(参考资料)数值分析笔记

20世纪最好的十个算法( Computing in Science & Engineering 评选)1.1946.Los Alamos的Von Neumann,Stan Vlam,Nick Metropolis编的Metropolis算法,即Monte Carlo方法2.1947兰德公司的Grorge Dantzig创造的线性规划的单纯性算法3.1950.美国国家标准局数值分析所的Magnus Hestenes,Edward Stiefel, Cornelius Lanczos的Krylovz空间迭代法4.1951 橡树岭国家实验室的Alston Householder矩阵计算的分解方法5.1951 John Backus在IBM领导的小组研制的Fortron最优编译程序6.1959-61 伦敦的Ferranti Ltd的J.G.F.Francis的称为QR的算法的计算机本征值的稳定的算法7.1962London的Elliot Brothers Ltd的Tony Hoare提出的快速(按大小)分类法8.1965 IBM的Cooley与Princeton及Bell的Turkey的FFT算法9.1977 Brighham Young大学的Helaman Ferguson和Rodney Forcede的整数关系侦察算法10.1987 Yale的Leslie Greengard和Vladinimir Rokhlin发明的快速多级算法数值代数上课内容：一、预备知识（基础）1）误差分析2）范数理论3）初等变换与矩阵分解二、线性方程组的求解1）直接法2）迭代法3）最小二乘问题与矩阵广义逆三、矩阵特征值问题1）普通特征值问题a)幂法和反幂法b)QR方法2）对称特征值问题各部分的主要知识要点：（主要看上课笔记）一、预备知识（基础）§1 误差分析基本要求：1）了解数值代数的研究对象与特点及主要研究内容2）了解误差的基本知识及误差来源、误差种类3）了解浮点运算和舍入误差分析4）了解算法的评价及算法的向后稳定§2范数理论基本要求：1）熟练掌握向量范数的定义，会判断给定的某个函数是否是向量范数（范数的三个条件正定性、齐次性和三角不等式）2）了解常用向量范数、范数等价定理3）熟练掌握矩阵范数的定义，会判断给定的某个函数是否是矩阵范数（范数的三个条件正定性、齐次性和三角不等式）4）熟练掌握几个特殊的矩阵范数－算子范数、相容范数、酉不变范数的定义5）掌握常用矩阵范数1－范数，2－范数， －范数，F－范数的定义，并清楚且会证明它们分别属于算子范数、相容范数、酉不变范数的那一种范数6）会证明常用的范数不等式7）了解矩阵的谱和谱半径的定义二、初等变换与矩阵分解§1初等变换（主要看上课笔记）基本要求：1）了解初等变换的一般形式和一般初等变换的性质2）熟练掌握两种特殊的初等变换－Gauss消元变换、Household变换a)熟练掌握Gauss消元变换的定义和性质，特别是消元性质，会利用Gauss消元变换对向量进行消元b) 熟练掌握Householder变换/初等Hermit阵的定义和性质，特别是变换性质和消元性质，会利用Householder变换对向量进行消元，会求Householder变换矩阵3)熟练掌握Givens旋转变换的定义和性质，特别是消元性质即消元特点，会灵活运用Givens 旋转变换对向量进行消元（消调某一个变量）4）了解交换阵的定义即性质§2 矩阵分解1、基于Gauss消元阵的分解基于Gauss消元阵的分解，包括无主元LU分解、列主元LU分解、对称正定阵的Cholesky 分解基本要求：1）熟练掌握无主元LU分解的具体过程，会写出相应的程序，给定一个矩阵，会计算它的LU 分解矩阵2） 了解LU 分解的不稳定性和LU 分解的唯一性及存在条件det()0(1,2,,).1n n k k n A R D A k n A L U A LU ⨯∈=≠== 若阶方阵的顺序主子式则可唯一地分解为一个单位下三角阵和非奇异的上三角阵的乘积。

数值分析复习资料一、重点公式第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x llx x x lαα+-≤---≤-- 定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠ （Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。

