上海市位育中学学年高二数学上学期期中试题(新疆班,无答案)

上海市位育中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题13．下列命题正确的是（ ）A ．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行B ．如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面平行C ．如果一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行D ．如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直14．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．2215．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，且3,4,AB AC AB AC ==^，112AA =，则球O 的半径为 （ ）A ．5.5B ．6C ．6.5D ．716．M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN 恒与平面ABD 平行；②异面直线AC 与MN 恒垂直．以下判断正确的是（ ）A ．①为真命题，②为真命题；B ．①为真命题，②为假命题；C ．①为假命题，②为真命题；D ．①为假命题，②为假命题；三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，求：(1)异面直线AD与AC所成角的大小；1(2)求点C到平面ABC D的距离．11四、作图题18．沪版必修第三册教材中用了较多的篇幅来介绍立体几何中的定理及其证明过程，力求培养同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.(1)写出“异面直线判定定理”的内容并证明该定理；(2)表述出祖暅原理的内容，并画出用祖暅原理推导半球体积时构造出的几何体（需交代主要线段的长度，可适当用文字说明）.五、解答题19．如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm，高为30cm，杯内有20cm深的溶液．如图②，现将水杯倾斜，且倾斜时点B始终在桌面上，设直径AB 所在直线与桌面所成的角为α．(1)求图②中圆柱的母线与液面所在平面所成的角(用α表示)；(2)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值．六、证明题20．如图， 在四棱锥P ABCD -中， PD ^底面ABCD ， 四边形ABCD 为正方形，PD DC =， ,E F 分别是,AD PB 的中点．(1)证明：EF //平面PCD ．(2)鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称. 右图中是否能找到鳖臑，若能，写出一个并证明；若不能，说明理由.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AB BC ^，2AB AD BC AB E F ==，，、分别为棱BC BP 、中点．(1)求证：平面AEF ∥平面DCP ；(2)若平面PBC ^平面ABCD ，直线AP 与平面PBC 所成的角为45o ，且CP PB ^，求二面角P AB D --的大小．七、填空题22．正方体中1111ABCD A B C D -，过1D 作直线l ，若直线l 与平面ABCD 中的直线所成从而直线m 在平面a 内，这与已知条件矛盾，所以直线,m n 为异面直线.（2）祖暅原理：夹在两个平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图所示，图①几何体的为半径为R 的半球，图②几何体为底面半径和高都为R 的圆柱中挖掉了一个圆锥，设与平面a 平行且距离为d 的平面b 截两个几何体得到两个截面，则图②与图①截面面积相等的图形是圆环（如阴影部分），在图①中，设截面圆的圆心为1O ，易得截面圆1O 的面积为()22πR d -，在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为d ，所以圆环的面积为()22πR d -，所以截得的截面的面积相等，则图②几何体的体积即为图①半球的体积.EF 为液面，EF ∥水平线，∴∠BEF ＝β∵AD ∥BC ，∴∠DFE ＝∠BEF ＝β，∵∠ABC ＝2p ，∴α＋β＝2p ，图②中圆柱的母线与液面所在平面所成的角为（2）如图，过F 作FQ ∥CD 交BC 于Q在Rt CDFÐ=，20△中，FCD aCD=，则=-．AF a3020tan此时容器内能容纳的溶液量为：【分析】（1）证明//EF 平面PCD ，//AE 平面PCD ，即可证明结论；（2）根据面面垂直性质定理得45APB Ð=o ，进而得AB PB =，再根据题意证明PC ^平面ABP 可得PBC V 为直角三角形，再根据几何关系得60PBC Ð=o ，进而根据PBC Ð是二面角P AB D --的平面角求解即可.【详解】（1）证明：因为E F 、分别为棱BC BP 、中点，所以，在PBC V 中，//EF PC ，因为EF Ë平面PCD ，PC Ì平面PCD ，所以，//EF 平面PCD ，因为AD BC ∥，2BC AB E =，为棱BC 中点．所以，//,AD CE AD CE =，所以，四边形ADCE 是平行四边形，所以，//CD AE因为AE Ë平面PCD ，DC Ì平面PCD ，所以，//AE 平面PCD ，因为,,AE EF E AE EF Ç=Ì平面AEF ，所以，平面AEF ∥平面DCP（2）解：因为平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC Ç平面ABCD BC =，AB BC ^，AB Ì。

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。

5．难度系数：0.72。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．不重合的两个平面最多有条公共直线【答案】1【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：12．已知球的表面积是16π，则该球的体积为.3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B=;【答案】【解析】如图，若角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且方向相同，则∠A 与∠B 相等此时70B A ∠=∠=︒；②当角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A 与∠B 互补，此时180110B A ∠=︒-∠=︒.故答案为70︒或110︒.4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线1B C 与底面ABC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为．（填序号）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则αβ∥；③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l α⊥；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【解析】①过平面α外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面α时，有无数个平面垂直于平面α，故①错误；②若三点在平面α同侧，则αβ∥；若三点在平面α两侧，则α与β相交，故②错误；③直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l 垂直于平面α内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：③6．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值为.连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE 因为⊥PO 面ABCD ，所以PO DB ⊥，又因为所以直在角三角形EOB 中，设PA a =，则故答案为：33.7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为6m 的正ABC V ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m .【答案】35【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长是6π，则66180n ππ=，解得：180n ︒=可知圆锥侧面展开图的圆心角是180︒，如图所示：则圆锥的侧面展开图中：()3m AP =，6(m)AB =，90BAP ︒∠=所以在圆锥侧面展开图中：()223635m BP =+=故答案为：358．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为．【答案】9π【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且2AF DF AG DH ====，1BE CE BG CH ====，所以3AB CD ==，而上下底面周长分别为4π、2π，故该圆台的侧面积为13(2π4π)9π2⨯⨯+=.故答案为：9π9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的体积为3，P ，Q ，R 分别为侧棱1AA ，1BB ，1CC 上的点，且1AP CR AA +=，则Q ACRP V -=.则111332Q ACRP V d S d -=⋅⋅=⋅⋅⋅设三棱柱111ABC A B C -的体积故答案为：1.10．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．11．正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将ADE V ，CDF V ，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O DEF -，则该三棱锥外接球半径R 与内切球半径r 的比值为．【答案】26【解析】在正方形ABCD 中，,AD AE CD ⊥12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，⨯=个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832故答案为：32二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C 选项中的几何体是圆柱，旋转体；D 选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.14．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A ．α、β都垂直于一个平面γB ．平面α内有无数条直线与平面β平行C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β【答案】D【解析】对于A ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D ，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．故选：D15．将3个1212⨯的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（）A ．17282B ．864C ．576D ．2【答案】B【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为12，故3112864,2V =⨯=故选：B.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F ∥平面1AD E ．设1A F 与平面11BCC B 所成的角为1,A F α与1AD 所成的角为β，那么下列结论正确的是（）A ．α的最小值为arctan2,β的最小值为arctan3B ．α的最小值为arctan3,β的最大值为2πC ．α的最小值大于arctan2,β的最小值大于arctan3D ．α的最大值小于arctan3,β的最大值小于2π设正方体的棱长为2，因为MN GE ∥，且MN ⊄MN ∴∥平面1AEGD ；同理1A N ∥平面1AEGD ，且∴平面1A MN ∥平面AEGD ∵11A B ⊥面11BB C C ，所以又1AD MN ，所以1A F 与1AD 所成的角为111tan A B B Fα∴=；当F 为MN 中点时，此时当F 与M 或N 重合时，此时2tan 22α∴≤≤，arctan2对于β，当F 为MN 中点时，当F 与M 或N 重合时，β()221252A F ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭tan 3β∴=，tan 3β∴≥，arctan 3β≤≤又arctan3 1.4≈，arctan2故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点.