2020北京首师大附中高三(上)开学考试数学

北京市人大附中2019-2020学年度高三开学测数 学 2019.8.15（考试时间120分钟 满分 150分）本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分第一部分（选择题 共50分）选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设i 为虚数单位，则复数i z -=1的模=||z A.1 B.2 C.2 D.222.已知全集,R =U 若集合{},0|2<-=x x x A 则=A C UA.{}1,0|≥≤x x x 或B.{}1,0|><x x x 或C.{}10|<<x xD.{}1|≥x x3.命题,1,0:>>∀x e x p 则p ⌝是A 1,000≤≤∃x e x . B.1,000≤>∃x e xC.,1,0:≤>∀x e x pD.,1,0:≤≤∀x e x p4.若b a,是两个非零的平面向量，则“b a =”是“()()0=-⋅+b a b a ”的A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分条件也不必要条件5.已知,2,21sin ,21ln 21===c b a 则c b a ,,的大小关系为 A.c b a << B.b c a << C.c a b << D.a c b <<6.一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是A.最长棱的棱长为6B.最长棱的棱长为3C.侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D.侧面四个三角形中都是直角三角形7.已知函数{}n m x x x g x x f ,m in ,32)(,1|ln |)(2++-=-=表示n m ,中最小值，设{})(),(m in )(x g x f x h =，则函数)(x h 的零点个数为A.1B.2C.3D.48.已知抛物线C;,42x y =点(),0,m P O 为坐标原点,若在抛物线C 上存在一点Q ，使得,90ο=∠OQP 则实数m 的取值范围是A.()8,4B.()+∞,4C.()4,0D.()+∞,8 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.双曲线14:22=-y x C 的离心率是 ；渐近线方程是 . 10.若等比数列{}n a 满足531=+a a 且公比,2=q 则=+53a a .11.在ABC ∆中，,60,13,3ο===B b a 则=C ；ABC ∆的面积为 .12.已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线12+=x y 上，若圆C 与两个坐标轴都相切，则圆C 的标准方程是 .13.已知函数x x a x f cos 32sin )(-=的一条对称轴为(),0)(,621=+-=x f x f x π且函数)(x f 在()21,x x 上具有单调性，则21x x +的最小值为 .14.函数(),,)(R b R a be ae x f x x ∈∈+=-已知)(x f 的最小值为4，则点()b a ,到直线022=-+y x 距离的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题满分13分）设函数()()()()03cos 32cos sin 2)(2>+-⋅=ωωωωx x x x f 的图象上相邻最高点与最低点的距离为162+π.（Ⅰ）求函数)(x f 的周期及ω的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调递增区间．16.（本小题满分13分）某校高三1班共有48人，在“六选三”时，该班共有三个课程组合：理化生，理化历，史地政。

2019-2020学年北京市人大附中高三（上）统练数学试卷（八）试题数：17，总分：1001.（单选题，5分）设全集为R，集合A={x|x2-1＞0}，集合B={y|y=3x，x∈R}，则A∩B=（）A.（-∞，-1）B.（-∞，-1]C.（1，+∞）D.[1，+∞）2.（单选题，5分）直线l与圆x2+y2+2x-4y+1=0相交于A，B两点，若弦AB的中点（-2，3），则直线l的方程为（）A.x+y-3=0B.x+y-1=0C.x-y+5=0D.x-y-5=03.（单选题，5分）将函数y=sin（x+ π4）的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1 2，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是（）A.y=sin2xB.y=sin 12xC.y=sin（2x+ π4）D.y=sin（2x- π4）4.（单选题，5分）已知方程x217−k + y2k−8=1表示焦点在x轴上的双曲线，下列结论正确的是（）A.k的取值范围为8＜k＜17B.k的取值范围为k＜8C.双曲线的焦距为10D.双曲线的实轴长为105.（单选题，5分）在△ABC中，a=8，b=10，△ABC的面积为20√3，则△ABC中最大角的正切值是（）A. 5√33B. −√3C. −√33D. 5√33或−√36.（单选题，5分）若双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为2y±x=0，则椭圆x2a2+y2b2=1的离心率为（）A. √32B. 12C. √22D. 137.（单选题，5分）在平面直角坐标系中，有不共线的三点A，B，C，已知AB，AC所在直线的斜率分别为k1，k2，则“k1k2＞-1”是“∠BAC为锐角”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.（单选题，5分）对于曲线C：y=f（x）上任意一点A（x1，y1），在曲线C上都存在唯一的B（x2，y2），满足线段AB的中点在直线l：y-2=0上，则称直线l为曲线C的“腰线”，则下列曲线中：① y=e x；② y=x3-x；③ y=2sinx；④ y=lnx．则l为“腰线”的曲线的条数为（）A.1B.2C.3D.49.（填空题，4分）直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y-6=0平行，那么m的值是___ ．10.（填空题，4分）在等比数列{a n}中，a2=2，且1a1+1a3=54，则a1+a3的值为___ ．11.（填空题，4分）直线l：y=kx-1被圆C：（x-2）2+y2=4截得的弦长为4，则k的值为___ ．12.（填空题，4分）已知m，4，n是等差数列，那么(√2)m•(√2)n =___ ；mn的最大值为___ ．13.（填空题，4分）如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示．给出下列说法：① 图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；② 图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；③ 图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④ 图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是___ ．14.（填空题，4分）曲线C是平面内到直线l1：x=-1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹．给出下列四个结论：① 曲线C过点（-1，1）；② 曲线C关于点（-1，1）对称；③ 若点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|+|PB|不小于2k；④ 设p0为曲线C上任意一点，则点P1关于直线x=-1、点（-1，1）及直线y=1对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2．其中，所有正确结论的序号是___ ．15.（问答题，12分）已知函数f（x）= √2 sin（2x- π）+2 √2 cos2x．6（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）的最值．16.（问答题，12分）设函数f（x）=x2+ax-lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．17.（问答题，12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32，且过点（1，√32）．过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x=m（m＞a）于点M．已知点B（1，0），直线PB交l于点N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．2019-2020学年北京市人大附中高三（上）统练数学试卷（八）参考答案与试题解析试题数：17，总分：1001.（单选题，5分）设全集为R，集合A={x|x2-1＞0}，集合B={y|y=3x，x∈R}，则A∩B=（）A.（-∞，-1）B.（-∞，-1]C.（1，+∞）D.[1，+∞）【正确答案】：C【解析】：运用二次不等式的解法和指数函数的值域，化简集合A，B，再由交集的定义，即可得到所求集合．【解答】：解：全集为R，集合A={x|x2-1＞0}={x|x＞1或x＜-1}，集合B={y|y=3x，x∈R}={y|y＞0}，A∩B=[（-∞，-1）∪（1，+∞）]∩（0，+∞）=（1，+∞），故选：C．【点评】：本题考查集合的化简和运算，考查二次不等式和指数函数的值域，考查运算能力，属于中档题．2.（单选题，5分）直线l与圆x2+y2+2x-4y+1=0相交于A，B两点，若弦AB的中点（-2，3），则直线l的方程为（）A.x+y-3=0B.x+y-1=0C.x-y+5=0D.x-y-5=0【正确答案】：C【解析】：圆x2+y2+2x-4y+1=0化为标准方程，可得圆心坐标，先求出垂直于直线l的直线的斜率，再求出直线l的斜率，利用点斜式可得直线方程．【解答】：解：圆x2+y2+2x-4y+1=0化为标准方程为（x+1）2+（y-2）2=4，圆心坐标为C （-1，2）．∵弦AB的中点D（-2，3），∴k CD= 3−2−2+1=-1，∴直线l的斜率为1，∴直线l的方程为y-3=x+2，即x-y+5=0．故选：C．【点评】：本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，正确求出直线的斜率是关键．3.（单选题，5分）将函数y=sin（x+ π4）的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1 2，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是（）A.y=sin2xB.y=sin 12xC.y=sin（2x+ π4）D.y=sin（2x- π4）【正确答案】：D【解析】：利用三角函数的伸缩变换将y=sin（x+ π4）图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+ π4）图象，再利用平移变换可得答案．【解答】：解：函数y=sin（x+ π4）图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+ π4）图象，再将函数y=sin（2x+ π4）图象向右平移π4个单位，所得图象的函数解析式为y=sin[2（x- π4）+ π4）]=sin（2x- π4），故选：D．【点评】：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，掌握其平移变换与伸缩变换的规律是关键，属于中档题．4.（单选题，5分）已知方程x217−k + y2k−8=1表示焦点在x轴上的双曲线，下列结论正确的是（）A.k的取值范围为8＜k＜17B.k的取值范围为k＜8C.双曲线的焦距为10D.双曲线的实轴长为10【正确答案】：B【解析】：由题意可得17-k＞0，k-8＜0，解得k的范围，将双曲线的方程化为标准方程，可得a，b，c，即可判断正确结论．【解答】：解：方程x 217−k + y2k−8=1表示焦点在x轴上的双曲线，可得17-k＞0，k-8＜0，解得k＜8，则双曲线的方程为x 217−k - y28−k=1，可得a= √17−k，b= √8−k，c= √25−2k，则A，C，D均错，B正确．故选：B．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质，主要是实轴长和焦距，考查运算能力，属于基础题．5.（单选题，5分）在△ABC中，a=8，b=10，△ABC的面积为20√3，则△ABC中最大角的正切值是（）A. 5√33B. −√3C. −√33D. 5√33或−√3【正确答案】：D【解析】：根据三角形的面积公式求出C的值，再讨论确定是否为最大角，从而求出最大角的正切值．【解答】：解：由△ABC的面积为S△ABC= 12×8×10×sinC=20 √3，解得sinC= √32；又0＜C＜π，所以C= π3或2π3．① 当C= 2π3时，C是最大角，其tan 2π3=- √3；② 当C= π3时，由余弦定理得c= √82+102−2×8×10×cosπ3=2 √21＜10．所以边b是最大边．由余弦定理得cosB= 2√21)222×8×2√21= √2114，所以B为锐角，sinB= √1−cos2B = √1−(√2114)2= 5√714，所以tanB= sinBcosB =5√714√2114= 5√33．综上知，△ABC中最大角的正切值是- √3或5√33．故选：D．【点评】：本题考查了三角形的面积计算问题，也考查了余弦定理和正切函数的应用问题，是中档题．6.（单选题，5分）若双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为2y±x=0，则椭圆x2a2+y2b2=1的离心率为（）A. √32B. 12C. √22D. 13【正确答案】：A【解析】：利用双曲线x 2a2−y2b2=1的渐近线方程为2y±x=0，得到ba= 12，由此可求出椭圆x2 a2+y2b2=1的离心率．【解答】：解：∵双曲线x 2a2−y2b2=1的渐近线方程为2y±x=0，∴ b a = 12，即b= 12a．∴在椭圆x2a2+y2b2=1中，c= √a2−(12a)2= √32a，∴e= ca = √32．故选：A．【点评】：本题考查椭圆的离心率，考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7.（单选题，5分）在平面直角坐标系中，有不共线的三点A，B，C，已知AB，AC所在直线的斜率分别为k1，k2，则“k1k2＞-1”是“∠BAC为锐角”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：D【解析】：根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．＞0，【解答】：解：由题意“∠BAC为锐角”，可得：tan∠BAC= k1−k21+k1k2即（k1-k2）（1+k1k2）＞0，∵k1k2＞-1，不一定大于0，∴tan∠BAC= k1−k21+k1k2＞0，同理tan∠BAC= k1−k21+k1k2k1k2不一定大于-1∴是既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．8.（单选题，5分）对于曲线C：y=f（x）上任意一点A（x1，y1），在曲线C上都存在唯一的B（x2，y2），满足线段AB的中点在直线l：y-2=0上，则称直线l为曲线C的“腰线”，则下列曲线中：① y=e x；② y=x3-x；③ y=2sinx；④ y=lnx．则l为“腰线”的曲线的条数为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：A【解析】：由题意可得直线l为曲线C的“腰线”的前提是y1+y2=4成立，且满足任意的点A，存在唯一的点B，分别对① ② ③ ④ ，结合函数的值域和单调性，即可得到所求结论．【解答】：解：由题意可得直线l为曲线C的“腰线”，等价为y1+y2=4，对于① ，y=e x，由e x1+e x2=4，且e x＞0，不满足任意的x1，存在唯一的x2，故① 错误；对于② ，y=x3-x，由y1+y2=4，即（x13-x1）+（x23-x2）=4，当x13-x1=4，x23-x2=0，可得x2=0或x2=±1，不满足任意的点A，存在唯一的点B，故② 错误；对于③ ，y=2sinx的值域为[-2，2]，由2sinx1+2sinx2=4，可得sinx1=sinx2=1，不满足任意的x1，存在唯一的x2，故③ 错误；对于④ ，y=lnx的值域为R，且y=lnx在（0，+∞）递增，由lnx1+lnx2=4，满足任意的x1，存在唯一的x2，故④ 正确．故选：A．【点评】：本题考查新定义的理解和运用，以及函数的单调性和值域，考查方程思想和运算能力，属于中档题．9.（填空题，4分）直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y-6=0平行，那么m的值是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：利用两直线平行的位置关系即可求出m的值．【解答】：解：∵直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y-6=0平行，∴ 2 m =m+13≠4−6，∴m=2，故答案为：2．【点评】：本题主要考查了两直线平行的位置关系，是基础题．10.（填空题，4分）在等比数列{a n}中，a2=2，且1a1+1a3=54，则a1+a3的值为___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2=2，且1a1+1a3=54，∴ q 2 + 12q= 54，解得q=2或12．当q=2时，则a 1+a 3= 22+2×2 =5； 当q= 12时，则a 1+a 3= 212+2× 12=5．故答案为：5．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11.（填空题，4分）直线l ：y=kx-1被圆C ：（x-2）2+y 2=4截得的弦长为4，则k 的值为___ ．【正确答案】：[1] 12【解析】：直接利用直线与圆的位置关系的应用求出结果．【解答】：解：直线l ：y=kx-1被圆C ：（x-2）2+y 2=4截得的弦长为4， 所以：直线y=kx-1经过圆心（2，0）， 则0=2k-1，解得k= 12 ． 故答案为： 12 ．【点评】：本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.