球盒问题

数学教学：浅谈排列组合中的“球入盒”问题作者：蔡丽菊来源：《数学大世界·中旬刊》2019年第08期在高中数学中有《排列组合》这一章，对学生逻辑推理能力、分类讨论以及建构模型的能力都有极高的要求，包括现在的数学竞赛中都涉及排列组合问题。

其中，“小球与盒子”的模型问题一直是一个热门话题。

由于球与盒子都有着“相同”与“不同”的分类，并且具有知识上的综合性、解题技巧上的灵活性以及思维方式上的抽象性，使同学对此类问题感到很是困惑，感觉千变万化，无从下手。

下面我就对此模型问题的解法及运用作一个总结和分析，望同学有所感悟。

类型一：不同小球入不同盒子的模型1.球少盒多型例1：若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，有几种不同的放法？解：分四步完成，每一个小球都有5种放法，所以共有种不同的放法。

变式1：若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至多放一个，有几种不同的放法？解：与例1相比，这次把盒子看成元素，即从5个不同的盒子里任意取出4个盒子，来放4个不同的小球，所以这是个排列问题。

有种不同的方法。

变式2：若将5个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的放法？解：此题是5个不同小球的全排列问题，所以有种不同的方法。

注：此类问题一般用排列组合思想，利用分步计数原理2.球多盒少且每盒至少放一球型例2：若将5个不同的小球，放入4个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的放法？解：分两步完成，先将5个小球先分成4组，根据题意，每组分别是2个、1个、1个、1个，有种方法；然后再将分成4组的小球放到4个不同的盒子里，相当于全排列，即有种方法，所以共有种不同的方法。

变式：若将5个不同的小球放入4个不同的盒子里，恰有1个空盒，有几种不同的放法？解：分三步完成。

第一步，选1个空盒，有种不同的方法；类型二：相同小球放入不同盒子的模型例3：若将10个相同的小球，放入3个不同的盒子里，每个盒子不空，有多少种不同的放法？解：此类问题可以用隔板法解决，即在10个小球中间的9个空中放两个相同隔板的问题，自然分成3组，代表放入三个不同盒子中，故有种方法。

小球入盒模型的推广应用摘要：小球入盒是排列组合的典型问题，本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面对小球入盒模型的加以推广应用。

小球入盒是排列组合的典型问题，与之相关的有名额分配、人员分配等问题，形式多样.“小球入盒问题”问题可以分为四类：不同的小球放入不同的盒子里；不同的小球放入相同的盒子里；相同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子里（此类不做重点讨论）。

解答小球入盒问题的最有效、最易于操作的方法是“先分组后分配”，即先将元素分组、再分配到位置.分组时应注意平均分组与非平均分组的区别；放入相同盒子可看作分组无分配问题；解答相同小球入不同盒子问题的最有效、最易于操作的方法是隔板法。

【引例】①把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？②把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？③把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？④把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？【解析】①由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，故只有4种放法.②（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法.③（先分组后分配）先将不同小球分为三组，有4+0+0型(种方法)、3+1+0型（种方法）、2+2+0型(种方法)、2+1+1型(种方法)，共14 种分组方法，再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14 种放法.④法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，由于小球相同，故各只有1种分组方法；再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子不同，故有种放法.法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有 =15种放入的方式。

常见算法之14---球放⼊盒问题N个球放⼊M个盒⼦中的问题研究：本来这是组合数学中的问题，但近年来公务员考试，企业⾯试经常会涉及到这个问题。

这个问题并⾮咋⼀看上去那么容易，不妨⾃⼰先动⼿计算⼀下下⾯⼏个题⽬：情形1 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。

情形2 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。

情形3 N个相同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法情形4 N个相同的球，放⼊M个不同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。

情形5 N个相同的球，放⼊M个相同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。

情形6 N个相同的球，放⼊M个相同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。

情形7 N个不同的球，放⼊M个相同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。

情形8 N个不同的球，放⼊M个相同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。

==================分割线=========================假定：c(N,M)表⽰为从n个项中挑选出m个项的⽅案数。

情形1 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。

每个球都可以随意放，有M个选择，故共M^N种⽅式。

情形2 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。

⾸先，从N个球中选出M个球，将这M个球排列。

（相当于每个盒⼦⾥放⼀个）c(N,M)*M!种然后，剩下的N-M个球就可以随意放了。

M^(N-M)种综上，c(N,M)*M!*[M^(N-M)]情形3 N个相同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。