6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。

数值分析期末复习资料数值分析期末复习题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明第一章误差与有效数字一、有效数字1、定义：若近似值X*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说x*有n 位有效数字。

2、两点理解：（1） 四舍五入的一定是有效数字（2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. ・§丄％ 3、 定理1 （P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差虧疗茲T 4、考点：（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1 （P7例题3） 二、避免误差危害原则 1、原则:（1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：xl*x2= c / a ） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. V777-77 =c ・2 X2sin7 或 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14 三. 数值运算的误差估计 1、公式：（1） 一元函数：I £*（ f 3））1 Q |「（於）1・| £*（力|或其变形公式求相对误差（两边同时除以f （卅））eg. P19习题1、2、5(2) (3) ln(x + £)- In x = In 1；1 — cos X =（2）多元函数（P8） eg. P8例4, P19习题4第二章插值法一、插值条件1、定义：在区间［a, b］上，给定n+1个点，aWxoVx［V・・・VxWb的函数值yi=f(xi),求次数不超过n的多项式P(x),饋兀)=儿 i =0,1,2,…，力2、定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数Wn的P(x)存在且唯一二、拉格朗日插值及其余项1、n次插值基函数表达式(P26 (2.8))2、插值多项式表达式(P26 (2.9))3、插值余项(P26 (2.12))：用于误差估计4、插值基函数性质(P27 (2. 17及2. 18)) eg. P28例1三、差商(均差)及牛顿插值多项式1、差商性质(P30)：(1)可表示为函数值的线性组合(2)差商的对称性：差商与节点的排列次序无关(3)均差与导数的关系(P31 (3.5))2、均差表计算及牛顿插值多项式例：已知X=1,4,9的平方根为1,2,3,利用牛顿基本差商公式求"的近似值。

第一章1.设x 为准确值，x*为x 的一个近似值.称e*=x*-x 为近似值的绝对误差，简称误差。

ε*=|e*|叫做近似值的误差限，e ∗x=x ∗−x x为相对误差，εr∗=ε∗|x ∗| 为相对误差限。

2.采用四舍五入原则时，值的误差不超过末位数字的半个单位(对π估计值取3.14时，误差|π-3.14|≤0.5 * 10-2). 3.ε(x 1∗±x 2∗)≤ ε(x 1∗)+ε(x 2∗) ε(x 1∗·x 2∗)≤|x 1∗|ε(x 2∗)+|x 2∗|ε(x 1∗) ε(x 1∗/x 2∗)≤|x 1∗|ε(x 2∗)+|x 2∗|ε(x 1∗)|x 2∗|24.相近数相减、大数吃小数等问题会加大误差。

T1. 已测得某场地长Ɩ的值为Ɩ*=110m ，宽d 的值为d*=80m ，已知 |Ɩ - Ɩ*| ≤ 0.2m ，|d – d*| ≤ 0.1m.试求面积s=Ɩd 的绝对误差限与相对误差限。

解：因为s= Ɩd, ðs ðƖ=d,ðsðd =Ɩ.故 ε(s∗)≈|(ðs ðl)∗|ε(l ∗)+|(ðs ðd)∗|ε(d ∗), (ðs ðl )∗=d ∗=80m (ðsðd)∗=l ∗=110m ε(l ∗)=0.2m ε(d ∗)=0.1m得绝对误差限 ε(s ∗)=27(m 2)相对误差限εr∗=ε(s ∗)|s ∗|=ε(s ∗)l ∗d ∗≈0.31%T3. 计算I n =e −1∫x n e xdx(n =0,1,…)1并估计误差。

解：由分部积分可得I n =e −1∫x n d (e x )=e −1(x n e x |01−∫e x d (x n )1)1=1−e −1n ∫x n−11e xdx =1−nI n−1 I 0=e−1∫e x10dx =1−e −1得到通式{I n =1−nI n−1 (n =1,2,…)I 0=1−e −1(1)为计算出I 0须先计算e -1,采用泰勒展开式，取k=7，使用四位小数计算。