（填空题，4分）已知m ，4，n 是等差数列，那么 (√2)m•(√2)n=___ ；mn 的最大值为___ ．【正确答案】：[1]16; [2]16【解析】：由m ，4，n 是等差数列，可得m+n=8．再利用指数幂的运算性质、基本不等式的性质即可得出．【解答】：解：∵m ，4，n 是等差数列， ∴m+n=8．则 (√2)m•(√2)n= (√2)m+n= (√2)8=24=16； mn ≤(m+n 2)2=16，当且仅当m=n 时取等号．因此mn 的最大值为16． 故答案分别为：16；16．【点评】：本题考查了等差数列的性质、指数幂的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．13.（填空题，4分）如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示．给出下列说法：① 图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；② 图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；③ 图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④ 图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是___ ．【正确答案】：[1] ① ③【解析】：图（1）中，点A的几何意义代表付出的成本，射线AB的倾斜程度表示票价，再对比观察图（2）和图（3）中的改变量与未变量即可得解．【解答】：解：图（1）中，点A的几何意义代表付出的成本，射线AB的倾斜程度表示票价，图（2）中射线AB的倾斜程度未变，只将点A上移，所以说法① 正确，图（3）中点A的位置未变，将射线AB的倾斜程度变大，所以说法③ 正确，故答案为：① ③ ．【点评】：本题考查函数图象的变换，理解函数图象中截距和倾斜度的几何意义是解题的关键，考查学生将理论与实际生活相联系的能力和逻辑推理能力，属于基础题．14.（填空题，4分）曲线C是平面内到直线l1：x=-1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹．给出下列四个结论：① 曲线C过点（-1，1）；② 曲线C关于点（-1，1）对称；③ 若点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|+|PB|不小于2k；④ 设p0为曲线C上任意一点，则点P1关于直线x=-1、点（-1，1）及直线y=1对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2．其中，所有正确结论的序号是___ ．【正确答案】：[1] ② ③ ④【解析】：由题意曲线C是平面内到直线l1：x=-1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹．利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．【解答】：解：由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及点到直线间的距离公式的得：|x+1||y-1|=k2，对于① ，将（-1，1）代入验证，此方程不过此点，所以① 错；对于② ，把方程中的x被-2-x代换，y被2-y 代换，方程不变，故此曲线关于（-1，1）对称．② 正确；对于③ ，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|≥|x+1|，|PB|≥|y-1|∴|PA|+|PB|≥2 √|PA||PB| =2k，③ 正确；对于④ ，由题意知点P在曲线C上，根据对称性，则四边形P0P1P2P3的面积=2|x+1|×2|y-1|=4|x+1||y-1|=4k2．所以④ 正确．故答案为：② ③ ④ ．【点评】：此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性，属于基础题．）+2 √2 cos2x．15.（问答题，12分）已知函数f（x）= √2 sin（2x- π6（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）的最值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用三角函数的倍角公式以及两角和差的正弦公式，进行化简，结合三角函数的单调性进行求解．（Ⅱ）根据三角函数的有界性进行求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）f （x ）= √2 sin （2x- π6 ）+2 √2 cos 2x= √2 （sin2x• √32 - 12 cos2x+cos2x+1）= √2 （sin2x• √32 + 12 cos2x+1）= √2 sin （2x+ π6 ）+ √2 ， 由2kπ- π2 ≤2x+ π6 ≤2kπ+ π2 ，k∈Z 得kπ- π3 ≤x≤kπ+ π6 ，k∈Z ，即函数的单调递增区间为[kπ- π3 ，kπ+ π6 ]，k∈Z ， 由2kπ+ π2≤2x+ π6≤2kπ+ 3π2，k∈Z 得kπ+ π6 ≤x≤kπ+ 2π3 ，k∈Z ，即函数的单调递减区间为[kπ+ π6，kπ+ 2π3]，k∈Z ； （Ⅱ）当sin （2x+ π6）=1时，函数f （x ）取得最大值， 此时最大值为f （x ）= √2+√2 =2 √2 ．当sin （2x+ π6 ）=-1时，函数f （x ）取得最小值， 此时最大值为f （x ）=- √2+√2 =0．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式以及辅助角公式将三角函数进行化简是解决本题的关键．16.（问答题，12分）设函数f （x ）=x 2+ax-lnx （a∈R ）． （Ⅰ）若a=1，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数f （x ）在区间（0，1]上是减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O 作曲线y=f （x ）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）a=1时，f （x ）=x 2+ax-lnx （x ＞0）， f′(x )=2x +1−1x =(2x−1)(x+1)x，根据函数的定义域，确定f′（x ）＞0和f′（x ）＞0的范围，进而得到函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，则f'（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，进而a≤1x−2x对任意x∈（0，1]恒成立，进而将问题转化为函数的最值问题后，可得实数a的取值范围；（Ⅲ）设出切点坐标，利用导数法求出切线斜率（切点处的导函数值），进而利用点斜式方程结合切线过原点求出切线方程，通过证明t=1是方程t2+lnt-1=0的唯一的解，可得结论．【解答】：解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+ax-lnx（x＞0），∴ f′(x)=2x+1−1x =(2x−1)(x+1)x，又∵ x∈(0 ， 12) ， f′(x)＜0 ， x∈(12 ， +∞) ， f′(x)＞0，f（x）的单调递减区间为(0 ， 12)，单调递增区间为(12 ， +∞)．（Ⅱ）∵ f′(x)=2x+a−1x又∵f（x）在区间（0，1]上是减函数，∴f′（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，即2x+a−1x≤0对任意x∈（0，1]恒成立，∴ a≤1x−2x对任意x∈（0，1]恒成立，令g(x)=1x−2x，∴a≤g（x）min，易知g（x）在（0，1]单调递减，∴g（x）min=g（1）=-1．∴a≤-1．（Ⅲ）设切点为M（t，f（t）），f′(x)=2x+a−1x，∴过M点的切线方程为：y-f（t）=f′（t）（x-t），即y−(t2+at−lnt)=(2t+a−1t)(x−t)又切线过原点，所以，0−(t2+at−lnt)=(2t+a−1t)(0−t)，即t2+lnt-1=0，显然t=1是方程t2+lnt-1=0的解，设φ（t）=t2+lnt-1，则φ′（t）=2t+ 1t＞0恒成立，φ（t）在（0，+∞）单调递增，且φ（1）=0，∴方程t2+lnt-1=0有唯一解1．∴过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．【点评】：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，是导数的综合应用，难度中档．17.（问答题，12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32，且过点（1，√32）．过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x=m（m＞a）于点M．已知点B（1，0），直线PB交l于点N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）因为椭圆C的离心率为√32，所以a2=4b2．又因为椭圆C过点（1，√32），所以1a2+34b2=1，解得椭圆C的方程；（Ⅱ）若MB是线段PN的垂直平分线，k PB•k MB=-1，设P（x0，y0），则P关于B的对称点N（2-x0，-y0），进而得到实数m的值．【解答】：（本小题满分16分）解：（Ⅰ）因为椭圆C的离心率为√32，所以a2=4b2．又因为椭圆C 过点（1， √32），所以 1a 2+34b 2=1 ，解得a 2=4，b 2=1．所以椭圆C 的方程为 x 24+y 2=1 ． （Ⅱ）设P （x 0，y 0），-2＜x 0＜2，x 0≠1，则 x 024+y 02=1 ．因为MB 是PN 的垂直平分线，所以P 关于B 的对称点N （2-x 0，-y 0），所以2-x 0=m ． 由A （-2，0），P （x 0，y 0），可得直线AP 的方程为y= y 0x 0+2（x+2）， 令x=m ，得y= y 0x0+2（m+2），即M （m ， y 0x0+2（m+2））． 因为PB⊥MB ，所以k PB •k MB =-1，所以k PB •k MB = y 0x 0−1 • y0x 0+2(m+2)m−1=-1，即 y 02•(m+2)(x 0−1)(x 0+2)(m−1) =-1．因为 x 024+y 02=1 ．所以 (x 0−2)(m+2)4(x 0−1)(m−1)=1． 因为x 0=2-m ，化简得3m 2-10m+4=0，解得m= 5±√133． 因为m ＞2，所以m= 5+√133【点评】：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线垂直的充要条件，难度较大．。

2020-2021学年北京市首师大附中高三（上）开学数学试卷一、单选题（共10题，每题4分，共40分）1. 设i 为虚数单位，则复数i(3+i)=( ) A.−1+3i B.1+3i C.1−3i D.−1−3i2. 函数f(x)＝tan (x +π6)的最小正周期为（ ） A.π2B.π3C.2πD.π3. 已知向量a →=(1, −12)，b →=(−2, m)，若a →与b →共线，则|b →|＝（ ）A.√5B.√3C.2√2D.√64. 在二项式(1−2x)5的展开式中，x 3的系数为（ ） A.−40 B.40 C.−80 D.805. 下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)上单调递减的是（ ） A.y ＝|ln x| B.y ＝x−2C.y ＝x sin xD.y ＝2−x6. 将函数f(x)＝cos 2x 图象上所有点向左平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象，如果g(x)在区间[0, a]上单调递减，那么实数a 的最大值为（ ） A.π4 B.π8C.34πD.π27. 设点A ，B ，C 不共线，则“(AB →+AC →)⊥BC →”是“|AB →|=|AC →|”（ ） A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.既不充分又不必要条件D.充分必要条件8. 有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）A.7B.8C.4D.69. 某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）A.2B.1C.0D.310. 在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式L =101g(I 10−12)给出，其中I 为声强（单位：W/m 2）．L 1＝60dB ，L 2＝75dB ，那么I1I 2=( )A.10−45B.1045C.10−32D.−32二、填空题（共5题，每题5分，共25分）已知抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 24−y 2＝1的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为________； 准线方程为________．(x +1)7的展开式中x 3的系数是________．在△ABC 中，∠ABC ＝60∘，BC ＝2AB ＝2，E 为AC 的中点，则AB →⋅BE →=________．已知两点A(−1, 0)，B(1, 0)，若直线x −y +a ＝0上存在点P(x, y)满足AP →⋅BP →=0，则实数a满足的取值范围是________．集合A ={(x, y)||x|+|y|=a, a >0}，B ={(x, y)||xy|+1=|x|+|y|}，若A ∩B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________． ①a 的值可以为2；②a 的值可以为√2； ③a 的值可以为2+√2；三、解答题（共6小题，共85分，每题必须写出详细的解答过程）已知△ABC ，满足a =√7，b ＝2，______，判断△ABC 的面积S >2是否成立？说明理由． 从①A =π3，②cos B =√217这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：(Ⅱ)从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X 为选出的中年员工的人数，求X 的分布列和数学期望．如图，已知四边形ABCD 为菱形，且∠A ＝60∘，取AD 中点为E ．现将四边形EBCD 沿BE 折起至EBHG ，使得∠AEG ＝90∘．(Ⅰ)求证：AE ⊥平面EBHG ；(Ⅱ)求二面角A −GH −B 的余弦值；(Ⅲ)若点F 满足AF →=λAB →，当EF // 平面AGH 时，求λ的值．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(1, 0)，离心率为√22．直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C有两交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(Ⅲ)延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率．已知函数，f(x)＝x 2(x >0)，g(x)＝a ln x(a >0)． (Ⅰ)若f(x)>g(x)恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当a ＝1时，过f(x)上一点(1, 1)作g(x)的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．有限个元素组成的集合A ＝{a 1, a 2, ..., a n }，n ∈N ∗，记集合A 中的元素个数为card(A)，即card(A)＝n ．定义A +A ＝{x +y|x ∈A, y ∈A}，集合A +A 中的元素个数记为card(A +A)，当card(A +A)=n(n+1)2时，称集合A 具有性质P ．(Ⅰ)A ＝{1, 4, 7}，B ＝{2, 4, 8}，判断集合A ，B 是否具有性质P ，并说明理由；(Ⅱ)设集合A ＝{a 1, a 2, a 3, 2020}．a 1<a 2<a 3<2020，且a i ∈N ∗(i ＝1, 2, 3)，若集合A 具有性质P ，求a 1+a 2+a 3的最大值；(Ⅲ)设集合A ＝{a 1, a 2, ..., a n }，其中数列{a n }为等比数列，a i >0(i ＝1, 2,…,n)且公比为有理数，判断集合A 是否具有性质P 并说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年北京市首师大附中高三（上）开学数学试卷一、单选题（共10题，每题4分，共40分）1.【答案】此题暂无答案【考点】复三的刺算复验热数术式工乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】三角函因的周顿性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】平面射量长量化的性置及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】奇偶性与根调性的助合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】棱使、求族非棱台的体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】由三都问求体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】根据体际省题完择函离类型【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（共5题，每题5分，共25分）【答案】此题暂无答案【考点】圆锥曲三的综合度题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】平面射量长量化的性置及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】平面射量长量化的性置及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】两角和与表型正切公式集合体系拉的参污取油问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（共6小题，共85分，每题必须写出详细的解答过程）【答案】此题暂无答案【考点】余于视理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】离散验他空变量截其分布列离散来随机兴苯的期钱与方差【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法直线体平硫平行直线验周面垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与椭常画位置关系椭圆较标准划程椭明的钾用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数列与表数声综合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