根据隔板原理：将N个球排成⼀列，中间插⼊M-1个隔板，分成M个堆，其中允许隔板相邻，也可以放在两边。

N个球时，有N+1个空；插⼊⼀个板后，有N+2个空....故⼀共有(N+1)*(N+2)....*(N+M-1)种。

但板⼦的插⼊顺序是没有要求的，所以我们要去除重复的情形。

板⼦的顺序有(M-1)!综上，有(N+1)*(N+2)....*(N+M-1)/(M-1)!种情形。

摸球游戏教学设计设计说明:课前准备:学生准备摸球盒小球假设干(除颜色外，其他均相同)教学过程:一、创设情境：猜一猜 1．出示准备好的盒子，提问：在这个盒子里有红、黄两种颜色的小球，从里面任意摸出一个球，摸出哪种球的可能性大？学生讨论猜想，说出自己的想法。

预设生：没法判断，因为不知道盒子里哪种球比较多。

2．导入新课。

师：在不翻开盒子看的情况下，有没有方法知道哪种球比较多呢，这是我们这节课要研究的内容。

二、问题深化：摸一摸1、引导学生思考：不翻开盒子看，如何知道盒子里红球多还是黄球多？2、小组内讨论，鼓励每位学生提出自己的建议，形成小组内的意见。

3、组织全班交流，听取学生的不同想法，梳理学生的不同思路，启发学生通过摸球活动来判断。

4、组织学生进行摸球活动。

(1)组织学生讨论并制订“摸球游戏〞的规那么：①摸多少次；②摸球时不能偷看；③每次摸球后记下颜色，放回盒子里摇匀，再摸下一次。

(2)小组合作进行摸球游戏，填写“课堂活动卡〞。

5、根据小组记录的结果，猜一猜盒子里哪种颜色的球可能多？哪种颜色的球可能少？让学生在小组内交流，根据小组记录的数据，猜想盒子里哪种颜色的球可能多，哪种颜色的球可能少。

同时，做好全班发言的准备。

6、如果各组的猜想不一致，那么引导学生讨论“为什么不一致？〞；如果各组的猜想一致，那么就阅读教材中呈现出的两个小组的猜想，再引导学生讨论。

学生讨论交流，汇报方法：一是翻开盒子验证；二是汇总数据；三是继续做试验，再汇总数据。

〔设计意图：学生通过直观摸一摸，亲身经历试验，记录摸球的颜色，感知哪种球可能多，给学生获取直接经验的时机，有充分进行数学活动的时间和空间，让他们切实融入自主探究新知的过程中，成为学习的主人，开展思维，提高能力。

〕三、稳固实践1．完成教材105页“练一练〞1题。

让学生独立读题，理解题意，按照要求进行摸球活动，然后汇报本组的实验过程和结果。

2．完成教材105页“练一练〞2题。

小球入盒模型的推广应用摘要：小球入盒是排列组合的典型问题，本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面对小球入盒模型的加以推广应用。

小球入盒是排列组合的典型问题，与之相关的有名额分配、人员分配等问题，形式多样.“小球入盒问题”问题可以分为四类：不同的小球放入不同的盒子里；不同的小球放入相同的盒子里；相同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子里（此类不做重点讨论）。

解答小球入盒问题的最有效、最易于操作的方法是“先分组后分配”，即先将元素分组、再分配到位置.分组时应注意平均分组与非平均分组的区别；放入相同盒子可看作分组无分配问题；解答相同小球入不同盒子问题的最有效、最易于操作的方法是隔板法。

【引例】①把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？②把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？③把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？④把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？【解析】①由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，故只有4种放法.②（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法.③（先分组后分配）先将不同小球分为三组，有4+0+0型(种方法)、3+1+0型（种方法）、2+2+0型(种方法)、2+1+1型(种方法)，共14 种分组方法，再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14 种放法.④法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，由于小球相同，故各只有1种分组方法；再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子不同，故有种放法.法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有=15种放入的方式。