(1)求证：直线1BD //平面PAC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【解析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连接PO ，（1分)∵P 是1DD 的中点，∴1//PO BD ，(3分)又∵PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，∴直线1BD //平面PAC ；(6分)（2）由(1)知，1//PO BD ，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角，(8分)∵PA PC =12AO AC ==且PO AO ⊥，∴1sin2AO APO AP ∠==．又(0,90]APO ∠∈︒︒，∴30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．(14分)18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线AD ，点E 在底面的圆周上，且AF D E ⊥，F 是垂足．(1)求证：AF DB ⊥；(2)若圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABD 所成角的大小．【解析】（1）证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ，因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥，又因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，因为AE DA A ⋂=且,AE DA ⊂平面DAE ，所以EB ⊥平面DAE ，(2分)又因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥，因为AF D E ⊥，且EB DE E =I ，且,EB DE ⊂平面DEB ，所以AF ⊥平面DEB ，又因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．(6分)（2）解：过点E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连接DH ，根据圆柱性质，平面ABD ⊥平面ABE ，且平面ABD ⋂平面ABE AB =,且EH ⊂平面ABE ，所以EH ⊥平面ABD ，因为DH ⊂平面ABD ，所以DH 是ED 在平面ABD 上的射影，从而EDH ∠是DE 与平面ABD 所成的角，(8分)设圆柱的底面半径为R ，则2DA AB R ==，所以圆柱的体积为32πV R =，且21233D ABEABE R V AD S EH -=⋅=⋅ ，由:3πD ABE V V -=，可得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，且AH R =，且DH =，在直角EDH 中，可得tan EH EDH DH ∠==EDH ∠=(14分)19．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且2AE(1)求证：直线EC 与平面ABD 没有公共点；(2)求点C 到平面BED 的距离.【解析】（1）取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD ，且2CF =因为AE ⊥平面ABD ，且2AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，(4分)又AF ⊂平面ABD ，EC ⊂/平面ABD ，则//EC 平面ABD ，所以直线EC 与平面ABD 没有公共点；(6分)（2）因为CF ⊥平面ABD ，AF ⊂平面ABD ，所以CF AF ⊥，因为BD AF ⊥，BD CF F = ，,BD CF ⊂平面,CBD 所以AF ⊥平面,CBD 因为//,EC AF ，于是得EC ⊥平面CBD ，因为AE ⊥平面ABD ，,AB AD ⊂平面ABD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，(8分)因为EC AF ==EB ED =，则等腰BED 底边BD 上的高2h ==，12BED S BD h =⋅= ，而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BED E BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC ⋅=⋅ ，即2=，解得1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1(14分)20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，底面,AC BD O PAC = △是边长为2的等边三角形，PB =PD ，AP =4AF（1）求证：PO ⊥底面ABCD （2）求直线CP 与OF 所成角的大小.（3）在线段PB 上是否存在点M ，使得//CM 平面BDF ？如果存在，求BMBP的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形，且AC BD O = ，所以O 为AC ，BD 中点，在PBD △中，PB =PD ，可得PO ⊥BD ，因为在PAC 中，PA =PC ，O 为AC ，BD 中点，所以PO ⊥AC ，(3分)又因为AC ⋂BD =O ，所以PO ⊥底面ABCD .(4分)（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，因为底面ABCD 是菱形，AC ⋂BD =O ，由O 为AC 中点，且E 为AP 中点，AP =4AF ，所以F 为AE 中点，所以CP //OE .，故∠EOF 为直线CP 与OF 所成的角，(8分)又由PAC 为等边三角形，且E 为中点，所以∠EOF =30o .(10分)（3）存在，13BM BP =，连接CE ，ME ，因为AP =4AF ，E 为AP 中点，所以13EF FP =，又因为13BM BP =，所以在PFB △中，EF BMFP BP =，即EM //BF ，(12分)因为EM ⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF ，由（2）知EC //OF ，因为EC ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EC //平面BDF ，因为EC ⋂EM =E ，所以平面EMC //平面BDF ，因为CM ⊂平面EMC ，所以CM //平面BDF .(18分)21．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB AC 分别交于点F ，G．(1)若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【解析】（1）在平面11BCC B 内延长1CC ，FE 相交于点P ，则P ∈平面AGEF ，又1P CC ∈⊂平面11ACC A ，则有平面AGEF 平面11ACC A AG =，P AG ∈，即A ，G ，P 三点共线．(2分)因为E 为11B C 的中点，F 为1BB 的中点，所以11112PC B F CC ==，所以113PC PC =，又因为1//GC AC ，所以1113GC PC AC PC ==，所以111112333GC AC A C ===，即点G 为棱11AC 上靠近点1C 的三等分点．(4分)（2）在平面11BCC B 内延长CB ，EF 相交于点Q ，连接AQ ，则平面AGEF 平面ABC AQ =，在平面11ACC A 内作GM AC ⊥于点M ，则GM ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以G M AQ ⊥，在平面ABC 内作MN AQ ⊥于点N ，连接GN ，又,GM MN ⊂平面GMN ，GM MN M ⋂=，所以AQ ⊥平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，所以AQ GN ⊥，所以GNM ∠为截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的平面角．(6分)在AQC 中，作CH AQ ⊥于点H ，11BQ C E ==，2AC =，3CQ =，60AC B ∠= ，12222ABC S =⨯⨯⨯=△AQC S =由余弦定理2222cos 4967AQ AC CQ AC CQ ACQ =+-⋅⋅∠=+-=，则AQ122AQC S AQ CH ==⋅ ，可得3217CH =，所以237MN CH ==，又22G M AA ==，所以21tan 3GM GNM MN ∠==，故截面AGEF 与底面ABC (10分)（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2PG mGA m=-．设PGE 的面积为S ，所以12S m S m=-，又因为21S S S =+，所以1222S m S -=，且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()22120121212212S S S S SS S S S S S +==++，令12S t S =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(11分)设()112,12g t t t t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当12112t t ≤<≤时，()()()()121212121212111t t g t g t t t t t t t t t --=+--=-，120t t -<，120t t >，1210t t -<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥，。

2019学年度第一学期新疆班高二数学期中试卷一．填空题：1. 已知集合 A {1，2，4 }， B { 2，3，4，5 }，则A ∩ B ． 2．“1x >”是 “21x >”的 条件。

（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）3.若sin α＜0且tan α＞0，则α是第 象限角。

4. 已知函数2()21x f x a =-+是奇函数()a R ∈．则实数a 的值为 5.若直线1y x b e=+ 是曲线y ln x 的一条切线，则实数b 的值为 ．6.已知幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，则1()4f 的值为 ．7. 函数)12(log )(21-=x x f 的定义域是 .8..若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是9.函数[]2()42,1,4f x x x x =-+∈的值域为 .10.已知命题p ：x 2－x ＜0，命题q ：2x 2－a x ＜0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围 .11. 已知函数)(x f y =在其定义域R 上是增函数，且为奇函数，同时满足0)52()1(>-+-t f t f ，则实数t 的取值范围为 .12. 已知,24,81cos sin παπαα<<=则sin α—cos α= 13. 已知函数220()10x x x f x x ⎧+<=⎨⎩，，，≥．若函数y x m =+的图象与函数()y f x =的图象 有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是 ．14．当210≤≤x 时，21|2|3≤-x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是__________．二．解答题：15．记函数2()lg(2)f x x x =--定义域为集合A ，()g x =的定义域为集合B .（1）求A B I ；（2）若{|40},C x x p C A =+<⊆，求实数p 的取值范围.16. 设命题:p 实数x 满足03422<+-a ax x ，其中0>a ，命题:q 实数x 满足2280x x +->(1)若1=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．17. 设函数2()23(03)f x x x x =-++≤≤的最大值为m ，最小值为n ，当角α的终 边经过点(,1)P m n -时，求sin cos αα+的值。

