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高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质 理-

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专题二

三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

第一讲

三角函数的图象与性质

1．角的概念．

(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)．

(2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2kπ＋α0[k∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．

2．诱导公式．

诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．

1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.

2．同角三角函数的基本关系．

(1)sin2α＋cos2α＝1.

(2)tan α＝sin αcos α．

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判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)角α终边上点P的坐标为－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q的坐标为(x0，y0)，那么sin α＝y0，cos α＝x0.(×)

(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×)

(3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)

(4)常函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期．(√)

(5)y＝cos x在第一、二象限上是减函数．(×)

(6)y＝tan x在整个定义域上是增函数．(×)

1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D)

A.125 B．－125 C.512 D．－512

解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos

α＝1－sin2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.

解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，

所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，

则tan α＝yx＝－512.故选D.

2．已知α的终边经过点A(5a，－12a)，其中a＜0，则sin α的值为(B)

A．－1213 B.1213 C.513 D．－513

3．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋π6，④yword

＝tan2x－π4中，最小正周期为π的所有函数为(A)

A．①②③ B．①③④C．②④D．①③

解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y＝cos 2x相同，T＝2π2＝π；②中函数y＝|cos x|的周期是函数y＝cos x周期的一半，即T＝π；③T＝2π2＝π；④T＝π2.故选A.

4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin(π6x＋φ)＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C)

A．5 B．6

C．8 D．10

解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.

一、选择题

1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A)

A．－34B．－43

C.34 D.43

解析：∵sin(α－π)＝35，

∴－sin α＝35，sin α＝－35. word

又∵α为第四象限角，

∴cos α＝ 1－sin2α＝ 1－－352＝45，

tan α＝sin

αcos α＝－3545＝－34.

2. 定义在R上的周期函数f(x)，周期T＝2，直线x＝2是它的图象的一条对称轴，且f(x)在[－3，－2]上是减函数，如果A，B是锐角三角形的两个内角，则(A)

A．f(sin A)>f(cos B) B．f(cos B)>f(sin A)

C．f(sin A)>f(sin B) D．f(cos B)>f(cos A)

解析：由题意知：周期函数f(x)在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A，B是锐角三角形的两个内角，A＋B>π2，得：sin A>cos B，故f(sin A)>f(cos B)．综上知选A.

3．函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(A)

A．2－3 B．0

C．－1 D．－1－3

解析：用五点作图法画出函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的图象，注意0≤x≤9知，函数的最大值为2，最小值为－3.故选A.

4. 把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A) word

解析：y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y＝cos (x＋1)．故选A.

5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(D)

A.kπ－14，kπ＋34，k∈Z

B.2kπ－14，2kπ＋34，k∈Z

C.k－14，k＋34，k∈Z word

D.2k－14，2k＋34，k∈Z

解析：由图象知周期T＝254－14＝2，

∴2πω＝2，∴ω＝π.

由π×14＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝π4，

∴f(x)＝cosπx＋π4.

由2kπ＜πx＋π4＜2kπ＋π，得2k－14＜x＜2k＋34，k∈Z，

∴f(x)的单调递减区间为2k－14，2k＋34，k∈Z.故选D.

6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f(x)的解析式是(A)

A．f(x)＝2sinπx＋π6(x∈R)

B．f(x)＝2sin2πx＋π6(x∈R)

C．f(x)＝2sinπx＋π3(x∈R)

D．f(x)＝2sin2πx＋π3(x∈R)

解析：由图象可知其周期为：456－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A，C中word

选一个，又因为x＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.

二、填空题

7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．

8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．

解析：由题意可知x＝－4，y＝3，r＝5，所以cos α＝xr＝－45.

三、解答题

9. (2014·某某卷)已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．

(1)求f5π4的值；

(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．

分析：思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．

(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin2x＋π4＋1.

得到T＝2π2＝π.

由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，

解得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.

思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＝2sin2x＋π4＋1.

(1)将5π4代入函数式计算；

(2)T＝2π2＝π.

由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，

解得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z. word

解析：解法一 (1)f5π4＝2cos 5π4sin 5π4＋cos 5π4

＝－2cos π4－sin π4－cos π4

＝2.

(2)因为f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x

＝sin 2x＋cos 2x＋1

＝2sin2x＋π4＋1.

所以T＝2π2＝π.

由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，

得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z，

所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.

解法二 因为f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x

＝sin 2x＋cos 2x＋1

＝2sin2x＋π4＋1.

(1)f5π4＝2sin11π4＋1＝2sin π4＋1＝2.

(2)T＝2π2＝π.

由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，

得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z，

所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.

10．函数f(x)＝Asinωx－π6＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.

(1)求函数f(x)的解析式； word

(2)设α∈0，π2，则fα2＝2，求α的值．

解析：(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2.

∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，

∴最小正周期为 T＝π，

∴ω＝2，故函数f(x)的解析式为

y＝2sin2x－π6＋1.

(2)∵fα2＝2sinα－π6＋1＝2，

即sinα－π6＝12，

∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3.

∴α－π6＝π6，故α＝π3.

11．(2015·卷)已知函数f(x)＝2sinx2cosx2－2sin2x2.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．

解析：(1)由题意得f(x)＝22sin x－22(1－cos x)＝sinx＋π4－22，所以f(x)的最小正周期为2π.

(2)因为－π≤x≤0，所以－3π4≤x＋π4≤π4.

当x＋π4＝－π2，即x＝－3π4时，f(x)取得最小值．

所以f(x)在区间[－π，0]上的最小值为

f－3π4＝－1－22.

