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课时训练(二十七)与圆有关的计算|夯 实 基 础|一、选择题1．[2017·天门]一个扇形的弧长是10π cm 、面积是60π cm 2、则此扇形的圆心角的度数是( ) A ．300° B ．150° C ．120° D ．75°2．120°的圆心角所对的弧长是6π、则此弧所在圆的半径是( ) A ．3 B ．4 C ．9 D ．183．若圆内接正三角形的边心距为1、则这个三角形的面积为( ) A ．2 3 B ．3 3 C ．4 3 D ．6 34．[2016·长春]如图K27－1、PA 、PB 是⊙O 的切线、切点分别为A 、B 、若OA ＝2、∠P ＝60°、则AB ︵的长为( )A.23π B ．π C.43π D.53πK27－1K27－25．[2017·湘潭]如图K27－2、在半径为4的⊙O 中、CD 是直径、AB 是弦、且CD⊥AB、垂足为点E 、∠AOB ＝90°、则阴影部分的面积是( )A ．4π－4B ．2π－4C ．4πD ．2π图K27－36．2015·日照如图K27－3、在等腰直角三角形ABC 中、AB ＝AC ＝8、以AB 为直径的半圆O 交斜边BC 于点D 、则阴影部分的面积为(结果保留π)( )A ．24－4πB ．32－4πC ．32－8πD ．16二、填空题7．[2017·温州]已知扇形的面积为3π、圆心角为120°、则它的半径为________．8．[2017·酒泉]如图K27－4、在△ABC 中、∠ACB ＝90°、AC ＝1、AB ＝2、以点A 为圆心、AC 的长为半径画弧、交AB 边于点D 、则CD ︵的长等于________．(结果保留π)K27－4K27－59．[2017·安徽]如图K27－5、已知等边△ABC 的边长为6、以AB 为直径的⊙O 与边AC 、BC 分别交于D 、E 两点、则劣弧DE ︵的长为________．图K27－610．[2017·岳阳]我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”、认为圆内接正多边形边数无限增加时、周长就越接近圆周长、由此求得了圆周率π的近似值．设半径为r 的圆内接正n 边形的周长为L 、圆的直径为d.如图K27－6所示、当n ＝6时、π≈L d ＝6r 2r ＝3、那么当n ＝12时、π≈Ld ＝________．(结果精确到0.01、参考数据：sin15°＝cos75°≈0.259)三、解答题11．[2017·郴州]如图K27－7、AB 是⊙O 的弦、BC 切⊙O 于点B 、AD ⊥BC 、垂足为D 、OA 是⊙O 的半径、且OA ＝3.(1)求证：AB 平分∠OAD；(2)若点E 是优弧AEB ︵上一点、且∠AEB＝60°、求扇形OAB 的面积．(计算结果保留π)图K27－712．[2017·长沙]如图K27－8、AB 与⊙O 相切于点C 、OA 、OB 分别交⊙O 于点D 、E 、CD ︵＝CE ︵. (1)求证：OA ＝OB ；(2)已知AB ＝4 3、OA ＝4、求阴影部分的面积．图K27－813．[2016·盐城]如图K27－9、在四边形ABCD 中、AD ∥BC 、AD ＝2、AB ＝2 2.以点A 为圆心、AD 为半径的圆与BC 相切于点E 、交AB 于点F.(1)求∠ABE 的大小及DEF ︵的长度；(2)在BE 的延长线上取一点G 、使得DEF ︵上的一个动点P 到点G 的最短距离为2 2－2、求BG 的长．图K27－9|拓 展 提 升|图K27－1014．[2015·天水]如图K27－10、△ABC 是等边三角形、曲线CDEF 叫作等边三角形的渐开线、其中CD ︵、DE ︵、EF ︵的圆心依次是点A 、B 、C 、如果AB ＝1、那么曲线CDEF 的长是________．15．[2017·盐城]如图K27－11、△ABC 是一块直角三角板、且∠C＝90°、∠A ＝30°、现将圆心为点O 的圆形纸片放置在三角板内部．(1)如图①、当圆形纸片与两直角边AC 、BC 都相切时、试用直尺与圆规作出射线CO ；(不写作法与证明、保留作图痕迹)(2)如图②、将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周、回到起点位置时停止．若BC ＝9、圆形纸片的半径为2、求圆心O 运动的路径长．图K27－11 参考答案1．B [解析] 根据S 扇形＝12l 弧长r 、求得半径r ＝12、由弧长公式l ＝n πr 180、得10π＝n π·12180、解得n ＝150.2．C [解析] 根据弧长公式、得6π＝120πr180、解得r ＝9.3．B [解析] 如图、过点A 作AD⊥BC 于点D O 、∠ODB ＝90°、OD ＝1.