上海市位育中学2020-2021学年高二第一学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知a =（x ,3），b =（3,1），且a ∥ b ，则x =_______.2．行列式42k 354112---中第2行第1列元素的代数余子式的值为10-，则k =______．3．增广矩阵为3?110m n -⎛⎫⎪⎝⎭的二元一次方程组的实数解是12x y =⎧⎨=⎩，则m +n =__________.4．已知矩阵A =1234⎛⎫ ⎪⎝⎭，矩阵B =4231⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算：AB = ． 5．已知直线上两点A （2,3），B =（-1,5），则直线AB 的点方向式方程是____________. 6．直线l 的一个方向向量d =（1,2），则l 与直线-20x y +=的夹角为______________（结果用反三角函数值表示）.7．若实数x ,y 满足10304x y x y y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为_____________.8．与直线2350x y ++=___________. 9．若直线l：y kx =23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.10．在△ABC 中，AB =6，AC =4，D 为BC 中点，则•AD BC =____________. 11．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线210()mx y m m ---=∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______．12．在如图所示的平面中，点C 为半圆的直径AB 延长线上的一点，AB =BC =2，过动点P 作半圆的切线PQ ，若PCPQ ，则△PAC 的面积的最大值为______________.二、单选题13．关于向量，下列结论错误的是（ ）A ．0a ⋅=0B ．()()(,)m na mn a m n R ⋅=⋅∈C ．AB BA =D ．()(,)m n a m a n a m n R +⋅=⋅+⋅∈.14．如果命题“曲线C 上的点的坐标都是方程0(),f x y =的解”是正确的，则下列命题中正确的是（ ）A ．曲线C 是方程0(),f x y =的曲线B ．方程0(),f x y =的每一组解对应的点都在曲线C 上C ．不满足方程0(),f x y =的点(,)x y 不在曲线C 上D ．方程0(),f x y =是曲线C 的方程15． 设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为 ( )A ．6B ．4C ．3D ．216．已知直线1l ：-10ax y +=，2l ：10,x ay a R ++=∈，和两点A （0,1），B （-1,0），给出如下结论：①不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直；②当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点A （0,1）和B （-1,0）；③不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称；④如果1l 与2l 交于点M ，则MA MB ⋅的最大值是1；其中，所有正确的结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4.三、解答题17．讨论关于x ，y 的一元二次方程组223(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩的解得情况. 18．已知圆O ：225x y +=.（1）当直线l ：20ax y a ++=与圆O 相交于A 、B 两点，且AB =l 的方程;（2）求与圆O 外切点（-1,2），且半径为.19．已知2,1a b ==，a b 与的夹角为45°.（1）求a b 在方向上的投影； （2）求2a b +的值;（3）若向量()2-3a b a b λλ-与（的夹角是锐角，求实数λ的取值范围.20．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，设此点为'A .（1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；（2）若折痕所在直线的斜率为k ，（k 为常数），试用k 表示点'A 的坐标，并求折痕所在的直线的方程；（3）当-20k +≤≤时，求折痕长的最大值.21．定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ.（1）设圆220:1,C x y +=求过P （2,0）的直线关于圆0C 的距离比λ=（2）若圆C 与y 轴相切于点A （0,3）且直线y =x 关于圆C 的距离比λ=圆的C 的方程；（3）是否存在点P ，使过P 的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆222212:(1)1:(-3(-34C x y C x y ++=+=与））的距离比始终相等？若存在，求出相应的点P 点坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1．9【解析】∵(,3)a x =，(3,1)b =，a ∥b∴133x ⨯=⨯∴9x =故答案为92．-14【解析】【分析】先由题意得到3212k M (1)12=--，再进一步计算即可得出结果. 【详解】由题意得3212k M (1)221k 1012=-=⨯+⨯=-- 解得：k 14=-．故答案为：14-．【点睛】本题主要考查矩阵的计算，熟记概念和公式即可，属于基础题型.3．-4【解析】∵增广矩阵3110m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭的二元一次方程组的实数解是1{2x y == ∴321{20m n +=-+= ∴2,2m n =-=-∴m n 4+=-故答案为4-4．1042410⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：AB =1234⎛⎫ ⎪⎝⎭4231⎛⎫ ⎪⎝⎭=1042410⎛⎫ ⎪⎝⎭。

位育中学2014学年第一学期高二年级期中考试数学试卷一、填空题（本大题满分42分，每小题3分）1．已知矩阵2591A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11021B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A -2B =_______________．2．下列关于算法的说法，正确的序号是_______________． (1) 一个问题的算法是唯一的； (2) 算法的操作步骤是有限的；(3) 算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义； (4) 算法执行后一定产生确定的结果．3．三阶行列式42354112k---第2行第1列元素的代数余子式的值为-10，则k =_______________．4．已知直线l 的倾斜角为θ，则直线l 的一个方向向量为_______________．5．O 为平行四边形ABCD 内一点，已知OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，则OD u u u r=_______________． 6．已知直线l 的倾斜角是直线y =2x +3倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为_______________． 7．在数列}{n a 中，12a =且1130n na a +=，若n S 是}{n a 的前n 项和，则n n S ∞→lim =_______________．8．已知(2,1),(,1)a b λ=--=r r ，若a ρ与b r夹角为钝角，则实数λ取值范围是_______________．9．∆ABC 的AB 边中点为D ，AC =1，BC =2，则AB CD ⋅u u u r u u u r的值为_______________．10．直线ax +by =ab (a >0,b <0)不经过第_______________象限．11．点(a ,b )在直线x +2y -1=0上，则a 2+b 2的最小值为_______________． 12．已知向量33(cos,sin )22x x a =r，(cos ,sin )22x x b =-r ，[0,]x π∈，则a b +r r的取值范围为_______________．13．如图，平面内有三个向量OA u u u r 、OB u u u r 、OC u u u r ，其中OA u u u r 与OB u u u r 的夹角为120︒，OA u u u r与OC 的夹角为30︒，且||||1OA OB ==u u u r u u u r ，||23OC =u u u r(,)OC xOA yOB x y R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则(x ,y )=___________．14．设 a b c r r r，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，有下列命题： ①方程20ax bx c ++=r rr r 不可能有两个不同的实数解；②方程20ax bx c ++=r r r r 有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥r r r；③方程22220a x a bx b +⋅+=r r r r 有唯一的实数解b x a=-rr ；④方程22220a x a bx b +⋅+=rr r r 没有实数解．其中真命题有_______________．(写出所有真命题的序号)CB A O二、选择题（本大题满分12分，每小题3分） 15．有矩阵32A ⨯、23B ⨯、33C ⨯，下列运算可行的是（ ）A ．ACB ．BACC ．ABCD ．AB -AC 16．下列命题中，正确的是（ ） A ．若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r rB ．若//a b r r，则222()a b a b ⋅=⋅r r r rC ．若a c b c ⋅=⋅r r r r ，则a b =r rD ．若//a b r r ，则存在实数k ，使b ka =r r17．若直线l 1:mx +y -1=0，l 2:4x +my +m -4=0，则“m =2”是“直线l 1⊥ l 2”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件18．O 是∆ABC 所在平面上的一点，若1()3PO PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r（其中P 为平面上任意一点），则点O 是∆ABC 的 （ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心三、解答题（本大题满分46分）19．（本题满分8分）第1小题满分3分，第2小题满分5分．若根据右面的框图，产生数列{a n }． (1) 当04965x =时，写出所产生数列的所有项； (2) 若要产生一个无穷常数列，求x 0的值．20．（本题满分8分）第1小题满分3分，第2小题满分5分．已知矩阵13mP m m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，x Q y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2M m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，13N m ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，若PQ =M +N ．(1) 写出PQ =M +N 所表示的关于x 、y 的二元一次方程组； (2) 用行列式解上述二元一次方程组．21．（本题满分10分）第1小题满分4分，第2小题满分6分．xy开始 输入A ←x 0结束A =-1 打印A A ←(4A -2)/(A +1)Yes No直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,3)，且AM t AB =u u u u r u u u r（t∈R ）．(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围．22．（本题满分10分）第1小题满分4分，第2小题满分6分．(1) 直线kx -y +1=3k ，当k 变动时，所有直线都通过一个定点，求这个定点；(2) 过点P (1,2)作直线l 交x 、y 轴的正半轴于A 、B 两点，求使PA PB ⋅u u u r u u u r取得最大值时，直线l 的方程．23．（本题满分10分）第1小题满分4分，第2小题满分3分，第3小题满分3分．已知向量(,)u x y =r 与向量(,)v x y x y =-+r 的对应关系用()v f u =r r表示．(1) 证明：对于任意向量a r 、b r及常数m 、n ，恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+r r r r ；(2) 证明：对于任意向量a r ，|()|2||f a a =r r ； (3) 证明：对于任意向量a r 、b r ，若a b ⊥r r，则()()f a f b ⊥r r ．参考答案及评分标准2014-11-14一、填空题（本大题满分42分，每小题3分） 1．025131-⎛⎫ ⎪-⎝⎭2．(2),(3),(4) 3．-14 4．(cos θ,sin θ)5．a c b +-r r r6．43-7．38．1(,2)(2,)2-⋃+∞9．3210．四 11．1512．[0,2] 13．(4,2)14．①, ④二、选择题（本大题满分12分，每小题3分） 15．C16．B17．D18．C三、解答题（本大题满分46分） 19．（本题满分8分） 解：(1) 11119a =，215a =，31a =-． 3分 (2) 由1421n n n n a a a a +-==+,得x 0=1,或x 0=2． 8分20．