sin ACD =sin A =108=54, cos ACD =cos A =106=53,tan ACD =tan A =68=34.20.解：在Rt △ACD 中, ∵AC =2，DC =1, ∴AD =22DC AC +=5. (1)sin α=AD DC=51=55,cos α=AD AC=52=552,tan α=AC CD =21.(2)∵∠B =α，∠C =90°, ∴△ABC ∽△DAC .∴BC AC =ACDC.∴BC =DC AC 2=4.則BD =BC －CD =4－1=3.四、21.解：由題意知∠BAC =60°，∠C =90°,AC =20×(11－10)=20(海裡).∴tan BAC =AC BC ,即tan60°=20BC . ∴BC =20tan60°=203≈34.6(海裡).22.(1)方案：至某點C 時，三角板60°角一直角邊與BC 重合，另一邊與AC 重合，然後用米尺量出BC 的長度，此法就可求出AB 的長.(2)設BC =10米，∠C =60°, 則在Rt △ABC 中，tan C =BCAB, ∴AB =BC ·tan60°=10×3=103(米). 五、23.此處只給出兩種方法(還有其他方法). (1)如下圖.D2 3B C 2 1 A30 o延長CB 到D ，使BD =AB ，連接AD ，則∠D =15°. tan15°=DC AC=321 =2－3， (2)如下圖，延長CA 到E ，使CE =CB ，BC2 1A30o連接BE ，則∠ABE =15°. ∴tan15°=2－3.。
DBA CB AC 【文库独家】1.1 从梯子的倾斜程度谈起 同步练习一、填空题:(2分×12=24分)1.在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则sinA=______, tanA= _______, cosA=_______.2.在Rt△AB C 中,∠C=90°,tanA=34,则sinB=_______,tanB=______. 3.在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______,sinB=_______. 4.在△ABC 中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______,cosB=________.5.在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=941,则AC=______,BC=_______.6.在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=45,则BC=_____.二、选择题: (3分×6=18分)7.在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )A.sinA=34B.cosA=35C.tanA=34D.cosB=358.如图,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=35,则BCAC等于( )A.34B.43C.35D.459.Rt△ABC 中,∠C=90°,已知cosA=35,那么tanA 等于( )A.43B.34C.45D.5410.已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( )A.tan α<t an βB.sin α<sin β;C.cos α<cos βD.cos α>cos β11.如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于sinA 的是( )A.CD ACB.DB CBC.CBAB D.CD CB12.某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )m A.100sin βB.100sin βgC.100cos β D.100cos βg三、解答题: (58分)13.在Rt△ABC 中,∠C 是直角,∠A、∠B、∠C 的对边分别是a 、b 、c,且a=24,c= 25,求sinA 、cosA 、tanA 、sinB 、cosB 、tanB 的值.14.若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值、正弦值和余弦值.15.如图,在菱形ABCD 中,AE⊥BC 于E,EC=1,sinB=513, 求菱形的边长和四边形AECD 的周长.E DB AC16.如图,已知四边形ABCD 中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=45. 求: ABD S ∆: BCD S ∆.BDAC17.已知:如图,斜坡AB 的倾斜角a,且tan α=34,现有一小球从坡底A 处以20cm/s 的速度向坡顶B 处移动,则小球以多大的速度向上升高?BAα18.探究:(1)a 克糖水中有b 克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_______; 若再添加c 克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____________.(2)我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA 的值越大, 则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:_____________.(3)如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA 、BC,使AE=CD=c, 直线CA 、DE 交于点F,请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式.BD ACEF答案:1.1222,,343 2.44,53 3.34,454.52,235.40,96.127.B8.A9.A 10.C 11.D 12.B13.∵227b c a =-=∴2474sin ,cos ,tan 25257a b a A A A c c b ======,247cos ,tan c 2524a b B B c a ====. 14.设三边长分别为25x,24x,7x,7x 所对的角最小,设为a,则77772424tan ,sin ,cos 242425252525x x x x x x ααα======.15.在菱形ABCD 中,AB=BC=CD=DA.∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°.在Rt△ABE 中,∵sinB=513AE AB =,∴设AE=5x,AB=13x,则BE=22(13)(5)12x x x -=, ∴B C=12x+1=AB=13x,x=1.∴AB=13, 即菱形ABCD 的边长为13.又AE+EC+CD+AD=5x+1+13x+13x=1+31x=1+31=32, 即四边形AECD 的周长为32 16.∵cos∠ABD=45BD AB =,设BD=4k,AB=5k, 则AD=22AB BD -=3k. 过C 作CE⊥BD 于E, 则∠BCE=12∠BCD=30°,从而BE=12BC=2k. ∴CE=2222(4)(2)23BC BE k k k -=-=, ∴S △ABD =12AD ·BD=12·3k ·4k=6k 2,S△BCD=12BD ·CE=43k 2. ∴ABD S ∆：26BCD S k ∆=：2433k =：2.17.设BC=3x,则由tana=34BC AC =,故AC=4x,从而AB=5x ,由于小球从AB 上升了3xcm, 且用时为5()204x xs =,故小球上升的速度为34x x =12(cm/s).18.探究:(1),,b b c b b ca a c a a c++<++(2)一个锐角的正切值随着这个角的增大而增大.(3)∵∠DE A>∠EAF=∠BAC,即∠DEA>∠BAC,∴tan∠DEA>tan∠BAC.又tan∠DEA=BD b cBE a c+=+,ta n∠BAC=BC bAB c=,∴b c ba c a+>+, 即b b ca a c+<+.。
