数值分析1 直接法

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数值分析期末考试和答案

数值分析期末考试和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 插值法B. 迭代法C. 直接法D. 拟合法答案：C2. 以下哪个数值方法是用于求解非线性方程的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 拉格朗日插值法答案：B3. 在数值积分中，梯形法则的误差与下列哪个因素无关？A. 被积函数的二阶导数B. 积分区间的长度C. 积分区间的划分数量D. 被积函数的一阶导数答案：D4. 以下哪个数值方法是用于求解常微分方程的？A. 欧拉方法B. 牛顿迭代法C. 拉格朗日插值法D. 高斯消元法答案：A5. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解特征值问题？A. 高斯消元法B. 幂迭代法C. 牛顿迭代法D. 梯形法则答案：B6. 以下哪个数值方法是用于求解线性最小二乘问题的？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 正交分解法D. 牛顿迭代法答案：C7. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程组？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 欧拉方法答案：B8. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解偏微分方程？A. 有限差分法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 梯形法则答案：A9. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解优化问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 单纯形法答案：D10. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解插值问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 拉格朗日插值法答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，求解线性方程组的直接法包括______消元法和______消元法。

答案：高斯；LU2. 牛顿迭代法的收敛速度是______阶的。

答案：二3. 梯形法则的误差与被积函数的______阶导数有关。

答案：二4. 欧拉方法是一种求解______阶常微分方程的数值方法。

答案：一5. 幂迭代法是求解______特征值问题的数值方法。

数值分析计算方法介绍

S vt0 V
据此有 Vt1 vt0 S ，两端同除以 V v ，有
S t * 由于 V v
V v S t1 t0 V v V v V v
为人龟追赶问题的精确解，
由此可见，精确解等于任给预报值同它的校正值的加权平均：
其中
v V v
t* (1 )t1 t0
数
值
分
析
——插值、拟合与数值微积分
：
1
• 引例
数值分析(计算方法)简介
a11 x1 a1n xn b1 a x a x b nn n n n1 1
考虑如下线性方程组
(1)
或者：
Ax b
其中 det(A) 0 , 由克莱姆法则可知 (1)有唯一的解，而且解为：
, a3 0.8610 ，其绝对误差限都是0.005，例设近似值 a1 1.38, a2 0.0312 求各个近似值各有几位有效数字？
解
4
3 李庆扬. 数值分析. 清华大学出版社，2001.
4 白峰杉. 数值计算引论. 高等教育出版社, 2004. 5 王能超. 计算方法. 北京: 高等教育出版社, 2005
8
数值分析的基本概念
内容:
• • • • • 算法设计技术误差数值计算中需要注意的一些问题算法的稳定性病态问题
9
算法设计技术
1 a x1 x0 2 x0
0出发，利用上式反复迭代，即可获得满足精度要求的开
1 a xk , k 0,1, 2, 2 xk
校正技术的基本思想：删繁就简，逐步求精！ 17
• 算法优化的松弛技术再考察Zeno算法：对于给定的预报值 t 0 ，校正值为 t1

数值分析各章重点公式整理

数值分析各章重点公式整理数值分析是计算数学的一个分支，主要涉及计算和分析数值近似解的方法。

本文将从数值分析的基本概念、插值与逼近、数值微分和数值积分、非线性方程数值解、线性方程组直接解法、线性方程组迭代解法和特征值问题等几个方面，对数值分析中的重点内容进行整理。

