中国农业大学研究生数值分析考试重点及笔记

第一章、绪论1、了解数值分析的研究对象与特点。

2、了解误差的来源与分类，会求有效数字，会简单的误差估计。

3、了解误茅的定性分析及避免误茅危害。

第一早、插值重点题目：P19, 5, 7.1、 了解插值的概念。

2、 掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余项公式。

3、 了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿(Newton)插值法。

4、 了解茅分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。

5、 会埃尔米特(Hermite)插值及其余项公式。

6、 知道高次插值的病态性质，会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误并和收敛性。

7、 了解三次样条插值，知道其误差和收敛性。

重点题目：P5& 2, 6, 16.第三章、函数逼近与曲线拟合1、 了解函数逼近的基木概念，了解范数和内积空间。

2、 了解正交多项式的概念，了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质，知道其他常用止交多项式。

理解最佳一致逼近的概念和切比雪夫定理，掌握简单的最佳一致逼近多项式的求法。

理解最佳平方逼近的概念，掌握最佳平方逼近多项式的求法，了解用止交多项式做最佳平 方逼近的方法。

6、了解最佳平方逼近与快速傅里叶变换。

7、了解有理逼近。

重点题目:P115, 4, 13, 15, 17, 19.第四章、数值积分与数值微分1、 了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的 收敛性和稳定性。

2、 掌握低阶牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式及其性质和余项。

3、 会复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。

4、 会龙贝格(Romberg)求积算法。

5、 了解高斯求积公式的理论,会高斯-勒让德求积公式和高斯-切比雪夫求积公式。

6、 了解儿种常用的数值微分方法。

重点题目：P15& 1, 4, 6.第五章、解线性方程组的直接方法1、 了解求解方程组的两类方法，了解矩阵基础知识。

2、 掌握高斯消去法，了解矩阵的三角分解。

第一章 绪论【考点1】绝对误差概念。

近似数的绝对误差（误差）：()a =x a E -，如果()δa E ≤则称δ为a 的绝对误差限（误差限）。

【考点2】相对误差限的概念。

近似数a 的相对误差：()()/x a x =a E r -，实际运算()()/a a x a E r -=，a r /δδ=。

【考点3】有效数字定义。

设*x 的近似值a 可表示为n m a a .a a= 21010⨯±，m 为整数，其中1a 是1到9中的一个整数，n a a 2为0到9中的任意整数，若使()n m a||=|x a |E -*⨯≤-1021成立，则a 称近似*x 有位有效数字。

例：设256010002560,00256702.×=.a .=x -*=，则4-10×21=0.00005a -x ≤*。

因为，2-m=所以2n=，a 有2位有效数字。

若257.01000257.02⨯==-a ，则5102100000500000030-≤×=..=x-a ，因为2-=m ，所以3=n ，a 有3位有效数字。

例：设000018.x=，则00008.a=具有五位有效数字。

41021000010-≤×.=x-a ，因为1=m ，所以5=n ，即a 具有五位有效数字。

例：若3587.64=x *是x 的具有六位有效数字的近似值，求x 的绝对误差限。

410×0.358764=x *，即4=m ，6=n ，0.005=1021x -x 6-4⨯≤*【考点4】四舍五入后得到的近似数，从第一位非零数开始直到末位，有几位就称该近似数有几位有效数字。

【考点5】有效数字与相对误差的关系。

设x 的近似数为n m a a .a ×a= 21010±，)(a 01≠如果a 具有n 位有效数字，则的相对误差限为()111021--≤n r ×a δ，反之，若a 的相对误差限为()()1110121--+≤n r ×a δ，则a 至少具有n 位有效数字。