1.1 从梯子的倾斜程度谈起知识点：在Rt ⊿ABC 中∠C=90°则sin A =斜边的对边A ∠,cos A =斜边的邻边A ∠,tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边的邻边A A ∠∠。
做题规律1.见锐角三角函数想直角三角形，锐角三角函数是线段的比，是个数。
2. 锐角三角函数有取值范围：0﹤sin A ﹤1，0﹤cos A ﹤1，tan A ﹥0，cot A ﹥0 练习题 一、选择题1、在Rt △ABC 中如果各边都扩大为原来的2倍，则锐角A 的正切值( ). A 、扩大2倍 B 、缩小2倍 C 、没有变化 D 、不能确定2、（08河南试验区）直角三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos α的值是( ) A 、43 B 、34 C 、53 D 、543、（2008襄樊市）在正方形网格中，△ABC 的位置如图2所示， 则cos ∠B 的值为（ ） A 、12B 、2 C 、3 D 、3 4、（2008龙岩市）已知α为锐角，则m =sin α+cos α的值（ ） A 、m ＞1 B 、m =1 C 、m ＜1 D 、m ≥15、如图所示，将矩形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C 处，BC ′交AD 于E ，下列结论不一定成立的是（）A、AD=BC′B、∠EBD= ∠EDBC、△ABE∽△CBDD、sin∠ABE=AEED6、（2008年泰安市）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC△如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan CBE∠的值是（）A、247B7C、724D、137、(2008桂林)如图，在Ｒt△ABC中，∠C＝900,∠A＝300, E为AB上一点且AE：EB＝4：1，EF⊥AC于F，连结FB，则t an∠CFB的值等于（）A、33B、33C、533D、538、（2008嘉兴市）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin EAB∠的值为（）A、43B、34C、45D、35二、填空题：9、已知∠A为锐角，sin∠A=2m-3,则m的取值范围为 _______ .10、（2008恩施自治州）在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则tan A的值是 .6 8CEABD11、（2007厦门）已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，直角边AC 是直角边BC 的2倍，则sin ∠A 的值是 ..12、在Rt △ABC 中，∠C=90°，若AB=2AC ，cosA 等于_____.13、（2008咸宁）在Rt △ABC 中，∠C =90︒，AB =4，AC =1，则cos A 的值是____. 14、已知∠A 为锐角，则 sin ∠A 与tan ∠A 的大小关系为 。
第一章直角三角形的邊角關係第一節從梯子的傾斜程度談起同步練習一:選擇題1．若△ABC中，∠C=90°，則cosA的值等於( )2．若銳角α＞β，則( )A．cosα＞cosβ； B．sinα＜sinβ；C．sinα＞cosβ；D．sinα＞sinβ．4.α銳角，則|sinα-1|等於( )A．1-sinα；B．sinα-1；C．cosα；D．無法確定．５.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，則tanA等於( )６.若α為銳角且tanα=cot42°，則α為( )A．42°； B．48°； C．56°； D．無法確定．７下列各式中錯誤的是( )８.已知在△ABC中，∠C=90°，則下列各式中正確的是()A．sinA=sinB； B．cosA=cosB C．tanA=tanB D．tanA=cotB．二.解答題９.tan10°·tan20°·tan30°·tan40°·tan50°·tan60°·tan70°·tan80°．１０.sin231°+tan31°·tan59°+sin259°的度數．１４.已知在△ABC中，∠C=90°，AB=41，BC=40．求sinA，cosA的值．1５．已知三角形三邊的比是25∶24∶7，求最小角的余弦值和正切值．１６.直角三角形的斜邊和一直角邊的比為13∶5，設較大銳角為α， 求sin α，cos α和 tan α．１７.已知α為一銳角，sin α＝54，求 cos α，tan α．１８.如圖，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，CD ⊥AB ， 垂足為D ，求sin ∠ACD 和tan ∠BCD ．１９.△ABC 為等邊三角形，利用△ABC 求tan 30°和cos 60°．２０.在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝16 cm ，AC ＝20 cm ，求tan A 和tan B 的值．２１.在∠ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12 cm ，AB ＝20 cm ，求 tan A 和 tan B 的值．２２.已知等腰三角形的一條腰長為20 cm，底邊長為30 cm，求底角的正切值．２３.如圖，在等腰梯形ABCD中，CD＝4 cm，DE＝6 cm，AB＝8 cm，求tan A的值．２４.如圖，山坡AB的坡度為5∶12，一輛汽車從山腳下A處出發，把貨物運送到距山腳500 m高的B處，求汽車從A到B所行駛的路程．三、證明題25．已知sinα與cosα是關於x的方程：x2+px+q=0的兩個根，求證：1+2q-p2=0．關於x的方程2x2-2mx+m2-1=0的實數根．28．證明：cos2α（1+tan2α）=1．29．已知α是銳角，且tanα是方程x2-2x-3=0的一個根．求證：sin2α-4sinαcosα+3cos2α=0．30．已知在△ABC中，a=12，b=5，c=13．求證：tanA=cotB．思考·探索·交流1．α是Rt△ABC中的一個銳角，若sinα＋cosα＝m，sin α·cosα＝n，則m，n有怎樣的關係？2．AD是Rt△ABC斜邊BC上的高，若BD＝。
