2018-2019学年数学高考江苏专版二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(六)三角恒等变换与解三角形

14个填空题综合仿真练(七)1．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝(－∞，0)，则A ∩B ＝________. 解析：A ∩B ＝{－1,0,1}∩(－∞，0)＝{－1}． 答案：{－1}2．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z ＋z 2＝________.解析：2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.答案：1＋i3．某路段检测点对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为频率分布直方图，如图所示，则车速不小于90 km/h 的汽车约有________辆．解析：车速不小于90 km/h 的频率为(0.01＋0.02)×10＝0.3，车辆数为200×0.3＝60. 答案：604．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________． 解析：因为半圆面的面积为12πl 2＝2π，所以l 2＝4，解得l ＝2，即圆锥的母线为l ＝2，底面圆的周长2πr ＝πl ＝2π，所以圆锥的底面半径r ＝1，所以圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3，所以圆锥的体积为13πr 2h ＝13×π×3＝3π3.答案：3π35．已知A ，B ∈{－3，－1,1,2}且A ≠B ，则直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0的概率为________．解析：所有的基本事件(A ，B )为(－3，－1)，(－1，－3)，(－3,1)，(1，－3)，(－3,2)，(2，－3)，(－1,1)，(1，－1)，(－1,2)，(2，－1)，(1,2)，(2,1)，共12种，其中(－3，－1)，(－1，－3)，(1,2)，(2,1)能使直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0，所以所求的概率为P ＝412＝13. 答案：136．如图所示的算法流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 的值为________．解析：根据算法流程图执行程序循环结果依次为：当n ＝答案：547．若a >0，b >2，且a ＋b ＝3，则使得4a ＋1b －2取得最小值时，实数a ＝________.解析：∵a ＞0，b ＞2，且a ＋b ＝3，∴a ＋b －2＝1， ∴⎝⎛⎭⎫4a ＋1b －2[a ＋(b －2)]＝4＋1＋4(b －2)a ＋a b －2≥5＋24(b －2)a ·ab －2＝9，当且仅当2(b －2)＝a 时即取等号．联立⎩⎪⎨⎪⎧2(b －2)＝a ，a ＋b ＝3，解得a ＝23.答案：238．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为________．解析：由题意，c －a 2c ＝2a ，即c 2－2ac －a 2＝0，即e 2－2e －1＝0，解得e ＝1±2，又∵e >1，故e ＝1＋ 2.答案：1＋ 2 9．已知函数f (x )＝x ＋2|x |＋2，x ∈R ，则f (x 2－2x )<f (3x －4)的解集是________． 解析：由题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1－4x －2，x <0，故若要使不等式成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x <0，x 2－2x <3x －4，得1<x <2.答案：(1,2)10．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝3，且数列{S n }也为等差数列，则a 11＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d (d >0)， ∵a 1＝3，且数列{S n }为等差数列， ∴2S 2＝a 1＋S 3， ∴26＋d ＝3＋9＋3d ， 即d 2－12d ＋36＝0，解得d ＝6， ∴a 11＝3＋10×6＝63. 答案：6311．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－t,0)(t >0)，B (t,0)，点C 满足AC ―→·BC ―→＝8，且点C 到直线l ：3x －4y ＋24＝0的最小距离为95，则实数t 的值是________．解析：设C (x ，y )，则AC ―→·BC ―→＝(x ＋t ，y )·(x －t ，y )＝x 2＋y 2－t 2＝8，所以点C 的轨迹为以原点为圆心， 8＋t 2为半径的圆，故圆心到直线的距离d ＝245＝95＋8＋t 2，解得t ＝1(负值舍去)．答案：112．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ，则C ＝________.解析：由题意知a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ，① 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，②由①－②可得，2b 2＋2c 2＝23bc sin A －2bc cos A ，化简得，b 2＋c 2＝3bc sin A －bc cos A ，整理得b 2＋c 2＝2bc sin ⎝⎛⎭⎫A －π6， ∵b 2＋c 2≥2bc ，∴sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝1，∴A ＝2π3， 此时b 2＋c 2＝2bc ，故得b ＝c ，即B ＝C ，∴C ＝π6.答案：π613．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x 2，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2(f (a ))2的a 的取值范围为________．解析：设t ＝f (a )，所以f (f (a ))＝2(f (a ))2可化为f (t )＝2t 2，由函数式得3t －1＝2t 2(t <1)或2t 2＝2t 2(t ≥1)，所以t ＝12或t ≥1，即f (a )＝12或f (a )≥1，所以a ＝12或a ≥23，因此a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪⎣⎡⎭⎫23，＋∞. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪⎣⎡⎭⎫23，＋∞ 14．已知函数f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2，若图象上存在两个不同的点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＞x 2)，使得f (x 1)－f (x 2)≤4(x 1－x 2)成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意可得，f (x )＝a ln x ＋x 2＋2x ＋1，f ′(x )＝ax ＋2(x ＋1)，由题意知，存在x＞0，使得f ′(x )≤4成立，即存在x ＞0，使得a ≤－2x 2＋2x 成立，设g (x )＝－2x 2＋2x ＝－2⎝⎛⎭⎫x －122＋12，其最大值为12，因而a ≤12. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，12。