高三上学期开学考试数学试题一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知集合{}1,2,4A =，集合{},2B a a =+，若A B B = ，则=a （）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】D【详解】由集合{}1,2,4A =，集合{},2B a a =+，因为A B B = ，可得B A ⊆，当1a =时，则23a +=，此时{}1,3B =，此时不满足B A ⊆，舍去；当2a =时，则24a +=，此时{}2,4B =，此时满足B A ⊆；当4a =时，则26a +=，此时{}4,6B =，此时不满足B A ⊆，舍去，综上可得，2a =.故选：D.2．命题：p ：R,0x x x ∀∈+≥的否定为（）A ．R,0x x x ∃∈+≥B ．,0x R x x ∃∈+≤C ．R,0x x x ∃∈+<D ．R,0x x x ∀∈+<【答案】C【详解】命题R x ∀∈，0x x +≥的否定为R x ∃∈，0x x +<.故选：C.3．下列函数为奇函数且在()0,1上为减函数的是（）A ．()()sin f x x =-B ．()tan f x x=C ．()cos f x x=D ．()sin f x x=【答案】A【详解】依题意，对于A ：()()sin sin f x x x =-=-为奇函数且在()0,1上为减函数，故A 正确；对于B ：()tan f x x =为奇函数，在()0,1上为增函数，故B 错误；对于C ：()cos f x x =为偶函数，故C 错误；对于D ：()sin f x x =为奇函数，在()0,1上为增函数，故D 错误.故选：A.4．设,a b 为实数，则“0a b <<”是“11a b <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【详解】当“0a b <<”时，则0,0b a ab ->>，则0b a ab ->，所以11a b>，所以“0a b <<”无法推出“11a b<”，当11a b<，即0b aab -<时，有可能0a b <<，但不会有0a b <<，所以“11a b>”无法推出“0a b <<”.所以“0a b <<”是“11a b>”既不充分也不必要条件.故选：D.5．若不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（）A ．()2,2-B ．(]10,2-C ．()[),22,-∞-+∞ D ．(],2-∞-【答案】B【详解】依题意，不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，即不等式()()22230m x m x -+--<恒成立，当2m =时，不等式可化为30-<恒成立，当2m <时，()()222122820m m m m ∆=-+-=+-()()1020m m =+-<，解得102m -<<，综上所述，m 的取值范围是(]10,2-.故选：B6．已知ππππ()sin 3333f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则(1)(2)(2023)++⋅⋅⋅+f f f 的值为（）A ．BC ．1D ．0【答案】B【详解】因为ππππππππ()sin cos 2sin 2sin 33333333f x x x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的周期为2π6π3=，因为π(1)2sin 3f ==2π(2)2sin3f ==3π(3)2sin 03f ==，4π(4)2sin3f ==5π(5)2sin 3f ==6π(6)2sin 03f ==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，所以[](1)(2)(2016)337(1)(2)(6)(1)++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅++=f f f f f f f ，故选：B7．已知∆ABC 中，2AC =，sin tan A B =，π(0,]3∈A ，则边AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．2D ．52【答案】B【详解】ABC 中，2AC =，sin tan A B =，则sin cos sin A B B =，则cos 2a B b ==，则22422a c a ac+-=，整理得22440a c c +--=，又ABC 中，π0,3A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2241cos ,142c a A c +-⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，整理得2222420440c a c c a c ⎧+--≥⎨+--<⎩，又2244a c c =+-，代入整理得223040c c c c ⎧-≥⎨-<⎩，解之得34c ≤<.故AB 的最小值为3.故选：B8．已知 1.4a =，0.41.1e b =，0.5e c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A【详解】构造函数()()1.5e xf x x =-，则()0.4b f =，()0.5c f =，且()()0.5e x f x x '=-，当0.5x <时，()0f x ¢>，函数()f x 在(),0.5-∞上单调递增，当0.5x >时，()0f x '<，函数()f x 在()0.5,+∞上单调递减，所以()()0.40.5b f f c =<=；设()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x <时，()0g x '<，函数()g x 在(),0∞-上单调递减，当0x >时，()0g x '>，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()e 100xx g --≥=故e 1x x ≥+，所以0.41.1e 1.11.4 1.4>⨯>，即a b <．综上，a b c <<，故选：A ．二、多选题（每小题5分，共20分）9．已知实数a ，b 满足等式1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列不可能成立的有（）A ．a b =B ．0b a >>C ．0b a >>D ．0a b>>【答案】CD【详解】作出函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象如图所示：设1123a bm ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭= ，0m >，当1m >时，由图可知0a b <<；当1m =时，由图可知0a b ==；当01m <<时，由图可知0a b >>，故选：CD.103）A 22︒︒B ．2cos 15sin15cos 75︒︒-︒C ．2tan151tan 15︒-︒D ．1tan151tan15+︒-︒【答案】AD【详解】对于A 222sin(1545)2sin 603︒︒︒︒︒=+==A 项成立；对于B 项，2223cos 15sin15cos 75cos 15sin 15cos(215)cos302︒︒︒︒︒︒︒-=-=⨯==，故B 项不成立；对于C 项，22222sin151sin 30tan15sin15cos1513cos152tan 30sin 151tan 15cos 15sin 15cos3021cos 15︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒=====---C 项不成立；对于D 项，1tan15tan 45tan15tan(4515)tan 6031tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒︒︒︒++==+==--，故D 项成立.故选：AD.11．已知函数π()cos()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数()g x 的图像，则（）A ．π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π()2cos 216g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()g x 在π5π,π(Z)1212k k k π⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ABD【详解】由图像可知函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，所以2A =，2,2362T T ππππ=-=⇒=，又22T πωω=⇒=，又(22cos(2)266f ππϕ=⇒⨯+=所以2(Z)2(Z)33k k k k ππϕπϕπ+=∈⇒=-∈，又π||2ϕ<，所以3πϕ=-所以π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得π()2cos 2++1=2cos 2+1436g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 选项正确，由2+(Z)(Z)6262k x k k x k πππππ=+∈⇒=+∈所以()g x 的图像关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 错误.由22+2(Z)6k x k k ππππ≤≤+∈即π5ππ(Z)1212k x k k π-+≤≤+∈所以选项D 正确故选：ABD.12．已知函数()f x 定义域为R ，()1f x +是奇函数，()()()1g x x f x =-，函数()g x 在[)1,+∞上递增，则下列命题为真命题的是（）A ．()()11f x f x --=-+B ．函数()g x 在(],1-∞上递减C ．若21a b <-<，则()()()1g g b g a <<D ．若()()1g a g a >+，则12a <【答案】BCD【详解】对于A ，因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，故A 错误；因为()1f x +是奇函数，所以()y f x =的图象关于点()1,0对称，即有()()=2f x f x --，所以()()()()()()()()2122121g x x f x x f x x f x g x ⎡⎤-=---=--=-=⎣⎦，所以()y g x =的图象关于直线1x =对称，函数()g x 在[)1,x ∞∈+上单调递增，所以()g x 在(],1x ∈-∞上单调递减，故B 正确；因为21a b <-<，所以()()()12g g b g a <-<，即()()()1g g b g a <<，故C 正确；因为()()1g a g a >+，且1a a <+，由函数()y g x =的图象关于直线1x =对称，得()112a a ++<，解得12a <，故C 正确.故选：BCD.三、填空题（每小题5分，共20分）13．扇形的圆心角为60︒，半径为4，则扇形的面积为；．【答案】8π3【详解】因为扇形的圆心角为60︒，转化为弧度为π3，所以该扇形的面积为21π8π4233⨯⨯=.故答案为：8π3.14．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，5()log 1f x x =+，则(5)f -=；【答案】-2【详解】()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，5()log 1f x x =+，则有()5(5)(5)log 512f f -=-=-+=-.故答案为：-215．已知函数()πcos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间7π,2π6ω⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有2个零点，则ω的取值范围是；.【答案】4[,311)6【详解】因为7π,2π6x ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，所以πππ,2π66x ωω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，因为函数()πcos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间7π,2π6ω⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有2个零点，所以5ππ7π2π262ω≤-<，解得43116ω≤<，故答案为:4[,311)6.16．已知11,23a b >>，127a b +=，则312131a b +--的最小值．【答案】20【详解】令11,2131x y a b ==--，则1226711x y a b x y +=+=++，去分母化简得：57xy x y --=，所以(1)(5)12x y --=，所以3133(1)(5)88202131x y x y a b +=+=-+-+≥+=--，当且仅当24,311a b ==时，等号成立．故答案为：20四、解答题17．（本题满分10分）∆ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c cos 2sin cos B c A A =.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若∆ABC的面积为a 是,b c 的等差中项，求∆ABC 的周长．17．【详解】（Ⅰ）cos 2sin cos B c A A =-，cos 2sin sin cos A B C A B A =-，cos cos 2sin sin 0A B B A C A +-=，()2sin sin 0A B C A +-=，2sin sin 0C C A -=，(),0,πC A ∈ ，sin 0C ∴≠，sin A ∴=π3A ∴=或23π.………5分（Ⅱ）因为ABC的面积为1sin 2S bc A ==16bc ∴=，………6分由边a 是,b c 的等差中项，得2b c a +=，且A 不是最大的角，π3A ∴=，………7分22222π2cos ()3()483a b c bc b c bc b c =+-=+-=+- ，22448a a ∴=-，216a ∴=，4a ∴=，28b c a ∴+==，所以ABC 的周长为8412b c a ++=+=.………10分18．（本题满分12分）已知数列{n a }是递增的等比数列，且23141227,a a a a +=⋅=．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{n a }的前n 项和，11++=n n n n a b S S ，求数列{n b }的前n 项和n T ．18．【详解】（Ⅰ）根据题意，设该等比数列的公比为q ，若23141227,a a a a +=⋅=，则有211122311312927a q a q a q a q a q =⎧+=⎧⇒⎨⎨==⎩⎩或121933a q q a q =⎧⇒=⎨=⎩或13q =.………3分又由数列{n a }是递增的等比数列，则3q =，则有11a =，则数列{n a }的通项公式1113n n n a a q --==；………6分（Ⅱ）由（1）可得13n n a -=，则()113112nnn a q S q--==-，则1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-，………9分则1212231111111n n n n T b b b S S S S S S +=+++=-+-++-= 111111123313131n n n n S S ++++--=-=--………12分19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，1AB =，2PA AD CD ===．E 为棱PC 上一点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．且BE PC ⊥．（Ⅰ）求证：F 为PD 的中点；（Ⅱ）求二面角B FC P --的余弦值．19．【详解】（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．在Rt PAB △中，PB ==．……1分在直角梯形ABCD 中，由1AB =，2AD CD ==，可求得BC =，所以PB BC =．………2分因为BE PC ⊥，所以E 为PC 的中点．………3分因为AB CD ∥，AB ⊄平面PCD ，所以//AB 平面PCD ．因为平面ABEF I 平面PCD EF =，所以AB EF ∥．………4分所以CD EF ∥．所以F 为PD 的中点．………5分（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．又AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系A x yz -，………6分则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(0,1,1)F ．所以(,,)120BC =uuu r ，(,,)111BF =-uuu r ，(,,)011AF =uuu r．设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0,BC BF =⎧⎪⎨=⎪⎩⋅⋅uuu r uuu rm m 即20,0.x y x y z +=⎧⎨-++=⎩令1y =-，则2x =，3z =．于是(2,1,3)=-m ．