陕西省西安电子科技大学附中2019-2020年高一上学期期中考试 数学(含解析)

2019～2020学年度第一学期期中考试高一年级数学试题一、选择题（每小题4分,共48分）1.已知全集{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，集合{}0,1,3,5,8A =，集合{}2,4,5,6,8B =，则()()U U C A C B ⋂=（ ）A. {}5,8B. {}7,9C. {}0,1,3D. {}2,4,6【答案】B 【解析】试题分析：{}2,4,6,7,9U A =ð,{}0,1,3,7,9U B =ð,所以()(){}7,9U UA B ⋂=痧，故选B.考点：集合的运算.【此处有视频，请去附件查看】2.已知{1,2,3,4}A =，{}1,2B a a =+，若{4}A B ⋂=，则a =， ， A. 3 B. 2C. 3或2D. 3或1【答案】A 【解析】【详解】由题，{}1,2,3,4A =，{}1,2B a a =+，且{}4A B ⋂=， 当14,3,26a a a +=== ，符合题意；当24,2,13a a a ==+= ，此时{}34A B ⋂=，，不符合题意.故 3.a = 故选A. 3.函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是（ ）A. (1,)-+∞B. [1,)-+∞C. (1,1)(1,)-+∞UD. [1,1)(1,)-⋃+∞【答案】C【解析】试题分析：分母不等于零，对数真数大于零，所以10{10x x +>-≠，解得(1,1)(1,)x ∈-⋃+∞.考点：定义域.4.已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()210f x x x=+>,则()1f -= ( ) A. -2 B. 0 C. 1 D. 2【答案】A 【解析】因为()f x 是奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，故选A.5.已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |x，则( )．A. A ∩B ＝B. A ∪B ＝RC. B ⊆AD. A ⊆B【答案】B 【解析】【详解】依题意{}|02A x x x =或， 又因为B ＝{x |x}， 由数轴可知A ∪B ＝R ，故选B. 【此处有视频，请去附件查看】6.设1,01,()0,0,()0,1,0x x f x x g x x x >⎧⎧⎪===⎨⎨⎩⎪-<⎩为有理数为为无理数,则f(g(π))值为( )A. 1B. 0C. -1D. π【答案】B 【解析】【详解】()0g π=Q ，(())(0)0f g f π∴==,故选B.【此处有视频，请去附件查看】7.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是 ( ) A. 1y x =+ B. y x x =C. 1y x=D. 3y x =-【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数定义先判断出奇偶性，然后根据单调性定义判断单调性即可. 【详解】A.非奇非偶函数；B.奇函数且单调递增函数；C.奇函数但在定义域上不是增函数；D. 奇函数，单调递减函数； 故选B【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，结合初等函数的奇偶性和单调性判断出原函数的性质，主要考查了推理能力．8.已知函数f （x ）＝2,0{1,0x x x x >+≤，若f （a ）＋f （1）＝0，则实数a 的值等于（ ） A. －3 B. 1C. 3D. －1【答案】A 【解析】 【分析】先求得f （1）=2，再由f （a ）=-2，即有a +1=-2，从而可得结果．【详解】由函数f （x ）＝2,0{1,0x x x x >+≤,可得f (1)=2，是且x >0时,f (x )>1， 则f (a )+f (1)=0,即f (a )=−2， 则a ⩽0,可得a +1=-2， 解得a =-3. 故选：A .【点睛】对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 9.已知 1.22a =，0.81()2b -=，52log 2c =，则a, b, c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. c a b <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】A 【解析】【详解】试题分析：因为0.80.81()22b -==，所以由指数函数的性质可得0.8 1.2122b a <=<=，552log 2log 41c ==<，因此c b a <<,故选A.考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以0,1为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列. 【此处有视频，请去附件查看】10.已知函数()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a的取值范围为( ) A. (－∞，2)B. 13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. (－∞，2]D. 13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B. 考点：分段函数单调性.【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.11.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤, 则a 的取值范围是（ ）A. [1,2]B. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (0,2]【答案】C 【解析】试题分析：函数是定义在上的偶函数，∴，等价为），即．∵函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，∴）等价为．即，∴，解得,故选项为C ．考点：（1）函数的奇偶性与单调性；（2）对数不等式.的【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应 用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：，即，结合单调性得：将不等式进行等价转化即可得到结论.【此处有视频，请去附件查看】12.若不等式2(1)log a x x -<（0a >且1a ≠）在()1,2x ∈内恒成立,则实数a 的取值范围为（ ）A. (]1,2B. 2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C. (D.)【答案】A 【解析】 【分析】函数2(1)y x =-在()1,2的图象在log ay x =的图象的下方,结合函数的图象,可求得a 的取值范围.【详解】由题意,函数2(1)y x =-在()1,2的图象在log ay x =的图象的下方,若01a <<,则log 0a x <在()1,2上恒成立,显然不符合题意,故1a >. 作出函数的图象,如下图,则()2log 221a ≥-,解得12a <≤. 故选:A.【点睛】本题考查函数图象性质的应用,考查了不等式恒成立问题,数形结合的方法是解决本题的关键,属于中档题.二、填空题（每小题4分,共16分）13.函数()212log 32y x x =-+的单调递增区间为__________．【答案】(),1-∞ 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数同增异减求得函数的单调递增区间. 【详解】由2320x x -+>解得1x <或2x >，由于12log y x =在其定义域上递减，而232y x x =-+在1x <时递减，故()212log 32y x x =-+的单调递增区间为(),1-∞. 【点睛】本小题主要考查复合函数单调区间的求法，考查对数函数定义域的求法，属于基础题. 14.若2510a b ==，则11a b+=________. 【答案】1 【解析】 【分析】将指数式化为对数式，再取倒数相加即得． 【详解】∵2a ＝5b ＝10， ∴a ＝log 2 10，b ＝log 5 10，∴1a =lg 2，1b =lg 5 ∴11a b+=lg 2+lg 5＝lg （2×5）＝1， 故答案为1．【点睛】本题考查了对数的运算性质．属基础题．15.已知函数f(x)＝()14214xx f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+<⎩，，，则f(2＋log 23)＝________． 【答案】124【解析】由3<2＋log 23<4，得3＋log 23>4，所以f(2＋log 23)＝f(3＋log 23)＝2233241112224log log +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝＝16.集合{}||21|xM x m =-=有4个子集,则m 的取值范围为________. 【答案】()0,1 【解析】 【分析】由集合M 有4个子集,可得M 有2个元素,即函数|1|2xy =-与y m=图象有2个交点,结合函数图象,可求出m 的取值范围.【详解】因为集合M 有4个子集,所以集合M 有2个元素, 故函数|1|2xy =-与y m =的图象有2个交点,作出函数|1|2xy =-的图象,如下图,0x ≥时,[)|21|0,x y =-∈+∞,0x <时,()|21|0,1xy =-∈.故01m <<时,函数|1|2xy =-与y m =的图象有2个交点.故答案为:()0,1.【点睛】本题考查集合的元素个数与子集个数的关系,考查了函数的图象交点问题,利用数形结合的方法是解决本题的关键,属于中档题.三、解答题（17、18题10分,19、20、21题12分.）的17.（1）计算：112307272(lg 5)964-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）计算：83151g1g lg12.5log 9log 428-+-⋅. 【答案】（1）4 ；（2）13.【解析】 【分析】（1）结合指数幂的运算法则,可求出答案; （2）结合对数的运算法则,可求出答案.【详解】（1）112307272(lg 5)964-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11233123495-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎛⎫=⎪⎦++ ⎝⎭54133=++4=. （2）83151g1g lg12.5log 9log 428-+-⋅()23182521g log 32l 2og 2523⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2341g10log l 33g 2o ⋅=-41133=-=-.【点睛】本题考查了指数幂与对数式的运算,考查了学生的计算求解能力,属于基础题. 18.设()()()log 1log (30,1)a a f x x x a a =++->≠,且()12f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】（1）2a =，定义域为()1,3-；（2）2 【解析】 【分析】（1）由()12f =,可求得a 的值,结合对数的性质,可求出()f x 的定义域; （2）先求得()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性,进而可求得函数的最大值.【详解】（1）()1log 2log l 242og a a a f =+==,解得2a =.故()()22log 1)g 3(lo f x x x =++-,则1030x x +>⎧⎨->⎩,解得13x -<<,故()f x 的定义域为()1,3-.（2）函数()()()()()222log 1log 3log 31f x x x x x =++-=-+,定义域为()1,3-,()130,2,3⎡⎤⊆⎥-⎢⎣⎦,由函数2log y x =在()0,∞+上单调递增,函数()()31y x x =-+在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得函数()f x 在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.故()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()21log 42f ==.【点睛】本题考查了函数的定义域,考查了函数的单调性与最值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题. 19.已知二次函数()223f x x ax =++.（1）若()f x 在[]1,1-上单调,求a 的取值范围； （2）求()f x 在[]1,1-上最小值．【答案】（1）4a ≤-或4a ≥;（2）当4a ≤-时,()min 5f x a =+;当4a ≥时,()min 5f x a =-;当44a -<<时,()min 238f x a =-【解析】 【分析】（1）结合二次函数的性质,讨论对称轴与区间[]1,1-的关系,可求得函数()f x 的单调性; （2）先讨论()f x 的单调性,进而可求得()f x 在[]1,1-上最小值. 【详解】（1）二次函数()223f x x ax =++的对称轴为4ax =-,开口向上, 若()f x 在[]1,1-上单调递减,则14a-≥,即4a ≤-;若()f x 在[]1,1-上单调递增,则14a -≤-,即4a ≥. 即()f x 在[]1,1-上单调,则a 的取值范围是4a ≤-或4a ≥.（2）由（1）知,若4a ≤-,()f x 在[]1,1-上单调递减,则()()min 15f x f a ==+;若4a ≥,()f x 在[]1,1-上单调递增,则()()min 15f x f a =-=-;若114a -<-<,即44a -<<,则()22min 3344428f x f a a a a a ⎛⎫⎛⎫--+-+=- ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故当4a ≤-时()min 5f x a =+;当4a ≥时,()min 5f x a =-;当44a -<<时,()min238f x a =-. 【点睛】本题考查了二次函数的单调性与最值,考查了分类讨论的数学思想在解题中的应用,属于基础题.20.已知函数()f x =222,00,0,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数. （1）求实数m 的值； （2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2m =；（2）13a <?【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义，由0x >时的解析式得0x <时，()()f x f x =--对应的解析式，即求出实数m 的值；（2）由（1）知函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增，所以121a -<-≤，得实数的取值范围.【详解】（1）设0x <，则0x ->， 22()()[()2()]2f x f x x x x x =--=---+-=+，所以2m =.（2）由()f x =222,00,0,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩，知()f x 在区间[1,1]-上单调递增，所以121a -<-≤，解得13a <?. ,【点睛】本题主要考查了利用函数奇偶性求解析式及研究分段函数的单调性，属于基础题.21.已知二次函数()()210f x ax bx a =++>,若()10f -=,且对任意实数x 均有()0f x ≥成立．（1）求()f x 的表达式；（2）当[]2,2x ∈-时,令()()g x f x kx =-,若()0g x ≤恒成立,求k 的取值范围．【答案】（1）()221f x x x =++；（2）不存在 【解析】【分析】（1）对任意实数x 均有()0f x ≥成立,且0a >,可得240b a ∆=-=,再结合()10f -=,可求出,a b 的值,即可求得()f x 的表达式;（2）先求出()g x 的表达式,再由()0g x ≤在[]2,2x ∈-恒成立,可得()()2020g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩,即可求出答案. 【详解】（1）由题意,()101a b f -+==-,因为210ax bx ++≥恒成立,且0a >,所以240b a ∆=-=,联立21040a b b a -+=⎧⎨-=⎩,解得1,2a b ==. 故()221f x x x =++. （2）由题意,()()221g x x k x =+-+,因为[]2,2x ∈-时,()0g x ≤恒成立,所以()()()()()22222210222210g k g k ⎧-=---+≤⎪⎨=+-+≤⎪⎩,即1292k k ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩,显然无解,故k 不存在.【点睛】本题考查了二次函数的解析式,考查了二次函数的性质,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.。

2019～2020学年度第一学期期中考试高一年级数学试题一、选择题(每小题4分，共48分)1.已知全集U ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A ＝{0，1，3，5，8}，集合B ＝{2，4，5，6，8}，则(∁U A )∩(∁U B )＝( )A ．{5，8}B ．{7，9}C ．{0，1，3}D ．{2，4，6}2.已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{a ＋1,2a }，若A ∩B ＝{4}，则a ＝( )A ．3B ．2C ．2或3D ．3或1 3.函数lg(1)()1x f x x 的定义域是( ) A ．(1,) B ．[1,) C ．(1,1)(1,) D ．[1,1)(1,)4.已知函数f (x )为奇函数,且当x >0时, 21()f x x x,则f (-1)= ( ) A ．-2 B ．0 C ．1 D ．25.已知集合A =｛x |x 2－2x ＞0｝，B =｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( )A ．A ∩B = B ．R A BC ．B ⊆AD ．A ⊆B 6.设f (x )＝ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝ 1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π7.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |8.已知函数f (x )＝2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则a 的值等于 ( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．39.已知a ＝21.2，b ＝(12)－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a10.已知函数f (x )＝a －2 x ，x ≥2， 12x －1，x ＜2，满足对任意的实数x 1≠x 2都有f x 1 －f x 2 x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B. －∞，138 C ．(－∞，2] D. 138，2 11.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,) 单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a , 则a 的取值范围是（ ）A ．[1,2]B ．10,2C ．1,22D ．(0,2] 12.若不等式(x －1)2 < log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2]B. 22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)二、填空题(每小题4分，共16分)13.函数y ＝12log (x 2－3x ＋2)的单调递增区间为____________14. 若2a ＝5b ＝10，且1a ＋1b＝________. 15. 已知函数f (x )＝ 12 x ， x ≥4f x ＋1 ， x <4，则f (2＋log 23)的值为______． 16. 集合M={x | |2x -1| = m }有4个子集，则m 的取值范围为________三、解答题(17、18题10分，19、20、21题12分.)17(10分).(1)计算：12729 ＋(lg 5)0＋132764 ； (2) 计算：lg 12lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34.18(10分). 设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间0，32上的最大值．19(12分). 已知二次函数f (x )＝2x 2+ax +3.(1)若f (x )在[－1,1]上单调，求a 的取值范围；(2)求 f (x )在[－1,1]上最小值．20(12分).已知函数f (x )＝ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．21(12分). 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立．(1)求f (x )的表达式；(2)当x ∈[-2,2]时，令g (x )＝f (x )－kx ，若g (x )≤0恒成立，求k 的取值范围．。

西科中学2019—2020学年度第一学期期中考试高一数学试卷一、选择题（每小题4分）1．设集合A={x∈Q|x＞﹣1}，则（）A．∅∈A B．C．D⊈A 2．已知集合A到B的映射f：x→y=2x+1，那么集合A中元素2在B中的象是（）A．2 B．5 C．6 D．83．设集合P={2，a}，Q={a2﹣2，2}，若P=Q，则实数a的值为（）A．2 B．2或﹣1 C．﹣1 D．04．国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如表：如果某人在西安要邮寄800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他应付的邮资是()A．5.00元B．6.00元C．7.00元D．无法确定5．的分数指数幂表示为（）A．B．a3C．D．都不对6．下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（）A．y=B ．y=C．y=（）2D．y=7．已知函数f（x）=，x∈{1，2，3}．则函数f（x）的值域是（）A．B．（﹣∞，0] C．[1，+∞）D．R8．已知函数f（x）=，则f （1）+f（2）=（）A．1 B．4 C．9 D．129．函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A．（﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，）D．（﹣，1）10．若f（x）=a x（a＞0且a≠1）对于任意实数x、y都有（）A．f（xy）=f（x）•（y） B．f（xy）=f（x）+（y）C．f（x+y）=f（x）f（y）D．f（x+y）=f（x）+f（y）11．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．212．已知a=log20.3，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a二、填空题（每小题4分）13．已知集合A={x|x≤2}，B={x|x＞a}，若A∩B=∅，则a的取值范围为．14．若函数f（x）=x2﹣2ax在（﹣∞，5]上是递减的，在[5，+∞）上是递增的，则实数a = ．15．幂函数y =f （x ）的图象经过点（2，8），则f （﹣2）值为 ． 16．已知f （x ﹣1）=x 2，则f （6）= ． 17．若log a 2=m ，log a 3=n ，a 2m +n = ． 三、解答题18.（8分）已知集合A ={x |﹣2≤x ≤7}，B ={x |m +1＜x ＜2m ﹣1}且B ≠∅，若A∪B =A ，求m 的值．19．（8分）计算下列各式： （1）（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2；（2）101lg 25lg 4lg 100lg +++20．（12分）已知二次函数f （x ）图象顶点为（2，﹣1），并且过点（3，1）．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）当x ∈[﹣1，1]时，求函数f （x ）的最大值和最小值．21．（12分）已知函数，若满足f （1）=．（1）求实数a 的值；（2判断并证明f （x ）的奇偶性．22. (12分)定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上的图像如图所示．(1)画出f (x )的图像； (2)解不等式f (x )> 0.西科中学2019—2020学年度第一学期期中考试高一数学答题卡一. 选择题（每小题4分）二. 填空题（每小题4分）13. 14. 15.16. 17.三.解答题18.（8分）19.（8分）20．（12分）21．（12分）22．（12分）西安电子科技中学2019—2020学年度第一学期期中考试题答案一、 选择题（每小题4分）1—5 BBCCC 6—10 DABDC 11—12 AC 二，填空题13.（2，+∞） 14. 5 15. ﹣816. 49 17. 12三．解答题18. 解： ∵集合A ={x |﹣2≤x ≤7}，B ={x |m +1＜x ＜2m ﹣1}且B ≠∅，A ∪B =A ， ∴B ⊆A ，∴，解得2＜m ≤4．∴m 的取值范围是（2，4]．19. 解：（1）原式=﹣1﹣+=， (2) 101lg25lg 4lg 100lg +++=2+2-1=3. 20. 解：（1）设函数f （x ）=a （x ﹣2）2﹣1，a ≠0．由题可知f （3）=1， ∴a ﹣1=1，解得a =2∴f （x ）=2（x ﹣2）2﹣1，即f （x ）=2x 2﹣8x +7． （2）∵f （x ）图象是开口向上，对成轴为x =2的抛物线，∴f （x ）在区间[﹣1，1]上单调递减． ∴当x =﹣1时，f （x ）有最大值17； 当x =1时，f （x ）有最小值1． 21.（1）解：∵f （1）==，∴a =1．（2）证明：由（1）得f （x ）=，f （x ）的定义域为R ．∵f （﹣x ）===﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数．22. 解：(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)， 连线可得f (x )的图像如图．(2)f (x )>0即图像上横坐标、纵坐标同号．结合图像可知，f (x )>0的解集是(-∞,－2)∪(0,2)．。