（本题满分8分）解：(1) 由PQ =M +N ，得1323mx y mx my m +-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，方程组为1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩； 3分(2) 1(3)3m D m m m m==-+-，11(3)23x D m m m -==-++- ,12(3)323y m D m m m m -==++5分1︒当m ≠0,且m ≠-3时，D ≠0，方程组有唯一解12x m y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；2︒当m =0时，D =0,但D x ≠0，方程组无解；3︒当m =-3时，D =D x =D y =0，方程组有无穷多解31x ty t =⎧⎨=-⎩(t ∈R )．8分21．（本题满分10分）解：(1) (6,3)AB =u u u r ，(6,3)AM t AB t t ==u u u u r u u u r，(3,3)AC =-u u u r ，(63,33)CM AM AC t t =-=-+u u u u r u u u u r u u u r，∵CM AB ⊥u u u u r u u u r ，∴4590CM AB t ⋅=-=u u u u r u u u r ，∴15t =；4分(2) 点M 在线段AB 上，AC 的斜率k 1=-1，AB 的斜率k 2=2， ∴k ≤-1,或k ≥2，8分 3[arctan 2,]4πθ∈． 10分(2) 另解：当12t =时，CM 的斜率不存在； 当12t ≠时，CM 的斜率311221221t k t t +==+--在区间1[0,)2和1(,1]2单调递减，7分 ∴k ∈(-∞.,-1]⋃[2,+∞]，3[arctan 2,]4πθ∈． 10分22．（本题满分10分）解：(1) 对任意的实数k ，(3,1)是直线方程y -1=k (x -3)的解，∴定点坐标为(3,1)； 4分(2) 直线l 的斜率存在，设l :y -2=k (x -1)，则2(1,0)A k-,B (2-k ,0)，由21020k k ⎧->⎪⎨⎪->⎩，的k <0， 6分(1,)PA k =--u u u r ，2(,2)PB k=--u u u r ，2122()4PA PB k k k k⋅=+=--+≤--u u u r u u u r ，8分当且仅当1k k-=-,即k =-1时，max ()4PA PB ⋅=-u u u r u u u r ，此时，直线l 的方程为y -2=-(x -1)，即x +y -3=0． 10分23．（本题满分11分）证：(1) 设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r，则11221212(,)(,)(,)ma nb m x y n x y mx nx my ny +=+=++r r∵12121212()(,)f ma nb mx nx my ny mx nx my ny +=+--+++r r11112222()()(,)(,)mf a nf b m x y x y n x y x y +=-++-+r r11221122(,)mx my nx ny mx my nx ny =-+-+++∴()()()f ma nb mf a nf b +=+r r r r；4分(2) ∵22222221111111111|()||(,)|()()2()2||f a x y x y x y x y x y a =-+=-++=+=r r∴|()||f a a =r r；7分(3) 由a b ⊥r r ，得0a b ⋅=r r，由(1),(2)结论可得222222222|()()||()|2||2(2)2||2|||()||()|f a f b f a b a b a a b b a b f a f b +=+=+=+⋅+=+=+r r r r r r r r r r r r r r∴()()0f a f b ⋅=r r ，()()f a f b ⊥r r．10分。

2024学年第一学期 期中联考高二 数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度________.2.已知四棱柱的底面是正方形，侧棱垂直于底面，底面边长为，高为3，则此四棱柱的对角线长为________.3.已知边长为3的正△ABC 的三个顶点都在球O 的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角为30°，则球O 的表面积为________.4.已知两条不同的直线m ，n ，两个不同的平面，，给出下列四个说法：①m ∥n ，，；②，，；③，；④，，，其中正确的序号是________.5.直线l 垂直于平面内的两条不平行的直线，则直线l 与平面的关系是________.6.已知异面直线m ，n 所成的角为60°，M ，N 在直线m 上，G ，H 在直线n 上，，，，，，则G ，M 间的距离为________.7.正方体中，平面与平面的交线是________所在的直线.8.圆锥的底面半径为1，母线长为2，在圆锥体内部放入一个体积最大的球，该球的表面积为________.9.已知圆锥的顶点为P ，母线PA ，PB 的夹角为60°，PA 与圆锥底面所成角为45°，若△PAB 的面积为，则该圆锥的侧面积为________.10.在正方体中，二面角的平面角大小为________.11.已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点P 是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是MN ，则的取值范围是________.αβm α⊥n βαβ⊥⇒∥αβ∥m α⊂n m n β⊂⇒∥m n ⊥m n αα⇒∥∥αβ∥m n ∥m n αβ⊥⇒⊥ααHN m ⊥NH n ⊥1MN =3NH =2GH =1111ABCD A B C D -11ABC D 11ABCD 1111ABCD A B C D -11C D B A --ABC A B C '''-PM PN ⋅12.已知正四面体ABCD 棱长为2，点，，分别是△ABC ，△ABD ，△ACD 内切圆上的动点，现有下列四个命题：①对于任意点，都存在点，使；②存在，使直线平面ABC ；③当最小时，三棱锥④当最大时，顶点A 到平面其中正确的有________.（填选正确的序号即可）二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，每题有且只有一个正确选项）13.在空间直角坐标系中，点关于y 轴对称的点坐标是（ ）A. B. C. D.14.设a ，b 为两条不同的直线，，为两个不重合的平面.下列命题中正确的是（ ）A.若，，则B.若a ，b 与所成的角相等，则a 与b 平行或相交C.若内有三个不共线的点到的距离相等，则D.若，且，则15.如图，在棱长为2的正方体中，M ，N 分别是棱，的中点，点E 在BD 上，点F 在上，且，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①当点E 是BD 中点时，直线EF ∥平面；②直线到平面CMN ；③存在点P ，使得；④.其中所有正确结论的个数是（ ）1P 2P 3P 2P 3P 230P P AD ⋅=1P 2P 12P P ⊥122331PP P P P P ++ 123A P P P -122331PP P P P P ++ 123P P P ()2,1,4-()2,1,4-()2,1,4--()2,1,4---()2,1,4-αβαβ⊥a α⊥a β∥ααβa β∥b αβ= a α⊂a β∥a b∥1111ABCD A B C D -11A B 11A D 1B C BE CF =11DCC D 11B D 1190B PD ∠=︒1PDD △A.0B.1C.2D.316.如图所示，四面体ABCD 的体积为V ，点M 为棱BC 的中点，点E ，F 分别为线段DM 的三等分点，点N 为线段AF 的中点，过点N 的平面与棱AB ，AC ，AD 分别交于O ，P ，Q ，设四面体AOPQ 的体积为，则的最小值为（ ）A. B. C. D.三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在棱长为2的正方体中，E 为的中点.（1）求异面直线AE 与所成角的余弦值；（2）求三棱锥的体积.18.如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PC 的中点，且平面PBD ⊥平面BEF .αV 'V V'14181161271111ABCD A B C D -11A C 1B C 1A B CE -（1）证明：；（2）若PB ⊥PD ，当四棱锥P －ABCD 的体积最大时，求直线PA 与平面BEF 的夹角.19.如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，PA =BC =2AD =2AB =4，AD ⊥平面PAB ，PA ⊥AB ，E 、F 分别是棱PB 、PC 的中点.（1）证明：DF ∥平面ACE ；（2）求平面ACE 与平面PCD 的夹角的余弦值.20.如图，已知长方体，AB =2，，直线BD 与平面所成角为30°，AE 垂直BD 于E .（1）若F 为棱的动点，试确定F 的位置，使得AE ∥平面，并说明理由；（2）若F 为棱的中点，求点A 到平面BDF 的距离；（3）若F 为棱上的动点（除端点、外），求二面角F －BD －A 的平面角的范围.21.一个几何系统的“区径”是指几何系统中的两个点距离的最大值，如圆的区径即为它的直径长度.（1）已知△ABC 为直角边为1的等腰直角三角形，其中AB ⊥AC ，求分别以△ABC 三边为直径的三个圆构成的几何系统的区径；（2）已知正方体的棱长为2，求正方体的棱切球（与各棱相切的球）和外接圆构成的几何系统的区径；PA PC =1111ABCD A B C D -11AA =11AA B B 11A B 1BC F 11A B 11A B 1A 1B 1111ABCD A B C D -1ACB △（3）已知正方体的棱长为2，求正方形ABCD 内切圆和正方形内切圆构成的几何系统的区径.1111ABCD A B C D 11ADD A。

上海市2021-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、填空题1.已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+，若()()m n m n +⊥-，则=λ_________ . 【答案】3- 【解析】试题分析：因为()()m n m n +⊥-，所以()()220m n m n m n +⋅-=-=，22m n =，即222(1)1(2)2λλ++=++，解得3λ=-．考点：向量垂直的性质，考查学生的基本运算能力． 2.把22111133332223x y x y x y x y x y x y ++表示成一个三阶行列式是________. 【答案】112233213x y x y x y - 【解析】 【分析】根据行列式第一列进行展开,由其逆运算即可得结果. 【详解】根据行列式按第一列展开式,可得22111133332223x y x y x y x y x y x y ++ ()()()()112131221111333322=211131x y x y x y x y x y x y +++⋅-⋅+-⋅-⋅+⋅-⋅112233213x y x y x y =- 故答案为: 112233213x y x y x y - 【点睛】本题考查了行列式按列展开的概念和运算,注意运算的格式,属于基础题. 3.已知向量(1,2)a =，(3,4)b =-，则向量a 在向量b 上的投影为________.【答案】1- 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影的定义,结合向量数量积和模长公式计算可得. 【详解】由定义可得向量a 在向量b 上的投影为||cos ,||a ba ab b⋅<>==1=-.故答案为:1-.【点睛】本题考查了向量在向量上的投影,平面向量数量积和模长公式,属于基础题., 4.若11342x y -=，22342x y -=，则过()11,A x y 、()22,B x y 两点的直线l 的方程为________.【答案】3420x y --= 【解析】 【分析】根据()11,A x y 、()22,B x y 都在同一直线上,结合两点确定一条直线可知直线的唯一性,即得直线方程.【详解】若11342x y -=,22342x y -= 则点()11,A x y 在直线3420x y --=上,点()22,B x y 在直线3420x y --=上 即()11,A x y 、()22,B x y 都在同一直线3420x y --=上因为两点确定一条直线,所以由()11,A x y 、()22,B x y 确定的直线即为3420x y --=故答案为: 3420x y --=【点睛】本题考查了直线方程的意义,两点确定一条直线,属于基础题.5.已知点（3，1）和（- 4，6）在直线3x-2y+a=0的同侧，则a 的取值范围是【答案】【解析】试题分析：因为点（3，1）和（- 4，6）在直线3x-2y+a=0的同侧，所以，解得a<-7或a>24考点：二元一次不等式表示的平面区域6.直线l 过点()5,3A --且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 方程是__________. 【答案】x +y +8＝0或3x ﹣5y ＝0． 【解析】 【分析】当直线经过原点时，直线方程为y ＝35x ；当直线不经过原点时，设直线方程为x +y ＝a ，把点A 的坐标代入即可得出．