上海市位育中学2021届高三上学期期中考试数学试卷(2020.11) Word版含答案

2020-2021上海市南中学高三数学上期中试题及答案一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） ABCD． 3．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．34．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．4或5 5．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．166．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞B．()-+∞C ．[)3,-+∞D．)⎡-+∞⎣7．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．28．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B相距，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km9．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5210．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．6612．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，3a=4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒ D ．60B =︒二、填空题13．若数列{}n a 满足11a =，()()11132nn n n a a -+-+=⋅ ()*n N ∈，数列{}n b 的通项公式()()112121n n nn a b ++=-- ，则数列{}n b 的前10项和10S =___________14．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）15．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____． 16．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________．17．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1； a b 2； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;112a b+≥⑤. 18．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得1=，则14m n+的最小值为__________． 19．定义11222n n n a a a H n-+++=L 为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值12n n H +=,记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．20．已知数列{}n a的通项n a =15项的和等于_______.三、解答题21．已知函数()cos f x x x =-. （1）求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域； （2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求a b 的取值范围． 22．数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=++. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设141n n b a =-，求出数列{}n b 的前n 项和.23．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .24．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，14cos a C a+=，1b =. （1）若90A ∠=︒，求ABC V 的面积； （2）若ABC Va ，c . 25．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,ab c，已知222,3A b c a π=+=． （1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1250,15a a S +==，数列{}n b 满足：12b a =，且131(2).n n n n n nb a b a b ++++=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若211(5)log n n n c a b +=+⋅，求数列{}n c 的 前n 项和.n T【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ）143a a ⨯=33，即4a +13a ≤-433 故1212a x x x x ++的最大值为433-． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.3．B解析：B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ．当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-， 则k 的最大值为：32故选：B ． 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．B解析：B 【解析】由{}n a 为等差数列，所以95532495S S a a d -=-==-，即2d =-， 由19a =，所以211n a n =-+，令2110n a n =-+<，即112n >， 所以n S 取最大值时的n 为5， 故选B ．5．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.6．D解析：D 【解析】由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Q当x 时，2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值m -∴≥-，m 的取值范围是)22,⎡-+∞⎣，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.7．D解析：D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图所示，当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，max 2z =，当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.8．D【解析】 【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=o ,在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o , 所以222108006013240CD BD BC =+=+⨯=km ,所以6033cos BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,2222232cos (603)902603904BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯g 10800=,所以603BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有603km . 故选D . 【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.9．B【解析】 【分析】设f （x ）1221x x=+-，根据形式将其化为f （x ）()1152221x x x x-=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x 13=时()11221x x x x-+-的最小值为2，得到f （x ）的最小值为f（13）92=，再由题中不等式恒成立可知m ≤（1221x x +-）min ，由此可得实数m 的最大值． 【详解】解：设f （x ）11222211x x x x=+=+--（0＜x ＜1） 而1221x x+=-[x +（1﹣x ）]（1221x x +-）()1152221x x x x -=++- ∵x ∈（0，1），得x ＞0且1﹣x ＞0∴()11221x x x x -+≥-=2， 当且仅当()112211x x x x -==-，即x 13=时()11221x x x x -+-的最小值为2 ∴f （x ）1221x x =+-的最小值为f （13）92= 而不等式m 1221x x ≤+-当x ∈（0，1）时恒成立，即m ≤（1221x x+-）min 因此，可得实数m 的最大值为92故选：B ． 【点睛】本题给出关于x 的不等式恒成立，求参数m 的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．10．C解析：C 【解析】很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：()231113S a q q=++=，①且：()21322a a a +=+，即()211122a q a a q +=+，②①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上可得：公比q =3或13. 本题选择C 选项.11．D解析：D 【解析】分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.12．C解析：C 【解析】 【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒. 【详解】解：60A =︒Q，a=4b =由正弦定理得：sin 1sin 2b A B a === a b >Q 60B ∴<︒ 30B ∴=︒故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.二、填空题13．【解析】【分析】对于当n=1代入得-4依次得发现规律利用求出【详解】由当n=1代入得-4依次得发现规律利用得b=-求出故答案为【点睛】本题考查的是在数列中给了递推公式不好求通项公式时可以列举几项再发 解析：20462047-【解析】 【分析】 对于()()11132nn n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得345a =10a =-22a =46...，，发现规律， 利用()()112121n n n n a b ++=--，求出10S .【详解】 由()()11132nn n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得2345634567a =32-2a =-32+2a =32-2a =-32+2a =32-2...⨯⨯⨯⨯⨯，，，，发现规律， 利用()()112121n n nn a b ++=--，得b 1=-43，234510224694b =b =-b =b =-...3771515313163⨯⨯⨯⨯，，， ，求出1020462047S =-. 