高考数学二轮复习 专题三 第1讲 三角函数的图象与性质配套课件 理

专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二 因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值． 解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。

4．三角函数的对称性
(1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由 ωx＋φ＝__k_π_＋__π2____ (k∈Z)解得， 对称中心的横坐标由 ωx＋φ＝___k_π______ (k∈Z)解得；
(2)函数 y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴由 ωx＋φ＝_____k_π____ (k∈Z)解得，
( C)
A．4π
B．2π
C．π
D．π2
[解析] 函数 f(x)＝sin(2x＋π3)的最小正周期 T＝22π＝π． 故选 C．
2．(2017·天津卷，7)设函数
f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中
ω>0，|φ|<π.若
5π f( 8 )
＝2，f(118π)＝0，且 f(x)的最小正周期大于 2π，则 导学号 52134365 ( A )
横坐标变为原来的 ―纵―坐―标――不―变→
1 ω
y＝sin(ωx＋φ)
纵坐标横变坐―为标 ―原→不来变的A倍y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．
横坐标变为原来的 ②y＝sinx ―纵―坐―标――不―变→
1 ω
y＝sinωx
向左―平ω―移>―0|ωφ―或|个―向单―右位→φ<0y＝sin(ωx＋φ)
y＝cos x 偶函数
2π
y＝tan x 奇函数
π
在_______[－__π_＋__2_k_π_，__2k_π] 在__(_－__π2_＋__k_π_，__
_(_k_∈__Z_)__ 上递增． 在_______[_2_k_π_，__π_＋__2kπ]
_π2_＋__k_π_)_(k_∈__Z_)___
对称中心的横坐标由 ωx＋φ＝_k_π_＋__π2_____ (k∈Z)解得； (3)函数 y＝Atan(ωx＋φ)的图象的对称中心由 ωx＋φ＝k2π(k∈Z)解得．

即 0≤x≤π8时，f(x)单调递增； 当π2≤2x＋π4≤54π， 即π8≤x≤π2时，f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在区间0，π8上单调递增， 在区间π8，π2上单调递减.
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考向三 三角函数性质的考查 三角函数的定义域、最值及单调性、对称性、周期性是高考的 命题热点，常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角恒等变换 的方法与技巧的同时，又考查了三角函数的性质，难度中低 档．
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【例 3】 (2013·山东高考)设函数 f(x)＝ 23－ 3 sin2ωx－ sin ωx · cos ωx(ω＞0)，且 y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴 的距离为π4. (1)求 ω 的值； (2)求 f(x)在区间π，32π上的最大值和最小值．
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因此 tan 2α＝tan43π＝tanπ3＝ 3. (2)∵角 θ 的终边在直线 y＝2x 上， ∴tan θ＝2， 则 cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝ccooss22θθ－ ＋ssiinn22θθ＝11－ ＋ttaann22θθ＝－35.
答案 (1) 3 (2)－35
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【变式训练 3】 (2013·安徽高考)已知函数 f(x)＝4cos ωx·sinωx＋π4 (ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值； (2)讨论 f(x)在区间0，π2上的单调性． 解 (1)f(x)＝4cos ωx·sinωx＋π4 ＝2 2sin ωx·cos ωx＋2 2cos2ωx ＝ 2(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋ 2 ＝2sin2ωx＋π4＋ 2.

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解析 答案
2.(2018·全国(quán ɡuó)Ⅱ改编 )若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最
π 大值是_____.4
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解析 答案
3.(2018·天津改编)将函数 y＝sin2x＋π5的图象向右平移1π0个单位长度， 所得图象对应的函数__①____.(填序号)
横――坐――标―变――为―原――来―的――ω1――ω―>0――倍→ 纵坐标不变
y＝sin(ωx＋φ)
―纵――坐―标――变横―为―坐―原标 ―来―不―的―变A――A―>―0―倍→y＝Asin(ωx＋φ).
(先伸缩后平移)y＝sin x―横―坐――标―变―纵―为―坐―原标―来―不―的―变ω1――ω―>―0―倍→y＝sin ωx
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跟踪(gēnzōng)演练3 (2018·宁波模拟)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋1－2sin2 x. (1)求f(x)的最小正周期；
解 因为 f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝ 2sin2x＋π4，
所以(suǒyǐ)f(x)的最小正周期为π.
①在区间34π，54π上单调递增； ②在区间34π，π上单调递减； ③在区间54π，32π上单调递增；
④在区间32π，2π上单调递减.
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解析 答案(dá
4.(2018·全国Ⅲ)函数 f(x)＝cos3x＋π6在[0，π]上的零点个数为___3___.
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热点一 三角函数的概念、诱导(yòudǎo)公式及同角关系式