备战中考数学培优 易错 难题(含解析)之二次函数附答案解析

中考数学培优易错难题(含解析)之二次函数含答案解析一、二次函数1．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．（1）求抛物线的解析式；（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E点坐标为（1132+，﹣1132）；（3）点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝12CD＝CE．利用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，求解即可得出点Q的坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），∵x 12+x 22﹣x 1x 2＝13， ∴（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2＝13， ∴m 2+3（m +1）＝13， 即m 2+3m ﹣10＝0， 解得m 1＝2，m 2＝﹣5． ∵OA ＜OB ，∴抛物线的对称轴在y 轴右侧， ∴m ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3； （2）连接BE 、OE ．∵在Rt △BCD 中，∠CBD ＝90°，EC ＝ED ， ∴BE ＝12CD ＝CE ． 令y ＝x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3， ∴A （﹣1，0），B （3，0）， ∵C （0，﹣3）， ∴OB ＝OC ，又∵BE ＝CE ，OE ＝OE ， ∴△OBE ≌△OCE （SSS ）， ∴∠BOE ＝∠COE ，∴点E 在第四象限的角平分线上，设E 点坐标为（m ，﹣m ），将E （m ，﹣m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3， 得m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ＝1132±， ∵点E 在第四象限， ∴E 113+113+）； （3）过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ，连接CF ，则S △ACQ ＝S △ACF ．∵S△ACQ＝2S△AOC，∴S△ACF＝2S△AOC，∴AF＝2OA＝2，∴F（1，0）．∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．∵AC∥FQ，∴设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，得0＝﹣3+b，解得b＝3，∴直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3．联立22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，解得113 12x y =-⎧⎨=⎩，2223xy=⎧⎨=-⎩，∴点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．2．如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=12x2+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.（1）求点B 的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE：EP=1：4 时，求点E 的坐标；（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到OC ′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接C ′D、C′B，求C ′B+ 23C′D 的最小值．【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=12x2-x-32；（2）E(1，6)；（3）C′B＋2 3C′D4103【解析】试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得AE AP =AGAF=EGPF=15，从而求出E的坐标；（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝23C′D，由C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．试题解析：解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-122b=1，∴b=-1．∵抛物线过点A（-1，0），∴12-b+c=0，解得：c=-32，即：抛物线的表达式为：y=12x2-x-32．令y=0，则12x2-x-32=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AEAP =AGAF=EGPF=15．又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则OM＝43，BM＝2243()3+＝973．∵423'23OMOC==，'23OCOD=，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴'2'3MCC D=，∴MC′＝23C′D，∴C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BM＝4103，∴C′B＋23C′D的最小值为4103．点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：2y mx2mx3m=--（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值． 【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．（2）存在．S △PBC 最大值为2716（3）2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值． 【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=． ∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠）， 把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -）， ∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+． ∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+， 解得：12m =22m =(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+， 解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ．综上所述，2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．4．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=-+-，()22AC [01](30)10=--+-=()22AM [11](m 0)=--+-AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中，得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．Q 抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+， ∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=，∴直线BC 的解析式为3y x =-+． Q 当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=()22[11](0)AM m =--+-分三种情况考虑：①当90AMC ∠=o 时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=o 时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭；③当90CAM ∠=o 时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-，∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC V 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，列出关于m 的方程．5．如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于A (1,0)-，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点221(6)()82x x -+=，点P 是抛物线上一动点． （1）求抛物线解析式及点D 的坐标；（2）点E 在x 轴上，若以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P 的坐标；（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将CPQ V沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++；点D 坐标为(32)，； （2）P 1(0,2)； P 2(412,-2)；P 3(3412-,-2) ; （3）满足条件的点P 有两个，其坐标分别为：（13， -9+13），（13-，-9-13）． 【解析】 【分析】1)用待定系数法可得出抛物线的解析式,令y=2可得出点D 的坐标(2)分两种情况进行讨论,①当AE 为一边时,AE ∥PD,②当AE 为对角线时,根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等,求解点P 坐标(3)结合图形可判断出点P 在直线CD 下方,设点P 的坐标为(a ，213222a a -++),分情况讨论,①当P 点在y 轴右侧时,②当P 点在y 轴左侧时,运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可 【详解】解：（1）∵抛物线22y ax bx =++经过A (10)-，，B (40)，两点， ∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：12a =-，32b =，∴抛物线解析式为：213222y x x =-++； 当2y =时，2132222x x -++=，解得：13x =，20x =（舍），即：点D 坐标为(32)，．（2）∵A ，E 两点都在x 轴上，∴AE 有两种可能：①当AE 为一边时，AE ∥PD ，此时点P 与点C 重合（如图1），∴1(0,2)P ，②当AE 为对角线时，P 点、D 点到直线AE （即x 轴）的距离相等， ∴P 点的纵坐标为2-（如图2），把2y =-代入抛物线的解析式，得：2132222x x -++=-，解得：13412x+ =，23412x-=，∴P点的坐标为3+41(2)2-，，341(2)2--，，综上所述：1(0,2)P；2P3+41(2)2-，；3P341(2)--，．（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，213222a a-++），①当P点在y轴右侧时（如图3），pCQ x a==，2132(2)22c pPQ y y a a=-=--++=21322a a-，又∵CQ O FQ P''∠+∠=18018090CQ P PQC'︒-∠=︒-∠=︒，90CQ O OCQ''∠+∠=︒∴FQ P OCQ''∠=∠,又90COQ Q FP''∠=∠=︒，∴COQ Q FP''V:V，∴'''Q C Q PCO Q F=，∵Q C CQ a'==，2CO=，Q P PQ'==21322a a-，∴213222'a aaQ F-=，∴'3Q F a=-，∴(3)OQ OF Q F a a''=-=--3=，CQ＝CQ'2222'2313CO OQ+=+=即13a=，∴点p13913-+），②当p点在y轴左侧时（如图4），此时0a <，2132022a a -++<，CQ ＝P x ＝a -， PQ ＝2－（213222a a -++）＝21322a a -， 又∵90CQ O FQ P CQ P PQC '''∠+∠=∠=∠=︒，90CQ O OCQ ''∠+∠=︒， ∴FQ P OCQ ''∠=∠，又90COQ Q FP ''∠=∠=︒∴COQ Q FP ''V :V ，∴'''Q C Q P CO Q F=， ∵Q C CQ a '==-，2CO =，Q P PQ '==21322a a -， ∴213222'a a a Q F--=，∴'3Q F a =-， ∴3()3OQ Q F OF a a ''=-=---=，CQ ＝CQ '2222'2313CO OQ +=+= 此时13a =P 的坐标为（13913--）． 综上所述，满足条件的点P 139132-+），（13-913--）． 【点睛】此题考查二次函数综合题，解题关键在于运用待定系数法的出解析式，难度较大6．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；（2）点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；（3）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，﹣1）；（3）42【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如图1，设D（2，y），利用两点间的距离公式得到BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，然后讨论：当BD为斜边时得到18+4+（y﹣3）2=1+y2；当CD 为斜边时得到4+（y﹣3）2=1+y2+18，再分别解方程即可得到对应D的坐标；（3）先证明∠CEF=90°得到△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，则PE 2，PF2，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），接着利用t表示PF、PE，这样PE+EF=2PE+PF=﹣2t22，然后利用二次函数的性质解决问题．试题解析：解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得：9303b cc++=⎧⎨=⎩，解得：43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线y=x2+bx+c的表达式为y=x2﹣4x+3；（2）如图1，抛物线的对称轴为直线x=﹣42-=2，设D（2，y），B（3，0），C（0，3），∴BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y﹣3）2=1+y2，解得：y=5，此时D点坐标为（2，5）；当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即4+（y﹣3）2=1+y2+18，解得：y=﹣1，此时D点坐标为（2，﹣1）；（3）易得BC的解析式为y=﹣x+3．∵直线y=x+m与直线y=x平行，∴直线y=﹣x+3与直线y=x+m垂直，∴∠CEF=90°，∴△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，PE=22PG，PF=2PH，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），∴PF=2PH=2t，PG=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t，∴PE=2PG=﹣2t2+32t，∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣2t2+32t+2t=﹣2t2+42t=﹣2（t﹣2）2+42，当t=2时，PE+EF的最大值为42．点睛：本题考查了二次函数的综合题．熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．7．如图，已知抛物线经过原点O，顶点A（1，﹣1），且与直线y＝kx+2相交于B（2，0）和C两点（1）求抛物线和直线BC的解析式；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）抛物线上存在点E（点E不与点A重合），使∠BCE＝∠ACB，求出点E的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BDF是等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x，y＝﹣x+2；（2）详见解析；（3）E（5524,）；（4）符合条件的点F的坐标（17171，71，27【解析】【分析】（1）将B（2，0）代入设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，求得a，将B（2，0）代入y ＝kx+2，求得k；（2）分别求出AB 2、BC 2、AC 2，根据勾股定理逆定理即可证明；（3）作∠BCE ＝∠ACB ，与抛物线交于点E ，延长AB ，与CE 的延长线交于点A '，过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ，设二次函数对称轴于x 轴交于点G ．根据对称与三角形全等，求得A '（3，1），然后求出A 'C 解析式，与抛物线解析式联立，求得点E 坐标；（4）设F （1，m ），分三种情况讨论：①当BF ＝BD 时，2122m +=，②当DF ＝BD 时，24522m m -+=，③当BF ＝DF 时，22145m m m +=-+，m ＝1，然后代入即可．【详解】（1）设抛物线解析式y ＝a （x ﹣1）2﹣1，将B （2，0）代入，0＝a （2﹣1）2﹣1，∴a ＝1，抛物线解析式：y ＝（x ﹣1）2﹣1＝x 2﹣2x ，将B （2，0）代入y ＝kx +2，0＝2k +2，k ＝﹣1，∴直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2；（2）联立222y x y x x =-+⎧⎨=-⎩， 解得1113x y =-⎧⎨=⎩，2220x y =⎧⎨=⎩， ∴C （﹣1，3），∵A （1，﹣1），B （2，0），∴AB 2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，AC 2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，BC 2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18，∴AB 2+BC 2＝AC 2，∴△ABC 是直角三角形；（3）如图，作∠BCE ＝∠ACB ，与抛物线交于点E ，延长AB ，与CE 的延长线交于点A '，过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ，设二次函数对称轴于x 轴交于点G ．∵∠BCE ＝∠ACB ，∠ABC ＝90°，∴点A 与A '关于直线BC 对称，AB ＝A 'B ，可知△AFB ≌△A 'HB （AAS ），∵A （1，﹣1），B （2，0）∴AG ＝1，BG ＝OG ＝1，∴BH ＝1，A 'H ＝1，OH ＝3，∴A '（3，1），∵C （﹣1，3），∴直线A 'C ：1522y x =-+， 联立：215222y x y x x⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或5254x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴E （52，54）； （4）∵抛物线的对称轴：直线x ＝1，∴设F （1，m ），直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2；∴D （0，2）∵B （2，0），∴BD ＝12x xBF ==DF ==①当BF ＝BD=m ＝∴F 坐标（11②当DF ＝BD=，m ＝∴F 坐标（1，1，2③当BF ＝DF，m ＝1，F （1，1），此时B 、D 、F 在同一直线上，不符合题意．综上，符合条件的点F的坐标（1，7）或（1，﹣7）或（1，2+7）或（1，2﹣7）．【点睛】考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（2，2）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴10930b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴所求的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，连接PC，PE．抛物线的对称轴为x＝222(1)ba-=-⨯-＝1．当x＝1时，y＝4，∴点D的坐标为（1，4）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，则430 k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得26kb=-⎧⎨=⎩．∴直线BD的解析式为：y＝2x+6，设点P的坐标为（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），则PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC＝PE，∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x＝2，则y＝﹣2×2+6＝2，∴点P的坐标为（2，2）．【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．9．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是85s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，∴当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．考点：二次函数的应用．10．如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明理由；（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．为直角三角形；【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB(Ⅲ)22333(0)221933(3)222t t t S t t t ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪=-+<<⎪⎩. 【解析】【分析】（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B ，C 的坐标． （2）分别求出△CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形． （3）△COB 沿x 轴向右平移过程中，分两个阶段：①当0＜t≤32时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形； ②当32＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形． 【详解】解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()21y x c =--+上， ∴()2011c =---+，得4c = ∴抛物线解析式为：()214y x =--+， 令0x =，得3y =，∴()0,3C ；令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B .(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形.理由如下：由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4.如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=.过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ∆中，由勾股定理得：BC === 在Rt CND ∆中，由勾股定理得：CD == 在Rt BMD ∆中，由勾股定理得：BD ===. ∵222BC CD BD +=，∴CDB ∆为直角三角形.(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+， ∵()()3,0,0,3B C ， ∴303k b b +=⎧⎨=⎩，解得1,3k b =-=， ∴3y x =-+，直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到，∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++； 设直线BD 的解析式为y mx n =+， ∵()()3,0,1,4B D ，∴304m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：2,6m n =-=，∴26y x =-+.连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ⎛⎫⎪⎝⎭. 在COB ∆向右平移的过程中： (1)当302t <≤时，如答图2所示：设PQ 与BC 交于点K ，可得QK CQ t ==，3PB PK t ==-. 设QE 与BD 的交点为F ，则：263y x y x t =-+⎧⎨=-++⎩.解得32x ty t =-⎧⎨=⎩， ∴()3,2F t t -.111222QPE PBKFBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ∆∆∆=--=⋅-⋅-⋅ ()221113333232222t t t t t =⨯⨯---⋅=-+. (2)当332t <<时，如答图3所示：设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J . ∵CQ t =，∴KQ t =，3PK PB t ==-.直线BD 解析式为26y x =-+，令x t =，得62y t =-， ∴(),62J t t -.1122PBJ PBK S S S PB PJ PB PK ∆∆=-=⋅-⋅ ()()()211362322t t t =---- 219322t t =-+. 综上所述，S 与t 的函数关系式为：2233302219333222t t t S t t t ⎧⎛⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩.11．如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是 ______；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ______．【答案】（1）()2,9；（2）①95DP =②92155n <<. 