45导数的应用2

第三章 导数及其应用1.了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数．4．能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数． ①常见的基本初等函数的导数公式： (C )′＝0(C 为常数); (x n )′＝nx n －1(n ∈N ＋)； (sin x )′＝cos x; (cos x )′＝－sin x ； (e x )′＝e x;(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)；(ln x )′＝1x ；(log a x )′＝1x log a e(a >0，且a ≠1)．②常用的导数运算法则： 法则1：[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )． 法则2：[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )．法则3：⎣⎡⎦⎤u （x ）v （x ）′＝u ′（x ）v （x ）－u （x ）v ′（x ）v 2（x ）(v (x )≠0)．5．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．6．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)． 7．会用导数解决实际问题．8．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 9．了解微积分基本定理的含义．3．1 导数的概念及运算1．导数的概念 (1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值ΔyΔx就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处 ，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作 或y ′|0|x x =，即f ′(x 0)＝0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .(2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim →∆x f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx .(3)用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法 ①求函数的增量Δy ＝ ；②求平均变化率ΔyΔx＝ ；③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆x ΔyΔx .2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应的切线方程为 ． 3．基本初等函数的导数公式(1)c ′＝(c 为常数)， (x α)′＝(α∈Q *)； (2)(sin x )′＝____________， (cos x )′＝____________； (3)(ln x )′＝____________， (log a x )′＝____________； (4)(e x )′＝____________， (a x )′＝____________. 4．导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝__________________. (2)[f (x )g (x )]′＝____________________；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )]′＝____________. (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ） ′＝___________________ (g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为______________．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．自查自纠1．(1)可导 f ′(x 0)(3)①f (x 0＋Δx )－f (x 0) ②f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx2．f ′(x 0) y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0) 3．(1)0 αxα－1(2)cos x －sin x (3)1x 1x ln a(4)e x a x ln a4．(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x )(3)f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]25．y x ′＝y ′u ·u ′x设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：因为y ′＝a －1x ＋1，所以切线的斜率为a －1＝2，解得a ＝3.故选D .(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为( )A ．(1，1)B ．(－1，－1)C ．(1，－1)D ．(－1，1)解：对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－1x 2＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1，1)．故选A .(2015·陕西)函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为( ) A ．y ＝e x B ．y ＝(1＋e)xC ．y ＝1eD ．y ＝－1e解：记y ＝f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝(1＋x )e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝－1，此时f (－1)＝－1e.故函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为y ＝－1e .故选D .(2016·天津)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________． 解：f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3.故填3.(教材习题改编)若函数f (x )＝x 2＋2x －3，则曲线y ＝f (x )在点P (2，5)处的切线的斜率是________． 解：f ′(x )＝2x ＋2，f ′(2)＝6.故填6.类型一 导数的概念用定义法求函数f (x )＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数． 解法一：Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )2－2(x ＋Δx )－1－(x 2－2x －1) ＝x 2＋2x ·Δx ＋Δx 2－2x －2Δx －1－x 2＋2x ＋1 ＝(2x －2)Δx ＋Δx 2，所以0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x （2x －2）Δx ＋Δx 2Δx＝0lim →∆x [(2x －2)＋Δx ]＝2x －2.所以函数f (x )＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数为 f ′(x )|x ＝1＝2×1－2＝0.解法二：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－1－(12－2×1－1) ＝1＋2Δx ＋Δx 2－2－2Δx －1＋2＝Δx 2，所以0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x Δx 2Δx ＝0lim →∆x Δx ＝0.故f ′(x )|x ＝1＝0.【点拨】利用导数定义求函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率ΔyΔx，再化简平均变化率，最后判断当Δx →0时，ΔyΔx 无限趋近于哪一常数，该常数即为所求导数，这是定义法求导数的一般过程．航天飞机发射后的一段时间内，第t s 时的高度h (t )＝5t 3＋30t 2＋45t ＋4(单位：m)． (1)求航天飞机在第1 s 内的平均速度；(2)用定义方法求航天飞机在第1 s 末的瞬时速度． 解：(1)航天飞机在第1 s 内的平均速度为 h （1）－h （0）1＝5＋30＋45＋4－41＝80 m/s.(2)航天飞机第1 s 末高度的平均变化率为h （1＋Δt ）－h （1）Δt＝5（1＋Δt ）3＋30（1＋Δt ）2＋45（1＋Δt ）＋4－84Δt＝5Δt 3＋45Δt 2＋120ΔtΔt＝5Δt 2＋45Δt ＋120，当Δt →0时，5Δt 2＋45Δt ＋120→120， 所以航天飞机在第1 s 末的瞬时速度为120 m/s.类型二 求导运算求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x －2x ＋e ；(4)y ＝ln xx 2＋1；(5)y ＝ln(2x －5)．解：(1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， 所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln3＋3x e x －2x ln2 ＝(ln3＋1)(3e)x －2x ln2.(4)y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2（1－2ln x ）＋1x （x 2＋1）2.(5)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.【点拨】求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有： (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导．求下列函数的导数： (1)y ＝e x cos x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝ln x ex ；(4)y ＝ln 1＋2x ；(5)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2；解：(1)y ′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x (cos x －sin x )． (2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x3.(3)y ′＝（ln x ）′e x －（e x ）′ln x （e x ）2＝1x e x －e x ln x （e x ）2＝1x －ln x e x ＝1－x ln x x e x .(4)y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，所以y ′＝12·11＋2x (1＋2x )′＝12·11＋2x ·2＝11＋2x.(5)因为y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π) ＝－12x sin4x .