一、数值分析的基本概念数值分析是用数值方法解决实际问题的方法和技术。

其主要研究目标是通过一定的计算机运算来获取数学问题的近似解。

数值分析涉及到误差分析、收敛性分析、稳定性分析等概念，对于数值方法的正确性和可行性提供了理论依据。

二、插值与逼近插值是通过已知数据点构造一个函数，使得这个函数通过已知数据点。

常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。

逼近是选择一种较为简单的函数来近似表示给定的复杂函数。

常用的逼近方法有最小二乘法和切比雪夫逼近。

三、数值微分和数值积分数值微分主要研究如何通过函数值的有限差分来估计导数值。

常用的数值微分方法有前向差分、后向差分和中心差分。

数值积分主要研究如何通过数值方法求出函数在一定区间上的定积分值。

常用的数值积分方法有梯形法则和 Simpson 法则。

四、非线性方程数值解非线性方程通常难以用解析方法求解，而数值方法则可以通过迭代来逼近方程的根。

常用的数值解法有二分法、牛顿法和割线法。

同时，对于多维非线性方程，也可以使用牛顿法的变形，牛顿下山法。

五、线性方程组直接解法线性方程组是数值分析中的一个重要问题。

直接解法主要有高斯消元法、LU 分解法和 Cholesky 分解法。

高斯消元法通过矩阵的初等行变换将线性方程组化为上三角方程组来求解。

LU 分解法将系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，然后通过回代求解。

Cholesky 分解法则适用于对称正定矩阵的解法。

六、线性方程组迭代解法线性方程组的迭代解法通过选取适当的初始解，通过迭代来逼近精确解。

常用的迭代解法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和超松弛迭代法。

展开

例解
x . 将f ( x) = e 展开成的幂级数
x
f
(n)
( x) = e , f
x
(n)
( 0 ) = 1.
( n = 0,1,2,L)
1 2 1 n e ~ 1+ x + x +L+ x +L 2! n!
x
其收敛半径 R = +∞.
eξ x n+1 , 因泰勒公式的余项 Rn ( x ) = ( n + 1)!
∑an ( x − x0 ) n=0
∞
n
1 (n) 则其系数 an = f ( x0 ) n!
且展开式是唯一的. 且展开式是唯一的.
∞
(n = 0,1,2,L)
Q ∑ an ( x − x0 )n 在uδ ( x0 )内收敛于 f ( x ),即证明
n= 0
f ( x ) = a 0 + a1 ( x − x 0 ) + L + a n ( x − x 0 ) + L
f ( n ) ( 0) n x 称为 f ( x ) 在点 x0 = 0 的麦克劳林级数. 麦克劳林级数. n!
∑
n= 0
问题
f ( n) ( x0 ) n f ( x) ? ∑ ( x − x0 ) == n! n=0
∞
泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定泰勒级数在收敛区间是否收敛于不一定.
n→ ∞ n→ ∞
充分性
n→ ∞
Q f ( x ) − sn+1 ( x ) = Rn ( x ),
n→ ∞
∴ lim[ f ( x ) − sn+1 ( x )] = lim Rn ( x ) = 0,

数值分析-北交大-王兵团-3-线性方程组解法 (1)

©
追赶法求解公式为：
追赶法算法
用追赶法来求解三对角线性方程组，计算量只是5n-4，这比Gauss消元法的计算量要小很多。
©
第3章线性方程组解法
§3.5 线性方程组解对系数的敏感性
©
1、解对系数敏感性的相对误差设方程组Ax=b的解为
扰动方程组的准确解为
有
©
用上述过程求解的方法称为追赶法解法。
©
定理3.7
Sor法收敛的必要条件是松弛因子满足0<<2 证明
©
2、误差估计定理3.8 设矩阵B的某种矩阵范数
证明参照非线性方程求根定理的证明，将：绝对值换成范数、函数换成矩阵，注意范数关系的使用，
©
例3.1 用Jacobi 迭代法解线性方程组解
Jacobi迭代收敛！
故所求近似解为准确解：
©
第3章线性方程组解法
§3.4 线性方程组的直接解法
©
一、Gauss消元法 1、基本思想先将线性方程组通过消元方法化为同解的上三角
方程组，然后从该三角方程组中按第n个方程、第n1个方程、…、第1个方程的顺序，逐步回代求出线性方程组的解。
2、构造原理 Gauss消元法的求解过程分为两个: “消元”：把原方程组化为上三角方程组； “回代”：求上三角方程组的解。
©
计算量
©
2）Gauss消元法矩阵解释第1步消元
第n-1步消元后，有
©
L是下三角阵，U是上三角阵。
A=D-L-U ?
例：研究线性方程组
的Gauss消元法求解结果，假设计算在4位浮点十进制数的计算机上求解。
解：
用Gauss消元法得
©
用Gauss消元法求解得其准确解为

数值分析方法及其应用

数值分析方法及其应用数值分析是一种以数值计算为基础的数学方法，通过使用计算机和数值算法来解决数学问题。

它在现代科学和工程领域中有着广泛的应用。

本文将介绍数值分析的基本概念和常见方法，并探讨其在各个领域中的应用。

一、数值分析方法概述数值分析方法是一种通过数值计算逼近真实结果的方法。

它主要包括离散化、数值逼近、数值求解和误差分析等步骤。

其中，离散化是将连续问题转化为离散问题，数值逼近是用有限的计算步骤得到问题的近似解，数值求解是通过迭代计算等方法求解数学问题，误差分析则是评估数值计算结果与真实结果之间的差异。