【解析】 【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可； （2）由对称轴可知点C （2，95），A （-52，0），点A 关于对称轴对称的点（132，0），借助AD 的直线解析式求得B （5，3）；①当n=275时，N （2，275），可求95，DN=185，CD=365，当PQ ∥AB 时，△DPQ ∽△DAB ，5；当PQ 与AB 不平行时，5②当PQ ∥AB ，DB=DP 时，5DN=245，所以N （2，215），则有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，95＜n ＜215. 【详解】（1）顶点为()2,9D ； 故答案为()2,9； （2）对称轴2x =，9(2,)5C ∴，由已知可求5(,0)2A -，点A 关于2x =对称点为13(,0)2， 则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+，(5,3)B ∴，①当275n =时，27(2,)5N ，DA ∴=，182DN =，365CD = 当PQ AB ∥时，PDQ DAB ∆∆:，DAC DPN ∆∆Q :，DP DN DA DC∴=，DP ∴=当PQ 与AB 不平行时，DPQ DBA ∆∆:，DNQ DCA ∴∆∆:，DP DNDB DC∴=，DP ∴=综上所述DP = ②当PQ AB ∥，DB DP =时，DB =DP DNDA DC∴=， 245DN ∴=， 21(2,)5N ∴， ∴有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，92155n <<； 故答案为92155n <<； 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C （0，﹣43），OA=1，OB=4，直线l 过点A ，交y 轴于点D ，交抛物线于点E ，且满足tan ∠OAD=34． （1）求抛物线的解析式；（2）动点P 从点B 出发，沿x 轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，动点Q 从点A 出发，沿射线AE 以每秒1个单位长度的速度向点E 运动，当点P 运动到点A 时，点Q 也停止运动，设运动时间为t 秒．①在P 、Q 的运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得△ADC 与△PQA 相似，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．②在P 、Q 的运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得△APQ 与△CAQ 的面积之和最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=21433x x +-；（2）①存在t=10047或t=3534，使得△ADC 与△PQA 相似；②当t=139时，△APQ 与△CAQ 的面积之和最大. 【解析】分析：（1）应用待定系数法求解析式（2）①分别用t 表示△ADC 、△PQA 各边，应用分类讨论相似三角形比例式，求t 值； ②分别用t 表示△APQ 与△CAQ 的面积之和，讨论最大值． 详解：（1）∵OA=1，OB=4， ∴A （1，0），B （﹣4，0），设抛物线的解析式为y=a （x+4）（x ﹣1）， ∵点C （0，﹣43）在抛物线上， ∴﹣4=4(1)3a ⨯⨯-， 解得a=13.∴抛物线的解析式为y=2114(4)(1)333x x x x +-=+-. （2）存在t ，使得△ADC 与△PQA 相似．理由：①在Rt △AOC 中，OA=1，OC=43， 则tan ∠ACO=34OA OC =， ∵tan ∠OAD=34， ∴∠OAD=∠ACO ， ∵直线l 的解析式为y=3(1)4x -， ∴D （0，﹣34）， ∵点C （0，﹣43），∴CD=4373412-=，由AC 2=OC 2+OA 2，得AC=53， 在△AQP 中，AP=AB ﹣PB=5﹣2t ，AQ=t ， 由∠PAQ=∠ACD ，要使△ADC 与△PQA 相似，只需AP CD AQ AC =或AP ACAQ CD=， 则有7521253t t -=或5523712t t -=， 解得t 1=10047，t 2=3534，∵t 1＜2.5，t 2＜2.5，∴存在t=10047或t=3534，使得△ADC 与△PQA 相似；②存在t ，使得△APQ 与△CAQ 的面积之和最大， 理由：作PF ⊥AQ 于点F ，CN ⊥AQ 于N ，在△APF 中，PF=AP•sin ∠PAF=352)5t -（， 在△AOD 中，由AD 2=OD 2+OA 2，得AD=54， 在△ADC 中，由S △ADC =11··22AD CN CD OA = ， ∴CN=71·7125154CD OA AD ⨯==， ∴S △AQP +S △AQC =21137313169()[(52)]()2251559135AQ PF CN t t t +=--+=--+ ，∴当t=139时，△APQ 与△CAQ 的面积之和最大.点睛：本题为代数、几何综合题，考查待定系数法、相似三角形判定、二次函数最值，应用了分类讨论和数形结合思想．13．如图，已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠过点3,-3) 和3,0)，过点A 作直线AC//x 轴，交y 轴与点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P ，过点P 作直线AC 的垂线，垂足为D ，连接OA ，使得以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似，求出对应点P 的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）213322y x x =-；（2）P 点坐标为（3）或（833,- 43）；（3）Q 点坐标（30）或（315） 【解析】 【分析】（1）把A 与B 坐标代入抛物线解析式求出a 与b 的值，即可确定出解析式；（2）设P 坐标为2133,2x x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，表示出AD 与PD ，由相似分两种情况得比例求出x 的值，即可确定出P 坐标；（3）存在，求出已知三角形AOC 边OA 上的高h ，过O 作OM ⊥OA ，截取OM=h,与y 轴交于点N ，分别确定出M 与N 坐标，利用待定系数法求出直线MN 解析式，与抛物线解析式联立求出Q 坐标即可． 【详解】（1）把3A 3)-和点(33B 0)代入抛物线得：33327330a b a b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩，解得：12a =，332b =-， 则抛物线解析式为213322y x x =-； （2）当P 在直线AD 上方时，设P 坐标为2133,22x x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则有3AD x =2133322PD x x =-+， 当OCA ADP ∆∆∽时，OC CA AD DP =2331333x x x =--+， 整理得：239318236x x x -+=-，即23113240x x -+=， 解得：11353x ±=，即83x =或3x =此时83(3P ，4)3-；当OCA PDA ∆∆∽时，OC CA PD AD =，即2313333x x x =--+， 整理得：23963663x x x -+=-，即253120x x -+=， 解得：5333x ±=，即43x =或3（舍去）， 此时(43P ，6)；当点()0,0P 时，也满足OCA PDA ∆∆∽； 当P 在直线AD 下方时，同理可得：P 的坐标为43(3，10)3-，综上，P 的坐标为83(，4)3-或(43，6)或43(，10)3-或()0,0；（3）在Rt AOC ∆中，3OC =，3AC =，根据勾股定理得：23OA =，Q 11··22OC AC OA h =， 32h ∴=， 1333AOC AOQ S S ∆∆==Q ， AOQ ∴∆边OA 上的高为92， 过O 作OM OA ⊥，截取92OM =，过M 作//MN OA ，交y 轴于点N ，如图所示：在Rt OMN ∆中，29ON OM ==，即()0,9N ， 过M 作MH x ⊥轴，在Rt OMH ∆中，1924MH OM ==，39324OH OM ==，即93(4M ，9)4， 设直线MN 解析式为9y kx =+，把M 坐标代入得：99394k =+，即3k =-，即39y x =-+， 联立得：2391332y x y x x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩，解得：330x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2315x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，即(33Q ，0)或(23-，15)，则抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，此时点Q 的坐标为(33，0)或(23-，15)．【点睛】二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．14．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，已知经过点的直线的表达式为．（1）求抛物线的函数表达式及其顶点的坐标；（2）如图①，点是线段上的一个动点，其中，作直线轴，交直线于，交抛物线于，作∥轴，交直线于点，四边形为矩形．设矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求为何值时周长最大；（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点，使点构成的三角形是以为腰的等腰三角形．若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．图① 图②【答案】（1）抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，顶点C坐标为（-1,4）；（2）L=-4m2-12m=-4（m+）2+9；当m=-时，最大值L=9；（3）点Q的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．【解析】试题分析：（1）由直线经过A、B两点可求得这两点的坐标，然后代入二次函数解析式即可求出b、c的值，从而得到解析式，进而得到顶点的坐标；（2）由题意可表示出D、E的坐标，从而得到DE的长，由已知条件可得DE=EF，从而可表示出矩形DEFG的周长L，利用二次函数的性质可求得最大值；（3）分别以点A、点B为圆心，以AB长为半径画圆，圆与对称轴的交点即为所求的点．试题解析：（1）直线y=x+3与x轴相交于A（-3,0 ），与y轴相交于B（0,3）抛物线y=-x2+bx+c经过A（-3,0 ），B（0,3），所以，,∴，所以抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4,所以，顶点坐标为C（-1,4）．（2）因为D在直线y=x+3上，∴D（m,m+3）．因为E在抛物线上，∴E（m，-m2-2m+3）．DE=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m．由题意可知，AO=BO,∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45°，∴DE=EF．L=4DE=-4m2-12m．L=-4m 2-12m=-4（m+）2+9． ∵a=-4<0,∴二次函数有最大值当m=-时，最大值L=9．（3）点Q 的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）． 考点：1、待定系数法；2、正方形的判定；3、二次函数的性质的应用；4、等腰三角形．15．已知二次函数y=﹣316x 2+bx+c 的图象经过A （0，3），B （﹣4，﹣92）两点． （1）求b ，c 的值．（2）二次函数y=﹣316x 2+bx+c 的图象与x 轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况． 【答案】（1）983b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．【解析】【分析】（1）把点A 、B 的坐标分别代入函数解析式求得b 、c 的值；（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x 轴有交点，由题意得到方程﹣239168x x ++3=0，通过解该方程求得x 的值即为抛物线与x 轴交点横坐标． 【详解】（1）把A （0，3），B （﹣4，﹣92）分别代入y=﹣316x 2+bx+c ， 得339164162c b c =⎧⎪⎨-⨯-+=-⎪⎩， 解得983b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣316x 2+98x+3， △=（98）2﹣4×（﹣316）×3=22564＞0， 所以二次函数y=﹣316x 2+bx+c 的图象与x 轴有公共点， ∵﹣316x 2+98x+3=0的解为：x 1=﹣2，x 2=8，∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系．。

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=-+-，()22AC [01](30)10=--+-=()22AM [11](m 0)=--+-AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中，得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=，∴直线BC 的解析式为3y x =-+．当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=()22[11](0)AM m =--+-分三种情况考虑：①当90AMC ∠=时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭；③当90CAM ∠=时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-，∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，列出关于m 的方程．2．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数（）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标． 【答案】（1）；（2）E 的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；（3），（，）．【解析】试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；（2）先求得直线BC的解析式为，则可设E（m，），然后分三种情况讨论即可求得；（3）利用△PBD的面积即可求得．试题解析：（1）∵二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C （8，0）两点，∴，解得：，∴该二次函数的解析式为；（2）由二次函数可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为，∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设E（m，），当DC=CE时，，即，解得，（舍去），∴E（，）；当DC=DE时，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；当EC=DE时，，解得=，∴E（，）．综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为：，∵△PBD的面积===，∴当m=时，△PBD 的最大面积为，∴点P 的坐标为（，）．考点：二次函数综合题．3．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． 【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）. （2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）. ②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解. 【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0），∴2a 1b12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=， ∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3). 又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭.∵a 10<=-，-3302<<- ∴线段QD 长度的最大值为94.4．已知二次函数的图象以A （﹣1，4）为顶点，且过点B （2，﹣5） （1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A 、B 两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x 2﹣2x+3；（2）抛物线与x 轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15. 【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y 轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x 轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x 轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x 轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积． 【详解】（1）设抛物线顶点式y=a （x+1）2+4， 将B （2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x 2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y 轴的交点为：（0，3）， 令y=0，﹣x 2﹣2x+3=0，解得：x 1=﹣3，x 2=1， 即抛物线与x 轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）； （3）设抛物线与x 轴的交点为M 、N （M 在N 的左侧）， 由（2）知：M （﹣3，0），N （1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M 与O 重合，因此抛物线向右平移了3个单位， 故A'（2，4），B'（5，﹣5）， ∴S △OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.5．我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是()2y=ax bx a 0+≠。

2020-2021备战中考数学培优易错难题(含解析)之二次函数含答案解析一、二次函数1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），, 解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直线AC解析式为：y=3x+3.（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若点E在x轴正半轴上，设直线CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直线CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐标为（1，0）.②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7 即E（-7，0），综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，∴MN=PM=3e+3，∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），解得：e=−，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．2．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【答案】（1）二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=94；②P（2，﹣3）或（22﹣2）．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3； （2）设BC 的解析式为y=kx+b ， 将B ，C 的坐标代入函数解析式，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， BC 的解析式为y=x ﹣3，设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3）， PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+94， 当n=32时，PM 最大=94； ②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2， 解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2， n 2﹣2n ﹣3=-3， P （2，-3）；当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2（不符合题意，舍），n 3， n 2﹣2n ﹣， P （，综上所述：P （2，﹣3）或（，2﹣）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值． 【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．（2）存在．S △PBC 最大值为2716（3）2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值． 【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=． ∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--．设P （p ，213p p 22--），∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -）， ∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+． ∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+， 解得：12m 2=-,22m 2=(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+， 解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ． 综上所述，2m =-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．5．如图，过()A 1,0、()B 3,0作x 轴的垂线，分别交直线y 4x =-于C 、D 两点.抛物线2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点．()1求抛物线的表达式；()2点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；()3若AOC V 沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上，且不与点D 重合)，在平移的过程中AOC V 与OBD V 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．【答案】（1）2413y x x 33=-+；（2）32332+332-；（3）13． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3．设点M 的横坐标为x ，则求出MN =|43x 2﹣4x |；解方程|43x 2﹣4x |=3，求出x 的值，即点M 横坐标的值；（3）设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），利用平移性质求出S 的表达式：S 16=-（t ﹣1）213+；当t =1时，s 有最大值为13． 【详解】（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）．∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx ，∴3931a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得43133a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的表达式为：y 43=-x 2133+x ． （2）存在．设直线OD 解析式为y =kx ，将D （3，1）代入，求得k 13=，∴直线OD 解析式为y 13=x ． 设点M 的横坐标为x ，则M （x ，13x ），N （x ，43-x 2133+x ），∴MN =|y M ﹣y N |=|13x ﹣（43-x 2133+x ）|=|43x 2﹣4x |． 由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3，∴|43x 2﹣4x |=3． 若43x 2﹣4x =3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：x =或x = 若43x 2﹣4x =﹣3，整理得：4x 2﹣12x +9=0，解得：x 32=，∴存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：32． （3）∵C （1，3），D （3，1），∴易得直线OC 的解析式为y =3x ，直线OD 的解析式为y 13=x ． 如解答图所示，设平移中的三角形为△A 'O 'C '，点C '在线段CD 上． 设O 'C '与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ；设A 'C '与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q ．设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），则图中AF =t ，F （1+t ，0），Q （1+t ，1133+t ），C '（1+t ，3﹣t ）．设直线O 'C '的解析式为y =3x +b ，将C '（1+t ，3﹣t ）代入得：b =﹣4t ，∴直线O 'C '的解析式为y =3x ﹣4t ，∴E （43t ，0）． 联立y =3x ﹣4t 与y 13=x ，解得：x 32=t ，∴P （32t ，12t ）． 