数值分析考研专业课资料数值分析是计算数学的重要分支，广泛应用于科学计算、工程技术以及社会经济等领域。

在考研阶段，掌握数值分析的基本理论和方法对于学生们来说尤为重要。

本文将为大家提供一些数值分析考研专业课的相关资料，帮助大家更好地准备考试。

1. 数值分析基本概念：1.1 下溢和上溢错误：在计算机中，由于存储精度的限制，较小或较大的数值可能导致下溢或上溢错误。

了解这些错误的产生原因和解决方法是数值分析中的基础知识。

1.2 计算误差：数值计算中的误差分为绝对误差和相对误差。

学习如何评估和控制计算误差对于正确进行数值计算和分析十分重要。

1.3 误差传播：误差传播是指在多步计算中误差如何积累和传递的问题。

掌握误差传播的方法可以帮助我们在复杂计算中减小误差的影响。

2. 数值线性代数：2.1 线性方程组求解：数值分析中，线性方程组求解是一项基础且常用的任务。

了解高斯消元法、LU分解、迭代法等求解方法，能够帮助我们高效地解决线性方程组的问题。

2.2 矩阵特征值和特征向量：矩阵的特征值和特征向量在科学计算和工程问题中具有广泛的应用。

学习如何计算和利用矩阵的特征值和特征向量，可以帮助我们分析和解决相关的数值问题。

3. 插值与拟合：3.1 插值方法：插值方法是通过已知数据点推导出未知数据点的数值方法。

掌握拉格朗日插值、牛顿插值等常用插值方法，可以帮助我们在实际问题中进行数据的预测和补充。

3.2 最小二乘拟合：最小二乘拟合是利用数学模型和已知数据点，通过最小化拟合曲线与实际数据的误差平方和来得到更精确的数据拟合。

学习最小二乘拟合方法，可以帮助我们处理实际问题中的数据拟合需求。

4. 数值微积分：4.1 数值积分：数值积分是计算定积分近似值的方法。

了解复化求积公式、数值积分误差估计等概念和方法，可以帮助我们在科学计算中进行积分运算。

4.2 数值微分：数值微分是通过数值方法计算导数的近似值。

掌握数值微分的方法，可以帮助我们在实际问题中进行导数的计算和分析。

《数值分析》期末复习提纲第一章数值分析中的误差(一) 考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。

误差的定性分析(二)复习要求1. 知道产生误差的主要来源。

2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。

3. 知道四则运算中的误差传播公式。

4. 避免误差危害的若干原则第二章插值法(一) 考核知识点插值函数，插值多项式，被插值函数，节点；拉格朗日插值多项式：插值基函数；均差及其性质，牛顿插值多项式；分段线性插值、线性插值基函数。

(二)复习要求1. 了解插值函数，插值节点等概念。

2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。

3. 掌握牛顿插值多项式的公式，了解均差概念和性质，掌握均差表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。

4. 掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造。

第三章函数逼近(一) 考核知识点函数逼近的基本概念，内积，范数，勒让德与切比雪夫正交多项式，最佳一次一致逼近，最佳平方逼近，曲线拟合的最小二乘法（二）复习要求1. 熟练掌握内积，范数等基本概念。

2. 熟练掌握勒让德与切比雪夫正交多项式的性质。

3. 掌握用多项式做最佳平方逼近的方法。

4. 最小二乘法及其计算方法。

第四章数值积分与数值微分(一) 考核知识点数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；插值型求积公式，牛顿―科特斯求积公式，牛顿―科特斯系数及其性质，(复合)梯形求积公式，(复合)Simpson求积公式；高斯型求积公式，高斯点，(二点、三点)高斯―勒让德求积公式；(二) 复习要求1. 熟练掌握数值积分和代数精度等基本概念。

2. 熟练掌握牛顿−科特斯求积公式和科特斯系数的性质。

熟练掌握并推导(复合)梯形求积公式和(复合)Simpson求积公式。

3. 知道高斯求积公式和高斯点概念。

会用高斯−勒让德求积公式求定积分的近似值。

1. 已知如下数据()i i x y ，，1,2,3,4i =，即（1，8），（2，7），（5，10），（10，21），试求一条形如by ax x=+的最小二乘拟合函数。

2. 考虑n 阶线性代数方程组Ax b =的扰动方程组()()A A x x b b +∆+∆=+∆设A 是非奇异矩阵，∙表示某种向量范数或从属于它的矩阵范数，且11A A -∆<，证明：（1）扰动方程有唯一解； （2）有估计()()1111A A A AA ---+∆≤-∆（3）记()1K A A A -=称为矩阵A 的条件数，则还有估计()()1x A b K A x K A AA A b ⎛⎫∆∆∆≤+ ⎪ ⎪-∆⎝⎭3. 方程组Ax b =，其中10.50.520.5,,0.51a A x a R a -⎡⎤⎢⎥=--∈⎢⎥⎢⎥--⎣⎦（1）试用迭代次数的充要条件求出使jacbi 迭代法收敛的a 的取值范围； （2）选择一种便于计算的迭代收敛的充分条件，求出G-S 迭代法收敛的a 的范围，并求出G-S 迭代公式（分量形式）；4. 设矩阵210131012A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试求()()2,,A cond A A ρ. 5. 设求()0f x =的迭代格式，()()()10,1,2,3......n n n n f x x x n f x +=-='收敛到()0f x = 精确解*x ，且*x 是方程()0f x =的单根，试证牛顿迭代格式二阶收敛，即()()()*1*12lim 2n n n n n f x x x x x f x -→∞--''-=-'- 6. 设*x 为()0f x =的一个根，()f x 在*x 的某领域为三次连续可微，且()*0f x ≠，对牛顿法做如下修改：()()()()()()10,1,2,3......n n nnn n n nn f x x x D f x f x f x D n f x +⎧=-⎪⎪⎨+-⎪==⎪⎩，证明该迭代法二阶收敛。