故答案为20462047- 【点睛】本题考查的是在数列中，给了递推公式不好求通项公式时，可以列举几项再发现规律，求出题中要求的前10项和，属于中档题.14．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题 解析：128【解析】 【分析】由1113()n nn N a a *+=+∈得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为等差数列，求得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩通项公式，则10a 可求 【详解】1113()n nn N a a *+=+∈则1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为以首项为1，公差为3的等差数列，则 ()10111313228n n n a a =+-=-∴=故答案为：128【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题15．【解析】在△中且故故答案为：点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数属于简单题对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）同时还要熟练掌握运用两种形式的条件另外在解与三角解析：14-【解析】在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =,故222132,3,cos .24a b c a b b c ab +-=∴===-故答案为：14-. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16．【解析】∵∴将以上各式相加得：故应填；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法迭代法等； 解析：()112n n ++【解析】∵112,1n n a a a n +==++∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，⋯，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+将以上各式相加得：()()()123211n a n n n n ⎡⎤=-+-+-+++++⎣⎦L()()()()11111111222n n n n n n n n ⎡⎤--+-+⎣⎦=++=++=+故应填()112n n ++； 【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；17．①③⑤【解析】【分析】【详解】对于①：因为所以所以故①项正确；对于②：左边平方可得：所以故②项错误；而利用特殊值代入②中式子也可得出②错误的结论；对于③：因为由①知所以故③项正确；对于④：故④项错误解析：①③⑤ 【解析】 【分析】 【详解】 对于①：因为，，所以，所以，故①项正确； 对于②：左边平方可得：，所以，故②项错误； 而利用特殊值，代入②中式子，也可得出②错误的结论；对于③：因为，由①知，所以，故③项正确；对于④：()3322()a b a b a ab b +=+-+22()3a b ab ⎡⎤=⨯+-⎣⎦8686ab =-≥-2=,故④项错误； 对于⑤1a +1a =a b ab +=2ab≥2，故⑤项正确； 故本题正确答案为：①③⑤.18．【解析】【分析】由求得由可得结合为正整数讨论四种情况可得的最小值【详解】设等比数列的公比为由可得到由于所以解得或因为各项全为正所以由于存在两项使得所以可得当时;当时；当时;当时;综上可得的最小值为故 解析：116【解析】 【分析】由7652a a a =+求得2q =122m n a a a ⋅=可得5m n +=，结合,m n 为正整数，讨论四种情况可得14m n+的最小值. 【详解】设等比数列的公比为q ,由7652a a a =+, 可得到6662a a q a q=+, 由于0n a >,所以21q q=+,解得2q =或1q =-. 因为各项全为正,所以2q =.由于存在两项,m n a a 122m n a a a ⋅=，所以,218m n a a a ⋅=,112211188m n m n a q a q a q --+-⋅=∴=，28m n q +-∴=,可得5m n +=.当1,4m n ==时,142m n+=; 当2,3m n ==时，14116m n +=； 当3,2m n ==时,1473m n +=;当4,1m n ==时,14174m n +=; 综上可得 14m n +的最小值为116, 故答案为116. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和性质,考查了分类讨论思想的应用,属于中档题. 分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.19．【解析】【分析】因为从而求出可得数列为等差数列记数列为从而将对任意的恒成立化为即可求得答案【详解】故则对也成立则数列为等差数列记数列为故对任意的恒成立可化为:；即解得故答案为:【点睛】本题考查了根据解析：712[,]35【解析】 【分析】因为1112222n n n b b b n -+++⋯+=⋅,2121()2212n nn b b b n --++⋯+=-⋅,从而求出2(1)n b n =+,可得数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c ,从而将5n S S ≤对任意的*(N )n n ∈恒成立化为50c ≥,60c ≤,即可求得答案. 【详解】Q 1112222n n n n b b b H n-++++==L ,∴ 1112222n n n b b b n -++++=⋅L ,故2121()(22212)n nn b b n b n --⋅++=-≥+L ,∴112212()n n n n b n n -+=⋅--⋅1()2n n =+⋅,则2(1)n b n =+,对1b 也成立,∴2(1)n b n =+,则()22n b kn k n -=-+,∴数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c .故5n S S ≤对任意的*N ()n n ∈恒成立,可化为:50c ≥,60c ≤；即5(2)206(2)20k k -+≥⎧⎨-+≤⎩,解得,71235k ≤≤,故答案为:712[,]35． 【点睛】本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前n 项和最大值的方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.20．【解析】【分析】将通过分母有理化化简得出再利用裂项相消法求出前15项的和【详解】利用分母有理化得设数列的前项的和为所以前15项的和为：即：故答案为：3【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前项的和还 解析：3【解析】 【分析】将n a =15项的和. 【详解】利用分母有理化得na ===设数列{}n a 的前n项的和为n S ，所以前15项的和为：151215S a a a=+++L1=L1= 413=-= 即：153S =. 故答案为：3. 【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前n 项的和，还运用分母有理化化简通项公式，属于基础题.三、解答题21．（1）[]1,2；（2）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式得出()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出6x π-的取值范围，再由正弦函数的基本性质可求出函数()y f x =在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域； （2）根据题中条件得出4sin sin 3A B +=，可得出4sin sin 3A B =-，由0sin 1A <≤，0sin 1B <≤，可求出1sin 13B ≤≤，利用正弦定理以及不等式的性质可得出sin 41sin 3sin a A b B B ==-的取值范围. 【详解】（1）()1cos 2cos 2sin cos cos sin 2266f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，5366x πππ∴≤-≤，则1sin 123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，()12f x ∴≤≤，因此，函数()y f x =在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为[]1,2； （2）78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，即()82sin 2sin 3A B π+=-，化简得4sin sin 3A B +=，4sin sin 3A B ∴=-， 由0sin 1A <≤，0sin 1B <≤，即40sin 130sin 1B B ⎧<-≤⎪⎨⎪<≤⎩，得1sin 13B ≤≤. 由正弦定理得4sin sin 4131,3sin sin 3sin 3Ba Ab B B B -⎡⎤===-∈⎢⎥⎣⎦.因此，a b 的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查正弦型函数值域的求解，同时也考查了三角形中边长比值取值范围的计算，考查运算求解能力，属于中等题.22．（1）2n a n =；（2）21nn +. 【解析】 【分析】(1)直接根据累加法即可求得数列{}n a 的通项公式； (2)利用裂项相加即可得出数列{}n b 的前n 项和。

2020-2021上海上海中学高三数学上期中一模试题带答案一、选择题1．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102002．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则 1a ＜1b3．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-4．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．165．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．6．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2B ．4C ．16D ．87．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2BCD ．48．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( )A ．256B ．25C ．253D ．59．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<10．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．511．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．13712．已知正项数列{}n a 中，*12(1)()2n n n a a a n N ++++=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 15．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．16．