∵△ABC 是等边三角形、∴BD ＝CD 、∠OBD ＝12∠ABC＝30°、∴OA ＝OB ＝2OD ＝2、∴AD ＝3、BD ＝3、∴BC ＝2 3、∴△ABC 的面积＝12BC·AD＝12×2 3×3＝3 3.4．C5．D [解析] ∵CD⊥AB、∠AOB ＝90°、∴∠AOC ＝∠BOC＝45°、∴S 阴影＝S 扇形AOC ＝n πr 2360＝45π42360＝2π、故选D.6．A [解析] 如图、连接AD 、OD.∵三角形ABC 是等腰直角三角形、 ∴∠ABD ＝45°.∵AB 是圆的直径、 ∴∠ADB ＝90°、∴△ABD 也是等腰直角三角形、 ∴AD ︵＝BD ︵.∵AB ＝8、∴AD ＝BD ＝4 2、∴S 阴影＝S △ABC －S △ABD －S 弓形AD ＝S △ABC －S △ABD －(S 扇形OAD －12S △ABD )＝12×8×8－12×4 2×4 2－90π×42360＋12×12×4 2×4 2＝16－4π＋8＝24－4π.7．3 [解析] 设扇形的半径为r 、由扇形的面积公式S ＝120πr2360＝3π、得r ＝3.8.π3 [解析] 在Rt △ABC 中、AC ＝1、AB ＝2、∴cosA ＝AC AB ＝12、∴∠A ＝60°、∴CD ︵的长为60π×1180＝π3.9．π [解析] 如图、连接OD 、OE 、易证△ODE 是等边三角形、∠DOE ＝60°、又OD ＝12AB ＝3、根据弧长公式知劣弧DE ︵的长为60·π·3180＝π.10．3.11 [解析] 如图所示、∠AOB ＝30°、∠AOC ＝15°.在直角三角形AOC 中、sin15°＝AC AO ＝ACr＝0.259、所以AC ＝0.259r 、AB ＝2AC ＝0.518r 、L ＝12AB ＝6.216r 、所以π≈L d ＝6.216r2r＝3.108≈3.11.11．解：(1)证明：如图、连接OB 、 ∵BC 切⊙O 于点B 、∴OB ⊥BC 、∵AD ⊥BC 、∴AD ∥OB 、 ∴∠DAB ＝∠OBA、 ∵OA ＝OB 、∴∠OAB ＝∠OBA、 ∴∠DAB ＝∠OAB、 ∴AB 平分∠OAD.(2)点E 在弧AEB ︵上、且∠AEB＝60°、 ∴∠AOB ＝120°、∴S 扇形OAB ＝120360·π·AO 2＝13×π×32＝3π.12．解：(1)证明：连接OC 、∵AB 与⊙O 相切于点C 、∴∠ACO ＝90°、∠BCO ＝90°、 ∵CD ︵＝CE ︵、∴∠AOC ＝∠BOC、 ∴∠A ＝∠B、∴OA ＝OB.(2)由(1)可知△OAB 是等腰三角形、∴BC ＝12AB ＝2 3、∴sin ∠COB ＝BC OB ＝32、∴∠COB ＝60°、∴∠B ＝30°、∴OC ＝12OB ＝2、∴扇形OCE 的面积为：60π×4360＝2π3、△OCB 的面积为：12×2 3×2＝2 3、∴S 阴影＝2 3－2π3.13．解：(1)连接AE 、∵圆与BC 相切于点E 、 ∴AE ⊥BC 且AE ＝2. 又∵AB＝2 2、∴BE ＝2、∠ABE ＝45°. 又∵AD∥BC、 ∴∠BAD ＝135°、 ∴DEF ︵的长度为32π.(2)连接AG 、交DEF ︵于点P 、取DEF ︵上异于点P 的另一点P 1、连接P 1A 、P 1G. 在△P 1AG 中、P 1A ＋P 1G ＞AG 、 又AG ＝AP ＋PG 、∴P 1G ＞PG 、 ∴点P 到点G 的距离最短． 又PG ＝2 2－2、AP ＝2、∴AG ＝2 2、∴∠EGA ＝45°、∴EG ＝2、 又∵BE＝2、∴BG ＝4.14．4π [解析] CD ︵的长是120π×1180＝2π3、DE ︵的长是120π×2180＝4π3、EF ︵的长是120π×3180＝2π、则曲线CDEF 的长是2π3＋4π3＋2π＝4π.15．解：(1)如图①、CP 就是所要求作的射线．(2)如图②、△OO 1O 2就是圆心O 的运动路径． 由题意得OO 1∥BC 、O 1O 2∥AB 、OO 2∥AC. 易证△OO 1O 2∽△CBA. ∴△OO 1O 2的周长△ABC的周长＝OO 1BC. 过点O 作OD⊥B C 、垂足为点D 、过点O 1作O 1E ⊥BC 、O 1F ⊥AB 、垂足分别为点E 、F 、连接BO 1、则四边形ODEO 1是矩形．∵O 1E ＝O 1F 、O 1E ⊥BC 1F ⊥AB 、 ∴BO 1平分∠ABC.∴∠O 1BE ＝12∠ABC＝12×60°＝30°.∴BE ＝3O 1E ＝2 3.∴DE ＝BC －CD －BE ＝9－2－2 3＝7－2 3. ∴OO 1＝DE ＝7－2 3.在Rt △ABC 中、∵BC ＝9、∠A ＝30°、 ∴AB ＝2BC ＝18、AC ＝3BC ＝9 3. ∴△ABC 的周长为27＋9 3. ∴△OO 1O 2的周长27＋9 3＝7－2 39.∴△OO 1O 2的周长为15＋3、即圆心O 的运动路径长为15＋ 3.。