学号： 姓名：中国农业大学2014-2015秋季学期研究生《数值分析》试题一． 填空题1．*3587.6x =是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差≤*r e ___________.2．设f (x )=a n x n +1 (a n ≠0)，则f [x 0, x 1,…, x n ]=_________ .3．设0)(≥''x f , 则由梯形公式计算的近似值T 和定积分⎰=ba dx x f I )(的值的大小 关系为___________.（大于或者小于）4．已知=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,4032A A 则_______. 5．超松弛迭代法（SOR 方法）收敛的必要条件是 .6．求方程x = cos x 根的牛顿迭代格式是 .二．序列{y n }满足递推关系 y n =10y n -1-1，（n =1,2,…），若41.120≈=y （三位有效数字），计算到y 10时误差有多大？这个计算过程数值稳定吗？三．已知f ( x )的如下函数值以及导数值：5)2(,2)1(,3)1(,2)0(=='==f f f f ，(1) 建立不超过3次的埃尔米特插值多项式)(3x H ，并计算)8.1(3H ；（2）推导)(3x H 的插值余项；若1)(max )4(20≤≤≤x f x ，求)8.1()8.1(3H f -.用最小二乘法求形如b x a y +=的经验公式.五．已知数值积分公式)53(95)0(98)53(95)(11f f f dx x f ++-≈⎰-， (1) 证明上面的求积公式是高斯型求积公式；(2)(3) 试给出计算积分⎰b a dx x g )(的3点高斯型求积公式.(4) (5) 应用(2)所构造的求积公式计算积分⎰-63dx e x 的近似值（结果保留4位小数）.六． 对于方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+3221522321321321x x x x x x x x x ，(1)用三角分解法解此方程组；(2)讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解该线性方程组的敛散性；(3)取初值0)0(=X ，写出雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法的迭代公式，并迭代2次.七．给定方程,032=-x e x(1) 构造一种迭代公式在]4,3[上线性收敛该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何区间，迭代收敛的原因）；(2) 构造一种二次收敛的不动点迭代公式局部收敛该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何区间，迭代收敛的原因）.八．设有求解初值问题00)(),,()(y x y y x f x y =='的龙格—库塔公式)),(2,2(1n n n n n n y x f h y h x hf y y +++=+ (1) 证明：该公式至少是二阶公式；(2) (3) 用该公式计算积分⎰220x t dt e 在x =0.5, 1处的值.九．证明：设A 是非奇异阵，线性方程组0≠=b Ax ，且b b x x A δδ+=+)(则 b bA A x xδδ⋅⋅≤-1. 十．请你设计三种不同类型的算法求75.0的近似值，并评价你提出方法的精确程度.（注：直接按计算器不算作一种算法）。

数值分析复习要点
题型：
一、填空题：30分，前五个每题2分，后五个需计算的每个5分（第一章，
2个；其余各章一个）；
二、计算题：40分，共五道题选作四道，每题10分（章节不清楚）；
三、证明题：30分，共四道选作三道，每题10分（第二、三、四、八章）
老师说他给的资料里都有？？？；
说明:
每一章都有题，二三章大题较多。

第一章，无大题，可能是两个填空
第二章，有大题，代数方程求根不考
第三章，迭代法、LU分解法至少会一种、判断收敛性的充分条件和充要条件、算子范数、迭代课后题
第四章，三次样条不考大题
第五章，有大题，正交多项式，最多三阶？？
第六章，代数精度？记住梯形公式、辛普森公式、复化公式
第七章，会三种求特征值的方法（填空），特征值特征向量无大题，QR分解不考
第八章，证明题：收敛性、求阶，代数精度？（不清楚指的是哪一章的），平面旋转法要考
注：两道与导数有关的题？，均差不考，看一下老师讲过的习题4的4、5题证明题，求步长待定，老师说其他两个老师建议考，但是到今天还没有改，应该不会改了。

题是张老师出的，经过了最优化的考试，他出题有一定的难度的。

大家好好复习。

由于本人还没有开始复习，只记了关键词，好多不知道什么意思，仅供参考。

误差：x 是某实数的精确值，x A 是它的一个近似值，x-x A 是x A 的绝对误差，|x-x A |≤εA ，εA 是x A 的绝对误差限。

(x-x A )/x 为x A 的相对误差。

若|(x-x A )/x|≤εR ，为x A 的相对误差限。

x=±(0.a 1La n a n+1L)*10k (a 1≠0,k 是整数)，x A 是x 的a n+1的4舍5入得到的近似数，如果|x-x A |≤1/2*10k-n，则x A 为x 的具有n 位有效数字的近似值。