过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则PG 12=t ，∴S =S △OFQ ﹣S △OEP 12=OF •FQ 12-OE •PG 12=（1+t ）（1133+t ）12-•43t •12t 16=-（t ﹣1）213+当t =1时，S 有最大值为13，∴S 的最大值为13．【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN =AC =3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题的关键是求出S 的表达式，注意图形面积的计算方法．6．在平面直角坐标系中，有两点(),A a b 、(),B c d ，若满足：当a b ≥时，c a =，2d b =-；当a b <时，c a <-，d b <，则称点为点的“友好点”.（1）点()4,1的“友好点”的坐标是_______.（2）点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，点B 是点A 的“友好点”.①当B 点与A 点重合时，求点A 的坐标.②当A 点与A 点不重合时，求线段AB 的长度随着a 的增大而减小时，a 的取值范围. 【答案】（1）()41-,；（2）①点A 的坐标是()2,0或()1,1-；②当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小； 【解析】 【分析】（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用 “友好点”定义求出B 点坐标，A 点又在直线2y x =-上，得到2b a =-；①当点A 和点B 重合，得2b b =-．解出即可，②当点A 和点B 不重合， 1a ≠且2a ≠．所以对a 分情况讨论，1°、当1a <或2a >时，()222313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当a ≤32时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取1a <．2°当12a <<时，()22231+3224AB b b a a a ⎛⎫=--=--=--+⎪⎝⎭，当32a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取322a ≤<． 综上，当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【详解】（1）点()4,1，4＞1，根据“友好点”定义，得到点()4,1的“友好点”的坐标是()41-, （2）Q 点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，∴2b a =-．Q 2a a >-，根据友好点的定义，点B 的坐标为()2,B a b -，①当点A 和点B 重合，∴2b b =-． 解得0b =或1b =-． 当0b =时，2a =；当1b =-时，1a =，∴点A 的坐标是()2,0或()1,1-．②当点A 和点B 不重合，1a ≠且2a ≠．当1a <或2a >时，()222313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝⎭． ∴当a ≤32时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取1a <．当12a <<时， ()22231+3224AB b b a a a ⎛⎫=--=--=--+ ⎪⎝⎭ ．∴当32a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小，∴取322a ≤<． 综上，当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【点睛】本题属于阅读理解题型，结合二次函数的基本性质进行解题，第二问的第二小问的关键是求出AB 的长用a 进行表示，然后利用二次函数基本性质进行分类讨论7．如图，已知直线y ＝﹣2x +4分别交x 轴、y 轴于点A 、B ．抛物线过A 、B 两点，点P 是线段AB 上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交抛物线于点D ． （1）如图1，设抛物线顶点为M ，且M 的坐标是（12，92），对称轴交AB 于点N ． ①求抛物线的解析式；②是否存在点P ，使四边形MNPD 为菱形？并说明理由；（2）是否存在这样的点D ，使得四边形BOAD 的面积最大？若存在，求出此时点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①y ＝﹣2x 2+2x +4；；②不存在点P ，使四边形MNPD 为菱形；；（2）存在，点D 的坐标是（1，4）． 【解析】 【分析】（1）①由一次函数图象上点的坐标特征求得点B 的坐标，设抛物线解析式为y ＝a 21922x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，把点B 的坐标代入求得a 的值即可； ②不存在点P ，使四边形MNPD 为菱形．设点P 的坐标是（m ，﹣2m+4），则D （m ，﹣2m 2+2m+4），根据题意知PD ∥MN ，所以当PD ＝MN 时，四边形MNPD 为平行四边形，根据该等量关系列出方程﹣2m 2+4m ＝32，通过解方程求得m 的值，易得点N 、P 的坐标，然后推知PN ＝MN 是否成立即可；（2）设点D 的坐标是（n ，﹣2n 2+2n+4），P （n ，﹣2n+4）．根据S 四边形BOAD ＝S △BOA +S △ABD＝4+S△ABD，则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．根据三角形的面积公式得到函数S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函数的性质求得最值．【详解】解：①如图1，∵顶点M的坐标是19,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴设抛物线解析式为y＝21922a x⎛⎫-+⎪⎝⎭（a≠0）．∵直线y＝﹣2x+4交y轴于点B，∴点B的坐标是（0，4）．又∵点B在该抛物线上，∴21922a⎛⎫-+⎪⎝⎭＝4，解得a＝﹣2．故该抛物线的解析式为：y＝219222x⎛⎫--+⎪⎝⎭＝﹣2x2+2x+4；②不存在．理由如下：∵抛物线y＝219222x⎛⎫--+⎪⎝⎭的对称轴是直线x＝12，且该直线与直线AB交于点N，∴点N的坐标是1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴93322MN=-=．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．∵PD∥MN．当PD＝MN时，四边形MNPD是平行四边形，即﹣2m2+4m＝32．解得 m1＝12（舍去），m2＝32．此时P（32，1）．∵PN∴PN≠MN，∴平行四边形MNPD不是菱形．∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）存在，理由如下：设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），∵点P在线段AB上且直线PD⊥x轴，∴P（n，﹣2n+4）．由图可知S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD．其中S△BOA＝12OB•OA＝12×4×2＝4．则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．S△ABD＝12（y D﹣y P）（x A﹣x B）＝y D﹣y P＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）＝﹣2n2+4n＝﹣2（n﹣1）2+2．当n＝1时，S△ABD取得最大值2，S四边形BOAD有最大值．此时点D的坐标是（1，4）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．8．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x =+.（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--.【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203ba abc c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+. ∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩，∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得：1317t +=，2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．9．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x 2+4x 刻画，斜坡可以用一次函数y=x 刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．【解析】试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或．故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+﹣=；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，∵P的坐标为（2，4），∴4=×2+b，解得b=3，∴直线PM的解析式为y=x+3．由，解得，，∴点M的坐标为（，）．考点：二次函数的综合题10．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)233642y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可；(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，先求出S △OAC =6，再根据S △BCD =34S △AOC ，得到S △BCD =92，然后求出BC 的解析式为362y x =-+，则可得点G 的坐标为3(,6)2m m -+，由此可得2334DG m m =-+，再根据S △BCD =S △CDG +S △BDG =12DG BO ⋅⋅，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图，以BD 为边时，有3种情况，由点D 的坐标可得点N 点纵坐标为±154，然后分点N 的纵坐标为154和点N 的纵坐标为154-两种情况分别求解；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM 1=N 1D=4，继而求得OM 1= 8，由此即可求得答案. 【详解】(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)，∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6， ∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =34S △AOC ， ∴S △BCD =39642⨯=，设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+， ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -+， ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =22133346242m m m m -+⨯=-+（）， ∴239622m m -+=， 解得11m =(舍)，23m =， ∴m 的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况， ∵D 点坐标为15(3,)4，∴点N 点纵坐标为±154，当点N 的纵坐标为154时，如点N 2， 此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215(1,)4N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-时，如点N 3，N 4， 此时233156424x x -++=-，解得：12114,114x x ==∴315(114,)4N +-，415(114,)4N -， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，∵115(1,)4N -，D(3，154)，∴N 1D=4， ∴BM 1=N 1D=4， ∴OM 1=OB+BM 1=8， ∴M 1(8，0)，综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(14(14M M M M -，，，，，，，.【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.11．我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是()2y=ax bx a 0+≠。

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则3k bb+=⎧⎨=⎩，解得：33kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．2．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【解析】【分析】（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．【详解】解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，解得：x＝40，60﹣40＝20元，答：这一星期中每件童装降价20元；（2）设利润为w，根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+n与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过C、B两点，交x轴于另一点A，连接AC，且tan∠CAO=3．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，求出d与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；(3)在(2)的条件下，当点P在线段BC上时，设PH=e，已知d，e是以y为未知数的一元二次方程：y2－(m+3)y+14(5m2－2m+13)="0" (m为常数)的两个实数根，点M在抛物线上，连接MQ、MH、PM，且．MP平分∠QMH，求出t值及点M的坐标．【答案】(1) y=-x2+2x+3；(2)223(03){3(3)d t t td t t t=-+<<=->；（3）t=1，2，2)和(12，2).【解析】【分析】（1）当x=0时代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出B的坐标，在直角三角形AOC中，由三角形函数值就可以求出OA的值，得出A的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；（2）分两种情况讨论，当点P在线段CB上时，和如图3点P在射线BN上时，就有P点的坐标为（t，-t+3），Q点的坐标为（t，-t2+2t+3），就可以得出d与t之间的函数关系式而得出结论；（3）根据根的判别式就可以求出m 的值，就可以求出方程的解而求得PQ 和PH 的值，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，如图2，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，就可以得出四边形LQMH 是平行四边形，进而得出四边形LQMH 是菱形，由菱形的性质就可以求出结论．【详解】（1）当x=0，则y=-x+n=0+n=n ，y=ax 2+bx+3=3，∴OC=3=n ．当y=0，∴-x+3=0，x=3=OB ，∴B （3，0）．在△AOC 中，∠AOC ＝90°，tan ∠CAO=33OC OA OA==， ∴OA=1，∴A （-1，0）．将A （-1，0），B （3，0）代入y=ax2+bx+3，得 9330{30a b a b ++=-+=， 解得：1{2a b =-= ∴抛物线的解析式：y=-x 2+2x+3；(2) 如图1，∵P 点的横坐标为t 且PQ 垂直于x 轴 ∴P 点的坐标为(t ，－t+3)，Q 点的坐标为(t ，－t 2+2t+3).∴PQ=|(－t+3)－(－t 2+2t+3)|="|" t 2－3t |∴223(03){3(3)d t t t d t t t =-+<<=->； ∵d ，e 是y 2－(m+3)y+14(5m 2－2m+13)=0（m 为常数）的两个实数根，∴△≥0，即△=(m+3)2－4×1(5m2－2m+13)≥04整理得：△= －4(m－1)2≥0，∵－4(m－1)2≤0，∴△=0，m=1，∴ PQ与PH是y2－4y+4=0的两个实数根，解得y1=y2=2∴ PQ=PH=2，∴－t+3=2，∴t="1,"∴此时Q是抛物线的顶点，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，∵LP=MP，PQ=PH，∴四边形LQMH是平行四边形，∴LH∥QM，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴LH=MH，∴平行四边形LQMH是菱形，∴PM⊥QH，∴点M的纵坐标与P点纵坐标相同，都是2，∴在y=－x2+2x+3令y=2，得x2－2x－1=0，∴x12，x2=12综上：t值为1，M点坐标为2，2)和(12，2).4．已知，抛物线y=x2+2mx(m为常数且m≠0）．（1）判断该抛物线与x轴的交点个数，并说明理由．（2）若点A（-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M为抛物线的顶点，求△ABM的面积．（3）若点（2，p)，（3，g），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r，求m的取值范围．【答案】（1）抛物线与x轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5【解析】【分析】（1）首先算出根的判别式b2-4ac的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；（2）根据抛物线的对称性及A,B两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m 的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m 的取值范围，综上所述，求出m 的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m 的式子表示出p,g,r ，再代入 p<g<r 即可列出关于m 的不等式组，求解即可。

中考数学培优 易错 难题(含解析)之二次函数及答案解析一、二次函数1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线2234323y x x =--+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）；（3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可【详解】（1）∵2234323y x x =-+a=233-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=x+33-；联立两解析式求交点22343232323y=x+y x x⎧=--+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩或x=1y=0⎧⎨⎩，∴A（-2，23），B（1,0）；（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，在223432333y x x=--+中，令y=0可求得x= -3或x=1，∴C（-3,0），且A（-2，23），∴AC=22-++2133=（23）（）由翻折的性质可知AN=AC=13，∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，∴N在y轴上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=22AN-AD=13-4=3，∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，∴N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2 ，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，∴∠ ACK=∠ EFH，在△ ACK和△ EFH中ACK=EFHAKC=EHFAC=EF∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ ACK≌△ EFH，∴FH=CK=1，HE=AK=23，∵抛物线的对称轴为x=-1，∴ F点的横坐标为0或-2，∵点F在直线AB上，∴当F点的横坐标为0时，则F（0，23），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH-OF=23-23=43，即E的纵坐标为-43，∴ E（-1，-43）；当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵ C（-3,0），且A（-2，23），∴线段AC的中点坐标为（-2.5，3），设E（-1，t），F（x，y），则x-1=2×（-2.5），y+t=23，∴x= -4，y=23-t，23-t=-233×（-4）+233，解得t=43-3，∴E（-1，43-3），F（-4，1033）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-43）、（0，23）或E（-1，43-），F（-4，103）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a，解得：a=14，∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x2-x+1．（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．∵点B （4，1），直线l 为y=-1，∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0），将A （1，14）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43， 当y=-1时，有-1312x+43=-1， 解得：x=2813， ∴点P 的坐标为（2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2，∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1．∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，∴n=14m 2-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（14m 2-m+1）+y 02=2（14m 2-m+1）+1， 整理得：（1-12-12y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值， ∴000220001110222220230y x y x y y ⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩＝＝＝，∴0021x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴定点F 的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P 的位置；（3）根据点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x 0、y 0的方程组．3．对于二次函数 y=ax 2+（b+1）x+（b ﹣1），若存在实数 x 0，使得当 x=x 0，函数 y=x 0，则称x 0 为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b ，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A 、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A 、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值.【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－98【解析】【分析】（1）先确定二次函数解析式为y=x 2-x-3，根据x o 是函数y 的一个不动点的定义，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，然后解此一元二次方程即可；（2）根据x o 是函数y 的一个不动点的定义得到ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，整理得ax 02+bx o +（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，把b 2-4ab+4a 看作b 的二次函数，由于对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，则（4a ）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a ，b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得.【详解】解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x 2-x-3，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，解得x o =-1或x o =3，所以函数y 的不动点为-1和3；（2）因为y=x o ，所以ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，即ax 02+bx o +（b-1）=0，因为函数y 恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，而对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，所以（4a ）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a =-A ，B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b b a a-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称，又∵A ，B 在直线y=x 上，∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上. ∴b a -=b a-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98【点睛】 本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.4．已知，抛物线y=x 2+2mx(m 为常数且m≠0）．（1）判断该抛物线与x 轴的交点个数，并说明理由．（2）若点A （-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M 为抛物线的顶点，求△ABM 的面积．（3）若点（2，p)，（3，g ），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r ，求m 的取值范围．【答案】（1）抛物线与x 轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM 的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5【解析】【分析】（1）首先算出根的判别式b 2-4ac 的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x 轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；（2）根据抛物线的对称性及A,B 两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m 的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M 三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m 的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m 的取值范围，综上所述，求出m 的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m 的式子表示出p,g,r ，再代入 p<g<r 即可列出关于m 的不等式组，求解即可。

