第24讲 与圆相关的计算.ppt

第17讲 正多边形和圆、弧长和扇形面积 第一部分 知识梳理 知识点一：圆与内正多边形的计算1、正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:3:2OD BD OB =；2、正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::1:1:2OE AE OA =3、正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::1:3:2AB OB OA = 知识点二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：180n R l π=； （2）扇形面积公式： 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积2、圆柱侧面展开图：3、圆锥侧面展开图第二部分 考点精讲精练考点1、正多边形和圆的求解例1、六边形的边长为10cm ，那么它的边心距等于（ ）A ．10cmB ．5cmC ．cm D ．cm 例2、已知正多边形的边心距与边长的比为21，则此正多边形为（ ） A ．正三角形 B ．正方形 C ．正六边形 D ．正十二边形例3、如图，在⊙O 内，AB 是内接正六边形的一边，AC 是内接正十边形的一边，BC 是内接正n 边形的一边，那么n= ．例4、圆的内接正六边形边长为a，这个圆的周长为．例5、如图，已知边长为2cm的正六边形ABCDEF，点A1，B1，C1，D1，E1，F1分别为所在各边的中点，求图中阴影部分的总面积S．举一反三：1、下列命题中的真命题是（）A．三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为2：1B．正六边形的边长等于其外接圆的半径C．圆外切正方形的边长等于其边A心距的倍D．各边相等的圆外切多边形是正方形2、已知正方形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：R：a=（）A．1：1：B．1：：2 C．1：：1 D．：2：43、某工人师傅需要把一个半径为6cm的圆形铁片加工截出边长最大的正六边形的铁片，则此正六边形的边长为 cm．4、如图，正六边形与正十二边形内接于同一圆⊙O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为．5、如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t= s时，四边形PBQE为菱形；②当t= s时，四边形PBQE为矩形．考点2、弧长的计算例1、一条弧所对的圆心角是90°，半径是R，则这条弧长是（）A．B．C．D．例2、一个滑轮起重装置如图所示，滑轮半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O，绕逆时针方向旋转的角度约为（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14，结果精确到1°）（）A．115°B．160°C．57°D．29°例3、已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=120°，OB=1，则∠BAD= 度，∠BCD= 度，弧BCD的长= ．例4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=cm，将△ABC绕点B旋转至△A′BC′的位置，且使点A、B、C′三点在一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是．例5、如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC为对角线．将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△AC′D′，连接DC′．（1）求证：△ADC≌△ADC′；（2）求在旋转过程中点C扫过路径的长．（结果保留π）举一反三：1、弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，则弧所在的圆的半径为（）A．6 B．6C．12D．182、如图，一块边长为10cm的正方形木板ABCD，在水平桌面上绕点D按顺时针方向旋转到A′B′C′D′的位置时，顶点B从开始到结束所经过的路径长为（）A．20cm B．20cm C．10πcm D．5πcm3、一段铁路弯道成圆弧形，圆弧的半径是2km．一列火车以每小时28km的速度经过10秒通过弯道．那么弯道所对的圆心角的度数为度．（π取3.14，结果精确到0.1度）．4、已知矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，按如图放置在直线AP上，然后不滑动地转动，当它转动一周时（A→A′），顶点A所经过的路线长等于．5、如图，在一个横截面为Rt△ABC的物体中，∠CAB=30°，BC=1米．工人师傅把此物体搬到墙边，先将AB边放在地面（直线l）上，再按顺时针方向绕点B翻转到△A1B1C1的位置（BC1在l上），最后沿BC1的方向平移到△A2B2C2的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A2C2恰好靠在墙边）．（1）请直接写出AB、AC的长；（2）画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径，并求出该路径的长度（精确到0.1米）．考点3、扇形面积的计算例1、已知五个半径为1的圆的位置如图所示，各圆心的连线构成一个五边形，那么阴影部分的面积是（）A．B．2π C．D．3π例2、一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=4cm，以点A 为圆心，AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F，则商标图案的面积是（）A．（4π+8）cm2 B．（4π+16）cm2C．（3π+8）cm2 D．（3π+16）cm2例3、如图，E是正方形ABCD内一点，连接EA、EB并将△BAE以B为中心顺时针旋转90°得到△BFC，若BA=4，BE=3，在△BAE旋转到△BCF的过程中AE扫过区域面积．例4、如图，有一直径为1米的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形，则剩下部分的（阴影部分）的面积是．例5、如图，已知P为正方形ABCD内一点，△ABP经过旋转后到达△CBQ的位置．（1）请说出旋转中心及旋转角度；（2）若连接PQ，试判断△PBQ的形状；（3）若∠BPA=135°，试说明点A，P，Q三点在同一直线上；（4）若∠BPA=135°，AP=3，PB=，求正方形的对角线长；（5）在（4）的条件下，求线段AP在旋转过程中所扫过的面积．举一反三：1、若一个扇形的面积是相应圆的41，则它的圆心角为（ ） A ．150° B ．120° C ．90° D ．60°2、如图所示的4个的半径均为1，那么图中的阴影部分的面积为（ ）A ．π+1B ．2πC ．4D ．63、如图，O 为圆心，半径OA=OB=r ，∠AOB=90°，点M 在OB 上，OM=2MB ，用r 的式子表示阴影部分的面积是 ．4、如图，直角△ABC 的直角顶点为C ，且AC=5，BC=12，AB=13，将此三角形绕点A 顺时针旋转90°到直角△AB′C′的位置，在旋转过程中，直角△ABC 扫过的面积是 ．（结果中可保留π）5、如图，四边形ABCD 是长方形，AB=a ，BC=b （a ＞b ），以A 为圆心AD 长为半径的圆与CD 交于D ，与AB 交于E ，若∠CAB=30°，请你用a 、b 表示图中阴影部分的面积．考点4、圆锥侧面积计算例1、如果圆锥的高为3cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是（ ）A ．16πcm 2B ．20πcm 2C ．28πcm 2D ．36πcm 2例2、新疆哈萨克族是一个游牧民族，喜爱居住毡房，毡房的顶部是圆锥形，如图所示，为防雨需要在毡房顶部铺上防雨布．已知圆锥的底面直径是5.7m ，母线长是3.2m ，铺满毡房顶部至少需要防雨布（精确到1m 2）（ ）A ．58 m 2B ．29 m 2C ．26 m 2D ．28 m 2例3、扇形的圆心角为150°，半径为4cm ，用它做一个圆锥，那么这个圆锥的表面积为 cm 2．例4、在十年文革期间的“高帽子”．这种“高帽子”是用如图①所示的扇形硬纸板，做成如图②所示的无底圆锥体．已知接缝的重叠部分的圆心角为30°．（1）求重叠部分的面积．（结果保留π）（2）计算这顶“高帽子”有多高？（结果保留根号）例5、已知：一个圆锥的侧面展开图是半径为20cm，圆心角为120°的扇形，求这圆锥的底面圆的半径和高．举一反三：1、若圆锥的侧面积为12πcm2，它的底面半径为3cm，则此圆锥的母线长为（）A．4πcm B．4 cm C．2πcm D．2 cm2、圆锥的轴截面是一个等腰三角形，它的面积是10cm2，底边上的高线是5cm，则圆锥的侧面展开图的弧长等于（）A．87πcm B．47πcm C．8 cm D．4 cm3、如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的高为。

