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导数的运算法则【知识梳理】1．导数的四则运算法则（1)条件：f（x），g(x)是可导的．(2）结论：①f（x)±g（x)]′＝f′(x）±g′(x）．②f(x）g(x)］′＝f′(x)g(x)＋f（x)g′（x)．③错误!′＝错误!(g(x）≠0）．2．复合函数的求导公式（1）复合函数的定义：①一般形式是y＝f(g（x)）．②可分解为y＝f(u）与u＝g（x)，其中u称为中间变量．（2)求导法则：复合函数y＝f（g(x））的导数和函数y＝f(u），u ＝g(x)的导数间的关系为：y x′＝y u′·u x′.【常考题型】题型一、利用导数四则运算法则求导典例］求下列函数的导数：（1）y＝x2＋log3x;（2)y＝x3·e x；(3)y＝错误!。
解] (1）y′＝（x2＋log3x）′＝（x2)′＋（log3x)′＝2x＋错误!.（2）y′＝（x3·e x）′＝（x3)′·e x＋x3·（e x）′＝3x2·e x＋x3·e x＝e x（x3＋3x2）．（3)y′＝错误!′＝错误!＝错误!＝－错误!。
【类题通法】求函数的导数的策略（1）先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．【对点训练】求下列函数的导数：（1）y＝sin x－2x2；(2)y＝cos x·ln x；（3)y＝e x sin x。
解：(1）y′＝（sin x－2x2)′＝(sin x)′－（2x2）′＝cos x－4x。
（2）y′＝（cos x·ln x)′＝(cos x）′·ln x＋cos x·（ln x)′＝－sin x·ln x＋错误!.（3）y′＝错误!′＝错误!＝错误!＝错误!题型二、复合函数的导数运算典例］求下列函数的导数：（1）y＝错误!；(2）y＝e sin（ax＋b)；（3）y＝sin2错误!;(4)y＝5log2(2x＋1)．解] （1)设y＝u－错误!，u＝1－2x2，则y′＝（u－12）′ （1－2x2）′＝错误!·(－4x）＝－错误!（1－2x2)－错误!(－4x）＝2x(1－2x2）－错误!。
高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结高中数学人教版选修2-2导数及其应用学问点总结数学选修2-2导数及其应用学问点必记1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1：其中x是自变量的转变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念是什么？答：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limf(x0x)f(x0)y，则称limx0xx0x函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做yf(x)在x0处的导数，记作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxyexedxex xylogaxa0,a1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinx dxcosxycosxy"sinx6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若fx，gx均可导（可积），则有：和差的导数运算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)积的导数运算特殊地：Cfx"Cf"x商的导数运算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特殊地："2gxgx复合函数的导数yxyuux微积分基本定理fxdxab（其中F"xfx）和差的积分运算ba[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaabb特殊地：积分的区间可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k为常数)abbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)accb6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？答：①求函数f(x)的导数f"(x)②令f"(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f"(x)8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求f(x)在a,b 上的极值；⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
数学2-2 导数及其应用一、选择题：1．对于R 上可导的任意函数)(x f ，若满足0)()1(≥'-x f x ，则必有（ ） A 、)1(2)2()0(f f f <+ B 、)1(2)2()0(f f f ≤+ C 、)1(2)2()0(f f f ≥+ D 、)1(2)2()0(f f f >+2．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-4．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ） A ．1B ．12C ．12-D ．1-5．设a R ∈，若函数xy e ax =+，x R ∈，有大于零的极值点，则（ ） A 、1a <- B 、1a >- C 、1a e <- D 、1a e>- 6．设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ）A. 2e B. e C.ln 22D. ln 27．若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞- 8．函数3223125y x x x =--+在[0，3]上的最大值，最小值分别是（ ） A ．5，-15 B ．5，-4C ．-4，-15D ．5，-16二、填空题9．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ； 函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ． 10．直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b = 11．设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ． 12．3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a =三、解答题13．已知函数2()()x f x ax bx c e -=++的图象过点(0,2)a ,且在该点处切线的倾斜角为45° （I ）使用a 表示,b c ；（Ⅱ）若()f x 在[2,)+∞上为单调递增函数，求a 的取值范围；2 BCAy x1 O 3 4 5 61 2 3 414．设函数f (x )=1x e-+ax(a R ∈). (Ⅰ)若函数f (x )在x =1处有极值, 且函数g (x )=f (x )+b 在(0,+∞)上有零点，求b 的最大值； (Ⅱ)若f (x )在(1，2)上为单调函数，求实数a 的取值范围；15．