如果x A 有n 位有效数字，则nAAa x x x -⨯≤-=11R1021ε。

如果nAA a x x x -⨯+≤-=11R 10)1(21ε，则x A 至少有n 位有效数字。

函数求值的误差估计：()()A A A x x f x f εε)()('≈对n 元函数()n x K x x f ,,,21，自变量n x K x x ,,,21分别为nA A A x x x ,...,,21，则有()()()kA nk Ak nA A A x x fx K x x f εε∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂≈121,,,。

特别地，对()2121,x x x x f ±=有()()()A A A A x x x x 2121εεε+=±()()()A A A A A A x x x x x x 122121εεε+≈()()22122121A A A A A A A x x x x x x x εεε+≈⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 02≠A x 。

向量的范数：如果向量n R x ∈的某个实值函数()x x f =满足 （1）正定性：0≥x ，且0=x 当且仅当0=x ；（2）齐次性：对任意实数α，都有x x αα=；（3）三角不等式：对任意nR y x ∈,，都有y x y x +≤+，则称x 为n R 上的一个向量范数。

在n R 中，记()Tn x x x x ,...,,21=，常用的向量范数有：向量∞的范数：i ni x x≤≤∞=1max 向量的1范数：∑==ni i x x11向量的2范数：21122⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ni i x x 向量的p 范数：pni ppx x11⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=向量的夹角：x x x y x yx y x y x ,,0,,arccos ,,=≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧∧π矩阵的范数： 如果矩阵nn RA ⨯∈的某个实值函数()A A f =满足（1）正定性：0≥A ，且0=A 当且仅当0=A （2）齐次性：对任意实数α，都有A A αα=（3）三角不等式：对任意n n R B A ⨯∈,，都有B A B A +≤+（4）相容性：对任意n n R B A ⨯∈,，都有B A AB ≤。

第一章（有效数字位数）1、经四舍五入取近似值，其绝对误差限不超过末尾数字的半个单位。

2、设X*为准确值，X为近似值，称e=X*-X为近似值X的绝对误差，简称误差（显然e可正可负，准确值X*未知，因此e的准确值无法求出）3、|e|=|X-X*|≤ŋ，则称ŋ为近似值X的绝对误差限，简称误差限。

4、e r=e/X*称为相对误差，由于准确值X*总是未知的，所以也把e r*=e/X称为近似值X的相对误差5、|e r*|=|e/X|≤ŋ*，则称ŋ*为近似值X的相对误差限6、设X是X*的近似值，如果|X*-X|≤1/2×10-k,则称用X近似值表示X*时准确到小数点后第k位，并称从小数点后第k位起，直到最左边的非零数字之间的所有数字为有效数字，称有效数字的位数为有效数位。

7、设X是X*的近似值，X=±10m×0.a1a2…,其中a i（i=2，3…）是0到9之间的自然数，a1≠0，m为整数，如果|X*-X|≤1/2×10m-n，那么称近似值有n位有效数字。

8、四舍五入所得到的数均为有效数字，但并不是说非四舍五入所得到的数不能为有效数字。

第二章、非线性方程求根（不动点迭代、牛顿法、弦截法、快速弦截法、局部收敛、全局收敛、收敛阶）1、不动点迭代法（迭代法）（单根区间求解方法）：将非线性方程f（x）=0化为一个同解方程x=ø（x），若要求f（x*）=0，则x*=ø（x*），称x*为f（x）的零点，为ø（x）的一个不动点。

2、定理：设迭代函数ø（x）在【a，b】上连续，且满足（1）当x∈【a，b】时，a≤ø（x）≤b，（2）存在一正数L，满足0<L<1,且∀x∈【a，b】,有|ø/（x）|≤L<1。

则1、方程x=ø（x）在【a，b】内有唯一解x*。

2、对于任意初值x0∈【a，b】,迭代法x k+1=ø（x k）均收敛x*3、设ø（x）有不动点x*，如果存在x*的一个邻域 S:|X*-X|< ŋ,对任意初值x0∈S,迭代过程x k+1=ø（x k）均收敛，则称迭代过程在根x*邻近局部收敛。