第24章圆章节知识点及习题及答案第⼆⼗四章圆章节知识点思维导图：⼀、圆的有关性质（⼀）与圆有关的概念1、定义：在⼀个平⾯内线段OA绕它固定的⼀个端点O旋转⼀周，另⼀个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆⼼，线段OA叫做半径。

2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆⼼的弦，叫做直径。

3、弧：圆上任意两点间的部分（曲线）叫做圆弧，简称弧。

能够互相重合的弧叫等弧。

圆的任意⼀条直径的两个端点把圆分成两条弧，每⼀条弧都叫做半圆，⼤于半圆的弧叫优弧；⼩于半圆的弧叫劣弧，由弦及其所对的弧组成的圆形叫⼸形。

4、圆⼼⾓：我们把顶点在圆⼼的⾓叫做圆⼼⾓。

5、圆周⾓：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的⾓叫做圆周⾓。

注意：在圆中，同⼀条弦所对的圆周⾓有⽆数个。

6、弦⼼距：从圆⼼到弦的距离叫弦⼼距。

7、同⼼圆、等圆：圆⼼相同，半径不相等的两个圆叫同⼼圆；能够重合的两个圆叫等圆。

8、点的轨迹：1）圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆⼼，定长为半径的圆；2）垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3）⾓的平分线：到⾓两边距离相等的点的轨迹是这个⾓的平分线；4）到直线的距离相等的点的轨迹是：平⾏于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5）到两条平⾏线距离相等的点的轨迹是：平⾏于这两条平⾏线且到两条直线距离都相等的⼀条直线。