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知2()h x x =，()2ln (x e x e ϕ=为自然对数的底数)．（1）求()()()F x h x x ϕ=-的极值；（2）函数()h x 和()x ϕ是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．16．已知函数()f x ax =，()ln g x x =（a 为常数） （I ）求函数()()y f x g x =-极值；（II ）试就a 的不同取值，研究直线()f x ax =与()ln g x x =的交点个数17．设函数()ln f x ax x =+，()22g x a x =.⑴当1a =-时，求函数()y f x =图象上的点到直线30x y -+=距离的最小值；⑵是否存在正实数a ，使()()f x g x ≤对一切正实数x 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.导数及其应用一、选择题：1．C 2．A 3．D 4．A 5．A 6．B 7．C 8． A 二、填空题9．((0))f f = 2 ；(1)f '= -2 ． 10．ln 21b =- 11．2=a 12．提示：要使()0f x ≥恒成立，只要min ()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立。
22()333(1)f x ax ax '=-=-01 当0a =时，()31f x x =-+，所以min ()20f x =-<，不符合题意，舍去。
02当0a <时22()333(1)0f x ax ax '=-=-<，即()f x 单调递减，mi n ()(1)202f x f aa ==-≥⇒≥，舍去。
03当0a >时1()0f x x a'=⇒=±① 若111a a ≤⇒≥时()f x 在11,a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和 1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在11,a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减。
所以min1()min (1),()f x f f a ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭(1)400411()120f a a f a a -=-+≥⎧⎪≥⇒⇒=⎨=-≥⎪⎩② 当111a a>⇒<时()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减， min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，不符合题意，舍去。
综上可知a=4.三、解答题13．解：（I ）2'()(2)()xx f x ax b eax bc c e --=+-++2[(2)],xax b a x c b e -=-+-+- ·························································· 2分由已知得：'(0)1(0)2f b c f a =-=⎧⎨=⎩，即212c ab a=⎧⎨=+⎩（Ⅱ）方法一：由（I ）得2'()(1)xf x ax x e -=-+-()f x 在[2,)+∞上为单调增函数，则'()0[2,)f x x ≥∈+∞对恒成立，即210ax x +-≤对[2,)x ∈+∞恒成立。
即21xa x -≤对[2,)x ∈+∞恒成立， 令222111111()()24x x x x x x ϕ-==-=--，112,0,21()4mix x x x ϕ≥∴<≤∴=-14a ∴≤-方法二：同方法一。
令2312(),'()x x x x x x ϕϕ--== 当2x >时'()0x ϕ>，()x ϕ 在[2,)x ∈+∞单调递增，mi 1()(2)4x x ϕϕ∴==-14a ∴≤-14．解: (Ⅰ)f '(x )= 1x e --2a x,又函数f (x )在x =1处有极值,∴f '(1)=0,a =1,经检验符合题意g '(x )= 1x e --21x,当x ∈(0,1)时, g '(x )<0, g (x )为减函数, 当x =1时,g '(x )=0, 当x ∈(1,+∞)时g '(x )>0，g (x )为增函数, ∴g (x )在x =1时取得极小值g (1)=2+b ,依题意g (1)≤0, ∴b ≤-2, ∴b 的最大值为-2;(Ⅱ)f '(x )= 1x e --2a x ，当f (x )在(1，2)上单调递增时, 1x e --2a x ≥0在[1，2]上恒成立, ∴a ≤x 21x e -,令h (x )= x 21x e -，则h '(x )= 1x e -( x 2+2 x )>0在[1，2]上恒成立, 即h (x ) 在[1，2]上单调递增,∴h (x ) 在[1，2]上的最小值为h (1)=1, ∴a ≤1; 当f (x )在[1,2]上单调递减时,同理a ≥x 21x e -,h (x )= x 21x e -在[1,2]上的最大值为h (2)=4e , ∴a ≥4e ; 综上实数a 的取值范围为a ≤1或a ≥4e ；15．解(1) ()()()F x h x x ϕ=-= 22ln (0)x e x x ->，22()()()2e x e x e F x x x x-+'∴=-=． 当x e =时，()0F x '=．当0x e <<时，()0F x '<，此时函数()F x 递减；当x e >时，()0F x '>，此时函数()F x 递增； ∴当x e =时，()F x 取极小值，其极小值为0．(2)解法一：由（1）可知函数)(x h 和)(x ϕ的图象在e x =处有公共点，因此若存在)(x h 和)(x ϕ的隔离直线，则该直线过这个公共点．设隔离直线的斜率为k ，则直线方程为)(e x k e y -=-，即e k e kx y -+=． 由)()(R x e k e kx x h ∈-+≥，可得02≥+--e k e kx x 当R x ∈时恒成立．2)2(e k -=∆ ，∴由0≤∆，得e k 2=．下面证明e x e x -≤2)(ϕ当0>x 时恒成立． 令()()2G x x ex e ϕ=-+e x e x e +-=2ln 2，则22()()2e e e x G x e x x-'=-=， 当x e =时，()0G x '=．当0x e <<时，()0G x '>，此时函数()G x 递增；当x e >时，()0G x '<，此时函数()G x 递减； ∴当x e =时，()G x 取极大值，其极大值为0．从而()2ln 20G x e x ex e =-+≤，即)0(2)(>-≤x e x e x ϕ恒成立． ∴函数()h x 和()x ϕ存在唯一的隔离直线2y ex e =-． 解法二： 由(Ⅰ)可知当0x >时，()()h x x ϕ≥ (当且当x e =时取等号) ．若存在()h x 和()x ϕ的隔离直线，则存在实常数k 和b ，使得()()h x kx b x R ≥+∈和()(0)x kx b x ϕ≤+>恒成立，令x e =，则e k e b ≥+且e k e b ≤+k e b e ∴+=，即e k e b -=．后面解题步骤同解法一．16．解：（I ）令1()()(),()ln ,'(),F x f x g x F x ax x F x a x=-∴=-=-令'()0,1F x ax =∴= （1）当0a >时，驻点是1,a 当1x a >时，'()0F x >；当10x a<<时，'()0F x <，1x a∴=是函数的极小值，且极小值为11ln a -，函数无极大值点。