在无穷等比数列{}n a 中，123,1a a ==，则()1321lim n n a a a -→∞++⋯+=______． 17．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________18．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？19．在△ABC 中，2BC =，7AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．20．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．三、解答题21．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{nS n}的前10项和． 22．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；（2）若22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积． 23．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 24．设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.25．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且3b =（1）当4A π=时，求ABC ∆的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．26．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2223,33A b c a π=+-=． （1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．解析：A 【解析】 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC V ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．5．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得42c =． 由余弦定理可得：()222222142214252b ac accosB =+-=+-⨯⨯⨯=． 6．D解析：D 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可．等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．7．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.8．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。

位育中学高三期中数学试卷2021.11一. 填空题1. 设集合{|12}A x x =-≤≤，{|04}B x x =≤≤，那么AB = 2. 计算：1lim 31n n n →∞-+=- 3. 复数zi =，i 为虚数单位，那么z = 4. 函数3y x =，那么此函数的反函数是5. x 、y 满足202300x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，那么2z y x =-的最大值为6. 行列式129300a b c d =，那么a b c d = 7. 某单位现有职工52人，将所有职工编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本， 6号、32号、45号职工在样本中，那么另一个在样本中的职工编号为8. 数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和记为n S ，假设233a a +=，3432a a +=，那么 9. 在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项， 那么每个工程都有该校教师参加的概率为〔结果用数值表示〕10. 1F 、2F是椭圆222:1(3x y C a a +=>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60° 的直线与椭圆C 的一个交点为M ，假设1212||||MF MF MF MF +=-，那么椭圆C 的长轴长为11.点M 、N 在以AB 为直径的圆上，假设5AB =，3AM =，2BN =，那么AB MN ⋅=12. 球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2PA AB BC CA ====，PB =，点D 为 BC的中点，且PD =O 的体积为二. 选择题13. 以下不等式恒成立的是〔 〕A.222a b ab +≤B. 222a b ab +≥-C.22a b +≥D. 22a b +≥-14. 假设函数()sin cos f x x a x =+的图像关于直线4x π=对称，那么a 的值为〔 〕A. 1B. 1-15. 对于函数1(1)()2n f n +-=〔*n ∈N 〕，我们可以发现()f n 有许多性质，如：(2)1f k = 〔*k ∈N 〕等，以下关于()f n 的性质中一定成立的是〔 〕A.(1)()1f n f n +-=B. ()()f n k f n +=〔*k ∈N 〕C.()(1)()f n f n f n αα=++〔0α≠〕D. (1)(1)()f n f n ααα+=-+〔0α≠〕16. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x x =，假设函数()()g x f x x m =--有三个零点，那么实数m 的取值范围是〔 〕 A.11(,)44- B. (12,21)--C.11(4,4)()44k k k -+∈ZD. (412,421)()k k k +-+-∈Z 三. 解答题17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，22AB AC ==，D 是AB 的中点. 〔1〕假设三棱柱111ABC A B C -的体积为33，求三棱柱111ABC A B C -的高； 〔2〕假设12C C =，求二面角111D B C A --的大小.18. 函数4()31x f x a =-+〔a 为实常数〕. 〔1〕讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由； 〔2〕当()f x 为奇函数时，对任意的[1,5]x ∈，不等式()3x u f x ≥恒成立， 求实数u 的最大值.19. 某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为503米、圆心为60°的扇形OAB 草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，红旗为矩形，其四个顶点中有两个顶点M N 、在线段OB 上，另两个顶点P 、Q 分别在弧AB 、线段OA 上.〔1〕假设组成的红旗是长PN 与宽MN 的长度比为3：2的国旗图案，求此国旗的面积； 〔2〕求组成的红旗图案的最大面积.20. 抛物线22(0)y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点(,0)(0)T t t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.〔1〕求抛物线方程；〔2〕证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关；〔3〕假设P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.21. 设数列{}n a 的各项都是正数，假设对于任意的正整数m ，存在k ∈*N ，使得m a 、m k a +、 2m k a +成等比数列，那么称数列{}n a 为“k D 型〞数列.〔1〕假设{}n a 是“1D 型〞数列，且11a =，314a =，求12lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+的值； 〔2〕假设{}n a 是“2D 型〞数列，且1231a a a ===，88a =，求{}n a 的前n 项和n S ； 〔3〕假设{}n a 既是“2D 型〞数列，又是“3D 型〞数列，求证：数列{}n a 是等比数列.参考答案一. 填空题1.{|02}x x ≤≤2.13-3.12i -4.y =5.36. 37. 198. 89. 4910.1212. 27 二. 选择题13. B14. A15. C16. C三. 解答题17.〔1〕6；〔2〕17. 18.〔1〕()f x 是奇函数；〔2〕max 3u =.19.〔12m ；〔2〕2. 20.〔1〕24y x =；〔2〕证明略；〔3〕2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩. 21.〔1〕2；〔2〕212222122n n n n n S n n -⎧-+⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩为偶数为奇数；〔3〕证明略.。

2020-2021上海位育初级中学高三数学上期中一模试卷带答案一、选择题1．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸2．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．33．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．4或5 4．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．165．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．36．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形8．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-9．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．510．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5211．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．4012．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95B ．100C ．135D ．80二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sincos 222A B C +-=，且5,a b c +==，则ab 为 ．15．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________．16．设0,0,25x y x y >>+=______.17．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令114(1)n n n n nb a a -+=-，则数列{}n b 的前100的项和为______． 18．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 19．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．20．