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人教版高中数学必修2-2知识点第一章导数及其应用一.导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像，我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3.导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数.()y f x =的导函数有时也记作y '，即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1.基本初等函数的导数公式：若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；若()f x x α=，则1()f x x αα-'=；若()sin f x x =，则()cos f x x'=若()cos f x x =，则()sin f x x '=-；若()x f x a =，则()ln x f x a a'=若()x f x e =，则()xf x e '=若()log x a f x =，则1()ln f x x a '=若()ln f x x =，则1()f x x '=2.导数的运算法则[()()]()()f xg x f x g x '''±=±[()()]()()()()f xg x f x g x f x g x '''∙=∙+∙2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''∙-∙'=3.复合函数求导()y f u =和()u g x =，称则y 可以表示成为x 的函数，即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况；求函数()y f x =的极值的方法是：如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是极大值；如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是极小值；3.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系；求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识，求函数的最大(小)值，从而解决实际问题第二章推理与证明1.归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。
高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；5、常见的函数导数 函数 导函数 (1)y c ='y =0 (2)n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= (3)x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a =(4)x y e ='x y e =(5)log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1'ln y x a =(6)ln y x = 1'y x=(7)sin y x = 'cos y x =(8)cos y x = 'sin y x =-6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 和差的导数运算[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 积的导数运算[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±特别地：()()''Cf x Cf x =⎡⎤⎣⎦商的导数运算[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 特别地：()()21'()'g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦复合函数的导数x u x y y u '''=⋅微积分基本定理()baf x dx =⎰F(a)--F(b)（其中()()'F x f x =）和差的积分运算1212[()()]()()b bbaaaf x f x dx f x dx f x dx±=±⎰⎰⎰ 特别地：()()()bb aakf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数积分的区间可加性()()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中.用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f (x )的导数'()f x②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
数学选修2----2知识点第一章 导数及其应用 知识点：一．导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：无 知识点：二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln xf x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算★1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =★2、若()sin x f x e x =，则()'f x =★3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A ★★4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90°★★5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =三.导数在研究函数中的应用知识点：1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用 一、题型一：导数在切线方程中的运用★1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）★2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43二、题型二：导数在单调性中的运用★1.(05广东卷)函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)★2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数★★3．(05江西)已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）★★★4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性． 三、导数在最值、极值中的运用：★1.（05全国卷Ⅰ）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2B. 3C. 4D.5★2．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16 ★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数)0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数，当1=x 时)(x f 取得极值－2.（1）试求a 、c 、d 的值；（2）求)(x f 的单调区间和极大值；★★★4.（根据山东2008年文21改编）设函数2312)(bx ax e x x f x ++=-，已知12=-=x x 和为)(x f 的极值点。
数学选修2-2导数及其应用知识点必记1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念是什么？答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分y c ='y =0————————n y x =()*n N ∈1'n y nx -=11n nx x dx n +=+⎰xy a=()0,1a a >≠'ln xy a a = ln xxa a dx a =⎰x y e ='x y e =x xe dx e=⎰log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1'ln y x a =————————ln y x =1'y x=1ln dx x x =⎰sin y x = 'cos y x =cos sin xdx x =⎰ cos y x ='sin y x =-sin cos xdx x =-⎰6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？ 答：若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：和差的导数运算[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 积的导数运算[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±特别地：()()''Cf x Cf x =⎡⎤⎣⎦商的导数运算[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 特别地：()()21'()'g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦复合函数的导数x u x y y u '''=⋅微积分基本定理()baf x dx =⎰ （其中()()'F x f x =）和差的积分运算1212[()()]()()b bbaaaf x f x dx f x dx f x dx±=±⎰⎰⎰ 特别地：()()()bb aakf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数积分的区间可加性()()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？ 答：①求函数f (x )的导数'()f x②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； 注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