2019-2020学年陕西省西安电子科技大学附中高一（上）第二次月考数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1. 下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点【答案】C【考点】平面的基本性质及推论【解析】不共线的三点确定一个平面，两条平行线确定一个平面，得到A，B，C三个选项的正误，根据两个平面如果相交一定有一条交线，确定D选项是错误的，得到结果．【解答】解：A，不共线的三点确定一个平面，故A不正确，B，四边形有时是指空间四边形，故B不正确，C，梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确，D，两个平面如果相交一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．故选C．2. 在空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，则（）A.P一定在直线BD上B.P一定在直线AC上C.P一定在直线AC或BD上D.P既不在直线AC上，也不在直线BD上【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据平面的基本性质公理，利用两个平面的公共点在两平面的公共直线上来判断即可【解答】如图：∵E、F∈平面ABC，∴EF⊂平面ABC；同理GH⊂平面ADC，又EF∩GH＝P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC．3. 函数f(x)＝−x3−3x+5的零点所在的区间为（）A.(1, 2)B.(−2, 0)C.(0, 1)D.(−2, 1)【答案】A【考点】函数零点的判定定理【解析】由题意知，函数f(x)是单调函数，根据f(1)>0，f(2)<0知，函数f(x)的零点必在区间(1, 2)上．【解答】∵函数f(x)＝−x3−3x+5是单调递减函数，又∵f(1)＝−13−3×1+5＝1>0，f(2)＝−23−3×2+5＝−9<0，∴函数f(x)的零点必在区间(1, 2)上，故必存在零点的区间是(1, 2)，故选：A．4. 一个几何体的三视图如图，则组成该组合体的简单几何体为（）A.圆柱与圆台B.四棱柱与四棱台C.圆柱与四棱台D.四棱柱与圆台【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个组合体，由几何体上部的三视图均为矩形可知上部是四棱柱，由下部的三视图中有两个梯形可得下部为四棱台．【解答】由已知中的三视图可得该几何体是一个组合体，由几何体上部的三视图均为矩形可知上部是四棱柱，由下部的三视图中有两个梯形可得下部为四棱台，故组成该组合体的简单几何体为四棱柱与四棱台，5. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是( )A.A1C1⊥ADB.D1C1⊥ABC.AC1与DC成45∘角D.A1C1与B1C成60∘角【答案】D【考点】异面直线及其所成的角棱柱的结构特征【解析】由题意画出正方体的图形，结合选项进行分析即可．【解答】解：由题意画出如下图形：A，因为AD // A1D1，所以∠C1A1D1即为异面直线A1C1与AD所成的角，而∠C1A1D1=45∘，所以A错；B，因为D1C1 // CD，利用平行公理4可以知道：AB // CD // C1D1，所以B错；C，因为DC // AB，所以∠C1AB即为这两异面直线所成的角，而在Rt△C1AB中，tan∠C1AB=√2，所以C错；D，因为A1C1 // AC，所以∠B1CA即为异面直线A1C1与B1C所成的角，在正三角形△B1CA中，∠B1CA=60∘，所以D正确．故选D．6. 设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若a // b，a // α，则b // αB.若α⊥β，a // α，则a⊥βC.若α⊥β，a⊥β，则a // αD.若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β【答案】D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】A选项a // b，a // α，则b // α，可由线面平行的判定定理进行判断；B选项α⊥β，a // α，则a⊥β，可由面面垂直的性质定理进行判断；C选项α⊥β，a⊥β，则a // α可由线面的位置关系进行判断；D选项a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β，可由面面垂直的判定定理进行判断；【解答】A选项不正确，因为b⊂α是可能的；B选项不正确，因为α⊥β，a // α时，a // β，a⊂β都是可能的；C选项不正确，因为α⊥β，a⊥β时，可能有a⊂α；D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的．7. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45∘，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A.1 2+√22B.2+√2C.1+√2D.1+√22【答案】B【考点】平面图形的直观图【解析】水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．【解答】水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+√2，S=12(1+√2+1)×2＝2+√2．8. 已知函数y＝f(x)的定义域[−8, 1]，则函数g(x)=f(2x+1)x+2的定义域是（）A.(−∞, −2)∪(−2, 3]B.[−8, −2)∪(−2, 1]C.[−92, −2)∪(−2, 0]D.[−92, −2]【答案】C【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据函数f(x)的定义域求出2x+1的范围，结合分母不为0求出函数g(x)的定义域即可．【解答】由题意得：−8≤2x+1≤1，解得：−92≤x≤0，由x+2≠0，解得：x≠−2，故函数的定义域是[−92, −2)∪(−2, 0]，9. 已知M是两条异面直线a，b外一点，则过点M且与直线a，b都平行的平面（）A.有且只有一个B.有两个C.没有或只有一个D.有无数个【答案】C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】点A与a所在平面与b平行，过点M且与直线a，b都平行的平面不存在；点A与a所在平面与b不平行，过M作MP // a，MQ // b，设直线MP与MQ确定平面α，推导出a // 平面α，b // 平面α，过点M与a．b都平行的平面就是平面α，从而过点M且与直线a，b 都平行的平面有且只有一个．【解答】M是两条异面直线a，b外一点，点A与a所在平面与b平行，过点M且与直线a，b都平行的平面不存在；点A与a所在平面与b不平行，过M作MP // a，MQ // b，设直线MP与MQ确定平面α，∵a // MP，MP∈平面α，∴a // 平面α，∵b // MQ，MQ∈平面α，∴b // 平面α，过点M与a．b都平行的平面就是平面α，综上：过点M且与直线a，b都平行的平面没有或只有一个．10. 若f(x)=x−1x，则方程f(4x)＝x的根是（）A.1 2B.−12C.2D.−2【答案】A【考点】函数的概念【解析】由f(4x)＝x建立方程，进行化简配方可得方程的根．【解答】∵f(4x)＝x，∴4x−14x=x(x≠0)化简得4x2−4x+1＝(2x−1)2＝0解得x=12，11. 以等腰直角三角形ABC斜边AB的中线CD为棱，将△ABC折叠，使平面ACD⊥平面BCD，则AC与BC的夹角为（）A.30∘B.60∘C.90∘D.不确定【答案】【考点】异面直线及其所成的角【解析】先判断折叠后△ACD，△BCD，△ABD的形状，进而判断出△ABC的形状，从而可得答案．【解答】如图所示：折叠后∠ACD＝∠BCD＝45∘，AD⊥CD，BD⊥CD，则∠ADB为二面角A−CD−B的平面角，又平面ACD⊥平面BCD，所以∠ADB＝90∘，所以△ADB为等腰直角三角形，设AD＝1，则AC＝BC＝AB=√2，所以△ABC为正三角形，所以∠ACB＝60∘．故选：B．12. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60∘角；④DM与BN是异面直线；以上四个命题中，正确的命题序号是()A.①②③B.②④C.③④D.②③④【答案】C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据恢复的正方体可以判断出答案．【解答】解：根据展开图，画出立体图形，BM与ED垂直，不平行，CN与BE是平行直线，CN与BM成60∘，DM与BN是异面直线，故③④正确．故选C.二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）已知正四棱锥P−ABCD的棱长为2√3a，侧面等腰三角形的顶角为30∘，则从点A出发，环绕侧面一周后回到A点的最短路程等于________．【答案】6a【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题【解析】用空间思维将此正四棱锥的侧面展开，得到一个由四个全等的顶角为30∘的等腰三角形组成的图形，所求的路径，是一个以2√3a为腰长，120∘为顶角的三角形的底边，由余弦定理可得最短路程．【解答】用空间思维将此正四棱锥的侧面展开，得到一个由四个全等的顶角为30∘的等腰三角形组成的图形，所求的路径，是一个以2√3a为腰长，120∘为顶角的三角形的底边，由余弦定理可得最短路程等于√12a2+12a2−2⋅2√3a⋅2√3a⋅cos120=6a．函数f(x)＝x2−2x的零点个数是________个．【答案】3【考点】函数的零点【解析】本题考查的是函数零点的个数判定问题．在解答时，可先结合函数的特点将问题转化为研究两个函数图象交点的问题．继而问题可获得解答．【解答】由题意可知：要研究函数f(x)＝x2−2x的零点个数，只需研究函数y＝2x，y＝x2的图象交点个数即可．画出函数y＝2x，y＝x2的图象由图象可得有3个交点．已知在正三棱锥P−ABC中，侧棱与底面边长相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，有下列四个结论：①BC // 平面PDF；②DF⊥平面PAE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面PAE⊥平面ABC，其中正确的结论有________．【答案】①②④【考点】命题的真假判断与应用【解析】利用正三棱锥的性质、三角形的中位线定理、线面面面平行于垂直的判定定理即可得出．【解答】如图所示，①在△ABC中，∵D、F分别是AB、AC的中点，∴DF // BC，又BC平面PDF，DF⊂平面PDF，∴BC // 平面PDF；因此正确．②由正三棱锥P−ABC，∴AB＝AC，AB＝AC．∵E是BC的中点，∴BC⊥AE，BC⊥PE．又PE∩AE＝E，∴BC⊥平面PAE．又∵DE // BC，∴DF⊥平面PAE；因此正确．③设点O是底面ABC的中心，则PO⊥底面ABC，而PO平面PFD，∴平面PDF与平面ABC不垂直，因此③不正确；④由②可知：BC⊥平面PAE，BC⊂平面ABC．∴平面PAE⊥平面ABC，因此正确．综上可知：只有①②④正确．若关于x的方程11+|x|−x2+a=0有两个不等的实数解，则a的取值范围是________．【答案】(−1, +∞)【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】作出函数y=11+|x|，y＝x2−a图象，则题目等价于图象有两个不同的交点，进而可判断出a的取值范围．【解答】记y=11+|x|，y＝x2−a，在同一坐标系中作出这两个函数的图象如图：则若关于x的方程11+|x|−x2+a=0有两个不等的实数解，即y=11+|x|与y＝x2−a的图象有两个不同的交点，由图可知−a<1，解得a>−1，三、解答题：（本大题共5小题，共56分）已知函数f(x)＝x|x−4|−5，当方程f(x)＝a有3个根时，求实数a的取值范围．【答案】函数f(x)＝x|x−4|−5，方程f(x)＝a有3个根，就是函数y＝f(x)与y＝a的图象由3个交点，f(x)＝x|x −4|−5={(x −2)2−9,x ≥4−(x −2)2−1,x <4， 由函数的图象可知−5<a <−1．实数a 的取值范围：(−5, −1)．【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】画出函数的图象，求出函数的极值，然后转化求解a 的范围即可．【解答】函数f(x)＝x|x −4|−5，方程f(x)＝a 有3个根，就是函数y ＝f(x)与y ＝a 的图象由3个交点，f(x)＝x|x −4|−5={(x −2)2−9,x ≥4−(x −2)2−1,x <4， 由函数的图象可知−5<a <−1．实数a 的取值范围：(−5, −1)．已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点．求证：C 1O // 面AB 1D 1．【答案】证明：连接A 1C 1，A 1C 1∩B 1D 1＝O′，连接AO′，则AOC 1O′是平行四边形∴AO′ // OC1，∵C1O面AB1D1，AO′⊂面AB1D1，∴C1O // 面AB1D1．【考点】直线与平面平行【解析】连接A1C1，A1C1∩B1D1＝O′，连接AO′，可得AOC1O′是平行四边形，从而AO′ // OC1，利用线面平行的判定，即可得到结论．【解答】证明：连接A1C1，A1C1∩B1D1＝O′，连接AO′，则AOC1O′是平行四边形∴AO′ // OC1，∵C1O面AB1D1，AO′⊂面AB1D1，∴C1O // 面AB1D1．如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：AB⊥BC．【答案】证明：如图，过A作AD⊥PB于D，∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，∴AD⊥平面PBC，又∵BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC，又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA，又∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，又∵AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB【考点】直线与平面垂直【解析】过A作AD⊥PB于D，因为平面PAB⊥平面PBC，根据平面与平面垂直的性质定理可得AD⊥平面PBC，由直线与平面垂直的定义可知：AD⊥BC，又因为BC⊥PA，故BC⊥平面PAB，所以BC⊥AB【解答】证明：如图，过A作AD⊥PB于D，∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，∴AD⊥平面PBC，又∵BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC，又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA，又∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，又∵AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB如图，在三棱锥S−ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG // 平面ABC；（2）BC⊥SA．【答案】∵△ASB中，SA＝AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点．∵E、G分别为SA、SC的中点，∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF // AB且EG // AC．∵EF平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF // 平面ABC，同理可得EG // 平面ABC又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，∴平面EFG // 平面ABC；∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AF⊂平面ASB，AF⊥SB．∴AF⊥平面SBC．又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC．∵AB⊥BC，AF∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB．又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA．【考点】直线与平面垂直直线与平面平行【解析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F为SB的中点．从而得到△SAB和△SAC中，EF // AB且EG // AC，利用线面平行的判定定理，证出EF // 平面ABC且EG // 平面ABC．因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG // 平面ABC；（2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC，从而得到AF⊥BC．结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA．【解答】∵△ASB中，SA＝AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点．∵E、G分别为SA、SC的中点，∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF // AB且EG // AC．∵EF平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF // 平面ABC，同理可得EG // 平面ABC又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，∴平面EFG // 平面ABC；∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AF⊂平面ASB，AF⊥SB．∴AF⊥平面SBC．又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC．∵AB⊥BC，AF∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB．又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90∘，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．（1）求二面角A1−CD−B；（2）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．【答案】如图，∵A1F⊥CD，∠C＝90∘，∴BC⊥CD，∵由已知得AC⊥BC且DE // BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F，∴A1F⊥平面CDEB，∴二面角A1−CD−B是直角，∴二面角A1−CD−B的平面角为90∘．线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ // BC．∵DE // BC，∴DE // PQ，∴平面DEQ即为平面DEP，由题意得DE⊥CD，又A1F⊥平面CDEB，∴A1F⊥DE，∵A1F∩CD＝F，∴DE⊥平面A1CD，∴DE⊥A1C，又P是等腰△DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP，∴A1C⊥平面DEQ，∴线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直【解析】（1）推导出BC⊥CD，DE⊥AC，DE⊥A1D，DE⊥A1F，从而A1F⊥平面CDEB，由此能求出二面角A1−CD−B的平面角．（2）分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ // BC，由DE // BC，得DE // PQ，推导出DE⊥CD，A1F⊥DE，从而DE⊥平面A1CD，进而DE⊥A1C，推导出A1C⊥DP，从而A1C⊥平面DEP，进而A1C⊥平面DEQ，由此推导出线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．【解答】如图，∵A1F⊥CD，∠C＝90∘，∴BC⊥CD，∵由已知得AC⊥BC且DE // BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F，∴A1F⊥平面CDEB，∴二面角A1−CD−B是直角，∴二面角A1−CD−B的平面角为90∘．线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ // BC．∵DE // BC，∴DE // PQ，∴平面DEQ即为平面DEP，由题意得DE⊥CD，又A1F⊥平面CDEB，∴A1F⊥DE，∵A1F∩CD＝F，∴DE⊥平面A1CD，∴DE⊥A1C，又P是等腰△DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP，∴A1C⊥平面DEQ，∴线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．。

2020-2021学年陕西省西安电子科技大学附中高一上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共48.0分）1. 设集合A ={−1,0，1，2，3}，B ={x|x 2−3x >0}，则A ∩(∁R B)=( )A. {−1}B. {0,1，2}C. {1,2，3}D. {0,1，2，3}2. 已知集合A ={−3,−2,−1,0，1，2}，B ={x|(x +3)(x −1)<0}，则A ∩B =( )A. {0,1，2}B. {−2,−1,0}C. {−3,−2,−1,0，1}D. {0,1，2，3}3. 函数f(x)=x−3lg(x+2)的定义域为( ) A. [−2,+∞) B. (−2,+∞)C. (−2,−1)∪(−1,+∞)D. [−2,3)∪(3,+∞)4. 已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是( )A. (1,10)B. (5,6)C. (10,12)D. (20,24)5. 已知集合A ={x|x 2−2x ≤0}，B ={x|x ≥a}，若A ∪B =B ，则实数a 的取值范围时() A. (−∞,0) B. (−∞,0] C. (0,+∞) D. [0,+∞)6. 已知函数f(x)={log 3x,(0<x <1)2x ,(x ≤0)，若f(f(x))=14，则x =( )A. 13 B. 19 C. −9 D. −27. 下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( )A. y =−2x +1B. y =1xC. y =lgxD. y =x 38. 已知集合A 是函数f(x)=ln(x 2−2x)的定义域，集合B ={x|x 2−5>0}，则( )A. A ∩B =⌀B. A ∪B =RC. B ⊆AD. A ⊆B9. 设，且，则= ( )A. 100B. 20C. 10D.10. 已知函数f(x)={x(x −1),x >0log 3(1−x),x ≤0，若f(m)=2，则实数m 的值为( ) A. −1或2B. −8或−1C. −8或2D. −8，−1或2 11. 函数是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确的是 A.B. C. D. 12. 函数y =√9−3x +1√x+1的定义域为( ) A. [−1,3) B. (−1,3] C. (−1,3) D. [−1,3]二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）13. 函数f(x)=ln(x 2−x)的单调递增区间是______ ．14. 若lg a ，lg b 是方程2x 2−4x +1=0的两个根，则(lg ab )2= ．15. 拟定从甲地到乙地通话m 分钟的通话费(单位：元)f(m)=1.06×(0.50×{m}+1)给出，其中m >0，{m}是大于或等于m 的最小整数(如{3}=3，{3.7}=4，{5.1}=6)，则从甲地到乙地通过时间为7.5分钟的通话费为______ ．16. 若集合N ={x|x 2−2x +a =0}，M ={1}，且N ⊆M ，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共56.0分）17. 先简化，再求值：x x 2−2x+1÷(x+1x 2−1+1)，其中x =√2+1．18. 设计一个水渠，其横截面为等腰梯形(如图所示)，要求满足条件AB +BC +CD =a(常数)，∠ABC =120°，写出横截面的面积y 与腰长x 的关系式，并求它的定义域和值域．19. 关于二次函数f(x)=x 2+(m −1)x +1(1)若∀x ∈R ，f(x)>0恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若方程f(x)=0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．20. “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4(尾/立方米)时，v的值为2(千克/年)；当4≤x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20(尾/立方米)时，因缺氧等原因，v的值为0(千克/年)．(1)当0<x≤20时，求函数v(x)的表达式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)f(x)=x⋅v(x)可以达到最大，并求出最大值．21.已知函数f(x)=ax2−4ax+b在区间[0,1]上的最大值为1，最小值为−2．(1)求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间[0,1]上为单调递减函数令函数g(x)=f(x)，若方程g(4x)−m(2x−2−x−1)=x0在(0,log23]上有两个不同实数根，求实数m的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：解x2−3x>0得，x<0，或x>3；∴B={x|x<0，或x>3}；∴∁R B={x|0≤x≤3}；∴A∩(∁R B)={0,1，2，3}．故选：D．解不等式x2−3x>0即可得出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及一元二次不等式的解法，补集、交集的运算．2.答案：B解析：解：集合A={−3,−2,−1,0，1，2}，B={x|(x+3)(x−1)<0}={x|−3<x<1}，则A∩B={−2,−1,0}，故选：B．运用二次不等式解法，求出集合B，再由交集定义即可得到．本题考查集合的交集运算，同时考查二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题3.答案：C解析：本题考查函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，属于基础题．由分式的分母不为0求解对数不等式得答案．解：由题意，lg(x+2)≠0，则x+2>0且x+2≠1，∴x>−2且x≠−1，∴函数f(x)=x−3的定义域为(−2,−1)∪(−1,+∞)．lg(x+2)故选：C．4.答案：C解析：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．利用对数的性质和数形结合分析出ab=1是解题的关键。