【详解】当直线经过原点时，直线方程为y ＝35x ，即3x ﹣5y ＝0； 当直线不经过原点时，设直线方程为x +y ＝a ，∵直线l 过点A （﹣5，﹣3）， ∴﹣3﹣5＝a ，∴a ＝﹣8，∴直线方程为x +y ﹣8＝0． 综上，直线方程为x +y +8＝0或3x ﹣5y ＝0． 故答案为：x +y +8＝0或3x ﹣5y ＝0．【点睛】本题考查了直线方程的求法，考查了分类讨论思想，属于基础题． 7.点()1,5A -关于直线90x y -+=的对称点坐标为________. 【答案】()4,8- 【解析】 【分析】设出对称点坐标,根据两个对称点的中点位于直线上,及两直线垂直时的斜率关系,联立方程组即可得对称点的坐标.【详解】设对称点的坐标为(),B a b则AB 中点坐标为15,22a b M -+⎛⎫⎪⎝⎭则M 在直线90x y -+=上,即159022a b -+-+=根据AB 与直线垂直,斜率的关系可得()5111b a -⋅=--- 即()1590225111a b b a -+⎧-+=⎪⎪⎨-⎪⋅=---⎪⎩,解方程组可得48a b =-⎧⎨=⎩即对称点的坐标为()4,8- 故答案为: ()4,8-【点睛】本题考查了点关于直线对称点的坐标求法,两直线垂直的斜率关系,属于基础题. 8.已知P 是ABC △内部一点23PA PB PC ++=0，记PBC 、PAC 、PAB △的面积分别为1S 、2S 、3S ，则::123S S S =________. 【答案】1:2:3 【解析】 【分析】延长PB 到'B ,使得'2PB PB =;延长PC 到'C,使得'3PC PC =,构造出''AB C∆,根据线段关系及三角形面积公式即可求得面积比. 【详解】延长PB 到'B ,使得'2PB PB=;延长PC 到'C ,使得'3PC PC =,如下图所示:则230PA PB PC ++=可化为''0PA PB PC ++=所以P 为''AB C ∆的重心设''''PAB PAC PB C S S S k ∆∆∆=== 则3'1122PAB PAB S S S k ∆∆=== 3'1122PAB PAB S S S k ∆∆=== 2'1133PAC PAC S S S k ∆∆=== ''11111sin sin 2223PBC S S PB PC BPC PB PC BPC ∆⎛⎫⎛⎫==⨯⨯∠=⨯⨯∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''''1111sin 6266PB C PB PC BPC S k ∆⎛⎫=⨯⨯⨯∠== ⎪⎝⎭ 所以123111::::1:2:3632S S S k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为: 1:2:3【点睛】本题考查了向量加法法则的应用,三角形面积的表示方法,需要构造三角形解决问题,属于中档题.9.在ABC ∆中，5AB =，7AC =，D 是BC 边的中点，则AD BC ⋅=________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据三角形中线可知()12AD AB AC =+,结合向量减法运算即可表示出AD BC ⋅,转化为AC 与AB 的等式,即可求得AD BC ⋅的值.【详解】在ABC ∆中,D 是BC 边的中点 所以()12AD AB AC =+ 因为BC AC AB =- 所以()()12AD BC AB AC AC AB ⋅=+- ()()22221122AC AB AC AB =-=- 因为5AB =,7AC =所以()()222211751222AC AB -=-= 即12AD BC ⋅= 故答案为: 12【点睛】本题考查了向量的加法及减法运算,平面向量数量积的应用,属于基础题.10.在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足·2OA OB OAOB===，由点集{|,1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是__________．【答案】43 【解析】【详解】由|OA |＝|OB |＝OA ·OB ＝2，知cos∠AOB ＝12，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝3π，又A ，B 是两定点，可设A (3，1)，B (0,2)，P (x ，y )， 由OP ＝λOA ＋μOB ，可得3{2x y λλμ＝，＝＋⇒3{32x y x λμ==-.因为|λ|＋|μ|≤1，所以33x ＋32y x -≤1， 等价于由可行域可得S 0＝1233所以由对称性可知点P 所表示的区域面积S ＝4S 0＝311.在平面上，12AB AB⊥，12||||1OB OB==，12AP AB AB=+，若1||2OP<，则||OA的取值范围是________.【答案】7,2⎛⎤⎥⎝【解析】【分析】根据题意,建立平面直角坐标系,设出A、1B、2B、P的坐标,由12||||1OB OB==及1||2OP<可得关于O点坐标的不等式组,结合两点间距离公式即可表示出||OA的取值范围.【详解】因为12AB AB⊥,12AP AB AB=+则12AB PB为矩形,以1AB所在直线为x轴,以2AB为y轴建立平面直角坐标系.如下图所示:设12,AB m AB n==,(),O x y则()0,0A,()1,0B m,()20,B n,()P m n,因为12||||1OB OB==所以()()222211x m yx y n⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩变形可得()()222211x m yy n x⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩因为1||2OP<,即()()2214x m y n-+-<由以上两式可得221114x y-+-<即2274x y+>因为()()220,0x m y n-≥-≥,即2210,10y x-≥-≥所以221,1y x ≤≤ 则222xy +≤ 综上可知22724x y <+≤ 因为22||x y OA =+所以722OA <≤,即7,22OA ⎛⎤∈ ⎥ ⎝ 故答案为: 7,22⎛⎤⎥ ⎝【点睛】本题考查了平面向量在坐标系中的综合应用,向量的加法运算与向量的模长,通过建立平面直角坐标系,用坐标研究向量关系是常见方法,属于中档题. 12.已知集合(){},,0A x y x y a a =+=>，(){},1B x y xy x y =+=+.若A B ∩是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a 的值为________. 【答案】2或22+ 【解析】【详解】如图所示，正八边形在第一象限的两个顶点坐标应满足,1.x y a xy a +=⎧⎨=-⎩解得111,1.x y a =⎧⎨=-⎩或221,1.x a y =-⎧⎨=⎩据题意218OP k tgπ==，于11121,2a a -==或11121,2221a a -===-二、选择题13.关于x y 、的二元一次方程组341310x y x y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵为（ ）A. 3411310-⎛⎫⎪-⎝⎭B. 3411310-⎛⎫⎪--⎝⎭C. 3411310⎛⎫⎪-⎝⎭D. 3411310⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据二元一次方程方程组与增广矩阵的关系，即可求得结果.【详解】关于x y 、的二元一次方程组341310x y x y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵为31⎛ ⎝43-110⎫⎪⎭，故选C.【点睛】本题考查二元一次方程组与系数矩阵及增广矩阵的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.14.若变量x,y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则目标函数2z x y =+的取值范围是A .[2,6]B. [2,5]C. [3,6]D. [3,5]【答案】A 【解析】 【分析】画出不等式组对应的可行域，将目标函数变形，画出目标函数对应的直线，由图得到当直线过A 点时纵截距最大，z 最大，当直线过（2，0）时纵截距最小，z 最小． 【详解】画出可行域，如图所示：将2z x y =+变形为122zy x =-+，平移此直线， 由图知当直线过A （2，2）时，z 最大为6，当直线过（2，0）时，z 最小为2， ∴目标函数Z ＝x +2y 的取值范围是[2，6] 故选：A ．【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域：直线定边界，特殊点定区域结合图形求函数的最值，属于基础题．15.点()5,0A ，(1,43B -到直线的距离都是4，满足条件的直线有（ ） A. 一条 B. 两条C. 三条D. 四条【答案】C 【解析】 【分析】先求得两点间距离,根据距离判断中垂线的情况;再由两条平行线可满足条件即可得解. 【详解】因为点()5,0A ,(1,43B - 所以由两点间距离公式可得()()22514316488AB =-+=+=则点()5,0A ,(1,43B -到线段AB 中垂线的距离都等于4位于直线AB 两侧且与AB 直线平行的直线,有两条满足点()5,0A ,(1,43B -到直线的距离都是4综上可知,共有3条直线满足点()5,0A ,(1,43B -到直线的距离都是4 故选:C【点睛】本题考查了两点间距离公式,两平行线距离,属于基础题. 16.已知O 是ABC ∆所在平面上的一点，若aPA bPB cPCPO a b c++=++（其中P 是ABC ∆所在平面内任意一点），则O 点是ABC ∆的（ ） A. 外心 B. 内心C. 重心D. 垂心【答案】B 【解析】 【分析】将所给向量表达式进行变形,表示成AB 与AC 方向上的单位向量的形式,由向量加法运算的性质即可知O 在角平分线上,即可得解. 【详解】因为aPA bPB cPCPO a b c++=++则()a b c PO aPA bPB cPC ++=++,即aPO bPO cPO aPA bPB cPC ++=++ 移项可得0aPA aPO bPB bPO cPC cPO -+-+-= 即()()()0a PA PO b PB PO c PC PO -+-+-= 则0aOA bOB cOC ++= 因为,,OB OA AB OCOA AC =+=+所以()()0OA AB aOA b c OA AC ++++=化简可得0OA AB OA aOA b b c c AC ++++=,即()A a B b OA b cAC c --++= 设i 为AB 方向上的单位向量,j 为AC 方向上的单位向量 所以AB ci =,ACb j =则()a b c OA bci bc j ++=--()()i j a b c OA bc -+++=所以()bcOA a b ci j =++-+则O 在BAC ∠的角平分线上 同理可知 O 在CBA ∠的角平分线上因而O 为ABC ∆的内心 故选:B【点睛】本题考查了向量线性运算的化简及应用,三角形内心的向量表示形式,化简过程较为复杂,属于中档题. 三、解答题17.讨论关于x 、y 的方程组()()()()3114541123k x k y k k x k y k ⎧++-=+⎪⎨++-=⎪⎩解的情况. 【答案】当0k ≠且2k ≠时，有唯一解；当0k =时，无解；当2k =时，有无数解. 【解析】 【分析】先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算出D ，D x ，D y ，下面对k 的值进行分类讨论：（1）当k ≠0且k ≠2时，（2）当k =0时，（3）当k =2时，分别求解方程组的解即可.【详解】依题意，31142(2)112k k D k k k k+-==--+-，54142(1)(2)312x k k D k k kk+-==---，31542(2)(21)13y k k D k k k k++==-++，（1）当k ≠0且k ≠2时，D ≠0，方程组有唯一解121x y D k x D kD k y D k -⎧==⎪⎪⎨+⎪==⎪-⎩；（2）当k =0时，D =0，D x =4≠0，方程组无解； （3）当k =2时，D =D x =D y =0方程组有无数解.【点睛】本题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属中档题．18.ABC ∆的顶点()3,1A -，AB 的中线方程为610590x y +-=，B 的平分线方程为4100x y -+=，求：（1）点B 的坐标；（2）BC 边所在的直线方程．【答案】（1）()10,5B ；（2）29650x y +-=. 【解析】 【分析】（1）设点B 的坐标,根据点B 在直线4100x y -+=上,及A 与B 的中点在610590x y +-=上,可得关于B 点坐标的方程组,解方程组即可得B 的坐标.（2）根据两点间斜率公式先求得,AB k 由角平分线及两直线的夹角公式即可求得BC k ,再根据点斜式即可求得BC 边所在的直线方程． 【详解】（1）设(),B x y ,由题意可知B 在直线4100x y -+=上,及A 与B 的中点在610590x y +-=上,即31610590224100x y x y +-⎧⨯+⨯-=⎪⎨⎪-+=⎩ 解方程组可得105x y =⎧⎨=⎩即()10,5B（2）设B 的平分线与直线AC 交于点E. 