等腰三角形的判定学案

第四章图形的性质第19节等腰三角形■知识点一：等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.注意：三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为 .■知识点二：等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=12AB. ■知识点三：角平分线21P COBA（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，则PA ＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上． ■知识点四：垂直平分线PC OBA（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP 垂直且平分AB ，则PA ＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．■考点1.等腰三角形 ◇典例：1. （2018年黑龙江省绥化市）已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为 ．【考点】等腰三角形的性质【分析】等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．解：当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，当50°为底角时，其他两角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角为50°或80°．故答案为：50°或80°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．2.（2017年北京市）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．求证：AD=BC．【考点】等腰三角形的判定与性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=C=72°，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°，根据等腰三角形的判定即可得到结论．证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠DBC=36°，∴∠A=∠ABD，∴AD=BD，∵∠C=72°，∴∠BDC=72°，∴∠C=∠BDC，∴BC=BD，∴AD=BC．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．◆变式训练1.（2018年内蒙古包头）如图，在△ABC中，AB=AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE=90°，AD=AE．若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC的度数为（）A．17.5° B．12.5°C．12° D．10°2.( 2017年湖北武汉市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4 B．5 C．6 D．7■考点2.等边三角形◇典例（2018年辽宁省葫芦岛市）如图，∠MON=30°，点B1在边OM上，且OB1=2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM、ON于点B2、A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM、ON于点B3、A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△A n A n+1C n的面积为．（用含正整数n的代数式表示）【考点】规律型：图形的变化类；等边三角形的性质【分析】由题意△A1A2C1是等边三角形，边长为，△A2A3C2是等边三角形，边长为×，△A3A4C3是等边三角形，边长为××=（）2×，△A4A5C4是等边三角形，边长为×××=（）3×，…，一次看到△A n B n+1C n的边长为（）n﹣1×即可解决问题；解：由题意△A1A2C1是等边三角形，边长为，△A2A3C2是等边三角形，边长为×，△A3A4C3是等边三角形，边长为××=（）2×，△A4A5C4是等边三角形，边长为×××=（）3×，…，△A n A n+1C n的边长为（）n﹣1×，∴△A n A n+1C n的面积为×[（）n﹣1×]2=（）2n﹣2×．【点评】本题考查等边三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．◆变式训练（2018年内蒙古通辽市）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB=BD，AB=6，∠C=30°，则△ACD的面积为．■考点3.角平分线◇典例：（2018年山东省德州）如图,为的平分线.,..则点到射线的距离为__________．【考点】角平分线的性质【分析】过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案．解：过C作CF⊥AO．∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF．∵OC=5，OM=4，∴CM=3，∴CF=3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．◆变式训练（2018年山东省东营）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是．■考点4.垂直平分线◇典例：（2018年贵州省安顺）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（）A． B．C． D．【考点】作图—复杂作图，线段垂直平分线【分析】利用线段垂直平分线的性质以及圆的性质分别分得出即可．解：A、如图所示：此时BA=BP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；B、如图所示：此时PA=PC，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；C、如图所示：此时CA=CP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；D、如图所示：此时BP=AP，故能得出PA+PC=BC，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了复杂作图，根据线段垂直平分线的性质得出是解题关键．◆变式训练（2018年山东省青岛）已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．一、选择题1.（2018 年广西梧州市）如图，已知 BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F，DE=6，则 DF 的长度是（）A．2 B．3 C．4 D．62.（2018年浙江省湖州市）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°3.（2018年四川省攀枝花市）如图，等腰直角三角形的顶点A．C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1=30°，则∠2的度数为（）A．30°B．15°C．10°D．20°4.（2018年甘肃省兰州市（a卷））如图，AB∥CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．65°D．70°5.（2018年福建省（A卷））如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°二、填空题6.（2018年湖南省湘潭市）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD= ．7.（2018年贵州省遵义市）如图，△ABC中．点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠CAE=16°，则∠B为度．8.（2018年江苏省南京市）如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC=10cm，则DE= cm．9.（2018年浙江省绍兴市）数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2 等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．（1）请你解答以上的变式题．（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．三、解答题10.（2018年浙江省嘉兴市）已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．一、选择题1.（2018 年广西梧州市）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC 关于直线 EF对称，∠CAF=10°，连接 BB′，则∠ABB′的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．45°2.（2018年青海省）如图，把直角三角形ABO放置在平面直角坐标系中，已知∠OAB=300，B点的坐标为(0,2)，将∆ABO沿着斜边AB翻折后得到∆ABC，则点C的坐标是（）A. B. C. D.3.（2018年黑龙江省大庆市）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（）A．30° B．35° C．45° D．60°4.（2018年湖北省襄阳市）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD 的周长为13cm，则△ABC的周长为（）A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm5.（2018年江苏省扬州市）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC6.（2018年广西玉林市）如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直7.（2018年四川省巴中市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，与AB，BC分别交于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线BP交AC于点F；④过点F作FG⊥AB 于点G．下列结论正确的是（）A．CF=FG B．AF=AG C．AF=CF D．AG=FG二、填空题8.（2018年黑龙江省哈尔滨市）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为．9.（2018年广西桂林市）如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是__________10.（2018年四川省南充市）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C= 度．11.（2018年湖南省娄底市）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF= cm．三、解答题12.（2018年浙江省绍兴市）数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2 等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．（1）请你解答以上的变式题．（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．13.（2018年湖北省孝感市）如图，△ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；③连接PB，PC．请你观察图形解答下列问题：（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是；（2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度数．14.（2018年江苏省镇江市）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．15.（2018年黑龙江省哈尔滨市）已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．（1）如图1，求证：AD=CD；（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．。