所以y ′＝－12sin4x －12x ·4cos4x ＝－12sin4x －2x cos4x .类型三 导数的几何意义(2016·广州模拟)f (x )＝2x＋3x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为________．解：f ′(x )＝－2x 2＋3，f ′(1)＝1，即切线的斜率为1，又f (1)＝5，即切点坐标为(1，5)，故切线方程为y －5＝x －1，即x －y ＋4＝0.故填x －y ＋4＝0. 【点拨】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．注意：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上．②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．(2016·广州模拟)曲线y ＝14x 2过点⎝⎛⎭⎫4，74 的切线方程为________． 解：设所求切线与曲线相切于点P ⎝⎛⎭⎫x 0，14x 20.易知y ′＝12x ，则y ′|x ＝x 0＝12x 0.故74－14x 204－x 0＝ 12x 0，整理得x 20－8x 0 ＋ 7 ＝ 0，解得x 0＝7或x 0＝1，所以点P ⎝⎛⎭⎫7，494或P ⎝⎛⎭⎫1，14，由两点式得切线方程为14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0.故填14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0.(2016·兰州诊断)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．－3 D.12解：y ′＝x 2－3x ，令y ′＝－12，得x 2＋x －6＝0，解得x ＝2或x ＝－3(舍去)，所以所求切点的横坐标为2.故选B .【点拨】求切点坐标问题，一般通过解方程或方程组求得，要注意其取值范围．(2016·无锡一模)曲线y ＝x －1x(x ＞0)上点P (x 0，y 0)处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，则点P 的坐标为________．解：由题意可得y 0＝x 0－1x 0，x 0＞0，因为y ′＝1＋1x2，所以过点P 的切线的斜率为1＋1x 20，则切线的方程为y －x 0＋1x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 20(x －x 0)， 令x ＝0得y ＝－2x 0，令y ＝0得x ＝2x 01＋x 20，所以△OAB 的面积S ＝12·2x 0·2x 01＋x 20＝13，解得x 0＝5(舍去负根)，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫5，455. 故填⎝⎛⎭⎫5，455.(2016·柳州模拟)曲线g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b ＝( )A.72B.52C.32D.12解：g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x ，则g ′(1)＝11，又g (1)＝72＋b ，故曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫72＋b ＝11(x －1)，由该切线过点(0，－5)，得b ＝52.故选B .【点拨】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 解：设切点坐标为(x 0，y 0)，对曲线方程求导得y ′＝1x ＋a ，故切线方程为y －ln(x 0＋a )＝1x 0＋a (x －x 0)，即y ＝1x 0＋ax －x 0x 0＋a ＋ln(x 0＋a )，据题意得1x 0＋a ＝1且－x 0x 0＋a ＋ln(x 0＋a )＝1，解得x 0＝－1，a ＝2.故选B .1．“函数在点x 0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系 (1)函数在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数，不是变量．(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数f ′(x 0)，根据函数的定义，在开区间(a ，b )内就构成了一个新的函数，也就是函数f (x )的导函数f ′(x )．(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的两种常用求法 (1)利用导数的定义，即求0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 的值；(2)求导函数在x 0处的函数值：先求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数f ′(x )，再将x 0(x 0∈(a ，b ))代入导函数f ′(x )，得f ′(x 0)．3．关于用导数求曲线的切线问题(1)圆是一种特殊的封闭曲线，注意圆的切线的定义并不适用于一般的曲线．(2)求曲线在某一点处的切线方程，这里的某一点即是切点，求解步骤为先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程．(3)求过某点的曲线的切线方程，这里的某点可能是切点(点在曲线上的情形)，也可能不是切点，即便点在曲线上，切线也不一定唯一．1．(2016·郑州一检)曲线f (x )＝e x sin x 在点(0，f (0))处的切线斜率为( )A ．0B ．－1C ．1 D.22解：f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，所以k ＝f ′(0)＝1.故选C .2．P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝3ln x ＋x ＋k (k ∈R )上的一点，曲线在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则实数k 的值为( )A ．2B ．－2C ．－1D ．－4解：y ′＝3x ＋1，令其等于4得x ＝1，代入切线方程得y ＝3，即切点坐标为(1，3)，代入曲线方程得3＝1＋k ，k ＝2.故选A .3．(2016·淄博质检)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，如果f ′(x )是二次函数，f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3B.⎣⎡⎭⎫π3，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，2π3D.⎣⎡⎭⎫π3，π解：依题意得f ′(x )≥3，即曲线y ＝f (x )在任意一点处的切线斜率不小于3，故其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2.故选B .4．(2017·西安质测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1，3) B ．(－1，3) C ．(1，3)和(－1，3) D ．(1，－3)解：f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上．故选C .5．(2017·石家庄调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－e C.1e D ．－1e解：y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e .故选C .6．(2016·郑州二测)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解：l 与y 轴交点为(0，2)，可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率k 等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0.故选B . 7．(2016·江西师大附中三模)如图所示，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，则f (4)＋f ′(4)的值为________．解：由图可知f (4)＝5，f ′(4)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝4处切线的斜率，故f ′(4)＝5－34－0＝12，故f (4)＋f ′(4)＝5.5.故填5.5.8．已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是________．解：由题意知，方程f ′(x )＝－1e 有解，即e x －m ＝－1e 有解，即e x ＝m －1e 有解，故只要m －1e >0，即m >1e即可．故填⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. 9．求函数f (x )＝x 3－4x ＋4图象上斜率为－1的切线方程． 解：设切点坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x 0)＝3x 20－4＝－1，所以x 0＝±1. 所以切点为(1，1)或(－1，7)． 切线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.10．(2017·长沙调研)已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解：(1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1， 所以所求切线方程为3x ＋3y －11＝0.(2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.11．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程； (2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点P (2，4)的切线方程． 解：(1)y ′＝x 2，设切点为(x 0，y 0)，故切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1，1)． 故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.(2)因为y ′＝x 2，且P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. 所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(3)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，又因为切线的斜率k ＝y ′|x =x 0＝x 20， 所以切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43. 因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(2017·浙江杭州模拟)若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解：设过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又点(1，0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.故选A .。