数值分析笔记4.21
笔记只是上课的辅助部分，远远不如老师讲的精彩！只看笔记是很枯燥的，而听老师上课时很有趣的。

前半小时复习上次所学，（此处省略300字）
把zuotu1 改成如下
再新建一个文件myfun 作为子程序，以便被zuotu1调用。

双击打开写入
含义如下 1. 输入量为x 输出量为y
回到zuotu1 继续写
保存，运行
第二节插值
一、插值的定义（老师讲的时候没记下来，此处省略100字）
二、插值的方法
三、用matlab解决插值问题
下面详细介绍
二插值方法
一维插值
1.拉格朗日插值（略，老师说了解一下，我就没记定义）结论，用拉格朗日插值与原曲线有很大差异
黑色是原曲线其他颜色是 n取不同值拉格朗日插值的图形
2.分段线性插值（略定义）
3. 三次样条插值 （略定义）
（老师在黑板上 讲解了用三次样条曲线 插值的原理，我的高数学的太差，复述不明白，略） 三种插值的比较 （取自老师课件）
例题1
打开软件命名 chazhi.m
程序如下：
保存运行
结果如下：
例题2
打开老师的文件夹，找到双击打开运行
老师用三种插值方法做了图（程序老师解释了，可惜我没完全记下来）
二维插值的定义
这里 z0 表示一个矩阵以x0为列数以y0 为行数例题3
打开老师程序里 wendu.m
运行后
老师把步长改为 0.01
运行结果如下
例题4
打开 HD1
11
运行
（当然程序内容更多不懂了，老师说以后多练习就好了。

）。

岩土工程数值分析读书笔记摘要：阅读笔记分为两部分：理论学习和plaxis模拟相关问题。

理论部分0岩土工程数值分析简介岩土工程问题解析分析是以弹塑性力学理论和结构力学作为理论依据，适用于解决连续介质、各向同性材料、未知量少、边界条件简单的工程问题，存在很大的局限性。

岩土工程问题数值分析是借助于计算机的计算能力，适用于解决材料复杂、边界条件复杂、任意荷载、任意几何形状，适用范围广。

岩土工程数值分析发展过程：20世纪40年代，使用差分法解决了土工中的渗流及固结问题，如土坝渗流及浸润线的求法、土坝及地基的固结等。

20世纪60年代，使用有限元法成解决了土石坝的静力问题的求解。

20世纪70年代，使用有限元法解决了土石坝及高楼(包括地基)的抗震分析。

20世纪80年代，边界元法异军突起，解决了半无限域的边界问题；地基的静力及动力问题都使用边界元法得到了有效地解决。

岩土工程数值分析的方法有两类，一类方法是将土视为连续介质，随后又将其离散化，如有限单元法、有限差分法、边界单元法、有限元线法、无单元法以及各种方法的耦合。

另一类计算方法是考虑岩土材料本身的不连续性，如裂缝及不同材料间界面的界面模型和界面单元的使用，离散元法，不连续变形分析，流形元法，颗粒流等数值计算方法。

1数值分析过程中存在的问题及解决措施问题：(1)对岩土工程数值分析方法缺乏系统的知识和深入的理解，出现问题时不知道在什么情况下属于理论问题或数学模型问题；在什么情况下是属于计算方法问题或本构模型问题；在什么情况下是参数的确定问题或计算本身的问题等。

(2)各种本构模型固有的局限性。

具有多相性土的物理力学性质太复杂，难以准确地用数学模型和本构模型描述。

例如邓肯一张模型不能反映剪胀性，不能反映压缩与剪切的交叉影响；(3)现有的试验手段和设备不能提供适当、合理和精确的参数。

靠少数样本点所获得的参数难以准确地描述整个空间场地的物理力学性能；土的参数因土样扰动难以高质量的获取，其精度很差。