（⼆）圆的性质1、对称性：圆是轴对称图形，任何⼀条直径所在直线都是它的对称轴；圆也是以圆点为对称中⼼的中⼼对称图形。

2、性质：①垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1 ：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理及推论1 可理解为⼀个圆和⼀条直线具备下⾯五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆⼼；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

推论2：圆两条平⾏弦所夹的弧相等。

第24章圆（期末精讲）目录24.1 与圆有关的基本性质 (4)知识点①圆的定义 (4)知识点②与圆有关的基本概念 (5)知识点③同心圆和等圆 (5)知识点④圆心角和圆周角 (5)知识点⑤弓形、扇形 (5)知识点⑥圆的对称性 (6)知识点⑦垂径定理及其推论 (6)知识点⑧圆心角、弧、弦之间的关系 (6)知识点⑨圆周角定理及其推论 (6)知识点⑩圆内接四边形及其性质定理 (7)方法①弧、弦、半径、直径等概念的区分方法 (15)方法②圆周角的识别方法 (15)方法③利用圆的半径相等进行计算的方法 (15)方法④证明几个点是否共圆的方法 (15)方法⑤运用垂径定理进行有关弦的计算 (15)方法⑥垂径定理在实际问题中的应用方法 (15)方法⑦圆心角、弧、弦的关系的应用方法 (15)方法⑧利用圆周角定理求角度的方法 (16)方法⑨圆周角定理的推论的应用方法 (16)方法⑩利用圆内接四边形的性质定理求角度的方法 (16)24.2 与圆有关的位置关系 (28)知识点①点与圆的位置关系 (29)知识点②过已知点的圆 (29)知识点③三角形的外接圆与外心 (29)知识点④直线与圆的位置关系 (29)知识点⑤直线和圆的位置关系的性质与判定 (29)知识点⑥切线的性质定理 (30)知识点⑦切线的判定定理 (30)知识点⑧切线长定理 (30)知识点⑨三角形的内切圆与内心 (31)知识点⑩圆外切四边形 (31)方法①点与圆的位置关系的识别方法 (35)方法②三角形外心的应用方法 (35)方法③直线与圆的位置关系的识别方法 (35)方法④利用切线的判定定理判定直线为切线的方法 (35)方法⑤利用“作垂直，证相等”判定直线为切线的方法 (36)方法⑥切线的性质的应用方法 (36)方法⑦三角形的内心的应用方法 (36)方法⑧利用切线长定理进行计算的方法 (36)方法⑨解决与圆的位置关系有关的多解问题的方法 (36)方法⑩圆的有关知识在动态问题中的应用 (36)24.3 与圆有关的计算 (49)知识点①正多边形与圆的关系 (49)知识点②正多边形的中心与中心角 (49)知识点③正多边形的半径与边心距 (49)知识点④正多边形的有关计算 (50)知识点⑤正多边形的对称性 (50)知识点⑥弧长公式 (50)知识点⑦扇形面积公式 (50)知识点⑧圆柱侧面展开图 (50)知识点⑨圆锥侧面展开图 (51)方法①弧长、扇形面积与圆锥侧面积的计算方法 (54)方法②应用弧长公式解决运动轨迹问题的方法 (55)方法③不规则图形的面积的计算方法 (55)方法④求圆锥侧面上两点之间的最短距离的方法 (55)方法⑤运用圆锥侧面积知识解决实际问题的方法 (55)24.1 与圆有关的基本性质知识点①圆的定义★☆☆圆的定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O 的距离等于定长r 的点的集合．知识点② 与圆有关的基本概念 ★☆☆与圆有关的概念：弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦；经过圆心的弦叫直径；圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．知识点③ 同心圆和等圆 ★☆☆1.同心圆：圆心相同 ,半径不相等的两个圆叫做同心圆。