导数的概念教案及说明一、教学目标1. 让学生理解导数的定义和几何意义。

2. 掌握导数的计算方法。

3. 能够应用导数解决实际问题，如速度、加速度等。

二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数的计算方法4. 导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义、几何意义和计算方法。

2. 难点：导数的计算方法和在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。

2. 使用多媒体课件辅助教学。

五、教学过程1. 导入：回顾函数的斜率概念，引导学生思考函数在某一点的瞬时变化率。

2. 导数的定义：介绍导数的定义，强调极限的思想，引导学生理解导数的含义。

3. 导数的几何意义：通过图形演示，让学生直观地理解导数表示曲线在某一点的切线斜率。

4. 导数的计算方法：讲解导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的四则运算等。

5. 应用导数解决实际问题：举例说明导数在实际问题中的应用，如速度、加速度等。

6. 练习：布置练习题，让学生巩固导数的概念和计算方法。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的重要性和应用价值。

8. 作业：布置作业，巩固所学内容。

六、教学反思在教学过程中，注意观察学生的反应，根据学生的实际情况调整教学节奏和难度。

针对学生的薄弱环节，加强讲解和练习。

七、教学评价通过课堂表现、作业和练习，评价学生对导数的理解和应用能力。

鼓励学生积极参与讨论，提高解决问题的能力。

八、课时安排本节课安排2课时，共计45分钟。

九、教学资源1. 多媒体课件2. 练习题3. 相关参考资料十、教学拓展1. 导数的进一步应用，如函数的单调性、极值等。

2. 导数在其他学科中的应用，如物理、化学等。

六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的函数实例，让学生理解导数的计算过程和应用场景。

2. 小组讨论：鼓励学生分组讨论导数问题，培养合作解决问题的能力。

3. 实际操作：让学生利用计算器求解导数，增强实践操作能力。

第十节变化率与导数、导数的运算授课提示：对应学生用书第37页［基础梳理］1．导数的概念（1）函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝错误!为函数y＝f（x)在x＝x0处的导数,记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝错误!＝．(2）导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s（t)对时间t 的导数）．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．（3）函数f（x)的导函数称函数f′(x)＝错误!为f(x)的导函数．2原函数导函数f（x）＝c(c为常数)f′(x)＝0f（x)＝xα(α∈Q＊）f′(x)＝αxα－1f(x）＝sin x f′(x)＝cos__xf(x）＝cos x f′（x）＝－sin__xf（x）＝a x(a＞0，且a≠1）f′（x)＝a x ln__af(x）＝e x f′（x）＝e x f(x)＝log a x（a＞0,且a≠1）f′(x）＝错误!f（x)＝ln x f′（x)＝错误!3.导数的运算法则（1）[f(x)±g(x）］′＝f′(x）±g′(x)．(2）［f（x)·g（x）］′＝f′（x)g(x）＋f（x)g′（x)．（3）错误!′＝错误!(g（x）≠0)．1．求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件,要注意这一点，如(x n）′＝nx n－1中,n≠0且n∈Q*.错误!′＝错误!，要满足“＝”前后各代数式有意义，且导数都存在．2．(1)f′（x0)代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；(f（x0））′是函数值f(x0）的导数,而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)）′＝0.(2）f′（x)是一个函数，与f′(x0）不同．3．（1）“过”与“在”：曲线y＝f（x)“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别：前者P（x0，y0)为切点，而后者P（x0，y0)不一定为切点．(2)“切点”与“公共点”:曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点．[四基自测]1．（基础点：求导数值)若f(x）＝x·e x，则f′（1)等于(）A．0B．eC．2e D．e2答案：C2．（易错点：导数的运算)已知f（x)＝x·ln x,则f′（x）＝（) A。