学习过程一、复习预习二、知识讲解考点/易错点1等腰直角三角形特有（1）两底角等于45°。

（2）两腰相等。

考点/易错点2等腰直角三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.中线：顶点与对边中点的连线，平分三角形。

高：顶点到对边垂足的连线。

角平分线；顶点到两边距离相等的点所构成的直线。

中位线：任意两边中点的连线。

考点/易错点3等腰直角三角形常见题型1、多垂直、锐角相等2、通过三线合一构造全等3、利用垂直与等腰构造全等三、例题精析【例题1】【题干】△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC, D为BC 上一点,过B，C做BE⊥AD, CF⊥AD 求证: BE=EF+CF【答案】∵BE⊥AD,∠BAC=90°∴∠EBA=∠CAF易证: △EBA≌△FAC∴AE=FC, BE=AF∴BE=EF+CF【解析】直角三角形中，两锐角互余；结合三角形全等很容易得证【例题2】【题干】△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是BC边上中线，∠ABF=∠CAE，求证：EF∥AC【答案】Rt△ABC中，AD为中线∴BD=AD，∠ABD=∠DAC=45°又∵∠ABF=∠CAE∴∠DBF=∠DAE∴易证：△DBF≌△DAE∴DE=DF，∴∠FED=∠C=45°∴EF∥AC【解析】通过三线合一构造全等【例题3】【题干】△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD F平分∠ABC，CE⊥BD交BD延长线于E求证：BD=2CE【答案】证：∵BD平分∠ABC，且CE⊥BE∴延长CE、BA交于F易证：△FBE≌△CBE∴FE=CE，△ABD≌△ACF∴BD=CF=2CE【解析】利用垂直与等腰构造全等【例题4】【题干】如图，点A的坐标为（1，0），点B在直线y=﹣x上运动，当线段AB最短时，点B 的坐标为（）A、（0，0）B、（，﹣）C、（，﹣）D、（﹣，）【答案】解：过A点作垂直于直线y=﹣x的垂线AB，∵点B在直线y=﹣x上运动，∴∠AOB=45°，∴△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则点C为OA的中点，则OC=BC=．作图可知B在x下方，y的右方．∴横坐标正，纵坐标为负．所以当线段AB最短时，点B的坐标为（，﹣）．故选B．【解析】线段AB最短，说明AB此时为点A到y=﹣x的距离．过A点作垂直于直线y=﹣x 的垂线AB，由题意可知：△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则点C为OA的中点，有OC=BC=，故可确定出点B的坐标．【例题5】【题干】△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，其初始位置如图所示，若△AEF绕A点顺时针旋转，则BE与CF大小关系为（）A、BE＞CFB、BE=CFC、BE＜CFD、无法确定【答案】解：连接BE、CF∵△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∴BA=BC，∠BAC=∠FAE，AF=AE，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．故选B．【解析】连接BE、CF，证明△BAE≌△CAF即可得到结论．【例题6】【题干】下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有10 个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有28 个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有50 个．【答案】解答：解：第一空 4 （正方形边长为1，直角边长为1的等腰三角形有4个）；第二空4×2+2=10 （每个正方形都有4个边长为1的等腰直角三角形，还有2个直角边长为的就是以2为斜边）第三空4×4+2×4+4=28 （4个小正方形就是4×4，而相邻的两个小正方形都有2个直角边为的等腰直角三角形，这样相邻的有4对所以是2×4，然后再加上4个直角边长为2的）第四空4×6+2×7+4×2+4=50（正方形边长为1，直角边长为1的等腰三角形有4×6个小正方形，7对相邻的两个小正方形，4对直角边为2的大正方形，4个直角边长为的斜边为．【解析】分析：根据正方形的性质，知图1中，连接2条对角线，可以有4个以格点为顶点的等腰直角三角形；图2中，连接每个正方形的2条对角线，在图1的基础上，则共有4×2+2=10（个）以格点为顶点的等腰直角三角形；图3中，在图1和图2的基础上，则共有10×2+8=28（个）以格点为顶点的等腰直角三角形；图4中，在图2和图3的基础上，分解为几个（2）（3）的图形，然后观察形状不是（2）（3）的四边形中是否存在满足条件的三角形，利用勾股定理的逆定理即可作出判断．四、课堂运用【基础】1.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（）A、40°B、45°C、50°D、60°分析：先利用AAS判定△BDF≌△ADC，从而得出BD=DA，即△ABD为等腰直角三角形．所以得出∠ABC=45°．解答：解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E∴∠BEA=∠ADC=90°．∵∠FBD+∠BFD=90°，∠AFE+∠FAE=90°，∠BFD=∠AFE∴∠FBD=∠FAE∵∠BDF=∠ADC=90°，BF=AC∴△BDF≌△ADC（ASA）∴BD=AD∴∠ABC=∠BAD=45°故选B．2.用两个全等的等腰直角三角形拼下列图形：①等腰三角形；②等边三角形；③正方形；④等腰梯形．一定可以拼成的图形有（）A、①③B、②④C、②③D、①④分析：可以将两个直角三角形拼拼，即可得到可以拼成等腰三角形与正方形．解答：解：①如图：∵∠B=∠B′=45°，∴可以拼成等腰三角形；③如图：，∴可以拼成正方形；∴一定可以拼成的图形有①③．故选A．3.如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=10cm，则△DBE的周长等于（）A、10cmB、8cmC、12cmD、9cm分析：根据角平分线性质求出CD=DE，根据勾股定理求出AC=AE=AB，求出BD+DE=AE，即可求出答案．解答：解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，由勾股定理得：AC=，AE=，∴AE=AC=BC，∴DE+BD=CD+BE=BC，∵AC=BC，∴BD+DE=AC=AE，∴△BDE的周长是BD+DE+BE=AE+BE=AB=10．故选A．【巩固】1.如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为（）A、2cmB、4cmC、6cmD、8cm分析：易得易拉罐进入水杯部分为等腰直角三角形，底边长为8，可得底边上的高．让10减去底边上的高即为水深．解答：解：∵易拉罐进入水杯部分为等腰直角三角形，而斜边与圆水杯底相等为8cm．∴P点到杯口距离为4 cm．∴水深为10﹣4=6cm．故选C．2.如下图，△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，则下列结论不正确的是（）A、AC=AEB、CD=DEC、CD=DBD、AB=AC+CD分析：根据角平分线性质求出CD=DE，根据勾股定理求出AC=AE，根据三角形的内角和定理求出∠B=∠BDE，推出BE=DE=CD，即可推出AB=AC+CD．