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．三、解答题21．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求A ；（2）若3,,2b ac 成等差数列，ABC ∆的面积为23，求a ． 22．已知数列{n a }的前n 项和1*1()2()2n n n S a n N -=--+∈，数列{n b }满足n b =2n n a ．(I)求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式； (Ⅱ)设2log n n n c a =，数列{22n n c c +}的前n 项和为T n ，求满足*25()21n T n N <∈的n 的最大值.23．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？24．已知函数()sin 2(0)f x m x x m =+>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间； （Ⅱ）ABC ∆中,()()46sin 44f A f B A B ππ-+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．25．已知函数()f x a b =⋅v v ，其中()()2cos 32,cos ,1,a x sin x b x x R ==∈v v．（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,7a b c f A a ==2b c =，求ABC ∆的面积．26．等比数列{}n a 中，1752,4a a a ==． (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)记n S 为{}n a 的前n 项和．若126m S =，求m ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。

2023届上海市上海中学高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{||1|3}M x x =-≤，1|33xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则M N ⋂=（ ）A ．[2,)-+∞B ．[2,4]-C ．[1,4]-D ．[2,1]--【答案】C【分析】首先解绝对值不等式求出集合M ，再根据指数函数的性质求出集合N ，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：由|1|3x -≤，即313x -≤-≤，解得24x -≤≤， 所以{}{}||1|3|24M x x x x =-≤=-≤≤，由133x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即11133x -⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1x ≥-，所以{}11|3|3xN x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩≥-⎭，所以{}|14M N x x =-≤≤；故选：C2．已知实数a 、b ，那么||||||a b a b +=-是0ab <的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要【答案】B【分析】等式两边平方即可判断.【详解】因为2222||||||2|2|||0a b a b a ab b a ab b ab ab ab +=-⇔++=-+⇔=-⇔≤， 所以||||||a b a b +=-是0ab <的必要不充分条件， 故选:B ．3．已知x y 与之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为,y bx a =+若某同学根据上表中的前两组数据()1,0和()2,2求得的直线方程为,y b x a ''+'=则以下结论正确的是（ ）A ．,b b a a '>'>B ．,b b a a '>'<C ．,b b a a ''D ．,b b a a '<'<【答案】C【详解】b ′＝2，a ′＝－2，由公式b ＝61621()()()iii i i x x y y x x ==---∑∑求得．b ＝57，a ＝x －b x ＝136－57×72＝－13，∴b <b ′，a >a ′4．对正整数n ，记{1,2,3,,},,n n n n I n P m I k I ⎫==∈∈⎬⎭．若n P 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A 为“破晓集”．那么使n P 能分成两个不相交的破晓集的并集时，n 的最大值是（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16【答案】B【分析】先证当15n ≥时，n P 不能分成两个不相交的破晓集的并集，假设当15n ≥时，n P 可以分成两个不相交的破晓集的并集，设A 和B 为两个不相交的破晓集，推出A 为破晓集相矛盾，再证14P 满足要求，当1k =时，141414,⎫=∈∈⎬⎭P m I k I ，可以分成2个破晓集的并集去证明，当9k =时，去证明，最后它与n P 中的任何其他数之和都不是整数，从而得到答案. 【详解】先证当15n ≥时，n P 不能分成两个不相交的破晓集的并集，假设当15n ≥时，n P 可以分成两个不相交的破晓集的并集，设A 和B 为两个不相交的破晓集，使n n A B P I ⋃=⊇．不妨设1A ∈，则由于2132+=，所以3A ∉，即3B ∈，同理可得，6A ∈，10B ∈．又推出15A ∈，但21154+=，这与A 为破晓集相矛盾， 再证14P 满足要求，当1k =时，141414,⎫=∈∈⎬⎭P m I k I ， 可以分成2个破晓集的并集，事实上，只要取1{1,2,4,6,9,11,13}A =，1{3,5,7,8,10,12,14}B =， 则1A 和1B 都是破晓集，且1114B A P =．当4k=时，集合14m I ⎫∈⎬⎭中，除整数外，剩下的数组成集合13513,,,,2222⎧⎫⋯⎨⎬⎩⎭，可以分为下列2个破晓集的并：22159113713,,,,,,2222222A B ⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，当9k =时，集合14m I ⎫∈⎬⎭中，除整数外，剩下的数组成集合12451314,,,,,,333333⎧⎫⎨⎬⎩⎭， 可以分为下列2个破晓集的并：3314510132781114,,,,,,,,,3333333333A B ⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，最后，集合1414,,,1,49⎫≠⎬⎭=∈∈C m I k I k 中的数的分母都是无理数， 它与n P 中的任何其他数之和都不是整数，因此，令123A A A A C =⋃⋃⋃，123B B B B =⋃⋃， 则A 和B 是不相交的破晓集，且14A B P ⋃=． 综上，n 的最大值为14. 故选：B ．【点睛】思路点睛：先证当15n ≥时，n P 不能分成两个不相交的破晓集的并集，利用反证法推出A 为破晓集相矛盾，再证14P 满足要求去证明，最后它与n P 中的任何其他数之和都不是整数，本题考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于难题..二、填空题5．函数()f x =__． 【答案】[3,)+∞【分析】根据复合函数定义域，单调性进行求解.【详解】由题知()f x 所以2430x x -+≥， 所以1x ≤ 或3x ≥ 因为243y xx =-+在(]1∞-，上单调递减，在[)3+∞， 上单调递增，又因为y =在[)0+∞，上单调递增，所以由复合函数单调性可知()f x [)3+∞，. 故答案为：[)3+∞，. 6．若4log 3a =，则22a a -+= ．【详解】∵4log 3a =，∴432a a =⇒=，∴222a -+=【解析】对数的计算7．设a ，b ∈R ，12a b ≤-≤，24a b ≤+≤，求42a b -的取值范围是______． 【答案】[]5,10【分析】把42a b -用a b -和a b +表示，然后由不等式的性质得出结论． 【详解】令()()()()42a b m a b n a b m n a n m b -=-++=++-，则42m n n m +=⎧⎨-=-⎩，解得13n m =⎧⎨=⎩. ∵12a b ≤-≤，24a b ≤+≤， ∴53()()10a b a b ≤-++≤． 即54210a b ≤-≤，所以42a b -的取值范围是[]5,10 故答案为：[]5,10.8．设函数f (x )在(0,＋∞)内可导，且f (ex )＝x ＋ex ，则()1f '＝__________． 【答案】2【详解】试题分析：令x t e =，()ln (0)f t t t t =+>，所以()ln ,(0)f x x x x =+>，1()1+f x x='，()12f '=，所以答案应填：2． 【解析】导数的运算．9．已知实数a 、b 、c 满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则a 的最大值为_______.【详解】试题分析：因为0a b c ++=，所以()c a b =-+， 所以222[()]1a b a b ++-+=， 所以2222210b ab a ++-=，由()22442210a a ∆=-⨯⨯-≥，解得a故实数a .【解析】一元二次方程的根的判别式，容易题.10．已知函数()|1||3|||f x x x x a =++-+-的图象关于垂直于x 轴的直线对称，则实数a 的值是__． 【答案】1或7或5-【分析】利用绝对值不等式以及对称性求解.【详解】考虑每个绝对值的端点，分别为1,3,a -，则这三个端点必关于垂直于x 轴的直线对称，所以132a -+=或123a -+=⨯或32(1)a +=⨯-，所以1a =或7或5-．故答案为：1或7或5-.11．已知实数,,a b m ，集合{}2|[0,)A y y x ax b ==++=+∞，若关于x 的不等式2x ax b c 的解集为(,6)m m +，则实数c 的值为__．【答案】9【分析】由已知，2()f x x ax b =++的最小值为0，可得到,a b 的关系.由2x ax b c 的解集为(,6)m m +，可得对应一元二次方程的两根之差为6，根据韦达定理可得,,a b c 关系式，两式联立，即可求得c 的值.【详解】因为函数()()2,f x x ax b a b =++∈R 的值域为[0,)+∞，所以222()24a a f x x ax b x b ⎛⎫=++=+-+ ⎪⎝⎭的最小值为0，即204a b -+=，则24a b =，不等式()f x c <的解集为(,6)m m +，即20x ax b c 解集为(,6)m m +， 则20x ax b c 的两个根1x 、2x 分别为m 、6m +， 所以两根之差为12|||6|6x x m m -+-==， 由韦达定理得121ax x a +=-=-，121b c x x b c -==-，因为12||x x -=6==，将24a b =代入得， 6，解得9c =．故答案为：9.12．下列命题中错误的是__．①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变； ②在一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y （122,,,,n n x x x ≥不全相等）的散点图中，若所有样本点(),(1,2,,)i i x y i n =都在直线112y x =-+上，则这组样本数据的线性相关系数为12-；③在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有99%的可能性患肺病． 