高一数学复习考点知识讲解课件5.2.2函数的和、差、积、商的导数 考点知识1.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 导语同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，实际上，它是我们整个导数的基础，而且我们也只会幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类函数的求导法则，我们知道，可以对基本初等函数进行加减乘除等多种形式的组合，组合后的函数，又如何求导，将是我们本节课要解决的内容．一、f (x )±g (x )的导数问题令y ＝f (x )＋g (x )，如何求该函数的导数？提示Δy ＝[]f (x ＋Δx )＋g (x ＋Δx )－[]f (x )＋g (x )；Δy Δx ＝[]f (x ＋Δx )＋g (x ＋Δx )－[]f (x )＋g (x )Δx＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＋g (x ＋Δx )－g (x )Δx， y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＋g (x ＋Δx )－g (x )Δx ＝f ′(x )＋g ′(x )．所以有[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )．两个函数和或差的导数：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．注意点：推广[f1(x)±f2(x)±…±f n(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±f n′(x)．例1求下列函数的导数：(1)y＝x5－x3＋cos x；(2)y＝lg x－e x.解(1)y′＝()x5′－()x3′＋()cos x′＝5x4－3x2－sin x.(2)y′＝(lg x－e x)′＝(lg x)′－(e x)′＝1x ln10－e x.反思感悟两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用函数的求导法则即可．跟踪训练1求下列函数的导数：(1)f(x)＝15x5＋43x3；(2)g(x)＝lg x－e x.解(1)∵f(x)＝15x5＋43x3，∴f′(x)＝x4＋4x2.(2)∵g(x)＝lg x－e x，∴g′(x)＝1x ln10－e x.二、f(x)g(x)和f(x)g(x)的导数1．(f (x )·g (x ))′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，特别地，(Cf (x ))′＝Cf ′(x )(C 为常数)．2.⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 注意点：注意两个函数的乘积和商的导数的结构形式．例2求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋x ln x ；(2)y ＝ln x x 2；(3)y ＝e x x ；(4)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)．解(1)y ′＝(x 2＋x ln x )′＝(x 2)′＋(x ln x )′＝2x ＋(x )′ln x ＋x (ln x )′＝2x ＋ln x ＋x ·1x＝2x ＋ln x ＋1.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2′＝(ln x )′·x 2－ln x (x 2)′x 4 ＝1x ·x 2－2x ln x x 4＝1－2ln x x 3.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x x ′＝(e x )′x －e x (x )′x 2＝e x ·x －e xx 2. (4)方法一y ′＝[(2x 2－1)(3x ＋1)]′＝(2x 2－1)′(3x ＋1)＋(2x 2－1)(3x ＋1)′＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.方法二∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.反思感悟(1)先区分函数的运算方式，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．跟踪训练2求下列函数的导数：(1)y＝2x3－3x＋x＋1x x；(2)y＝x2＋1 x2＋3；(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)．解(1)∵3131222 23y x x x x---=-++，∴135222233322y x x x x---'+--＝.(2)方法一y ′＝(x 2＋1)′(x 2＋3)－(x 2＋1)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝2x (x 2＋3)－2x (x 2＋1)(x 2＋3)2＝4x (x 2＋3)2. 方法二∵y ＝x 2＋1x 2＋3＝x 2＋3－2x 2＋3＝1－2x 2＋3， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＋3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2x 2＋3′ ＝(－2)′(x 2＋3)－(－2)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝4x (x 2＋3)2. (3)方法一y ′＝[(x ＋1)(x ＋3)]′(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)′＝[(x ＋1)′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)′](x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝(2x ＋4)(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋18x ＋23. 方法二∵y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)＝(x 2＋4x ＋3)(x ＋5)＝x 3＋9x 2＋23x ＋15，∴y ′＝(x 3＋9x 2＋23x ＋15)′＝3x 2＋18x ＋23.三、导数四则运算法则的应用例3(1)曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是()A.2B.22C ．1D ．2答案B解析设曲线y ＝x ln x 在点(x 0，y 0)处的切线与直线x －y －2＝0平行．∵y ′＝ln x ＋1，∴k ＝ln x 0＋1＝1，解得x 0＝1，∴y 0＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线x －y －2＝0的距离为d ＝|1－0－2|1＋1＝22， 即曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是22.(2)设f (x )＝a ·e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，求a ，b 的值．解f ′(x )＝(a ·e x )′＋(b ln x )′＝a ·e x ＋b x ，由f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，得⎩⎨⎧ a e ＋b ＝e ，a e －b ＝1e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以a ，b 的值分别为1,0. 反思感悟(1)熟练掌握导数的运算法则和基本初等函数的求导公式．(2)涉及切点、切点处的导数、切线方程等问题时，会根据题意进行转化，并分清“在点”和“过点”的问题．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x ，曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，则a ，b 的值分别为________．答案1,1解析f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x (x ＋1)2－b x 2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎨⎧ f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎨⎧ b ＝1，a 2－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1. (2)曲线y ＝f (x )＝2e (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为________．答案1解析由题意可知，f ′(x )＝2e x ·e x ，f ′(1)＝2，∴切线方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.令x ＝0得y ＝－2；令y ＝0得x ＝1.∴曲线y ＝2e (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为S ＝12×2×1＝1.1．知识清单：(1)导数的运算法则．(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(3)导数四则运算法则的应用．2．方法归纳：公式法、转化法．3．常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．1．函数y＝x(x2＋1)的导数是()A．x2＋1B．3x2C．3x2＋1D．3x2＋x答案C解析∵y＝x(x2＋1)＝x3＋x，∴y′＝(x3＋x)′＝(x3)′＋x′＝3x2＋1.2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是()A.193B.163C.133D.103答案D解析∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a ＝103.3．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为()A ．－1B ．0C ．1D ．2答案A解析因为f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，所以f ′(x )＝f ′(－1)x －2.所以f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2，所以f ′(－1)＝－1.4．