解答：解：B、∵AD是角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，故本选项错误；A、由勾股定理得：AC=，AE=，∴AC=AE，故本选项错误；D、∵∠B=45°，DE⊥AB，∴∠BDE=180°﹣90°﹣45°=45°=∠B，∴BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD，故本选项错误；C、∵CD=DE，BD＞DE，∴BD＞CD，故本选项正确；故选C．3. 如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若BC=3，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1= ．分析：重叠部分为等腰直角三角形，设B1C=2x，则B1C边上的高为x，根据重叠部分的面积列方程求x，再求BB1．解答：解：设B1C=2x，根据等腰三角形的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形，则B1C边上的高为x，∴×x×2x=2，解得x=（舍去负值），∴B1C=2，∴BB1=BC﹣B1C=．故答案为．4.如图，以第①个等腰直角三角形的斜边长作为第②个等腰直角三角形的腰，以第②个等腰直角三角形的斜边长做为第③个等腰直角三角形的腰，依次类推，若第⑨个等腰直角三角形的斜边长为厘米，则第①个等腰直角三角形的斜边长为厘米．分析：先设第①个等腰直角三角形的斜边是x，第②个的等腰直角三角形的斜边是x，那么第③个等腰直角三角形的斜边是2x，从而有第n个等腰直角三角形的斜边是（）n﹣1x，根据题意可得（）9﹣1x=16，解即可．解答：解：设第①个等腰直角三角形斜边长是x，根据题意得：（）9﹣1x=16，∴16x=16，∴x=．【拔高】1.以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可作出（）A、2个B、4个C、6个D、8个分析：利用等腰直角三角形的性质来作图，要注意分不同的直角顶点来讨论．解答：解：此题应分三种情况：①以AB为腰，点A为直角顶点；可作△ABC1、△ABC2，两个等腰直角三角形；②以AB为腰，点B为直角顶点；可作△BAC3、△BAC4，两个等腰直角三角形；③以AB为底，点C为直角顶点；可作△ABC5、△ABC6，两个等腰直角三角形；综上可知，可作6个等腰直角三角形，故选C．2.己知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，其中∠H、∠E、∠F是直角，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为（）A、1B、2C、D、分析：在直角△ABC中，∠C=90°，AB2=AC2+BC2，即可求证：阴影部分面积△ACH和△BCF的面积之和为△ABE的面积，即阴影部分面积为2倍的△ABE的面积，根据此等量关系即可求解．解答：解：在直角△ABC中，∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2，根据等腰直角三角形面积计算方法，△AEB的面积为×=，△AHC的面积为×=，△BCF的面积为×=，∴阴影部分面积为（AB2+AC2+BC2）=AB2，∵AB=3，∴阴影部分面积为×32=，故选C．3.如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，…，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积S n= ．分析：本题要先根据已知的条件求出S1、S2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般化规律，进而可得出S n的表达式．解答：解：根据直角三角形的面积公式，得S1==2﹣1；根据勾股定理，得：AB=，则S2=1=20；A1B1=2，则S3=21，依此类推，发现：S n=2n﹣2．4.已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是．分析：依次、反复运用勾股定理计算，根据计算结果即可得到结论．解答：解：根据勾股定理，第1个等腰直角三角形的斜边长是，第2个等腰直角三角形的斜边长是2=（）2，第3个等腰直角三角形的斜边长是2=（）3，第n个等腰直角三角形的斜边长是（）n．课程小结等腰直角三角形的判定与性质的灵活应用课后作业【基础】1.在△ABC中，BC：AC：AB=1：1：，则△ABC是（）A、等腰三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形分析：根据题意设出三边分别为k、k、k，然后利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，又有BC、AC边相等，所以三角形为等腰直角三角形．解答：解：设BC、AC、AB分别为k，k，k，∵k2+k2=（k）2，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，又BC=AC，∴△ABC是等腰直角三角形．故选D．2.等腰直角三角形的一个底角的度数是（）A、30°B、45°C、60°D、90°分析：根据等腰直角三角形的定义可知其顶角为90°，然后可根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质求出其底角的度数．解答：解：等腰直角三角形一个底角的度数=（180°﹣90°）÷2=45°．故选B．3.等腰直角三角形的底角为45 度．分析：根据等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理解答．解答：解：∵∠C=90°，AC=AB∴∠A=∠B=45°．4.等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是．分析：题中没有指明该边是直角边不是斜边，则应该分情况进行分析．解答：解：（1）当1cm是斜边，则其高就是斜边1的一半是cm；（2）当其直角边是1cm时，根据勾股定理得其斜边是cm，再根据其高是斜边的一半得高是cm；所以它斜边上的高是cm或cm．【巩固】1.如图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm，高为55cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45度．若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为（）A、10cmB、20cmC、30cmD、35cm分析：由题可知，进入容器中的三角形ABC可看作是一个斜边为40的等腰直角三角形，所以在此三角形中斜边上的高应该为20，因此若使高为55容器中的水面与圆桶相接触，由此可以求出水深．解答：解：如图，依题意得△ABC是一个斜边为40的等腰直角三角形，∴此三角形中斜边上的高应该为20，∴水深至少应为55﹣20=35cm．故选D．2. 如果等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于度．分析：根据等腰直角三角形底边上的“三线合一”的性质，判定等腰直角三角形．解答：解：根据等腰三角形底边上的高也是底边上的中线和顶角的角平分线可知，高把原等腰直角三角形分成两个等腰直角三角形，顶角也就平分成两个45°，故顶角是90°，故填90．3.等腰直角三角形的一边长为2cm，则它的周长为4+2或2+2 ．分析：在等腰直角三角形中，已知了一边的长，但未明确此边是底还是腰，因此要分类讨论．解答：解：当底边长为2cm时，腰长是cm，则周长是2+2（cm）；当腰长为2cm时，底边是2cm，因而周长是：4+（cm）．因此这个等腰直角三角形的周长为4+2或2+2（cm）．4.等腰直角三角形的一条直角边为1cm，则它的斜边上的高为cm．考点：等腰直角三角形。