数量关系概率知识点总结数量关系概率是描述随机事件发生可能性的一种数学工具，它可以帮助我们理解和预测各种事件发生的概率。

在日常生活中，我们经常需要考虑一些随机事件的概率，比如掷硬币的结果、中奖的概率等等。

而在一些更为复杂的情况下，比如统计学、经济学等领域，数量关系概率更是起到了非常重要的作用。

在本文中，我们将讨论数量关系概率的基本概念、相关定理和公式，并且通过一些例题来帮助读者更好地理解这一知识点。

一、基本概念1. 随机试验随机试验是指具有以下三个特点的试验：（1）试验的可能结果是明确的，但试验发生的结果是不可预测的；（2）试验的结果有多个可能的结果，每个结果的发生概率是一样的；（3）试验的结果不能由规律来确定。

2. 样本空间样本空间是指一个随机试验的所有可能结果所构成的集合。

样本空间通常用Ω来表示。

3. 事件事件是指样本空间中的某些结果所组成的集合。

比如说，掷一个硬币，正面朝上和反面朝上分别是两个结果，那么“出现正面朝上”的事件和“出现反面朝上”的事件就是样本空间中的两个事件。

4. 概率概率是描述事件发生可能性大小的一个数值，通常用P(A)来表示。

其中，A是一个事件，P(A)表示事件A发生的概率。

概率的取值范围是[0,1]，即0≤P(A)≤1。

二、数量关系概率的相关定理和公式1. 加法定理对于两个事件A和B，它们的概率之和等于它们的并集的概率加上它们的交集的概率。

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)2. 乘法定理对于两个事件A和B，它们的概率乘积等于事件A发生的概率乘以事件B在事件A发生的条件下发生的概率。

P(A∩B) = P(A) * P(B|A)3. 全概率公式如果一个试验的所有可能结果可以分成若干个互不相容的事件，且它们的概率之和等于1，那么对于任意一个事件B，它的概率可以表示为：P(B) = Σ P(Ai) * P(B|Ai)其中，Ai是事件B的一个划分，P(Ai)是事件Ai发生的概率，P(B|Ai)是事件B在事件Ai发生的条件下发生的概率。

组合数学班级：XXXX姓名：XXXX学号：XXXX1 1目录班级：XXXX (1)姓名：XXXX (1)学号：XXXX (1)摘要 (1)关键词： (1)1 绪论 (1)1.1 问题的提出 (1)1.2 研究现状 (2)1.3 研究的目的和研究的内容 (3)1.4 本文主要内容 (4)2 预备知识 (4)2.1 组合知识 (5)2.2 概率知识 (7)2.3 球盒模型 (9)3 球盒模型基本结论 (11)4 本文研究 (13)4.1 n个不同的球放入m个不同的盒子的情况 (14)4.2 n个不同的球放入m个全部相同的盒子的情况 (15)4.3 n个全部相同的球放入m个不同的盒子的情况 (16)4.4 n个全部相同的球放入m个全部相同的盒子的情况 (20)5 结论与展望 (21)5.1 论文总结 (21)5.2 问题与展望 (22)参考文献 (22)球盒模型的概率问题摘要：利用球盒模型来研究组合恒等式，目的是寻找和证明组合恒等式，用不同的方法计算此类问题，得到不同的等式，即组合恒等式，主要内容如下：球盒模型是指 n 个球随机放入 m 个盒子的数学模型。

尽管看上去这仅仅是一个普通的组合或概率问题，但里面包含着许多组合工具，如发生函数、整数分拆、Stirling 数等。

选择这个问题讨论对象（或情况不同），会产生许多有趣的组合结论（主要是组合恒等式），实际上包括一个组合恒等式的组合解释。

因为一个等式的新的组合解释具有很高的理论与实际应用价值，以本文就是由不同的方法，把组合数学的知识与概率知识相结合得到不同的组合恒等式作为创新点。

关键词：组合恒等式；发生函数；整数分拆；Stirling 数；概率1绪论1.1问题的提出组合数学是研究任意一组离散性事物按照一定规则安排或配置的数学.特别是当指定的规则较简单时,计算一切可能的安排或配置的方法数,就成为它研究的主要问题.现代组合数学有两个主要特点:其一,它大量应用了抽象代数学工具和矩阵工具促使问题的提法和处理方法表现出极大的普遍性;其二,为了适应计算机科学的发展,它很注重对方法的能行性和程序化问题进行研究.组合数学最早是同数论和概率论交叉在一起的.概率方法是解决离散数学尤其是组合数学中许多问题的强有力工具。