【答案】①②③【分析】根据均值和方差的性质，相关系数的特点，独立性检验的相关知识，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对于①，将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，所以①错误；对于②，在散点图中，若所有样本点都在直线112y x =-+上，则这组样本数据的线性相关系数为1-，所以②错误；对于③，由独立性检验得，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误，所以③错误．综上，错误的命题序号是①②③． 故答案为：①②③.13．已知11,23a b >>，127a b +=，则312131a b +--的最小值_________.【答案】20 【分析】设11,2131x y a b ==--，利用,x y 表示12,a b ，利用127a b +=得到(1)(5)12x y --=，再变形得到313(1)(5)802131x y a b +=-+-+--，利用基本不等式求出最小值. 【详解】令11,2131x y a b ==--，则1226711x y a b x y +=+=++， 去分母化简得：57xy x y --=，所以(1)(5)12x y --=，所以3133(1)(5)88202131x y x y a b +=+=-+-+≥=--， 当且仅当24,311a b ==时，等号成立．故答案为：2014．已知函数()213,11log ,12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，2()1xg x x =+，若对任意的实数12,x x ，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__． 【答案】3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】由已知可得，需满足()()max min f x g x ≤，即需求出()f x 的最大值和()g x 的最小值，得到不等式，即可解出k 的取值范围.【详解】由于对任意的12,R x x ∈，均有()()12f x g x ≤，因此max min ()()f x g x ≤，当0x >时，1()1g x x x=+，而12x x +≥，当且仅当=1x 时，等号成立， 因此()()110,0012g x g x x<=≤=+， 当0x <时，21()11x g x x x x==++，1120x x x x ⎛⎫+=---≤-< ⎪⎝⎭，当且仅当=1x -时，等号成立，此时，11()12g x x x=≥-+，所以，min 1()2g x =-.对()f x ，由已知，()2f x x x k =-++在1x ≤上最大值为1124f k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；()131log 2f x x =-+在1x >时单调递减，所以有()12f x <-满足.所以要使()()max min f x g x ≤成立，只需满足1142k +≤-所以34k ≤-，则实数k 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．故答案为：3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.15．已知集合[]1,,16A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，其中1A ∉且16s t +<，记()11x f x x +=-，且对任意x A ∈，都有()f x A ∈，则s t +的值是___________.【答案】112或32【分析】根据两端区间和1x =的关系分三种情况讨论：1x =在[]1,,16s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦左边，在1,6s s ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦和[],1t t +之间，在[]1,,16s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦右边三种情况，根据单调性可得()f x 的值域，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可. 【详解】①当1s >时，区间[]1,,16s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦在1x =的右侧，且()211f x x =+-在区间1,,[,1]6s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单调递减，易得()22221,11,15116f x t t s s ⎡⎤⎢⎥⎡⎤∈++++⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥-⎣⎦，故此时2121116s ts t ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪-⎩且21562111t s t s ⎧+≥⎪-⎪⎨⎪+≤+⎪-⎩，即212156t s t s ⎧≤⎪-⎪⎨+≤⎪-⎪⎩且215621t s t s ⎧+≥⎪-⎪⎨⎪≤⎪-⎩，所以212156t s t s ⎧=⎪-⎪⎨+=⎪-⎪⎩，故212516s ts t ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪-⎩，故252116t t +=+-，即21216t t t +=-，2120t t --=，因为1t >，故4t =，代入可得32s =，此时112s t += ②当116s t +<<，即56s <时，1x =在1,6s s ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦和[],1t t +之间.因为()11x f x x +=-在区间1,6s s ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上为减函数，故当1,6x s s ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，()716,516s s f x s s ⎡⎤+⎢⎥+∈⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，因为111s s +<-，而1t >，故此时7116,,5166s s s s s s ⎡⎤+⎢⎥+⎡⎤⊆+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦，即11167656s s s s s s +⎧≤+⎪-⎪⎪⎨+⎪≥⎪-⎪⎩，因为56s <，故22511667566s s s s s s ⎧+≥--⎪⎪⎨⎪+≤-⎪⎩即22117066117066s s s s ⎧--≤⎪⎪⎨⎪--≥⎪⎩，故261170s s --=，即()()21370s s +-=，因为56s <，故12s =-.因为此时[,1]t t +在1x =右侧.故当[,1]x t t ∈+时，()21,1t t f x t t ++⎡⎤∈⎢⎥-⎣⎦，因为21t t +>，故[]21,,11t t t t t t ++⎡⎤⊆+⎢⎥-⎣⎦，所以1112t t t t t t+⎧≤+⎪⎪-⎨+⎪≥⎪⎩ ，此时()()2210t t t ≥⎧⎨-+≤⎩，故2t =，满足1t >，此时32s t +=③当11t +<，即0t <时，1x =在[]1,,16s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦右边.此时()211f x x =+-在区间1,,[,1]6s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单调递减，易得()22221,11,15116f x t t s s ⎡⎤⎢⎥⎡⎤∈++++⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥-⎣⎦，故此时2121116s ts t ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪-⎩且21562111t s t s ⎧+≥⎪-⎪⎨⎪+≤+⎪-⎩，即212156t s t s ⎧≤⎪-⎪⎨+≤⎪-⎪⎩且215621t s t s ⎧+≥⎪-⎪⎨⎪≤⎪-⎩，所以212156t s t s ⎧=⎪-⎪⎨+=⎪-⎪⎩，故212516s ts t ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪-⎩，故252116t t +=+-，即21216t t t +=-，2120t t --=，因为1t <，故3t =-，代入可得13s =，不满足16s t +<.综上所述，有112s t +=或32s t +=故答案为：112或32【点睛】本题主要考查了根据单调性求解值域的问题，需要根据题意，结合分式函数的图象，依据端点与特殊值之间的关系进行分类讨论，同时需要根据值域的包含关系确定参数的取值范围.求解过程中需要统一分析，注意不等式之间相似的关系整体进行求解.属于难题.16．已知函数()ln 1f x b x =--，若关于x 的方程()0f x =在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解，则22a b +的最小值为______． 【答案】29e【分析】设函数()f x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则由ln 10b m --=，则(),P a b 在直线ln 10l x y m +--=上，则22a b +可看作是O 到直线l 的距离的平方，利用导数求出其最小值即可得到答案【详解】解：设函数()f x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则ln 10b m --=，所以点(),P a b 在直线ln 10l x y m +--=上，设O 为坐标原点，则222||a b OP +=，其最小值就是O 到直线l 的距离的平方，OP=≥=，2e,e m ，设t ⎤=⎦，设()2ln 1t g t t+=，则()()212ln 0t g t t t -⎤'=≤∈⎦，所以()g t 在⎤⎦上单调递减， 所以()()min 3e eg t g ==，3e 即2229e a b +≥，所以22a b +的最小值为29e ，故答案为：29e三、解答题17．已知函数f(x)＝3x ＋k·3－x为奇函数．(1)求实数k 的值； (2)若关于x 的不等式f(2291axx--)＋f(213ax --)<0只有一个整数解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1k =-；（2）[1,2)．【详解】试题分析：（1）根据题意奇函数，从而可知()()0f x f x +-=对任意x R ∈恒成立，从而即可求得k 的值；（2）利用（1）中的结论以及()f x 的单调性，可将不等式等价转化为(2)(21)0ax x --<，再有题意只有一个整数解，即可得到关于a 的不等式，从而求解． 试题解析：（1）显然()f x 的定义域为R ，又∵()f x 是奇函数，∴()()()()33331330x x x x x xf x f x k k k ---+-=+⋅++⋅=++=对一切实数x 都成立， ∴1k =-；（2）易得()f x 为R 上的单调递增函数，又由()f x 是奇函数，∴()()22291+130a xxa x f f ----<22222422913133242(2)(21)0ax x ax ax x ax ax x ax ax x ----⇒-<-⇒<⇒-<-⇒--<，当0a ≤时，显然不符合题意，当0a >时，由题意不等式的解只有一个整数，从而可知不等式的解为12(,)2a ，∴该整数解为1，∴21212a a<≤⇒≤<，即实数a 的取值范围是[1,2)． 