一、提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；2.回忆全等三角形的性质。

二、等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等．通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。

问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？问题2.我们是如何证明上述定理的？问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？三、顶角是60°的等腰三角形是等边三角形；底角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形。

二、1、定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．2、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半3、课堂练习：考点一：等腰三角形【例题】1．如图，已知AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAC=80°，则∠CAE的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．50°2．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．20°或100° B．120° C．20°或120° D．36°3．如图所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，有以下结论：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2014秋•西城区校级期中）已知：AD既是△ABC的角平分线又是BC边上的中线，DE⊥AB于E，DF ⊥AC于F，求证：BE=CF．5．（2015•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．6．（2015•应城市二模）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．7．如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．（1）用尺规作图的方法，过D 点作DM ⊥BE ，垂足是M （不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：BM=EM ．8．（1）如图1，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE ，连接BE ，CD ，判断BE 与CD 的大小关系为：BE_____CD ．（不需说明理由）（2）如图2，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向外作等腰△ABD 和等腰△ACE ，且顶角∠BAD ＝∠CAE ，连接BE 、CD ，BE 与CD 有什么数量关系？请说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B 、E 的距离．已经测得∠ABC ＝45°，∠CAE ＝90°，AB ＝BC ＝100米，AC ＝AE ，求BE 的长．9．如图，在ABC △中，AC =AB ，120=B AC ∠°，B E =A E ，D 为EC 中点．C D E B A（1）求CAE ∠的度数；（2）求证：A DE △是等边三角形【习题】1．（1）如图，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．求证：AD=BE ．（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM 为△DCE边DE上的高，连接BE．①求证：2CM+BE=AE；②若将图2中的△DCE绕点C旋转至图3所示位置，①中的结论还成立吗？若不成立，写出它们之间的数量关系．2．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE．（1）判断△CDE的形状，并说明理由．（2）若AO=12，求OE的长．3．（2014秋•嘉鱼县校级月考）如图所示，∠1=∠2，BD=CD，试证明△ABC是等腰三角形．4（2014秋•衡阳县校级月考）已知：如图所示，AD是△ABC的高，E为AD上一点，且BE=EC，求证：△ABC是等腰三角形．5．（2013秋•滨湖区校级期中）把一张对边平行的纸条，如图所示折叠，重合部分是什么形状？说明理由．6．（2012•温州模拟）在下列四个条件中：①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAE=∠CDE．请选出两个作为条件，得出△AED是等腰三角形（写出一个即可），并加以证明．已知：；求证：△AED是等腰三角形．7．（2012秋•文登市校级期中）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，P是直线BC上一点，CP=CD．求证：△DBP是等腰三角形．8．（2011秋•西城区校级期中）如图所示，已知Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD 延长线于E，BA、CE延长线相交于F点．求证：（1）△BCF是等腰三角形；（2）BD=2CE．9．（2010春•福安市期末）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．10．（2009春•东山县校级期末）△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是角平分线，ED⊥BC．①请你写出图中所有的等腰三角形；②若BC=10，求AB+AE的长．11．（2015春•龙口市期末）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．求证：△CDO是等腰三角形．考点二：直角三角形【例题】1．（2007春•南阳期末）如图：△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AD上，△ADC和△BDE是等腰三角形，EC=5cm，求AB的长．2．（2002•呼和浩特）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长．3．如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD=OE，AO的延长线交BC于点M，请你从图中找出几对全等的直角三角形，并说明理由．4．（2014•南岗区模拟）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE中点，连接MD，若BD=2，CD=1．则MD的长为．5．（2015春•白城校级期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，且BD=AD=10，∠ADC=60°，求△ABC的面积．6．（2015秋•岳池县期中）如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，求PD的长．【习题】1．（2010•大连校级自主招生）在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是度．2．（2007•包头）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6．沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为．3．（2015春•秦淮区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：CD⊥AB．4．（2015秋•武威校级月考）如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．5．（2015秋•周口校级月考）如图所示，将长方形ABCD沿DE折叠，使点C恰好落在BA边上，得到点C′，若∠C′EB=40°，求∠EDC′的度数．6．如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=152°，求∠EDF．7．（2015秋•威海期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，求BE的长．8．（2013秋•龙口市期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，若AD=6cm，求DC 的长．9．（2012•淮安）如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度数．10．（2015秋•建湖县期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，M、N分别是BD、AC的中点（1）求证：MN⊥AC；（2）若∠ADC=120°，求∠1的度数．11．（2015秋•东台市期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：（1）MD=MB；（2）MN⊥BD．12．（2015秋•绍兴校级期中）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED．（1）求证：△MED为等腰三角形；（2）若∠EMD=40°，求∠DAC的度数．13．（2014秋•无锡校级期末）已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点．求证：EF⊥BD．14．（2014秋•黄浦区期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边AC、BD的中点．（1）求证：MN⊥BD；（2）当∠BCA=15°，AC=10cm，OB=OM时，求MN的长．11。