已知函数f (x )＝e x ·sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是____________． 答案y ＝x解析∵f (x )＝e x ·sin x ，∴f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )，f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y －0＝1×(x －0)，即y ＝x .课时对点练1．(多选)下列运算中正确的是()A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝(sin x )′－(x 2)′x 2 D ．(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′答案AD解析A 项中，(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′，故正确； B 项中，(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2(x 2)′，故错误；C 项中，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝(sin x )′x 2－sin x (x 2)′(x 2)2，故错误； D 项中，(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′，故正确．2．曲线f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角为()A.π6B.3π4C.π4D.π3答案B解析因为f ′(x )＝x 2－2x ，k ＝f ′(1)＝－1，所以在x ＝1处的切线的倾斜角为3π4.3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于()A ．e 2B ．eC.ln22D ．ln2答案B解析∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2，即ln x 0＝1，解得x 0＝e.4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于()A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案B解析∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(x )为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.5．设f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为()A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)答案C解析f (x )的定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x －2)(x ＋1)x>0，解得x >2，所以f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)．6．(多选)当函数y ＝x 2＋a 2x (a ＞0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0可以是()A ．aB ．0C ．－aD ．a 2答案AC解析y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2， 由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .7．已知函数f (x )＝x 3－mx ＋3，若f ′(1)＝0，则m ＝_________________________________. 答案3解析因为f ′(x )＝3x 2－m ，所以f ′(1)＝3－m ＝0，所以m ＝3.8．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． 答案1解析∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22， 得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 9．求下列函数的导数：(1)y ＝ln x ＋1x； (2)y ＝cos x e x ；(3)f (x )＝(x 2＋9)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x ； (4)f (x )＝sin x x n .解(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝()ln x ′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x 2. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝()cos x ′e x －cos x ()e x′()e x 2＝－sin x ＋cos x e x . (3)f (x )＝x 3＋6x －27x ，f ′(x )＝3x 2＋27x 2＋6.(4)f′(x)＝(sin x)′x n－sin x·(x n)′(x n)2＝x n cos x－nx n－1sin xx2n＝x cos x－n sin xx n＋1.10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)＝e x sin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．解(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.(2)由(1)可知g(x)＝e x sin x＋x2－8x＋3，所以g′(x)＝e x sin x＋e x cos x＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋2×0－8＝－7，又g(0)＝3，所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，即7x＋y－3＝0.11．已知曲线f(x)＝x2＋ax＋1在点(1，f(1))处切线的倾斜角为3π4，则实数a等于()A．1B．－1C．7D．－7 答案C解析∵f′(x)＝2x(x＋1)－(x2＋a)(x＋1)2＝x2＋2x－a(x＋1)2，又f′(1)＝tan3π4＝－1，∴a＝7.12．已知曲线f(x)＝(x＋a)·ln x在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，则a等于()A.12B．1C．－32D．－1答案C解析因为f(x)＝(x＋a)·ln x，x>0，所以f′(x)＝ln x＋(x＋a)·1x，所以f′(1)＝1＋a.又因为f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，所以f′(1)＝－12，所以a＝－32.13．如图，有一个图象是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)等于()A.13B ．－13C.73D ．－13或53答案B解析f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，图(1)与图(2)中，导函数的图象的对称轴都是y 轴，此时a ＝0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f (x )的导函数的图象．由图(3)知f ′(0)＝0，即f ′(0)＝a 2－1＝0，得a 2＝1，又由图(3)得对称轴为－2a 2＝－a >0，则a <0，解得a ＝－1.故f (x )＝13x 3－x 2＋1，所以f (－1)＝－13.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13x 3－4x ，x <0，－1x －ln x ，0<x <1，若f ′(a )＝12，则实数a 的值为________．答案14或－4解析f ′(x )＝⎩⎨⎧ x 2－4，x <0，1x 2－1x ，0<x <1，若f ′(a )＝12，则⎩⎨⎧ 0<a <1，1a 2－1a ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2－4＝12，解得a ＝14或a ＝－4.15．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝________.答案4096解析因为f ′(x )＝(x )′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ， 所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8. 因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212＝4096.16．已知函数f (x )＝ax x 2＋b ，且f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若P (x 0，y 0)为f (x )图象上的任意一点，直线l 与f (x )的图象切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解(1)由题意得f ′(x )＝(ax )′(x 2＋b )－ax (x 2＋b )′(x 2＋b )2＝a (x 2＋b )－2ax 2(x 2＋b )2＝－ax 2＋ab (x 2＋b )2，因为f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝－a ＋ab(1＋b )2＝0，f (1)＝a 1＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，则f (x )＝4x x 2＋1. (2)由(1)可得，f ′(x )＝－4x 2＋4(x 2＋1)2，所以直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝4－4x 20(x 20＋1)2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x 20＋1)2－1x 20＋1， 令t ＝1x 20＋1，则t ∈(0,1]， 所以k ＝4(2t 2－t )＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－12， 则在对称轴t ＝14处取到最小值－12，在t ＝1处取到最大值4，所以直线l 的斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4.。