陕西省西安市电子科技大学附中2020年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（）A． B． C． D．参考答案：A略2. 已知是方程的两根,且,则等于（）A． B． C． D．参考答案：A略3. 若两个函数的对应关系相同,值域也相同,但定义域不同,则称这两个函数为同族函数.那么与函数为同族函数的个数有 ( ) A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个参考答案：C4. 函数的零点所在的一个区间是（）A．(－1,0) B．(0,1) C.(1,2) D．(2,3)参考答案：D因,则函数零点所在的区间是,应选答案D．5. 若三点共线，则有（）A．B．C．D．参考答案：C 解析：6. 将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再把所得函数图像向右平行移动个单位长度，得到的函数图像的一个对称中心是（）A. B. C. D.参考答案：A略7. 若△的三个内角满足，则△（）A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形C略8. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A． B．C． D．参考答案：D9. △ABC中，已知tanA=，tanB=，则∠C等于（）（A）30°（B）45°（C）60°（D）135°参考答案：D略10. 若函数的定义域是 ,则函数的定义域是（）A． B. C . D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数y=[x]叫做“取整函数”，其中符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例如[2]=2；[2.1]=2；[﹣2.2]=﹣3，那么[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2016]的值为．4941【考点】函数的值．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】分类讨论，当1≤n≤9时，[lgn]=0；当10≤n≤99时，[lgn]=1；当100≤n≤999时，[lgn]=2；当1000≤n≤9999时，[lgn]=3；从而分别求和即可．【解答】解：当1≤n≤9时，[lgn]=0，当10≤n≤99时，[lgn]=1，当100≤n≤999时，[lgn]=2，当1000≤n≤9999时，[lgn]=3，故[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2016]=0×9+1×90+2×900+3×1017=90+1800+3051=4941，故答案为：4941．【点评】本题考查了分类讨论的思想应用及对数运算的应用．12. （5分）如图是一个正方体纸盒的展开图，在原正方体纸盒中有下列结论：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．其中，正确命题的序号是．参考答案：③④考点：异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：证明题．分析：先利用正方体纸盒的展开图，画出它的直观图，特别注意特殊点的位置，再在正方体中证明线线位置关系以及求异面直线所成的角即可解答：如图为正方体纸盒的直观图：由图可知：BM与ED异面且垂直，①错误；CN与BE平行，②错误；异面直线CN与BM所成的角即∠EBM，由于△EBM为等边三角形，故∠EBM=60°，③正确；因为DM⊥NC，DM⊥BC，NC∩BC=C，所以DM⊥平面NCB，所以DM⊥BN，④正确故答案为③④点评：本题考查了空间几何体的展开图与直观图间的关系，空间的线线位置关系及其证明，异面直线所成的角及其求法，将平面图准确的转化为直观图是解决本题的关键13. 设、、是直角三角形的三条边长，且，其中，，则的值等于．参考答案：414. 已知tanα=﹣2，则2sinαcosα﹣cos2α的值是．参考答案：﹣1【考点】三角函数的化简求值．【分析】化简所求的表达式为正切函数的形式，代入求解即可．【解答】解：tanα=﹣2，则2sinαcosα﹣cos2α====﹣1．故答案为：﹣1．15. 如果满足∠A=60°，BC=6，AB=k的锐角△ABC有且只有一个，那么实数k的取值范围是．参考答案：【考点】HX：解三角形．【分析】依题意，可得C大于30°且小于90°，结合正弦定理解之即可．【解答】解：由题意，30°＜C＜90°，∴＜sinC＜1由正弦定理可得=，∴k=4sinC∴k∈，故答案为．16. 设均为单位向量，且的夹角为，则，则的取值范围是 .参考答案：17. （5分）已知长方形ABCD中，AB=2，AD=3，其水平放置的直观图如图所示，则A′C′=．参考答案：考点：余弦定理的应用；平面图形的直观图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，A′B′=，A′D′=3，∠A′D′C′=135°，利用余弦定理可得A′C′．解答：解：由题意，A′B′=，A′D′=3，∠A′D′C′=135°，∴A′C′==．故答案为：．点评：本题考查平面图形的直观图，考查余弦定理，比较基础．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2019-2020学年陕西省西安电子科技大学附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1. 设全集U ={1,2,3,4,5}，集合A ={1,3,5}，B ={3,4}，则(∁U A )∩B =( )A. {3}B. {3,4}C. {2,3,4}D. ｛4｝ 2. 若A ={0,1，2，3}，B ={x|x =3a,a ∈A}，则A ∩B =( )A. {1,2}B. {0,1}C. {0,3}D. {3}3. 函数f(x)=log 2(1−2x)+1x+1的定义域为( )A. (0,12) B. (−∞,12)C. (−1,0)∪(0,12)D. (−∞,−1)∪(−1,12)4. 已知f (x )在R 上是奇函数，当x ∈[0,+∞)时，f (x )=2x 2−x ，则f (−1)=( )A. −3B. −1C. 1D. 35. 已知集合A ={x||x +2|≥5}，B ={x|−x 2+6x −5>0}，则A ∪B 等于( )A. RB. {x|x ≤−7或x ≥3}C. {x|x ≤−7或x >1}D. {x|3≤x <5}6. 已知函数f (x )={0,x >0,π,x =0,π2+1,x <0,则f (f (f (−1)))的值等于( )A. π2−1B. π2+1C. πD. 0 7. 下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =lnxB. y =x 3C. y =3xD. y =sinx 8. 已知函数f(x)={f(x +2)(x ≤1)2x −4(x >1)，求f(0)的值( )A. −4B. 0C. 4D. 29. 设a =(34)0.5，b =(43)0.4，c =log 34(log 34)，则( ) A. a <b <c B. a <c <b C. c <a <b D. c <b <a10. 设f(x)={2−x +a,(x ≤0)−x 2+2ax,(x >0)，若对任意x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0，则实数a 的取值范围是( ) A. (−∞,0] B. [0,+∞)C. [−1,0]D. [0,1]11. 若函数f(x)=lg(x +√x 2+1)，则f(−52)+f(52)的值( )A. 2B.C. 0D. 312. 已知x ∈(0,π2)，且函数f (x )=1+2sin 2x sin2x的最小值为m ，若函数g (x )={−1,π4<x <π28x 2−6mx +4,0<x ≤π4，则不等式g (x )≤1的解集为( )A. (π4,π2)B. [√34,π2)C. [√34,√32)D. (π4,√32]二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13. 函数y =a x 2−3x+2(a >1)的单调增区间是______ ． 14. 已知2m =5n =10,则2m +2n =_________．15. 已知函数f(x)={log 3x,x >02x ,x ≤0则f(f(f(13)))= ______ ．16. 集合{−1,0,1}共有__________个子集． 三、解答题（本大题共5小题，共56.0分） 17. 计算(Ⅰ)log 38+2log 32−log 3329(Ⅱ)log 2.56.25+lg 1100+ln √e +21+log 2318. 求函数f(x)=log 13(x 2−5x +4)的定义域和单调区间．19. 已知二次函数f(x)满足条件f(0)=0和f(x +2)−f(x)=4x(1)求f(x)；(2)求f(x)在区间[a,a +2](a ∈R)上的最小值g(a)．20. 已知函数f(x)={ax +3−4a,x <1x 2−ax,x ≥1．(Ⅰ)若a =3，则m 取何值时y =f(x)的图象与直线y =m 有唯一的公共点？ (Ⅱ)若函数f(x)在R 上单调递增，求实数a 的取值范围．21.已知二次函数f(x)与x轴的两交点为(−2,0)，(3,0)，且f(0)=−3，求f(x)．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析： 【分析】本题考查的是交、补集的混合运算，属基础题． 根据补集、交集的定义计算即可． 【解答】解：C U A ={2,4}，B ={3,4}， ∴(C U A)∩B ={4}， 故选D ． 2.答案：C解析： 【分析】本题考查集合的交集及其运算，属于基础题．将集合A 中的元素代入x =3a 中计算确定出集合B ，求出两集合的交集即可． 【解答】解：因为B ={x|x =3a,a ∈A}={0,3，6，9}，所以A ∩B ={0,3}． 故选C ． 3.答案：D解析：解：由函数的性质可得：{1−2x >0x +1≠0，解得x <12且x ≠−1．故f(x)的定义域为：(−∞,−1)∪(−1,12)， 故选：D ．由题意可得：{1−2x >0x +1≠0，即可求得x 的取值范围，求得函数f(x)的定义域．本题考查函数定义域及求法，考查计算能力，属于基础题． 4.答案：B解析： 【分析】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题．先根据已知条件求得f(−1)=−f(1)，再根据奇函数的性质，即可得到f(−1)的值． 【解答】解：f(x)为R 上的奇函数，那么有：f(x)=−f(−x)，那么f(−1)=−f(1)； 当x ∈[0,+∞)时，f (x )=2x 2−x ，则有：f(−1)=−f(1)=−(2−1)=−1． 故选B ． 5.答案：C解析：【分析】本题主要考查集合的并集，以及一元二次不等式的解法，绝对值不等式的解法． 【解答】解：因为A ={x||x +2|≥5}={x|x ≤−7或x ≥3},B ={x|1<x <5}， 所以A ∪B ={x|x ≤−7或x >1}， 故选C ． 6.答案：C解析： 【分析】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 【解答】解：因为f(x)={0,x >0,π,x =0,π2+1,x <0,所以f(−1)= π2+1， f(f(−1))=f(π2+1)=0， f(f(f(−1)))=f(0)=π． 故选C ．7.答案：B解析：解：y =lnx 的定义域为(0,+∞)，关于原点不对称，即函数为非奇非偶函数． y =x 3是奇函数，又在区间(0,+∞)上为增函数，满足条件．y =3x 在区间(0,+∞)上为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件． y =sinx 是奇函数，但在(0,+∞)上不是单调函数， 故选：B根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性． 8.答案：B解析：解：函数f(x)={f(x +2)(x ≤1)2x −4(x >1)，f(0)=f(0+2)=f(2)=22−4=0． 故选：B ．直接利用分段函数以及抽象函数化简求解函数值即可．本题考查分段函数以及测试赛的应用，函数值的求法，考查计算能力． 9.答案：C解析：解：∵a =(34)0.5∈(0,1)，b =(43)0.4>1，c =log 34(log 34)<0， ∴c <a <b ． 故选：C ．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10.答案：C解析：解：∵对任意x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0，∴f(x)是R 上的减函数， ∴{a ≤01+a ≥0∴−1≤a ≤0． 故选C ．由题设得f(x)是R 上的减函数，结合图象，注意在R 上单调，得到{a ≤01+a ≥0，解出即可．本题考查分段函数的图象和应用，考查函数的单调性，注意函数的连续性，本题是一道易错题． 11.答案：C解析： 【分析】本题考查函数的奇偶性，属于基础题．先证明f(x)为奇函数，再由奇函数性质f(x)+f(−x)=0即可求解． 【解答】解：由题意可知，f(x)的定义域为R ， 且，故函数f(x)是定义在R 上的奇函数， ∴f(−52)+f(52)=0．故选C ． 12.答案：B解析：由已知得f (x )=1+2sin 2x sin2x=1+2sin 2x 2sinxcosx =3sin 2x+cos 2x 2sinxcosx=3sinx 2cosx +cosx2sinx ，因为x ∈(0,π2)，故sinx >0,cosx >0，由基本不等式得f(x)≥2√34=√3，故m =√3.当π4<x <π2时，f(x)=−1满足；当0<x ≤π4时，由f(x)=8x 2−6√3x +4≤1，解得√34≤x ≤√32，所以√34≤x ≤π4，综上所述，不等式g(x)≤1的解集为[√34,π2)．13.答案：[32,+∞)解析：解：令t =x 2−3x +2，则函数即y =a t ， 根据a >1时，本题即求函数t 的增区间，利用二次函数的性质可得t 的增区间为[32,+∞)， 故答案为：[32,+∞)．令t =x 2−3x +2，则函数即y =a t ，根据a >1时，本题即求函数t 的增区间，利用二次函数的性质可得t 的增区间．本题主要考查指数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，属于中档题． 14.答案：2解析： 【分析】本题考查了指数与对数互化，考查对数的运算，属于基础题． 先由2m =5n =10,得到m ，n ，再代入2m +2n 中运算即可求解． 【解答】解：∵2m =5n =10,∴m =log 210，n =log 510， ∴2m+2n=2log 210+2log 510=2(lg2+lg5)=2，故答案为2．15.答案：log 312解析：解：∵f(x)={log 3x,x >02x ,x ≤0，∴f(13)=log 313=−1， f(f(13))=f(−1)=2−1=12，∴f(f(f(13)))=f(12)=log 312．故答案为：log 312．利用分段函数的性质求解．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 16.答案：8解析： 【分析】本题考查了子集的个数，集合的元素有n 个，则其子集的个数为2n 个. 【解答】解：集合{−1,0,1}共有3个元素，故其子集的个数为8． 故答案为8． 17.答案：解(Ⅰ)原式=2;(Ⅱ)原式=2−2+12+2×3=132．解析：(Ⅰ)本题主要考查对数的化简求值.结合对数的运算法则进行运算即可． (Ⅱ)本题主要考查指数对数的化简求值.结合对数的运算法则与性质进行运算即可． 18.答案：解：由μ(x)=x 2−5x +4>0，解得x >4或x <1， 所以x ∈(−∞,1)∪(4,+∞)，因为函数f(x)=log 13(x 2−5x +4)是由y =log 13μ(x)与μ(x)=x 2−5x +4复合而成， 函数y =log 13μ(x)在其定义域上是单调递减的， 函数μ(x)=x 2−5x +4在(−∞,52)上为减函数，在[52,+∞]上为增函数． 考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y =log 13(x 2−5x +4)的增区间是定义域内使y =log 13μ(x)为减函数、μ(x)=x 2−5x +4也为减函数的区间，即(−∞,1)；y =log 13(x 2−5x +4)的减区间是定义域内使y =log 13μ(x)为减函数、μ(x)=x 2−5x +4为增函数的区间，即(4,+∞)．解析：根据对数函数的性质求出函数的定义域，函数y =log 13(x 2−5x +4)是由y =log 13μ(x)与μ(x)=x 2−5x +4复合而成，根据复合的两个函数同增则增，同减则增，一增一减则减，即可求出函数y =log 13(x 2−5x +4)的单调区间． 本题考查复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则增，一增一减则减，注意对数函数的定义域，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题． 19.答案：解：(1)∵f(0)=0， ∴设f(x)=ax 2+bx ，∴a(x +2)2+b(x +2)−ax 2−bx =4ax +4a +2b =4x ， ∴{4a =44a +2b =0，解得：a =1，b =−2，∴f(x)=x 2−2x ．(2)当a +2≤1时,即a ≤−1时,f(x)min =f(a +2)=a 2+2a ， 当a <1<a +2时，即−1<a <−1时，f(x)min =f(1)=−1 当a ≥1时,f(x)min =a 2−2a ，∴g(a)={a 2+2a,a ≤−1−1,−1<a <1a 2−2a,a ≥1．解析：本题考查了求函数的表达式，考查二次函数的性质，函数的单调性，考查分类讨论思想，是一道中档题．(1)先设出函数的表达式，由f(x +2)−f(x)=4x 得方程组求出a ，b 的值即可； (2)通过讨论a 的范围，根据函数的单调性，从而求出函数的最小值．20.答案：解：(I)若a =3，则函数f(x)={3x −9,x <1x 2−3x,x ≥1的图象如下图所示：由图可得：当m ∈(−∞,−6)∪{−3}∪(−2,+∞)时，y =f(x)的图象与直线y =m 有唯一的公共点； (Ⅱ)若函数f(x)在R 上单调递增， 则{a >0a2≤1a +3−4a ≤1−a ，解得a ∈[1,2]．解析：(I)画出a =3时，函数f(x)={3x −9,x <1x 2−3x,x ≥1的图象，数形结合，可得满足条件的m 的取值范围；(Ⅱ)若函数f(x)在R 上单调递增，则{a >0a2≤1a +3−4a ≤1−a，解得实数a 的取值范围．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调性，函数的图象，数形结合思想，难度中档．(x−3)(x+2)．21.答案：f(x)=12，所以f(x)=解析：由题意可设二次函数的解析式f(x)=a(x−3)(x+2)，因为f(0)=−3，所以a=121(x−3)(x+2)．2。

2019-2020学年陕西省西安中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分．）1．函数y =( ) A ．{|02}x x << B ．{|01x x <<或12}x <<C ．{|02}x x <…D ．{|01x x <<或12}x <…2．已知 1.22a =，1()2b =0.8-，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<3．下列四个图象中，是函数图象的是( )A ．（1）B ．（1）（3）（4）C ．（1）（2）（3）D ．（3）（4）4．已知2()f x ax bx =+是定义在[1a -，2]a 上的偶函数，那么a b +的值是( ) A ．13-B ．13C ．12-D ．125．已知幂函数223()(22)()nnf x n n x n Z -=+-∈的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上是减函数，则n 的值为( ) A ．3-B ．1C ．2D ．1或26．若函数2()41f x x x =-+在定义域A 上的值域为[3-，1]，则区间A 不可能为( ) A ．[0，4]B ．[2，4]C ．[1，4]D ．[3-，5]7．根据有关资料显示，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8210，则下列各数中与MN最接近的是( )（参考数据：30.48)lg ≈ A ．3310B ．5310C ．9110D ．93108．已知实数a ，b 满足等式20192020a b =，下列五个关系式：①0b a <<；②0a b <<；③0a b <<；④0b a <<；⑤a b =．其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知函数2log ,0()31,0x x x f x x ->⎧=⎨+⎩…，则31((1))(log )2f f f +的值是( )A ．5B ．3C ．1-D ．7210．已知x ，y ，z 都是大于1的正数，0m >，且log 24x m =，log 40y m =，log 12xyz m =，则log z m 的值为( ) A ．60B ．160C ．2003D ．32011．如图，ABD ∆是一直角边为1的直角等腰三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ AB ⊥，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设(02)AP x x =<<，图中阴影部分这平面图形APQ （或)APQD 的面积为y ，则函数()y f x =的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若f （1）2=，则f （1）f +（2）f +（3）(99)(f +⋯+= ) A ．99-B ．2C ．0D ．99二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．）13．已知集合{1A =，3，{1B =，}m ，AB A =，则m = ．14．若函数(1)()(4)2(1)2x a x f x ax x ⎧>⎪=⎨-+⎪⎩…对于R 上的任意12x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是 ．15．已知集合2{|320}A x ax x =-+=至多有一个元素，则a 的取值范围是 ． 16．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{5|}k n k n Z =+∈，0k =，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2014[4]∈； ②3[3]-∈； ③[0][1][2][3][4]Z =； ④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”． 其中，正确的结论是 ．三、简答题（本题共6小题，共56分．） 17．化简计算（1）2034281()2log 10log 25()272π--+-+；（2）已知0a >，11a a --=，求22441a a a a--+--的值．18．已知集合{}1|015,|22A x ax B x x ⎧⎫=<-=-<⎨⎬⎩⎭剟（1）若1a =，求A B ；（2）若A B =∅，求实数a 的取值集合．19．已知函数()x f x b a =（其中a ，b 为常量，且0a >，1)a ≠的图象经过点(1,6)A ，(3,24)B ． （1）求()f x ；（2）若不等式11()()0x x m a b+-…在(x ∈-∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．20．十一黄金小长假期间，某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用（人工费，消耗费用等等）．受市场调控，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍）．（1）设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？21．函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠，且满足对于任意1x ，2x D ∈，有1212()()()f x x f x f x =+．（1）求f （1）的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；（3）如果f （4）1=，(1)2f x -<，且()f x 在(0,)+∞上是增函数，求x 的取值范围．22．已知函数2()(0f x ax bx c a =++>，b R ∈，)c R ∈．（1）若函数()f x 的最小值是(1)0f -=，且1c =，(),0()(),0f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩，求F （2）(2)F +-的值；（2）若1a =，0c =，且1()1f x -剟在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围．2019-2020学年陕西省西安中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分．）1．函数y =( ) A ．{|02}x x << B ．{|01x x <<或12}x <<C ．{|02}x x <…D ．{|01x x <<或12}x <…【解答】解：2y -=∴2001x x x -⎧⎨>≠⎩且…，解得01x <<或12x <…所以函数y ={|01x x <<或12}x <… 故选：D ．2．已知 1.22a =，1()2b =0.8-，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【解答】解： 1.222a =>， 1()2b =0.80.81222-=<=，55log 4log 51c =<=， c b a ∴<<．故选：A ．3．下列四个图象中，是函数图象的是( )A ．（1）B ．（1）（3）（4）C ．（1）（2）（3）D ．（3）（4）【解答】解：根据函数的定义知：在y 是x 的函数中，x 确定一个值，Y 就随之确定一个值， 体现在图象上，图象与平行于y 轴的直线最多只能有一个交点， 对照选项，可知只有（2）不符合此条件． 故选：B ．4．已知2()f x ax bx =+是定义在[1a -，2]a 上的偶函数，那么a b +的值是( ) A ．13-B ．13C ．12-D ．12【解答】解：依题意得：()()f x f x -=，0b ∴=，又12a a -=-，13a ∴=， 13a b ∴+=． 故选：B ．5．已知幂函数223()(22)()nnf x n n x n Z -=+-∈的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上是减函数，则n 的值为( ) A ．3-B ．1C ．2D ．1或2【解答】解：幂函数223()(22)()n nf x n n x n Z -=+-∈的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上是减函数， ∴222221330n n n n n n ⎧+-=⎪-⎨⎪-<⎩是偶数， 解得1n =． 故选：B ．6．若函数2()41f x x x =-+在定义域A 上的值域为[3-，1]，则区间A 不可能为( ) A ．[0，4]B ．[2，4]C ．[1，4]D ．[3-，5]【解答】解：函数2()41f x x x =-+的图象是开口向上的抛物线，以2x =为对称轴， ∴函数在区间(,2)-∞上为减函数，[2，)+∞上为增函数．当[0x ∈，4]时，函数最小值为f （2）3=-，最大值为(0)f f =（4）1=，得函数值域为[3-，1]；当[2x ∈，4]时，函数最小值为f （2）3=-，最大值为f （4）1=，得函数值域为[3-，1]； 当[1x ∈，4]时，函数最小值为f （2）3=-，f （1）2f =-<（4）1=，∴最大值为f （4）1=，得函数值域为[3-，1]；当[3x ∈-，5]时，最小值f （2）3=-，最大值为(3)22f -=，得函数值域为[2-，22]． 根据以上的讨论可得区间A 不可能为[3-，5]． 故选：D ．7．根据有关资料显示，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8210，则下列各数中与MN最接近的是( )（参考数据：30.48)lg ≈ A ．3310B ．5310C ．9110D ．9310【解答】解：由题意：3613M ≈，8210N ≈， 根据对数性质有：30.4831010lg =≈，3610.483611733(10)10M ∴≈≈≈，∴1739182101010M N ≈=． 故选：C ．8．已知实数a ，b 满足等式20192020a b =，下列五个关系式：①0b a <<；②0a b <<；③0a b <<；④0b a <<；⑤a b =．其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：如图，画出函数2019x y =与2020x y =图象示意图，因为20192020a b =， 由图可知，共有三种情况：（1）0a b <<；（2）0b a <<；（3）0a b ==． 故①②⑤正确， 故选：B ．9．已知函数2log ,0()31,0x x x f x x ->⎧=⎨+⎩…，则31((1))(log )2f f f +的值是( )A ．5B ．3C ．1-D ．72【解答】解：f （1）2log 10==，(f f ∴（1）0)(0)312f -==+=，又3102log <，∴3312231()31312132log log f log -=+=+=+=，∴31((1))(log )2352f f f +=+=．故选：A ．10．已知x ，y ，z 都是大于1的正数，0m >，且log 24x m =，log 40y m =，log 12xyz m =，则log z m 的值为( ) A ．60 B ．160C ．2003D ．320【解答】解：log 24x m =，log 40y m =，log 12xyz m =，∴124x m log =，140ymlog =，112x y zm m m log log log =++． ∴112112440zm log =++，解得160zm log =． log 60z m ∴=．故选：A ．11．如图，ABD ∆是一直角边为1的直角等腰三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ AB ⊥，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设(02)AP x x =<<，图中阴影部分这平面图形APQ （或)APQD 的面积为y ，则函数()y f x =的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：当P 点在0A 之间时，21()(01)2f x x x =<…，当P 点在OB 之间时，设QOP θ∠=，111()[((1)sin )]2422f x x ππθθ=+---，其中1cos 1x θ=-， 由二次函数的性质可知，只有A 符合，故选：A ．12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若f （1）2=，则f （1）f +（2）f +（3）(99)(f +⋯+= ) A ．99-B ．2C ．0D ．99【解答】解：根据题意，()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，则()()f x f x -=-，且(0)0f =； 又由(1)(1)f x f x -=+即有(2)()f x f x +=-，则(2)()f x f x +=-， 进而得到(4)(2)()f x f x f x +=-+=，()f x 为周期为4的函数， 若f （1）2=，可得f （3）(1)f f =-=-（1）2=-， f （2）(0)0f ==，f （4）(0)0f ==，则f （1）f +（2）f +（3）f +（4）20200=+-+=，则f （1）f +（2）f +（3）(99)24[f f +⋯+=⨯（1）f +（2）f +（3）f +（4）]f +（1）f +（2）f +（3）f =（2）0=；故选：C ．二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．） 13．已知集合{1A =，3，{1B =，}m ，A B A =，则m = 0或3 ．【解答】解：AB A =，B A ∴⊆，3m ∴=或m =，解得：0m =或3． 故答案为：0或314．若函数(1)()(4)2(1)2x a x f x ax x ⎧>⎪=⎨-+⎪⎩…对于R 上的任意12x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是 [4，8) ．【解答】解：对于R 上的任意12x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-，则函数()f x 单调递增，函数(1)()(4)2(1)2x a x f x ax x ⎧>⎪=⎨-+⎪⎩…，∴1402422a a a a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪-+⎪⎩…，即184a a a >⎧⎪<⎨⎪⎩…， 48a ∴<…，故答案为：[4，8)．15．已知集合2{|320}A x ax x =-+=至多有一个元素，则a 的取值范围是 908a a =或… ．【解答】解：0a =时，2320ax x -+=即23x =，2{}3A =，符合要求； 0a ≠时，2320ax x -+=至多有一个解，△980a =-…，98a …综上，a 的取值范围为908a a =或…故答案为：908a a =或…16．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{5|}k n k n Z =+∈，0k =，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2014[4]∈； ②3[3]-∈； ③[0][1][2][3][4]Z =； ④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”． 其中，正确的结论是 ①③④ ．【解答】解：①201454024÷=⋯，2014[4]∴∈，故①正确； ②35(1)2-=⨯-+，3[3]∴-∉，故②错误；③因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故[0][1][2][3][4]Z =，故③正确；④整数a ，b 属于同一“类”， ∴整数a ，b 被5除的余数相同，从而a b -被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．故④正确． 故答案为：①③④三、简答题（本题共6小题，共56分．）17．化简计算（1）2034281()2log 10log 25()272π--+-+；（2）已知0a >，11a a --=，求22441a a a a --+--的值．【解答】解：（1）2034281()2log 10log 25()272π--+-+233222[()]10513log log -=+-+ 9114=++ 174=； （2）0a >，11a a --=， 2221a a -∴+-=，则223a a -+=，1a a -+==，2211()()a a a a a a ----=+-=∴22441a a a a --+-==-． 18．已知集合{}1|015,|22A x ax B x x ⎧⎫=<-=-<⎨⎬⎩⎭剟（1）若1a =，求A B ；（2）若AB =∅，求实数a 的取值集合．【解答】解：（1）若1a =，则{|16}A x x =<…，且1{|2}2B x x =-<…，∴1|62AB x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭…；（2）AB =∅，∴①当A =∅时，0a =满足条件；②当A ≠∅时，若0a >，16|A x x aa ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭…，则12a …，即102a <…；若0a <，61{|}A x x a a =<…，则112a -…，即20a -<…，综上所述，实数a 的取值集合为1{|2}2a a-剟． 19．已知函数()x f x b a =（其中a ，b 为常量，且0a >，1)a ≠的图象经过点(1,6)A ，(3,24)B ．（1）求()f x ；（2）若不等式11()()0x x m a b+-…在(x ∈-∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）把(1,6)A ，(3,24)B 代入()x f x b a =，得3624.abb a =⎧⎨=⎩ 结合0a >且1a ≠，解得：23.a b =⎧⎨=⎩()32x f x ∴=．（2）要使11()()23x x m +…在(-∞，1]上恒成立，只需保证函数11()()23x x y =+在(-∞，1]上的最小值不小于m 即可．函数11()()23x x y =+在(-∞，1]上为减函数，∴当1x =时，11()()23x x y =+有最小值．∴只需56m …即可． 20．十一黄金小长假期间，某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用（人工费，消耗费用等等）．受市场调控，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍）．（1）设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 【解答】解：（1）5010xy =-，(0160x 剟，x 是10的整倍数）． （2）21(50)(18020)3480001010x W x x x =-+-=-++， （3）2211348000(170)108901010W x x x =-++=--+， 0160x 剟，∴当160x =时，W 取得最大值10880，当160x =时，160503410y =-=，答：一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润是10880元．21．函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠，且满足对于任意1x ，2x D ∈，有1212()()()f x x f x f x =+．（1）求f （1）的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；（3）如果f （4）1=，(1)2f x -<，且()f x 在(0,)+∞上是增函数，求x 的取值范围． 【解答】解：（1）对于任意1x ，2x D ∈，有1212()()()f x x f x f x =+， ∴令121x x ==，得f （1）2f =（1），f ∴（1）0=． （2）()f x 为偶函数．证明：令121x x ==-，有f （1）(1)(1)f f =-+-，1(1)2f f ∴-=（1）0=． 令11x =-，2x x =有()(1)()f x f f x -=-+，()()f x f x ∴-=，()f x ∴为偶函数． （3）依题设有(44)f f ⨯=（4）f +（4）2=，由（2）知，()f x 是偶函数， (1)2(|1|)(16)f x f x f ∴-<⇔-<．又()f x 在(0,)+∞上是增函数，0|1|16x ∴<-<，解之得1517x -<<且1x ≠，x ∴的取值范围是{|1517x x -<<且1}x ≠．22．已知函数2()(0f x ax bx c a =++>，b R ∈，)c R ∈．（1）若函数()f x 的最小值是(1)0f -=，且1c =，(),0()(),0f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩，求F （2）(2)F +-的值；（2）若1a =，0c =，且1()1f x -剟在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 【解答】解：（1）由已知1c =，(1)0f a b c -=-+=，对称轴12ba-=-， ∴解得1a =，2b =，22()21(1)f x x x x ∴=++=+，22(1),0()(1),0x x F x x x ⎧+>∴=⎨-+<⎩，F ∴（2）22(2)(21)[(21)]8F +-=++--+=． （2）若1a =，0c =，则2()f x x bx =+， 211x bx ∴-+剟在区间(0，1]上恒成立，11x b x x x∴---剟在区间(0，1]上恒成立，而由对勾函数知1x x--在(0，1]单调递增，有最大值2-， 1x x-在(0，1]单调递减，有最小值0， 20b ∴-剟．故b 的取值范围是[2-，0]．。