………8分因为AB ⊥平面PAD ，且AB CD ∥，所以CD ⊥平面PAD ．所以AF CD ⊥．又PA AD =，且F 为PD 的中点，所以AF PD ⊥．所以AF ⊥平面PCD ，所以AF uuu r是平面PCD 的一个法向量． (10)分cos ,7||||AF AF AF 〈〉==⋅uuu ruuu r uuu r m m m ．………11分由题设，二面角B FC P --的平面角为锐角，所以二面角B FC P --．……12分20．（本题满分12分）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．已知在单位时间内，甲、乙两种类型的无人运输机操作成功的概率分别为23和12，假设每次操作能否成功相互独立．（Ⅰ）该公司分别收集了甲型无人运输机在5个不同的地点测试的两项指标数i x ，i y （1,2,3,4,5i =），数据如下表所示：地点1地点2地点3地点4地点5甲型无人运输机指标数x 24568甲型无人运输机指标数y34445试求y 与x 间的相关系数r ，并利用r 说明y 与x 是否具有较强的线性相关关系；（若0.75r >，则线性相关程度很高）（Ⅱ）操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作．方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作．假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值．附：参考公式及数据：()()niix x y y r --=∑0.95≈．20．【详解】（Ⅰ）2456855x ++++==，3444545y ++++==，()()516iii x x yy =--=∑，==相关系数()()50.95iix x y y r --=∑，因为0.75r >，所以与具有较强的线性相关关系．………5分（Ⅱ）设方案一和方案二操作成功的次数分别为X ，Y ，则X ，Y 的所有可能取值均为0，1，2，方案一：()1211121011112322236P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()121122112111351111123223322322272P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯+⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12211125223322272P X ==⨯⨯+⨯⨯=，所以()13525850126727272E X =⨯+⨯+⨯=．………9分方案二：选择其中一种操作设备后，进行2次独立重复试验，所以()121172223226E Y =⨯⨯+⨯⨯=，………11分所以()()E X E Y >，即方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期望值．………12分21．（本题满分12分）已知曲线E 上任意一点Q到定点F 的距离与Q到定直线:14m x =的距离之比为3．（Ⅰ）求曲线E 的轨迹方程；（Ⅱ）斜率为k k ⎛> ⎝⎭的直线l 交曲线E 于B ，C 两点，线段BC 的中点为M ，点M 在x 轴下方，直线OM 交曲线E 于点N ，交直线=1x -于点D ，且满足2||||||ON OD OM =（O 为原点）．求证：直线l 过定点．21．【详解】（Ⅰ）设曲线E 上任意一点(,)Q x y3=，化简整理得22195x y -=，所以曲线E 的轨迹方程为22195x y -=；………4分（Ⅱ）设()11,B x y ，()22,C x y ，直线l的方程为3y kx t k ⎛=+> ⎝⎭，联立22195y kx tx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22259189450k x ktx t ----=，因为有两个交点，所以2590Δ0k ⎧-≠⎨>⎩，即22259095k k t ⎧-≠⎨<+⎩，所以1221859kt x x k +=-，()()22121222182591025959k t t k t y y k x x t k k +-+=++==--，即2295,5959ktt M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，………7分因为点M 在x 轴下方，所以25059t k <-，又3k >，所以0t >，所以直线OM 的斜率59OMk k =，则直线OM 的直线方程为59y x k=，将其代入双曲线E 的方程，整理得2228195Nk x k =-，所以2222222258125||18195NNNk ON x y x k k +⎛⎫=+=+= ⎪-⎝⎭，………9分将59y x k =代入直线=1x -，解得51,9D k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又因为2295,5959ktt M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，所以有||OD ==，2||95k t t OM k ==-．由2||||||ON OD OM =，解得9t k =±，因为3k >，0t >，所以9t k =，因此直线l 的方程为9(9)y kx k k x =+=+，故直线l 过定点(9,0)-．………12分22．（本题满分12分）已知函数()(0)e xa f x x a =+>.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()f x 有两个不相等的零点1x ，2x ，（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：122ln x x a +>.解：（Ⅰ）(e )(),()1e e ex x x x a a a f x x f x -'=+=-=，当0a >时，由f ’(x )=0得，ln x a =，x ，f ’(x )，f (x )的变化情况如下表：x (,ln )a -∞ln a(ln ,)a +∞f ’(x )-0+f (x )单调递减极小值单调递增所以f (x )的极小值为f (ln a )=ln a +1............................4分（Ⅱ）（i ）f (x )有两个零点的必要条件是ln a +1<0，即10e a <<；当10e a <<时，f (0)=a >0，f (-1)=-110ea -+<，ln 1a <-，所以f (x )在区间(ln ,)a +∞上有且仅有一个零点，又因为x →-∞时，()f x →+∞，（或111()0e aa f a a --=-+>）所以()f x 在区间(,ln )a -∞上有且仅有一个零点，所以()f x 有两个零点时，a 的取值范围是1(0,)e............................7分（ii ）12()()0f x f x ==，不妨设12x x <，可知12ln 1x a x <<-<，即12120e ex x a a x x +=+=，所以1212e e x x a x x =-=-，122ln a x x >+等价于122ln x a x >-，因为22ln ln x a a -<，所以212ln x a x >-等价于12()(2ln )f x f a x <-，即222ln 2ln 0a x a a x e --+>，令22222ln ()2ln 1)e a x ag x a x x -=-+>-，因为22e x a x =-，所以22221()2ln()g x x x x =-+-，2222222222121()10x x g x x x x ++'=++=>，所以2()g x 在区间(1,)-+∞上单调递增，所以2()(1)0g x g >-=，所以122ln x x a +>............................12分。

2019-2020学年北京市人大附中高三（上）开学数学试卷（8月份）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设i为虚数单位，则复数z＝1−i的模|z|＝（）A.1B.√2C.2D.2√2【答案】B【考点】复数的模【解析】若复数z＝a+bi，则|z|=√a2+b2，直接代入求出即可．【解答】|z|=√12+(−1)2=√2，2. 已知全集U＝R，若集合A＝{x|x2−x<0}，则∁U A＝（）A.{x|x≤0, 或x≥1}B.{x|x<0, 或x>1}C.{x|0<x<1}D.{x|x≥1}【答案】A【考点】补集及其运算【解析】求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U＝R，求出A的补集即可．【解答】由A中不等式变形得：x(x−1)<0，解得：0<x<1，即A＝{x|0<x<1}，∵U＝R，∴∁U A＝{x|x≤0, 或x≥1}，3. 命题p:∀x>0，e x>1，则￢p是（）A.∃x0≤0，e x0≤1B.∃x0>0，e x0≤1C.∀x>0，e x≤1D.∀x≤0，e x≤1【答案】B【考点】命题的否定【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p:∀x>0，e x>1，则￢p是∃x0>0，e x0≤1．4. 若a →，b →是两个非零的平面向量，则“|a →|＝|b →|”是“(a →+b →)⋅(a →−b →)＝0”的（ ） A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 C【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据向量数量积的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】若“(a →+b →)⋅(a →−b →)＝0，则a →2−b →2＝0，即a →2=b →2，则|a →|＝|b →|， 反之亦然，充分性成立，故“|a →|＝|b →|”是“(a →+b →)⋅(a →−b →)＝0”的充要条件，5. 已知a =ln 12,b =sin 12,c =212，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.b <c <a【答案】 A【考点】对数值大小的比较 【解析】容易得出ln 12<0,0<sin 12<1,212>1，从而可得出a ，b ，c 的大小关系． 【解答】∵ ln 12<ln 1=0,0<sin 12<1,212>20=1，∴ a <b <c ．6. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ）A.最长棱的棱长为√6B.最长棱的棱长为3C.侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D.侧面四个三角形都是直角三角形【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面是一个直角梯形，其中BC // AD，AB⊥AD，BC＝AB＝1，AD＝（2）可得△PAD，△PAB，△PBC是直角三角形．再利用三垂线定理可得△PCD是直角三角形．即可得出．【解答】由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面是一个直角梯形，其中BC // AD，AB⊥AD，BC＝AB＝1，AD＝（2）可得△PAD，△PAB，△PBC是直角三角形．取AD的中点O，连接OC，AC．可得四边形ABCO是平行四边形，∴OC＝OD＝OA＝1，∴CD⊥AC，∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PC，因此△PCD是直角三角形．综上可得：四棱锥的侧面四个三角形都是直角三角形．7. 已知函数f(x)＝|ln x|−1，g(x)＝−x2+2x+3，用min{m, n}表示m，n中的最小值，设函数ℎ(x)＝min{f(x), g(x)}，则函数ℎ(x)的零点个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】根据min{m, n}的定义，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数f(x)和g(x)的图象如图，由g(x)＝−x2+2x+3＝0，得x＝−1，或x＝3，，由f(x)＝|ln x|−1＝0，得x＝e或x=1e∵g(e)>0，∴当x>0时，函数ℎ(x)的零点个数为3个，故选C.8. 已知抛物线C:y2＝4x，点P(m, 0)，O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP ＝90∘，则实数m 的取值范围是（ ） A.(4, 8) B.(4, +∞) C.(0, 4)D.(8, +∞)【答案】 B【考点】 抛物线的性质 【解析】求出以OP 为直径的圆的方程，y 2＝4x 代入整理，利用在抛物线C 上存在一点Q ，使得∠OQP ＝90∘，即可求出实数m 的取值范围． 【解答】以OP 为直径的圆的方程为(x−m 2)2+y 2=m 24，y 2＝4x 代入整理可得x 2+(4−m)x ＝0， ∴ x ＝0或x ＝m −4，∵ 在抛物线C 上存在一点Q ，使得∠OQP ＝90∘， ∴ m −4>0， ∴ m >4，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 双曲线C:x 24−y 2=1的离心率是________；渐近线方程是________．【答案】√52,y =±12x【考点】 双曲线的特性 【解析】求出双曲线的a ，b ，c ，运用渐近线方程和离心率公式即可得到． 【解答】 解：双曲线C:x 24−y 2=1的a =2，b =1，c =√4+1=√5， 则e =ca =√52，渐近线方程为y =±12x ．故答案为：√52，y =±12x ．若等比数列{a n }满足a 1+a 3＝5，且公比q ＝2，则a 3+a 5＝________．【答案】 20【考点】等比数列的通项公式 【解析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出． 【解答】a 3+a 5＝q 2(a 1+a 3)＝22×5＝20，在△ABC 中，a ＝3，b =√13，B ＝60∘，则c ＝________；△ABC 的面积为________． 【答案】4,3√3 【考点】 正弦定理 余弦定理 【解析】根据已知和余弦定理可求c 的值，从而有三角形的面积公式解得所求． 【解答】由余弦定理可得：cos B =a 2+c 2−b 22ac，代入已知可得：12=9+c 2−136c，解得c ＝4，c ＝−1（舍去）， ∴ S △ABC =12ac sin B ＝3√3，已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线y ＝2x +1上，若圆C 与两个坐标轴都相切，则圆C 的标准方程为________． 【答案】(x +13)2+(y −13)2=19【考点】 圆的标准方程 【解析】由已知得x ＝y 或x ＝−y ，圆心在y ＝2x +1上，又圆心位于第二象限，从而得到圆心坐标为：(−13, 13)，再由半径就是圆心到切线距离，能求出圆的标准方程． 【解答】∵ 与坐标轴相切，∴ 圆心到两个坐标轴距离相等，∴ x ＝y 或x ＝−y ， 又圆心在y ＝2x +1上，若x ＝y ，则x ＝y ＝−1；若x ＝−y ，则x =−13，y =13， 所以圆心是(−1, −1)或(−13, 13)， ∵ 圆心位于第二象限， ∴ 圆心坐标为：(−13, 13)，∵ 半径就是圆心到切线距离，即到坐标轴距离． ∴ r =13，∴ 所求圆的标准方程为：(x +13)2+(y −13)2=19．已知函数f(x)=a sin x −2√3cos x 的一条对称轴为x =−π6,f(x 1)+f(x 2)=0，且函数f(x)在(x 1, x 2)上具有单调性，则|x 1+x 2|的最小值为________2π3 ．【答案】2π3【考点】两角和与差的三角函数【解析】利用辅助角公式化简，对称为x=−π6，f(x1)+f(x2)＝0，且函数f(x)在(x1, x2)上具有单调性，可得对称中心，即可求出最小值．【解答】函数f(x)＝a sin x−2√3cos x=√a2+12sin(x+θ),tanθ=−2√3a，函数f(x)的一条对称轴为x=−π6，可得f(−π6)=−12a−2√3×√32=±√a2+12，解得a＝2．∴θ=−π3；对称中心横坐标由x−π3=kπ(k∈z),x=kπ+π3(k∈z)；又f(x1)+f(x2)＝0，且函数f(x)在(x1, x2)上具有单调性，∴|x1+x2|=2|k+π3|，当k＝0时，可得|x1+x2|=2π3．函数f(x)＝ae x+be−x(a∈R+, b∈R+)，已知f(x)的最小值为4，则点(a, b)到直线2x+y−√2=0距离的最小值为________3√105．【答案】3√105【考点】基本不等式及其应用点到直线的距离公式【解析】利用基本不等式可得f(x)≥2√ab=4，然后用点到直线的距离公式求出点(a, b)到直线2x+y−√2=0距离，计算其最小值即可．【解答】∵a∈R+，b∈R+，∴f(x)＝ae x+be−x≥2√ae x be−x=2√ab，当且仅当ae x＝be−x，即ae2x＝b时取等号，∴f(x)min=2√ab=4，∴ab＝4，∴点(a, b)到直线2x+y−√2=0距离，d=√2|√22+12≥√2ab−√2|5=√25=3√105，∴d min=3√105．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．设函数f(x)=2sin(ωx)⋅cos(ωx)−2√3cos2(ωx)+√3(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为√π2+16．(Ⅰ)求函数f(x)的周期及ω的值；(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间．【答案】（1）f(x)=2sin(ωx)⋅cos(ωx)−2√3cos2(ωx)+√3(ω>0)＝sin2ωx−√3cos2ωx＝2sin(2ωx−π3)，则函数的周期T=2π2ω=πω，振幅A＝2，∵图象上相邻最高点与最低点的距离为√π2+16．∴A2+(T4)2＝(√π2+162)2，即4+(T4)2=π2+164=π24+4，即(T4)2=π24，即T4=π2，得T＝2π=πω，得ω=12．故函数f(x)的周期为2π，ω=12．（2）由(Ⅰ)知f(x)＝2sin(x−π3)，由2kπ−π2≤x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，得2kπ−π6≤x≤2kπ+5π6，k∈Z，即函数的单调递增区间为[2kπ−π6, 2kπ+5π6]，k∈Z．