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2019届高考数学二轮复习专题一三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形学案理

2019届高考数学二轮复习专题一三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形学案理

1 第2讲 三角恒等变换与解三角形

高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.

真 题 感 悟

1.(2018²全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos C2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝(

)

A.42 B.30 C.29 D. 25

解析 因为cos C2＝55，所以cos C＝2cos2 C2－1＝2³552－1＝－35.

于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC³BC³cos C＝52＋12－2³5³1³－35＝32.所以AB＝42.

答案 A

2.(2017²全国Ⅰ卷)已知α∈0，π2，tan α＝2，则cosα－π4 ＝________.

解析 ∵α∈0，π2，且tan α＝2，∴sin α＝2 cos α，

又sin 2α＋cos2α＝1，所以sin α＝255，cos α＝55.

所以cosα－π4＝22(cos α＋sin α)＝31010.

答案 31010

3.(2018²全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.

(1)求cos∠ADB；

(2)若DC＝22，求BC.

解 (1)在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠A＝ABsin∠ADB，即5sin 45°＝2sin∠ADB，

所以sin∠ADB＝25.

由题设知，∠ADB<90°， 2 所以cos∠ADB＝1－225＝235.

(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝25.

在△BCD中，由余弦定理得

BC2＝BD2＋DC2－2²BD²DC²cos∠BDC

高考数学二轮复习 第一篇 专题三 三角函数与解三角形 第2讲 解三角形教案 文

高考数学二轮复习 第一篇 专题三 三角函数与解三角形 第2讲 解三角形教案 文

第2讲 解三角形

1.(2018·全国Ⅱ卷,文7)在△ABC中,cos =,BC=1,AC=5,则AB等于( A ) (A)4 (B) (C) (D)2

解析:因为cos =,

所以cos C=2cos2-1=2×2-1=-.

在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos

C=52+12-2×5×1×-=32,

所以AB==4.故选A.

2.(2018·全国Ⅲ卷,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,则C等于( C ) (A) (B) (C) (D)

解析:因为S=absin C== =abcos C,

所以sin C=cos C,即tan C=1.

因为C∈(0,π),所以C=.故选C.

3.(2017·全国Ⅰ卷,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C等于( B ) (A) (B) (C) (D)

解析:△ABC中,A+B+C=π,

sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C).

因为sin B+sin A(sin C-cos C)=0,

所以sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,

sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,

cos Asin C+sin Asin C=0,

因为sin C>0,

所以sin A+cos A=0.

所以tan A=-1,

又因为A∈(0,π),所以A=, 由正弦定理得=, 所以=,sin C=,C为锐角,

所以C=,故选B.

4.(2017·全国Ⅱ卷,文16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= .

解析:因为2bcos B=acos C+ccos A,

2016版《步步高》高考数学大二轮总复习：专题三 三角函数 解三角形与平面向量 第2讲

2016版《步步高》高考数学大二轮总复习：专题三 三角函数 解三角形与平面向量 第2讲

第2讲 三角变换与解三角形

1．(2015·课标全国Ⅰ改编)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝________.

2．(2014·福建)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．

3．(2015·重庆)在△ABC中，B＝120°，AB＝2，A的角平分线AD＝3，则AC＝________.

4．(2014·江苏)若△ABC的内角满足sinA＋2sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．

正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算；2.三角形形状的判断；3.面积的计算；4.有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．

热点一 三角恒等变换

1．三角求值“三大类型”

“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”．

2．三角函数恒等变换“四大策略”

(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；

(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；

(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；

(4)弦、切互化：一般是切化弦．

例1 (1)已知sin(α＋π3)＋sinα＝－435，－π2

(2)(2014·课标全国Ⅰ改编)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tanα＝1＋sinβcosβ，则2α－β＝________.

思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．

高考数学大二轮复习 专题一 平面向量、三角函数与解三角形 第二讲 三角函数的图象与性质限时规范训练

高考数学大二轮复习 专题一 平面向量、三角函数与解三角形 第二讲 三角函数的图象与性质限时规范训练

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第二讲

三角函数的图象与性质

1．(2019·豫南九校联考)将函数y＝sinx－π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数图象的解析式为( )

A．y＝sinx2－5π24B．y＝sinx2－π3

C．y＝sinx2－5π12 D.y＝sin2x－7π12

解析：函数y＝sinx－π4经伸长变换得y＝sinx2－π4，再作平移变换得y＝sin12x－π6－π4＝sinx2－π3.

答案：B

2．(2019·某某亳州一中月考)函数y＝tan12x－π3在一个周期内的图象是( )

解析：由题意得函数的周期为T＝2π，故可排除B，D.对于C，图象过点π3，0，代入解析式，不成立，故选A.

答案：A

3．(2019·某某某某十校期末测试)要得到函数y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象( )

A．向左平移π3个单位长度

B．向左平移π6个单位长度 word

C．向右平移π6个单位长度

D．向右平移π3个单位长度

解析：∵y＝cos2x＋π3＝cos2x＋π6，∴要得到函数y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象向左平移π6个单位长度．

答案：B

4．(2019·东北三省三校一模)已知函数f(x)＝3sin ωx＋cos ωx(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是π2，则该函数的一个单调增区间为( )

A.－π3，π6 B.－5π12，π12

C.π6，2π3 D.－π3，2π3

解析：由题意得2πω＝2×π2，解得ω＝2，所以f(x)＝2sin2x＋π6.令－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，解得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ.当k＝0时，有x∈－π3，π6.故选A.

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