备战中考数学培优易错难题(含解析)之二次函数附答案解析一、二次函数1．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则3k bb+=⎧⎨=⎩，解得：33kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．2．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC 92，此时点P的坐标为（32，154）．【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，得10930b cb c-++=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，又∵t≠2，∴不存在；（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，得303m nn+=⎧⎨=⎩，解得：13mn=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278；②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC=2232OB OC+=，∴P点到直线BC的距离的最大值为272928832⨯=，此时点P的坐标为（32，154）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．3．在平面直角坐标系中，有两点(),A a b 、(),B c d ，若满足：当a b ≥时，c a =，2d b =-；当a b <时，c a <-，d b <，则称点为点的“友好点”.（1）点()4,1的“友好点”的坐标是_______.（2）点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，点B 是点A 的“友好点”. ①当B 点与A 点重合时，求点A 的坐标.②当A 点与A 点不重合时，求线段AB 的长度随着a 的增大而减小时，a 的取值范围. 【答案】（1）()41-,；（2）①点A 的坐标是()2,0或()1,1-；②当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小； 【解析】 【分析】（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用 “友好点”定义求出B 点坐标，A 点又在直线2y x =-上，得到2b a =-；①当点A 和点B 重合，得2b b =-．解出即可，②当点A 和点B 不重合， 1a ≠且2a ≠．所以对a 分情况讨论，1°、当1a <或2a >时，()222313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当a ≤32时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取1a <．2°当12a <<时，()22231+3224AB b b a a a ⎛⎫=--=--=--+ ⎪⎝⎭，当32a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取322a ≤<． 综上，当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【详解】（1）点()4,1，4＞1，根据“友好点”定义，得到点()4,1的“友好点”的坐标是()41-, （2）Q 点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，∴2b a =-．Q 2a a >-，根据友好点的定义，点B 的坐标为()2,B a b -，①当点A 和点B 重合，∴2b b =-． 解得0b =或1b =-． 当0b =时，2a =；当1b =-时，1a =，∴点A 的坐标是()2,0或()1,1-．②当点A 和点B 不重合，1a ≠且2a ≠．当1a <或2a >时，()222313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝⎭．∴当a ≤32时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取1a <．当12a <<时， ()22231+3224AB b b a a a ⎛⎫=--=--=--+ ⎪⎝⎭ ．∴当32a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取322a ≤<． 综上，当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【点睛】本题属于阅读理解题型，结合二次函数的基本性质进行解题，第二问的第二小问的关键是求出AB 的长用a 进行表示，然后利用二次函数基本性质进行分类讨论4．如图，直线y ＝-12x-3与x 轴，y 轴分别交于点A ，C ，经过点A ，C 的抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与x 轴的另一个交点为点B(2，0)，点D 是抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接AD ，DC ．设点D 的横坐标为m ． (1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第三象限，设△DAC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点D 的坐标；(3)连接BC ，若∠EAD ＝∠OBC ，请直接写出此时点D 的坐标．【答案】(1)y ＝14x 2+x ﹣3；(2)S △ADC =﹣34(m+3)2+274；△ADC 的面积最大值为274；此时D(﹣3，﹣154)；(3)满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21). 【解析】 【分析】（1）求出A 坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE 与AC 的交点为点F.设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)，根据S △ADC ＝S △ADF +S △DFC 求出解析式，再求最值；（3）①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ．②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝32x+9，解方程组求出函数图像交点坐标. 【详解】解：(1)在y ＝﹣12x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6， 即点A 的坐标为：(﹣6，0)，将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得：366304230a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)， 设DE 与AC 的交点为点F.∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣32m ， ∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC＝12DF•AE+12•DF•OE ＝12DF•OA ＝12×(﹣14m 2﹣32m)×6 ＝﹣34m 2﹣92m ＝﹣34(m+3)2+274，∵a ＝﹣34＜0， ∴抛物线开口向下，∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值274，又∵当m＝﹣3时，14m2+m﹣3＝﹣154，∴存在点D(﹣3，﹣154)，使得△ADC的面积最大，最大值为274；(3)①当点D与点C关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．②作点D(﹣4，﹣3)关于x轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y＝32x+9，由2392134y xy x x⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得6xy=-⎧⎨=⎩或821xy=⎧⎨=⎩，此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件，综上所述，满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.5．如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，D为抛物线对称轴上一动点，求D运动到什么位置时△DAC的周长最小；（3）如图2，点E在第一象限抛物线上，AE与BC交于点F，若AF：FE＝2：1，求E点坐标；（4）点M、N同时从B点出发，分别沿BA、BC方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M运动到点A时，点N停止运动，则当点N停止运动后，在x轴上是否存在点P，使得△PBN是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）248433y x x =-++（2）81,3D ⎛⎫⎪⎝⎭（3）点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95，0）或P 4（13，0）． 【解析】 【分析】（1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到D 点在对称轴时是△DAC 周长最小的点，先求出直线BC ，然后D 点横坐标是1，直接代入直线BC 求出纵坐标即可 （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，易证△ABF ∽△EHF ，得AB AF2EH EF==,得EH=2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+），y E ＝y H ，解出方程x ＝1或x ＝2，得到E 点坐标 （4）△PBN 是等腰三角形，分成三种情况，①BP ＝BC 时，利用等腰三角性质直接得到P 1（﹣1，0）或P 2（7，0），②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，易得△NHB ∽△COB ，利用比例式得到NH 、 BH 从而得到 PH ＝BH ，BP ，进而得到OP ，即得到P 点坐标，③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ，易得△NOB ∽△PKB ，利用比例式求出PB ，进而得到OP ，即求出P 点坐标 【详解】解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+4， 得 40930a b a b c -+=⎧⎨++=⎩解得a ＝43-，b ＝83， ∴抛物线的解析式248433y x x =-++； （2）22484164(1)3333=-++=--+y x x x ∴抛物线对称轴为直线x ＝1， ∴D 的横坐标为1，由（1）可得C （0，4），∵B （3，0），∴直线BC ：4y 43x =-+ ∵DA ＝DB ，△DAC 的周长＝AC+CD+AD ＝AC+CD+BD ， 连接BC ，与对称轴交于点D ，此时CD+BD 最小， ∵AC 为定值， ∴此时△DAC 的周长， 当x ＝1时，y ＝﹣43×1+4＝83， ∴D （1，83）； （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，∴△ABF ∽△EHF ， ∵AF ：FE ＝2：1，∴AB AF2EH EF ==， ∵AB ＝4， ∴EH ＝2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+） ∵EH ∥AB ，∴y E ＝y H ， ∴248x x 433-++=420x 33-+ 解得x ＝1或x ＝2， y ＝163或4， ∴E （1，163）或（2，4）； （4）∵A （﹣1，0）、B （3，0），C （0，4）∴AB ＝4，OC ＝4，点M 运动到点A 时，BM ＝AB ＝4，∴BN ＝4，∵△PBN 是等腰三角形，①BP ＝BC 时，若P 在点B 左侧，OP ＝PB ﹣OB ＝4﹣3＝1，∴P 1（﹣1，0），若P 在点B 右侧，OP ＝OB+BP ＝4+3＝7，∴P 2（7，0）；②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，△NHB ∽△COB ，∴45NH BH BN OC OB BC === ∴NH ＝45OC ＝445⨯＝165， BH ＝45BC ＝125，∴PH＝BH＝125，BP＝245，∴OP＝BP﹣OB＝249355-=，∴P3（﹣95，0）；③当PN＝PB时，取NB中点K，作KP⊥BN，交x轴于点P，∴△NOB∽△PKB，∴PB BKBN OB=∴PB＝83，∴OP＝OB﹣PB＝3﹣83＝13P4（13，0）综上，当△PBN是等腰三角形时，点P的坐标P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣95，0）或P4（13，0）．【点睛】本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点，综合程度比较高，对综合能力要求比较高. 第一问比较简单，考查待定系数法；第二问最短距离，找到D点是解题关键；第三问证明出相似是关键；第四问能够分情况讨论是解题关键6．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°，对角线AC，BD相交于点O，动点P 从点A出发，以4cm/s的速度，沿A→B的路线向点B运动；过点P作PQ∥BD，与AC相交于点Q，设运动时间为t秒，0＜t＜5．（1）设四边形PQCB的面积为S，求S与t的关系式；（2）若点Q关于O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD （或CD）于点N，当t为何值时，点P、M、N在一直线上？（3）直线PN与AC相交于H点，连接PM，NM，是否存在某一时刻t，使得直线PN平分四边形APMN的面积？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) S=﹣2+0＜t＜5）； (2) 307;(3)见解析.【解析】【分析】（1）如图1，根据S=S△ABC-S△APQ，代入可得S与t的关系式；（2）设PM=x，则AM=2x，可得，计算x的值，根据直角三角形30度角的性质可得AM=AO+OM，列方程可得t的值；（3）存在，通过画图可知：N在CD上时，直线PN平分四边形APMN的面积，根据面积相等可得MG=AP，由AM=AO+OM，列式可得t的值．【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=60°，AC⊥BD，∴∠OAB=30°，∵AB=20，∴OB=10，由题意得：AP=4t，∴PQ=2t，，∴S=S△ABC﹣S△APQ，=11··22AC OB PQ AQ-，=1110222t⨯⨯⨯⨯，=﹣2（0＜t＜5）；（2）如图2，在Rt△APM中，AP=4t，∵点Q关于O的对称点为M，∴OM=OQ，设PM=x，则AM=2x，∴，∴∴∵AM=AO+OM ， ∴83t =103+103﹣23t ， t=307； 答：当t 为307秒时，点P 、M 、N 在一直线上； （3）存在，如图3，∵直线PN 平分四边形APMN 的面积，∴S △APN =S △PMN ，过M 作MG ⊥PN 于G ， ∴11··22PN AP PN MG ， ∴MG=AP ，易得△APH ≌△MGH ， ∴AH=HM=3t ， ∵AM=AO+OM ，同理可知：OM=OQ=103﹣23t ，3t=103=103﹣23t ， t=3011． 答：当t 为3011秒时，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.7．已知点A （﹣1，2）、B （3，6）在抛物线y=ax 2+bx 上(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点F 的坐标为（0，m ）（m ＞2），直线AF 交抛物线于另一点G ，过点G 作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；(3)如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2﹣x；(2)证明见解析；(3)当运动时间为或秒时，QM=2PM．【解析】【分析】（1）（1）A，B的坐标代入抛物线y=ax2+bx中确定解析式；（2）把A点坐标代入所设的AF的解析式，与抛物线的解析式构成方程组，解得G点坐标，再通过证明三角形相似，得到同位角相等，两直线平行；（3）具体见详解.【详解】．解：（1）将点A（﹣1，2）、B（3，6）代入中，，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．（2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m，将点A（﹣1，2）代入y=kx+m中，即﹣k+m=2，∴k=m﹣2，∴直线AF的解析式为y=（m﹣2）x+m．联立直线AF和抛物线解析式成方程组，，解得：或，∴点G的坐标为（m，m2﹣m）．∵GH⊥x轴，∴点H的坐标为（m，0）．∵抛物线的解析式为y=x2﹣x=x（x﹣1），∴点E的坐标为（1，0）．过点A作AA′⊥x轴，垂足为点A′，如图1所示．∵点A（﹣1，2），∴A′（﹣1，0），∴AE=2，AA′=2．∴ =1， = =1，∴= ，∵∠AA′E=∠FOH，∴△AA′E∽△FOH，∴∠AEA′=∠FHO，∴FH∥AE．（3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0，将A（﹣1，2）、B（3，6）代入y=k0x+b0中，得，解得：，∴直线AB的解析式为y=x+3，当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣3，t），点Q的坐标为（t，0）．当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示，∵QM=2PM，∴ =，∴QM′=QP'=2，MM′=PP'=t，∴点M的坐标为（t﹣2， t）．又∵点M在抛物线y=x2﹣x上，∴ t=（t﹣2）2﹣（t﹣2），解得：t=；当点M在线段QP的延长线上时，同理可得出点M的坐标为（t﹣6，2t），∵点M在抛物线y=x2﹣x上，∴2t=（t﹣6）2﹣（t﹣6），解得：t=．综上所述：当运动时间秒或时，QM=2PM．【点睛】本题考查二次函数综合运用，综合能力是解题关键.8．如图，已知抛物线经过原点O，顶点A（1，﹣1），且与直线y＝kx+2相交于B（2，0）和C两点（1）求抛物线和直线BC的解析式；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）抛物线上存在点E（点E不与点A重合），使∠BCE＝∠ACB，求出点E的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BDF是等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x，y＝﹣x+2；（2）详见解析；（3）E（5524,）；（4）符合条件的点F的坐标（17171，71，27【解析】【分析】（1）将B （2，0）代入设抛物线解析式y ＝a （x ﹣1）2﹣1，求得a ，将B （2，0）代入y ＝kx +2，求得k ；（2）分别求出AB 2、BC 2、AC 2，根据勾股定理逆定理即可证明；（3）作∠BCE ＝∠ACB ，与抛物线交于点E ，延长AB ，与CE 的延长线交于点A '，过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ，设二次函数对称轴于x 轴交于点G ．根据对称与三角形全等，求得A '（3，1），然后求出A 'C 解析式，与抛物线解析式联立，求得点E 坐标；（4）设F （1，m ），分三种情况讨论：①当BF ＝BD=②当DF ＝BD=，③当BF ＝DFm ＝1，然后代入即可．【详解】（1）设抛物线解析式y ＝a （x ﹣1）2﹣1，将B （2，0）代入，0＝a （2﹣1）2﹣1，∴a ＝1，抛物线解析式：y ＝（x ﹣1）2﹣1＝x 2﹣2x ，将B （2，0）代入y ＝kx +2，0＝2k +2，k ＝﹣1，∴直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2；（2）联立222y x y x x =-+⎧⎨=-⎩， 解得1113x y =-⎧⎨=⎩，2220x y =⎧⎨=⎩， ∴C （﹣1，3），∵A （1，﹣1），B （2，0），∴AB 2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，AC 2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，BC 2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18，∴AB 2+BC 2＝AC 2，∴△ABC 是直角三角形；（3）如图，作∠BCE ＝∠ACB ，与抛物线交于点E ，延长AB ，与CE 的延长线交于点A '，过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ，设二次函数对称轴于x 轴交于点G ．∵∠BCE ＝∠ACB ，∠ABC ＝90°，∴点A 与A '关于直线BC 对称，AB ＝A 'B ，可知△AFB ≌△A 'HB （AAS ），∵A （1，﹣1），B （2，0）∴AG ＝1，BG ＝OG ＝1，∴BH ＝1，A 'H ＝1，OH ＝3，∴A '（3，1），∵C （﹣1，3），∴直线A 'C ：1522y x =-+， 联立：215222y x y x x⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或5254x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴E （52，54）； （4）∵抛物线的对称轴：直线x ＝1，∴设F （1，m ），直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2；∴D （0，2）∵B （2，0），∴BD ＝12x x 222(21)(0)1BF m m =-+-=+222(10)(2)45DF m m m =-+-=-+①当BF ＝BD 2122m +=m ＝7∴F 坐标（1，7）或（1，﹣7） ②当DF ＝BD 时，24522m m -+=，m ＝2±7，∴F 坐标（1，2+7）或（1，2﹣7）③当BF ＝DF 时，22145m m m +=-+，m ＝1，F （1，1），此时B 、D 、F 在同一直线上，不符合题意．综上，符合条件的点F 的坐标（1，7）或（1，﹣7）或（1，2+7）或（1，2﹣7）．【点睛】考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．（2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】【分析】 （1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值． 【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=． ∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠）， 把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -）， ∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+． ∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+， 解得：12m 2=-,22m 2=(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+， 解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ． 综上所述，2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．10．抛物线与x 轴交于A ，B 两点（OA ＜OB ），与y 轴交于点C ．（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）点P 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时点E 也从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，设点P 的运动时间为t 秒（0＜t ＜2）． ①过点E 作x 轴的平行线，与BC 相交于点D （如图所示），当t 为何值时，的值最小，求出这个最小值并写出此时点E ，P 的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（2，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②F（3，2），（3，7）．【解析】试题分析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，通过△CDE∽△CBO得到，即，求得有最小值1，即可求得结果；②存在，求得抛物线的对称方程为x=3，设F（3，m），当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．