则1563107AB k --==-,14BE k = ABE EBC ∠=∠由两直线夹角公式可得11BCBE BE ABBE AB BE BCk k k k k k k k --=++,即16147416147411BC BCk k -=+⨯-+ 解得29BC k =-由点斜式方程可得()25109y x -=-- 化简后可得29650x y +-=【点睛】本题考查了直线方程的求法,两直线夹角公式的用法,属于基础题. 19.已知ABC ∆的三边长8AB =，7BC =，3AC =．（1）求AB AC ⋅； （2）A 的半径为3，设PQ 是A 的一条直径，求BP CQ ⋅的最大值和最小值．【答案】（1）12；（2）最大值24，最小值为18-．【解析】 【分析】（1）先根据余弦定理,求得cos BAC ∠,再根据平面向量数量积的定义即可求得AB AC ⋅. （2）根据向量加法与减法的线性运算,将BP CQ ⋅化简为2BA CA AP AP CB ⋅-+⋅,设向量AP 与CB 夹角为θ,进而转化为余弦函数的表达式,根据余弦函数的值域即可求得最大值与最小值.【详解】（1）设BAC θ∠=则2222228371cos 22832AB AC BC AB AC θ+-+-===⨯⨯⨯⨯,||||cos AB AC AB AC θ⋅=183122=⨯⨯=（2）()()BP CQ BA AP CA AQ ⋅=+⋅+()()BA AP CA AP =+⋅- ()2BA CA APAP CA BA =⋅-+⋅-2BA CA AP AP CB =⋅-+⋅设向量AP ,CB 夹角为()0θθπ≤≤, 则上式12937cos 321cos θθ=-+⨯=+,最大值为24,最小值为18-【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用,向量加法与减法的应用,余弦定理在求角中的用法,属于中档题.20.在ABC ∆中，2AC =，6BC =，60ACB ∠=︒，点O 为ABC ∆所在平面上一点，满足OC mOA nOB =+（,m n ∈R 且1m n +≠）． （1）证明：11m nCO CA CB m n m n =++-+-；（2）若点O 为ABC ∆的重心，求m 、n 的值； （3）若点O 为ABC ∆的外心，求m 、n 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）1m =-，1n =-；（2）3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【解析】 【分析】（1）根据条件OC mOA nOB =+,结合向量的加法运算,化简即可证明. （2）根据重心的向量表示为0OA OB OC ++=,即可求得m 、n 的值. （3）根据点O 为ABC ∆的外心,求得21||2CO CB CB ⋅=,21||2CO CA CA ⋅=,CA CB ⋅,再根据已知分别求得CO CB ⋅,CO CA ⋅,结合平面向量基本定理即可求得m 、n 的值. 【详解】（1）CO mAO nBO =+()()m AC CO n BC CO =+++mAC mCO nBC nCO =+++即CO mAC mCO nBC nCO =+++ 所以CO mCO nCO mAC nBC --=+ 则()1m n CO mAC nBC --=+ 所以11m nCO CA CB m n m n =++-+-；（2）若点O 为ABC ∆的重心则0OA OB OC ++= 因为OC mOA nOB =+ 所以0mOA nOB OC --+= 则1m =-,1n =- （3）由O 是ABC △的外心 得21||182CO CB CB ⋅==,21||22CO CA CA ⋅==,6CA CB ⋅=, 所以,1111m n CO CB CA CB CB CB m n m n m n CO CA CA CA CB CAm n m n ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎪+-+-⎨⎪⋅=⋅+⋅⎪+-+-⎩即23321m n m n -=⎧⎨+=-⎩,解得3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查了平面向量加法和减法的运算,三角形重心和外心的向量表示,对向量线性运算的化简要熟练掌握,属于中档题.21.（1）已知直线l 过点53,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，它的一个方向向量为()3,3m =． ①求直线l 的方程； ②一组直线1l ，2l ，，n l ，，2n l ()*n ∈N 都与直线l 平行，它们到直线l 的距离依次为d ，2d ，，nd ，，2nd （0d >），且直线n l 恰好经过原点，试用n 表示d 的关系式，并求出直线(1,2,,2)i l i n =的方程（用n 、i 表示）；（2）在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线1L ，2L ，，n L ，的直线簇，使它同时满足以下三个条件：①点()1,1n L ∈；②1n n n k a b +=-，其中1n k +是直线1n L +的斜率，na 和nb 分别为直线n L 在x 轴和y 轴上的截距；③10n n k k +>()*n ∈N .【答案】（1）①40x y -+=；②)*d n =∈N ，410i x y n ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；（2）不存在. 【解析】 【分析】（1）根据直线的方向向量可得直线的斜率,结合点斜式即可求得直线方程;根据直线平行且过原点,可得直线n l 的方程,由平行线间距离公式可得n 与d 的关系式,设出直线i l 的方程,根据点到直线距离公式可求得直线方程.（2）假设存在这样的直线簇.先求得n a ,n b 的表达式,进而表示出1n k +.通过迭加法求得1n n k k +-,即可证明当21n k >时,10n k +<与10n k +>不能成立.【详解】（1）①直线l 方向向量为()3,3m = 所以直线的斜率为313k == 直线l 过点53,22P ⎛⎫-⎪⎝⎭,由点斜式方程可得 35122y x ⎛⎫-=⨯+ ⎪⎝⎭ 即直线l 的方程为：40x y -+=； ②直线//n l l 且经过原点,∴直线n l 的方程为：0x y -=由题意知直线n l 到l 的距离为nd ,nd =则)*d n n=∈N 设直线(1,2,,2)i l i n =方程为：()04i i x y C C -+=<由题意知：直线(1,2,,2)i l i n=到直线l id =, 41i i C n ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭所以直线(1,2,,2)i l i n =的方程为：410i x y n ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；（2）假设存在满足题意的直线簇．由①知n L 的方程为：()11n y k x -=-,1,2,3,n =,分别令0y =,0x =得11n n a k =-,1nn b k =-, 由11n n n n n k a b k k +=-=-,即11n nnk k k +-=-,1,2,3,n =,迭加得1112111n n k k k k k +⎛⎫=-+++⎪⎝⎭． 由③知所有的()1,2,3,,,i k i n =同号,仅讨论0n k >的情形,由111110n n n n nk k k k k ++-=-<⇒>, 所以111121111n n nk k k k k k k +⎛⎫=-+++<- ⎪⎝⎭ 显然,当21n k >时,10n k +<与10n k +>矛盾！故满足题意的直线簇不存在．【点睛】本题考查了直线的方向向量与点斜式方程,点到直线距离公式的应用,直线方程的新定义应用,正确理解题目所给条件是关键,属于难题.。

上海高二年级第一学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 直线230x y --= 关于x 轴对称的直线方程为________．2. 向量(3,4)a =在向量(1,0)b =方向上的投影为____ __.3. 已知向量(1,2),(,2)a b x =-=，若a b ⊥，则b ＝________．4. 已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -=_______．5. 若2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y += ．6. 若a 、b 、c 是两两不等的三个实数，则经过(,)P b b c +、(,)Q a c a +两点的直线的倾斜角 为__ ____．(用弧度制表示)7. 若行列式212410139xx =-，则=x ．8. 直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________. 9. 已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM mAB =，AN nAD = (0m n ⋅≠), 若//MN BE ，则nm=______________. 10. 已知直线022=-+y x 和01=+-y mx 的夹角为4π，则m 的值为 .11. 下面结论中，正确命题的个数为_____________．①当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2. ②如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.③已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.④点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.⑥若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上.12. 直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_____________． 13. 如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7， 则AO →·BC →＝________.14．设A 是平面向量的集合，a 是定向量，对A x ∈， 定义a x a x x f⋅⋅-=)(2)(．现给出如下四个向量：①)0,0(=a ，②⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42,42a ，③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,22a ，④⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,21a ． 那么对于任意x 、A y ∈ ，使y x y f x f ⋅=⋅)()(恒成立的向量a的序号是_______（写出满足条件的所有向量a的序号）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15. “2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的【 】 （A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件16.已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，记12121(,),(,),(,)a a a bb bc c c ===，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是【 】 (A) 0a b c ++= (B) a b c 、、两两平行 (C) a b // (D) a b c 、、方向都相同 17.如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是【 】 （A ）①是循环变量初始化，循环就要开始 （B ）②为循环体（C ）③是判断是否继续循环的终止条件（D ）输出的S 值为2，4，6，8，10，12，14，16，18.18.如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各顶点依次为6321,,,,A A A A ，则j i A A A A ⋅21，（}6,,3,2,1{, ∈j i ）的值组成的集合为【 】)(A {}21012、、、、-- )(B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---212102112、、、、、、 )(C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---23121021123、、、、、、)(D ⎭⎬⎫⎩⎨⎧----2231210211232、、、、、、、、 三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置． 19．（本题满分12分）中秋节前几天，小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会，热心的小毛受班级同学委托，去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物：中国结、记事本和笔袋（每种礼物的品种和单价都相同）． 三个小组给他的采购计划各不相同，各种礼物的采购数量及价格如下表所示：为了结账，小毛特意计算了各小组的采购总价（见上表合计栏），可是粗心的小毛却不慎抄错了其中一个数字．第二天，当他按照自己的记录去向各小组报销的时候，有同学很快发现其中有错．