【考点】正弦函数的单调性【解析】(Ⅰ)利用辅助角公式进行化简，结合条件求出ω的值即可．(Ⅱ)利用三角函数的单调性进行求解即可．【解答】（1）f(x)=2sin(ωx)⋅cos(ωx)−2√3cos2(ωx)+√3(ω>0)＝sin2ωx−√3cos2ωx＝2sin(2ωx−π3)，则函数的周期T=2π2ω=πω，振幅A＝2，∵图象上相邻最高点与最低点的距离为√π2+16．∴A2+(T4)2＝(√π2+162)2，即4+(T4)2=π2+164=π24+4，即(T4)2=π24，即T4=π2，得T＝2π=πω，得ω=12．故函数f(x)的周期为2π，ω=12．（2）由(Ⅰ)知f(x)＝2sin(x−π3)，由2kπ−π2≤x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，得2kπ−π6≤x≤2kπ+5π6，k∈Z，即函数的单调递增区间为[2kπ−π6, 2kπ+5π6]，k∈Z．某校高三1班共有48人，在“六选三”时，该班共有三个课程组合：理化生，理化历，史地政．其中，选择理化生的共有24人，选择理化历的共有16人，其余人选择了史地政．现采用分层抽样的方法从中抽取6人，调查他们每天完成作业的时间．(Ⅰ)应从这三个组合中分别抽取多少人？(Ⅱ)若抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上，2人在3小时以内．先从这6人中随机抽取3人进行座谈．用X表示抽取的3人中每天完成作业的时间超过3小时的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】（1）某校高三1班共有48人，在“六选三”时，选择理化生的共有24人，选择理化历的共有16人，其余人选择了史地政．现采用分层抽样的方法从中抽取6人，调查他们每天完成作业的时间．应从选择理化生的组合中抽取：6×2448=3人，从选择理化历的组合中抽取：6×1648=2人，从选择史地政的组合中抽取：6×48−24−1648=1人．（2）抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上，2人在3小时以内．先从这6人中随机抽取3人进行座谈．用X表示抽取的3人中每天完成作业的时间超过3小时的人数，则X的可能取值为1，2，3，P(X＝1)=C41C22C63=15，P(X＝2)=C42C21C63=35，P(X＝3)=C43C63=15，∴随机变量X的分布列为：∴数学期望EX=1×15+2×35+3×15=(2)【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】(Ⅰ)利用分层抽样的性质直接求解．(Ⅱ)X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】（1）某校高三1班共有48人，在“六选三”时，选择理化生的共有24人，选择理化历的共有16人，其余人选择了史地政．现采用分层抽样的方法从中抽取6人，调查他们每天完成作业的时间．应从选择理化生的组合中抽取：6×2448=3人，从选择理化历的组合中抽取：6×1648=2人，从选择史地政的组合中抽取：6×48−24−1648=1人．（2）抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上，2人在3小时以内．先从这6人中随机抽取3人进行座谈．用X表示抽取的3人中每天完成作业的时间超过3小时的人数，则X的可能取值为1，2，3，P(X＝1)=C41C22C63=15，P(X＝2)=C42C21C63=35，P(X＝3)=C43C63=15，∴随机变量X的分布列为：∴数学期望EX=1×15+2×35+3×15=(2)在四棱锥P−ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB // CD，AD⊥PC，M为PD中点，过A，B，M的平面与PC交于N,DC=2√3,DA=PD=2,AB= 1,∠PDC=120，(Ⅰ)求证：N为PC中点；(Ⅱ)求证：AD⊥平面PCD；(Ⅲ)T为PB中点，求二面角T−AC−B的大小．【答案】（1）证明：∵ 底面ABCD 为梯形，AB // CD ， M 为PD 中点，过A ，B ，M 的平面与PC 交于N ， ∴ 平面ABNM ∩平面PCD ＝MN ，∵ AB // CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴ AB // 平面PCD ，∵ MN ⊂平面PCD ，且MN ⊂平面ABNM ， ∴ MN // AB ，∴ MN // CD ， ∵ M 为PD 中点，∴ N 为PC 中点．（2）证明：在平面PCD 中过点D 作DH ⊥DC ，交PC 于H ，∵ 平面ABCD ⊥平面PCD ，DH ⊂平面PCD ，平面ABCD ∩平面PCD ＝CD ， ∴ DH ⊥平面ABCD ，∵ AD ⊂平面ABCD ，∴ DH ⊥AD ，又AD ⊥PC ，且PC ∩DH ＝H ，∴ AD ⊥平面PCD ． (Ⅲ)∵ AD ⊥平面PCD ，∴ AD ⊥CD ， 又DH ⊥CD ，DH ⊥AD ，以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， ∴ D(0, 0, 0)，A(2, 0, 0)，C(0, 2√3, 0)，B(2, 1, 0)，P(0, −1, √3)， ∵ T 为PB 中点，∴ T(1, 0, √32)， AC →=(−2, 2√3, 0)，AT →=(−1, 0, √32)， 设平面ACT 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅AC →=−2x +2√3y =0n →⋅AT →=−x +√32z =0 ，取x =√3，得n →=(√3, 1, 2)， 平面ABC 的法向量m →=(0, 0, 1)， 设二面角T −AC −B 的大小为θ， 则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=2√8=√22．∴ θ＝45∘．∴ 二面角T −AC −B 的大小为45∘．【考点】二面角的平面角及求法 【解析】(Ⅰ)推导出AB // 平面PCD ，从而MN // AB ，MN // CD ，再由M 为PD 中点，能证明N 为PC 中点．(Ⅱ)在平面PCD 中过点D 作DH ⊥DC ，交PC 于H ，证明DH ⊥平面ABCD ，推出 DH ⊥AD ，然后证明AD ⊥平面PCD ．(Ⅲ)推导出AD ⊥CD ，DH ⊥CD ，DH ⊥AD ，以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角T −AC −B 的大小． 【解答】（1）证明：∵ 底面ABCD 为梯形，AB // CD ， M 为PD 中点，过A ，B ，M 的平面与PC 交于N ， ∴ 平面ABNM ∩平面PCD ＝MN ，∵ AB // CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴ AB // 平面PCD ，∵ MN ⊂平面PCD ，且MN ⊂平面ABNM ， ∴ MN // AB ，∴ MN // CD ， ∵ M 为PD 中点，∴ N 为PC 中点．（2）证明：在平面PCD 中过点D 作DH ⊥DC ，交PC 于H ，∵ 平面ABCD ⊥平面PCD ，DH ⊂平面PCD ，平面ABCD ∩平面PCD ＝CD ， ∴ DH ⊥平面ABCD ，∵ AD ⊂平面ABCD ，∴ DH ⊥AD ，又AD ⊥PC ，且PC ∩DH ＝H ，∴ AD ⊥平面PCD ． (Ⅲ)∵ AD ⊥平面PCD ，∴ AD ⊥CD ， 又DH ⊥CD ，DH ⊥AD ，以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， ∴ D(0, 0, 0)，A(2, 0, 0)，C(0, 2√3, 0)，B(2, 1, 0)，P(0, −1, √3)， ∵ T 为PB 中点，∴ T(1, 0, √32)， AC →=(−2, 2√3, 0)，AT →=(−1, 0, √32)， 设平面ACT 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅AC →=−2x +2√3y =0n →⋅AT →=−x +√32z =0 ，取x =√3，得n →=(√3, 1, 2)， 平面ABC 的法向量m →=(0, 0, 1)， 设二面角T −AC −B 的大小为θ， 则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√8=√22．∴ θ＝45∘．∴ 二面角T −AC −B 的大小为45∘．已知函数f(x)=13x3−52x2+a|x|−1．(Ⅰ)当a＝6时，求函数f(x)在(0, +∞)上的单调区间；(Ⅱ)求证：当a<0时，函数f(x)既有极大值又有极小值．【答案】（1）当a＝6，且x>0时，f(x)=13x3−52x2+6x−1，所以f′(x)＝x2−5x+6＝(x−2)(x−3)，令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝3；当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(0, +∞)上的单调递增区间是(0, 2)，(3, +∞)，单调递减区间是(2, 3)；（2）当a<0时，若x<0，则f(x)=13x3−52x2−ax−1，所以f′(x)＝x2−5x−a＝x(x−5)−a；因为x<0，a<0，所以f′(x)>0；若x>0，则f(x)=13x3−52x2+ax−1，所以f′(x)＝x2−5x+a；令f′(x)＝0，△＝25−4a>0，所以有两个不相等的实根x1，x2，且x1x2<0；不妨设x2>0，所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：因为函数f(x)图象是连续不断的，所以当a<0时，f(x)即存在极大值又有极小值．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)求a＝6且x>0时f(x)的导数，利用导数判断f(x)的单调性，从而求得f(x)在(0, +∞)上的单调区间；(Ⅱ)由a<0时，讨论x<0和x>0时，利用导数研究函数f(x)的单调性，从而判断函数f(x)是否存在极大与极小值．【解答】（1）当a＝6，且x>0时，f(x)=13x3−52x2+6x−1，所以f′(x)＝x2−5x+6＝(x−2)(x−3)，令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝3；当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(0, +∞)上的单调递增区间是(0, 2)，(3, +∞)，单调递减区间是(2, 3)； （2）当a <0时，若x <0，则f(x)=13x 3−52x 2−ax −1，所以f ′(x)＝x 2−5x −a ＝x(x −5)−a ； 因为x <0，a <0，所以f ′(x)>0； 若x >0，则f(x)=13x 3−52x 2+ax −1，所以f ′(x)＝x 2−5x +a ；令f ′(x)＝0，△＝25−4a >0，所以有两个不相等的实根x 1，x 2，且x 1x 2<0；不妨设x 2>0，所以当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：因为函数f(x)图象是连续不断的，所以当a <0时，f(x)即存在极大值又有极小值．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，O 为原点，点P 为椭圆C 上不同于A ，B 的任一点，若直线PA 与PB 的斜率之积为−34，且椭圆C 经过点(1,32)(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若P 点不在坐标轴上，直线PA ，PB 交y 轴与M ，N 两点；若直线OT 与过点MN 为直径的圆相切，切点为T ，问切线长|OT|是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）设P(x, y)，由题意得A(−a, 0)，B(a, 0)，∴ k AP ⋅k BP =yx+a ⋅yx−a =y 2x 2−a 2，∴y 2x 2−a2=−34而x 2a2+y 2b 2=1得：b 2=34a 2①，又过(1, 32)∴ 1a 2+94b 2=1②，所以由①②得：a 2＝4，b 2＝3； 所以椭圆C 的方程：x 24+y 23=1；（2）由(Ⅰ)得：A(−2, 0)，B(2, 0)设P(m, n)，m 24+n 23=1，则直线的方程PA:y =nm+2(x +2)，令x ＝0，则y =2nm+2，所以M 的坐标(0, 2n2+m )， 直线PB 的方程：y =nm−2(x −2)，令x ＝0，y =−nm−2，所以坐标N(0, −2nm−2)，∵ △OTN ∽△OMT ∴ OTOM =ONOT，∴ OT 2＝|ON|⋅|OM|＝|4n 2m 2−4|＝3 |所以切线长|OT|2=√3．【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 【解析】(Ⅰ)由斜率之积的a ，b 的关系，又过一点又得a ，b 的关系，解出a ，b 的值，求出椭圆的方程；(Ⅱ)由(Ⅰ)得A ，B 的坐标，设P 的坐标，满足椭圆的方程，得直线AP ，BP ，求出M ，N 的坐标，再用圆中切割线定理得切线长的值． 【解答】（1）设P(x, y)，由题意得A(−a, 0)，B(a, 0)，∴ k AP ⋅k BP =y x+a⋅y x−a=y 2x 2−a 2，∴y 2x −a=−34而x 2a+y 2b =1得：b 2=34a 2①，又过(1, 32)∴1a 2+94b 2=1②，所以由①②得：a 2＝4，b 2＝3； 所以椭圆C 的方程：x 24+y 23=1；（2）由(Ⅰ)得：A(−2, 0)，B(2, 0)设P(m, n)，m 24+n 23=1，则直线的方程PA:y =nm+2(x +2)，令x ＝0，则y =2nm+2，所以M 的坐标(0, 2n2+m )， 直线PB 的方程：y =n m−2(x −2)，令x ＝0，y =−nm−2，所以坐标N(0, −2nm−2)，∵ △OTN ∽△OMT ∴ OTOM =ONOT，∴ OT 2＝|ON|⋅|OM|＝|4n 2m 2−4|＝3 |所以切线长|OT|2=√3．定义：给定整数i ，如果非空集合A 满足如下3个条件： ①A ⊆N ∗； ②A ≠{1}；③∀x ，y ∈N ∗，若x +y ∈A ，则xy −i ∈A ． 则称集合A 为“减i 集”(Ⅰ)P ＝{1, 2}是否为“减0集”？是否为“减1集”？ (Ⅱ)证明：不存在“减2集”；(Ⅲ)是否存在“减1集”？如果存在，求出所有的“减1集”；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）∵ P ⊆N ∗，P ≠{1}，1+1＝2∈P ，1×1−0∈P ，∴ P 是“减0集”同理，∵ P ⊆N ∗，P ≠{1}，1+1＝2∈P ，1×1−1∉P ，∴ P 不是“减1集”． （2）假设存在A 是“减2集”，则若x +y ∈A ，那么xy −2∈A ，当x +y ＝xy −2时，有(x −1)(y −1)＝3， 则x ，y 一个为2，一个为4，所以集合A 中有元素6， 但是3+3∈A ，3×3−2∉A ，与A 是“减2集”，矛盾；当x +y ≠xy −2时，则x +y ＝xy −1或者x +y ＝xy −m(m ≥2)， 若x +y ＝xy −1，则有(x −1)(y −1)＝2，因此x，y一个为2，一个为3，(Ⅲ)存在“减1集”A．A≠{1}．①假设1∈A，则A中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2∈A，1+1∈A，而1×1−1∉A，因此2∉A．假设3∈A，1+2∈A，而1×2−1∈A，因此3∈A．因此可以有A＝{1, 3}．假设4∈A，1+3∈A，而1×3−1∉A，因此4∉A．假设5∈A，1+4∈A，1×4−1∈A，2+3＝5，2×3−1∈A，因此5∈A．因此可以有A＝{1, 3, 5}．以此类推可得：A＝{1, 3, 5, ......, 2n−1, ......}，(n∈N∗)，以及A的满足以下条件的非空子集：{1, 3}，{1, 3, 5}，{1, 3, 5, 7}，……．【考点】元素与集合关系的判断【解析】(Ⅰ)P⊆N∗，P≠{1}，1+1＝2∈P，1×1−0∈P，即可得出P是“减0集”，同理可得P不是“减1集”．(Ⅱ)假设存在A是“减2集”，则若x+y∈A，那么xy−2∈A，当x+y＝xy−2时，有(x−1)(y−1)＝3，对x，y分类讨论即可得出．(Ⅲ)存在“减1集”A．A≠{1}．假设1∈A，则A中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2∈A，1+1∈A，而1×1−1∉A，因此2∉A．假设3∈A，1+2∈A，而1×2−1∈A，因此3∈A．因此可以有A＝{1, 3}．假设4∈A，1+3∈A，而1×3−1∉A，因此4∉A．假设5∈A，1+4∈A，1×4−1∈A，2+3＝5，2×3−1∈A，因此5∈A．因此可以有A＝{1, 3, 5}．以此类推可得所有的A．【解答】（1）∵P⊆N∗，P≠{1}，1+1＝2∈P，1×1−0∈P，∴P是“减0集”同理，∵P⊆N∗，P≠{1}，1+1＝2∈P，1×1−1∉P，∴P不是“减1集”．（2）假设存在A是“减2集”，则若x+y∈A，那么xy−2∈A，当x+y＝xy−2时，有(x−1)(y−1)＝3，则x，y一个为2，一个为4，所以集合A中有元素6，但是3+3∈A，3×3−2∉A，与A是“减2集”，矛盾；当x+y≠xy−2时，则x+y＝xy−1或者x+y＝xy−m(m≥2)，若x+y＝xy−1，则有(x−1)(y−1)＝2，因此x，y一个为2，一个为3，(Ⅲ)存在“减1集”A．A≠{1}．①假设1∈A，则A中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2∈A，1+1∈A，而1×1−1∉A，因此2∉A．假设3∈A，1+2∈A，而1×2−1∈A，因此3∈A．因此可以有A＝{1, 3}．假设4∈A，1+3∈A，而1×3−1∉A，因此4∉A．假设5∈A，1+4∈A，1×4−1∈A，2+3＝5，2×3−1∈A，因此5∈A．因此可以有A＝{1, 3, 5}．以此类推可得：A＝{1, 3, 5, ......, 2n−1, ......}，(n∈N∗)，以及A的满足以下条件的非空子集：{1, 3}，{1, 3, 5}，{1, 3, 5, 7}，……．。