数值分析总复习提纲数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与数值分析三个基本内容。

在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。

一、误差分析与算法分析误差分析与算法设计包括这样几个方面： （一）误差计算 1、截断误差的计算截断误差根据泰勒余项进行计算。

基本的问题是(1)1()(01)(1)!n n f x x n θεθ++<<<+，已知ε求n 。

例1．1：计算e 的近似值，使其误差不超过10－6。

解：令f(x)=e x ,而f （k)(x)=e x ,f （k)(0)=e 0=1。

由麦克劳林公式，可知211(01)2!!(1)!n x xn x x e e x x n n θθ+=+++++<<+当x=1时，1111(01)2!!(1)!e e n n θθ=+++++<<+故3(1)(1)!(1)!n e R n n θ=<++。

当n ＝9时，R n (1)<10－6，符合要求。

此时，e≈2.718 285。

2、绝对误差、相对误差和误差限计算绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可。

基本的计算公式是：①e(x)＝x *－x ＝△x ＝dx② *()()()ln r e x e x dxe x d x x x x==== ③(())()()()e f x f x dx f x e x ''== ④(())(ln ())r e f x d f x =⑤121212121122121122((,))(,)(,)(,)()(,)()x x x x e f x x f x x dx f x x dx f x x e x f x x e x ''''=+=+ ⑥121212((,))((,))(,)f x x f x x f x x εδ=⑦注意：求和差积商或函数的相对误差和相对误差限一般不是根据误差的关系而是直接从定义计算，即求出绝对误差或绝对误差限，求出近似值，直接套用定义式或，这样计算简单。

数值分析复习总结数值分析课本重点知识点第一章P4定义一P5定义二P6定理1P7例题3P10条件数（1）绝对误差（限）和相对误差（限）公式（2）有效数字（3）条件数及其公式第二章P26定理2（以及余项推导过程）P36两个典型的埃尔米特插值（1）拉格朗日插值多项式（包括其直线公式和抛物线公式）（2）插值余项推导及误差分析（估计）（3）两个典型的埃尔米特插值（4）三次样条插值的概念第三章P63例题3（1）最佳平方逼近公式的计算（2）T3（x）的表达式第四章P106复合梯形公式P107复合辛普森求积公式P108例题3（1）复合公式及其余项（2）判断一个代数的精确度第五章P162定义3向量的范数P165定理17P169定义8（1）左中右矩形公式（2）LU分解（3）谱半径和条件数（4）向量的范数第六章P192定理9第1条P192例题8第七章P215不动点和不动点迭代法P218定理3P228弦截法P229定理6第九章P280欧拉法与后退欧拉法P283改进欧拉公式数值分析课后点题答案第一章数值分析误差第二章插值法第三章函数逼近所以无解19。

观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t(s) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s(m)10305080110求运动方程。

解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程 s a bt =+ 令{}1,span t Φ=22012201016,53.63,(,)14.7,(,)280,(,)1078,s s =====则法方程组为614.728014.753.631078a b = ??? ?从而解得7.85504822.25376a b =-??=? 故物体运动方程为22.253767.855048S t =-20。

已知实验数据如下：i x 19 25 31 38 44 j y19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如2s a bx =+的经验公式，并计算均方误差。

数值分析总复习提纲数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与数值分析三个基本内容。

在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。

一、误差分析与算法分析误差分析与算法设计包括这样几个方面： （一）误差计算 1、截断误差的计算截断误差根据泰勒余项进行计算。

基本的问题是(1)1()(01)(1)!n n f x x n θεθ++<<<+，已知ε求n 。

例1．1：计算e 的近似值，使其误差不超过10－6。

解：令f(x),而f （k)(x)（k)(0)0=1。

由麦克劳林公式，可知211(01)2!!(1)!n x xn x x e e x x n n θθ+=+++++<<+当1时，1111(01)2!!(1)!e e n n θθ=+++++<<+故3(1)(1)!(1)!n e R n n θ=<++。

当n ＝9时，(1)<10－6，符合要求。

此时， e≈2.718 285。

2、绝对误差、相对误差及误差限计算绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可。

基本的计算公式是：①e(x)＝x *－x ＝△x＝② *()()()ln r e x e x dxe x d x x x x==== ③(())()()()e f x f x dx f x e x ''==④(())(ln ())r e f x d f x = ⑤121212121122121122((,))(,)(,)(,)()(,)()x x x x e f x x f x x dx f x x dx f x x e x f x x e x ''''=+=+⑥121212((,))((,))(,)f x x f x x f x x εδ=⑦ x εδ=注意：求和差积商或函数的相对误差和相对误差限一般不是根据误差的关系而是直接从定义计算，即求出绝对误差或绝对误差限，求出近似值，直接套用定义式()()r e x e x x =或xεδ=，这样计算简单。