试题解析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即，解得：，，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，即，∴DE=4﹣2t，∴===，∵0＜t＜2，始终为正数，且t=1时，有最大值1，∴t=1时，有最小值1，即t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②存在，∵抛物线的对称轴方程为x=3，设F（3，m），∴，=，=，当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，，即，解得：m=2，②当∠EFP=90°时，，即，解得；m=0或m=1，不合题意舍去，∴当∠EFP=90°时，这种情况不存在， ③当∠PEF=90°时，，即，解得：m=7，综上所述，F （3，2），（3，7）．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．二次函数的最值；5．分类讨论；6．压轴题．11．如图， 已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点右侧）与y 轴交于C 点 ．（1）求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；（2）若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），则是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由； （3）若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN=3时，求M 点的坐标 ．【答案】（1）213442y x x =-++，点A 的坐标为(-2，0)，点B 的坐标为(8，0)；（2）存在点P ，使△PBC 的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M 的坐标为(4-771)、(2，6)、(6，4)或7，71)． 【解析】 【分析】（1） 由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a 值， 进而可得出抛物线的解析式， 再利用二次函数图象上点的坐标特征， 即可求出点A 、B 的坐标； （2） 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标， 由点B 、C 的坐标， 利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式， 假设存在， 设点P 的坐标为（x,213-442x x ++），过点P 作PD//y 轴， 交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x,1-42x +），PD=-14x 2+2x ，利用三角形的面积公式即可得出三角形PBC 的面积关于x的函数关系式， 再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （3） 设点M 的坐标为（m,213-442m m ++），则点N 的坐标为（m,1-42m +），进而可得出MN 2124m m =-+，结合MN=3即可得出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程， 解之即可得出结论 ． 【详解】（1）Q 抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线3x =， 3232a∴-=，解得：14a =-， ∴抛物线的解析式为213442y x x =-++．当0y =时，2134042x x -++=， 解得：12x =-，28x =，∴点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()8,0．（2） 当0x =时，2134442y x x =-++=， ∴点C 的坐标为()0,4．设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+≠． 将()8,0B 、()0,4C 代入y kx b =+，804k b b +=⎧⎨=⎩，解得：124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为142y x =-+． 假设存在， 设点P 的坐标为213,442x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，过点P 作//PD y 轴， 交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为1,42x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，如图所示 ． 2213114424224PD x x x x x ⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，()222111·8?28416224PBC S PD OB x x x x x ∆⎛⎫∴==⨯-+=-+=--+ ⎪⎝⎭． 10-<Q ，∴当4x =时，PBC ∆的面积最大， 最大面积是 16 ．08x <<Q ，∴存在点P ，使PBC ∆的面积最大， 最大面积是 16 ．（3） 设点M 的坐标为213,442m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则点N 的坐标为1,42m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 2213114424224MN m m m m m ⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪⎝⎭．又3MN =Q ，21234m m ∴-+=．当08m <<时， 有212304m m -+-=， 解得：12m =，26m =，∴点M 的坐标为()2,6或()6,4；当0m <或8m >时， 有212304m m -++=， 解得：3427m =-，4427m =+，∴点M 的坐标为(427-，71)-或(427+，71)--．综上所述：M 点的坐标为(427-，71)-、()2,6、()6,4或(427+，71)--．【点睛】本题考查了二次函数的性质、 二次函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积， 解题的关键是： （1） 利用二次函数的性质求出a 的值； （2） 根据三角形的面积公式找出关于x 的函数关系式； （3） 根据MN 的长度， 找出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程 ．12．如图，抛物线与x 轴交于点A （，0）、点B （2，0），与y 轴交于点C （0，1），连接BC ．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t （），求△ABN的面积S与t的函数关系式；（3）若且时△OPN∽△COB，求点N的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）（，）或（1，2）．【解析】试题分析：（1）可设抛物线的解析式为，用待定系数法就可得到结论；（2）当时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t的函数关系式；（3）由相似三角形的性质可得PN=2PO．而PO=，需分和0＜t＜2两种情况讨论，由PN=2PO得到关于t的方程，解这个方程，就可得到答案．试题解析：（1）设抛物线的解析式为，把C（0，1）代入可得：，∴，∴抛物线的函数关系式为：，即；（2）当时，＞0，∴NP===，∴S=AB•PN==；（3）∵△OPN∽△COB，∴，∴，∴PN=2PO．①当时，PN===，PO==，∴，整理得：，解得：=，=，∵＞0，＜＜0，∴t=，此时点N的坐标为（，）；②当0＜t＜2时，PN===，PO==t，∴，整理得：，解得：=，=1．∵＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）．综上所述：点N的坐标为（，）或（1，2）．考点：1．二次函数综合题；2．待定系数法求二次函数解析式；3．相似三角形的性质．13．抛物线，若a，b，c满足b=a+c，则称抛物线为“恒定”抛物线．（1）求证：“恒定”抛物线必过x轴上的一个定点A；（2）已知“恒定”抛物线的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2），或．【解析】试题分析：（1）由“恒定”抛物线的定义，即可得出抛物线恒过定点（﹣1，0）；（2）求出抛物线的顶点坐标和B的坐标，由题意得出PA∥CQ，PA=CQ；存在两种情况：①作QM⊥AC于M，则QM=OP=，证明Rt△QMC≌Rt△POA，MC=OA=1，得出点Q的坐标，设抛物线的解析式为，把点A坐标代入求出a的值即可；②顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合；证明△OQC≌△OPA，得出OQ=OP=，得出点Q坐标，设抛物线的解析式为，把点C坐标代入求出a的值即可．试题解析：（1）由“恒定”抛物线，得：b=a+c，即a﹣b+c=0，∵抛物线，当x=﹣1时，y=0，∴“恒定”抛物线必过x轴上的一个定点A（﹣1，0）；（2）存在；理由如下：∵“恒定”抛物线，当y=0时，，解得：x=±1，∵A（﹣1，0），∴B（1，0）；∵x=0时，y=，∴顶点P的坐标为（0，），以PA，CQ为边的平行四边形，PA、CQ是对边，∴PA∥CQ，PA=CQ，∴存在两种情况：①如图1所示：作QM⊥AC于M，则QM=OP=，∠QMC=90°=∠POA，在Rt△QMC和Rt△POA中，∵CQ=PA，QM=OP，∴Rt△QMC≌Rt△POA（HL），∴MC=OA=1，∴OM=2，∵点A和点C是抛物线上的对称点，∴AM=MC=1，∴点Q的坐标为（﹣2，），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为，把点A（﹣1，0）代入得：a=，∴抛物线的解析式为：，即；②如图2所示：顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合，∴点C坐标为（1，0），∵CQ∥PA，∴∠OQC=∠OPA，在△OQC和△OPA中，∵∠OQC=∠OPA，∠COQ=∠AOP，CQ=PA，∴△OQC≌△OPA（AAS），∴OQ=OP=，∴点Q坐标为（0，），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为，把点C（1，0）代入得：a=，∴抛物线的解析式为：；综上所述：存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形，抛物线的解析式为：，或．考点：1．二次函数综合题；2．压轴题；3．新定义；4．存在型；5．分类讨论．14．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线y=ax2﹣10ax+c经过点C，顶点M在直线BC 上．（1）证明四边形ABCD 是菱形，并求点D 的坐标； （2）求抛物线的对称轴和函数表达式；（3）在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD 与△PCD 的面积相等？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）详见解析（2）22y x 4x 85=-+ （3）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，翻折的性质可得AB=BD=CD=AC ，根据菱形的判定和性质可得点D 的坐标．（2）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设M 的坐标为（5，n ），直线BC 的解析式为y=kx+b ，根据待定系数法可求M 的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式． （3）分点P 在CD 的上面下方和点P 在CD 的上方两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点P 的坐标： 设P 22x,x 4x 85⎛⎫-+ ⎪⎝⎭, 当点P 在CD 的上面下方，根据菱形的性质，知点P 是AD 与抛物线22y x 4x 85=-+的交点，由A,D 的坐标可由待定系数法求出AD 的函数表达式:1y x 32=+,二者联立可得P 1（529,48）； 当点P 在CD 的上面上方，易知点P 是∠D 的外角平分线与抛物线22y x 4x 85=-+的交点，此时，∠D 的外角平分线与直线AD 垂直，由相似可知∠D 的外角平分线PD 的斜率等于－2，可设其为y 2x m =-+，将D （10，8）代入可得PD 的函数表达式:y 2x 28=-+,。

备战中考数学培优 易错 难题(含解析)之二次函数附答案一、二次函数1．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=94；②P （2，﹣3）或（22﹣2）． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3； （2）设BC 的解析式为y=kx+b ， 将B ，C 的坐标代入函数解析式，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， BC 的解析式为y=x ﹣3，设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3），PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+94， 当n=32时，PM 最大=94； ②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2， 解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2， n 2﹣2n ﹣3=-3， P （2，-3）；当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=3+2（不符合题意，舍），n 3=3-2， n 2﹣2n ﹣3=2-42， P （3-2，2-42）；综上所述：P （2，﹣3）或（3-2，2﹣42）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.2．如图，已知抛物线经过点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到△A 1O 1C 1，点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标． 【答案】（1）y=-21x 2+32x+2；（2）存在，Q （3，2）或Q （-1，0）；（3）两个和谐点，A 1的横坐标是1，12. 【解析】【分析】（1）把点A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM=90°或∠MQB=90°，即可求得Q 点的坐标． （3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1），①当A 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是1； 当O 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是2； 【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，将点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）代入解析式，∴0a b c 016a 4b c 2c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩， ∴1a 23b 2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y=-21x 2+32x+2； （2）∵点C 与点D 关于x 轴对称， ∴D （0，-2）．设直线BD 的解析式为y=kx-2． ∵将（4，0）代入得：4k-2=0， ∴k=12． ∴直线BD 的解析式为y=12x-2． 当P 点与A 点重合时，△BQM 是直角三角形，此时Q （-1，0）；当BQ ⊥BD 时，△BQM 是直角三角形， 则直线BQ 的直线解析式为y=-2x+8， ∴-2x+8=-21x 2+32x+2，可求x=3或x=4（舍） ∴x=3；∴Q （3，2）或Q （-1，0）； （3）两个和谐点； AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1）， ①当A 1、C 1在抛物线上时，∴()2213y x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩，∴x 1y 3=⎧⎨=⎩，∴A 1的横坐标是1； 当O 1、C 1在抛物线上时，()2213y 1x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧-=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩， ∴1x 221y 8⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴A 1的横坐标是12；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．3．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.【答案】（1）2(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y < 【解析】 【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上，∴25(0)41b b =--++，解得2b = ∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时，得15=x ，21x =- ∴(5,0)A代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得45215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E ，(0,1)F ∵点M 在AOB ∆内，∴405b <<当点,C D 关于抛物线对称轴（直线x b =）对称时，1344b b -=-，∴12b = 且二次函数图象的开口向下，顶点M 在直线41y x =+上 综上：①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y <.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.4．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2和y ＝a （x ﹣h ）2，抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2经过原点，与x 轴正半轴交于点A ，与其对称轴交于点B ；点P 是抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2上一动点，且点P 在x 轴下方，过点P 作x 轴的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ，过点D 作PD 的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ′（不与点D 重合），连接PD ′，设点P 的横坐标为m ：（1）①直接写出a 的值；②直接写出抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；（2）当抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点时，设△PDD ′与△OAB 重叠部分图形周长为L ： ①求PDDD '的值； ②直接写出L 与m 之间的函数关系式；（3）当h 为何值时，存在点P ，使以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形？直接写出h 的值．【答案】（1）①12；②y ＝212x ﹣2x ； （2）①1；②L ＝2(22)(02)21(221)4(24)m m m π⎧+<⎪⎨+++<<⎪⎩…； （3）h ＝±3 【解析】 【分析】（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝212x ﹣2x ； （2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝12，y ＝12x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解；（3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值． 【详解】解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中， 得：0＝a （0﹣2）2﹣2， 解得：a ＝12； ②y ＝212x ﹣2x ；．（2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝12； ∴y ＝12x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4 如图1，222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①221122,222PD m m m m DD m '⎛⎫=--== ⎪⎝⎭PD 2m 1DD 2m'∴== ②如图1，当0＜m ≤2时，L ＝OE +EF +OF ＝2(22)m m m m ++=+，当2＜m ＜4时，如图2，设PD ′交x 轴于G ，交AB 于H ，PD 交x 轴于E ，交AB 于F ，则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2211(4)23422PF m m m m m ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭，2222322m 22,PG m 22m 2422FH PH PF ===-+-=-+ ∵DD ′∥EGEG PE DD PD '∴=，即：EG •PD ＝PE•DD ′，得：EG •（2m ）＝（2m ﹣12m 2）•2m ∴EG ＝2m ﹣12m 2，EF ＝4﹣m ∴L ＝EG +EF +FH +GH ＝EG +EF +PG221224222m m m m m ⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭ 221m (221)m 42+=-+++ 2(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)2L ⎧+<⎪∴=⎨+-+++<<⎪⎩…； （3）如图3，∵OADD ′为菱形 ∴AD ＝AO ＝DD ′＝4， ∴PD ＝2，23PA =23h ∴=±【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．5．已知，抛物线y=x 2+2mx(m 为常数且m≠0）． （1）判断该抛物线与x 轴的交点个数，并说明理由．（2）若点A （-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M 为抛物线的顶点，求△ABM 的面积．（3）若点（2，p)，（3，g ），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r ，求m 的取值范围．【答案】（1）抛物线与x 轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM 的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5 【解析】 【分析】（1）首先算出根的判别式b 2-4ac 的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x 轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；（2）根据抛物线的对称性及A,B 两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m 的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M 三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m 的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m 的取值范围，综上所述，求出m 的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m 的式子表示出p,g,r ，再代入 p<g<r 即可列出关于m 的不等式组，求解即可。