学习过程一、复习预习1、什么是等腰三角形？2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形裁剪下来。

3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质二、知识讲解考点/易错点1如图△ABC中AB=AC请你说说等腰三角形的性质有哪些？1、等腰三角形两底角相等（等边对等角），2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(三线合一)。

考点/易错点2据三线合一，作这条辅助线有几种说法？有三种。

1、作顶角平分线2、底边上的高3、底边上的中线考点/易错点3等腰三角形的判定：1、等角对等边2、两边相等三、例题精析【例题1】【题干】如图位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处的遇险报警，当时测得∠A=∠B。

如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？【例题2】【题干】下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（）A、等腰三角形两底角相等B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C、等腰三角形是中心对称图形D、等腰三角形是轴对称图形【例题3】【题干】如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是（）A、9cmB、12cmC、15cm或12cmD、15cm【例题4】【题干】如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A 运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ 是等腰三角形时，运动的时间是（ ）A 、2.5秒B 、3秒C 、3.5秒D 、4秒【例题5】【题干】如图，在网格中有一个直角三角形（网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度），若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上，那么符合要求的新三角形有（ ）A ．4个B ．6个C ．7个D ．9个【例题6】【题干】如图，在ABC △中，13AB AC ==，10BC =，点D 为BC 的中点，DE AB ⊥，垂足为点E ，则DE 等于（）ED B AA．1013B．1513C．6013D．7513【例题7】【题干】如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D，E两点，并连接BD，DE．若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE的度数为何（）A、45B、52.5C、67.5D、75【例题8】【题干】在正方形网格图①．图②中各画一个等腰三角形．要求：每个等腰三角形的一个顶点为格点A，其余顶点从格点B．C．D．E．F．G．H中选取，并且所画的两个三角形不全等．【答案】解：【解析】可以以正方形的对边的顶点为等腰三角形的两个底边的顶点，以这两点连线的中垂线经过的点为顶角顶点，即可作出等腰三角形．四、课堂运用【基础】1.如图，矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）A、2个B、4个C、6个D、8个2.等腰三角形的两条边长分别为3、6，那么它的周长为（）A.15B.12C.12或15D.不能确定3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE=5，则AB的长为．4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则△ABC的外角∠BCD= 110 度．分析：根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB，根据三角形的内角和定理求出∠B，∠根据三角形的外角性质即可求出答案．【巩固】1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A、BD平分∠ABCB、△BCD的周长等于AB+BCC、AD=BD=BCD、点D是线段AC的中点2.等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 .3. 如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC的度数为．4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．（1）求∠DAC的度数；（2）求证：DC＝AB．【拔高】1.如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1=．2.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度．3.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．（1）求∠DAC的度数；（2）求证：DC=AB．4.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．．．．．．．．．．．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．课程小结课后作业【基础】1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，则∠A= ．2. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，则∠C=．3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF=度．【巩固】1.如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A= ．2. 如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线．求证：AC=AD；3.已知：如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC，求证：AB=AC．4.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．【拔高】1.腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为2. 如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连接A2B2…按此规律上去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠A n+1B n B n+1=θn，则（1）θ1= ；（2）θn= ．。

等腰三角形一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：● 通过观察发现等腰三角形的性质；● 掌握等腰三角形的识别方法，会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明； ● 理解等腰三角形与等边三角形的相互关系； ● 能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形； ● 掌握等边三角形的特征和识别方法； ● 掌握一般文字命题的解题方法．重点难点：● 重点：等腰三角形的性质与判定． ● 难点：比较复杂图形、题目的推理证明．学习策略：● 通过轴对称的特征，探索出等腰三角形的性质及判定方法；在等腰三角形的基础上，探索等边三角形的性质和判定，并在此基础上体会“含30°角的直角三角形的性质”．二、学习与应用（一）由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做．•成轴对称的两个图形中的任何一个可以看成由另一个图形经过 后得到． （二）轴对称变换的性质：（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的 、 完全一样．（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于 的对称点． 知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