西安中学2019-2020学年度第一学期期中考试高一数学试题一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分．)1.函数y =） A. {|02}x x <<B. {|01x x <<或12}x <<C.{|02}x x <≤D. {|01x x <<或12}x <≤【答案】D 【解析】200,1x y x x -≥⎧=∴⎨>≠⎩Q ，解得01x <<或12x <≤，∴函数y ={|01x x <<或}12x <≤，故选D.【方法点晴】本题主要考查函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.2.已知 1.22a =，0.81()2b -=，52log 2c =，则a, b, c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. c a b <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】A 【解析】【详解】试题分析：因为0.80.81()22b -==，所以由指数函数的性质可得0.8 1.2122b a <=<=，552log 2log 41c ==<，因此c b a <<,故选A.考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以0,1为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列.【此处有视频，请去附件查看】3.下列四个图象中，是函数图象的是( )A. (1)B. (1)(3)(4)C. (1)(2)(3)D. (3)(4) 【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据函数的定义，对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，所以(1)(2)不对．故选：B考点：函数的概念．4.已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是A.13- B.13C.12- D.12【答案】B【解析】【分析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a ﹣1=﹣2a，即可得解.【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f（x）是定义在[a–1，2a]上的偶函数，得a–1=–2a，解得a=13，又f（–x）=f（x），∴b=0，∴a+b=13．故选B ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数． 5.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n n x -(n ∈Z)的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1或－3【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数f （x ）＝（n 2+2n ﹣2）23nn x -（n ∈Z ）的图象关于y 轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，知222221330n n n n n n ⎧+-=⎪-⎨⎪-⎩是偶数＜，由此能求出n 的值．【详解】∵幂函数f （x ）＝（n 2+2n ﹣2）23n n x -（n ∈Z ）的图象关于y 轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，∴222221330n n n n n n ⎧+-=⎪-⎨⎪-⎩是偶数＜， 解得n ＝1． 故选：A ．【点睛】本题考查幂函数的性质及其应用，是基础题．熟记幂函数的性质是关键，是基础题． 6.若函数2()41f x x x =-+在定义域A 上的值域为[]3,1-,则区间A 不可能为( ) A. []0,4 B. []2,4C. []1,4D. []3,5-【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象得到函数在R 上的单调性是先减后增，再根据单调性分别求出选项中四个区间上的最大最小值，得到相应的值域，再与[﹣3，1]比较，即可得到正确选项．【详解】∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +1的图象是开口向上的抛物线，以x ＝2为对称轴， ∴函数在区间（﹣∞，2）上为减函数，[2，+∞）上为增函数．当x ∈[0，4]时，函数最小值为f （2）＝﹣3，最大值为f （0）＝f （4）＝1，得函数值域为[﹣3，1]；当x ∈[2，4]时，函数最小值为f （2）＝﹣3，最大值为f （4）＝1，得函数值域为[﹣3，1]； 当x ∈[1，4]时，函数最小值为f （2）＝﹣3，∵f （1）＝﹣2＜f （4）＝1，∴最大值为f （4）＝1，得函数值域为[﹣3，1]；当x ∈[﹣3，5]时，最小值f （2）＝﹣3，最大值为f （﹣3）＝22，得函数值域为[﹣2，22]． 根据以上的讨论可得区间A 不可能为[﹣3，5]． 故选：D ．【点睛】本题给出二次函数的值域，求可能的定义域，着重考查了二次函数的单调性和闭区间上值域的求法等知识，属于基础题．7.根据有关资料显示，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1082，则下列各数中与MN最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A. 1033 B. 1053C. 1091D. 1093【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的性质可得：3＝10lg 3≈100.48，代入M 将M 也化为10为底的指数形式，进而可得结果．【详解】由题意：M ≈3361，N ≈1082， 根据对数性质有：3＝10lg 3≈100.48， ∴M ≈3361≈（100.48）361≈10173，∴173821010M N ≈=1091． 故选：C ．【点睛】本题解题关键是将一个给定正数T 写成指数形式，考查指数形式与对数形式的互化，属于基础题．8.已知实数a ，b 满足等式2019a ＝2020b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b ．其中不可能成立的关系式有( ) A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】利用数形结合思想，先画出函数y ＝2019x 与y ＝2020x 的图象，找到使条件2019a ＝2020b 成立的a ，b 取值即可判断．【详解】如图，画出函数y ＝2019x 与y ＝2020x 图象示意图，因为2019a ＝2020b ， 由图可知，共有三种情况：（1）a ＜b ＜0；（2）0＜b ＜a ；（3）a ＝b ＝0． 故①②⑤正确， 故选：B ．【点睛】本题考查命题真假性的判断与应用，涉及到指数函数的图象与性质，采用数形结合思想解题是关键，属于基础题． 9.已知函数f (x )＝2log ,031,0xx x x ->⎧⎨+≤⎩则f (f (1))＋31(log )2f 的值是( )A. 5B. 3C. －1D.72【答案】A 【解析】 【分析】分别求出f (f (1))和31(log )2f 的值，即得解. 【详解】由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，31log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝31log 23-＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋31log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝5. 故选：A【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数和对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.10.已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m>0，且log x m ＝24，log y m ＝40，log xyz m ＝12，则log z m 的值为( ) A.160B. 60C.2003D.3200【答案】B 【解析】 【分析】先求出log m (xyz )＝log m x ＋log m y ＋log m z ＝112，再计算出log m z ，即得log z m 的值. 【详解】由已知得log m (xyz )＝log m x ＋log m y ＋log m z ＝112，而log m x ＝124，log m y ＝140，故log m z ＝112－log m x －log m y ＝111112244060--=，即log z m ＝60. 故答案为：B【点睛】本题主要考查对数的运算和换底公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11.如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图像是( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】分两段，当P 点在AO 之间时，当P 点在OB 之间时，再由二次函数的性质及增长趋势可知． 【详解】当P 点在AO 之间时，f （x ）12=x 2（0＜x ≤1），排除B,D 当P 点在OB 之间时，y 随x 的增大而增大且增加速度原来越慢，故只有A 正确 故选：A ．【点睛】本题主要考查了函数图像的识别的性质，考查分类讨论思想及排除法应用，属于基础题．12.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足f （1﹣x ）＝f （1+x ）．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(99)f f f f ++++=… ( ) A. 99- B. 2C. 0D. 99【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质分析可得f （0）＝0，进而求出函数的周期是4，结合f （x +2）＝﹣f （x ）可得f （1）+f （2）+f （3）+f （4）的值，结合函数的周期性分析可得答案． 【详解】根据题意，f （x ）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），且f （0）＝0；又由f （1﹣x ）＝f （1+x ）即有f （x +2）＝f （﹣x ），则f （x +2）＝﹣f （x ）， 进而得到f （x +4）＝﹣f （x +2）＝f （x ），f （x ）为周期为4的函数， 若f （1）＝2，可得f （3）＝f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣2， f （2）＝f （0）＝0，f （4）＝f （0）＝0， 则f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝2+0﹣2+0＝0，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （99）＝24×[f （1）+f （2）+f （3）+f （4）]+f （1）+f （2）+f （3）＝f （2）＝0； 故选：C ．【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用，关键是分析函数的周期，属于基础题．二、填空题 (本题共4小题，每小题4分，共16分．)13.已知集合{{}=,1,,,A B m A B A m =⋃==则_____________. 【答案】0或3 【解析】因为{}{}2131?,Am B m A B A ⋃=＝，，，＝，，所以3m =或2m m =，解得0m =或1m =（舍去），故填0或3．14.已知1()(4)212x a x f x ax x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩，，满足对任意x 1≠x 2，都有()()1212f x f x x x -->0成立，那么a 的取值范围是__________． 【答案】[4,8) 【解析】 【分析】由题意知函数在R 上单调增，结合分段函数，可得不等式组140262a a a a ⎧⎪⎪⎪-⎨⎪⎪≥-⎪⎩＞＞，即可求出a 的取值范围【详解】∵对任意x 1≠x 2，都有()()1212f x f x x x ＞--0成立，∴函数在R 上单调增，∴140262a a a a ⎧⎪⎪⎪-⎨⎪⎪≥-⎪⎩＞＞，解得4≤a ＜8．故答案为：[4,8)．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，注意临界位置x =1处满足的条件，属于中档题．15.已知集合2{|320}A x ax x =-+=至多有一个元素，则a 的取值范围_________. 【答案】908a a ≥=或. 【解析】∵集合A 中至多有一个元素，∴当0a =时，22{|320}3A x ax x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭，合题意；当0a ≠时，980a V =-≤ 解得98a ≥，总之9|?08a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭或，故答案为9|?08a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭或.【此处有视频，请去附件查看】16.在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k | n ∈Z}，k ＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 014∈[4]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确的结论是________．【答案】①③④【解析】【分析】对各个选项分别进行分析，利用类的定义直接求解．【详解】在①中，∵2014÷5＝402…4，∴2014∈[4]，故①正确；在②中，∵﹣3＝5×（﹣1）+2，∴﹣3∉[3]，故②错误；在③中，∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，∴Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；在④中，∵2015÷5＝403，2010÷5＝402，∴2015与2010属于同一个“类”[0]，故④正确．故答案为：①③④．【点睛】本题为同余的性质的考查，具有一定的创新，关键是对题中“类”的题解，属基础题．三、简答题(本题共6小题，共56分．)17.化简计算(1)234281()2log10log25() 272π--+-+；(2) 已知101a a a->-=，，求22441a aa a--+--的值．【答案】(1) 174；(2)【解析】【分析】（1）直接利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质化简求值；（2）由已知分别求出a2+a﹣2与a4﹣a﹣4的值，则答案可求．【详解】（1）20 34281()21025() 272log logπ--+-+233222[()]10513log log -=+-+ 9114=++ 174=； （2）∵a ＞0，a ﹣a ﹣1＝1，∴a 2+a ﹣2﹣2＝1，则a 2+a ﹣2＝3，1a a -+==a 2﹣a ﹣2＝（a +a ﹣1）（a ﹣a ﹣1）=a 4﹣a ﹣4=∴22441a a a a --+-==- 【点睛】本题考查有理指数幂的运算性质与对数的运算性质，考查平方关系的应用，是基础的计算题．18.已知集合{}1015,22A x ax B x x ⎧⎫=<-≤=-<≤⎨⎬⎩⎭ (1) 若1a =,求A B U ；(2) 若A B =∅I ,求实数a 的取值集合．【答案】（1）162A B x x ⎧⎫⋃=-<≤⎨⎬⎩⎭；（2）1{|2}2a a -≤≤ 【解析】【分析】（1）若a ＝1，则A ＝{x |1＜x ≤6}，由此能求出A ∪B ．（2）当A ＝∅时，a ＝0满足条件；当A ≠∅时，讨论a ＞0和0a <分别得集合A ,再利用A B =∅I 列不等式由此能求出实数a 的取值集合．【详解】（1）若1a =则{}16A x x =<≤,所以162A B x x ⎧⎫⋃=-<≤⎨⎬⎩⎭ （2）①当A φ=时0a =满足条件；②当A φ≠时, 0a >此时16A x x a a ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭由于A B =∅I ,则12a≥,即102a <≤；③当A φ≠时, 0a <此时61{|}A x x a a =≤<由于A B =∅I ,则112a ≤-，即20a -≤<． 综上所述,实数a 的取值集合为1{|2}2a a -≤≤ 【点睛】本题考查集合的运算，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意A φ=的讨论是易错题．19.已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )；(2)若不等式()x ＋()x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）f (x )＝3·2x .（2）(－∞，] 【解析】 【分析】（1）代入条件，解方程组得a,b ，即得结果，（2）分离变量转化为求对应函数最值问题，再根据指数函数单调性确定最小值取法，即得实数m 的取值范围.【详解】(1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x ，得 结合a >0且a ≠1，解得∴f (x )＝3·2x . (2)要使()x ＋()x ≥m 在(－∞，1]上恒成立， 只需保证函数y ＝()x ＋()x 在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可． ∵函数y ＝()x ＋()x 在(－∞，1]上为减函数，∴当x ＝1时，y ＝()x ＋()x 有最小值.∴只需m ≤即可．∴m 的取值范围(－∞，] 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.20.十一黄金小长假期间，某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。