备战中考数学二次函数培优易错难题练习(含答案)及答案解析一、二次函数1．（6分）（2015•牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．【答案】（1）y=-2x-3；（2）．【解析】试题分析：（1）把A,B两点坐标代入，求待定系数b,c，进而确定抛物线的解析式；（2）连接BE，点F是AE中点，H是AB中点，则FH为三角形ABE的中位线，求出BE的长，FH就知道了，先由抛物线解析式求出点E坐标，根据勾股定理可求BE，再根据三角形中位线定理求线段HF的长．试题解析：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴把A,B两点坐标代入得：，解得：，∴抛物线的解析式是：y=-2x-3；（2）∵点E（2，m）在抛物线上，∴把E点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得：m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E（2，﹣3），∴BE==．∵点F是AE中点，点H是抛物线的对称轴与x轴交点，即H为AB的中点，∴FH是三角形ABE的中位线，∴FH=BE=×=．∴线段FH的长．考点：1．待定系数法求抛物线的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位线定理．2．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=13x﹣43与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32，得161203322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14a c =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4； （2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，∴直线m 的解析式为y=13x ． ∵点P 是直线1上任意一点， ∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ．又∵PE=3PF ， ∴PC PB PF PE=． ∴∠FPC=∠EPB ． ∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP ⊥PE ．（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．∵CF=3BE=18﹣3a ，∴OF=20﹣3a ．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形，∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q （﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．3．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）的对称轴为直线x ＝﹣1，抛物线交x 轴于A 、C 两点，与直线y ＝x ﹣1交于A 、B 两点，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 在直线AB 上方的抛物线上运动，若△ABP 的面积最大，求此时点P 的坐标． （3）在平面直角坐标系中，以点B 、E 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D 的坐标．【答案】(1)y ＝﹣x 2﹣2x+3；(2)点P(32-，154)；(3)符合条件的点D 的坐标为D 1(0，3)，D 2(﹣6，﹣3)，D 3(﹣2，﹣7)．【解析】【分析】 (1)令y ＝0，求出点A 的坐标，根据抛物线的对称轴是x ＝﹣1，求出点C 的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2)设点P(m ，﹣m 2﹣2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B 的坐标，过点P 作PF ∥y 轴交直线AB 于点F ，利用S △ABP ＝S △PBF +S △PFA ，用含m 的式子表示出△ABP 的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P 的坐标；(3)求出点E 的坐标，然后求出直线BC 、直线BE 、直线CE 的解析式，再根据以点B 、E 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D 1D 2、直线D 1D 3、直线D 2D 3的解析式，即可求出交点坐标．【详解】解：(1)令y ＝0，可得：x ﹣1＝0，解得：x ＝1，∴点A(1，0)，∵抛物线y ＝ax 2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x ＝﹣1，∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，∴309330a b a b ++⎧⎨-+⎩＝＝ ，解得：12a b -⎧⎨-⎩＝，＝∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3；(2)∵点P 在直线AB 上方的抛物线上运动，∴设点P(m ，﹣m 2﹣2m+3)，∵抛物线与直线y ＝x ﹣1交于A 、B 两点，∴2231y x x y x ⎧--+⎨-⎩＝＝ ，解得：1145x y -⎧⎨-⎩＝＝，2210x y ＝，＝⎧⎨⎩ ∴点B(﹣4，﹣5)，如图，过点P 作PF ∥y 轴交直线AB 于点F ， 则点F(m ，m ﹣1)，∴PF ＝﹣m 2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m 2﹣3m+4，∴S △ABP ＝S △PBF +S △PFA ＝12(﹣m 2﹣3m+4)(m+4)+12(﹣m 2﹣3m+4)(1﹣m) ＝-52（m+32 ）2+ 1258 ， ∴当m ＝32-时，P 最大， ∴点P(32-，154).(3)当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，∴点E(﹣1，﹣2)，如图，直线BC的解析式为y＝5x+15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y ＝﹣x﹣3，∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，∴直线D1D3的解析式为y＝5x+3，直线D1D2的解析式为y＝x+3，直线D2D3的解析式为y＝﹣x﹣9，联立533y xy x+⎧⎨+⎩＝＝得D1(0，3)，同理可得D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)，综上所述，符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解．4．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ，设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求以C 、E 、F 为顶点三角形与△COD 相似时点P 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3；（2）当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．【解析】【分析】（1）根据正切函数，可得OB ，根据旋转的性质，可得△DOC ≌△AOB ，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，得到△EFC ∽△EMP ，根据相似三角形的性质，可得PM 与ME 的关系，解方程，可得t 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【详解】（1）在Rt △AOB 中，OA ＝1，tan ∠BAO OB OA==3，∴OB ＝3OA ＝3． ∵△DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC ≌△AOB ，∴OC ＝OB ＝3，OD ＝OA ＝1，∴A ，B ，C 的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为 09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3； （2）∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3，∴对称轴为l 2b a=-=-1，∴E 点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM ，∴△EFC ∽△EMP ，∴13EM EF OD MP CF CO ===，∴MP ＝3ME ． ∵点P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t +3）． ∵P 在第二象限，∴PM ＝﹣t 2﹣2t +3，ME ＝﹣1﹣t ，t ＜0，∴﹣t 2﹣2t +3＝3（﹣1﹣t ），解得：t 1＝﹣2，t 2＝3（与t ＜0矛盾，舍去）．当t ＝﹣2时，y ＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P （﹣2，3）．综上所述：当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．【点睛】本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC ，OD 的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP ＝3ME ．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx ﹣3（a≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ：S △PBQ =5：2，求K 点坐标．【答案】（1）y=38x 2﹣34x ﹣3 （2）运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910（3）K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158） 【解析】【详解】 试题分析：（1）把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣910（t ﹣1）2+910．利用二次函数的图象性质进行解答； （3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=34x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．结合已知条件和（2）中的结果求得S △CBK =94．则根据图形得到：S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12•EK•（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣34m 2+3m=94．易求得K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158）． 解：（1）把点A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得 423016430a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得3834a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以该抛物线的解析式为：y=38x 2﹣34x ﹣3； （2）设运动时间为t 秒，则AP=3t ，BQ=t ．∴PB=6﹣3t ．由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）． 在Rt △BOC 中，．如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．∴QH ∥CO ，∴△BHQ ∽△BOC ， ∴HB OC BG BC=，即Hb 35t =， ∴HQ=35t ． ∴S △PBQ =12PB•HQ=12（6﹣3t ）•35t=﹣910t 2+95t=﹣910（t ﹣1）2+910． 当△PBQ 存在时，0＜t ＜2∴当t=1时， S △PBQ 最大=910． 答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910； （3）设直线BC 的解析式为y=kx+c （k≠0）．把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得403k c c +=⎧⎨=-⎩， 解得3k 4c 3⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC 的解析式为y=34x ﹣3． ∵点K 在抛物线上． ∴设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，34m ﹣3）．∴EK=34m﹣3﹣（38m2﹣34m﹣3）=﹣38m2+32m．当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=9 10．∴S△CBK=94．S△CBK=S△CEK+S△BEK=12EK•m+12•EK•（4﹣m）=12×4•EK=2（﹣38m2+32m）=﹣34m2+3m．即：﹣34m2+3m=94．解得 m1=1，m2=3．∴K1（1，﹣278），K2（3，﹣158）．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；（Ⅱ）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q的坐标；（Ⅲ）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0），B（5，0）；（2）Q（5，45）；（3）M （1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．【解析】【分析】(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其关于原点的对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；(3)利用平移AC的思路，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.【详解】（Ⅰ）设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1，∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5，令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或5，∴A（﹣1，0），B（5，0）．（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5，得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，∴m=5或5（舍弃），∴Q（5，45）．（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．①当MK=OA，NK=OC=5时，四边形ACNM是平行四边形．∵此时点M的横坐标为1，∴y=8，∴M （1，8），N （2，13），②当M′K=OA=1，KN′=OC=5时，四边形ACM′N′是平行四边形，此时M′的横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC 可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.7．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点。

备战中考数学⼆次函数培优易错难题练习（含答案）及详细答案⼀、⼆次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知⼆次函数223y ax ax =-+的最⼤值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为D .（1）求该⼆次函数的解析式及点C ，D 的坐标；（2）点(,0)P t 是x 轴上的动点，①求PC PD -的最⼤值及对应的点P 的坐标；②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2||23y a x a x =-+的图像只有⼀个公共点，求t 的取值范围.【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或332t ≤<或72t =.【解析】【分析】（1）先利⽤对称轴公式x=2a12a--=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代⼊列⼆元⼀次⽅程组求出解析式；（2）根据三⾓形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最⼤值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；（3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,y x 23,0.x x x x ?-++≥=?--+的⼀部分，分三种情况进⾏计算：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，两图象有⼀个公共点，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t 的取值；②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x≥0）时有⼀个公共点时，求t 的值；③当线段PQ 过点（-3，0），即点P 与点（-3，0）重合时，线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x ＜0）时也有⼀个公共点，则当t≤-3时，都满⾜条件；综合以上结论，得出t 的取值．【详解】解：（1）∵2ax 12a-=-=，∴2y ax ax 3=-+的对称轴为x 1=. ∵2y ax ax 3=-+⼈最⼤值为4，∴抛物线过点()1,4. 得a 2a 34-+=，解得a 1=-.∴该⼆次函数的解析式为2y x 2x 3=-++.C 点坐标为()0,3，顶点D 的坐标为()1,4.（2）①∵PC PD CD -≤，连接DC 并延长交y 轴于点P ，PC PD CD -===∴PC PD -. 易得直线CD 的⽅程为y x 3=+. 把()P t,0代⼊，得t 3=-. ∴此时对应的点P 的坐标为()3,0-.②2y a |x |2a x 3=-+的解析式可化为22x 23,0,y x 23,0.x x x x ?-++≥=?--+设线段PQ 所在直线的⽅程为y kx b =+，将()P t,0，()Q 0,2t 的坐标代⼊，可得线段PQ 所在直线的⽅程为y 2x 2t =-+.（1）当线段PQ 过点()3,0-，即点P 与点()3,0-重合时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ?-++≥=?--+∴当t 3≤-时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ?-++≥=?--+（2）当线段PQ 过点()0,3，即点Q 与点C 重合时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ?-++≥=?--+当线段PQ 过点()3,0，即点P 与点()3,0重合时，t 3=，此时线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ?-++≥=?--+所以当3t 32≤<时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ?-++≥=?--+（3）将y 2x 2t =-+带⼊()2y x 2x 3x 0=-++≥，并整理，得2x 4x 2t 30-+-=.()Δ1642t 3288t =--=-.令288t 0-=，解得7t 2=t 2=时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ?-++≥=?--+综上所述，t 的取值范围为t 3≤-或3t 32≤<或7t 2=. 【点睛】本题考查了⼆次函数的综合应⽤，先利⽤待定系数法求解析式，同时把最⼤值与三⾓形的三边关系联系在⼀起；同时对于⼆次函数利⽤动点求取值问题，从特殊点⼊⼿，把函数分成⼏部分考虑，按⾃变量从⼤到⼩的顺序或从⼩到⼤的顺序求解．2．如图，抛物线212222y x x =-++与x 轴相交于A B ，两点，（点A 在B 点左侧）与y 轴交于点C.（Ⅰ）求A B ，两点坐标.（Ⅱ）连结AC ，若点P 在第⼀象限的抛物线上，P 的横坐标为t ，四边形ABPC 的⾯积为S.试⽤含t 的式⼦表⽰S ，并求t 为何值时，S 最⼤.（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上，若点,G H 分别为抛物线及其对称轴上的点，点G 的横坐标为m ，点H 的纵坐标为n ，且使得以,,,A G H P 四点构成的四边形为平⾏四边形，求满⾜条件的,m n 的值.【答案】（Ⅰ）(2,0),2,0)A B ；（Ⅱ）22(2)42(022)2S t t =--+<<,当2t =时，42S =最⼤；（Ⅲ）满⾜条件的点m n 、的值为：2324m n =-=，或521524m n ==-，或32124m n =-= 【解析】【分析】（Ⅰ）令y=0，建⽴⽅程求解即可得出结论；（Ⅱ）设出点P 的坐标，利⽤S=S △AOC +S 梯形OCPQ +S △PQB ，即可得出结论；（Ⅲ）分三种情况，利⽤平⾏四边形的性质对⾓线互相平分和中点坐标公式建⽴⽅程组即可得出结论．【详解】解：（Ⅰ）抛物线21222y x x =-++，令0y =，则2122022x x -++=，解得：2x =-或22x =，∴()()2,0,22,0A B - （Ⅱ）由抛物线212++，令0x =，∴2y =，∴()0,2C ，如图1，点P 作PQ x ⊥轴于Q ，∵P 的横坐标为t ，∴设(),P t p ，∴212 2,22,2p t t PQ p BQ t OQ t =-++==-=，∴()()11122222222AOCPQBOCPQ S SS Sp t t p =++=??++?+?-?梯形 11222222t pt p pt p t =+++-=++ 21222222t t t ??=-++++ ? ??()22242(022)t t =--+<<，∴当2t =时，42S =最⼤；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，2t =，∴)2,2P，∵抛物线212222y x x =-++的对称轴为22x =，∴设2122,2,2G m m H n -++ ??以,,,A G H P 四点构成的四边形为平⾏四边形，()2,0A ，①当AP 和HG 为对⾓线时，∴()211111,20222222m m n =++=-+++ ? ??，∴34m n ==，②当AG 和PH 是对⾓线时，∴(()211111,20222222m m n ??=-++=+ ? ????，∴154m n ==-，③AH 和PG 为对⾓线时，∴(()211111,22022222m m n =+-+++=+ ? ??，∴14m n ==，即：满⾜条件的点m n 、的值为：324m n =-=，或15,24m n ==-，或124m n =-= 【点睛】此题是⼆次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三⾓形的⾯积公式，梯形的⾯积公式，平⾏四边形的性质，中点坐标公式，⽤⽅程的思想解决问题是解本题的关键．3．函数()2110,>02y x mx x m =-++≥的图象记为1C ，函数()2110,>02y x mx x m =---<的图象记为2C ，其中m 为常数，1C 与2C 合起来的图象记为C .（Ⅰ）若1C 过点()1,1时，求m 的值；（Ⅱ）若2C 的顶点在直线1y =上，求m 的值；（Ⅲ）设C 在42x -≤≤上最⾼点的纵坐标为0y ，当0392y ≤≤时，求m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12m =；（Ⅱ）2m =；（Ⅲ）912m ≤≤. 【解析】【分析】（Ⅰ）将点C 的坐标代⼊1C 的解析式即可求出m 的值；（Ⅱ）先求出抛物线2C 的顶点坐标，再根据顶点在直线y 1=上得出关于m 的⽅程，解之即可（Ⅲ）先求出抛物线1C 的顶点坐标，结合（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标，和x 的取值范围，分三种情形讨论求解即可；【详解】解：（Ⅰ）将点()1,1代⼊1C 的解析式，解得1m .2=（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标为2m m,12??--，令2m 112-=，得m 2,=± ∵m>0，∴m 2.=（Ⅲ）∵抛物线1C 的顶点2m P m,12??+ ，抛物线2C 的顶点2m Q m,12??--，当0m 2<≤时，最⾼点是抛物线G 1的顶点∴203m y 1922≤=+≤，解得1m 2.≤≤ 当2m 4<≤时，G 1中（2，2m-1）是最⾼点，0y =2m-1 ∴32<≤. 综上所述，91m 2≤≤即为所求. 【点睛】本题考查⼆次函数综合题，待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运⽤所学知识解决问题，学会⽤分类讨论的思想思考问题，利⽤数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．4．如图，已知⼆次函数的图象过点O （0，0）．A （8，4），与x 轴交于另⼀点B ，且对称轴是直线x ＝3．（1）求该⼆次函数的解析式；（2）若M 是OB 上的⼀点，作MN ∥AB 交OA 于N ，当△ANM ⾯积最⼤时，求M 的坐标；（3）P 是x 轴上的点，过P 作PQ ⊥x 轴与抛物线交于Q ．过A 作AC ⊥x 轴于C ，当以O ，P ，Q 为顶点的三⾓形与以O ，A ，C 为顶点的三⾓形相似时，求P 点的坐标．【答案】（1）21342y x x =-；（2）当t ＝3时，S △AMN 有最⼤值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．【解析】【分析】（1）先利⽤抛物线的对称性确定B （6，0），然后设交点式求抛物线解析式；（2）设M （t ，0），先其求出直线OA 的解析式为12y x =直线AB 的解析式为y=2x-12，直线MN 的解析式为y=2x-2t ，再通过解⽅程组1222y x y x t==-?得N （42t,t 33），接着利⽤三⾓形⾯积公式，利⽤S △AMN =S △AOM -S △NOM 得到AMN 112S 4t t t 223=-然后根据⼆次函数的性质解决问题；（3）设Q 213m,m m 42?- ，根据相似三⾓形的判定⽅法，当PQ PO OC AC=时，△PQO ∽△COA ，则213m m 2|m |42-=；当PQ POAC OC=时，△PQO ∽△CAO ，则2131m m m 422-=，然后分别解关于m 的绝对值⽅程可得到对应的P 点坐标．【详解】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x ＝3，∴B 点坐标为（6，0），，∴抛物线解析式为y ＝14x （x ﹣6），即y ＝14x 2﹣32x ；（2）设M （t ，0），易得直线OA 的解析式为y ＝12x ，设直线AB 的解析式为y ＝kx+b ，把B （6，0），A （8，4）代⼊得6084k b k b +=??+=?，解得k 2b 12=??=-?，∴直线AB 的解析式为y ＝2x ﹣12，∵MN ∥AB ，∴设直线MN 的解析式为y ＝2x+n ，把M （t ，0）代⼊得2t+n ＝0，解得n ＝﹣2t ，∴直线MN 的解析式为y ＝2x ﹣2t ，解⽅程组1222y x y x t ?==-?得4323x t y t ?==??，则42N t,t 33?? ???，∴S △AMN ＝S △AOM ﹣S △NOM1124t t t 223=- 21t 2t 3=-+21(t 3)33=--+，当t ＝3时，S △AMN 有最⼤值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）设213m,m m 42??-，∵∠OPQ ＝∠ACO ，∴当PQ PO OC AC =时，△PQO ∽△COA ，即PQ PO 84=，∴PQ ＝2PO ，即213m m 2|m |42-=，解⽅程213m m 2m 42-=得m 1＝0（舍去），m 2＝14，此时P 点坐标为（14，0）；解⽅程213m m 2m 42-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，0）；∴当PO ，即2131m m m 422-=，解⽅程2131m m m 422=-=得m 1＝0（舍去），m 2＝8，此时P 点坐标为（8，0）；解⽅程2131m m m 422=-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝4，此时P 点坐标为（4，0）；综上所述，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．