§5.3 与圆有关的计算(试题部分).pptx

• 9. 如图，由7个形状、大小完全相同的正六 边形组成网格，正六边形的顶点称为格点。 已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶 点都在格点上，则△ABC的面积是 __________
• 10、只用下列图形中的一种，能够进行密 铺（平面镶嵌）的是（ ）。 • A、正三角形 B、正四边形 • C、正六边形 D、正八边形
• 8、（ 2014•广西玉林市、防城港市，第11题3分） 蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、 大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形 的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设 定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数 有（ ） • A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
考点3
扇形的面积公式
扇形面积
nπ R2 360 n是圆心角度数，R是 (1)S扇形＝______(
半径)； 1 lR (2)S扇形＝______( l是弧长，R是半径) 2
弓形面积
S弓形＝S扇锥的高； (2)a是圆锥的母线，其长为侧面展开后所 得扇形的________ 半径 ； (3)r是底面半径； (4)圆锥的侧面展开图是半径等于 母线 ________长，弧长等于圆锥底面________ 周长 的扇形 πra S侧＝________
考点2
圆的周长与弧长公式
圆的周长
若圆的半径是R，则圆的周长C＝ ________ 2πR
若一条弧所对的圆心角是n°，半径 nπ R 是R，则弧长l＝________. 弧长公式 180 在应用公式时，n和180不再写单位
• 1、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝ ⌒ 60°．设⊙O的半径为2，则 BC 的长为________．
与圆有关的计算
沭阳如东实验学校

∴∠ODE=∠OFC,又∠DEO=∠FEC, ∴△ODE∽△CFE,∴ DE = EF ,即OE·EF=DE·EC,
OE EC
2021年中考复习 §5.3 与圆有关的计算
2021年中考复习 §5.3 与圆有关的计算
由(1)有OE2=DE·EC, ∴OE=EF,∴CD垂直平分OF. ∴∠AOD=∠DOE=∠OFD=30°,∴∠BOE=120°. 易得☉O的半径r=OA= AD = 3 ,BC=OB·tan 60°=3.
πR2=
1 2
×π×82=32π,
设圆锥的底面圆半径为r,则2πr= 1 ×2πR,
2
∴r= 1 R= 1 ×8=4, ∴S底=2πr2=2π×42=16π,
∴S全=S侧+S底=32π+16π=48π.故选A.
2021年中考复习 §5.3 与圆有关的计算
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π
A.1- 4
π-1
B. 4
π
C.2- 4
π
D.1+ 4
答案 A 连接CD,则CD⊥AB.∵△ACB是等腰直角三角形,∴CD=ACsin 45°=1,∴图中阴影部分的面积
为S△ACB-S扇形ECF=
1 2
×
2×
2 - 90π 12 =1- π ,故选A.
360
4
2.(2019山西,10,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2 3 ,BC=2,以AB的中点O为圆心,OA的长为半径 作半圆交AC于点D,则图中阴影部分的面积为 ( )
2021年中考复习 §5.3 与圆有关的计算
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考点二 圆柱、圆锥的侧面展开图 1.(2019云南,11,4分)一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆,则该圆锥的全面积是 ( ) A.48π B.45π C.36π D.32π

与圆有关的计算
情景引入
500米口径球面射电望远镜被誉为
“中国天眼”，由中国天文学家南仁
东先生提出构想，历时22年建成，于
2016年9月25日落成启用。是具有我
国自主知识产权、世界最大单口径、
最灵敏的射电望远镜。2020年1月11
日，投入正式运行 。截至2021年3月
29日，500米口径球面射电望远镜已
弧长与扇形面积
课后延伸
拓展3：如图，已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，
⊙O的半径为r. 点C在圆上运动，当PC最大时. PC 交⊙O于点 D.若四
边形APBC 为菱形，若r =12，E为BC上的动点，EF⊥OE 交⊙O于点
F，连接OF .
①当EF∥CD时，则EF =
.
②当点F为弧BC的中点时，求BE.
D
A
N
P
∴∠ ACD = 30°
∵ AB∥CD
∵ AB∥CD
∴S∆ACE= S∆OCE
∴∠ BAC =∠ ACD =30°
60×1
∠ BAE=∠ AED =60°
∴ S阴影= S扇形COE=
=
360
6
∴∠ CAE = 30°
∴∠ COE = 60°
构建知识体系--讲知识
与
圆
有
关
的
计
算
切线的性质、切线长定理、等腰三角形的性质、
M
B
F
C
B
E
C
E
O
O
D
D
P
F
M
A
N
P
A
N
课后延伸
把闲置不用的爬垫裁剪成正六边形如图做成沙发背景装

复习讲义
（2）若 = 5 ， cos ∠ =
4
，求 的长.
5
∘
解： ∵ ∠ = 90∘ ， ∴ ∠ + ∠ = 90 .
由（1）知， = 2 = 10 ， ∠ = 90∘ ，
∴ ∠ + ∠ = 90∘ .
图3
∴ ∠ = ∠.
4
.
5
∴ cos = cos ∠ =
复习讲义
（2）若 = 10 ， = 12 ， = 2 ，求 ⊙ 的半径．
思路点拨 由（1）知 ⊥ ，因此可在 Rt △
中利用勾股定理列方程求解.
解： ∵ = ， ⊥ ， ∴ = =
1