二、数值分析方法的常见技术1. 插值和外推：插值是通过已知数据点得到某个离散区间内的其他点的方法，而外推则是通过已知数据点得到某个离散区间外的点的方法。

常见的插值和外推方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。

2. 数值积分：数值积分是通过数值方法来计算函数积分的过程。

常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和高斯积分法等。

3. 数值微分：数值微分是通过数值方法来计算函数导数的过程。

常用的数值微分方法有差分法、微分逼近法和辛普森法则等。

4. 解线性方程组：线性方程组是数值分析中的重要问题，其求解方法包括直接法和迭代法。

直接法包括高斯消元法、LU分解法和高斯-赛德尔迭代法等，而迭代法则主要包括雅可比迭代法和共轭梯度法等。

5. 数值优化：数值优化是一种通过数值方法找到函数的最优解的过程。

常用的数值优化方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。

三、数值分析方法的应用领域1. 工程领域：数值分析方法在工程领域中有着广泛的应用。

例如，在结构力学中，可以利用有限元法对复杂结构进行分析；在电力系统中，可以利用潮流计算方法优化电力的分配和传输；在流体力学中，可以通过数值模拟方法研究流体的运动和传热。

2. 金融领域：数值分析方法在金融领域中也有着重要的应用。

例如，可以通过数值模拟方法对股票价格、利率和汇率等进行预测和风险评估；在期权定价中，可以利用数值方法计算期权的价值。

《数值分析教程》课件

总结词
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。

数值分析课件 11.线性方程组的直接解法-迭代

例：求解方程组
84xx11
3x2 23x2 12x3 36
Ax b
x* 3, 2,1T
x1 x2
1 8
3x2
2 x3
20
1 11
4x1
x3
33
x3
1 12
6 x1
3x2
36
x Bx f
0
B
4 11
3 8
0
2 8
1
11
0
an,n1 ann
a1,n a11
a2,n a22
an1,n an1,n1
0
f
b1 a11
,
b2 a22
,,
bn ann
T
Jacobi 迭代法－算法
x x0 x
TOL
最常用的是范数
Gauss-Seidel 迭代
x1(
k
1)
b1 a12 x2(k ) a13 x3(k ) a1n xn(k )
;
f
20
8 33
11
6 12
3 12
0
36 12
迭代法的基本思想
x1 2.5, 3, 3T
xk x1k , x2k , x3k T
x1 x2
1 8
3x2
2
x3
20
1 11
4
x1
x3
33
x3
1 12
6 x1
3x2
36
10 0.000187
xk1 Bxk f
0
存在某算子范数
B 1
，使得
定理：若存在算子范数 || · ||，使得 ||B|| = q <1，则

