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§2 角的概念的推广课前导引问题导入【问题】 已知α为第一象限角，请你探求2α、2α、3α所在的象限. 思路分析:因为α为第一象限角，即k·360°＜α＜k·360°+90°，k ∈Z ，则(1)2α是第一或第二象限角，或终边在y 轴非负半轴上的角；(2)k·180°＜2α＜k·180°+45°，k ∈Z ,当k 为偶数时，2α为第一象限角；当k 为奇数时，2α为第三象限角；所以，2α为第一、第三象限角； （3）336033360︒∙<<︒∙k k α+30°（k ∈Z ），当k=3n （n ∈Z ）时，3α为第一象限角； 当k=3n+1(n ∈Z )时,3α为第二象限角； 当k=3n+2(n ∈Z )时，3α为第三象限角. 所以，3α为第一、第二、第三象限角. 对2α、3α，还有一种方法——八卦图法：(1)2α所在象限的判断方法： 第一步：画出直角坐标系（如右图）将每一象限分成两等份；第二步：标号.从靠近x 轴非负半轴的第一象限内区域开始，按逆时针方向，在图中依次标上1、2、3、4；1、2、3、4；第三步：选号.α为第一象限角，在图中将数字1的范围画出，可用阴影表示；第四步：定象限.阴影部分在哪一象限，2α的终边就落在哪一象限. 由以上步骤可知，若α为第一象限角，则2α为第一、三象限角.(2)3α所在象限的判断方法: 第一步：画出直角坐标系(如右图)，将每一象限分成三等份；第二步：标号.从靠近非负半轴的第一象限内开始，按逆时针方向，在图中依次标上1、2、3、4；1、2、3、4；1、2、3、4；第三步：选号.α为第一象限角，在图中将数字1的范围画出，可用阴影表示； 第四步：定象限.阴影部分在哪一象限，3α的终边就 落在哪一象限.由以上步骤可知，若α为第一象限角，则3α为第一、二、三象限角. 知识预览1.象限角、轴线角角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合，那么（1）如果角的终边（除原点外）在第几象限，则就说这个角是第几象限角.比如60°、420°、-300°都是第一象限角；120°、480°、-240°都是第二象限角；210°、570°、-150°都是第三象限角；300°、660°、-60°都是第四象限角.特别注意的是：如果角的顶点不与坐标原点重合，或者角的始边不与x 轴的非负半轴重合，则不能判断角在哪一象限，也就是它不能称作象限角.（2）如果终边落在坐标轴上，则这个角不属于任何象限，称之为轴线角（或称为象限界角）. 比如0°、90°、180°、270°、360°、-90°、-180°、-270°、-360°、-1 080°等都是轴线角.2.终边相同的角(1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.(2)所有与α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S={β|β=α+k·360°,k ∈Z }，即任一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.(3)明确以下几点：①k 为整数；②α为任意角；③k·360°与α之间用“+”连接，如k·360°-30°应看成k·360°+（-30°）；④终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，如120°与-240°是终边相同的角，但它们不相等；⑤终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.。
1.2角的概念推广一、新旧知识连接：初中已学过命题的知识，请同学们回顾什么叫角？角的范围？长跑运动员在操场长跑可以用角360、两圈可以是多少？顺时针与逆时针有区别吗？引入角的定义和相关概念；度来恒量吗？一圈0二、我能自学：1.认识角的概念：①如果我们从运动的观点来看，角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
(先后用教具圆规和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)。
②象限角、坐标轴上的角的概念．由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内讨论角，(板书)我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴(包括原点)重合，那么角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．三、范例分析例1.判断下列各角是第几象限角. （借助多媒体课件展示）(1)—60°； (2)585°； (3)—950°12’．解：(1)∵—60°角终边在第四象限，∴它是第四象限角；(2)∵585°＝360°十225°，∴585°与225°终边相同，又∵225°终边在第三象限，∴585°是第三象限角；(3)∵—950°12’＝－230°12’—2×360°，又∵－230°12’终边在第二象限，∴—950°12’是第二象限角.例2．在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（α用0°～360°的角表示）.解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°与270°角，因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}；所有与270°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}；所以，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}.例3．写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜270°的元素β写出来.解：S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β＜270°的元素是：60°－1×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.四．归纳小结1、通过范例分析讲解理解概念及公式；2、反思角定义的合理性？同时还有其它方法表示角吗分析特点和缺点。