【点睛】本题考查了⼆次函数的综合题：熟练掌握⼆次函数图象上点的坐标特征和⼆次函数的性质；会利⽤待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运⽤相似⽐表⽰线段之间的关系；会运⽤分类讨论的思想解决数学问题．5．如图，已知⼆次函数图象的顶点坐标为(1,4)A ，与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B 点的坐标为(1,0)-．（1）求⼆次函数的解析式；（2）在⼆次函数图象位于x 轴上⽅部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最⼤值；（3）当矩形MNHG 的周长最⼤时，能否在⼆次函数图象上找到⼀点P ，使PNC ?的⾯积是矩形MNHG ⾯积的916若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++ （2）最⼤值为10 （3）故点P 坐标为：315(,)24或332362+--或332362--+．【解析】【分析】（1）⼆次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代⼊上式，即可求解；（2）矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，即可求解；（3）2711sin4532822PNC S PK CD PH ?==??=94PH HG ==，即可求解．【详解】（1）⼆次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代⼊上式得：044a =+，解得：1a =-，故函数表达式为：223y x x =-++…①；,23x x x -++，则点()22,23N x x x --++，则222MN x x x =-+=-，223GM x x =-++，矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，∵20-<，故当22bx a=-=，C 有最⼤值，最⼤值为10，此时2x =，点()0,3N 与点D 重合；（3）PNC ?的⾯积是矩形MNHG ⾯积的916，则99272316168PNC S MN GM ?===，连接DC ，在CD 得上下⽅等距离处作CD 的平⾏线m 、n ，过点P 作y 轴的平⾏线交CD 、直线n 于点H 、G ，即PH GH =，过点P 作PK CD ⊥于点K ，将()3,0C 、()0,3D 坐标代⼊⼀次函数表达式并解得：直线CD 的表达式为：3y x =-+，OC OD =，∴45OCD ODC PHK ∠=∠=?=∠，32CD =设点()2,23P x x x -++，则点(),3H x x -+，2711sin4532822PNC S PK CD PH ?==??= 解得：94PH HG ==，则292334PH x x x =-+++-=，解得：32x =直线n 的表达式为：93344y x x =-+-=-+…②，联⽴①②并解得：3322x ±=，即点'P 、''P 的坐标分别为332362,??+-- ? ???、332362,??--+ ? ???；故点P 坐标为：315,24?? ???或332362,24??+-- ? ???或332362,24??--+ ? ???．【点睛】主要考查了⼆次函数的解析式的求法和与⼏何图形结合的综合能⼒的培养．要会利⽤数形结合的思想把代数和⼏何图形结合起来，利⽤点的坐标的意义表⽰线段的长度，从⽽求出线段之间的关系．6．如图1，抛物线C 1：y=ax 2﹣2ax+c （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．已知点A 的坐标为（﹣1，0），点O 为坐标原点，OC=3OA ，抛物线C 1的顶点为G ．（1）求出抛物线C 1的解析式，并写出点G 的坐标；（2）如图2，将抛物线C 1向下平移k （k ＞0）个单位，得到抛物线C 2，设C 2与x 轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三⾓形时，求k 的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M 为x 轴正半轴上⼀动点，过点M 作x 轴的垂线分别交抛物线C 1、C 2于P 、Q 两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N ，使得以P 、Q 、N 为顶点的三⾓形与△AOQ 全等，若存在，直接写出点M ，N 的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线C 1的解析式为y=﹣x 2+2x+3，点G 的坐标为（1，4）；（2）k=1；（3）M 1113+0）、N 1131）；M 2113+，0）、N 2（1，﹣1）；M 3（4，0）、N 3（10，﹣1）；M 4（4，0）、N 4（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】（1）由点A 的坐标及OC=3OA 得点C 坐标，将A 、C 坐标代⼊解析式求解可得；（2）设抛物线C 2的解析式为y=﹣x 2+2x+3﹣k ，即y=﹣（x ﹣1）2+4﹣k ，′作G′D ⊥x 轴于点D ，设BD′=m ，由等边三⾓形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m ），代⼊所设解析式求解可得；（3）设M （x ，0），则P （x ，﹣x 2+2x+3）、Q （x ，﹣x 2+2x+2），根据PQ=OA=1且∠AOQ 、∠PQN 均为钝⾓知△AOQ ≌△PQN ，延长PQ 交直线y=﹣1于点H ，证△OQM ≌△QNH ，根据对应边相等建⽴关于x 的⽅程，解之求得x 的值从⽽进⼀步求解即可．【详解】（1）∵点A 的坐标为（﹣1，0），∴OA=1，∴OC=3OA ，∴点C 的坐标为（0，3），将A 、C 坐标代⼊y=ax 2﹣2ax+c ，得：203a a c c ++=??=?，解得：13a c =-??=?，∴抛物线C 1的解析式为y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，所以点G 的坐标为（1，4）；（2）设抛物线C 2的解析式为y=﹣x 2+2x+3﹣k ，即y=﹣（x ﹣1）2+4﹣k ，过点G ′作G′D ⊥x 轴于点D ，设BD′=m ，∵△A′B′G′为等边三⾓形，∴33，则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（13），将点B′、G′的坐标代⼊y=﹣（x ﹣1）2+4﹣k ，得：24043m k k m-+-=-=??，解得：1104m k =??=?（舍），2231m k ?=??=??，∴k=1；（3）设M （x ，0），则P （x ，﹣x 2+2x+3）、Q （x ，﹣x 2+2x+2），∴PQ=OA=1，∵∠AOQ 、∠PQN 均为钝⾓，∴△AOQ ≌△PQN ，如图2，延长PQ 交直线y=﹣1于点H ，则∠QHN=∠OMQ=90°，⼜∵△AOQ ≌△PQN ，∴OQ=QN ，∠AOQ=∠PQN ，∴∠MOQ=∠HQN ，∴△OQM ≌△QNH （AAS ），∴OM=QH ，即x=﹣x 2+2x+2+1，解得：x=113±（负值舍去），当x=1132+时，HN=QM=﹣x 2+2x+2=1312-，点M （1132+，0），∴点N 坐标为（113++131-，﹣1），即（13，﹣1）；或（113+﹣131-，﹣1），即（1，﹣1）；如图3，同理可得△OQM ≌△PNH ，∴OM=PH ，即x=﹣（﹣x 2+2x+2）﹣1，解得：x=﹣1（舍）或x=4，当x=4时，点M 的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x 2+2x+2）=6，∴点N 的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；综上点M 1（1132+，0）、N 1（13，﹣1）；M 2（1132+，0）、N 2（1，﹣1）；M 3（4，0）、N 3（10，﹣1）；M 4（4，0）、N 4（﹣2，﹣1）．【点睛】本题考查的是⼆次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三⾓形的性质、全等三⾓形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三⾓形的性质、全等三⾓形的判定与性质、运⽤分类讨论思想是解题的关键.7．如图，在平⾯直⾓坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找⼀点M ，使△BDM 的周长最⼩，求出点M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直⾓边的三⾓形是直⾓三⾓形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；直线AC 的解析式为y=3x+3；（2）点M 的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a （x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a 即可得到抛物线解析式；再确定C （0，3），然后利⽤待定系数法求直线AC 的解析式；（2）利⽤⼆次函数的性质确定D 的坐标为（1，4），作B 点关于y 轴的对称点B′，连接DB′交y 轴于M ，如图1，则B′（-3，0），利⽤两点之间线段最短可判断此时MB+MD 的值最⼩，则此时△BDM 的周长最⼩，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M 的坐标；（3）过点C 作AC 的垂线交抛物线于另⼀点P ，如图2，利⽤两直线垂直⼀次项系数互为负倒数设直线PC 的解析式为y=-13x+b ，把C 点坐标代⼊求出b 得到直线PC 的解析式为y=-13x+3，再解⽅程组223133y x x y x ?-++??-+?＝＝得此时P 点坐标；当过点A 作AC 的垂线交抛物线于另⼀点P 时，利⽤同样的⽅法可求出此时P 点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代⼊得3p qq-+==，解得33pq==，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最⼩，⽽BD的值不变，∴此时△BDM的周长最⼩，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另⼀点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代⼊得b=3，∴直线PC 的解析式为y=﹣13x+3，解⽅程组223133y x x y x ?-++??-+??＝＝，解得03x y =??=?或73209x y ?==??，则此时P 点坐标为（73，209）；过点A 作AC 的垂线交抛物线于另⼀点P ，直线PC 的解析式可设为y=﹣x+b ，把A （﹣1，0）代⼊得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC 的解析式为y=﹣13x ﹣13，解⽅程组2231133y x x y x ?-++??--＝＝，解得10x y =-??=?或103139x y ?==-??，则此时P 点坐标为（103，﹣139）. 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139）. 点睛：本题考查了⼆次函数的综合题：熟练掌握⼆次函数图象上点的坐标特征和⼆次函数的性质；会利⽤待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时⼀次项系数的关系，通过解⽅程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运⽤两点之间线段最短解决最短路径问题；会运⽤分类讨论的思想解决数学问题．8．已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ??=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平⾏四边形时，直接写出满⾜条件的点P 的坐标．【答案】（1）抛物线的表达式为：228y x x =-++，直线AB 的表达式为：21y x =-；（2）存在，理由见解析；点P (6,16)-或(4,16)--或(17,2)+或(17,2)．【解析】【分析】（1）⼆次函数表达式为：y=a （x-1）2+9，即可求解；（2）S △DAC =2S △DCM ，则()()()()()21112821139112222DACC A SDH x x x x x x =-=-++-++=--?，，即可求解；（3）分AM 是平⾏四边形的⼀条边、AM 是平⾏四边形的对⾓线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）⼆次函数表达式为：()219y a x =-+，将点A 的坐标代⼊上式并解得：1a =-，故抛物线的表达式为：228y x x =-++…①，则点()3,5B ，将点,A B 的坐标代⼊⼀次函数表达式并解得：直线AB 的表达式为：21y x =-；（2）存在，理由：⼆次函数对称轴为：1x =，则点()1,1C ，过点D 作y 轴的平⾏线交AB 于点H ，设点()2,28D x x x -++，点(),21H x x -，∵2DAC DCM S S ??=，则()()()()()21112821139112222DACC A SDH x x x x x x =-=-++-++=--?，解得：1x =-或5（舍去5），故点()1,5D -；（3）设点(),0Q m 、点(),P s t ，228t s s =-++，①当AM 是平⾏四边形的⼀条边时，点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ，同理，点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --，即为点P ，即：4m s -=，6t -=，⽽228t s s =-++，解得：6s =或﹣4，故点()6,16P -或()4,16--；②当AM 是平⾏四边形的对⾓线时，由中点公式得：2m s +=-，2t =，⽽228t s s =-++，解得：17s =±故点()17,2P 或()17,2；综上，点()6,16P -或()4,16--或()17,2或()17,2．【点睛】本题考查的是⼆次函数综合运⽤，涉及到⼀次函数、平⾏四边形性质、图形的⾯积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．9．如图，已知直线AB 与抛物线C ：2y ax 2x c =++ 相交于()1,0A -和点()B 2,3两点.⑴求抛物线C 的函数表达式；⑵若点M 是位于直线AB 上⽅抛物线上的⼀动点，以MA MB 、为相邻两边作平⾏四边形MANB ,当平⾏四边形MANB 的⾯积最⼤时，求此时四边形MANB 的⾯积S 及点M 的坐标；⑶在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ,使抛物线C 上任意⼀点P 到点F 的距离等于到直线17y 4=的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】⑴2y x 2x 3=-++；⑵当12a =，S □MANB =2S △ABM =274，此时115M ,24?? ???；⑶存在. 当15F 1,4??时，⽆论x 取任何实数，均有PG PF =. 理由见解析.【解析】【分析】（1）利⽤待定系数法，将A ，B 的坐标代⼊y=ax 2+2x+c 即可求得⼆次函数的解析式；（2）过点M 作MH ⊥x 轴于H ，交直线AB 于K ，求出直线AB 的解析式，设点M （a ，-a 2+2a+3），则K （a ，a+1），利⽤函数思想求出MK 的最⼤值，再求出△AMB ⾯积的最⼤值，可推出此时平⾏四边形MANB 的⾯积S 及点M 的坐标；（3）如图2，分别过点B ，C 作直线y=174的垂线，垂⾜为N ，H ，设抛物线对称轴上存在点F ，使抛物线C 上任意⼀点P 到点F 的距离等于到直线y=174的距离，其中F （1，a ），连接BF ，CF ，则可根据BF=BN ，CF=CN 两组等量关系列出关于a 的⽅程组，解⽅程组即可．【详解】（1）由题意把点（-1，0）、（2，3）代⼊y=ax 2+2x+c ，得，20443a c a c -+=??++=?，解得a=-1，c=3，∴此抛物线C 函数表达式为：y=-x 2+2x+3；（2）如图1，过点M 作MH ⊥x 轴于H ，交直线AB 于K ，。

初三数学二次函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及答案解析一、二次函数1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x =+.（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 1317t +=2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛+- ⎝⎭或3171,2⎛- ⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．2．在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线233(0)y ax x a =≠经过点3,3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点C .（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标；（Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为212y x x =-;抛物线的对称轴为直线x =;（Ⅱ）P 点坐标为9(0,)4-;（Ⅲ）存在，Q点坐标为或(-，理由见解析【解析】【分析】（Ⅰ）将3)A -点代入二次函数的解析式，即可求出a ，再根据对称轴的公式即可求解.（Ⅱ）先求出B 点胡坐标，要求PA PB +胡最小值，只需找到B 关于轴的对称点1B ，则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ，根据待定系数法求出AB 1的解析式，令y=0，即可求出P 点的坐标.（Ⅲ）设点Q 的坐标，并求出△AOQ 面积，从而得到△AOQ 面积，根据Q 点胡不同位置进行分类，用m 及割补法求出面积方程，即可求解.【详解】（Ⅰ）∵2(0)2y ax x a =-≠经过点3)A -，∴232a -=⨯-12a =， ∴抛物线的解析式为212y x x =，∵21222b x a -=-=-=⨯ ∴抛物线的对称轴为直线2x =. （Ⅱ）∵点(0,0)O，对称轴为x =， ∴点O 关于对称轴的对称点B点坐标为.作点B 关于轴的对称点1B，得1(B -，设直线AB 1的解析式为y kx b =+，把点3)A -，点1(B -代入得30b b⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得3494kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴3944y x=--.∴直线394y x=--与y轴的交点即为P点.令0x=得9y4=-，∵P点坐标为9(0,)4-.（Ⅲ）∵(3,3)A-，//AC x轴，∴3AC=，3OC=，∴11333322AOCS OC AC∆=⋅=⋅⋅=，又∵13AOC AOQS S∆∆=，∴933AOQ AOCS S∆∆==.设Q点坐标为2133(,)22m m m-，如图情况一，作QR CA⊥，交CA延长线于点R，∵93AOQ AOC AQROCRQS S S S∆∆∆=--=梯形，∴()21133113333322222mm m m⎛⎫⋅+-+-⋅⋅-⎪⎪⎭-⎝2133933222m m⎛⎫-+=⎪⎪⎝⎭，化简整理得23180m m--=，解得133m=，223m=-.如图情况二，作QN AC⊥，交AC延长线于点N，交x轴于点M，∵93AOQ AQN QMO OMNAS S S S∆∆∆=--=梯形∴2211331133(3m)3()2222m m m m m ⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭393(3)2m m --+-=，化简整理得23180m m --=，解得133m =，223m =-，∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-，∴抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=.【点睛】主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.3．如图，已知抛物线经过点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到△A 1O 1C 1，点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标．【答案】（1）y=-21x 2+32x+2；（2）存在，Q （3，2）或Q （-1，0）；（3）两个和谐点，A 1的横坐标是1，12. 【解析】【分析】（1）把点A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM=90°或∠MQB=90°，即可求得Q 点的坐标． （3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1），①当A 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是1；当O 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是2；【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，将点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）代入解析式，∴0a b c 016a 4b c 2c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩， ∴1a 23b 2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴y=-21x 2+32x+2； （2）∵点C 与点D 关于x 轴对称，∴D （0，-2）．设直线BD 的解析式为y=kx-2．∵将（4，0）代入得：4k-2=0，∴k=12． ∴直线BD 的解析式为y=12x-2． 当P 点与A 点重合时，△BQM 是直角三角形，此时Q （-1，0）；当BQ ⊥BD 时，△BQM 是直角三角形，则直线BQ 的直线解析式为y=-2x+8，∴-2x+8=-21x 2+32x+2，可求x=3或x=4（舍） ∴x=3；∴Q （3，2）或Q （-1，0）；（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1），①当A 1、C 1在抛物线上时， ∴()2213y x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩， ∴x 1y 3=⎧⎨=⎩， ∴A 1的横坐标是1；当O 1、C 1在抛物线上时，()2213y 1x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧-=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩， ∴1x 221y 8⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴A 1的横坐标是12；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．4．如图，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P，使得△ABP的面积为△ABC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，当以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，－5）；（4）52或5．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得16403a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得14ab=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝12×2×3＝3．（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP∴6＋12×（m－1）×（3＋m2－4m）＝12×3×3＋12×（3＋m－1）（m2－4m）整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．（4）52或5．提示：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝52；②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；③当以C为直角顶点时，此种情况不存在．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.5．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x 2﹣2x+3；（2）抛物线与x 轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y 轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x 轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x 轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x 轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a （x+1）2+4，将B （2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x 2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y 轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x 2﹣2x+3=0，解得：x 1=﹣3，x 2=1，即抛物线与x 轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x 轴的交点为M 、N （M 在N 的左侧），由（2）知：M （﹣3，0），N （1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M 与O 重合，因此抛物线向右平移了3个单位， 故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S △OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.6．如图，抛物线2y ax bx c =++的图象过点(10)(30)(03)A B C ﹣，、，、，.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得PAM PAC S S ∆∆＝？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =++-；（2）存在，点(12)P ，1032；（3）存在，点M 坐标为(14)， 【解析】【分析】（1）由于条件给出抛物线与x 轴的交点1030A B （﹣，）、（，），故可设交点式13y a x x +＝（）（﹣），把点C 代入即求得a 的值，减小计算量．