数值计算方法复习知识点

数值计算方法复习知识点数值计算方法是研究计算数值解的方法和数值计算的理论。

它是计算数学的一个分支，主要用于解决无法用解析方法求解的数学模型问题。

本文将综述数值计算方法的一些重要知识点，包括插值与逼近、数值微分与数值积分、线性方程组的直接解法与迭代解法以及常微分方程的数值解法。

一、插值与逼近1.插值：插值是利用已知数据点构造一个函数，使得该函数在给定的数据点上与已知函数完全相等。

常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。

2. 逼近：逼近是从已知数据点构造一个函数，使得该函数在给定的数据点附近与已知函数近似相等。

逼近常用的方法有最小二乘逼近和Chebyshev逼近。

二、数值微分与数值积分1.数值微分：数值微分是通过计算差分商来近似计算函数的导数。

常见的数值微分方法有前向差分、后向差分和中心差分。

2.数值积分：数值积分是通过近似计算定积分的值。

常见的数值积分方法有中矩形法、梯形法和辛普森法。

三、线性方程组的直接解法与迭代解法1.直接解法：直接解法是通过一系列数学运算直接计算线性方程组的解。

常见的直接解法有高斯消元法和LU分解法。

2. 迭代解法：迭代解法是通过迭代计算逼近线性方程组的解的方法。

常见的迭代解法有Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法。

四、常微分方程的数值解法1.常微分方程：常微分方程是描述动力系统的数学模型，常用来描述物理系统、生物系统等。

常微分方程的数值解法主要包括初始值问题的一阶常微分方程和常微分方程组的数值解法。

2.常微分方程的数值解法：常微分方程的数值解法有欧拉方法、改进的欧拉方法、龙格-库塔方法等。

这些方法都是将微分方程转化为递推方程，通过迭代计算逼近微分方程的解。

总结：数值计算方法是求解数学模型的重要工具，在科学计算、工程设计和经济管理等领域有广泛的应用。

本文回顾了数值计算方法的一些重要知识点，包括插值与逼近、数值微分与数值积分、线性方程组的直接解法与迭代解法以及常微分方程的数值解法。

数值分析总结

数值分析总结数值分析是研究用计算机和数学方法解决数学问题的一门学科，其核心是通过数值计算方法求解数学问题。

数值分析广泛应用于科学计算、工程计算以及实际问题的数值模拟和优化等领域。

本文将从数值方法的基本原理、数值线性代数、非线性方程求解、插值和曲线拟合、数值微分和数值积分、数值常微分方程等方面对数值分析进行总结。

数值方法的基本原理是将需要求解的数学问题转化为离散的数值计算问题。

数值方法主要包括近似计算、误差分析和收敛性研究。

近似计算通过选择适当的数值计算方法和算法，对原始问题进行精确程度有限的近似计算。

误差分析是研究数值计算和解析解之间的差别，包括截断误差和舍入误差。

收敛性研究是研究离散数值计算方法的收敛性，即当步长趋于零时，数值计算结果趋于解析解。

数值线性代数是数值分析的重要内容之一、数值线性代数主要研究线性代数方程组的数值解法。

常见的数值解法包括高斯消元法、LU分解法、Cholesky分解法等。

解线性代数方程组的数值方法可以分为直接法和迭代法两类。

直接法通过有限次数的计算求得方程组的解，而迭代法是通过求解逐步逼近方程组的解。

非线性方程求解是数值分析的另一个重要内容。

非线性方程求解的目标是找到方程的根，即方程的解。

常见的非线性方程求解方法包括二分法、牛顿法、割线法和迭代法。

这些方法根据不同的原理和特点，对非线性方程根的进行逐步逼近，最终得到根的近似值。

插值和曲线拟合是利用已知数据点确定未知数据点的数值计算方法。

插值方法通过已知数据点之间的连线来估计未知数据点的值。

常见的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。

曲线拟合是通过已知数据点拟合出一条曲线，使得该曲线在已知数据点上与原始数据最接近。

最小二乘法是常用的曲线拟合方法，通过最小化数据点到拟合曲线的垂直距离来得到最佳拟合曲线。

数值微分和数值积分是数值分析的基础性内容。

数值微分是通过差商的定义计算函数在特定点的导数值。

常见的数值微分方法有前向差分法和中心差分法。

数值分析知识点总结

数值分析知识点总结数值分析是一门研究数值计算方法的学科，它旨在研究如何使用计算机算法来解决数学问题。

数值分析广泛应用于科学与工程领域，如物理学、化学、计算机科学、经济学等，有助于我们在计算机上进行精确、高效、可靠的数值计算。

以下是数值分析的一些重要知识点。

1.数值误差：数值计算中存在着各种误差，包括舍入误差、截断误差、传播误差等。

舍入误差是由于计算机对无限小数进行近似表示而产生的误差，截断误差是由于计算方法不完全而导致的误差，传播误差是由于误差在计算过程中的传播而产生的误差。

2.插值与外推：插值是一类问题，它的目标是通过已知数据点的近似值来估计未知点的值。

插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。

外推是在已知数据点外估计函数值的方法，例如外推法、Richardson外推法等。

3.数值积分与微分：数值积分是计算函数在给定区间上的定积分的近似值的方法。

常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则、龙贝格法则等。

数值微分是通过计算函数在给定点的导数的近似值来估计函数的变化率。

4.线性方程组的求解：线性方程组是数值计算中的重要问题之一，其解决方法包括直接法和迭代法。

直接法是通过代数运算求解线性方程组的精确解，如高斯消元法、LU分解法等。