北京师大附中2020学年（上）高三期中考试数学（理）试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，先求出集合，，再根据集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合，，则，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知为虚数单位，则复数= （）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算，即可求解，得到答案.【详解】由复数的运算，可得复数，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，其中解答中熟记的除法运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.在极坐标系中，曲线是（）A. 过极点的直线B. 半径为2的圆C. 关于极点对称的图形D. 关于极轴对称的图形【答案】D【解析】试题分析：,表示圆心为半径为1的圆，关于极轴对称的图形，所以选D.考点：极坐标4.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若，则，所以“”是“”的充分而不必要条件。

考点：本题考查充分必要充要条件；三角函数求值。

点评：熟练掌握充分必要充要条件的判断。

此题为基础题型。

视频5.若偶函数满足且时,则方程的根的个数是( )A. 2个B. 4个C. 3个D. 多于4个【答案】B【解析】【分析】在同一坐标系中画出函数和函数的图象，这两个函数的图象的焦点个数，即为所求.【详解】因为偶函数满足，所以函数的周期为2，又当时，，故当时，，则方程的根的个数，等价于函数和函数的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示，可得两函数的图象有4个交点，即方程有4个根，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，即根的存在性及根的个数的判定，其中解答中把方程的根的个数，转化为函数和函数的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力6.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边经过点（，），且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，根据三角函数的定义和三角函数的诱导公式，得到，即可求解，得到答案.【详解】由题意角的终边经过点（，），且，根据三角函数的定义，可知，则，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及三角函数的诱导公式的应用，其中解答中根据三角函数的定义得到，再合理利用诱导公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知函数，函数（），若对任意的，总存在使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，可得在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解.【详解】由题意，函数的导数为，当时，，则函数为单调递增；当时，，则函数为单调递减，即当时，函数取得极小值，且为最小值，又由，可得函数在的值域，由函数在递增，可得的值域，由对于任意的，总存在，使得，可得，即为，解得，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.8.已知在直角三角形中，为直角，，，若是边上的高，点在△内部或边界上运动，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，由可得以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则直线方程为，则直线AM方程为联立，解得：由图可知，当在线段上时，有最大值为0，当在线段上时，有最小值，设∴的范围是[，0]故选D．【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，数量积的坐标运算，以及数形结合的思想方法，其中建立平面直角坐标系并利用数形结合的思想是解答该题的关键．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市首师附中2020-2021学年度第二学期入学考试高三数学试卷一、单选题1.设a,b 为实数，若复数1+21ii a bi=++，则 A. 31,22a b == B. 3,1a b == C. 13,22a b == D. 1,3a b ==【答案】A 【解析】 【分析】先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．【详解】由121i i a bi +=++可得1+2i ＝（a ﹣b ）+（a +b ）i ，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得32a =，12b =，故选A ．【点睛】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题．2.过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为（ ） A. 6 B. 9C. 12D. 无法确定【答案】C 【解析】试题分析：AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则A,B 到准线的距离之和为12，即12121212x x p AB x x p ++=∴=++=考点：直线与抛物线相交问题3.已知集合11,2,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合2{|,}B y y x x A ==∈，则A B ⋂=（ ）A. 12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. {}2C. {}1D. φ【答案】C【解析】 试题分析：因，故,选C.考点：交集运算.4.一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠劵，每张优惠券只能购买一件商品.根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠劵1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠劵2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠劵3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%.若顾客购买某商品后，使用优惠劵1比优惠劵2、优惠劵3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为( ) A. 179元 B. 199元 C. 219元 D. 239元【答案】C 【解析】 【分析】设购买的商品的标价为x 元，根据题意列出不等式即可得到答案.【详解】设购买的商品的标价为x 元，由题意，0.120x ⨯>，且0.1(100)0.18x x ⨯>-⨯，解得200225x <<. 故选：C【点睛】本题考查利用函数模型的选择问题，考查学生分析解决问题的能力，是一道基础题. 5.已知,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//a b 的一个充分条件是（ ） A. //a α，//b αB. //a α，b β//，//αβC. a α⊥，b β⊥，//αβD. αβ⊥，a α⊥，b β//【答案】C 【解析】 【分析】在A 中，a 与b 相交、平行或异面；在C 中，由线面垂直的性质可得a ∥b ；在B 、D 中，均可得a 与b 相交、平行或异面；【详解】由a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 在A 中，//a α，//b α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误；在B 中，//a α，//b β，//αβ，则a 与b 相交、平行或异面，故B 错误；在C 中，由a α⊥，//αβ，则a β⊥，又b β⊥，由线面垂直的性质可知//a b ，故C 正确； 在D 中，αβ⊥，a α⊥，//b β，则a 与b 相交、平行或异面，故D 错误． 故选C ．【点睛】本题考查线线平行的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．6.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )A. 2B.2C.3【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心(2,0)到渐近线的距离等于半径即可建立,,a b c 间的关系.【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故圆心(2,0)到渐近线的距离等于1，1=，所以223a b ，c e a ====3. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立,,a b c 三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.7.在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB BC AA ==,点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP PQ +的最小值为( )A.2B.2C.34D. 1【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，将平面11AB C 沿1AC 翻折，使其与平面1ACC 在共面，将折线段转化为直线段距离最小，从而求出MP +PQ 的最小值.【详解】如图1，显然当Q 是P 在底面ABCD 的射影时MP PQ +才可能最小，将平面11AB C 沿1AC 翻折，使其与平面1ACC 在共面，如图2所示，此时易得130CAC ∠=，3AM =显然当,,M P Q 三点共线时，MP PQ +取得最小值，此时min 133sin 604MQ AM CAB =∠==. 故选：C.【点睛】本题考查立体几何翻折问题中的最值问题，考查空间想象能力以及学生的计算能力，难度比较大.8.已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 上点A 满足212.AF F F ⊥若点P 是椭圆C 上的动点，则12F P F A ⋅的最大值为( ) A.32B.332C.94D.154【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得点A ，1F ，2F 的坐标，再利用数量积运算法则和点P 的纵坐标的取值范围即可得出最大值．【详解】由椭圆C ：22143x y +=可得：24a =，23b =，()2211.1,0c a b F =-=∴-，()21,0F ．212AF F F ⊥，31,2A ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭．设(),P x y ，则221.43x y +=又33y -≤≤，()1233331,0,222F P F A x y y ⎛⎫∴⋅=+⋅=≤⎪⎝⎭． 12F P F A ∴⋅的最大值为332． 故选B ．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算等基础知识与基本技能方法，属于基础题．9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A.13B.23C. 1D.43【答案】D【解析】【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个俯视图中右下角的三角形为底面的三棱锥，代入棱锥的的体积公式，即可求解.【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是一个如图所示的三棱锥1D ABE-，其底面ABE的面积为12222S=⨯⨯=，高为2h=，所以该三棱锥的体积为11422333V Sh==⨯⨯=，故选D.【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.10.已知数列121,,,4a a成等差数列，1231,,,,4b b b成等比数列，则212a ab-的值是 ( )A.12B.12- C.12或12- D.14【答案】A【解析】由题意可知：数列1,a1,a2，4成等差数列，设公差d，则4=1+3d，解得d=1，∴a1=1+2=2，a2=1+2d=3.∵数列1,b1,b2,b3，4成等比数列，设公比为q，则4=q4,解得q2=2，∴b2=q2=2.则21221122a ab--==.本题选择A选项.二、填空题11.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为________．【答案】()()2,02,5-【解析】【分析】利用函数的图象以及函数的奇偶性，判断函数值0y＜的x的取值集合即可．【详解】由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y＜0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．【点睛】本题考查函数的图象的判断函数的奇偶性的应用，是基础题．12.函数2log(1),01,(){2,10x xf xx x+≤≤=-≤<的值域是______________．【答案】[]2,1-【解析】试题分析：当01x≤≤时，112x≤+≤，所以()20log11x≤+≤；当10x-≤<时，220x-≤<.所以函数的值域是[]2,1-.考点：1.函数的值域及其求法；2.对数函数的值域；3.分段函数的图像与性质13.若函数()xy e f x= 2.71828...e=（是自然对数的底数）在()f x的定义域上单调递增，则称函数()f x具有M性质，下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①=2x f x -（） ②=3x f x -（） ③3=f x x （） ④2=2f x x +（） 【答案】①④ 【解析】 ①()22xxxxe ef x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()33xx x x e e f x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()x f x -=3不具有M 性质；③()3xxe f x e x =⋅，令()3xg x e x =⋅，则()()32232xxxg x e x e x x ex '=⋅+⋅=+，∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴()3x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()22xxe f x ex=+，令()()22x g x e x =+，则()()()2222110x x x g x e x e x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，∴()()22x x e f x e x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．【名师点睛】1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可． 2.求可导函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集．(4)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)的解集确定函数f (x )的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．3.由函数f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．14.已知幂函数()y f x =的图像经过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2f =______.【解析】 【分析】先设幂函数()af x x =，根据其图像经过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求得函数，再求()2f .【详解】设幂函数()ay f x x ==，因为其图像经过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以142a=， 解得12a =-，所以()1222-==f故答案为：2【点睛】本题主要考查幂函数的定义及求函数值，属于基础题.15.已知平面向量a ，b 满足0a b ⋅=，2a =，3b =，则a b +=______.【解析】 【分析】根据平面向量a ，b 满足0a b ⋅=，2a =，3b =，利用向量求模公式求解. 【详解】因为平面向量a ，b 满足0a b ⋅=，2a =，3b =，所以()222222+=+=+⋅+=+=a b a b a a b b【点睛】本题主要考查平面向量的模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.三、解答题16.已知函数21()cossin cos 2222x x x f x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域； （Ⅱ）若32()10f α=，求sin 2α的值. 【答案】（1）2，；（2）725. 【解析】【详解】（1）由已知，f （x ）=所以f （x ）的最小正周期为2，值域为；（2）由（1）知，f （）=所以3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以.[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化等数学思想.17.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，2()2f x x x =+现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．(1)画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，并写出函数()f x 在R 上的单调区间； (2)求函数()f x 在R 上的解析式．