（三）作一个图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：（1）作出一些关键点或特殊点的．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．（四）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是；点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是；点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是．（五）点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是；点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是．知识点一：等腰三角形、腰、底边有两边的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫，第三条边叫，两腰的夹角叫，底边和腰的夹角叫．如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫三角形，其中AB、AC 为，BC为，∠A是，∠B、∠C是．知识点二：等腰三角形的性质（一）性质1：等腰三角形的两个底角（简称“”）．性质2：等腰三角形的顶角、底边上的、底边上的互相重合（简称“”）．在△ABC 中，AB =AC ，如图所示．作底边BC 的高AD ，则有,.A B A C A D A D =⎧⎨=⎩∴ Rt △ABD ≌ ． ∴ ∠B =∠C ，∠1=∠2．BD =CD ． 于是性质1、性质2均得证． （三）说明：（1）①等腰三角形的性质1用符号表示为： ；②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角 的又一个重要依据．（2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：∵ AB =AC ，AD ⊥BC ，∠1=∠2，∴ ；或∵ AB =AC ，BD =CD ，∠l =∠2，∴ ．②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． （3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的 ，通常情况只有 条对称轴．知识点三：等腰三角形的判定定理（一）定理内容及证明如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也 （简称“ ”），如图所示．证明：在△ABC 中，∠B =∠C ，作AD ⊥BC 于D ．则______,________________,_______.BAD BAD∠=⎧⎪∠==⎨⎪=⎩所以△ABD≌△ACD（AAS）．所以，AB=AC．（二）注意：（1）本定理的符号表示为：在△ABC中，．（2）本定理可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据．另外，等腰三角形的性质和判定条件和结论正好相反，要注意区分，不要混淆．知识点四：等边三角形（一）等边三角形定义：三边都的三角形叫等边三角形，如图所示．（二）注意：（1）由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括三角形．（2）等边三角形具有三角形的一切性质．知识点五：等边三角形的性质（一）等边三角形的性质：等边三角形三个内角都，并且每一个内角都等于．（二）理由如下：如上图所示，由AB=AC可得，同样可得∠A=∠C，所以∠A=∠B=∠C．而∠A+∠B+∠C=．则有∠A=∠B=∠C=．知识点六：等边三角形的判定（一）等边三角形的判定：（1）三个角都的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的三角形是等边三角形．（1）如下图所示，若∠A=∠B=∠C，可由∠A=∠B得，；由∠A=∠C得，．所以AB=AC=BC．于是判定（1）成立．（2）如上图所示，在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则有∠B==，于是∠A=∠B=∠C．由判定（1）得△ABC是等边三角形；若∠B=60°，则∠B==，于是∠A=60°，∠A=∠B=∠C．由判定（1）得△ABC是等边三角形．所以判定（2）成立．知识点七：直角三角形性质定理（一）定理内容：在直角三角形中，如果有一个锐角是，那么它所对的直角边等于的一半．（二）证明：如图所示，∠ACB=90°，∠A=30°．延长BC至B'使C B C B'=，则有AC 垂直平分BB'，故AB AB'=．又可得∠B=60°．于是△ABB'是，故2AB BB BC'==，所以___________BC=．即定理成立．类型一：与度数有关的计算例1．在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度数．思路点拨：解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2=∠1+ ，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C=，所以把问题转化为欲找出∠2与∠B 之间有什么关系，变成△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了．总结升华：．举一反三：【变式1】如图，D、E在△ABC的边BC上，且BE=BA，CD=CA，若∠BAC=122°，求∠DAE的度数．DB C【变式2】△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE，∠BAD=30°，求∠EDC的度数．DC类型二：等腰三角形中的分类讨论例2．当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长．（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长．思路点拨：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“”，哪条边是“”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行讨论．总结升华：．举一反三：☆【变式1】当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数．☆【变式2】当高的位置关系不确定时，必须分类讨论等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为250，求这个三角形的各个内角的度数．☆【变式3】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为400，求底角B的度数．☆【变式4】由腰上的中线引起的分类讨论等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，求腰长．类型三：证明题例3．（2011山东德州）如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证AD=AE；（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．举一反三：☆【变式1】已知：如图，∠ABC，∠ACB的平分线交于F，过F作DE∥BC，交AB 于D，交AC于E．求证：BD+EC=DE．分析：因为DE=DF+ ，即结论为BD+EC=，分别证明BD=，CE=即可，于是运用“在同一三角形中，”易证结论成立．【变式2】已知，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ，CE 三等分∠ACB ，CD ⊥AB （如图所示）．求证：（1）AB =2BC ；（2）CE =AE =EB ．☆【变式3】已知：如图，ABC ∆中，AB ＝AC ，060=∠ABC ，AD ＝CE ，求BPD ∠的度数。

八年级《等腰三角形》数学教案4篇教案，也称课时计划，教师经过备课，以课时为单位设计的具体教学方案，教案是上课的重要依据，通常包括：班级、学科、课题、上课时间、课的类型、教学方法、教学目的、教学内容、课的进程和时间分配等。