迭代法是通过迭代计算逼近线性方程组的解，如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。

5.非线性方程的求解：非线性方程求解是指求解形式为f(x)=0的方程的根。

常用的非线性方程求解方法有二分法、牛顿法、割线法等。

6.常微分方程的数值解法：常微分方程的数值解法是指通过计算机算法来近似求解微分方程的解。

常用的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。

7.特征值与特征向量的计算：特征值和特征向量是矩阵与线性变换中的重要概念。

求解特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵或线性变换的性质。

常用的特征值计算方法有幂法、反幂法等。

8.曲线拟合与回归分析：曲线拟合是通过给定的散点数据来拟合出一个函数曲线的方法。

(完整版)数值分析课后习题答案

第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。

线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。

数值计算方法-第5章_解线性方程组的直接法

①直接法：准确，可靠，理论上得到的解是精确的 ②迭代法：速度快，但有误差
本章讲解直接法
5.1 消元法
我们知道，下面有3种方程的解我们可以直接求出：
①
n次运算
A
diag(a11, a22 ,
, ann )
xi
bi aii
,i
1,
,n
②
（n＋1）n/2次运算
l11
A
l21 ln1
l22 ln2
(aik
k 1
liklkr ) r 1 lkk
,i k 1, , n
因此不常用
又 l11
1
l11
l21 l22
ln1
ln2
lnn
l '21 l 'n1
1 l'n2
1
l22
lnn
则有
A L~D~D~T L~T LDLT
L~
D~
1
L
l21 ln1
lnn
xi
bi
i 1
lij x j
j 1
lii
,i
1,
,n
③
（n＋1）n/2次运算
u11
A
u12 u22
u1n
u2n unn
xi
bi
n
uij x j
j i 1
uii
,i
n,
,1
对方程组，作如下的变换，解不变 ①交换两个方程的次序 ②一个方程的两边同时乘以一个非0的数 ③一个方程的两边同时乘以一个非0数，加到另一个方程
1 ln2
1
d1
D
d2
dn
a11 a12
a21 a22

数值分析PPT课件

03
数值分析的方法和技巧广泛应用于科学计算、工程、经济、金融等领域。
主题的重要性
随着计算机技术的不断发展，数值计算已经成为解决实际问题的重要手段。
数值分析为各种数学问题提供了有效的数值计算方法和技巧，使得许多问题可以通过计算机得以解决。
掌握数值分析的知识和方法对于数学建模、科学计算、数据分析等领域具有重要意义。
意义。
未来数值分析的发展方向
随着计算机技术的不断发展，数值分析将更加依赖于计算机实现，因此数值算法的优化和并行化将是未来的重要研究
方向。
随着大数据时代的到来，数值分析将更加注重对大规模数据的处理和分析，因此数据科学和数值分析的交叉研究将成
为一个新的研究热点。
随着人工智能和机器学习的发展，数值分析将更加注重对非线性、非平稳问题的处理，因此新的数值算法和模型将不
数值积分和微分
矩形法
将积分区间划分为若干个小的矩形区域，求和得到近似积分值。
辛普森法
梯形法
利用梯形公式近似计算定积分，适用于简单的被积函数。
利用三个矩形区域和一个梯形区域的面积近似计算定积分。
02
01
高斯积分法
利用高斯点将积分区间划分为若干个子区间，通过求和得到近似积分值。
04
03
矩阵的特征值和特征向量
数值分析ppt课件
目录
• 引言 • 数值分析的基本概念 • 数值分析的主要算法 • 数值分析的误差分析 • 数值分析的实例和应用 • 结论
01
引言
主题简介
01
数值分析是数学的一个重要分支，主要研究如何利用数值计算方法解决各种数学问题。
02
它涉及到线性代数、微积分、微分方程、最优化理论等多个数学领域。

数值分析_1

27
§3 算术运算中的误差
3.4 运算时需要注意的地方 (2) 防止大数吃小数
(2) 防止大数吃小数的情况－数量级相同的先运算在计算机内，做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。
103(0.8961) 103(0.4688) 对阶
103(0.8961) 103(0.0000)004688
13
(a )
(b)
§2 舍入方法与有效数字
2.3 有效数字
• 定义：如果数x的绝对误差不超过某一位数字的半个单位，若该位数字到x的第一位非零数字共有n位，则称x具有n位有效数字。 • 例：=3.1415926535, • 如果取作 3.14，则有三位有效数字 , 误差限 0.005; 如果取作3.1416，则有五位有效数字,误差限为 0.00005。 • 0.003529 两个不同的有效数 • 0.00352900
20
§3 算术运算中的误差
3.1 加减运算
例1.2: 求有效数3.150950，15.426463，568.3758， 7684.388的和。
没有意义
3.150950 15.426463 568.3758 +7684.388 8271.341213
误差限
0.0000005 0.0000005 0.00005 + 0.0005 0.0005510
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 例：设a=-2.18和b=2.1200是分别由准确值x和y 经过四舍五入而得到的近似值，问: a、b的绝对误差限、相对误差限各是多少？解：
(a ) 0.005 0.5 102
(b) 0.00005 0.5 104