选修2-2导数及其应用单元复习知识总结2018-6-14一、导数的计算：1.定义；2.常见函数的导数公式、四则运算法则；3.复合函数求导（链式法则）；4.如何求一个函数的导函数 答案：1.定义：称函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率0000()()limlim x x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即000000()()|()limlim x x x x f x x f x yy f x x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆。
注：函数||y x =在0x =处没有导数。
2.常见函数的导数公式: 0c '=，1x '=，()kx b k k '+=（为常数），2()2x x '=，211()x x '=-，'=，1()n n x nx -'=，(sin )cos x x '=，(cos )sin x x '=-，()ln x x a a a '=，()x x e e '=，1(log )ln a x x a '=，1(ln )x x'= 导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2vv u v u vuv u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='± [()()]()()f x g x f x g x '''±=±；[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+（轮番求导）；2()()()()()[](()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ''-'=≠（轮番求导）； 3.复合函数求导（链式法则）：设()y f u =，()u g x =，则复合函数(())y f g x =的导数为()()(())()x u x y y u f u g x f g x g x '''''''=⋅==，4.求一个函数的导数应先判断该函数的结构，它是两个函数的加减乘除还是两个函数的复合，然后进行下一步的计算。
二、导数的应用1.导数的代数意义、几何意义；利用导数求切线的关键及其注意点答案：（1）代数意义：0()f x '近似地表示函数()y f x =在0x 附近变化快慢的程度。
（2）几何意义：曲线()y f x =在点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '。
（3）利用导数求切线关键是求切点坐标，需要注意：（ⅰ）所给点是切点吗？（ⅱ）所求的是“在”还是“过”该点的切线？2.导数与函数单调性的关系及求单调区间的步骤、注意点答案：导数与函数单调性的关系：()y f x =在(,)a b 内有定义且可导， （1）若()0f x '>，则()y f x =在(,)a b 内单调递增；若()0f x '<，则()y f x =在(,)a b 内单调递减； （2）若恒有()0f x '=，则()y f x =在(,)a b 内为常数函数；（3）若()0f x '≥，且“=”仅在有限个点处成立，则()y f x =在(,)a b 内单调递增；若()0f x '≤，且“=”仅在有限个点处成立，则()y f x =在(,)a b 内单调递减。
（4）对于可导函数()f x 来说，()0(()0)f x f x ''><是()y f x =在(,)a b 内为增（减）函数的充分不必要条件。
例如3()f x x =在R 上为增函数，而(0)0f '=，故在0x =处不满足()0f x '>。
求单调区间的步骤：求定义域→求导函数→解不等式()0f x '>（()0f x '<）→确定单调区间注意：1 单调区间不能用“∪”连结；（单调区间不能以“并集”出现）2 上述单调区间均为开区间，若区间端点在定义域内，也可以写成闭区间。
3 有些函数（例如ln x ）容易忽略定义域（误认为是R ）。
4°在实际解题中，若()f x 在(,)a b 内单调递增，则应有()0f x '≥，而不是()0f x '>。
3.导数与函数极值的关系及求极值的步骤、注意点答案：导数与函数极值的关系：点0x 是可导函数()f x 的极值点的充要条件：①0()0f x '=；②点0x 两侧()f x '的符号不同。
其中，如果在0x 附近的左侧0()0f x '>，右侧0()0f x '<，那么0()f x 是极大值；如果在0x 附近的左侧0()0f x '<，右侧0()0f x '>，那么0()f x 是极小值。
导数为0的点不一定是函数的极值点（3y x =），极值点也不一定可导（||y x =），函数的极值点必为驻点或不可导点。
用导数求函数极值的步骤：求定义域→求导函数→解方程()0f x '=→列表（划分区间）→确定极值。
注意点：已知极值求参数，需要进行验证极值点。
4.利用导数函数最值的三种情形及其步骤。
答案：（1）闭区间上的连续函数必有最大值和最小值，且最值一定在极值点处或区间的端点处取得；（实际上只需要将导数为零的点与区间端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值）（2）若开区间上的连续函数有唯一的极值，则此极值必是最值。
（3）若连续函数()f x 在[,]a b 上单调，则最大值、最小值在端点处取得。
（4）用导数求函数极值的步骤：求定义域→求导函数→解方程()0f x '=→列表（划分区间）→求极值与端点函数值→确定最值。
5. .利用导数证明的几个不等式（注意证明过程）（1）sin ,(0,)x x x π<∈； （2）1,0x e x x >+≠ （3）ln ,0x x x e x <<> （4）ln 1,01x x x x <->≠且三、定积分：原函数表、定积分的运算性质、计算方法、曲边梯形的面积①⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()( （k 常数）；②⎰⎰⎰±=±bab ab adx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121；③⎰⎰⎰+=bcb ac adx x f dx x f dx x f )()()( （其中)b c a <<。
3.定积分的计算：（1）微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：⎰-==bab a a F b F x F dx x f )()(|)()(； （2）利用曲边梯形的面积求最值。
4. 曲边梯形的面积()baS f x d x=⎰()baS f x dx=-⎰xyoa bc)(xfy=)(xfy=)(xgy=()()c ba cS f x dx f x dx=-+⎰⎰()()baS f x g x d x=-⎡⎤⎣⎦⎰)(x)(x ()()baS f x g x dx=-⎡⎤⎣⎦⎰21[()()]baA f x f x dx=-⎰四、导数常用方法：（两种题型：含参、不含参或者已知函数求其性质（单调性、极值、最值等），已知函数的性质（单调性、极值、最值等）求其中的参数；两种方法：分离变量、分类讨论）1.数形结合（可化原函数与导函数图像帮助分析）2转化化归（导函数的符号、零点的判断）3.定义域优先（lny x=）4因式分解、通分的化简原则5.分离变量6.对参数分类讨论（分类的标准）7.切线问题求切点（切线的条数可转化为方程根的个数，即函数零点的个数）8.构造函数法9.恒成立与能成立问题10.根据导函数图像观察函数的极值点时，有的学生回答的是导函数的极值点，而回答导函数的极值点时，却又回答的正负转换的点。
11.求一个函数的单调性，即研究导函数的的符号，可以画出导函数的图像或利用穿根法进行判断12.导函数要进行因式分解或通分，以便方便判断符号，还要注意定义域。
13.函数在某区间上不单调即为该区间内有极值点（稳定点），因为极值点处函数图象拐弯。
14.研究函数极值点的分布问题即为研究导函数的零点的分布问题（例如三次函数的导数为二次函数，从而研究二次函数的零点分布问题）。
15.观察法：通过验证注意到特殊的点（零点）16.导数)(xf'为二次函数。
f'为一次函数；)(xf'常见问题：)(x。