陕西省西安电子科技大学附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.直线√3x+y=1的倾斜角是()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π62.已知空间直角坐标系中A(2,−1,−2)，B(3,2，1)，则|AB|=(()A. √7B. √19C. √11D. √33.已知直线x+y=0与圆(x−1)2+(y−b)2=2相切，则b的值为()A. −3B. 1C. −3或1D. 24.已知α，β是两个不同的平面，且直线m，n满足m//α，n⊥β，则以下结论成立的是()A. 若α⊥β，则m⊥nB. 若m⊥n，则α⊥βC. 若α⊥β，则m//nD. 若m//n，则α⊥β5.某几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积是()A. 23B. 43C. 4D. 2√536.若A(−1,−1)，B(1,3)，C(x,5)三点共线，则x=()A. −2B. 2C. 4D. −47.圆(x+1)2+(y+2)2=8上与直线x+y+1=0的距离等于√2的点共有()A. 3个B. 2个C. 1个D. 4个8.已知直线l1：3x+4y+1=0与直线l2：4x−3y+2=0，则直线l1与直线l2的位置关系是()A. 平行B. 垂直C. 重合D. 无法确定9.若直线(a+1)x+2y=2与直线x+ay=1互相平行，则实数a的值等于()A. −1B. 0C. 1D. −210.圆(x−1)2+(y−1)2=1上的点到直线x−y=2的距离的最小值是()A. 2B. √2−1C. √2+1D. 1+2√211.正四棱锥P−ABCD的底面边长是2，侧棱长是√6，且它的五个顶点都在同一个球面上，则此球的半径是()D. 3A. 1B. 2C. 3212.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M1N分别是BC1,CD1的中点，则下列判断错误的是()A. MN⊥CC1B.C. D. MN//A1B1二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.过两直线3x+y−5=0，2x−3y+4=0的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______ ．14.如图所示，三棱锥M，PA⊥底面ABC，∠ABC=90°，则此三棱锥P−ABC中直角三角形有______ 个．15.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，若AB=BC=1，AA1=√2，则点A到平面A1BD1的距离为_______ ．16.若直线y=x+b与曲线y=1+√1−x2有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共56.0分）17.已知点O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，P是△OAB的内切圆上的一动点，设u=|PO|2+|PA|2+|PB|2，求u的最大值及相应的P点坐标．18.如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，BE=BC，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE．(1)求证：AE⊥BE；(2)求证：AE//平面BFD．19.求解直线与圆的位置关系：(1)判断直线2x−y−1=0与圆x2+y2−2y−1=0的位置关系；(2)过点(−3,−3)的直线l被圆x2+y2+4y−21=0截得的弦长为4√5，求直线l方程．20.如图，已知四边形ABCD，ADEF均为平行四边形，DE=BC=2，BD⊥CD，DE⊥平面ABCD．(Ⅰ)求证：平面FAB⊥平面ABCD；(Ⅱ)求四棱锥F−ABCD的体积的最大值．21.17.已知圆C的圆心为(3,1)，且圆C与直线y=x相切．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线l:x−y+a=0(a≠0)交于A、B两点，且|AB|=2，求a的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查直线的倾斜角与斜率，属基础题．由直线方程得到斜率k=−√3，进而求出倾斜角．解：直线√3x+y=1化为y=−√3x+1，其斜率k=−√3，设直线√3x+y=1倾斜角为θ，又即θ=2π，3故选C．2.答案：B解析：本题考查两点间距离的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用两点间距离公式直接求解．解：∵空间直角坐标系中A(2,−1,−2)，B(3,2，1)，∴|AB|=√(2−3)2+(−1−2)2+(−2−1)2=√19．故选：B．3.答案：C解析：本题主要考查的是直线与圆的位置关系，属于基础题．结合圆心到直线的距离等于半径求解即可．解：因为直线x+y=0与圆(x−1)2+(y−b)2=2相切，=√2，解得b=1或b=−3，所以√2故选C．4.答案：D解析：本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，属于基础题．根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可得到答案．选项A，m，n可能平行；选项B，α,β可能平行；选项C，m，n可能相交；对于D选项，∵m//n，n⊥β，∴m⊥β，又m//α，∴α⊥β．故选D．5.答案：B解析：解：根据三视图知，该几何体是底面为平行四边形的四棱锥P−ABCD，如图所示；则该四棱锥的高为2，底面积为1×2=2，所以该四棱锥的体积是V=13×2×2=43．故选：B．根据三视图知该几何体是底面为平行四边形的四棱锥，结合图中数据求出该几何体的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．6.答案：B解析：本题考查向量坐标的求法、考查向量共线的坐标形式的充要条件，属基础题．三点共线等价于以三点为起点终点的两个向量共线，利用向量坐标公式求出两个向量的坐标，利用向量共线的充要条件列出方程求出x ．解：三点A(−1,−1)，B(1,3)，C(x,5)共线⇒AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由题意可得：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,2)， 所以2×2=4(x −1)，解得x =2．故选B ．7.答案：A解析：本题考查的重点是直线与圆的位置关系，解题的关键是求出圆心到直线x +y +1=0的距离． 先确定圆的圆心坐标与半径，再求出圆心到直线x +y +1=0的距离，从而可得结论．解：由题意，圆心坐标为(−1,−2)，半径为2√2，∴圆心到直线x +y +1=0的距离为d =|−1−2+1|√2=√2，∴圆(x +1)2+(y +2)2=8上与直线x +y +1=0相交，且圆(x +1)2+(y +2)2=8上与直线x +y +1=0的距离等于√2的点共有3个故选A ．8.答案：B解析：解：直线l 1：3x +4y +1=0的斜率为：−34，直线l 2：4x −3y +2=0的斜率为：43， 显然有−34×43=−1，直线l 1与直线l 2的位置关系是垂直．故选：B ．求出直线的斜率，判断两条直线的位置关系．本题考查直线的垂直条件的应用，考查计算能力． 9.答案：D解析：解：∵直线(a +1)x +2y =2与直线x +ay =1互相平行，∴a(a +1)−2=0，即a 2+a −2=0；解得a =1或a =−2；当a =1时，两直线重合，所以实数a 的值等于−2．故选：D ．根据两直线平行时方程的系数关系，列出方程求出a 的值．本题考查了两直线平行时直线方程系数关系的应用问题，是基础题目．10.答案：B解析：本题主要考查直线与圆的位置关系，考查圆上的点到直线的距离问题，先求出圆心到直线的距离，最小值时，再减去半径，求得圆心(1,1)到直线x −y =2的距离，最小值则在此基础上减去半径长即可．解：圆(x −1)2+(y −1)2=1，圆心为(1,1)，半径为1，圆心(1,1)到直线x −y =2的距离d =√2，则所求距离最大为√2−1．故选B ．11.答案：C解析：解：如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，∵正四棱锥P−ABCD中AB=2，PA=√6，AB=√2，可得PO′═2，OO′=PO′−PO=2−R．∴AO′=√22∵在Rt△AOO′中，AO2=AO′2+OO′2，∴R2=(√2)2+(2−R)2，解之得R=3，2故选：C．设球半径为R，底面中心为O′且球心为O.正四棱锥P−ABCD中根据AB=2且PA=√6，算出AO′=√2、PO′=2、OO′=2−R，在Rt△AOO′中利用勾股定理建立关于R的等式，解出R=3．2本题给出正四棱锥的形状，求它的外接球的半径，着重考查了正棱锥的性质、多面体的外接球、勾股定理等知识，属于中档题．12.答案：D解析：本题主要考查线面平行与垂直的判定定理，属于基础题．利用线面平行与垂直的判定定理进行求解，即可得出结论．解：如图，连接DC1，因为四边形DD1C1C是正方形，且N是CD1的中点，所以所以N是DC1的中点，又因为M是BC1的中点，所以MN//BD，又因为AB//A1B1，且AB与BD相交，所以MN与A1B1不平行，所以D错误，故选D．13.答案：2x−y=0或x+y−3=0解析：本题考查了直线的截距式方程，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题，也是易错题．求出直线3x+y−5=0与2x−3y+4=0的交点，分直线过原点和不过原点两种情况讨论即可得解．解：直线3x+y−5=0与2x−3y+4=0的交点为(1,2)．当直线过原点时，直线的斜率k=2，直线方程为y=2x，即2x−y=0；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，代入点(1,2)得：1+2=a，即a=3，∴直线方程为：x+y−3=0．∴过两直线3x+y−5=0，2x−3y+4=0的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为2x−y= 0或x+y−3=0．故答案为：2x−y=0或x+y−3=0．14.答案：4解析：解：由已知PA⊥底面ABC，∠ABC=90°，所以CB⊥PA，CB⊥AB，又PA∩AB=A，所以CB⊥平面PAB，所以CB⊥PB，所以此三棱锥P−ABC中直角三角形有△ABC，△ABP，△ACP，△PBC共有4个．故答案为：4．由已知，得到直角三角形ABC，ABP，ACP，只要再判断三角形PBC的现状即可．本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的运用，关键是熟练线面垂直的判定定理和性质定理，属于基础题．15.答案：√63解析：本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A 到平面A 1BD 1距离．解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，A(1,0，0)，A 1(1,0，√2)，B(1,1，0)，D 1(0,0，√2)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,√2)，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,√2)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,0)，设平面A 1BD 1的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−y +√2z =0n ⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −y +√2z =0， 取z =1，得n ⃗ =(0,√2,1)，∴点A 到平面A 1BD 1距离：d =|n ⃗⃗ ⋅BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√2√3=√63． 故答案为：√63． 16.答案：[2,1+√2)解析：解：曲线y =1+√1−x 2即x 2+(y −1)2=1 (y ≥1)，表示以C(0,1)为圆心、半径等于1的半圆，如图所示：当直线y =x +b 过点(0,2)时，可得b =2，满足直线y =x +b与曲线y=1+√1−x2有两个不同的公共点．当直线y=x+b和半圆相切时，由1=√1+1解得b=1+√2，或b=1−√2(舍去)，故直线y=x+b与曲线y=1+√1−x2有两个不同的公共点时，实数b的取值范围为[2,1+√2)，故答案为[2,1+√2).曲线表示以C(0,1)为圆心、半径等于1的半圆，当直线y=x+b过点(0,2)时，可得b=2，满足条件．当直线y=x+b和半圆相切时，由1=√1+1解得b=1+√2，数形结合可得实数b的取值范围．本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．17.答案：解：方法一：设△OAB内切圆的圆心为(a,a)∵0(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，∴|OA|=3，|OB|=4，|AB|=5，由等面积可得12×3×4=12(3+4+5)a，解得a=1∴△OAB内切圆的圆心为(1,1)，半径为1，∴△OAB内切圆方程为(x−1)2+(y−1)2=1；设P(1+cosθ,1+sinθ)，则u=(1+cosθ)2+(1+sinθ)2+(1+cosθ−3)2+(1+sinθ)2+(1+cosθ)2+(1+sinθ−4)2…(6分)即u=20−2sinθ，θ∈R…(8分)故当且仅当sinθ=−1时，u max=22…(10分)∴u max=22，相应的点为P(1,0)…(12分)方法二：设△OAB内切圆的圆心为(a,a)∵0(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，∴|OA|=3，|OB|=4，|AB|=5，由等面积可得12×3×4=12(3+4+5)a，解得a=1∴△OAB内切圆的圆心为(1,1)，半径为1，∴△OAB内切圆方程为(x−1)2+(y−1)2=1；∵点P是△ABO内切圆上一点，设P(x,y)则(x−1)2+(y−1)2=1，∴x2+y2−2x−2y+1=0，∴3x2+3y2−6x−6y+3=0，∴u=|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x−3)2+y2+x2+(y−4)2+x2+y2，=3x2+3y2−6x−8y+25=3x2+3y2−6x−6y+3−2y+22=−2y+22∴|PA|2+|PB|2+|PC|2=−2y+22，(0≤y≤2)，∴y=0时上式取最大值22，解析：方法一：利用三角形的面积相等，求得圆心与半径，即可求得圆方程，设P(1+cosθ,1+sinθ)，由正弦函数的性质即可求得u的最大值及相应的P点坐标．方法二：由题意可得内切圆的方程为(x−1)2+(y−1)2=1，可得3x2+3y2−6x−6y+3=0，整体代入|PA|2+|PB|2+|PO|2=−2y+22，由函数的思想可得最值．本题考查三角形内切圆的求法，圆的参数方程，两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．18.答案：证明：(1)∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD⊥AB，∴AD⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE，∴AD⊥AE.∵AD//BC，则BC⊥AE.又BF⊥平面ACE，则BF⊥AE.∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE.(2)设AC∩BD=G，连接FG，易知G是AC的中点，∵BF⊥平面ACE，则BF⊥CE.而BC=BE，∴F是EC中点．在ΔACE中，FG//AE，∵AE不在平面BFD内，FG⊂平面BFD，∴AE//平面BFD.解析：本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行的判定，线面垂直、面面垂直的性质考查学生的空间想象能力、运算能力和推理论证能力．(1)利用平面与平面垂直的性质证明AD⊥平面ABE，再利用直线与平面垂直的判定定理证明AE⊥平面BCE，即可得证；(2)利用线面平行的判定定理证明，利用F是EC中点，G是AC的中点，所以FG//AE，即可．19.答案：解：(1)将圆的方程x2+y2−2y−1=0化简：x2+(y−1)2=2可得圆心为(0,1)，半径为√2，则圆心到直线2x−y−1=0的距离为√4+1=5<√2，∴直线2x−y−1=0与圆x2+y2−2y−1=0相交；(2)圆方程x2+y2+4y−21=0，即x2+(y+2)2=25，圆心坐标为(0,−2)，半径r=5．因为直线l被圆所截得的弦长是4√5，所以弦心距为√5，因为直线l过点M(−3,−3)，所以可设所求直线l的方程为y+3=k(x+3)，即kx−y+3k−3=0．依设得√k2+1=√5，∴k=−12或2．故所求直线有两条，它们分别为y+3=−12(x+3)或y+3=2(x+3)，即x+2y+9=0，或2x−y+3=0．解析：本题考查直线与圆的位置关系，注意点到直线距离公式的灵活应用．(1)由圆的方程可得圆心和半径，由点到直线的距离公式，求出圆心到直线2x−y−1=0的距离，即可得出结论；(2)把圆的方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，求出弦心距的值，设出直线l的方程，由弦心距的值求出直线的斜率，即得直线l的方程．20.答案：(Ⅰ)证明：∵四边形ADEF是平行四边形，∴DE//AF．∵DE⊥平面ABCD，∴AF⊥平面ABCD，∵AF⊂平面FAB，∴平面FAB⊥平面ABCD．(Ⅱ)解：∵CD⊥BD，BC=2，∴CD2+BD2=4，∴CD⋅BD≤CD2+BD22=2，当且仅当BD=CD=√2时，等号成立．∴S平行四边形ABCD=CD⋅BD≤2，≤13×2×2=43．即四棱锥F−ABCD的体积的最大值为43．解析：本题考查面面垂直的判定，棱锥的体积计算，基本不等式的应用，属于中档题．(Ⅰ)根据平行四边形的性质得出DE//AF，AF⊥平面ABCD，于是平面FAB⊥平面ABCD；(Ⅱ)利用基本不等式得出CD⋅BD的最大值，即平行四边形ABCD的最大值，代入棱锥的体积公式得出体积的最大值．21.答案：解：(1)由题意可知，半径r=√2=√2，则圆的方程为(x−3)2+(y−1)2=2；=√2−1，(2)圆心到直线的距离d=√2解得a=−2±√2．解析：本题考查直线和圆的位置关系．(1)根据圆心到直线的距离等于半径建立关于a的方程，求出a值．(２)根据AB，借助弦长公式可求得圆心到直线的距离，从而利用点到直线的距离公式建立关于a的方程，求出a值．。

西安中学期中考试 高一数学试题一、选择题：（本题共10小题，每题6分，共60分） 1．下列表述正确的是（ ）．A ．{}0∅=B ．{}0∅⊆C ．{}0∅⊇D ．{}0∅∈【答案】B【解析】因为空集是非空集合的子集，所以B 正确． 故选B ．2．若全集{}0,1,2,3U =且{}2UA =，则集合A 的真子集共有（ ）．A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个【答案】C【解析】∵{}0,1,2,3U =且{}2UA =，∴{}0,1,3A =，∴集合A 的真子集共有3217-=． 故选C ．3．将二次函数23y x =的图像先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的函数图像的解析式为（ ）．A ．23(2)1y x =++B ．23(2)3y x =-+C ．23(2)1y x =+-D ．23(2)1y x =--【答案】D【解析】由“左加右减”的原则可知，将二次函数23y x =的图像先向右平移2个单位所得函数的解析式为：23(2)y x =-；由“上加下减”的原则可知，将二次函数23(2)y x =-的图像向下平移1个单位所得函数的解析式为：23(2)1y x =--．4．若函数()y f x =是函数x y a =（0a >，且1a ≠）的反函数，且(2)1f =，则()f x =（ ）．A ．2log xB ．12xC ．12log xD ．22x -【答案】A【解析】函数x y a =（0a >，且1a ≠）的反函数是()log a f x x =， 又(2)1f =，即log 21a =， 所以，2a =， 故2()log f x x =． 故选A ．5．已知函数0()(2)f x x =+-，则()f x 的定义域为（ ）．A ．{}|1x x ≠B ．{|1x x ≥或}2x ≠C ．{|1x x >且}2x ≠D ．{}|2x x ≠【答案】C【解析】由题意得：1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得：1x >且2x ≠，故函数的定义域是{|1x x >且}2x ≠． 故选C ．6．如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ）．A ．3a -≤B ．3a -≥C ．3a =-D ．以上选项均不对【答案】A【解析】∵二次函数2()2(1)2f x x a x =+-+的对称轴为2(1)12a x a -=-=-，且抛物线开口向上， ∴函数2()2(1)2f x x a x =+-+的单调递减区间为(],1a -∞-， ∵函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减， ∴14a -≥，解得：3a -≤． 即实数a 的取值范围是3a -≤， 综上所述．故选A ．7．方程3log 280x x +-=的解所在区间是（ ）．A ．(5,6)B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(1,2)【答案】B【解析】∵3()log 82f x x x =-+，∴3(1)log 18260f =-+=-<，3(2)log 2840f =-+<，3(3)log 38610f =-+=-<，3(4)log 40f =>， ∴(3)(4)0f f ⋅<，∵函数3()log 82f x x x =-+的图象是连续的， ∴函数()f x 的零点所在的区间是(3,4)． 故选B ．8．已知0a >，且1a ≠，函数x y a =与log ()a y x =-的图像只能是图中的（ ）．A．B ．C．D．【答案】B【解析】已知1a >，故函数x y a =是增函数，而函数log ()a y x =-的定义域为(,0)-∞，且在定义域内为减函数． 故选B ．9．若2log ,0,()4,0,xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩≤则12f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）．A ．1B ．1-C ．12D ．12-【答案】B 【解析】10．函数212log (617)y x x =-+的值域是（ ）．A ．RB ．[)8,+∞C ．(],3-∞-D ．[)3,+∞【答案】C【解析】∵22617(3)88t x x x =-+=-+≥， ∴内层函数的值域变[)8,+∞， 12log y t=在[)8,+∞是减函数，故12log 83y =-≤，∴函数212log (617)y x x =-+的值域是(],3-∞-，综上所述． 故选C ．二、填空题：（本题共4个小题，每题5分，共20分，直接将答案填写在指定位置） 11．已知{}0,2,M b =，{}20,2,N b =，且M N =，则实数b 的值为__________． 【答案】1【解析】已知{}0,2,M b =，{}0,2,N b =，且M N =，求实数b 的值． 2b b =或1，但0b =不合题意．1b =．12．若函数2(1)m y m m x =--是幂函数，且是偶函数，则m =__________． 【答案】2【解析】∵函数是幂函数， ∴211m m --=，即220m m --=， 则1m =-或2m =，当1m =时，y x =是奇函数，不满足条件． 当2m =时，2y x =是偶函数，满足条件． 即2m =．13．若0.52a =，log 3x b =，2log 0.3c =，则它们由大到小的顺序为__________． 【答案】a b c >>【解析】因为0.50221a =>=，πππ0log 1log 3log π1b =<=<=， 22log 0.3log 0.30c =<=， 即1a >，01b <<，0c <， 所以由大到小的顺序为a b c >>．14．已知(0)1f =，()(1)f x xf x =-，则(4)f =__________． 【答案】24【解析】由()(1)f n nf n =-，(0)1f =，可得(1)(0)1f f ==， (2)2(1)2f f ==，(3)3(2)6f f ==，(4)4(3)24f f ==．综上所述，答案为24．三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷中相应位置作答）15．（本题10分）计算（1）11221233112534316-⎡⎤⎛⎫⎢⎥++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．（2）5log 3333322log 2log log 859-+-． 【答案】（1）6．（2）1-．【解析】（1）原式11212433233527⎛⎫-⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦12(2547)=++6=．（2）原式233332log 2log log 839=-+- 324893log 3÷⨯=-93log 3=-23=-1=-．16．（本题10分）设集合{}|16A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =-+≤≤，已知A B B =，求实数m 的取值范围． 【答案】见解析．【解析】当B =∅时，2112m m m +<-⇒<-，此时B A ⊆； 当B ≠∅时，B A ⊆，则12151102216m m m m m -+⎧⎪--⇒⎨⎪+⎩≤≥≤≤≤．17．（本题12分）已知函数2()22f x x ax =++．[5,5]x ∈-． （1）求函数()f x 在[5,5]-上的最大值()g a ． （2）求()g a 的最小值． 【答案】见解析．【解析】（1）函数22()()2y f x x a a ==++-的图像的对称轴为x a =-，①当5a --≤，即5a ≥时函数在区间[5,5]-上是增加的， 所以max ()(5)2710f x f a ==+．②当50a -<-≤，即05a <≤时，函数图像如图所示，由图像可得max ()(5)2710f x f a ==+．③当05a <-≤，即50a -<≤时，函数图像如图所示，由图像可得max ()(5)2710f x f a =-=-．④当5a -≥，即5a -≤时，函数在区间[5,5]-上是减少的， 所以max ()(5)2710f x f a =-=-； max 27100()()27100a a f x g a a a -<⎧==⎨+⎩≥．（2）27．18．（本题12分）现有某种细胞100个，每小时分裂1次，每次细胞分裂时，占总数12的细胞由1个细胞分裂成2个细胞，另外12不分裂．按这种规律发展下去，最少经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（以整数个小时作答，参考数据：lg30.477=，lg 20.301=）【答案】见解析．【解析】现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为1131001002100222⨯+⨯⨯=⨯，2小时后，细胞总数为13139100100210022224⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯，3小时后，细胞总数为191927100100210024248⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯，4小时后，细胞总数为127127811001002100282816⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯，可见，细胞总数y 与时间x （小时）之间的函数关系为：31002xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，x ∈N *，由103100102x ⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，得83102x⎛⎫> ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数，得3lg 82x >，∴8lg3lg 2x >-，∵8845lg3lg 20.4770.301=--≈， ∴45.45x >．答：经过46小时，细胞总数超过1010个．19．（本题12分）已知()f x 为二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-． （1）求()f x 解析式． （2）判断函数()()f x g x x=在(0,)+∞上的单调性，并证之． 【答案】见解析．【解析】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由条件得：222(1)(1)(1)(1)24a x b x c a x b x c x x +++++-+-+=-， 从而2224220a b a c =⎧⎪=-⎨⎪+=⎩，解得：121a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以2()21f x x x =--． （2）函数()()f x g x x=在(0,)+∞上单调递增， 理由如下：()1()2f x g x x x x==--， 设任意1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， 则1212121221111()()22()1g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-----=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， ∴120x x -<，12110x x +>， ∴12()()0g x g x -<， 即12()()g x g x <， 所以函数()()f x g x x=在(0,)+∞上单调递增．20．（本题14分）已知函数()22x x f x -=+． （1）求方程()2f x =的根． （2）若()3f x =，求(2)f x ．（3）若对任意x ∈R ，不等式(2)()6f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值． 【答案】见解析．【解析】（1）方程()2f x =，即222x x -+=，亦即2(2)2210x x -⨯+=， 所以2(21)0x -=，于是21x =，解得0x =． （2）2222(2)22(22)2327x x x x f x --=+=+-=-=．（3）由条件知2222(2)22(22)2(())2x x x x f x f x --=+=+-=-．因为(2)()6f x mf x -≥对于x ∈R 恒成立，且()0f x >， 所以2(())44()()()f x m f x f x f x +=+≤对于x ∈R 恒成立．令4()()()g x f x f x =+， 所以4m ≤，故实数m 的最大值为4．。