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非线性方程与非线性方程组解法 “方程是很多工程和科学工作的发动机”。在工程和科学计算中，如电路和电力系统计算、非线性力学、非线性微分和积分方程、非线性规划等众多领域中，常涉及到非线性方程或非线性方程组的求解问题。【例如】求代数方程 084236256xxxx的根。【如】求解方程组

yxyyxxsin2.0cos7.0cos2.0sin7.0

诸如此类的问题，归结为寻求函数方程的零点，即求x*使 0*)(xf ………………(1)

x*称为方程或方程组（f为向量函数时）的根或零点。由于自然现象和实际问题的复杂性，对函数方程和方程组求解问题，没有哪一种方法能求出一般方程的准确解。因此，求其数值解就非常必要了。先讨论非线性方程求根问题。

§1直接法

直接法的理论依据：设f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)

•f(b)<0，根据连续函数的性质，f(x)在[a,b]内一定有根存在。此时称[a,b]为方程f(x)=0的有根区间。进而，若再加上严格单调，则[a,b]内有且仅有一根。直接法：是指通过对函数f(x)求值计算，逐步缩小有根区间，最后求出满足精度的近似根的方法。

一、逐步搜索法----确定有根区间

设f(x)在[a,b]内连续，为求其实单根存在区间，取一点0x（如0

＝a），并取一确定的正数h，称为步长，令khxxk0，观察)(kxf的符号变化情况，当0)()(1kkxfxf时，[1,kkxx] 便是一个有根区间，称上述逐步确定有根区间的方法为逐步搜索法。这种方法的计算量，与步长的选取相关，步长h选取的足够小，就可使有根区间足够精确，当然计算量也较大。逐步搜索法适用于粗略地估计根的计算问题，一般此方法只用来隔离有根区间是只有一个实单根的小区间。

【例1】求0343)(23xxxxf的有根区间。解因为f(x)在(-∞,+∞)内连续,而且 01)1(3463)(22xxxxf 所以f(x)为单调增加函数,则f(x)=0在(-∞,+∞)内最多只有一个实根. 又因为f(x)<0,f(2)>0,所以方程的唯一实根在[0,2]内,[0,2]就是所求的有根区间.

【例2】证明方程03)(2xexfx有3个实根. 证:由于f(x)在(-∞,+∞)内连续,要证方程有3个实根,即要证f(x)与ox轴有3个交点,只须证明有3个有根区间,且每个区间内只有一个根。 Matlab中有根区间的确定： x=-5:0.01:5;y=exp(x)-3*x.^2;plot(x,y,'r',x,0*x),grid on title('The Image of f(x)=exp(x)-3*x.^2')

xlabel('\fontsize {12} \fontname {宋体} 图１') %axis square

-5-4-3-2-1012345-80-60-40-20020406080The Image of f(x)=exp(x)-3*x.2

¡Í¼£± 也可转到Matlab指令窗中用zoom in放大二、二分法

理论依据：设函数f(x)在[a,b]上连续,严格单调,且有f(a)﹒f(b)<0。二分法的基本思想：反复对分区间，从而逐步缩小有根区间

步骤:取[a,b]的中点2bax，计算)(xf,

若)(xf=0则2baxx为所求； x* 否则（1）若0)()(xfaf,则令xbaa11, a x b （2）若0)()(bfxf,则令,,11bbxa 形成新的有根区间],[11ba。对],[11ba重复上述手续，则又可得],[22ba。

如此反复二分下去，得到一系列有根区间：],[],[],[2211bababa],[kkba



其中每个区间长度都是前一个区间长的一半，因此，],[kkba的长度 kkkabab2/)(趋于零（当k时）

【注】由区间套原理，必有x属于所有区间，该点就是方程之根。序列

}}{{kkba及中点2kkkbax的序列}{kx都收敛于x。

终止条件：12/)(2/)(k

kkkababxx………(2)