2
= 6.
图1
∴ = 2 − 2 = 102 − 62 = 8.
∴ = 6 .
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9
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
2.（2022·鄂尔多斯）如图3，以 为直径的
⊙ 与 △ 的边 相切于点 ，且与 边
交于点 ，点 为 的中点，连接 ， ，
.
（1）求证： 是 ⊙ 的切线.
1.（2022·衡阳）如图2， 为 ⊙ 的直径，过圆上一
点 作 ⊙ 的切线 交 的延长线于点 ，过点
作 // 交 于点 ，连接 ．
（1）直线 与 ⊙ 相切吗？请说明理由.
图2
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7
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
解：直线 与 ⊙ 相切.
， 的点，连接 ， ，点 在 的延长线
上，且 ∠ = ∠ ，点 在 的延长线上，

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2
【注意】(1)在弧长公式 l＝n18π0r中有三个量，已知其中的任意两个量，可求出第 三个；(2)题目中没有明确给出精确度，可用含“π”的数表示弧长；(3)应区分弧，弧 长这两个概念，长相等的弧不一定是等弧．
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4
►知识点二 不规则图形面积的计算
求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的 不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：
对应劣弧的弓形
对应优弧的弓形
对应半圆的弓形
【考查内容】扇形面积计算，三角形的全等判定．
第 2 题图
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24
【解析】如答图，连接 OC，作 OM⊥BC，ON⊥AC．设 OF 交 CB 于 G，
∵CA＝CB＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2 2，
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15
∴△BEC≌△OED(SAS)，∴OD＝BC＝1， 在 Rt△OED 中，OE＝12OB＝12OD， ∴∠ODE＝30°，∴∠BOD＝60°， 则扇形 BOD 的面积 S＝603π6×0 12＝π6.
图4
中考新突破 ·数学(江西)
图5
知识要点 · 归纳

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＝ 2，∴⊙M 的面积是 π× 22＝1π，∴扇形和圆形纸
2
2 2
板的面积比是58π÷12π＝54.故选 A．
【答案】A
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6．(2015·温州)已知扇形的圆心角为 120°，弧长为 2π， 则它的半径为 3．
∴tan∠ABC＝ABDD＝
3，∴∠ABC＝30°，∴∠AOC＝ 3
2∠ABC＝60°，∴∠ABC 所对的弧长为60πR＝πR；(2)当 180 3
△ABC 为直角三角形时，计算结果同锐角三角形；
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(3)当△ABC 为钝角三角形，且∠ABC 为钝角时(如图 2)，连结 OA，OC，CH，∵AD⊥BC，BE⊥AC，
2 1OB， 2
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在 Rt△BEO 中，利用直角三角形的性质，得∠EBO＝30°， 因 此 ∠BOE＝ 90°－ 30°＝ 60°， 从 而 ∠BOC＝ ∠BOE ＋ ∠EOC＝60°＋90°＝150°，结合“圆心角的度数与它所对弧
A．5∶4 B．5∶2 C． 5∶2 D． 5∶ 2
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【解析】如图 1，连结 OD，∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠DCB＝∠ABO＝ 90°， AB＝ BC＝ CD＝ 1.∵∠AOB＝
45°，∴OB＝AB＝1.由勾股定理，得 OD＝ 22＋12＝ 5，
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cm2. 例2题图
【思路分析】连接OB.则△AOB是直角三角形，阴影 部分的面积等于直角三角形AOB的面积减去扇形BOC
的面积.
【解析】连接OB，则△AOB是直角三角形，
Q OB2 AB2 (OC AC)2 , 52 AB2 (5 5)2 ,
AB 5 3,
SAOB

1 2
55
3 25 2
3,
Q OB 5, AO 10,
AOB 60o,
S扇形OBC

60g52 360

25 , 6
S阴影

SAOB
S扇形OBC

25 2
3

25 6

75
3 25 cm2 6
【难点突破】1.在计算有圆、扇形、弓形、三 角形、四边形等组合而成的图形时，要注意分 析和观察图形，学会分解和组合图形，明确要 计算的图形的面积，可以通过哪些基本图形的 面积和或差得到.
长为 16 π cm，则扇形的圆心角为 （ B ）
3
A.60°
B.120°
C.150°
D.180°
【解析】根据扇形弧长公式 l n，πR
180
将 l 16，πR＝8代入即可求出n的度数，
3
即 n π 8 ，16可π 得n＝120°.
180 3
扇形的相关计算包括弧长与面积的计算， 考查方式也比较灵活，除填空、选择题型外， 在网格作图中也经常出现.求线段在旋转过程中 扫过的面积或点所经过的路径长等，在解答时 要熟练运用公式，不要混淆，扇形的弧长公式
第一部分 考点研究
第六章 圆
第三节 与圆有关的计算考点梳理圆的源自长弧长公式弧长与面