【解析】1．奇函数的性质；2．不等式的性质．【思路点睛】若已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法：利用()()0f x f x ±-=产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值，此外将函数的单调性、奇偶性、周期性等性质放在几个函数中进行综合考查，是近几年高考中对函数考查的新特点，本题涉及了二次函数、指数函数等．只要能够熟练掌握基本初等函数的性质、图象特征，此类问题就很容易解决．18．已知关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为A ，集合(2,3)B =． (1)若A B ⊆，求实数a 的取值范围； (2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)25a ≥； (2)25a ≤；【分析】(1)(2)由集合的包含关系转化为一元二次方程根的分布问题进行讨论即可. 【详解】（1）由题意得0a >，同时注意B ∅⊆，所以00a A B >⎧⊆⇔⎨∆≤⎩或()()0,020,30123a f f a ⎧⎪>∆>⎪≥≥⎨⎪⎪<<⎩，解得25a ≥；（2）()0B A f x ⊆⇔<在B 上恒成立；同时注意当a<0时，对称轴10a<， 所以()020a B A f <⎧⊆⇔⎨≤⎩或()()0,02030a f f ⎧>∆>⎪≤⎨⎪≤⎩或0a =， 解得25a ≤． 19．1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度1y （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）满足关系式15y at =-（0a >，a 为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度2y （单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式21,45,1 4.t y t t⎧<<⎪=⎨-≤≤⎪⎩现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．(1)若1a =，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；(2)若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a 的取值范围．【答案】(1)当2t =时血液中药物的浓度最高，最大值为6 (2)504a <≤【分析】（1）根据题意建立函数关系式，进而结合二次函数最值求法和基本不等式求得答案； （2）讨论01t <<和14t ≤≤两种情况，【详解】（1）当1a =时，药物在白鼠血液内的浓度y 与时间t 的关系为125,01,410,1 4.t t y y y t t t ⎧-+<<⎪=+=⎨⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎩ ①当01t <<时，251)66y t =-+=-+<．②当14t ≤≤时，因为44t t+≥（当且仅当2t =时，等号成立）， 所以max 1046y =-=．故当2t =时血液中药物的浓度最高，最大值为6．（2）由题意得5,01,410,1 4.at t y at t t ⎧-+<<⎪=⎨⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎩①当01t <<时，1541at at a t -+≥⇒≤⇒≤，设u =()22211a u u u ≤+=+-，()1,u ∈+∞，则()()2113,u +-∈+∞，故3a ≤； ②当14t ≤≤时，44410466at at at t t t ⎛⎫-+≥⇒+≤⇒≤- ⎪⎝⎭， 由14t ≤≤，得246a t t≤-+， 令1v t =，则223946444a v v v ⎛⎫≤-+=--+ ⎪⎝⎭，1,14v ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则239594,4444v ⎛⎫⎡⎤--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故54a ≤． 综上，504a <≤． 20．如果函数()y f x =的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有()()f x a f x +=-成立，则称此函数()f x 具有“性质()P a ”．(1)已知函数()y f x =具有“性质(2)P ”，且当01x <<时，2()f x x x =+，求函数()y f x =在区间(1,2)上的函数解析式；(2)已知函数()y g x =既具有“性质(0)P ”，又具有“性质(2)P ”，且当11x -≤≤时，()||g x x =，若函数()y g x =的图象与直线y px =有2023个公共点，求实数p 的值；(3)已知函数()y h x =具有“性质(2)P ”，当1x >时，4()21h x x x =+--，若2()2()40h x mh x m -+=有8个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【答案】(1)2()56f x x x =-+； (2)12023p =±； (3)9(4,)2【分析】（1）设(1,2)x ∈，则2(0,1)x -+∈，由题意可得()(2)f x f x =-+，代入即可得解；（2）利用数形结合，函数()y g x =的图象与过原点的直线y px =有2023个公共点，结合周期性求解即可；（3）根据分析可得()3h x ≥，令()t h x =，若2()2()40h x mh x m -+=有8个不同的实数解，则2240t mt m -+=，两个大于3的根，利用一元二次方程结合根的判别式即可得解.【详解】（1）因为函数()y f x =具有“(2)P 性质”，所以(2)()f x f x +=-恒成立，所以(2)()f x f x -+=，设(1,2)x ∈，则2(0,1)x -+∈，所以22()(2)(2)256f x f x x x x x =-+=-+-+=-+；（2）()y g x =既具有“性质(0)P ”，即()()g x g x =-，所以函数()y g x =偶函数，又()y g x =既具有“性质(2)P ”，即(2)()()g x g x g x +=-=，所以函数()y g x =是以2为周期的函数．作出函数()y g x =的图象如图所示：由图象得当0p =时，函数()y g x =与直线y px =交于点(2,0)()k k Z ∈，即有无数个交点，不合题意．当0p >时，在区间[0,2022]上，函数()y g x =有1011个周期，要使函数()y g x =的图象与直线y px =有2023个交点，则直线在每个周期内都有2个交点，且第2023个交点恰好为(2023,1)， 所以12023p =．同理，当0p <时，12023p =-． 综上，12023p =±； （3）当1x >时，44()211311h x x x x x =+-=-+-≥--， 当且仅当3x =时取等号， 函数()y h x =具有“性质(2)P ，则(2)()h x h x +=-，所以当1x <时，44()(2)2211h x h x x x x x =-+=-++-=---+-， 则4()(1)131h x x x =--+-≥-，当且仅当=1x -时取等号， 若2()2()40h x mh x m -+=有8个不同的实数解，令()t h x =，则2240t mt m -+=有两个大于3的根，所以2416039640m m m m m ⎧∆=->⎪>⎨⎪-+>⎩， 所以942m <<．所以m 的取值范围为9(4,)2. 21．已知实数1a >，函数(),()2log x a f x a g x x ==+．(1)当e a =时，过原点的直线l 与函数()f x 相切，求直线l 的方程；(2)讨论方程()2()f x g x +=的实根的个数；(3)若()2()f x g x +=有两个不等的实根12,x x ，求证：122log e a x x +>．【答案】(1)e y x =；(2)答案见解析；(3)证明见解析【分析】（1）求曲线过某点处的切线方程，设切点，根据导数的几何意义表示出关系即可解出；（2）方程等价于log x a a x =，通过变换构造函数()ln m x x x =，对函数进行分析，转化为分析函数ln ()ln x n x a x=-的零点情况；（3）根据（2）的结果，知1e 1e a <<，设两根为12,x x ，解决指对有关题目时，常借助12xt x =构造函数.【详解】（1）当e a =时，()x f x e =，设切点为(,e )t t ，()e x f x '=， 因为切线过原点，所以e e tt t=，得1t =，所以直线l 的方程为e y x =. （2）即讨论log x a a x =的实根的个数，log x a a x =， 即ln ln e ln x a x a=，所以ln ln e ln =x a x a x x ， 设()ln m x x x =，则()1ln m x x '=+，10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时 ，()1ln 0m x x '=+<；1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()1ln 0m x x '=+>. 所以()m x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 由题意得()ln e ()x a m m x =，即()()xm a m x =， 当1a >时，1x a >，当01x <≤时，ln 0x x ≤；当1x >时ln 0x x >，此时()ln ()ln x x x m am x a x a x =⇔=⇔=， 设2ln 1ln ()ln ,()x x n x a n x x x -=-'=， ()n x 在(0,e)上单调递增，(e,)+∞上单调递减，max 1()(e)ln en x n a ==-， 当1e e a >时，1ln 0e a -<，ln ln x a x =无解，即log x a a x =无解； 当1e e a =时，1ln 0e a -<，ln ln x a x=有1解e x =，即x a log =a x 有1解；当1e 1e a <<时，则1(1)ln 0,(e)ln 0eg a g a =-<=->，ln ()ln ln x n x a a x =-，所以210ln n a ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 由零点存在定理，()n x 有2个零点，即log x a a x =有2个解； 综上，当1e e a =时，log x a a x =有1个零点； 当1e 1e a <<时，log x a a x =有2个零点；当1e e a >时，log x a a x =有0个零点.（3）由已知可得，log x a a x =有两个不等的实根12,x x ，由（2）得1e 1e a <<，由于x y a =单调递增，所以log x a a x =的两个不等的实根12,x x ， 即等价于x a x =的两个不等的实根12,x x ，所以1212,x x a x a x ==，不妨设12x x <，令12(0,1)x t x =∈，则1212x x x a t x -==，所以，1212log a x tx x x t =⎧⎨-=⎩ 所以2log 1a t x t =-，要证122log e a x x +>， 即证2(1)2log e a t x +>， 即证log (1)2log e 1a a t t t +>-， 即证2(1)log log e 1a a t t t -<+， 即证2(1)ln 1t t t -<+，01t << 令2(1)()ln 1t t t t ϕ-=-+，则22214(1)()0(1)(1)t t t t t t ϕ-'=-=>++， 所以()t ϕ在()0,1单调递增，所以()(1)0t ϕϕ<=，证毕．【点睛】用导数解决复杂的函数零点问题时，常用到同构函数，即将原式等号两端构造为相同的形式，然后进行多次求导简化函数，另外要注意对参数进行分类讨论，从而解决问题.。