2019-2020学年陕西省西安电子科技大学附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分）1. 已知全集U={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，集合A={0, 1, 3, 5, 8}，集合B={2, 4, 5, 6, 8}，则(∁U A)∩(∁U B)=()A.{5, 8}B.{7, 9}C.{0, 1, 3}D.{2, 4, 6}【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】由题已知全集U={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，集合A={0, 1, 3, 5, 8}，集合B={2, 4, 5, 6, 8}，可先求出两集合A，B的补集，再由交的运算求出(∁U A)∩(∁U B)【解答】解：由题意知，全集U={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，集合A={0, 1, 3, 5, 8}，集合B={2, 4, 5, 6, 8}，所以∁U A={2, 4, 6, 7, 9}，∁U B={0, 1, 3, 7, 9}，所以(∁U A)∩(∁U B)={7, 9}.故选B.2. 已知A＝{1, 2, 3, 4}，B＝{a+1, 2a}，若A∩B＝{4}，则a＝（）A.3B.2C.3或2D.3或1【答案】A【考点】交集及其运算【解析】由元素与集合的关系及交集的运算，逐一讨论当a+1＝4，当2a＝4即可．【解答】因为A∩B＝{4}，①当a+1＝4时，a＝3，则B={4,6}，又A＝{1, 2, 3, 4}，故A∩B={4}，满足题意，②当2a＝4时，a＝2，则B={3,4}，又A＝{1, 2, 3, 4}，故A∩B={3,4}，不满足题意，综合①②得：a＝3，3. 函数f(x)=lg(x+1)的定义域为（）x−1A.(−1, +∞)B.[−1, +∞)C.(−1, 1)∪(1, +∞)D.[−1, 1)∪(1, +∞)【答案】C【考点】函数的定义域及其求法 【解析】依题意可知要使函数有意义需要x +1>0且x −1≠0，进而可求得x 的范围． 【解答】要使函数有意义需{x +1>0x −1≠0 ， 解得x >−1且x ≠(1) ∴ 函数f(x)=lg(x+1)x−1的定义域是(−1, 1)∪(1, +∞)．故选：C ．4. 已知函数f(x)为奇函数，且当x >0时，f(x)=x 2+1x ，则f(−1)=( ) A.−2 B.0 C.1 D.2【答案】 A【考点】 函数的求值 【解析】利用奇函数的性质，f(−1)=−f(1)，即可求得答案． 【解答】解：∵ 函数f(x)为奇函数，x >0时，f(x)=x 2+1x ，∴ f(−1)=−f(1)=−2. 故选A ．5. 已知集合A ={x|x 2−2x >0}，B ={x|−√5<x <√5}，则( ) A.A ∩B =⌀ B.A ∪B =R C.B ⊆A D.A ⊆B 【答案】 B【考点】一元二次不等式的解法 交集及其运算 并集及其运算集合的包含关系判断及应用 【解析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A ，再根据的定义求出A ∩B 和A ∪B ． 【解答】解：∵ 集合A ={x|x 2−2x >0}={x|x >2或x <0}， ∴ A ∩B ={x|2<x <√5或−√5<x <0}，A ∪B =R . 故选B ．6. 设f(x)={1,x >0,0,x =0,−1,x <0,g(x)={1,x 为有理数0,x 为无理数 ，则f （g(π)）的值为（ ）A.1B.0C.−1D.π【答案】 B【考点】 函数的求值 【解析】根据π是无理数可求出g(π)的值，然后根据分段函数f(x)的解析式可求出f （g(π)）的值． 【解答】解：∵ π是无理数， ∴ g(π)=0，则f （g(π)）=f(0)=0 故选B ．7. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A.y ＝x +1B.y ＝−x 3C.y =1xD.y ＝x|x| 【答案】 D【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】根据函数的单调性和奇偶性，对各个选项中的函数逐一做出判断，从而得出结论． 【解答】由于函数y ＝x +1是非奇非偶函数，故排除A ；由于y ＝−x 3是奇函数，且在R 上是减函数，故排除B ； 由于y =1x 在(−∞, 0)∪(0, +∞)上不具有单调性，故排除C ； A ，B ，C 都不对，对于D ，y ={−x 2,x <0x 2,x ≥0 ，故函数在R 递增且为奇函数；8. 已知函数f(x)={2x ,x >0,x +1,x ≤0.若f(a)+f(1)=0，则实数a 的值等于( )A.−3B.−1C.1D.3 【答案】 A【考点】分段函数的应用 【解析】由分段函数f(x)={2x ,x0x +1,x ≤0 ，我们易求出f(1)的值，进而将式子f(a)+f(1)＝0转化为一个关于a 的方程，结合指数的函数的值域，及分段函数的解析式，解方程即可得到实数a 的值． 【解答】∵ f(x)={2x ,x >0,x +1,x ≤0,∴ f(1)=2.若f(a)+f(1)=0， ∴ f(a)=−2. ∵ 2x >0，∴ x +1=−2， 解得x =−3. 故选A ．9. 已知a ＝21.2，b ＝(12) −0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.c <b <a B.c <a <bC.b <a <cD.b <c <a【答案】 A【考点】对数值大小的比较 【解析】利用指数函数、对数函数的性质求解． 【解答】∵ a ＝21.2>2，b ＝(12) −0.8＝20.8<21＝2，c ＝log 54<log 55＝1， ∴ c <b <a ．10. 已知函数f(x)={(a −2)x,x ≥2(12)x −1,x <2 满足对任意的实数x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x2<0成立，则实数a 的取值范围为（ ）A.(−∞, 2)B.(−∞, 138]C.(−∞, 2]D.[138, 2)【答案】 B【考点】分段函数的应用 【解析】由已知可得函数f(x)在R 上为减函数，则分段函数的每一段均为减函数，且在分界点左段函数不小于右段函数的值，进而得到实数a 的取值范围． 【解答】若对任意的实数x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，则函数f(x)在R 上为减函数，∵ 函数f(x)={(a −2)x,x ≥2(12)x −1,x <2 ，故{a −2<02(a −2)≤(12)2−1 ，解得：a ∈(−∞, 138]，11. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0, +∞)上单调递增，若实数a 满足f(log 2a)+f(log 12a)≤2f(1)，则a 的取值范围是（ ）A.[12,2] B.[1, 2]C.(0,12)D.(0, 2]【答案】A【考点】函数奇偶性的性质函数的单调性及单调区间【解析】由偶函数的性质将f(log2a)+f(log12a)≤2f(1)化为：f(log2a)≤f(1)，再由f(x)的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围．【解答】解：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(log12a)=f(−log2a)=f(log2a)，则f(log2a)+f(log12a)≤2f(1)为：f(log2a)≤f(1)，因为函数f(x)在区间[0, +∞)上单调递增，所以|log2a|≤1，解得12≤a≤2，则a的取值范围是[12, 2].故选A．12. 若不等式(x−1)2<log a x(a>0，且a≠1)在x∈(1, 2)内恒成立，则实数a的取值范围为（）A.(1, 2]B.(√22, 1) C.(1, √2) D.(√2, 2)【答案】A【考点】函数恒成立问题【解析】由已知得当x∈(1, 2)时，y＝(x−1)2∈(0, 1)，由不等式(x−1)2<log a x恒成立，得a>1且1≤log a2，由此能求出实数a的取值范围．【解答】∵函数y＝(x−1)2在区间(1, 2)上单调递增，∴当x∈(1, 2)时，y＝(x−1)2∈(0, 1)，若不等式(x−1)2<log a x恒成立，则a>1且1≤log a2解得a∈(1, 2]，二、填空题（每小题4分，共16分）函数y=log12(x2−3x+2)的单调增区间为________．【答案】(−∞, 1)【考点】复合函数的单调性【解析】求出原函数的定义域，求出内函数的减区间，则原复合函数的增区间可求．【解答】由x 2−3x +2>0，得x <1或x >2．∴ 函数y =log 12(x 2−3x +2)的定义域为(−∞, 1)∪(2, +∞)．当x ∈(−∞, 1)时，内函数为减函数， 当x ∈(2, +∞)时，内函数为增函数， 而外函数log 12t 为减函数， ∴ 函数y =log 12(x 2−3x +2)的单调递增区间为(−∞, 1)．若2a =5b =10，则1a +1b =________． 【答案】 1【考点】对数的运算性质 【解析】首先分析题目已知2a =5b =10，求1a +1b 的值，故考虑到把a 和b 用对数的形式表达出来代入1a +1b ，再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得，即可得到答案． 【解答】解：因为2a =5b =10， 故a =log 210，b =log 5101a+1b =log 102+log 105=log 1010=1. 故答案为：1．已知函数f(x)={(12)x x ≥4f(x +1)x <4，则f(2+log 23)的值为________．【答案】 124【考点】函数的求值 求函数的值 【解析】因为所给函数为分段函数，要求函数值，只要判断2+log 23在哪个范围即可，代入解析式后，用指对数的运算律进行化简． 【解答】∵ 2+log 23∈(3, 4)，∴ f(2+log 23)＝f(2+log 23+1)＝f(3+log 23)=(12)3+log 23=(12)3(12)log 23=18×13=124集合M ＝{x||2x −1|m}有4个子集，则m 的取值范围为________． 【答案】 (0, 1) 【考点】 子集与真子集 【解析】根据题意，只需判断y ＝m 与y ＝|2x −1|有两个交点即可． 【解答】函数y ＝2x −1， 当x >0时，y >0，当x <0时，y ＝|2x −1|∈(0, 1)， x ＝0时，y ＝0，根据题意y ＝m 与y ＝|2x −1|有两个交点，m ∈(0, 1)， 三、解答题（17、18题10分，19、20、21题12分.）（1）计算：(279)12+(lg5)0+(2764)−13；（2）计算：lg 12−lg 58+lg12.5−log 89⋅log 34． 【答案】(279)12+(lg5)0+(2764)−13，=(259)12+1+(6427)13，=53+1+43=4，lg 12−lg 58+lg12.5−log 89⋅log 34，＝lg(12×85×12.5)−lg9lg8⋅lg4lg3， ＝1−21g331g2⋅21g2lg3，＝1−43=−13．【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 对数的运算性质 【解析】（1）结合指数的运算性质即可求解， （2）结合对数的运算性质即可求解． 【解答】 (279)12+(lg5)0+(2764)−13，=(259)12+1+(6427)13， =53+1+43=4，lg 12−lg 58+lg12.5−log 89⋅log 34，＝lg(12×85×12.5)−lg9lg8⋅lg4lg3， ＝1−21g331g2⋅21g2lg3，＝1−43=−13．设f(x)＝log a (1+x)+log a (3−x)(a >0, a ≠1)，且f(1)＝2． （1）求a 的值及f(x)的定义域；（2）求f(x)在区间[0, 32]上的最大值．【答案】∵ f(1)＝2，∴ log a (1+1)+log a (3−1)＝log a 4＝2，解得a ＝2(a >0, a ≠1)， 由{1+x >03−x >0，得x ∈(−1, 3)． ∴ 函数f(x)的定义域为(−1, 3)．f(x)＝log 2(1+x)+log 2(3−x)＝log 2(1+x)(3−x)=log 2[−(x −1)2+4] ∴ 当x ∈[0, 1]时，f(x)是增函数； 当x ∈[1, 32]时，f(x)是减函数．所以函数f(x)在[0, 32]上的最大值是f(1)＝log 24＝2． 【考点】函数的最值及其几何意义 函数的定义域及其求法 【解析】（1）由f(1)＝2即可求出a 值，令{1+x >03−x >0 可求出f(x)的定义域； （2）研究f(x)在区间[0, 32]上的单调性，由单调性可求出其最大值．【解答】∵ f(1)＝2，∴ log a (1+1)+log a (3−1)＝log a 4＝2，解得a ＝2(a >0, a ≠1)， 由{1+x >03−x >0，得x ∈(−1, 3)． ∴ 函数f(x)的定义域为(−1, 3)．f(x)＝log 2(1+x)+log 2(3−x)＝log 2(1+x)(3−x)=log 2[−(x −1)2+4] ∴ 当x ∈[0, 1]时，f(x)是增函数； 当x ∈[1, 32]时，f(x)是减函数．所以函数f(x)在[0, 32]上的最大值是f(1)＝log 24＝2．已知二次函数f(x)＝2x 2+ax +3．（1）若f(x)在[−1, 1]上单调，求a 的取值范围；（2）求f(x)在[−1, 1]上最小值． 【答案】若f(x)在[−1, 1]上单调递增，则x =−a4≤−1，即a ≥4， 若f(x)在[−1, 1]上单调递减，则x =−a 4≥1，即a ≤−4，故a ≥4或者a ≤−4；根据（1）当a ≥4时，f(x)在[−1, 1]上单调递增，f(x)min ＝f(1)＝5+a ， 当a ≤−4时，f(x)在[−1, 1]上单调递减，f(x)min ＝f(−1)＝5−a ， 当−4<a <4时，f(x)的最小值为f(−a4)=24−a 28．【考点】二次函数的图象 二次函数的性质 【解析】（1）通过分类讨论判断单调性；（2）对a 进行讨论，分段求最值． 【解答】若f(x)在[−1, 1]上单调递增，则x =−a4≤−1，即a ≥4， 若f(x)在[−1, 1]上单调递减，则x =−a 4≥1，即a ≤−4，故a ≥4或者a ≤−4；根据（1）当a ≥4时，f(x)在[−1, 1]上单调递增，f(x)min ＝f(1)＝5+a ， 当a ≤−4时，f(x)在[−1, 1]上单调递减，f(x)min ＝f(−1)＝5−a ， 当−4<a <4时，f(x)的最小值为f(−a4)=24−a 28．已知函数f(x)={−x 2+2x,x >00,x =0x 2+mx,x <0是奇函数．（1）求实数m 的值；（2）若函数f(x)在区间[−1, a −2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 【答案】设x <0，则−x >0，所以f(−x)＝−(−x)2+2(−x)＝−x 2−2x ． 又f(x)为奇函数，所以f(−x)＝−f(x)，于是x <0时，f(x)＝x 2+2x ＝x 2+mx ，所以m ＝2． 要使f(x)在[−1, a −2]上单调递增，结合f(x)的图象知所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1, 3]．【考点】分段函数的应用【解析】（1）根据题意，设x<0，则−x>0，分析可得f(−x)的解析式，又由函数为奇函数，分析可得f(x)＝x2+2x＝x2+mx，解可得m的值；（2）结合函数的图象，分析可得答案．【解答】设x<0，则−x>0，所以f(−x)＝−(−x)2+2(−x)＝−x2−2x．又f(x)为奇函数，所以f(−x)＝−f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2+2x＝x2+mx，所以m＝2．要使f(x)在[−1, a−2]上单调递增，结合f(x)的图象知所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1, 3]．已知二次函数f(x)＝ax2+bx+1(a>0)，若f(−1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．（1）求f(x)的表达式；（2）当x∈[−2, 2]时，令g(x)＝f(x)−kx，若g(x)≤0恒成立，求k的取值范围．【答案】f(x)＝ax2+bx+1(a>0)，f(−1)＝a−b+1＝0，∴b＝a+1∴对任意实数x均有f(x)≥0成立，且a>0，∴△＝b2−4a＝(a+1)2−4a＝(a−1)2≤0，∴a＝1，b＝2，故f(x)＝x2+2x+1，由（1）可得，当x∈[−2, 2]时，g(x)＝f(x)−kx＝x2+(2−k)x+1≤0恒成立，∴{g(−2)=2k+1≤0g(2)=9−2k≤0，解可得，k不存．【考点】函数恒成立问题【解析】（1）f(−1)＝a−b+1＝0，及对任意实数x均有f(x)≥0成立，可得△＝b2−4a＝(a+1)2−4a，联立可求a，b，（2）由（1）可得，当x∈[−2, 2]时，g(x)＝f(x)−kx＝x2+(2−k)x+1≤0恒成立，结合二次函数的实根分布即可求解．【解答】f(x)＝ax2+bx+1(a>0)，f(−1)＝a−b+1＝0，∴b＝a+1∴对任意实数x均有f(x)≥0成立，且a>0，∴△＝b2−4a＝(a+1)2−4a＝(a−1)2≤0，∴a＝1，b＝2，故f(x)＝x2+2x+1，由（1）可得，当x∈[−2, 2]时，g(x)＝f(x)−kx＝x2+(2−k)x+1≤0恒成立，∴{g(−2)=2k+1≤0g(2)=9−2k≤0，解可得，k不存．试卷第11页，总11页。