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八年级《等腰三角形》数学教案1教学目标(一)教学知识点1.等腰三角形的概念.2.等腰三角形的性质.3.等腰三角形的概念及性质的应用.1.经历作(画)出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点.2.探索并掌握等腰三角形的性质.(三)情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯.教学重点1.等腰三角形的概念及性质.2.等腰三角形性质的应用.教学难点等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.教学方法探究归纳法.教具准备师：多媒体课件、投影仪;生：硬纸、剪刀.教学过程Ⅰ.提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形.来研究：①三角形是轴对称图形吗?②什么样的三角形是轴对称图形?[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是.[师]那什么样的三角形是轴对称图形?[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形.[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形.Ⅱ.导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形.作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形.[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点.[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形.现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本P138探究中的方法，•剪出一个等腰三角形.……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角.[师]有了上述概念，同学们来想一想.(演示课件)1.等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴.2.等腰三角形的两底角有什么关系?3.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?4.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?•底边上的高所在的直线呢?[生甲]等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系.[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等.[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线.[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴.[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴.[师]你们说的是同一条直线吗?大家来动手折叠、观察.[生齐声]它们是同一条直线.[师]很好.现在同学们来归纳等腰三角形的性质.[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高.[师]很好，大家看屏幕.(演示课件)等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”).[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质.同学们现在就动手来写出这些证明过程).(投影仪演示学生证明过程)[生甲]如右图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为所以BAD≌CAD(SSS).所以∠B=∠C.[生乙]如右图，在ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为所以BAD≌CAD.所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°.[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范.下面我们来看大屏幕.(演示课件)[例1]如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：ABC各角的度数.[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题.[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.再由三角形内角和为180°，•就可求出ABC的三个内角.[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉.如果我们在解的过程中把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷.(课件演示)[例]因为AB=AC，BD=BC=AD，所以∠ABC=∠C=∠BDC.∠A=∠ABD(等边对等角).设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°.在ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°.[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识.Ⅲ.随堂练习(一)课本P141练习1、2、3.练习1.如下图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.答案：(1)72°(2)30°2.如右图，ABC是等腰直角三角形(AB=AC，∠BAC=90°)，AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段?答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC，BD=DC=AD.3.如右图，在ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.答：∠B=77°，∠C=38.5°.(二)阅读课本P138～P140，然后小结.Ⅳ.课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用.等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等(等边对等角)，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高.我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们.Ⅴ.课后作业(一)课本P147─1、3、4、8题.(二)1.预习课本P141～P143.2.预习提纲：等腰三角形的判定.Ⅵ.活动与探究如右图，在ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E.求证：AE=CE.过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质.结果：证明：延长CD交AB的延长线于P，如右图，在ADP 和ADC中ADP≌ADC.∠P=∠ACD.又DE∥AP，∠4=∠P.∠4=∠ACD.DE=EC.同理可证：AE=DE.AE=CE.板书设计§14.3.1.1等腰三角形(一)一、设计方案作出一个等腰三角形二、等腰三角形性质1.等边对等角2.三线合一三、例题分析四、随堂练习五、课时小结六、课后作业八年级《等腰三角形》数学教案2一、教材的地位和作用现实生活中，等腰三角形的应用比比皆是.所以，利用“轴对称”的知识，进一步研究等腰三角形的特殊性质，不仅是现实生活的需要，而且从思想方法和知识储备上，为今后研究“四边形”和“圆”的性质打下坚实的基础.性质“等腰三角形的两个底角相等”是几何论证过程中，证明“两个角相等”的重要方法之一.“等腰三角形底边上的三条重要线段重合”的性质是今后证明“两条线段相等”“两条直线互相垂直”“两个角相等”等结论的重要理论依据.教学重点：1. 让学生主动经历思考和探索的过程.2. 掌握等腰三角形性质及其应用.教学难点：等腰三角形性质的理解和探究过程.二、学情分析本年级的学生已经研究过一般三角形的性质，积累了一定的经验，动手能力强，善于与同伴交流，这就为本节课的学习做好了知识、能力、情感方面的准备.不同层次的学生因为基础不同，在学习中必然会出现相异构想，这也将是我在教学过程中着重关注的一点.三、目标分析知识与技能1.了解等腰三角形的有关概念和掌握等腰三角形的性质2. 了解等边三角形的概念并探索其性质3. 运用等腰三角形的性质解决问题过程与方法1.通过观察等腰三角形的对称性，发展学生的形象思维.2.探索等腰三角形的性质时，经历了观察、动手实践、猜想、验证等数学过程，积累数学活动经验，发展了学生的归纳推理，类比迁移的能力. 在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑的进行讨论和质疑，提高了数学语言表达能力.情感态度价值观：1.通过情境创设，使学生感受到等腰三角形就在自己的身边，从而使学生认识到学习等腰三角形的必要性.2.通过等腰三角形的性质的归纳，使学生认识到科学结论的发现,是一个不断完善的过程，培养学生坚强的意志品质.3.通过小组合作，发展学生互帮互助的精神，体验合作学习中的乐趣和成就感.四、教法分析根据学生已有的认知，采取了激疑引趣——猜想探究——应用体验——建构延伸的教学模式，并利用多媒体辅助教学.教学过程教学过程设计意图同学们，我们在七年级已研究了一般三角形的性质，今天我们一起来探究特殊的三角形：等腰三角形.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角.腰和底边的夹角叫做底角.提出问题：生活中有哪些现象让你联想到等腰三角形?首先让学生明确：本学段的几何图形都是按一般的到特殊的顺序研究的.通过学生描述等腰三角形在生活中的应用，让学生感受到数学就在我们身边，以及研究等腰三角形的必要性.剪纸游戏你能利用手中的这个矩形纸片剪出一个等腰三角形吗? 注意安全呦!学情分析：大部分学生会有自己的想法，根据轴对称图形的性质，利用对折纸片，再“剪一刀”就是就得到了两条“腰”;可能还有的同学会利用正方形的折法，获得特殊的等腰直角三角形;可能还有同学先画图，再依线条剪得.在这个过程中，注重落实三维目标.让学生在获取新知的过程中更好的认识自我,建立自信.我不失时机的对学生给予鼓励和表扬，使活动更加深入,课堂充满愉悦和温馨.知其然，更重要的是知其所以然.因此，我力求让学生关注剪法的理性思考.我设计了问题:你是如何想到的? 为的是剖析学生的思维过程：“折叠”就是为了得到“对称轴”，“剪一刀”就是就得到了两条“腰”,由“重合”保证了“等腰”.这样就建立了“操作”与“证明”的中间桥梁.从实际操作中得到证明的方法，也为发现“三线合一”做了铺垫.提出问题：等腰三角形还有什么性质?请提出你的猜想，验证你的猜想?并填写在学案上.合作小组活动规则：1、有主记录员记录小组的结论;2、定出小组的主发言人(其它同学可作补充);3、小组探究出的结论是什么?4、说明你们小组所获得结论的理由.等腰三角形的性质：性质一：等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).性质二：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).学情分析：这个环节是本节课的重点，也是教学难点.尽管在教学过程中，因为学生的相异构想，数学猜想的初始叙述不准确，甚至不正确，但我不会立即去纠正他们，而是让同学们不断地质疑﹑辨析、研讨和归纳，逐渐完善结论.让他们真正经历数学知识的形成过程，真正的体现以人为本的教学理念，努力创设和谐的教育教学的生态环境.通过设置恰当的动手实践活动，引导学生经历观察、动手实践、猜想、验证等数学探究活动，这种探究的学习过程，恰恰是研究几何图形性质的一般规律和方法.(1)在此环节中，我的教学要充分把握好“四让”：能让学生观察的，尽量让学生观察;能让学生思考的，尽量让学生思考;能让学生表达的，尽量让学生表达;能让学生作结论的，尽量让学生作结论.这种教学方式，把学习的过程真正还给学生，不怕学生说不好，不怕学生出问题，其实学生说不好的地方、学生出问题的地方都正是我们应该教的地方，是教学的切入点、着眼点、增长点.(2)教师在这个过程中，充分听取和参与学生的小组讨论，对有困难的学生，及时指导.巩固知识1.等腰三角形顶角为70°,它的另外两个内角的度数分别为________;2.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个内角的度数分别为_____;3.等腰三角形一个角为100°,它的另外两个内角的度数分别为_____.内化知识1.如图1，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=120°你能求出∠BAD的度数吗?知识迁移等边三角形有什么特殊的性质?简单地叙述理由.等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°.拓展延伸如图2，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，AD=AE，你能说明BD=EC?由于学生之间存在知识基础、经验和能力的差异，我为学生提供了层次分明的反馈练习.将练习从易到难，从简到繁，以适应不同阶段、不同层次的学生的需要.让学生拾阶而上，逐步掌握知识，使学困生达到简单运用水平，中等生达到综合运用水平，优等生达到创建水平.畅谈收获总结活动情况，重在肯定与鼓励.引导学生从本课学习中所得到的新知识,运用的数学思想方法,新旧知识的联系等方面进行反思,提高学生自主建构知识网络、分析解决问题的能力.帮助学生梳理知识，回顾探究过程中所用到的从特殊到一般的数学方法，启发学生更深层次的思考，为学生的下一步学习做好铺垫.反思过程不仅是学生学习过程的继续，更重要的是一种提高和发展自己的过程.基础性作业：P65 习题1、2、3、4八年级《等腰三角形》数学教案3教学目标：【知识与技能】1、理解并掌握等腰三角形的性质。