2020-2021上海位育初级中学高一数学上期中一模试卷带答案一、选择题1．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭2．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．c b a >>4．已知函数)245fx x x =+，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥5．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.56．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-7．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（ ） A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =8．已知函数21(1)()2(1)a x x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-9．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,33210．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（） A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞，C ．[1,1)-D ．(3,1]--11．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32- 12．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞二、填空题13．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________. 14．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += .15．设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________.16．己知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，01x <<时，()4xf x =，5()(2019)2f f -+的值是____.17．已知2a =5b =m ,且11a b+=1,则m =____. 18．若集合(){}22210A x k x kx =+++=有且仅有2个子集，则满足条件的实数k 的最小值是____.19．己知函数()f x =x a b +的图象经过点(1,3),其反函数()1fx -的图象经过点(2.0),则()1f x -=___________.20．函数()f x =________．三、解答题21．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当(]0,12x ∈时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点()10,80A ，过点()12,78B ；当[]12,40x ∈时，图象是线段BC ，其中()40,50C ．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．（Ⅰ）试求()y f x =的函数关系式；（Ⅱ）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．22．已知函数()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数． （1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增，求实数a 的取值范围.23．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为212m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为3m ，且不计房尾背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？24．已知函数22()f x x x=+. （1）求(1)f ，(2)f 的值；（2）设1a b >>，试比较()f a 、()f b 的大小，并说明理由； （3）若不等式2(1)2(1)1f x x m x -≥-++-对一切[1,6]x ∈恒成立，求实数m 的最大值. 25．我校高一年级某研究小组经过调查发现：提高北环隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况，在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米，车流密度指每千米道路上车辆的数量）的函数.当隧道内的车流密度达到210辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当30210x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （1）求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时） ()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值.26．已知()221g x x ax =-+在区间[]13， 上的值域为[]0,4。

五爱高中高三期中数学试卷2021.11一. 填空题1. 集合{|10}A x x =-≤，{0,1,2}B =，那么AB = 2. 假设角α的终边经过点(5,12)P -，那么sin()2πα-= 3. 复数z 满足26i z z +=+，那么z =4. 函数3()log (1)f x x =-的反函数为1()f x -，那么1(2)f -=5. 向量(2,1)a =，(,3)b m =，假设向量(2)a b -∥b ，那么实数m =6. 二项式5(2x +，那么展开式中3x 的系数为7. 假设一圆锥的底面半径为3，体积是12π，那么该圆锥的侧面积等于8. 第三届进博会招募志愿者，某校高一年级有3位同学报名，高二年级有6位同学报名， 现要从报名的学生中选取5人，要求高一年级和高二年级的同学都有，那么不同的选取方法 种数为〔结果用数值表示〕9. 各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =，418a =，那么满足 n S >400n a 时n 的最小值为10. 函数(5)11()1x a x x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩〔0a >，1a ≠〕是实数集R 上的增函数，那么实 数a 的取值范围为11. 数列{}n a 中，32n n a a a =-〔10a -<<〕，假设数列{}n a 的最大项M 与最小项m 的比值为227a -，那么3521lim()n n a a a a -→∞+++⋅⋅⋅+的值为 12. 1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120n n n n A A A A +++⋅=〔1,2,3n =〕，112||||21n n n n A A A A n +++⋅=+〔1,2,3n =〕，那么15||A A 的最小值为二. 选择题13. 假设矩阵12a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭是线性方程组321x y x y -=⎧⎨-=⎩的系数矩阵，那么〔 〕 A.1a =，1b =- B. 1a =，1b = C.1a =-，1b = D. 1a =-，1b =-14. a 、b 为实数，那么a b >是22log log a b >的〔 〕A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件15. 双曲线22221x y a b-=〔0a >，0b >〕的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距 离的2倍，那么其渐近线方程为〔 〕A.20x y ±=B. 20x y ±=C.430x y ±=D. 340x y ±=16. 函数()f x 是R 上的偶函数，对于任意x ∈R 都有(6)()(3)f x f x f +=+成立， 当12,[0,3]x x ∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，给出以下三个命题： ① 直线6x =-是函数()f x 图像的一条对称轴；② 函数()f x 在区间[9,6]--上为增函数；③ 函数()f x 在区间[9,9]-上有五个零点；其中真命题的个数有〔 〕A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个三. 解答题17.如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形， AB ∥CD ，AD DC ⊥，AD DE ⊥，2AD =，4AB =.〔1〕求三棱锥A BED -的体积；〔2〕求异面直线BE 和DF 所成角的大小.18.函数22()23sin cos sin cos f x x x x x =+-.〔1〕求()f x 的最小正周期和单调递减区间；〔2〕在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，假设()2f B =，7b =，且4a c +=，求△ABC 的面积S . 19.函数21()21x x f x -=+. 〔1〕求证：函数()f x 是奇函数；〔2〕假设关于x 的不等式()2f x k k<+在[1,3]x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围. 20. 抛物线2:2C x py =〔0p >〕的焦点为F ，且经过点(2,1)P .〔1〕求抛物线C 的方程，及其准线方程；〔2〕设直线l 过点(0,2)，且与抛物线C 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，假设△OAB 的面积为8，求直线l 的方程；〔3〕过点(2,0)的直线m 与抛物线C 交于不同的两点M 、N ，假设0FM FN ⋅>，求直线m 的斜率的取值范围.21.设各项{}n a 均为正数的数列的前n 项和为n S ，且满足2n S n =〔*n ∈N 〕. 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设11n n n n n a a b a a ++=+〔*n ∈N 〕，试求12lim(2)n n b b b n →∞++⋅⋅⋅+-的值； 〔3〕是否存在大于2的正整数m 、k ，使得12300m m m m k a a a a ++++++⋅⋅⋅+=？假设存在，求出所有符合条件的m 、k ，假设不存在，请说明理由.参考答案一. 填空题1.{0,1}2.513- 3.2i - 4.10 5.66. 107. 15π 8. 1209. 9 10.[3,5)11. 38-12.5二. 选择题13. A14. B15. C16. B三. 解答题17.〔1〕83；〔2〕arccos 6. 18.〔1〕T π=，5[,]36k k ππππ++，k ∈Z ；〔2. 19.〔1〕证明略；〔2〕31((,)33--+∞. 20.〔1〕24x y =，1y =-；〔2〕2y =+；〔3〕1(,0)(2,)12-+∞. 21.〔1〕21n a n =-，*n ∈N ；〔2〕2；〔3〕存在，23m =，5k =或11m =，9k =.。