【答案】（1）如图所示：()f x 的单调递减区间为：(,1)-∞- ，(0,1)单调递增区间为：(1,0)-，(1+)∞， （2）220+2(),02x x x f x x x x ≤⎧=⎨>-⎩，【解析】 【分析】（1）根据偶函数关于y 轴对称，即可画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，再由函数图像即可写出其单调区间．（2）已知0x ≤时的解析式，只需计算出0x >的解析式，根据0,x >则0,x -<与()()f x f x =-即可使用0x ≤时的解析式解出0x >的解析式．【详解】（1）如图所示：()f x 的单调递减区间为：(,1)-∞- ，(0,1)单调递增区间为：(1,0)-，(1+)∞， （2）令0,x >则0,x -<所以22()()2()2f x x x x x -=-+-=-又函数()f x 为偶函数，即()()f x f x =- 所以当0x >时2()2f x x x =-所以220+2(),02x x x f x x x x ≤⎧=⎨>-⎩，【点睛】本题考查偶函数的图像性质，根据图像写函数的单调区间，已知偶函数的一半的函数解析式，求整个函数的解析式，属于基础题．18.已知函数()()221f x x ax a a R =+++∈，设()f x 在[]1,1-上的最大值为()g a ，(Ⅰ)求()g a 的表达式；(Ⅱ)是否存在实数,m n ，使得()g a 的定义域为[],m n ，值域为[]5,5m n ？如果存在，求出,m n 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(Ⅰ()22,02)?2,0a a a g a a a a -+<⎧⎪=++≥⎨⎪⎩；(Ⅱ22)?22m n ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩【解析】 【分析】(Ⅰ)函数()f x 图象的对称轴为2ax =-，然后通过讨论对称轴的位置，结合函数的单调性求解函数的最大值，得到函数的最大值的表达式；(Ⅱ) 假设存在符合题意的实数,m n ，则()[)2,.g a ∈+∞ 可得若[],a m n ∈，有()[]5,5g a m n ∈，即0.m n <<由此得()2 2g a a a =++，且为单调递增函数，从而列出方程组，即可求出结果．【详解】(Ⅰ)因为函数()f x 图象的对称轴为2ax =-， 所以当02a-≤，即0a ≥时，()()2()12max g a f x f a a ===++； 当02a->，即0a <时，()()2()1 2.max g a f x f a a ==-=-+ 所以()22,022,0a a a g a a a a -+<⎧⎪=++≥⎨⎪⎩.(Ⅱ)假设存在符合题意的实数m ，n ，则由(Ⅰ)可知，当a R ∈时，()[)2,.g a ∈+∞所以若[],a m n ∈，有()[]5,5g a m n ∈，则0.m n <<所以()22g a a a =++，且为单调递增函数.所以()()225225g m m m m g n n n n =++=⎧⎪=++=⎨⎪⎩,所以22m n ⎧=⎪⎨=+⎪⎩【点睛】本题主要考查二次函数的单调性及其应用，属于中档题．二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解，二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论. 19.已知函数()()ln f x x x a a R =-+∈．(Ⅰ)若函数()f x 的最大值为3，求实数a 的值；(Ⅱ)若当()1,x ∈+∞时，()()()31'22f x k xf x a k x ⎛⎫>-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围；(Ⅲ)若1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，求证：121x x <．【答案】(Ⅰ)4；(Ⅱ1)?,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；证明见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)求出函数()f x 的定义域，利用导函数符号判断函数的单调性，由单调性求解函数的最大值，然后求出a 即可；(Ⅱ)化简恒成立的不等式为3ln 112x x a k x a x ⎛⎫-+>-+-+- ⎪⎝⎭，得到()()ln 13.x x k x +>-令()()()ln 13g x x x k x =+--，利用函数的导数符号判断函数的单调性，得到()()g g 112x k >=+，然后求解k 的范围；(Ⅲ1)?x ，2x 是函数()f x 的两个零点，可得()()()1222222222211111ln ln 2ln f x f f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=---=+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，构造函数()12ln h x x x x=+-，利用函数的导数的符号判断函数的单调性，推出()121f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，得到121 x x <，即可证明结论．【详解】(Ⅰ)函数()f x 的定义域为()0,.+∞ 因为()11'1xf x x x-=-=， 所以在()0,1内，，()f x 单调递增； 在()1,+∞内，，()f x 单调递减．所以函数()f x 在1x =处取得唯一的极大值，即()f x 的最大值()1ln11f a =-+． 因为函数()f x 的最大值为3， 所以ln113a -+=， 解得 4.a =(Ⅱ)因为当()1,x ∈+∞时，()()()31'22f x k xf x a k x ⎛⎫>-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以3ln 112x x a k x a x ⎛⎫-+>-+-+- ⎪⎝⎭， 所以()()ln 13x x k x +>-，即()()ln 130x x k x +-->．令()()()ln 13g x x x k x =+--， 则因为2k ≤， 所以．所以()g x 在()1,+∞单调递增. 所以()()112g x g k >=+， 所以 120k +≥，所以1.2k ≥-即实数k 的取值范围是1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； (Ⅲ)由(Ⅰ)可知：()10,1x ∈，()21,x ∈+∞．所以()210,1.x ∈ 因为1x ，2x 是函数()f x 的两个零点， 所以()()120f x f x ==． 因为()()()1222222222211111ln ln 2ln .f x f f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=---=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()12ln h x x x x=+-， 则()222222121(1)'1x x x h x x x x x-+--=--==-． 所以在()1,+∞，，()h x 单调递减．所以()()10h x h <=． 所以()1210f x f x ⎛⎫-<⎪⎝⎭，即()121f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭． 由(Ⅰ)知，()f x 在()0,1单调递增，所以121x x <， 所以12 1.x x <【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值、证明不等式以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.20.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c sin A cos B a =． （1）求角B ；（2）若3b =，sin CA =，求a ，c ． 【答案】（1）6B π=；（2）3,a c ==【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B 的大小． （2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可． 【详解】（1）在ABC ∆中， 由正弦定理sin sina bA B=sin sin cos B A A B =． 又因为在ABC ∆中sin 0A ≠． cos B B =．法一：因为0B π<<，所以sin 0B ≠，因而cos 0B ≠． 所以sin tan cos 3B B B ==， 所以6B π=．cos 0B B -=即2sin 06B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以()6B k k Z ππ-=∈，因为0B π<<，所以6B π=．（2）由正弦定理得sin sin a c A C=，而sin C A =，所以c = ，①由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2292cos 6a c ac π=+-，即229a c +=， ②把①代入②得3,a c ==【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.21.已知数列{}n a 的前n 项和()*n S n N∈满足21nn Sa =-，数列{}nb 满足22log n n b a =+．(Ⅰ)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； (Ⅱ)令nn nb c a =，若221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，求实数x 的取值范围； (Ⅲ)数列{}n a 中是否存在,,(m n k a a a m n k <<，且 *,,)m n k N ∈使m a ，n a ，k a 成等差数列？若存在，求出,,m n k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(Ⅰ1)2n n a -=，1n b n =+；(Ⅱ){|1x x ≤-或3}x ≥；(Ⅲ) 不存在，理由见解析．【解析】 【分析】(Ⅰ)利用已知条件通过1n n n a S S -=-，说明数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，从而可求出{}n a 的通项公式，然后求解n b 的通项公式；(Ⅱ)求出nn nb c a =，判断数列的单调性，结合221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，得到2221x x ≤--求解即可；(Ⅲ)假设存在*,,(,,,)m n k a a a m n k m n k N <<∈，使m a ，n a ，k a 成等差数列，推出1112222n m k ---⋅=+，说明是与条件矛盾，得到结论． 【详解】(Ⅰ)根据题意，数列{}n a 满足21n n S a =-，当1n =时，111a S ==．当2n ≥时，11n n n a S S -=-=，122n n n a a a -=-， 即12n n a a -=．所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列.所以12n n a -=，*n N ∈；又由已知22log n n b a =+，得122log 2 1.n n b n -=+=+(Ⅱ)依题意得()11111()22n n n n n b n c n a --+===+，*n N ∈． 因为()()1111111212()1()()1()0222222nn n n n n n n c c n n n ---++⎛⎫-=+-+=--=-< ⎪⎝⎭， 所以当1n =时，n c 取得最大值1 2.c =因为221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，所以222 1.x x ≤-- 解得1x ≤-或3x ≥，所以实数x 的取值范围是{|1x x ≤-或3}x ≥；(Ⅲ)假设存在*,,(,,,)m n k a a a m n k m n k N <<∈，使m a ，n a ，k a 成等差数列，则2n m k a a a =+，即1112222.n m k ---⋅=+ 两边同时除以12m -，得1212.n m k m -+-=+① 因为12n m -+为偶数，12k m -+为奇数，这与①矛盾．所以不存在*,,(,,,)m n k a a a m n k m n k N <<∈，使m a ，n a ，k a 成等差数列.【点睛】本题主要考查数列的应用，通项公式以及数列的单调性，反证法的应用，属于难题．反证法的适用范围：（1）否定性命题与存在性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．。

2020-2021学年北京市首师大附中高三（上）开学数学试卷一、选择题（共10小题）.1．复数i（3+i）＝（）A．1+3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．﹣1﹣3i2．函数f（x）＝tan（x+）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π3．已知向量＝（1，﹣），＝（﹣2，m），若与共线，则||＝（）A．B．C．D．24．在二项式（1﹣2x）5的展开式中，x3的系数为（）A．40B．﹣40C．80D．﹣805．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝x﹣2B．y＝|lnx|C．y＝2﹣x D．y＝x sin x6．将函数f（x）＝cos2x图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，如果g（x）在区间[0，a]上单调递减，那么实数a的最大值为（）A．B．C．D．7．设点A，B，C不共线，则“”是“”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件8．有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（）A．8B．7C．6D．49．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．010．在声学中，声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：W/m2）．L1＝60dB，L2＝75dB，那么＝（）A．10B．10C．﹣D．10二、填空题（共5题，每题5分，共25分）11．已知抛物线y2＝2px的焦点与双曲线﹣y2＝1的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为；准线方程为．12．（x+1）7的展开式中x3的系数是．13．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，E为AC的中点，则＝．14．已知两点A（﹣1，0），B（1，0），若直线x﹣y+a＝0上存在点P（x，y）满足•＝0，则实数a满足的取值范围是．15．集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，B＝{（x，y）||xy|+1＝|x|+|y|}，若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为．①a的值可以为2；②a的值可以为；③a的值可以为2+；三、解答题（共6小题，共85分，每题必须写出详细的解答过程）16．已知△ABC ，满足，b＝2，______，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．从①，②这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人专项员工人数老员工402203中年员工821518青年员工120121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望．18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD 沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点F 满足，当EF∥平面AGH时，求λ的值．19．已知椭圆的右焦点为F（1，0），离心率为．直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l 的斜率．20．已知函数，f（x）＝x2（x＞0），g（x）＝alnx（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，过f（x）上一点（1，1）作g（x）的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．21．有限个元素组成的集合A＝{a1，a2，…，a n}，n∈N*，记集合A中的元素个数为card （A），即card（A）＝n．定义A+A＝{x+y|x∈A，y∈A}，集合A+A中的元素个数记为card（A+A），当card（A+A）＝时，称集合A具有性质P．（Ⅰ）A＝{1，4，7}，B＝{2，4，8}，判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）设集合A＝{a1，a2，a3，2020}．a1＜a2＜a3＜2020，且a i∈N*（i＝1，2，3），若集合A具有性质P，求a1+a2+a3的最大值；（Ⅲ）设集合A＝{a1，a2，…，a n}，其中数列{a n}为等比数列，a i＞0（i＝1，2，…，n）且公比为有理数，判断集合A是否具有性质P并说明理由．参考答案一、单选题（共10小题）.1．复数i（3+i）＝（）A．1+3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．﹣1﹣3i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：i（3+i）＝3i+i2＝﹣1+3i．故选：B．2．函数f（x）＝tan（x+）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【分析】由题意利用函数f（x）＝A tan（ωx+φ）的最小正周期为，得出结论．解：函数f（x）＝tan（x+）的最小正周期为＝π，故选：C．3．已知向量＝（1，﹣），＝（﹣2，m），若与共线，则||＝（）A．B．