[高考数学]导数的应用
导数的应用主要可以分为物理、化学、经济、生物、管理等方面，这在我们日常学习和生活中起着十分重要的作用。

在物理方面，导数主要用于求解轨迹问题、运动学问题及某些其他物理问题。

比如重力加速度可以使用导数求解，当时间变化时，它可以表征速度和加速度之间的变化规律；另外，函数曲线在解决机械物理问题、电力学问题也是极为重要的。

在化学中，导数用于密度测定和反应速率的测定中，比如反应的速率和反应的势能可以用导数来表示，从而了解反应的规律等。

在经济学领域，导数可以用来计算收益率，比如我们可以利用导数来计算两个收益率之间的变化规律，从而了解收益率的发展趋势，使做出更好的决策；此外，还可以用导数来分析实时的变动价格，并根据这些变动情况来研究行业发展趋势，以及做出合理的投资决策。

在生物学领域，导数可以用来研究群落的构成及结构的变化，以及生物群落的动态演变规律；此外，导数也可以用来研究生物调节系统，及研究正常生活过程中生理过程和机体发展过程中活跃物质的变化，以及配比调节环境所产生的影响等。

在管理方面，我们可以使用导数研究不同管理措施对企业经营所产生的影响，比如改变经营模式、更改产品策略等，从企业经营状况中可以计算出对相关经营指标及收益的变化；此外，还可以用于预测财务及市场的变化，计算不同策略的收益或亏损率，从而有效实施市场经济策略。

总之，导数在物理、化学、经济、生物、管理等方面的应用非常广泛，它是解决具体问题和研究问题较好方法。

在高考数学中，对导数有一定的要求，对导数的应用要求学生不仅掌握基本概念，而且要能用做问题分析，从而解决具体问题，及为研究物理、化学、经济、生物和管理等方面提供重要的理论依据。