中考数学一轮复习第18讲《等腰三角形》【考点解析】知识点一、等腰三角形的性质【例1（·贵州安顺·3分）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，解得，（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．【变式】（·黑龙江哈尔滨·3分）在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为或．【考点】等腰直角三角形．【分析】①如图1根据已知条件得到PB=BC=1，根据勾股定理即可得到结论；②如图2，根据已知条件得到PC=BC=1，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：①如图1，∵∠ACB=90°，AC=BC=3，∵PB=BC=1，∴CP=2，∴AP==，②如图2，∵∠ACB=90°，AC=BC=3，∵PC=BC=1，∴AP==，综上所述：AP的长为或，故答案为：或．知识点二、等腰三角形的内角的计算【例2】（新疆乌鲁木齐）等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是．【答案】120°．【分析】本题主要考虑与这个外角相邻的内角是顶角或是底角，利用内角和定理即可得解. 【解析】等腰三角形一个外角为60°，那相邻的内角为120°，三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，所以120°只可能是顶角．故答案为：120°．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用，此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．【变式】如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE= °．【答案】15.【解析】∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ACB=∠ABC=12（180°﹣50°）=65°.∵将△ABC折叠，使点A落在点B处，折痕为DE，∠A=50°，∴∠ABE=∠A=50°.∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=65°﹣50°=15°．知识点三、等腰三角形的多解问题【例3】（·湖北武汉）平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质【答案】A【解析】构造等腰三角形，①分别以A，B为圆心，以AB的长为半径作圆；②作AB的中垂线．如图，一共有5个C点，注意，与B重合及与AB共线的点要排除。