发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价，那么他是如何作出判断的呢？请你用所学的行列式的知识对此加以说明．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知ABC ∆的顶点(1,3)A ，AB 边上的中线所在的直线方程是1y =，AC 边上的高所在的直线方程是210x y -+=．求：（1）AC 边所在的直线方程； （2）AB 边所在的直线方程．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在直角坐标系中，已知两点),(11y x A ，),(22y x B ；1x ，2x 是一元二次方程042222=-+-a ax x 两个不等实根，且A 、B 两点都在直线a x y +-=上． （1）求OA OB ；（2）a 为何值时与夹角为3π． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第,3小题满分6分. 已知O 为ABC ∆的外心，以线段OB OA 、为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OD OC 、为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H ．(1) 若,,,OA a OB b OC c OH h ====，试用a 、b 、c 表示h ； (2) 证明：AH BC ⊥；(3) 若ABC ∆的60A ∠=，45B ∠=，外接圆的半径为R ，用R 表示h ．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，每小题满分6分.如图，射线OA 、OB 所在的直线的方向向量分别为),1(1k d =、),1(2k d -=（0>k ），点P 在AOB∠内，OA PM ⊥于M ，OB PN ⊥于N . （1）若1=k ，⎪⎭⎫⎝⎛21,23P ，求||OM 的值； （2）若()1,2P ，△OMP 的面积为56，求k 的值； （3）已知k 为常数，M 、N 的中点为T ，且kS MON1Δ=， 当P 变化时，求||OT 的取值范围．x参考答案（考试时间：120分钟 满分：150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 230x y +-=2. 33.. 2 5. 2 6. 4π7. 2或3- 8.－4 9. 2 10. 31-或3 11. 3 12. 50,[,)66πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 13. 52 14． ①③④ 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分． 15. B 16. B 17.18. D三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置． 19．（本题满分12分）解：设中国结每个x 元，记事本每本y 元，笔袋每个z 元，由题设有2103105230x y x y z y z +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，因为2101310052D == ，则方程组有无穷多组解或无解， 又101010312003052x D ==≠，210011014000302y D ==-≠，2110131010000530z D ==≠，从而该方程组无解。

2023-2024学年上海市高二上册期中数学质量检测模拟试题一、填空题1．空间内，两异面直线所成角的取值范围是______.（用区间表示）【正确答案】π(0,2【分析】利用异面直线所成角的定义直接写出范围作答.【详解】由异面直线所成角的定义知，两异面直线所成角的取值范围是π(0,]2.故π(0,]22．已知底面边长为4的正三棱柱侧面积为9，则其体积为______.【正确答案】【分析】根据侧面积可求正三棱柱的高，进而可求体积.【详解】设正三棱柱的高为h ，则349h ⨯=，解得34h =，所以体积21π4sin 23V Sh h ==⨯⨯⨯=故答案为.3．圆柱的底面半径为1，高为2，则其表面积为______.【正确答案】6π【分析】直接利用表面积公式计算得到答案.【详解】表面积22π2π2π4π6πS r rh =+=+=.故6π4．在两平面平行的判定定理中，假设,αβ为两不同平面，,l m 为两不同直线，若要得到//αβ，则需要在条件“,,//,//l m l m αββ⊂”之外补充条件______.【正确答案】l m ≠∅【分析】确定,l m 为平面α内的两条相交直线，//,//l m ββ，故//αβ，得到答案.【详解】因为一个平面内两条相交直线平行于另一个面，则这两个面平行，所以要证//αβ，需要,l m α⊂，//,//l m ββ，以及l m ≠∅ ，共五个条件，所以需要在条件“,,//,//l m l m αββ⊂”之外补充条件是l m ≠∅ .故答案为.l m ≠∅5．{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若344S a =，则10a =______.【正确答案】0【分析】根据等差数列的性质及通项公式计算即可得解.【详解】因为334S a =，所以2434a a =，即2234(2)a a d =+，所以280a d +=，所以10280a a d =+=.故06．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若58327S S S =-，则该等比数列的公比q =______.【正确答案】13【分析】排除1q ≠，由等比数列求和公式代入方程求得公比.【详解】因为58327S S S =-，易得1q ≠，所以()()()51831111271111a q qa q a q q q--=-----，解得q =13.故答案为.137．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是线段1,BC C D 的中点，则直线1A B 与直线EF 的位置关系是______.（从相交，平行，异面中选填）【正确答案】相交【分析】连接111,,BD CD CD 与1C D 交于点F ，易得11A BCD 是平行四边形，根据平面的基本性质即可判断直线1A B 与直线EF 的位置关系.【详解】如图所示：连接111,,BD CD CD 与1C D 交于点F ，由题意，易得四边形11A BCD 是平行四边形，在平行四边形11A BCD 中，,E F 分别是线段1,BC CD 的中点，∴1//EF BD ，又11A B BD B ⋂=且1,,,A B E F 共面，则直线1A B 与直线EF 相交.故相交.8．如图的四面体OABC 中，所以棱长均相等，每个面都是全等的正三角形，,M N 分别是棱,OA BC 的中点，则直线OA 与平面CMN 所成角的大小为______.【正确答案】2π【分析】由题意得，四面体OABC 为正四面体，进而可以证明OA ⊥平面CMN ，求出线面角.【详解】如图，连接,CM BM ，由题意得，四面体OABC 为正四面体，所以CM OA ⊥，BM OA ⊥，因为CM BM 与点M ，CM ⊂平面CMN ，BM ⊂平面CMN ，所以OA ⊥平面CMN ，所以直线OA 与平面CMN 所成角的大小为π2.故答案为.π29．已知等差数列{}n a 满足，253,9a a ==，等比数列{}n b 的公比111,55q b ==，令*,N ,n n n c a b n =∈{}n c 的前n 项和为n S ，若“0n n ≥”是“1010412021n n S c +->”的充分条件，则正整数0n 的最小值为______.【正确答案】6【分析】计算21n a n =-，15n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到()1215nn n n c a b n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，利用错位相减得到()111141121255nn n S n -⎡⎤⎛⎫=+---⨯ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，代入不等式解得答案.【详解】213a a d =+=，5149a a d =+=，11a =，2d =，故21n a n =-；15n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()1215nn n n c a b n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()()211111323215555n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()231111113232155555nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得()231411111221555555n n n S n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()111141121255nn n S n -⎛⎫⎛⎫=+---⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1010412021n n S c +->，所以()()111111010112121125552021nnn n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---⨯+-⨯->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得到510105n >，553125=，6515625=，N n *∈，所以6n ≥.正整数0n 的最小值为6.故610．如图，曲线1C 是一个圆心位于()1,0,半径为1得四分之一圆弧，2C 是直线:L y x =上的线段，两者交于()1,1，1C ，2C 与x 轴共同构造一个封闭区域G ，将G 绕y 轴旋转一周得到几何体Ω，现已知：过点()0,y 作Ω的水平截面，所得的截面积S 与y 之间的函数关系式为())22π2π01S y y y =-+≤≤，利用()S y 的表达式与祖暅原理，考虑一个长方体，一个四棱锥和一个平放的半圆柱，计算几何体Ω的体积为______.【正确答案】24ππ32+【分析】利用祖暅原理，通过一个长方体减去一个四棱锥加上一个半圆柱的组合体，使其与Ω的水平截面表达式相等，算出构造的组合体体积即可.【详解】如图，取一个宽2AB =，长πAD =，高1AM =的长方体ABCD MLON -挖空一个四棱锥D MLON -，再加12个半径1XH =，高πEF =的圆柱，当高()01AQ XK y y ==≤≤时，水平截面（阴影部分）面积QRSP VUTP IHGJ S S S S =-+矩形矩形矩形，由1PV DP PT yNM DN NO ===，可得22πVUTP S y =矩形，由2IH KH ==，可得IHGJ S =矩形，则此组合体水平截面面积S 与y 之间的函数关系式为())22π2π01S y y y =-+≤≤，所以此组合体体积与几何体Ω的体积相等，1=2ABCD MLON BEFC D MLON V V V V Ω---+长方体圆柱棱锥22114ππ=2π12π1π1π3232⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+.故答案为.24ππ32+二、单选题11．如图所示，用符号语言可表述为（）A ．m αβ= ，n ⊂α，m n A =B ．m n m n Aαβα⋂=∈⋂=，，C ．m n A mA n αβα⋂=⊂⊂⊂，，，D ．m n A m A n αβα⋂=∈∈∈，，，【正确答案】A【分析】由题可知两平交于直线m ，直线n 在平面α内，两直线交于点A ，从而可得答案.【详解】由题可知平,αβ交于直线m ，直线n 在平面α内，两直线,m n 交于点A ，所以用符号语言可表示为m αβ= ，n ⊂α，m n A = ，故选：A.12．已知一个圆锥的底面半径1r =，若其体积V 与侧面积S 侧之间满足9S V =侧，则该圆锥的母线长度为（）A BCD ．2【正确答案】C【分析】设圆锥的高为h ，根据体积和表面积公式得到21π9π3r h =⨯，解得218h =，再计算母线长得到答案.【详解】设圆锥的高为h ，则12ππ2S r =⨯=侧21π3V r h =，9S V =侧，即21π9π3r h =⨯，解得218h =，4==.故选：C.13．如图是一棱长为1的正方体，则异面直线1A B 与11B D 之间的距离为（）A 3B ．33C ．12D ．22【正确答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求出与11D B 和1A B uuu r垂直的向量坐标，求出异面直线间的距离.【详解】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z轴，建立如图空间直角坐标系，则11(1,1,0)D B = ，1(0,1,1)A B =- ，设(,,)n x y z =与11D B 和1A B uuu r 都垂直，则11100D B n A B n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00x y y z +=⎧⎨-=⎩，取(1,1,1)n =--r ，又因为11(1,0,0)D A = ，所以异面直线11D B 和1A B 间的距离为11333D A n n⋅= 故选：B.14．