2019-2020学年陕西省西安中学高三（上）期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x|−1≤x <3}，N ={x|x <0}，则集合M ∩(∁R N)=( )A. {x|0≤x <3}B. {x|−1≤x <0}C. {x|x <−1}D. {x|x <−1或x ≥0}2. 若复数z =12+i ，则z 的共轭复数z −在复平面上对应的点为( )A. (12,1)B. (12,i)C. (12,−i)D. (12,−1)3. 已知命题p ：∃x 0∈R ，sinx 0≥12，则￢p 是( )A. ∃x 0∈R ，sinx 0≤12 B. ∃x 0∈R ，sinx 0<12 C. ∀x ∈R ，sinx ≤12D. ∀x ∈R ，sinx <124. 若正数m ，n 满足m +n +3=mn ，不等式(m +n)x 2+2x +mn −13≥0恒成立，则实数x 的取值范围是 ( )A. (−∞,−1]⋃[23,+∞) B. (−∞,−1]⋃[12,+∞) C. (−∞,−12]⋃[13,+∞) D. (−∞,−12]⋃[16,+∞) 5. 已知{a n }是正项等比数列，{b n }是等差数列，且a 4=b 5，则( )A. a 2+a 6≥b 3+b 7B. a 2+a 6≤b 3+b 7C. a 2+a 6≠b 3+b 7D. a 2+a 6=b 3+b 76. 已知函数f(x)={x 2+4x +m,x ⩽−1log 2(x +1),x >−1，若函数g(x)=f(x)+1有三个零点，则实数m 的取值范围是( )A. (2,+∞)B. (2,3]C. [2,3)D. (1,3)7. 已知函数f(x)=sin 2x +sinxcosx −12，则下列说法错误的是( )A. f(x)的最小正周期是πB. y =f(x)关于x =π4对称C. f(x)在[3π8,7π8]上单调递减D. f(x)的最小值为−√228. 已知D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则xy 的取值范围是( )A. [19,49]B. [19,14] C. [29,12] D. [29,14]9. 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1底面是等腰直角三角形，AB ⊥AC ，BC =BB 1，则直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A. √36B. 23C. √32D. 1210.函数f(x)=x2+2(a−1)x+2在区间(−∞,6]上递减，则a的取值范围是()A. [−5,+∞)B. (−∞,−5]C. (−∞,7]D. [5,+∞)11.函数f(x)=xx2+a的图象不可能是()A. B.C. D.12.已知函数f(x)的定义域为R，且f(1)=2.对任意x∈R，有f′(x)<1，则不等式f(2x)<2x+1的解集为()A. (1,+∞)B. (12,+∞) C. (−∞,2) D. (−∞,1)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=(x+1)e x在点(0,1)处的切线方程的斜率为________．14.已知向量m⃗⃗⃗ =(1,a)，n⃗=(4a,3a+1)，若m⃗⃗⃗ //n⃗，则实数a=______．15.将函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线x=π对称，则ω的最小值为____．16.三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB+PC=4，则当三棱锥的体积最大时，球O的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项数列{a n}首项为2，其前n项和为S n，满足2S n−S n−1=4(n∈N ∗，n≥2)．(1)求a2，a3的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)设，数列{b n b n+2}的前n项和为T n，求证：T n<34．18. 在△ABC 中，AC =BC ，D 为边AC 的中点，AB =BD ．(Ⅰ)求sin C ；(Ⅱ)若△ABD 的外接圆半径为1，求△BDC 的外接圆半径．19. 某化肥厂近几年的化肥产量统计如表：(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，预测该化肥厂2019年的化肥产量．参考资料：y ̂=b ̂x +a ̂，b ∧=6i=1i −x)(y i −y)∑(6x −x)2．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过A(−1,32)、B(√3,−√32)两点，过点P(0,1)的动直线l 与椭圆交于C 、D 两点(1)求椭圆E 的标准方程；(2)当CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，求直线l 的方程．21. 设函数f(x)=(x −a)lnx +b ．(1)当a =0时，讨论函数f(x)在[1e ,+∞)上的零点个数；(2)当a >0且函数f(x)在(1,e)上有极小值时，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x +y =4，曲线C 2：{x =1+cosθy =sinθ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)写出直线C 1与曲线C 2的极坐标方程；(Ⅱ)若射线l ：θ=α(ρ>0)分别交C 1与C 2于A ，B 两点，求|OB||OA|的取值范围．23.已知函数f(x)=|x−a|．(1)若a=2，解不等式：xf(x)<x；(2)若f(x)+f(x+2a)≥|a|−|a−1|+3对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵集合M={x|−1≤x<3}，N={x|x<0}，∴C R N={x|x≥0}，集合M∩(∁R N)={x|0≤x<3}．故选：A．推导出C R N={x|x≥0}，由此能求出集合M∩(∁R N)．本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：D解析：解：∵z=12+i，∴z−=12−i，∴z−在复平面上对应的点为(12,−1)．故选：D．由已知求得z−，则答案可求．本题复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：D解析：解：因为特称命题的否定是全称命题所以，命题p：∃x0∈R，sinx0≥12，则￢p是∀x∈R，sinx<12．故选：D．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查不等式的恒成立问题，考查基本不等式，灵活变换主元是解决本题的关键，属中档题．【解答】解：∵正数m，n满足m+n+3=mn，∴m +n =mn −3≥2√mn ，∴mn ≥9，当且仅当“m =n =3”时取等号． 令t =mn ，则t ≥9．(m +n)x 2+2x +mn −13≥0⇔(t −3)x 2+2x +mn −13≥0⇔(x 2+1)t −3x 2+2x −13≥0 令g (t )=(x 2+1)t −3x 2+2x −13(t ≥9)则关于t 的一次函数g (t )=(x 2+1)t −3x 2+2x −13≥0在[9,+∞)上恒成立， 所以(x 2+1)×9−3x 2+2x −13≥0， 即3x 2+x −2≥0， 解得x ≤−1或x ≥23． 故选A ．5.答案：A解析： 【分析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，属基础题目． 【解答】解：因为{a n }是正项等比数列，{b n }是等差数列， 所以a n =a 1·q n−1 ,b n =b 1+(n −1)d ． 又因为a 4=b 5，所以a 1q 4=b 1+4d ．a 2+a 6=a 1q +a 1q 5 ,b 3+b 7=2(b 1+4d )=2b 5=2a 4．a 2+a 6−2a 4=a 1q +a 1q 5−2a 1q 3=(a 1q 5−a 1q 3)−(a 1q 3−a 1q )=a 1q (q 2−1)2≥0． 所以a 2+a 6⩾b 3+b 7． 故选A ．6.答案：C解析： 【分析】本题考查了函数图象的运用，运用图象判断函数零点的问题，难度不大，属于中档题，关键画出图象，确定关键的点．转化为y =f(x)与y =−1图象有3个交点，画出f(x)的图象，y =−1运动观察即可． 【解答】解：∵函数f(x)={x 2+4x +m,x ⩽−1log 2(x +1),x >−1, 若函数g(x)=f(x)+1有三个零点，∴y =f(x)与y =−1图象有3个交点，结合图像即{f(−2)<−1f(−1)≥−1, f(−1)=m −3⩾−1，f(−2)=m −4<−1， 解得2⩽m <3． 故选C ．7.答案：B解析： 【分析】本题考查正弦型函数的性质，考查二倍角公式和辅助角公式，属于中档题． 利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，根据正弦型函数的性质依次判断即可． 【解答】解：f(x)=sin 2x +sinxcosx −12 =1−cos2x2+12sin2x −12=√22sin (2x −π4)， 最小正周期为2π2=π，故A 正确； 令x =π4，得，所以x =π4不是函数的对称轴，故B 错误； 当x ∈[3π8,7π8]时，2x −π4∈[π2,3π2]，∵y =sinx 在[π2,3π2]上是减函数，所以f(x)在[3π8,7π8]上单调递减，故C 正确；由解析式可得f(x)的最小值为−√22，故D 正确．故选B ．8.答案：D解析：解：D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 可得x +y =1，x ，y ∈[13,23]， 则xy ≤(x+y 2)2=14，当且仅当x =y =12时取等号， 并且xy =x(1−x)=x −x 2，函数的开口向下，对称轴为：x =12，当x =13或x =23时，取最小值， xy 的最小值为：29． 则xy 的取值范围是：[29,14]. 故选：D ．利用已知条件推出x +y =1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．9.答案：A解析： 【分析】本题主要考查了异面直线所成角，建立空间直角坐标系即可解得答案，属于基础题． 【解答】解：以A 为原点建立空间直角坐标系，AB 为x 轴，AC 为y 轴， 所以A(0,0，0)，B 1(a,0，√2a)，B(a,0，0)，C 1(0,a ，√2a)， 所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0，√2a)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,a ，√2a)，所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√36 ，故选A ．10.答案：B解析： 【分析】根据题意求出二次函数的对称轴，即可得到函数的单调减区间，再结合题意进而得到答案． 本题主要考查一元二次函数的单调区间． 【解答】解：由题意可得：函数f(x)=x 2+2(a −1)x +2， 所以函数的对称轴为x =1−a ，所以二次函数的单调减区间为(−∞,1−a]，又因为函数f(x)=x 2+2(a −1)x +2在区间(−∞,6]上递减，所以6≤1−a，即a≤−5．故选B．11.答案：D解析：【分析】本题考查函数的单调性的应用，函数的导数的应用，赋值法的应用，考查转化思想以及计算能力．通过a的取值，判断函数的图象，推出结果即可．【解答】解：当a=0时，函数化为y=1x，函数的图象为：C；当a=1时，x=0时，y=0，x≠0时，函数化为y=1x+1x，函数的图象为：B；当a=−1时，函数化为y=xx2−1=1x−1x，当x∈(0,1)时，y=x−1x为增函数且y<0，则函数y=1x−1x是减函数，f(0)=0，可知函数的图象为：A；故选D.12.答案：B解析：【分析】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，解决本题的关键是构造法的运用，属于中档题．先构造函数F(x)=f(x)−x，根据条件求出函数F(x)的单调性，结合不等式f(2x)−2x<f(1)−1，变形得到F(2x)<F(1)，根据单调性解之即可．【解答】解：令F(x)=f(x)−x，则F′(x)=f′(x)−1<0，∴函数F(x)在R上单调递减函数，∵f(2x)<2x+1，∴f(2x)−2x<f(1)−1即F(2x)<F(1)根据函数F(x)在R上单调递减函数可知2x>1，，解得：x>12故选B．13.答案：2解析：【分析】本题考查导数的运用：求切线的斜率，正确求导是解题的关键，属于基础题．求出函数的导数，可得切线的斜率．【解答】解：因为函数f(x)=(x+1)e x的导数为：f′(x)=(x+2)e x，可得函数图象在点(0,1)处的切线斜率为：(0+2)×e0=2，故答案为2．14.答案：1解析：【分析】本题主要考查平面向量共线的充要条件，属于基础题，根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得3a+1=4，解得a的值，即可得答案．【解答】,3a+1)，解：根据题意，向量m⃗⃗⃗ =(1,a)，n⃗=(4a若m⃗⃗⃗ //n⃗，3a+1=a×4，a解可得a=1．故答案为1．15.答案：12解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得新的解析式，再利用三角函数的图象的对称性求得ω的最小值．【解答】解：将函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)的图象向左平移π3个单位后，可得函数y=sin(ωx+πω3−π6)的图象；再根据所得图象关于直线x=π对称，可得ωπ+πω3−π6=kπ+π2，k∈Z，∴当k=0时，ω取得最小值为12，故答案为12．16.答案：9π解析：【分析】本题考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，如图所示，将P−ABC视为正四棱柱的一部分，求出△ABC外接圆的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，V=13×12×1⋅PB⋅PC≤124(PB+PC)2=23，当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，如图所示，将P−ABC视为正四棱柱的一部分，则CD=2R，即PA2+PB2+PC2=4R2=9，可得R=32，故球的表面积是：S=4π×94=9π，故答案为：9π．17.答案：解：(1)在2S n−S n−1=4中，a1=2令n=2时，则2(a1+a2)−a1=4,解得，令n=3时，则2(a1+a2+a3)−(a1+a2)=4，解得a3=12；(2)由2S n −S n−1=4，①得2S n−1−S n−2=4(n ∈N ∗,n ≥3)，② ①−②得a n =12a n−1(n ∈N ∗,n ≥3)， 又a 2=12a 1，所以数列{a n }是首项为2，公比为12的等比数列． 故a n =2×(12)n−1=(12)n−2． (3)证明：因为，所以b n b n+2=1n(n+2)=12(1n −1n+2)． 故数列{b n b n+2}的前n 项和T n =12[(1−13)+(12−14)+⋯+(1n −1n +2)]=12(1+12−1n +1−1n +2) =12(32−1n +1−1n +2) =34−12(1n+1+1n+2)<34．解析：本题考查数列的运算，数列的递推关系，等比数列的通项公式以及数列求和方法，属于中档题．(1)由2S n −S n−1=4，依次令n =2，3，即可求得a 2，a 3的值；(2)把2S n −S n−1=4中n 换成n −2，得到2S n−1−S n−2=4，两式相减得到a n =12a n−1，利用等比数列的通项公式求得数列{a n }的通项公式；(3)求出{b n }的通项，得到b n b n+2=1n(n+2)=12(1n −1n+2)，利用裂项相消法求和即可证得不等式．18.答案：解：(1)连接BD ，设AC =b ，BC =a ，AB =c ，且a =b ，c =BD ．在△BCD ，△ABC 中由余弦定理得：{c 2=a 2+b 2−2abcosC c 2=a 2+14b 2−abcosC ⇒cosC =34⇒sinC =√74； (2)令∠ADB =α，在△ABC 中有：c 2=a 2+a 2−2a 2×34=12a 2⇒c =√22a =√22b ， 则有：cosα=b 24+c 2−c 22×b 2×c =√24⇒sinα=√144⇒c =2Rsinα=√142(R 为△ABD 的外接圆半径)，则有：2R′=csinC =2√2⇒R′=√2(R′为△BDC 外接圆半径)．解析：本题考查三角形的解法，余弦定理以及应用，考查三角形的解法，是基本知识的考查． (1)连接BD ，在△BCD ，△ABC 中由余弦定理，转化求解求sin C ；(2)令∠ADB =α，在△ABC 中通过余弦定理，求出c 与a 的关系，求出c ，然后通过正弦定理求解△BDC 的外接圆半径．19.答案：解：(Ⅰ)根据表中数据，计算x =16×(1+2+3+4+5+6)=3.5，y =16×(12.6+12.7+13+13.1+13.2+13.4)=13，∑(6i=1x i −x)(y i −y)=(−2.5)×(−0.4)+(−1.5)×(−0.3)+0+0.5×0.1+1.5×0.2+2.5×0.4=2.8，∑(6i=1x i −x)2=(−2.5)2+(−1.5)2+(−0.5)2+0.52+1.52+2.52=17.5．∴b ∧=6i=1i −x)(y i −y)∑(6x −x)2=2.817.5=0.16，∴a ∧=y −b ∧x =13−0.16×3.5=12.44， ∴y 关于x 的线性回归方程为y ∧=0.16x +12.44； (Ⅱ)由(Ⅰ)知y ∧=0.16x +12.44，当x =8时，y ∧=0.16×8+12.44=13.72， 即该地区2019年化肥产量估计值为13.72万吨．解析：本题考查了线性回归方程的计算与应用问题，是基础题． (Ⅰ)根据表中数据计算x 、y ，求出回归系数，写出回归方程； (Ⅱ)利用回归方程计算x =8时y ∧的值即可．20.答案：解：(1)将点A(−1,32)、B(√3,−√32)代入椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 得{1a 2+94b 2=13a 2+34b 2=1⇒{a 2=4b 2=3 故椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1…………………………………………(5分)(2)设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，∵CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x 1+2x 2=0…………① 若直线l 的斜率存在，可设l ：y =kx +1 则由{x 24+y 23=1y =kx +1得(4k 2+3)x 2+8kx −8=0， ∴{x 1+x 2=−8k4k 2+3x 1x 2=−84k 2+3与①联立解得k =±12若直线l 的斜率不存在，则l ：x =0，∴|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3+1,|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3−1，∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠2PD ⃗⃗⃗⃗⃗综上可知，直线l 的方程为y =±12x +1，即x −2y +2=0或x +2y −2=0……………………………………………………(12分)解析：(1)将点A(−1,32)、B(√3,−√32)代入椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，列出方程，求出a ，b ，即可得到椭圆方程．(2)设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，通过CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，推出x 1+2x 2=0，若直线l 的斜率存在，可设l ：y =kx +1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．21.答案：解：(1)当a =0时，f(x)=xlnx +b ，∴ f′(x)=1+lnx ≥0在[1e ,+∞)上恒成立， ∴f(x)在[1e ,+∞)上单调递增， ∴f(x)min =f(1e)=−1e+b ．当−1e +b ≤0，即b ≤1e 时，函数有唯一的零点； 当−1e +b >0，即b >1e 时，函数没有零点． (2)∵f′(x)=lnx +x−a x , x ∈(1,e)，令，∴g′(x)=1x +ax 2>0 恒成立， ∴g(x)在(1,e)上单调递增，∴当1<x <e 时，g(x)>g(1) = 1−a ， g(x)<g(e) =2−ae ， ∵函数f(x)在(1,e)上有极小值，∴{g (1)=1−a <0g (e )=2−a e >0 ， 解得1<a <2e ． 故实数a 的取值范围为(1,2e)．解析：本题主要考查利用导数研究函数极值、最值、零点个数问题，属于中档题． (1)先求导，求出最小值，再根据最小值和0的关系分类讨论可得到函数零点个数； (2)函数在(1,e)上有极小值时，函数不单调，构造函数，得到函数在(1,e)上单调递增，从而得到不等式组，求解即可．22.答案：解：(Ⅰ)由C 1：x +y =4，得直线C 1的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=4，由C 2：{x =1+cosθy =sinθ，得(x −1)2+y 2=1，即x 2+y 2=2x ，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cosθ； (Ⅱ)设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，−π4<α<π2， 则ρ1=4cosα+sinα，ρ2=2cosα，|OB||OA|=ρ2ρ1=14⋅2cosα(cosα+sinα)=14(cos2α+sin2α+1)=14[√2cos(2α−π4)+1]， ∵−π4<α<π2，∴−√22<cos(2α−π4)≤1， ∴0<14[√2cos(2α−π4)+1]≤14(√2+1)．∴|OB||OA|的取值范围是(0,14(√2+1)].解析： 【分析】(Ⅰ)直接化C 1的普通方程为极坐标方程，化C 2的参数方程为普通方程，进一步化为极坐标方程； (Ⅱ)设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，−π4<α<π2，则ρ1=4cosα+sinα，ρ2=2cosα，代入|OB||OA|，整理后利用三角函数的最值得答案．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查三角函数最值的求法，是中档题．23.答案：解：(1)a =2时，不等式xf(x)<x 可化为{x ≥2(x −2)x <x ①或{x <2−x(x −2)<x ②； 解①得2≤x <3， 解②得x <0或1<x <2；综上，原不等式的解集为{x|x <0或1<x <3}；(2)f(x)+f(x +2a)≥|a|−|a −1|+3对任意的实数x 恒成立， 可化为|x −a|+|x +a|≥|a|−|a −1|+3对任意的实数x 恒成立， ∵|x −a|+|x +a|≥|2a|， ∴|2a|≥|a|−|a −1|+3， ∴|a|+|a −1|≥3；a <0时，不等式化为−a −a +1≥3，解得a ≤−1； 0≤a ≤1时，不等式化为a −a +1≥3，不成立； a >1时，a +a −1≥3，解得a ≥2；综上，实数a 的取值范围是a ≤−1或a ≥2．解析：(1)a =2时不等式xf(x)<x 化为{x ≥2(x −2)x <x 或{x <2−x(x −2)<x ；求出不等式组的解集，再求并集；(2)由题意可化为|x −a|+|x +a|≥|a|−|a −1|+3对任意的实数x 恒成立，根据绝对值不等式|x −a|+|x +a|≥|2a|，得出|2a|≥|a|−|a −1|+3，求绝对值不等式的解集即可．本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。

陕西省西安市电子科技大学附中2019年高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 不等式的解集是（）A． B． C． D．参考答案：D2. 方程的解的个数是A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B3. 设，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．参考答案：B略4. 22. 如图，正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB=3，BB1=4.长为1的线段PQ在棱AA1上移动，长为3的线段MN在棱CC1上移动，在点R棱BB1上移动，则四棱锥R–PQMN的体积是A.6B.10C.12D.不确定参考答案：A5. 已知f(x)=log2x+2,x [1,4],则函数F(x)=[f(x)]2+f(x2)+3的最大值为( )(A)13 (B)16 (C)25(D)22参考答案：B6. 函数f（x）=2x﹣1+log2x的零点所在的一个区间是( )A．（，）B．（，）C．（，1） D．（1，2）参考答案：C考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）=2x﹣1+log2x，在（0，+∞）单调递增，f（1）=1，f（）=﹣1，可判断分析．解答：解：∵函数f（x）=2x﹣1+log2x，在（0，+∞）单调递增．∴f（1）=1，f（）=﹣1，∴根据函数的零点的判断方法得出：零点所在的一个区间是（），故选：C．点评：本题考查了函数的性质，函数的零点的判断方法，属于容易题．7. 已知等差数列…，则使得取得最大值的n值是（）（A）15 （B）7 （C）8和9 (D) 7和8参考答案：D略8. 已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为A．{1} B．{0,1} C．{1,2} D．{0,1,2}参考答案：A9. 函数的零点所在的一个区间为A. B. C.D.参考答案：B10. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则的大小关系是A．B．C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数对任意的都有式子成立，且，则=________．参考答案：-1略12. 已知正项等比数列，且，则．参考答案：513. 已知正方体的棱长为2，则它的内切球的表面积是参考答案：14. .已知圆C1：与圆C2：相外切，则ab的最大值为_______.参考答案：【分析】根据圆与圆之间的位置关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到a+b=3．利用基本不等式即可求出ab的最大值．【详解】由已知，圆C1：（x-a）2+（y+2）2=4的圆心为C1（a，-2），半径r1=2．圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1的圆心为C2（-b，-2），半径r2=1．∵圆C1：（x-a）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1相外切，∴|C1C2|==r1+r2=3要使ab取得最大值，则a，b同号，不妨取a＞0，b＞0，则a+b=3，由基本不等式，得．故答案为．【点睛】本题考查圆与圆之间的位置关系，基本不等式等知识，属于中档题．15. 在等比数列中，,，，则=_______________.参考答案：3或略16. （5分）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点M是线段OD的中点，设=，=，则=．（结果用，表示）参考答案：考点：向量的三角形法则．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的三角形法则、向量共线定理可得+==，即可得出．解答：+===．故答案为：．点评：本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理，属于基础题．17. 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，如是上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是 .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2019～2020学年度第一学期期末考试高一年级数学试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1.直线310x y ++=的倾斜角是（ ） A. 30°B. 60︒C. 120︒D. 150︒【答案】C【解析】直线310x y ++=的斜率k 3=-，即tan α3=-，故倾斜角为120︒.故选C 2.在空间直角坐标系中，已知(1,0,0)P ，(3,2,2)Q -，则P Q 、两点间的距离PQ =（ ）A. 23B. 4C. 25D. 26 【答案】A【解析】由()1,0,0P ，()3,2,2Q -，得()()222312223PQ =-+-+=.故选A.3.若直线221020ax y x y x ++=+-=与圆相切,则的值为( )A. 1,－1B. 2,－2C. －1D. 0 【答案】D【解析】 2220x y x +-=即22(1)1x y -+=．直线与圆相切，则圆心(1,0)到直线距离为半径1，所2111a a +=+，解得0a =，故选D4.设,m n 是两条不同的直线，αβγ、、是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若,//,m n αα⊥则;m n ⊥②若//,//,m n αα则//;m n③若//,//αββγ，则//;αγ④若,αγβγ⊥⊥，则.αβ//其中正确命题的序号是（ ）A. ①和③B. ②和③C. ②和④D. ①和④ 【答案】A【解析】【分析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①正确；在正方体中举出反例，平行于同一个平面的两条直线不一定平行，可得②错误；由面面平行的传递性，可得③正确；在正方体中举出反例，可得④错误．【详解】对①，因为//n α，所以经过n 作平面β，使l βα⋂=，可得//n l ，又因为m α⊥，l α⊂，所以m l ⊥，结合//n l 得m n ⊥．由此可得①正确；对②，设直线m 、n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有//m α且//n α成立，但不能推出//m n ，故②错误；对③，因为//,//αββγ，，所以//αγ，故③正确；对④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有αγ⊥且βγ⊥，但是,αβ相交，推不出//αβ，故④错误．故选：A ．【点睛】本题给出关于空间线、面位置关系的命题，考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．5. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A. 283π-B. 83π-C. 82π-D. 23π 【答案】A【解析】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是3218222833V ππ=-⨯⨯⨯=-.【此处有视频，请去附件查看】6.若(3,2)A -、(9,4)B -、(,0)C x 三点共线，则x 的值为（ ）A. 1B. -1C. 0D. 7 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，因为,,A B C 三点共线，可得AB AC k k =，即0(2)043(9)x x ---=---，解得1x =-，故选B.考点：三点共线的应用.【方法点晴】本题主要考查了直线的斜率公式、三点共线的依据，属于基础题，对于三点共线：通常的处理方法是根据三点所构成的斜率相等（或过意两点的直线重合）、或利用两点间的距离公式，根据距离相等或向量共线，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力.7.圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距离为 ）A. 4 个B. 3个C. 2 个D. 1个【答案】D【解析】分析】 化圆的一般方程为标准式，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，结合图形答案可求． 【详解】由222430x y x y +++-=，得22(1)(2)8x y +++=．∴圆圆心坐标为(1,2)--，半径为Q 圆心(1,2)--到直线10x y ++== ∴圆上满足到直线10x y ++=的距离为1个.故选：D ．【点睛】本题考查点到直线的距离公式、圆的一般式方程，考查数形结合思想的应用，考查基本运算求解能力．8.如果0A B ⋅>且0B C ⋅<，那么直线0Ax By C ++=不经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】C【解析】【分析】由条件可得直线0Ax By C ++=的斜率A B -的正负，直线在y 轴上的截距BC -的正负，进而可得直线不经过的象限． 【详解】解：由0A B ⋅>且0B C ⋅<，可得直线0Ax By C ++=的斜率为0A B -<，直线在y 轴上的截距0C B->，故直线不经过第三象限， 故选C ．【点睛】本题主要考查确定直线位置的几何要素，属于基础题．9.已知直线60x my ++=和()2320m x y m -++=互相平行，则实数m 的取值为（ ）A. 1-或3B. 1-C. 3-D. 1或3- 【答案】B【解析】【分析】利用两直线平行的等价条件求得实数m 的值.【详解】∵两条直线x+my+6=0和（m ﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴13m 202620m m m ⨯-=⎧⎨-≠⎩﹣（﹣） 解得 m=﹣1，故选B ．【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论： 已知1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，则12211212210//0A B A B l l AC A C -=⎧⇔⎨-≠⎩， 1212120l l A A B B ⊥⇔+= ．10.圆:222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离的最大值是( ) A. 2B. 1+C. 12+D. 1+【答案】B【解析】【分析】先把圆的一般方程化为标准方程得到圆心()1,1，半径为1，利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离d，圆上一点到直线距离的最大值即为d r +【详解】圆: 222210x y x y +--+=化为标准方程得()()22111x y -+-=，所以圆心为()1,1，半径为1.所以圆心()1,1到直线2x y -=的距离11222d --==，则所求距离的最大值为12+，故选B 【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最大值问题，其最大值应转化为圆心到直线距离与圆的半径的和．11.正四棱锥P ABCD -的侧棱和底面边长都等于22，则它的外接球的表面积为（ ）A. 16πB. 12πC. 8πD. 4π 【答案】A【解析】【分析】先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的表面积公式即可求解．【详解】如图，设正四棱锥底面的中心为1O ，设外接球的球心为O ，则O 在正三棱锥的高1PO 上．在直角三角形ABC 中，22224AC AB ==⨯=，12AO =，则高222211(22)28442PO AP AO =-=-=-==， 则112OO PO R R =-=-，OA R =，在直角三角形1AO O 中，222(2)2R R =-+，解得2R =，即O 与1O 重合，即正四棱锥外接球的球心是它的底面的中心1O ，且球半径2R =，球的表面积2416S r ππ==，故选：A ．【点睛】本题考查棱锥和球的切接问题、球的表面积计算，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题．12.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长是1，线段11B D 上有两个动点,,E F 且2,EF =则下列结论中错误的是（ ）A. AC BE ⊥B. //EF 平面ABCDC. 三棱锥A BEF -的体积为定值D. ,,,E F A B 四点共面【答案】D【解析】【分析】 通过直线AC 垂直平面平面11BB D D ，判断①是正确的；通过直线EF 平行直线AB ，判断//EF 平面ABCD ②是正确的；计算三角形BEF 的面积和A 到平面BEF 的距离是定值，说明③是正确的；通过排除法可得答案．【详解】对A ，AC ⊥Q 平面11BB D D ，又BE ⊂平面11BB D D ，AC BE ∴⊥．故A 正确． 对B ，11//B D Q 平面ABCD ，又E 、F 在直线11D B 上运动，//EF ∴平面ABCD ． 故B 正确．对C ，由于点B 到直线11B D 的距离不变，故BEF ∆的面积为定值．又点A 到平面BEF 的距离为22，故A BEF V -为定值，故C 正确. 利用排除法可得D 错误；故选：D【点睛】本题考查直线与平面平行、垂直的判定、棱锥的体积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.过点(1,2)M 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________.【答案】x+y=3或y=2x【解析】试题分析：：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a ， 把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y-3=0； ②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx ，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x 即2x-y=0．综上，所求直线的方程为：2x-y=0或x+y-3=0考点：直线方程14.已知三棱锥P ABC -的三条侧棱都相等，顶点P 在底面ABC 上的射影为O ,则O 是ABC ∆的__________心.【答案】外心【解析】【分析】由已知可得顶点P 在底面ABC 上的射影O 到底面三角形顶点距离相等，即O 必为ABC ∆的外心．【详解】Q 在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，∴顶点P 在底面ABC 上的射影O 到底面三角形顶点距离相等，即O 必为ABC ∆的外心. 故答案为：外心．【点睛】本题主要考查三棱锥的几何特征，属于基本知识的考查．15.三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且1PA =，PB PC ==P 点到平面ABC距离为________【答案】2【解析】【分析】 根据题意利用等体积计算P 点到平面ABC 的距离，求出ABC ∆的面积即可．【详解】PA Q 、PB 、PC 两两互相垂直，且1PA =，PB PC ==3AB AC ∴==，2BC = A ∴到BC 的距离为2 ABC ∆∴的面积为12222⨯⨯= 设P 点到平面ABC 的距离为h ，则1112212323h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯ ∴22h = 即P 点到平面ABC 的距离为22 故答案：22【点睛】本题考查点到面的距离，解题的关键是利用等体积法进行求解．16.曲线214y x =+-，[]2,2x ∈-与直线(2)4y k x =-+有两个公共点时，则实数k 的取值范围是 _________________．【答案】53(,]124 【解析】【详解】试题分析：曲线214,[2,2]y x x =+-∈-表示以（0，1）为圆心，以2为半径的圆的上半个圆，而直线(2)4y k x =-+过点（2，4），画出图象，可知该直线与该半圆要有两个公共点，需要53124k <≤.考点：本小题主要考查曲线方程和直线与圆的位置关系.点评：解决本小题的关键是分析出所给曲线是半圆，所给直线过定点，进而利用数形结合思想解决问题.三、解答题：（本大题共5小题，共56分）17.已知点(1,1)A ，(2,2)B ，点P 在直线12y x =上，求22PA PB +取得最小值时P 点的坐标. 【答案】P 99,510⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】由直线方程，假设点P 的坐标，利用两点之间的距离公式表示PA 、PB 的平方和，由二次函数的性质求出最值即可.【详解】设()2,P t t ，则()()()()2222222211222101810PA PB t t t t t t +=-+-+-+-=-+，当910t =时，22PA PB +取得最小值，即点P 的坐标为：99,510⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查两点之间的距离公式、根据直线假设点的方式以及二次函数的最值，由于没有定义域的限制，所以在顶点处取最值，本题计算量较大，注意计算的准确性.18.如图，在三棱锥A ­BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ；(2)AD ⊥AC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC ．试题解析：证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB P .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .（2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥ AD .又AB ⊥AD ，BC AB B ⋂=，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．19.已知圆C :22(1)(2)25x y -+-=，直线l :(21)(1)740m x m y m +++--=（1）求证：直线l 过定点；（2）判断该定点与圆的位置关系；（3）当m 为何值时，直线l 被圆C 截得的弦最长.【答案】（1）证明见解析（2）直线l 与圆C 总相交．（3）1.3m =-【解析】【分析】（1）由题意可知：(27)(4)0+-++-=m x y x y ，则27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，即可求得D 点坐标，直线l 过定点；（2）由(3,1)D 坐标代入圆C 的方程，得左边22(31)(12)525=-+-=<=右边，点(3,1)D 在圆C 内；（3）当直线l 经过圆心(1,2)C 时，被截得的弦最长，可知直线l 的斜率l CD k k =，由211l m k m +=-+，则211132CD k -==--，即可求得m 的值． 【详解】（1）证明：将直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=，整理得：(27)(4)0+-++-=m x y x y ，由于m 的任意性，则27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩， ∴直线l 恒过定点(3,1)D ；（2）把点(3,1)D 坐标代入圆C 的方程，得左边22(31)(12)525=-+-=<=右边， ∴点(3,1)D 在圆C 内；（3）当直线l 经过圆心(1,2)C 时，被截得的弦最长（等于圆的直径长），此时，直线l 的斜率l CD k k =，由直线l 的方程得211l m k m +=-+， 由点C 、D 的坐标得211132CD k -==--， 21112m m +∴-=-+，解得：13m =-， 所以，当13m =-，时，直线l 被圆C 截得的弦最长． 【点睛】本题考查直线的方程，点与圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．20.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD ∆是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求四棱锥P ABCD-的体积.【答案】(1)见解析 ;(2)124231633P ABCDV-=⨯⨯=.【解析】【详解】试题分析：(1)证得AD⊥BD,而面PAD⊥面ABCD,∴BD⊥面PAD,∴面MBD⊥面PAD.(2)作辅助线PO⊥AD,则PO为四棱锥P—ABCD的高,求得S四边形ABCD＝24.∴V P—ABCD＝163. 试题解析：(1)证明:在△ABD中,∵AD＝4,BD＝8,AB＝45,∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD.又∵面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD＝AD,BD⊂面ABCD,∴BD⊥面PAD.又BD⊂面BDM,∴面MBD⊥面PAD.(2)解：过P作PO⊥AD,∵面PAD⊥面ABCD,∴PO⊥面ABCD,即PO为四棱锥P—ABCD的高．又△PAD 是边长为4的等边三角形,∴PO ＝在底面四边形ABCD 中,AB ∥DC ,AB ＝2DC ,∴四边形ABCD 为梯形．在Rt△ADB 中,斜边AB5,此即为梯形的高.∴S 四边形ABCD ＝24.∴V P —ABCD ＝13×24×. 21.在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3),A 直线:24=-l y x ，设圆C 的半径长为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 存在点M ，使2=MA MO ,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.【答案】（1）3y =或34120x y +-=（2）120.5⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【解析】【分析】（1）求出圆心C 为(3,2)，圆C 的半径为1，得到圆的方程，切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3y kx =+，即30kx y -+=，利用圆心到直线的距离等于半径，求解k 即可得到切线方程．（2）设圆心C 为(,24)a a -，圆C 的方程为：22()[(24)]1x a y a -+--=，设M 为(,)x y 列出方程得到圆D 的方程，通过圆C 和圆D 有交点，得到13CD 剟，转化求解a 的取值范围．【详解】（1）由241y x y x =-⎧⎨=-⎩得圆心C 为(3,2)， Q 圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：22(3)(2)1x y -+-=，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3y kx =+，即30kx y -+=，∴1=∴|31|k +=2(43)00k k k ∴+=∴=或者34k =-， ∴所求圆C 的切线方程为：3y =或者334y x =-+．即3y =或者34120x y +-=．（2）Q 圆C 的圆心在在直线:24=-l y x 上，所以，设圆心C 为(,24)a a -，则圆C 的方程为：22()[(24)]1x a y a -+--=，又2MA MO =Q ，∴设M 为(,)x y =22(1)4x y ++=设为圆D ， ∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上即：圆C 和圆D 有交点，13CD ∴剟，∴|21||21|-+，由251280a a -+…得a R ∈，由25120a a -…得1205a 剟， 综上所述，a 的取值范围为：12[0,]5． 【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，圆心切线方程的求法，考查转化与化归思想、数形结合思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力．。