由此得到需二分的最少次数k 【例3】求052)(3xxxf在区间（2,3）内的根，要求准确到小数点后的第二位。解：1）有根区间的确定：这里a=2,a=3,f(2)=--1<0,f(3)=16>0, 而且),3,2(,023)(2xxxf因此方程有唯一的根落在（2,3）内。

2）二分次数的确定：由 005.02/)(1kab 得7k 即005.07xx 3）二分步骤：取21223x，则0625.5)5.2(f，因此根在(2,2.5)内，

再取25.0225.2x，890625.1)25.2(f，因此根在(2,2.5)内，如此二分下去，得

表1 二分计算结果 k 中点kx )(kxf 有根区间),(kkba

0 f(2)=-1,f(3)=16 (2,3) 1 2 3 4 5 6 2.5 2.25 2.125 2.0625 2.09375 2.109375 5.625 1.890625 0.345703 -0.351318 -0.008942 0.166836 (2,2.5) (2,2.25) (2,2.125) (2.0625,2.125) (2.09375,2.125) (2.09375,2.109375) 7 2.1015625 0.0785622 (2.09375,2.1015625) 取第7次二分的中点x=(2.09375+2.1015625)/2=2.10 二分法的计算机算法程序： %Erfen.m function y=refen(fun,a,b,esp) if nargin<4 esp=1e-4;end if feval(fun,a)*feval(fun,b)<0 n=1;x=(a+b)/2; while abs(b-a)/2>esp %or x>esp if feval(fun,a)*feval(fun,x)<0 b=x;x=(a+b)/2; elseif feval(fun,x)*feval(fun,b)<0 a=x;x=(a+b)/2; else y=x;esp=10000; end n,a,b %output n,a,b n=n+1; end y=c; elseif feval(fun,a)==0 y=a; elseif feval(fun,b)==0 y=b; else disp('these,may not be a root in the interval'); end n 调用二分法函数求方程的根： erfen('fun',2,3,0.005)

二分法的优点：算法直观、简单，且总能保证收敛；缺点：收敛速度较慢。

三、黄金分割法在二分法中，每次将有根区间[a,b]对分，从而经判断将有根区间缩减一半，达到了逐步缩小有根区间的目的。黄金分割法的基本思想：如果在[a,b]内适当插入两点，21xx和，而把有根区间分为三段，通过比较函数值，来缩短有根区间。问题：如何设置两个插入点的位置，使得在计算同样多函数值的条件下，有根区间能更快缩短？问题的解决：希望根存在区间的长度按比例β缩小（０＜β＜１），因此可对称地取)(),)(1(21abaxabax，若设[a,b]

的长为１个单位，而且],[],[21bxxa和的长度相等，即bxax21，若使每次搜索都按同一比率缩短区间，则要 abaxaxax221

即 11 或 012 其有用的根是382.01,618.0215。另外一个根是负数。按上述比例因子β去分割线段ab，被古人称为黄金分割，用黄金分割来搜索方程的根就是黄金分割法或称为优选法。计算机算法：步1, )(),(),(),)(1(221121xffxffabaxabax

步2,若2ab≤ε,则root2ba并转出口；否则做步３; 步3,若021ff则a1x，b2x转步１，否则，若0)(2fbf则做步４，0)(2fbf则做步５；

步4,)(),(,,222211xffabaxxxxa转步２；步5, )(),)(1(,,111122xffabaxxxxb转步２；【例4】求方程016xx在区间[1,2]内的根，使精确到ε＝0.05。解：本题中a=1,b=2,而f(1)=-1<0,f(2)=61>0，按上述算法)12(382.011x＝1.382，

32401.15)(,618.1)12(618.01,5850392.4)(221xfxxf，

由于0)()(21xfxf而且0)()2(2xff因此根在[1,1.618]内，此时取382.12x，则

1x＝1+0.382(1.618-1)=1.236076,2,3306606.1)(1abxf而,再

转第３步继续计算计算过程程序： %Gold_separate.m a=input('a='); b=input('b='); eps=input('eps='); beta=(sqrt(5)-1)/2; x1=a+(1-beta)*(b-a);x2=a+beta*(b-a);f1=fun(x1);f2=fun(x2);n=1，a,b y1(n)=x1;y2(n)=x2;z1(n)=a;z2(n)=b; while abs((b-a)/2)>=eps