空间内水平放置的两个封闭图形分别为（i ）长为3、宽为2的矩形；（ii ）边长为3的正三角形，记（i ）中原图形面积为1S ，斜二测画法得到的直观图面积为1S '，（ii ）中原图形面积为2S ，斜二测画法得到的直观图面积为2S '，对以下两个命题：①1124S S '=；②2224S S '=，以下判断正确的是（）A ．①为真命题，②为假命题B ．①为假命题，②为真命题C ．①为真命题，②为真命题D ．①为假命题，②为假命题【正确答案】C【分析】根据斜二测画法的知识求得正确答案.【详解】①，长为3、宽为2的矩形：原图：直观图：所以原图面积为1326S =⨯=，直观图的面积为11π13sin 2242S ⎛⎫'=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以1124S S '=，①为真命题.②，边长为3的正三角形：原图：直观图：所以原图面积为21π9333sin 234S =⨯⨯⨯=，直观图的面积为21333π6sin 2224416S ⎛⎫'=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，所以2224S S '=，②为真命题.故选：C.三、解答题15．如图，1AC 为长方体1111ABCD A B C D -的体对角线，(1)写出所在直线与直线1AA 异面的所有棱；(2)若2,3DA DC ==，且长方体的表面积为22，求异面直线1AC 与BC 所成的角大小.【正确答案】(1)1111,,,BC B C DC D C ；(2)147.【分析】(1)根据异面直线的概念即得；(2)连接1AB ，则11AC B ∠即可判断出为所求的角，解三角形即可.【详解】（1）由异面直线的性质得1111,,,BC B C DC D C 与直线1AA 异面；（2）连接1AB ，因为11//BC B C，所以11AC B ∠即为所求角，因为2,3DA DC ==，且长方体的表面积为22，所以()11222AD DC AD DD DC DD =⨯+⨯+⨯，所以11DD =，易得1AC =，由题可知11B C ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，所以11B C ⊥1AB ，即11AC B 为直角三角形，所以11111cos B C AC B AC ∠==所以异面直线1AC 与BC所成的角大小为.16．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()2112,322n n n a S a n +*+==-+∈N .(1)n *∈N 时，写出1n a +与n a 之间的递推关系；(2)求{}n a 的通项公式.【正确答案】(1)1142n n n a a ++=+(2)42n nn a =-【分析】（1）根据n a 与n S 之间的关系分析运算，注意分2n ≥和1n =两种情况讨论；（2）根据题意利用构造法结合等比数列求通项公式.【详解】（1）因为21322n n n S a ++=-+①，所以当2n ≥时，11322n n n S a +-=-+②，-①②得：()11322n n n n a a a n ++=--≥，即1142(2)n n n a a n ++=+≥，在①中：令1n =得322113221242a a a =+-==+，也符合上式，所以1142n n n a a ++=+.（2）因为1142n n n a a ++=+，则()11242n n n n a a +++=+，且1240a +=≠所以数列{}2n n a +是以4为首项，4为公比的等比数列，所以24n n n a +=，故42n n n a =-.17．如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，PD ⊥平面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.(1)证明：平面PAM ⊥平面PDB ；(2)若6PD DC ==，求该四棱锥的体积.【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直的性质定理得到PD AM ⊥，然后利用线面垂直的判定定理即可得到AM ⊥平面PDB ，即可得证；（2）以D 为原点，分别以,,DA DC DP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，得到,6,02x AM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(),6,0DB x = ，利用AM BD ⊥可求出x =【详解】（1）因为PD ⊥平面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，所以PD AM ⊥，又因为PB AM ⊥，PD PB P = ，PD ⊂平面PDB ，PB ⊂平面PDB ，所以AM ⊥平面PDB ，因为AM ⊂平面PAM ，所以平面PAM ⊥平面PDB ；（2）以D 为原点，分别以,,DA DC DP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设DA x =，则()(),0,0,,,6,02x A x M B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以,6,02x AM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(),6,0DB x = ，由AM ⊥平面PDB ，BD ⊂平面PDB 可得AM BD ⊥，所以AM BD ⊥ ，即3602x x -⨯+=，解得x =所以四棱锥的体积为1133ABCD V S PD DC DA PD =⨯=⨯⨯=18．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直．点M在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若(0CM BN a a ==<．(1)求MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小；(3)当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小．【正确答案】(1)MN a =<(2)当a =MN (3)1πarccos 3-【分析】（1）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，则MNQP 是平行四边形，根据MN ＝PQ ，即可求出MN 的长；（2）根据（1）的结果，结合二次函数的性质，即可求出MN 的最小值；（3）取MN 的中点G ，由题意知AG ⊥MN ，BG ⊥MN ，根据二面角的平面角的定义可知∠AGB 即为二面角的平面角，在三角形AGB 中利用余弦定理求解即可．【详解】（1）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连接PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP ＝NQ ，即MNQP 是平行四边形，∴MN ＝PQ ．由已知，CM ＝BN ＝a ，CB ＝AB ＝BE ＝1，∴AC ＝BF ，11CP BQ ==CP BQ =MN PQ ∴==a =<<．（2）由（1）得，MN =0a <<，所以，当2a =时，MN 的长取最小值2.即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN .（3）取MN 的中点G ，连接AG 、BG ，由（2）可得2AM AN BM BN ====∵G 为MN 的中点，∴AG ⊥MN ，BG ⊥MN ，则∠AGB 即为所求二面角的平面角α，又AG ＝BG所以由余弦定理有2211cos 3α+-=-，故所求二面角1πarccos 3α=-．19．已知数列{}n a 有递推关系1191069,,,5655n n n n a a n a a a *+-⎛⎫=∈≠= ⎪-⎝⎭N (1)记,n n a b k =+若数列{}n b 的递推式形如(1,,n n n rb b p q r pb q +=∈+R 且),0p r ≠，也即分子中不再含有常数项，求实数k 的值；(2)求{}n a 的通项公式.【正确答案】(1)1或2(2)()4141nn n n a =+--【分析】（1）根据题意整理可得()219551510556n n n k b k k b b k +--+-=+-，即2515100k k -+-=，运算求解即可；（2）取1k =，可得1451n n n b b b +=-，利用构造法结合等比数列求通项公式.【详解】（1）因为n n a b k =+，且191056n n n a a a +-=-，所以()()()211910955151056556n n n n n n b k k b k k b a k k b k b k +++---+-=-==+-+-，则2515100k k -+-=，解得1k =或2；（2）由（1）可得：当1k =时，则1n n a b =+，且1451n n n b b b +=-，可得1511115444n n n n b b b b +-==-⨯+，则1111114n n b b +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，且111104b -=≠，故数列11n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以14为首项，14-为公比的等比数列，∴()111111444n n n n b --⎛⎫-=⨯-=- ⎪⎝⎭，则()441nn n n b =--，故()4141nn n n a =+--.20．无穷数列{}n a 和{}n b 满足：①{}0,1,2,;n a n N *∈∈②()111,24n n n n n b a a n N b *++=--∈，记{}n b 的前n 项积为n T ，(1)是否存在1234,,,,a a a a 使得{}n b 的前四项依次成等差数列？若存在则写出一组这样的1234,,,,a a a a 若不存在，则说明理由；(2)若11b =，求2021T 的最大值.【正确答案】(1)不存在，理由见解析(2)102010012⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）假设存在，对1b 正负进行讨论，找出矛盾得出结论；（2）根据（1）分析出41424340,0,0,0n n n n b b b b ---<<>>，进而对112,,,n n n n a a a a +++的取值进行讨论，最终得到结果.【详解】（1）假设存在，设n b 的前四项公差为d ，当10b >时，易得2340,0,0b b b <<>，所以21430,0d b b d b b =-=-，矛盾；同理10b ＜时，也矛盾，故不存在；（2）因为110b =>，由（1）得41424340,0,0,0n n n n b b b b ---<<>>，设10n n n b q b +=>，则1113,,,,124424n n n n a a q q +⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭，所以21n n n n b q q b ++=⋅⋅，又因为1n n q q +⋅的值从大到小依次为3911,,,4162①若11n n q q +⋅=，则111n n q q +=⎧⎨=⎩，则112(,)(2,0)(,)(2,0)n n n n a a a a +++=⎧⎨=⎩，1n a +不能同时存在，故不成立；②若134n n q q +⋅=，则1134n n q q +=⎧⎪⎨=⎪⎩或1341n n q q +⎧=⎪⎨⎪=⎩，此时112(,)(2,0)(,)(2,1)n n n n a a a a +++=⎧⎨=⎩或112(,)(2,1)(,)(2,0)n n n n a a a a +++=⎧⎨=⎩，1n a +不能同时存在，故不成立；③若1916n n q q +⋅=，则13434n n q q +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则112(,)(2,1)(,)(2,1)n n n n a a a a +++=⎧⎨=⎩，1n a +不能同时存在，故不成立；所以112n n q q +⋅≤，此时112(,)(2,0)(,)(0,2)n n n n a a a a +++=⎧⎨=⎩或112(,)(0,2)(,)(2,0)n n n n a a a a +++=⎧⎨=⎩可取到，所以2112n n n n n b q q b b ++=⋅⋅≤，所以112111122n n n b b ---⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，111221111222n n n n b b b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤≤≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以20211232021132021242020T b b b b b b b b b b =⋅⋅=⋅⋅ 210102100910201001111111112222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，此时{}n a 为2,0,2,0,因为20210T >，所以1020100202112T ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2021T 的最大值为102010012⎛⎫ ⎪⎝⎭.分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.。