C．D．2【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得m＝（﹣）×（﹣2）＝1，即可得＝（﹣2，1）；由向量模的计算公式计算可得答案．解：根据题意，向量＝（1，﹣），＝（﹣2，m），若与共线，则有m＝（﹣）×（﹣2）＝1，则＝（﹣2，1）；则||＝＝；故选：B．4．在二项式（1﹣2x）5的展开式中，x3的系数为（）A．40B．﹣40C．80D．﹣80【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中的x3系数．解：（1﹣2x）5展开式的通项公式为•（﹣2x）r，故令r＝3，可得其中的x3系数为•（﹣2）3＝﹣80，故选：D．5．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝x﹣2B．y＝|lnx|C．y＝2﹣x D．y＝x sin x【分析】根据函数性质，分别判断两个函数的奇偶性和单调性即可．解：A．f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，满足条件B．函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．C．函数为非奇非偶函数，不满足条件．D．f（﹣x）＝﹣x sin（﹣x）＝x sin x＝f（x），f（x）为偶函数，在（0，+∞）不具备单调性，不满足条件．故选：A．6．将函数f（x）＝cos2x图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，如果g（x）在区间[0，a]上单调递减，那么实数a的最大值为（）A．B．C．D．【分析】根据条件先求出g（x）的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．解：将函数f（x）＝cos2x图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则g（x）＝cos2（x+）＝cos（2x+），设θ＝2x+，则当0＜x≤a时，0＜2x≤2a，＜2x+≤2a+，即＜θ≤2a+，要使g（x）在区间[0，a]上单调递减，则2a+≤π得2a≤，得a≤，即实数a的最大值为，故选：B．7．设点A，B，C不共线，则“”是“”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【分析】由于点A，B，C不共线，则⇔（+）•＝0⇔（+）•（﹣）＝﹣＝0⇔＝⇔“”，根据充分必要条件的定义判断即可．解：由于点A，B，C不共线，则⇔（+）•＝0⇔（+）•（﹣）＝﹣＝0⇔＝⇔“”；故“”是“”的充分必要条件．故选：C．8．有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（）A．8B．7C．6D．4【分析】则从下往上第二层正方体的棱长为：＝4，从下往上第三层正方体的棱长为：＝4，从下往上第四层正方体的棱长为：＝2，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法．解：最底层正方体的棱长为8，则从下往上第二层正方体的棱长为：＝4，从下往上第三层正方体的棱长为：＝4，从下往上第四层正方体的棱长为：＝2，从下往上第五层正方体的棱长为：＝2，从下往上第六层正方体的棱长为：＝，从下往上第七层正方体的棱长为：＝1，从下往上第八层正方体的棱长为：＝，∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8．故选：A．9．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．0【分析】由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数．解：由三视图还原原几何体如图，其中△ABC，△BCD，△ADC为直角三角形．∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3．故选：C．10．在声学中，声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：W/m2）．L1＝60dB，L2＝75dB，那么＝（）A．10B．10C．﹣D．10【分析】由得lgI＝﹣12，分别算出I1和I2的值，从而得到的值．解：∵，∴L＝10（lgI﹣lg10﹣12）＝10（lgI+12），∴lgI＝﹣12，当L1＝60时，lgI1＝＝＝﹣6，∴I1＝10﹣6，当L2＝75时，lgI2＝＝＝﹣4.5，∴I2＝10﹣4.5，∴＝10，故选：D．二、填空题（共5题，每题5分，共25分）11．已知抛物线y2＝2px的焦点与双曲线﹣y2＝1的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为（2，0）；准线方程为x＝﹣2．【分析】由双曲线方程求得双曲线的右顶点坐标，可得抛物线的焦点坐标，进一步求得抛物线的准线方程．解：双曲线﹣y2＝1的右顶点坐标为（2，0），即抛物线y2＝2px的焦点坐标为（2，0）；则抛物线的直线方程为x＝﹣2．故答案为：（2，0）；x＝﹣2．12．（x+1）7的展开式中x3的系数是35．【分析】利用二项式定理求得（x+1）7的展开式的通项公式，进而求得结果．解：∵（x+1）7的展开式的通项公式为T r+1＝C x7﹣r，r＝0，1， (7)∴（x+1）7的展开式中x3的系数为C＝35．故填：35．13．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，E为AC的中点，则＝﹣1．【分析】先在△ABC中，利用余弦定理，算出，确定△ABC是以A为直角的直角三角形，然后＝，结合平面向量数量积的运算法则求解即可．解：由于∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，根据余弦定理可知，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC＝，∴，△ABC为直角三角形，且A为直角，∴＝．故答案为：﹣1．14．已知两点A（﹣1，0），B（1，0），若直线x﹣y+a＝0上存在点P（x，y）满足•＝0，则实数a满足的取值范围是[﹣，]．【分析】问题转化为求直线l与圆x2+y2＝1有公共点时，a的取值范围，利用数形结合思想能求出结果．解：∵直线l：x﹣y+a＝0，点A（﹣1，0），B（1，0），直线l上存在点P满足•＝0，∴P的轨迹方程是x2+y2＝1．∴如图，直线l与圆x2+y2＝1有公共点，∴圆心O（0，0）到直线l：x﹣y+a＝0的距离：d＝≤1，解得﹣≤a．∴实数a的取值范围为[﹣，]．故答案为：[﹣，]．15．集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，B＝{（x，y）||xy|+1＝|x|+|y|}，若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为②③．①a的值可以为2；②a的值可以为；③a的值可以为2+；【分析】根据曲线性质求出集合A，B对应的图象，结合两角和差的正切公式进行求解即可．解：A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，x≥0，y≥0时，即x+y＝a表示在第一象限内的线段将x，y分别换成﹣x，﹣y方程不变，因此|x|+|y|＝a关于x轴对称，也关于y轴对称那么，集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}表示点集为正方形，∵|xy|+1＝|x|+|y|∴|xy|﹣|x|﹣|y|+1＝0即（|x|﹣1）（|y|﹣1）＝0∴|x|＝1或|y|＝1即x＝±1，y＝±1B＝{（x，y）|x＝±1，或x＝±1}，表示2组平行线，A∩B为8个点，构成正八边形①如图1，∠AOB＝45°又A（1，a﹣1），∴tan∠xOA＝a﹣1，tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝1，即2a﹣2＝2a﹣a2，∴a2＝2∵a＞0，∴a＝②如图2，∠AOB＝45°又A（a﹣1，1）∴tan∠xOA＝，tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝＝1，即2a﹣2＝﹣2a+a2，∴a2﹣4a+2＝0，解得a＝2+或a＝2﹣（舍），综上a＝或a＝2+．故答案为：②③．三、解答题（共6小题，共85分，每题必须写出详细的解答过程）16．已知△ABC，满足，b＝2，______，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．从①，②这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】选①，先利用余弦定理可解得c＝3，从而求得三角形面积为，由此作出判断；选②，先利用余弦定理可得，结合已知条件可知△ABC是A为直角的三角形，进而求得面积为，此时S＞2不成立．解：选①，△ABC的面积S＞2成立，理由如下：当时，，所以c2﹣2c﹣3＝0，所以c＝3，则△ABC的面积，因为，所以S＞2成立．选②，△ABC的面积S＞2不成立，理由如下：当时，，即，整理得，，所以，因a2＝7，b2+c2＝4+3＝7，所以△ABC是A为直角的三角形，所以△ABC的面积，所以不成立．17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人专项员工人数老员工402203中年员工821518青年员工120121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）先算出该单位的所有员工数量，再根据分层抽样的特点，逐一求解样本中老年、中年、青年员工的数量即可．（Ⅱ）随机变量X的可取值为0，1，2，结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80＝400人，抽取的老年员工人，中年员工人，青年员工人．（Ⅱ）X的可取值为0，1，2，，，．所以X的分布列为X012P数学期望E（X）＝．18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD 沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点F满足，当EF∥平面AGH时，求λ的值．【分析】（Ⅰ）只需证明GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE＝E，由线面垂直的判定定理可得证明；（Ⅱ）以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，求得平面AGH的法向量和平面EBHG的法向量．设二面角A﹣GH﹣B的大小为θ（θ＜900），即可得到所求值；（Ⅲ）由，则，由．计算可得所求值．解：（Ⅰ）证明：在左图中，△ABD为等边三角形，E为AD中点所以BE⊥AD，所以BE⊥AE．因为∠AEG＝90°，所以GE⊥AE．因为GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE＝E所以AE⊥平面EBHG．（Ⅱ）设菱形ABCD的边长为2，由（Ⅰ）可知GE⊥AE，BE⊥AE，GE⊥BE．所以以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图空间坐标系可得A（1，0，0），，G（0，0，1），．，设平面AGH的法向量为，所以，即．令x＝1，则．平面EBHG的法向量为．设二面角A﹣GH﹣B的大小为θ（θ＜900）．（Ⅲ）由，则，所以．因为EF∥平面AGH，则．即1﹣2λ＝0．所以．19．已知椭圆的右焦点为F（1，0），离心率为．直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l 的斜率．【分析】（Ⅰ）由题可知，c＝1，，再结合a2＝b2+c2，解出a和b的值即可得解；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l的方程和椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，写出两根之和与系数的关系；由于M为线段AB的中点，利用中点坐标公式可用k表示点M的坐标，利用可求出直线OM的斜率，进而得解；（Ⅲ）若四边形OAPB为平行四边形，则，利用平面向量的线性坐标运算可以用k表示点P的坐标，再将其代入椭圆方程即可得到关于k的方程，解之即可得解．解：（Ⅰ）由题意可知，c＝1，，∵a2＝b2+c2，∴，∴椭圆的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y得，（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，则，∵M为线段AB的中点，∴，，∴，∴为定值．（Ⅲ）若四边形OAPB为平行四边形，则，∴，，∵点P在椭圆上，∴，解得，即，∴当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为．20．已知函数，f（x）＝x2（x＞0），g（x）＝alnx（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，过f（x）上一点（1，1）作g（x）的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．【分析】（Ⅰ）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣alnx（x＞0），则h′（x）＝，利用当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况可得当0＜a＜2e时，h（x）＞0恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立；（Ⅱ）当a＝1时，g（x）＝lnx，设过点（1，1）的直线l与g（x）＝lnx相切于点P（x0，y0），则＝，整理得x0lnx0﹣2x0+1＝0，令m（x）＝xlnx﹣2x+1，则m（x）在（0，+∞）上的零点个数与切点P的个数一一对应，m′（x）＝lnx﹣1，令m′（x）＝lnx﹣1＝0解得x＝e．通过对x变化时，m′（x），m（x）的变化情况的分析，可得答案．解：令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣alnx（x＞0），所以h′（x）＝2x ﹣＝，令h′（x ）＝＝0，解得x ＝，当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：x（0，）（，+∞）h′（x），﹣0+h （x），减极小值增所以在（0，+∞）的最小值为h （）＝﹣aln ＝﹣ln，令h （）＞0，解得0＜a＜2e，所以当0＜a＜2e时，h（x）＞0恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立．（Ⅱ）可作出2条切线．理由如下：当a＝1时，g（x）＝lnx，设过点（1，1）的直线l与g（x）＝lnx相切于点P（x0，y0），g′（x0）＝，即＝，整理得x0lnx0﹣2x0+1＝0，令m（x）＝xlnx﹣2x+1，则m（x）在（0，+∞）上的零点个数与切点P的个数一一对应，m′（x）＝lnx﹣1，令m′（x）＝lnx﹣1＝0解得x＝e．当x变化时，m′（x），m（x）的变化情况如下表：x（0，e）e（e，+∞）m′（x）﹣0+m（x）减极小值增所以m（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，且m （）＝ln ﹣+1＝﹣+1＞0，m（e）＝elne﹣2e+1＝﹣e+1＜0，m（e2）＝e2lne2﹣2e2+1＝1＞0，所以m（x ）在（，e）和（e，e2）上各有一个零点，即xlnx﹣2x+1＝0有两个不同的解，所以过点（1，1）可以作出2条切线．21．有限个元素组成的集合A＝{a1，a2，…，a n}，n∈N*，记集合A中的元素个数为card （A），即card（A）＝n．定义A+A＝{x+y|x∈A，y∈A}，集合A+A中的元素个数记为card（A+A），当card（A+A ）＝时，称集合A具有性质P．（Ⅰ）A＝{1，4，7}，B＝{2，4，8}，判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）设集合A＝{a1，a2，a3，2020}．a1＜a2＜a3＜2020，且a i∈N*（i＝1，2，3），若集合A具有性质P，求a1+a2+a3的最大值；（Ⅲ）设集合A＝{a1，a2，…，a n}，其中数列{a n}为等比数列，a i＞0（i＝1，2，…，n）且公比为有理数，判断集合A是否具有性质P并说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知集合结合定义求得A+A与B+B，再由性质P的概念判断；（Ⅱ）首先说明若三个数a，b，c成等差数列，则A＝{a，b，c}不具有性质P，由a1＜a2＜a3＜2020，得a3≤2019，结合集合A具有性质P依次求出a3＝2019，a2＝2017，a1＝2014，可得a1+a2+a3的最大值；（Ⅲ）设等比数列的公比为q ，得（a1＞0）且q为有理数，假设当i＜k≤l＜j时有a i+a j＝a k+a l成立，则有q j﹣i＝q k﹣i+q l﹣i﹣1，设q＝（m，n∈N*且m与n互质），因此有﹣1，整理后出现矛盾，说明a i+a j＝a k+a l不成立，得到card（A+A）＝，说明集合A具有性质P．解：（Ⅰ）集合A不具有性质P，集合B具有性质P．事实上，∵A＝{1，4，7}，∴A+A＝{2，5，8，11，14}，card（A+A）＝5≠，故A不具有性质P；∵B＝{2，4，8}，∴B+B＝{4，6，8，10，12，16}，card（B+B）＝6＝，故B 具有性质P．（Ⅱ）若三个数a，b，c成等差数列，则A＝{a，b，c}不具有性质P，理由是a+c＝2b．∵a1＜a2＜a3＜2020，且a i∈N*（i＝1，2，3），∴a3≤2019，要使a1+a2+a3取最大，则a3＝2019，a2≤2018，易知{2018，2019，2020}不具有性质P，要使a1+a2+a3取最大，则a2＝2017，a1≤2016，要使a1+a2+a3取最大，检验可得a1＝2014；∴（a1+a2+a3）max＝6050；（Ⅲ）集合A具有性质P．设等比数列的公比为q，∴（a1＞0）且q为有理数．假设当i＜k≤l＜j时有a i+a j＝a k+a l成立，则有q j﹣i＝q k﹣i+q l﹣i﹣1．∵q为有理数，设q＝（m，n∈N*且m与n互质），因此有﹣1，即m j﹣i＝m k﹣i n j﹣k+m l﹣i n j﹣l﹣n j﹣i．上式左边是m的倍数，右边是n的倍数，而m与n互质，显然a i+a j＝a k+a l不成立．∴card（A+A）＝，故集合A具有性质P．。