§2角的概念的推广1．角的概念角可以看成平面内________绕着______从一个位置______到另一个位置所形成的图形．2．角的分类(1)(2)按角终边的位置分类预习交流1(1)终边和始边重合的角一定是零角吗？(2)45°是第______象限角；216°是第__________象限角；－70°是第__________象限角．3．终边相同的角的表示一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：________________________，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的______倍的和．注意：(1)k是整数，这个条件不能漏掉；(2)α是任意角；(3)k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．预习交流2(1)下列各角中与330°角终边相同的角是()．A．510°B．150°C．－150°D．－390°(2)在－360°到360°的范围内，与412°角终边相同的角是______．★答案★：1．一条射线端点旋转2．(1)逆时针顺时针没有作任何旋转(2)原点终边(除端点外)预习交流1：(1)提示：不一定．零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角，如－360°、360°、720°等角的终边和始边也重合．(2)一三四3．S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}整数预习交流2：(1)D(2)52°，－308°1．角的概念的辨析问题判断下列说法是否正确，并说明理由：(1)集合P＝{钝角}，集合Q＝{第二象限角}，则有P＝Q；(2)角α和角2α的终边不可能相同；(3)若α是第二象限角，则2α一定是第四象限角；(4)不相等的角其终边位置必不相同．思路分析：解答本题首先要明确角的范围不再局限于0°～360°，角的度数已经扩大到(－∞，＋∞)，其次要紧扣象限角、终边相同的角的概念．已知A＝{锐角}，B＝{α|0°≤α＜90°}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°的角}，求A∩B，A∪C，C∩D，A∪D.对推广后角的概念的理解．(1)紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看角．(2)结合实际意义明确角的概念经过推广后，角的范围不再局限于0°～360°，而是包括正角、负角和零角．(3)正确理解正角、负角和零角的概念，既要注意始边位置和旋转量，又要注意旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动．2．终边相同的角及象限角已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限的角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.思路分析：利用终边相同的角的关系β＝α＋k×360°，k∈Z来解决．将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．(1)－1 840°；(2)1 690°.终边相同的角相差360°的整数倍．判定一个角在第几象限，只要找与它终边相同的0°～360°范围内的角，这个0°～360°范围内的角所在象限即为所求．3．区域角的表示如图所示，写出终边落在阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合．思路分析：观察图形，找出边界上的角，用不等式形式表示出阴影部分内的角的集合．如图所示，写出终边落在图中阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合．区域角及其表示方法区域角是指终边落在平面直角坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步： (1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}；(3)根据旋转的观点把起始、终止边界对应角α、β加上k ·360°(k ∈Z )．特别地，如“活动与探究3”中，若是对顶区域，如图②可用一个表达式表示：先在一个阴影中找出区间角[45°，90°]，然后再在两边加上n ×180°(n ∈Z )即可；若区域包括了x 轴非负半轴，则可由负角到正角，如图③，两边再加上k ×360°(k ∈Z )．4．已知α角所在的象限，判断角α2的终边所在的位置已知角α是第二象限角，试判断角α2是第几象限角．已知角α是第三象限角，试判断角α2是第几象限角． (1)各象限角的集合如下象限角集合表示 第一象限角{α|0°＋k ·360°＜α＜90°＋k ·360°，k ∈Z } 第二象限角{α|90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°，k ∈Z } 第三象限角{α|180°＋k ·360°＜α＜270°＋k ·360°，k ∈Z } 第四象限角 {α|270°＋k ·360°＜α＜360°＋k ·360°，k ∈Z }★答案★：活动与探究1：解：(1)不正确．实际上P ＝{α|90°＜α＜180°}，应有P Q .(2)不正确．如α＝0°时，α与2α终边相同．(3)不正确．由90°＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°(k ∈Z )知180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z ，故2α是第三或第四象限的角，也可能终边在y 轴的非正半轴上．