三角函数的导数与导数的应用三角函数是数学中非常重要的一类函数，其导数的计算和应用也有着广泛的实际意义。

本文将就三角函数的导数及其应用展开论述。

一、三角函数的导数1. 正弦函数的导数根据导数的定义，我们可以求出正弦函数的导数。

给定函数y = sin(x)，我们对其求导得到y' = cos(x)。

2. 余弦函数的导数类似地，根据导数的定义，我们可以求出余弦函数的导数。

给定函数y = cos(x)，我们对其求导得到y' = -sin(x)。

3. 正切函数的导数正切函数是正弦函数与余弦函数的商，因此根据导数的求商法则，我们可以求出正切函数的导数。

给定函数y = tan(x)，我们对其求导得到y' = sec^2(x)，其中sec(x)表示x的余割函数。

二、三角函数导数的应用1. 求函数极值点利用三角函数的导数，我们可以求出函数的极值点。

极值点是指函数在某一段区间内取得最大值或最小值的点。

通过求解导函数等于零的方程，我们可以得到极值点的横坐标。

然后，再通过带入原函数，即可得到相应的纵坐标。

2. 研究函数的增减性根据导数的正负性，我们可以研究函数的增减性。

当导数大于零时，函数单调增加；当导数小于零时，函数单调减少。

通过分析导数的符号变化，我们可以获得函数的增减区间。

3. 求函数的曲线图像三角函数的导数还可以帮助我们求解函数的曲线图像。

通过求解导函数等于零的方程，我们可以得到函数的驻点。

驻点是指函数的导数为零的点。

通过分析导数的变化，我们可以判断驻点是极大值点、极小值点还是拐点。

然后，再通过带入原函数，即可获得函数的曲线图像。

4. 应用于物理问题三角函数的导数在物理学中有着广泛的应用。

例如，在研究振动、波动等的物理问题时，我们经常需要利用三角函数的导数来描述相关的物理量的变化规律。

通过求解导数，我们可以获得这些物理量的变化速率，从而更好地理解和解决实际物理问题。

三、总结通过本文的论述，我们可以看出三角函数的导数及其应用在数学和物理中具有重要的地位。

导数的计算与应用导数是微积分中的一个重要概念，用来描述函数在某一点处的变化率。

导数的计算对于解决实际问题和优化函数非常有帮助。

本文将介绍导数的计算方法以及其在实际应用中的作用。

一、导数的计算方法导数可以通过以下方法来计算：1. 极限法：根据导数的定义，可以通过计算函数在某一点的极限来得到该点处的导数。

例如，对于函数f(x)，若极限lim_(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h存在，则该极限值即为函数f(x)在点x处的导数。

2. 函数的求导公式：有许多函数的导数可以通过特定的公式直接计算得出。

例如，对于幂函数f(x)=x^n，其导数为f'(x)=n*x^(n-1)；对于指数函数f(x)=a^x，其导数为f'(x)=ln(a)*a^x，其中ln(a)为以e为底的对数。

3. 导数的性质和运算法则：导数具有一些特性和运算法则，可以通过利用这些性质和法则来计算复杂函数的导数。

例如，若函数f(x)和g(x)都可导，则其和、差、乘积、商的导数可以通过对应的公式计算得出。

二、导数的应用导数在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用场景。

1. 最值问题导数可以用来求解函数的最值问题。

对于一个函数，其在极值点处的导数等于零或者不存在。

因此，我们可以通过计算函数的导数来找到函数的极值点，并进一步求得函数的最大值或最小值。

这在经济学、物理学等领域中经常用到。

2. 切线与曲线的刻画导数可以用来描述函数曲线在某一点处的切线。

在点(x₀, f(x₀))处，函数的导数f'(x₀)即为曲线在该点处的切线斜率。

通过计算导数，我们可以画出函数曲线上各点处的切线，从而更好地理解和分析函数的行为。

3. 加速度与速度在物理学中，导数可以用来描述物体的速度与加速度之间的关系。

例如，对于物体在时间t上的位移函数s(t)，其导数s'(t)即为物体在时间t上的速度v(t)；而物体的速度的导数v'(t)即为物体在时间t上的加速度a(t)。

一.教学内容导数的应用(二) 最大值与最小值一般地，在闭区间［a，b］上连续的函数f (x)在［a , b］上必有最大值与最小值；在开区间f (x)=丄(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如X在(O,-：：)内的图象连续，但无最大值和最小值。

设函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f(x)在(a , b)内的极值；(2)将f (x)的各极值与f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

【典型例题】4 2［例1］求函数y - X - 2x 5在区间［_2,2］上的最大值与最小值。

3解：y” = 4x -4x，令y”=O，有4x3 -4^0 x「1,0,1当x变化时，y, y的变化情况如下表：从上表可知，函数y = X -2X在区间［-2 , 2］上最大值为13,最小值为4,利用此表可画出函数的图象如下:1410--2 -1 03 2［例2］已知f (x)二ax -6ax b, x ・［-1,2］的最大值为3,最小值-29，求a 、b 的值。

解：依题意a=0，否则f(x)二b 与已知矛盾。

2f (x) = 3ax -12ax = 3ax(x - 4)令「(x) =0解得x =0或x =4「(x) > 0(1 )当a >0时，由.一1兰x兰2解得一 1兰x v 0 令f(x) ：：： 0，解得0 ：：： x _2，列表如下：由f(x)连续，则当x = 0时，f(x)有最大值，即f(0) = b= 3 ，又由f(T) =「7a b f(2) =「16a b，则 f(2)为最小值，故-16a 3 一29二 a =2y_x 4-2x 2+5r- x所以，当a 0时，a =2，b =3 (2 )当a ::: 0时，列表如下:故f(x)最小值为f (0) =b = -29 , f (x)最大值为f ⑵二J6a -29 =3二a = -2所以，当a ：：：0 时，a - -2, b - -292 3 2［例3］已知两个函数f(x) =8x ^x-k ,g(x)=2x 5x *x,其中「R(1 )对任意的［-3,3］，都有f(x)'g(x)成立，求k的取值范围。

二次函数中的45°处理方法首先，我们可以通过几何的方法来处理。

二次函数的图像是一个抛物线，而45°角对应的直线的斜率是1。

如果我们需要找到二次函数的图像与45°角的交点，可以通过代数的方法解方程组来求解。

具体来说，我们可以将二次函数的方程和直线的方程联立，然后解方程得到交点的坐标。

其次，我们也可以通过角度的方法来处理。

对于一元二次函数，我们可以求出其判别式Δ=b^2-4ac的值来判断二次函数的图像与x轴的交点情况。

当Δ>0时，说明二次函数与x轴有两个交点，即二次函数的图像开口朝上或者朝下；当Δ=0时，说明二次函数与x轴有一个交点，即二次函数的图像与x轴相切；当Δ<0时，说明二次函数与x轴没有交点，即二次函数的图像位于x轴之上或之下。