（2）由于点A 、B 关于对称轴：直线1x ＝对称，故有PA PB ＝，则PAC C AC PC PA AC PC PB ∆++++＝＝，所以当C 、P 、B 在同一直线上时，PAC C AC CB ∆+＝最小．利用点A 、B 、C 的坐标求AC 、CB 的长，求直线BC 解析式，把1x ＝代入即求得点P 纵坐标．（3）由PAM PAC S S ∆∆＝可得，当两三角形以PA 为底时，高相等，即点C 和点M 到直线PA 距离相等．又因为M 在x 轴上方，故有//CM PA ．由点A 、P 坐标求直线AP 解析式，即得到直线CM 解析式．把直线CM 解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M 坐标．【详解】解：（1）∵抛物线与x 轴交于点1030A B （﹣，）、（，）∴可设交点式13y a x x +＝（）（﹣） 把点03C （，）代入得：33a ﹣＝1a ∴＝﹣21323y x x x x ∴+++＝-（）（﹣）＝﹣∴抛物线解析式为223y x x ++＝-（2）在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PAC ∆的周长最小．如图1，连接PB 、BC∵点P 在抛物线对称轴直线1x ＝上，点A 、B 关于对称轴对称PA PB ∴＝PAC C AC PC PA AC PC PB ∆∴++++＝＝∵当C 、P 、B 在同一直线上时，PC PB CB +＝最小103003A B C Q （﹣，）、（，）、（，）AC BC ∴===PAC C AC CB ∆∴+＝设直线BC 解析式为3y kx +＝把点B 代入得：330k +＝，解得：1k ＝﹣∴直线BC ：3y x +＝﹣132P y ∴+＝﹣＝∴点12P （，）使PAC ∆． （3）存在满足条件的点M ，使得PAM PAC S S ∆∆＝．∵PAM PAC S S ∆∆＝S △PAM ＝S △PAC∴当以PA 为底时，两三角形等高∴点C 和点M 到直线PA 距离相等∵M 在x 轴上方//CM PA ∴1012A P Q （﹣，），（，），设直线AP 解析式为y px d +＝ 02p d p d -+=⎧∴⎨+=⎩ 解得：p 1d 1=⎧⎨=⎩∴直线1AP y x +：＝∴直线CM 解析式为：3y x +＝2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩Q 解得：1103x y =⎧⎨=⎩（即点C ），2214x y =⎧⎨=⎩ ∴点M 坐标为14（，）【点睛】考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题条件给出点M 在x 轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单．7．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A ，与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B 点的坐标为(1,0)-．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG 的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P ，使PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++ （2）最大值为10 （3）故点P 坐标为：315(,)24或33232(24+--或332362(,24--+． 【解析】【分析】（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代入上式，即可求解； （2）矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，即可求解； （3）2711sin4532822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯，解得：94PH HG ==，即可求解．【详解】（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代入上式得：044a =+，解得：1a =-，故函数表达式为：223y x x =-++…①；（2）设点M 的坐标为()2,23x x x -++，则点()22,23N x x x --++，则222MN x x x =-+=-，223GM x x =-++，矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++， ∵20-<，故当22b x a=-=，C 有最大值，最大值为10， 此时2x =，点()0,3N 与点D 重合； （3）PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916， 则99272316168PNC S MN GM ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 连接DC ，在CD 得上下方等距离处作CD 的平行线m 、n ，过点P 作y 轴的平行线交CD 、直线n 于点H 、G ，即PH GH =，过点P 作PK CD ⊥于点K ，将()3,0C 、()0,3D 坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD 的表达式为：3y x =-+，OC OD =，∴45OCD ODC PHK ∠=∠=︒=∠，32CD =设点()2,23P x x x -++，则点(),3H x x -+， 2711sin4532822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯解得：94PH HG ==， 则292334PH x x x =-+++-=， 解得：32x =， 故点315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线n 的表达式为：93344y x x =-+-=-+…②， 联立①②并解得：332x ±=， 即点'P 、''P 的坐标分别为332362,24⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭、332362,24⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭； 故点P 坐标为：315,24⎛⎫⎪⎝⎭或332362,24⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭或332362,24⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．8．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （﹣3，0），C （0，3），D （﹣1，4）；（2）E （37-，0）；（3）P （2，﹣5）或（1，0）．【解析】 试题分析：（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x 的一元二次方程即可得出点A 、B 的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y 值即可得出点C 坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D 的坐标；（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，由点C 的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D 的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D 的解析式，令其y=0求出x 值，即可得出点E 的坐标；（3）根据点A 、C 的坐标利用待定系数法求出直线AC 的解析式，假设存在，设点F （m ，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A 、F 点的坐标找出点P 的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m 的一元二次方程，解方程求出m 值，再代入点P 坐标中即可得出结论．试题解析：（1）当223y x x =--+中y=0时，有2230x x --+=，解得：1x =﹣3，2x =1，∵A 在B 的左侧，∴A （﹣3，0），B （1，0）．当223y x x =--+中x=0时，则y=3，∴C （0，3）．∵223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点D （﹣1，4）．（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，如图1所示．∵C （0，3），∴C′（0，﹣3）． 设直线C′D 的解析式为y=kx+b ，则有：3{4b k b =--+=，解得：7{3k b =-=-，∴直线C′D 的解析式为y=﹣7x ﹣3，当y=﹣7x ﹣3中y=0时，x=37-，∴当△CDE 的周长最小，点E 的坐标为（37-，0）． （3）设直线AC 的解析式为y=ax+c ，则有：3{30c a c =-+=，解得：1{3a c ==，∴直线AC 的解析式为y=x+3．假设存在，设点F （m ，m+3），△AFP 为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）： ①当∠PAF=90°时，P （m ，﹣m ﹣3），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴2323m m m --=--+，解得：m 1=﹣3（舍去），m 2=2，此时点P 的坐标为（2，﹣5）；②当∠AFP=90°时，P （2m+3，0）∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴20(23)2(23)3m m =-+-++，解得：m 3=﹣3（舍去），m 4=﹣1，此时点P 的坐标为（1，0）；③当∠APF=90°时，P （m ，0），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴2023m m =--+，解得：m 5=﹣3（舍去），m 6=1，此时点P 的坐标为（1，0）． 综上可知：在抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，点P 的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．考点：二次函数综合题；最值问题；存在型；分类讨论；综合题．9．如图1，抛物线C 1：y=ax 2﹣2ax+c （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．已知点A 的坐标为（﹣1，0），点O 为坐标原点，OC=3OA ，抛物线C 1的顶点为G ．（1）求出抛物线C 1的解析式，并写出点G 的坐标；（2）如图2，将抛物线C 1向下平移k （k ＞0）个单位，得到抛物线C 2，设C 2与x 轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k 的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M 为x 轴正半轴上一动点，过点M 作x 轴的垂线分别交抛物线C 1、C 2于P 、Q 两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N ，使得以P 、Q 、N 为顶点的三角形与△AOQ 全等，若存在，直接写出点M ，N 的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线C 1的解析式为y=﹣x 2+2x+3，点G 的坐标为（1，4）；（2）k=1；（3）M 1113+0）、N 1131）；M 2113+，0）、N 2（1，﹣1）；M 3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m），代入所设解析式求解可得；（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可．【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA=1，∴OC=3OA，∴点C的坐标为（0，3），将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：203a a cc++=⎧⎨=⎩，解得：13ac=-⎧⎨=⎩，∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，所以点G的坐标为（1，4）；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，∵△A′B′G′为等边三角形，∴33，则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（13），将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：24043m kk m⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，解得：114mk=⎧⎨=⎩（舍），2231mk⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴k=1；（3）设M （x ，0），则P （x ，﹣x 2+2x+3）、Q （x ，﹣x 2+2x+2），∴PQ=OA=1，∵∠AOQ 、∠PQN 均为钝角，∴△AOQ ≌△PQN ，如图2，延长PQ 交直线y=﹣1于点H ，则∠QHN=∠OMQ=90°，又∵△AOQ ≌△PQN ，∴OQ=QN ，∠AOQ=∠PQN ，∴∠MOQ=∠HQN ，∴△OQM ≌△QNH （AAS ），∴OM=QH ，即x=﹣x 2+2x+2+1，解得：x=1132±（负值舍去）， 当x=113+时，HN=QM=﹣x 2+2x+2=131-，点M （113+，0）， ∴点N 坐标为（113++131-，﹣1），即（13，﹣1）； 或（113+﹣131-，﹣1），即（1，﹣1）； 如图3，同理可得△OQM ≌△PNH ，∴OM=PH ，即x=﹣（﹣x 2+2x+2）﹣1，解得：x=﹣1（舍）或x=4，当x=4时，点M 的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x 2+2x+2）=6，∴点N 的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）； 综上点M 1（1132+，0）、N 1（13，﹣1）；M 2（1132+，0）、N 2（1，﹣1）；M 3（4，0）、N 3（10，﹣1）；M 4（4，0）、N 4（﹣2，﹣1）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.10．如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是 ______；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ______．【答案】（1）()2,9；（2）①95DP =②92155n <<. 【解析】【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点C （2，95），A （-52，0），点A 关于对称轴对称的点（132，0），借助AD 的直线解析式求得B （5，3）；①当n=275时，N （2，275），可求DA=2，DN=185，CD=365，当PQ ∥AB 时，△DPQ ∽△DAB ，；当PQ 与AB 不平行时，②当PQ ∥AB ，DB=DP 时，DN=245，所以N （2，215），则有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，95＜n ＜215. 【详解】（1）顶点为()2,9D ； 故答案为()2,9； （2）对称轴2x =，9(2,)5C ∴，由已知可求5(,0)2A -，点A 关于2x =对称点为13(,0)2， 则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+，(5,3)B ∴，①当275n =时，27(2,)5N ，2DA ∴=，182DN =，365CD =当PQ AB ∥时，PDQ DAB ∆∆:，DAC DPN ∆∆Q :，DP DN DA DC∴=，DP ∴=当PQ 与AB 不平行时，DPQ DBA ∆∆:，DNQ DCA ∴∆∆:，DP DNDB DC∴=，DP ∴=综上所述DP = ②当PQ AB ∥，DB DP =时，DB =DP DNDA DC∴=，245DN ∴=， 21(2,)5N ∴， ∴有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，92155n <<； 故答案为92155n <<； 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．11．如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.（1）求抛物线的解析式； （2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）当t=时，△PEF 的面积最大，其最大值为×，最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P ，t 的值为1或【解析】试题分析：（1）由A 、B 、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由A 、C 坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E 点坐标，从而可求得直线EF 的解析式，作PH ⊥x 轴，交直线l 于点M ，作FN ⊥PH ，则可用t 表示出PM 的长，从而可表示出△PEF 的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG ⊥y 轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．试题解析：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴BC=AD=2，∵B（﹣1，0），∴C（1，0），∴线段AC的中点为（，），∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，∴直线l过平行四边形的对称中心，∵A、D关于对称轴对称，∴抛物线对称轴为x=1，∴E（3，0），设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，∴直线l的解析式为y=﹣x+，联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，∴F（﹣，），如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，∵P点横坐标为t，∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，∴最大值的立方根为=；（3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA=45°，∴∠PAG=∠APG=45°，∴PG=AG，∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴，即，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．考点：二次函数综合题12．抛物线与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（2，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②F（3，2），（3，7）．【解析】试题分析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，通过△CDE∽△CBO得到，即，求得有最小值1，即可求得结果；②存在，求得抛物线的对称方程为x=3，设F（3，m），当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．试题解析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即，解得：，，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，即，∴DE=4﹣2t，∴===，∵0＜t＜2，始终为正数，且t=1时，有最大值1，∴t=1时，有最小值1，即t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②存在，∵抛物线的对称轴方程为x=3，设F（3，m），∴，=，=，当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，，即，解得：m=2，②当∠EFP=90°时，，即，解得；m=0或m=1，不合题意舍去，∴当∠EFP=90°时，这种情况不存在，③当∠PEF=90°时，，即，解得：m=7，综上所述，F（3，2），（3，7）．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．二次函数的最值；5．分类讨论；6．压轴题．13．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m 分别交直线BC 和抛物线于点M ，N ，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出m 的值．【答案】（1）这个二次函数的表达式是y=x 2﹣4x+3；（2）S △BCP 最大=278；（3）当△BMN 是等腰三角形时，m 22，1，2． 【解析】分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE 的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案； （3）根据等腰三角形的定义，可得关于m 的方程，根据解方程，可得答案． 详解：（1）将A （1，0），B （3，0）代入函数解析式，得309330a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝， 解得14a b ⎧⎨-⎩＝＝， 这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3； （2）当x=0时，y=3，即点C （0，3），设BC 的表达式为y=kx+b ，将点B （3，0）点C （0，3）代入函数解析式，得300k b b +⎧⎨⎩＝＝， 解这个方程组，得13k b -⎧⎨⎩＝＝ 直线BC 的解析是为y=-x+3， 过点P 作PE ∥y 轴，交直线BC于点E（t，-t+3），PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，∴S△BCP=S△BPE+S CPE=12（-t2+3t）×3=-32（t-32）2+278，∵-32＜0，∴当t=32时，S△BCP最大=278.（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3）MN=m2-3m，2|m-3|，当MN=BM时，①m22（m-3），解得2，②m22m-3），解得2当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），当△BMN是等腰三角形时，m22，1，2．点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．14．已知二次函数y=﹣316x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣92）两点．（1）求b，c的值．（2）二次函数y=﹣316x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．【答案】（1）983bc⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．【解析】【分析】（1）把点A 、B 的坐标分别代入函数解析式求得b 、c 的值；（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x 轴有交点，由题意得到方程﹣239168x x ++3=0，通过解该方程求得x 的值即为抛物线与x 轴交点横坐标． 【详解】（1）把A （0，3），B （﹣4，﹣92）分别代入y=﹣316x 2+bx+c ，得339164162c b c =⎧⎪⎨-⨯-+=-⎪⎩，解得983b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣316x 2+98x+3， △=（98）2﹣4×（﹣316）×3=22564＞0， 所以二次函数y=﹣316x 2+bx+c 的图象与x 轴有公共点， ∵﹣316x 2+98x+3=0的解为：x 1=﹣2，x 2=8， ∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系．15．如图1，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （1，0）两点，过点B 的直线y=kx+23分别与y 轴及抛物线交于点C ，D ． （1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P 从点O 出发，在x 轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△PDC 为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t 的值；（3）如图2，将直线BD 沿y 轴向下平移4个单位后，与x 轴，y 轴分别交于E ，F 两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M ，在直线EF 上是否存在点N ，使DM+MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y=228233x x +-，BD 解析式为y=﹣2233x +；（2）t 的值为4915129±、233．（3）N 点坐标为（﹣2，﹣2），M 点坐标为（﹣32，﹣54），213 【解析】分析：（1）利用待定系数法求解可得；（2）先求得点D 的坐标，过点D 分别作DE ⊥x 轴、DF ⊥y 轴，分P 1D ⊥P 1C 、P 2D ⊥DC 、P 3C ⊥DC 三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短． 详解：（1）把A （﹣4，0），B （1，0）代入y=ax 2+2x+c ，得168020a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得：2383a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线解析式为：y=228233x x +-， ∵过点B 的直线y=kx+23， ∴代入（1，0），得：k=﹣23， ∴BD 解析式为y=﹣2233x +； （2）由2282332233y x x y x ﹣⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得交点坐标为D （﹣5，4），如图1，过D 作DE ⊥x 轴于点E ，作DF ⊥y 轴于点F ，。