位育中学高三期中数学试卷2020.11一.填空题1.设集合A={x|-1≤x ≤2},B={x|0≤x ≤4},则A ∩B=____.2.计算:1lim 31n n n →∞-+=- ____. 3.已知复数z,i =,i 为虚数单位,则z=____. 4.已知函数3,y x =则此函数的反函数是____.5. 已知x ､y 满足20230,0x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则z=y- 2x 的最大值为____.6.已知行列式129300a b c d =,则a b c d＝____. 7.某单位现有职工52人,将所有职工编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知6号､32号､45号职工在样本中,则另一个在样本中的职工编号为____.8.已知数列{}n a 是无穷等比数列,其前n 项和记为,n S 若233433,,2a a a a +=+=则lim n n S →∞=____. 9.在停课不停学期间,某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动,每位教师任选一项,则每个项目都有该校教师参加的概率为______. (结果用数值表示)10. 已知12F F 、是椭圆222:1(3x y C a a +=>的左､右焦点,过原点O 且倾斜角为60°的直线与椭圆C 的一个交点为M,若|212|||MF MF MF MF +=-,则椭圆C 的长轴长为____.11.已知点M ､N 在以AB 为直径的圆上,若AB=5, AM=3, BN=2,则AB MN ⋅=____.12. 已知球O 是三棱锥P- ABC 的外接球,PA= AB= BC=CA=2,PB =点D 为BC 的中点,且PD =则球O 的体积为____.二.选择题13.下列不等式恒成立的是( )22.2A a b ab +≤22.2B a b ab +≥-22.C a b +≥ 22.D a b +≥-14. 若函数f(x)= sinx + acosx 的图像关于直线4x π=对称,则a 的值为()A.1B. -1 .C .D -15.对于函数*1(1)()()2nf n n +-=∈N ,我们可以发现f(n)有许多性质,如: f(2k)= 1(k ∈N *)等,下列关于f(n)的性质中一定成立的是( )A. f(n+1)- f(n)=1B.*()()()f n k f n k +=∈N().(1)()(f n C f n f n ααα=++≠0 ) (1).(1)()(f n D f n αααα+=-+≠0)16. 函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(x-1)为偶函数,当x ∈[0,1]时,()f x =g(x)= f(x)-x-m 有三个零点,则实数m 的取值范围是( )11.(,)44A - .(11)B11.(4,4)()44C k k k -+∈Z .(4141)()D k k k ++∈Z三.解答题 17. 如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,∠ACB=90°, AB=2AC=2, D 是AB 的中点.(1)若三棱柱111ABC A B C -的体积为求三棱柱111ABC A B C -的高;(2)若12,C C =求二面角111D B C A --的大小.18. 已知函数4()31x f x a =-+(a 为实常数). (1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(2) 当f(x)为奇函数时,对任意的x ∈[1,5],不等式,()3xu f x ≥恒成立, 求实数u 的最大值.19.某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年,在一个半径为米､圆心为60°的扇形OAB 草坪上,由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案,已知红旗为矩形,其四个顶点中有两个顶点M ､N 在线段OB 上,另两个顶点P ､Q 分别在弧AB ､线段OA 上.(1)若组成的红旗是长PN 与宽MN 的长度比为3: 2的国旗图案,求此国旗的面积; (2)求组成的红旗图案的最大面积.20.已知抛物线22(0),y px p =>其准线方程为x+1=0,直线l 过点T(t,0)(t>0)且与抛物线交于A ､B 两点, O 为坐标原点.(1)求抛物线方程;(2)证明:OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关;(3)若P 为抛物线上的动点,记|PT|的最小值为函数d(t),求d(t)的解析式.21. 设数列{}n a 的各项都是正数,若对于任意的正整数m,存在*,k ∈N 使得m m k a a +、、2m k a +成等比数列,则称数列{}n a 为“k D 型”数列.(1)若{}n a 是“1D 型”数列,且1311,,4a a ==求12lim()n x a a a →∞+++的值;(2)若{}n a “2D 型”数列,且12381,8,a a a a ====求{}n a 的前n 项和n S ；(3)若{}n a 既是“2D 型”数列,又是“3D 型”数列,求证:数列{}n a 是等比数列.参考答案一.填空题1. {x|0≤x ≤2}12.3- 3.1-2i4.y =5.36.37.198.8 49.910.11.12二.选择题13. B14. A15. C16. C三.解答题17. (1) 6;(2)18. (1) f(x)是奇函数; max (2) 3.u =2219.(1)(2).220.(1)4y x = (2)证明略;022(3)()t d t t t ⎧≥<<⎪=⎨⎪⎩ 21. (1) 2; 221222(2)122n n n n n S n n -⎧-+⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩，为偶数，为奇数 (3)证明略.。

2020-2021上海中国中学高三数学上期中试题带答案一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．若不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或55．在ABC V 中，4ABC π∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=（ ）A．10B．5CD6．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．1407．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．218．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形9．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．510．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5211．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14B ．21C ．28D ．3512．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 4二、填空题13．设0,0,25x y x y >>+=，则xy的最小值为______.14．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=L ，且13k a =,则k =_________．15．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．16．在平面内，已知直线12l l P ，点A 是12,l l 之间的定点，点A 到12,l l 的距离分别为和，点是2l 上的一个动点，若AC AB ⊥，且AC 与1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为____． 17．已知120,0,2a b a b>>+=，2+a b 的最小值为_______________.18．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________． 19．不等式211x x --<的解集是 ． 20．在△ABC 中，2BC =，AC =3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4nn n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <． 22．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知24sin 4sin sin 22A BA B -+=（1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值.23．已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .24．D 为ABC V 的边BC 的中点．222AB AC AD ===． （1）求BC 的长；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACE S V ． 25．如图，Rt ABC V中，,1,2B AB BC π===点,M N 分别在边AB 和AC 上，将AMN V 沿MN 翻折，使AMN V 变为A MN '△，且顶点'A 落在边BC 上,设AMN θ∠=（1）用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围； （2）求线段CN 长度的最大值以及此时A MN '△的面积， 26．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC Cπππ=-=-=-，那么，2222A B Cπ++=，矛盾，所以222A B C∆是钝角三角形，故选D.2．D解析：D【解析】【分析】要确定不等式组22yx yx yx y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出22yx yx y⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a值进行分类讨论，找出满足条件的实数a的取值范围．【详解】不等式组22yx yx y⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x yx y=⎧⎨+=⎩得22,33A⎛⎫⎪⎝⎭，由22yx y=⎧⎨+=⎩得()10B,．若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．3．B解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。