陕西省西安电子科技大学附属中学2019-2020学年高一数学上学期第二次月考试题一、 选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1、下列说法正确的是A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 2、在空间四边形ABCD 的各边AB ,BC ,CD ,DA 上分别取E ,F ,G ,H 四点，如果EF ,GH 交于一点P ，则（ ）A.P 一定在直线BD 上B.P 一定在直线AC 上C.P 一定在直线AC 或BD 上D.P 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上3、函数53)(3+--=x x x f 的零点所在的区间为（ ） A.)2,1( B.)1,0( C.)0,1(- D.)1,2(--4、一个几何体的三视图如图，则组成该组合体的简单几何体为( )A ．圆柱与圆台B ．四棱柱与四棱台C ．圆柱与四棱台D ．四棱柱与圆台5、在正方体1111D C B A ABCD -中，下列几种说法正确的是（ ） A.AD C A ⊥11 B.AB C D ⊥11C.1AC 与DC 成︒45角D.11C A 与C B 1成︒60角6、设b a 、是两条不同的直线，βα、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A.若αα⊥⊥b //a ,b a ，则 B.若βαβα⊥⊥a //a ,，则 C.若αββα//a a ,，则⊥⊥ D.若βαβα⊥⊥⊥⊥则，,b a ,b a7、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为︒45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）A.2221+ B.22+ C.21+ D.221+ 8、已知函数)(x f y =的定义域为]1,8[-，则函数2)12()(++=x x f x g 的定义域是（ ）A.]3,2()2,(---∞YB.]1,2()2,8[---YC.]0,2()2,29[---Y D.]2,29[-- 9、已知M 是两条异面直线b a ,外一点，则过点M 且与直线b a ,都平行的平面（ ） A.有且只有一个 B.有两个 C.没有或只有一个 D.有无数个 10、若xx x f 1)(-=，则函数x x f y -=)4(的零点是（ ） A.21 B.21- C.2 D.2- 11、以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 的中线CD 为棱，将ABC ∆折叠，使平面BCD ACD 平面⊥,则AC 和BC 的夹角为( )A.︒30B.︒60C.︒90D.不确定 12、如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中 ①BM 与ED 平行②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60°角④DM 与BN 是异面直线以上四个结论中，正确结论的序号是（ ）A ．①②③B ．②④C ．③④D ．①③④ 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、已知正四棱锥ABCD P -的侧棱长为a 32，侧面等腰三角形的顶角为30°，则从点A 出发环绕侧面一周后回到点A 的最短距离为___________. 14、若函数xx x f 2)(2-=有______个零点.15、在正四面体ABC P -中，F E D ,,分别是CA BC AB ,,的中点，下面四个结论： ①BC //平面;PDF ②⊥DF 平面;PAE③平面⊥PDF 平面;ABC ④平面⊥PAE 平面.PBC其中正确结论的序号是______________. 16、若关于x 的方程0112=+-+a x x有两个不等的实数解，则a 的取值范围是._______ N MFEDCB A三、解答题：（本大题共5小题，共56分）17、已知函数54)(--=x x x f ，当方程a x f =)(有3个根时，求实数a 的取值范围. 18、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点。

2019-2020学年陕西省西安电子科技大学附中高一上学期第二次月考数学试题一、单选题1．下列说法正确的是（ ） A ．三点确定一个平面 B ．四边形一定是平面图形 C ．梯形一定是平面图形D ．平面和平面有不同在一条直线上的三个交点 【答案】C【解析】A 错误。

不共线的三个点才可以确定一个平面；B 错误。

四边形不一定是平面图形。

如：三棱锥的四个顶点构成的四边形；C 正确。

梯形有一组对边平行，两条平行线确定一平面；D 错误。

两个平面有公共点，这些点共线，是两个平面的交线；故选C2．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ，GH 交于一点P ，则( ) A ．P 一定在直线BD 上 B ．P 一定在直线AC 上 C ．P 一定在直线AC 或BD 上D ．P 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上 【答案】B【解析】试题分析：EF 、GH 相交于点P ， 则点P 属于直线EF ，且属于直线GH ． 又由题意，EF 属于面ABC ，GH 属于面ADC 则点P 即属于面ABC ，又属于面ADC 则点P 必在面ABC 与面ADC 的交线上，即 点P 必在AC 上．故选B ．【考点】空间点、线、面的位置关系点评：本题主要考查空间中点，线，面的位置关系．一般在证明点在线上，或证明三点共线时，常把所证的点，线，转化为两个平面的公共点． 3．函数()335f x x x =--+的零点所在区间为（ ）A ．（1,2）B ．（0,1）C ．(-1,0)D ．（-2，-1）【答案】A【解析】由题意知，函数()f x 是单调函数，根据()10f >，()20f <知，函数()f x 的零点必在区间()1,2上． 【详解】∵函数()335f x x x =--+是单调递减函数，又∵()31131510f =--⨯+=>，()32232590f =--⨯+=-<，∴()()120f f ⋅<，故函数()335f x x x =--+的零点所在区间为()1,2，故选：A ． 【点睛】本题考查函数的零点存在的条件：单调的连续函数若在一个区间的端点的函数值异号，则函数在此区间上一定存在零点，属于中档题.4．一个几何体的三视图如图，则组成该组合体的简单几何体为（ ）A ．圆柱与圆台B ．四棱柱与四棱台C ．圆柱与四棱台D ．四棱柱与圆台【答案】B【解析】根据三视图的基本性质直接读取即可得出答案. 【详解】由三视图可知该几何体是由两个基本体组合成的组合体,由上面部分的三视图可得上面基本体是四棱柱,由下面部分的三视图可得下面基本体是四棱台.故组成该组合体的简单几何体为四棱柱和四棱台. 故选:B. 【点睛】本题考查了空间几何体三视图的识别与判断,熟练掌握常见空间几何体的三视图是解题的关键,属于基础题.5．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是（ ） A ．11AC AD ⊥B ．11DC AB ⊥C ．1AC 与DC 成45︒角D ．11A C 与1B C 成60︒角【答案】D【解析】试题分析：直线11A C 与1B C 是异面直线，而1B C ∥，所以即为11A C 与1B C 所成的角．显然三角形是等边三角型，所以．故选D ．同时可以判断其它选项是错误的．【考点】异面直线所成的角及其是否垂直的问题．6．设a b 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若,//a b a α⊥，则b α⊥B ．若,//a αβα^，则a β⊥C ．若,a αββ⊥⊥，则//a αD ．若,a b a b αβ⊥⊥⊥，，则αβ⊥【答案】D【解析】由空间直线与平面,平面与平面的位置关系一一对四个命题进行判断及可得出答案. 【详解】A.不正确,若a b ⊥,a α,则可得:直线b 与平面α相交不垂直, b α⊥, b α, b α⊂都有可能;B.不正确,若αβ⊥,a α,则可得:直线a 与平面β相交不垂直, a β⊥, a β,a β⊂都有可能;C.不正确,若αβ⊥,a β⊥,则可得: a α, a α⊂都有可能; D.正确, 若a α⊥,b β⊥,则直线a , b 的方向向量即分别为平面,αβ法向量,又a b ⊥,可得:αβ⊥. 故选:D. 【点睛】本题考查了线线垂直,线面平行,线面垂直,面面垂直,面面平行的判定以及性质定理的应用,属于一道综合性的基础题.7．如图，一个水平放置的平面图的直观图（斜二测画法）是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）A ．B ．C ．D 【答案】B【解析】先还原几何体，再根据直角梯形面积公式得结果. 【详解】几何体为一个直角梯形，上底长为1，下底长为，高为2，因此面积为12(1122⨯⨯++=+选B. 【点睛】本题考查直观图，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．已知函数()y f x =的定义域为[]8,1-，则函数()()212f xg x x +=+的定义域是（ ）A ．()(],22,3-∞--UB ．[)(]8,22,1---U C ．(]9,22,02⎡⎫---⎪⎢⎣⎭U D ．9,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】根据题意得出821120x x -≤+≤⎧⎨+≠⎩，解出该不等式组可得出函数()y g x =的定义域. 【详解】由于函数()y f x =的定义域为[]8,1-，由题意得821120x x -≤+≤⎧⎨+≠⎩，解得902x -≤≤且2x ≠-，因此，函数()()212f xg x x +=+的定义域是(]9,22,02⎡⎫---⎪⎢⎣⎭U ， 故选：C. 【点睛】本题考查抽象函数的定义域，对于抽象函数的定义域，一般要利用中间变量取值范围一致来列不等式（组）求解，考查运算求解能力，属于中等题.9．已知M 是两条异面直线,a b 外一点，则过点M 且与直线,a b 都平行的平面（ ） A ．有且只有一个 B ．有两个C ．没有或只有一个D ．有无数个【答案】C【解析】当点M 和直线a (或直线b )构成的平面正好与直线b (或直线a )平行时,为0个,不平行时只有一个. 【详解】由点M 是异面直线,a b 外的一点,则点M 和直线a 能确定唯一的平面α,过点M 作直线c b ,若直线c α⊂,则过点M 且与直线,a b 都平行的平面不存在;若直线c 不在平面α内,过点M 作直线d a ,则由两条相交直线确定唯一的平面可知过c 和d 平面有且只有一个,故这种情况下过点M 且与直线,a b 都平行的平面只有一个,综上可得过点M 且与两条异面直线,a b 都平行的平面没有或只有一个. 故选:C. 【点睛】本题考查了空间直线与平面的位置关系,以及存在性和唯一性的判断,熟练掌握确定平面的方法以及线面位置关系分类是解题的关键,属于基础题. 10．若1()x f x x-=，则函数(4)y f x x =-的零点是（ ） A ．12 B ．12-C ．2D ．2-【答案】A【解析】函数的零点可转化为方程的根，求解即可. 【详解】根据函数零点的概念，函数 (4)y f x x =-的零点就是方程 (4)0-=f x x 的根， 解方程(4)0-=f x x ，即 4104x x x --=，得 12x =， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数零点，函数与方程，属于中档题.11．以等腰直角三角形ABC 斜边AB 的中线CD 为棱，将ABC △折叠，使平面ACD ⊥平面BCD ，则AC 与BC 的夹角为（ ）． A ．30° B ．60︒C ．90︒D ．不确定【答案】B【解析】先确定直二面角，再解三角形得结果 【详解】因为平面ACD ⊥平面BCD ，所以2ADB π∠=,设1AD BD ==,则AC BC AB ===因此AC 与BC 的夹角为60︒，选B.【点睛】本题考查直二面角，考查基本分析论证求解能力，属中档题 12．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60°角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个结论中，正确结论的序号是（ ） A ．①②③ B ．②④C ．③④D ．①③④【答案】C【解析】由正方体的平面展开图复原可以直接判断. 【详解】由正方体的平面展开图复原得空间正方体如图所示:由图可知:①BM 和ED 是异面直线,故不对;②CN 和BE 是平行直线,故不对;③ CN 和BE 平行,BE 与BM 的夹角是060,故CN 与BM 所成的角也是060,故正确;④DM 与BN 是异面直线,正确;所以正确的序号为③④. 故选:C. 【点睛】本题考查了空间直线的位置关系以及空间直线所成角的求法,由平面展开图复原正方体是解题关键,属于基础题.二、填空题13．已知正四棱锥P ABCD -的侧棱长为，侧面等腰三角形的顶角为30°，则从点A 出发环绕侧面一周后回到点A 的最短距离为___________. 【答案】6a【解析】将正四棱锥侧面展开,如图所示,在平面展开图中,利用余弦定理求解AA 1的长度即得答案. 【详解】由正四棱锥侧面展开如图所示,由题意可得展开图是由四个全等的顶角为030的等腰三角形组成,则01APA 120∠=, 1AA 的长度即为所求的最短距离,由1PA PA ==,由余弦定理可得:1AA 6a ==.故答案为:6a . 【点睛】本题考查了学生的空间思维能力,将空间路径问题转化为平面图形中两点之间借助于解三角形来解决的距离问题,空间思维与转化能力是解题关键,是一般难度的题. 14．函数2()2x f x x =-的零点个数为__________． 【答案】3【解析】由题意可知：要研究函数f （x ）=x 2-2x的零点个数，只需研究函数y =2x ，y =x 2的图象交点个数即可．画出函数y =2x ，y =x 2的图象 由图象可得有3个交点．点睛：函数零点的求解与判断：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．15．在正四面体P ABC -中，,,D E F 分别是,,AB BC CA 的中点，下面四个结论： ①BC //平面;PDF ②DF ⊥平面;PAE ③平面PDF ⊥平面;ABC ④平面PAE ⊥平面.PBC其中正确结论的序号是______________. 【答案】①②④【解析】如图所示,由已知条件利用线面平行,线面垂直,面面垂直的判定直接推导即可得出答案. 【详解】如图所示,在正四面体P-ABC 中,D,F 分别是AB,CA 的中点,则DF//BC, 因为DF ⊂平面PDF,BC ⊄平面PDF,所以BC//平面PDF,故①正确;由PB=PC,AB=AC,E 为中点,得PE BC,AE BC ⊥⊥,所以BC ⊥平面PAE,由DF//BC 得DF ⊥平面PAE,故②正确;过P 作PO ⊥平面ABC,垂足为O,由题意得O 点为底面△ABC 的中心,且点O 在AE 上,AO=23AE, 设AE 与DF 的交点为M,则由AM=12AE,故点O,M 不重合,则平面PDF 和平面ABC 不垂直,故③不正确;由②得BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC,所以平面PBC ⊥平面PAE,故④正确,综上可得正确的序号为①②④. 故答案为:①②④. 【点睛】本题考查了线面平行,线面垂直,面面垂直的判定,熟练掌握线面平行,线面垂直,面面垂直的判定定理是解题的关键,属于基础题. 16．若关于x 的方程2101x a x-+=+有两个不等的实数解，则a 的取值范围是_______ 【答案】() 1-+∞，【解析】根据题意关于x 的方程2101x a x-+=+有两个不等的实数解,等价于函数111y x=+和函数22y x a =-有两个交点来判断参数a 的取值范围,如图所示,采用数形结合来解决. 【详解】由题意关于x 的方程2101x a x -+=+有两个不等的实数解, 等价于函数111y x=+和函数22y x a =-有两个交点如图所示,M 点坐标为()0,a -,要使两个函数有两个交点,则需1a -<,即得1a >-.则满足题意a 的取值范围是:() 1,-+∞. 故答案为:() 1,-+∞. 【点睛】本题考查了数形结合的使用,根据图像交点的情况来解决方程实数根的问题,属于中档题.三、解答题17．已知函数()45f x x x =--，当方程()f x a =有3个根时，求实数a 的取值范围. 【答案】51a -<<-【解析】根据题意关于x 的方程()f x a =有三个根时,等价于函数()y f x =和函数y a =图像有三个交点,画图采用数形结合即可得出实数a 的取值范围.【详解】如图所示,方程()f a a =有三个根就是函数()y f x =与y a =有3个交点,22(2)94()45(2)14x x f x x x x x ⎧--=--=⎨---<⎩…, 由图得,51a -<<-.所以满足要求的实数a 的取值范围为51a -<<-.【点睛】本题考查了利用数形结合解决参数的问题,准确的将方程实数根的问题转化成图像交点的情况是解决本题的关键,属于中档题.18．已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：1//C O 面11AB D .【答案】证明见解析【解析】连结11A C ，设11111A C B D O ⋂=，连结1AO ，由已知得11A ACC 是平行四边形，11AOC O 是平行四边形，可得11//C O AO ，由线面平行的判定定理能证明1//C O 面11AB D .【详解】连结11A C ，设11111A C B D O ⋂=，连结1AO ，1111ABCD A B C D -是正方体，11A ACC ∴是平行四边形，11//AC AC ∴且11AC AC =， 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，11//O C AO ∴且11O C AO =，11AOC O ∴是平行四边形，111//,C O AO AO ⊂面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ，1//C O ∴面11AB D .【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，属于基础题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.19．如图，已知PA ⊥平面ABC ，且平面PAB ⊥平面PBC ，求证AB BC ⊥【答案】详见解析【解析】本题首先可以作AD PB ⊥，然后根据平面PAB ⊥平面PBC 即可得出AD BC ⊥，再然后通过PA ⊥平面ABC 即可得出PA BC ⊥，最后通过线面垂直的相关证明以及性质即可得出结果。