(4)不正确．不相等的角其终边位置也可能相同，如30°与390°.迁移与应用：解：A ∩B ＝{α|0°＜α＜90°}，A ∪C ＝{α|k ×360°＜α＜90°＋k ×360°，k ∈Z }，C ∩D ＝{α|k ×360°＜α＜90°＋k ×360°，k ∈Z ，k ≤0}，A ∪D ＝{α|α＜90°}．活动与探究2：解：(1)－1 910°＝－6×360°＋250°，其中β＝250°，k ＝－6，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限的角．(2)令θ＝250°＋k ×360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.迁移与应用：解：(1)－1 840°＝－6×360°＋320°，故－1 840°是第四象限角．(2)1 690°＝4×360°＋250°，故1 690°是第三象限角．活动与探究3：解：(1)由图①可知，按逆时针方向旋转，应由l 1旋转至l 2，与l 1终边相同的角有60°角，与l 2终边相同的角有310°角．∴图①阴影部分中角的集合为S ＝{α|60°＋k ×360°≤α≤310°＋k ×360°，k ∈Z }．(2)由图②知，第一象限内阴影部分中角的集合为S 1＝{α|45°＋k ×360°≤α≤90°＋k ×360°，k ∈Z }．第三象限内阴影部分中角的集合为S 2＝{α|225°＋k ×360°≤α≤270°＋k ×360°，k ∈Z }．∴所求阴影部分中角的集合为S ＝S 1∪S 2＝{α|45°＋2k ×180°≤α≤90°＋2k ×180°，k ∈Z }∪{α|45°＋(2k ＋1)×180°≤α≤90°＋(2k ＋1)×180°，k ∈Z }＝{α|45°＋n ×180°≤α≤90°＋n ×180°，n ∈Z }．(3)由图③知，逆时针方向旋转，应由l 2旋转至l 1，与l 2终边相同的角有－30°角，与l 1终边相同的角有30°角．∴图③阴影部分中角的集合为S ＝{α|－30°＋k ×360°＜α＜30°＋k ×360°，k ∈Z }．迁移与应用：解：终边落在第二象限内阴影部分中的角的集合可表示为{x |k ×360°＋135°＜x ≤k ×360°＋180°，k ∈Z }，终边落在第四象限内阴影部分中的角的集合可表示为{x |k ×360°－15°≤x ≤k ×360°，k ∈Z }，∴终边落在阴影部分的角的集合可表示为{x |k ×360°＋135°＜x ≤k ×360°＋180°或－15°＋k ×360°≤x ≤k ×360°，k ∈Z }．活动与探究4：解法一：(分类讨论法)∵角α是第二象限角，∴k ×360°＋90°＜α＜k ×360°＋180°，k ∈Z.∵k ×180°＋45°＜α2＜k ×180°＋90°，k ∈Z ， ∴当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ×360°＋45°＜α2＜n ×360°＋90°， 即角α2是第一象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ×360°＋225°＜α2＜n ×360°＋270°， 即角α2是第三象限角． ∴角α2的终边落在第一或第三象限． 解法二：(几何法)先将各象限二等分，从x 轴非负半轴起，按逆时针方向依次将各区域标上1,2,3,4，标有2的区域即为角2α的终边所在区域，如图所示，故角2α是第一、三象限角．迁移与应用：解法一：(分类讨论法)∵α是第三象限角，∴k ×360°+180°＜α＜k ×360°+270°，k ∈Z ， ∴k ×180°+90°＜2α＜k ×180°+135°，k ∈Z. ∴当k=2n ，n ∈Z 时，n ×360°+90°＜2α＜n ×360°+135°，即角 2α是第二象限角； 当k =2n +1，n ∈Z 时，n ×360°+270°＜2α＜n ×360°+315°，即角2α是第四象限角． ∴角2α是第二或第四象限角． 解法二：(几何法)仿照“活动与探究4”的“解法二”即可知角 是第二或第四象限角．1．下列命题中正确的是( )．A ．三角形的内角必是第一、二象限角B ．第一象限角必是锐角C ．不相等的角终边一定不相同D ．若β＝α＋k ·360°(k ∈Z )，则α和β终边相同2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－615°是第一象限角．其中正确的命题有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．与405°角终边相同的角是( )．A ．k ·360°－45°，k ∈ZB ．k ·360°－405°，k ∈ZC ．k ·360°＋45°，k ∈ZD ．k ·180°＋45°，k ∈Z4．(1)一个30°的角，将其终边按逆时针方向旋转三周，则旋转后的角是________．(2)若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．5．终边在第一、三象限角平分线上的角的集合为________；终边在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．★答案★：1．D 解析：90°的角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角，故A 错；390°的角是第一象限角，但它不是锐角，故B 错；390°角和30°角不相等，但终边相同，故C 不正确；对于D ，由终边相同的角的概念可知正确．2．C 解析：①②③正确，④错误．3．C4．(1)1 110° (2)－960° 解析：(1)终边按逆时针方向旋转三周，转过的角度为360°×3＝1 080°.再加上原来的角度30°，所以旋转后的角是1 110°.(2)∵2小时40分＝223小时，∴－360°×223＝－960°. 5．{α|α＝k ×180°＋45°，k ∈Z }{α|α＝k×180°＋135°，k∈Z}。