这些情况都可以帮助我们理解二次函数的图像特点，从而更好地处理与45°角相关的问题。

此外，我们还可以通过导数的方法来处理。

对于二次函数y=ax^2+bx+c，其导数为y'=2ax+b。

我们可以通过导数来求解二次函数的极值点，进而判断二次函数的图像与45°角的交点情况。

当二次函数的导数在某点的值为1时，说明二次函数的图像在该点的切线斜率为1，即与45°角相切。

这也是处理45°角问题的一种方法。

综上所述，处理二次函数中的45°角问题可以通过几何、角度和导数等多种方法来进行。

通过综合运用这些方法，我们可以更全面地理解和处理与二次函数图像相关的45°角问题。

五种类型函数的二阶导数计算题及答案步骤主要内容：本文举例介绍基础复合函数型、和差型、乘积型、商型、三角函数型等类型函数的二阶导数及二阶偏导数的计算步骤。

1. 基础复合函数二阶导数2. 函数和差类型二阶导数3. 函数乘积类型二阶导数4. 函数商类型二阶偏导数5. 三角函数二阶偏导数五种类型函数的二阶导数计算题及答案步骤一、基础复合函数二阶导数☂1：求y=(3x+19)4二阶导数。

☂2：求y=52-18x 2 的二阶导数。

☂3：求y=e 6x 二阶导数y"的计算过程。

☂4：计算y=sin(27x+34)的二阶导数。

☂5：求y=e 10x 2cos6x+57x 二阶导数。

☂6：求y=ln(6x-8x 2-22)的二阶导数。

二、函数和差类型二阶导数☂7：求y=9x5+40x-45的二阶导数。

☂8：求y=15x7+13x5-17x+69的二阶导数。

☂9：求y=x5-8x4+36x+41的二阶导数。

☂10：计算y=6x6-sin7x的二阶导数。

☂11：求y=cos(5x+10)+x2+e7的二阶导数过程。

三、函数乘积类型二阶导数☂12：求函数y=x(33-37x)的二阶导数。

☂13：y=xe9x的二阶导数。

☂14：y=x 6*8x的二阶导数。

☂15：求y=xe -x 3+12的二阶导数。

☂16：y=sin15x*cos5x，求此函数的二阶导数。

☂17：z=xln(x+6y)，求其所有二阶偏导数。

四、函数商类型二阶偏导数☂18：求y=x-40x+96的二阶导数。

☂19：函数 y=15x 2-3x+4的二阶导数。

☂20：求y=4x 15+x 2的二阶导数。

☂21：计算y=sin4x x+3的二阶导数。

☂22：求y=3x+x x 2-38的二阶导数。

五、三角函数二阶偏导数☂23：y=sin 9x 求二阶导数。

☂24：求函数y=cos7xtan2x 的二阶导数。

☂25：求函数y=cos(9x+29)x的二阶导数。

45度二次函数范文一元二次函数是数学中重要的一类函数，其一般形式为：$y = ax^2+ bx + c$，其中 $a \neq 0$。

本文将重点讨论一元二次函数的特殊情况，45度二次函数。

什么是45度二次函数呢？顾名思义，就是将一元二次函数的图像旋转45度。

正常情况下，二次函数的图像是一个抛物线，但旋转后得到的45度二次函数的图像更加特殊，它是一个倾斜的抛物线。

我们可以通过几何方法来求解45度二次函数的公式。

假设我们有一般形式的二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，我们希望将其旋转45度，得到新的函数 $y' = a'(x' - h')^2 + k'$。

为了让抛物线旋转45度，我们需要使新的函数的横坐标和纵坐标是旧函数坐标的线性组合。

推导的过程如下：设旧函数的坐标为$(x,y)$，新函数的坐标为$(x',y')$。

根据平面旋转变换的定义，我们有：$\begin{cases}x' = \frac{x+y}{\sqrt{2}} \\ y' = \frac{y-x}{\sqrt{2}}\end{cases}$由此，我们可以解出新函数的表达式：$y' = \frac{y-x}{\sqrt{2}} = \frac{(ax^2+bx+c) -x}{\sqrt{2}}$经过整理化简，我们得到：$y' = \frac{ax^2-(\sqrt{2}-1)x+b}{\sqrt{2}}$可以看出，经过旋转后，原来二次函数的系数发生了调整，$a'$ 变成了 $a$，$b'$ 变成了 $-(\sqrt{2}-1)$。

这样一来，我们就得到了45度二次函数的一般形式：$y = ax^2 - (\sqrt{2}-1)x + c$接下来，我们将具体分析45度二次函数的图像特点。

首先，由于系数$a$的正负决定了抛物线的开口方向，同样地，45度二次函数的图像开口方向也由$a$决定。