A．2 3－2π B．2 3 C．4π－3 3 D．2π
3
3
3
温馨提示：对于与扇形有关的阴影部分面积的计算，解 答关键是利用转化思想将不规则图形转化为规则图形．
同步训练
1．如图，在⊙O 的内接正六边形 ABCDEF 中，OA＝2，以点 C 为圆心，AC 长为
︵ 半径画弧，恰好经过点 E，得AE，连接 CE，OE，则图中阴影部分的面积为( A )
类型二 与扇形有关的阴影部分面积的计算(必考) 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝2 3，BC＝2，以 AB 的中点 O 为圆心， OA 长为半径作半圆交 AC 于点 D，则图中阴影部分的面积为( A )
A．543－π2 C．2 3－π
B．543＋π2 D．4 3－π2
4. 如图，在菱形ABCD中，以AB为直径画弧分别 交BC，AC于点F，E.若AB＝4，F为BC的中点，则图中 阴影部分的面积为( D )
A．10π－4 3 3
B．2π－2 3
C．8π－3 3 3
D．4π－2 3 3
2．(2019·宿迁)如图，正六边形的边长为2，分别
以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边 形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和(阴影部分面 积)是( A )
A．6√3－π B．6√3－2π C．6√3＋π D．6√3＋2π
考点梳理
考点一 弧长的计算
1．半径为R的圆的周长：2Cπ＝R 2πR . 2．若一条弧所对的圆心角为n°，半径为R，则弧长l
nπR ＝180 .
考点二 扇形的面积
1．半径为R的圆的面积：πSR2＝ πR2 . 2．扇形的面积：(1)一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图 形叫做扇形． (2)在半径为 R 的圆中，圆心角为 n°的扇形的面积：S 扇形＝n3π6R02＝12lR(其中 l＝n1π8R0).

n r 180 .
nr 2 在半径为r的圆中，①圆心角是n° 的扇形面积 S = 360 ， 1 lr ②弧长为 l 的扇形念：
底面圆周 上任意一点与圆锥_____ 顶点 的连线叫做 (1)母线：圆锥_________
圆锥的母线.
顶点 与底面_____ 圆心的线段叫做圆锥的高. (2)高：连接_____ 2.面积公式： 如图：母线长为l，底面半径为r的圆锥： πrl S侧=_____.
【思维诊断】(打“√”或“× ”) 1.将一个圆分成4份，依次连接各分点所得的四边形为正方形. (×) 2.正五边形的中心角等于72° . (√) (√)
3.正六边形外接圆的半径等于其边长. 4.扇形的面积公式是S=
nR . 360
( ×) ( ×) (√ )
5.半径为3cm，圆心角为60° 的弧长为 cm. 2
6.圆锥的底面圆周长等于展开图中扇形的弧长.
热点考向二
扇形面积公式的应用
【例2】如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠
放，三角板一边与量角器的零刻度线所
在直线重合，重叠部分的量角器弧AB对
应的圆心角(∠AOB )为120° ，OC 的长
为2 cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为 .
【思路点拨】重叠部分由扇形AOB 和Rt△BOC 组成，求出它 们各自的面积再求和.
热点考向三
阴影部分面积的计算
【例3】如图，已知圆O 的半径是2，∠AOB=60° ，则阴影部分
的面积为 (结果可用π表示).
【规律方法】求圆中有关阴影部分面积的方法 1.求不规则图形的面积，常转化为几个规则图形的面积的和 差，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果. 2.求阴影部分面积的“五种常见方法”： (1)公式法.(2)割补法.(3)拼凑法.(4)等积变形法.

B． 2
C． 3
D． 4
（2015兰州）如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相 垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A，B， C，D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点 N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时， 点Q走过的路径长为 连结OP，由矩形性质知： OP=MN，且它们相交于中点 Q，则当点P沿着圆周转过 45°时，点Q在以O为圆心， 以OQ=1为半径的圆周上转 过45°，因此只要求出以1 为半径，45°圆心角所对 弧的长便可。
正多边形与圆的关系 顶点都在同一个圆上的正多边形叫做 圆内接正多边形 ____________________, 这个圆叫做该正多边形的 外接圆 。 _________
如图，五边形ABCDE 是⊙O的内接正五边形，圆心O 中心 ；OA是这个正五边形的 叫做这个正五边形的_____ 半径 ____ ；∠ AOB 是这个正五边形的 _______ 中心角 ；OM⊥BC， 垂足为M，OM是这个正五边形的的边心距 ______ 。在其他 的正多边形中也有同样的定义。
与圆有关的计算
考纲解读 会计算弧长和扇形的面积；了解正多边形的概念、 正多边形与圆的关系.
1.弧长与扇形面积 若n表示半径为R的圆中的弧所对的圆心角的度数，
n R 那么圆周长C=_______, 圆面积 2π R 弧长l=_________, 180 1 n 2 lR R 2 πR 2 S=___________,S 360 扇形=_________=__________.
（2015，-1）
∵半圆的半径 r=1，∴半圆长度=π， ∴第 2015 秒点 P 运动的路径15÷ π=1007…1，∴点 P 位于第 1008 个半圆的中点上，且这个半圆在 x 轴的下方. 2