14个填空题综合仿真练(七)1．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝(－∞，0)，则A ∩B ＝________. 解析：A ∩B ＝{－1,0,1}∩(－∞，0)＝{－1}． 答案：{－1}2．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝________.解析：2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.答案：1＋i3．某路段检测点对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为频率分布直方图，如图所示，则车速不小于90 km/h 的汽车约有________辆．解析：车速不小于90 km/h 的频率为(0.01＋0.02)×10＝0.3，车辆数为200×0.3＝60. 答案：604．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________． 解析：因为半圆面的面积为12πl 2＝2π，所以l 2＝4，解得l ＝2，即圆锥的母线为l ＝2，底面圆的周长2πr ＝πl ＝2π，所以圆锥的底面半径r ＝1，所以圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3，所以圆锥的体积为13πr 2h ＝13×π×3＝3π3.答案：3π35．已知A ，B ∈{－3，－1,1,2}且A ≠B ，则直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0的概率为________．解析：所有的基本事件(A ，B )为(－3，－1)，(－1，－3)，(－3,1)，(1，－3)，(－3,2)，(2，－3)，(－1,1)，(1，－1)，(－1,2)，(2，－1)，(1,2)，(2,1)，共12种，其中(－3，－1)，(－1，－3)，(1,2)，(2,1)能使直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0，所以所求的概率为P ＝412＝13.答案：136．如图所示的算法流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 的值为________．解析：根据算法流程图执行程序循环结果依次为：当n ＝1答案：547．若a >0，b >2，且a ＋b ＝3，则使得4a ＋1b －2取得最小值时，实数a ＝________.解析：∵a ＞0，b ＞2，且a ＋b ＝3，∴a ＋b －2＝1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b －2[a ＋(b －2)]＝4＋1＋b －a ＋ab －2≥5＋2b －a·ab －2＝9，当且仅当2(b －2)＝a 时即取等号．联立⎩⎪⎨⎪⎧b －＝a ，a ＋b ＝3，解得a ＝23.答案：238．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为________．解析：由题意，c －a 2c＝2a ，即c 2－2ac －a 2＝0，即e 2－2e －1＝0，解得e ＝1±2，又∵e >1，故e ＝1＋ 2.答案：1＋ 29．已知函数f (x )＝x ＋2|x |＋2，x ∈R ，则f (x 2－2x )<f (3x －4)的解集是________．解析：由题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1－4x －2，x <0，故若要使不等式成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x <0，x 2－2x <3x －4，得1<x <2.答案：(1,2)10．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝3，且数列{S n }也为等差数列，则a 11＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d (d >0)， ∵a 1＝3，且数列{S n }为等差数列， ∴2S 2＝a 1＋S 3， ∴26＋d ＝3＋9＋3d ， 即d 2－12d ＋36＝0，解得d ＝6， ∴a 11＝3＋10×6＝63. 答案：6311．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－t,0)(t >0)，B (t,0)，点C 满足AC ―→·BC ―→＝8，且点C 到直线l ：3x －4y ＋24＝0的最小距离为95，则实数t 的值是________．解析：设C (x ，y )，则AC ―→·BC ―→＝(x ＋t ，y )·(x －t ，y )＝x 2＋y 2－t 2＝8，所以点C 的轨迹为以原点为圆心， 8＋t 2为半径的圆，故圆心到直线的距离d ＝245＝95＋8＋t 2，解得t ＝1(负值舍去)．答案：112．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ，则C ＝________.解析：由题意知a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ，① 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，②由①－②可得，2b 2＋2c 2＝23bc sin A －2bc cos A ，化简得，b 2＋c 2＝3bc sin A －bc cos A ，整理得b 2＋c 2＝2bc sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6，∵b 2＋c 2≥2bc ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，∴A ＝2π3，此时b 2＋c 2＝2bc ，故得b ＝c ，即B ＝C ，∴C ＝π6.答案：π613．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x 2，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2(f (a ))2的a 的取值范围为________．解析：设t ＝f (a )，所以f (f (a ))＝2(f (a ))2可化为f (t )＝2t 2，由函数式得3t －1＝2t 2(t <1)或2t 2＝2t 2(t ≥1)，所以t ＝12或t ≥1，即f (a )＝12或f (a )≥1，所以a ＝12或a ≥23，因此a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞14．已知函数f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2，若图象上存在两个不同的点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＞x 2)，使得f (x 1)－f (x 2)≤4(x 1－x 2)成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意可得，f (x )＝a ln x ＋x 2＋2x ＋1，f ′(x )＝ax＋2(x ＋1)，由题意知，存在x ＞0，使得f ′(x )≤4成立，即存在x ＞0，使得a ≤－2x 2＋2x 成立，设g (x )＝－2x 2＋2x＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12，其最大值为12，因而a ≤12.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12。

1．已知集合A ＝{0,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，则A ∩B ＝________.2．已知x ＞0，若(x －i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝________. 3．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．4．从2个白球，2个红球，1个黄球中随机取出2个球，则取出的2球中恰有1个红球的概率是________．5．执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是________．Read xIf x ≤2 Then y ←6x Else y ←x ＋5End If Print y6．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2)分别为：9.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为________．7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<2,0<φ<π)．若x ＝－π4为函数f (x )的一个零点，x ＝π3为函数f (x )图象的一条对称轴，则ω的值为________．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB ―→·AC ―→＝3，b ＋c ＝6，则a ＝________.9．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－15，则tan α的值为________．10．已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2P A ―→＋3PB ―→＋4PC ―→＝3AB ―→，则△P AB 与△PBC 的面积的比值为________．11．已知正数x ，y 满足1x ＋2y＝1，则log 2x ＋log 2y 的最小值为________．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －8＝0，直线l ：y ＝k (x －1)(k ∈R )过定点A ，且交圆C 于点B ，D ，过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ，则△AEC 的周长为________． 13．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d (d >0)的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列．若a 4－a 1＝88，则q 的所有可能的值构成的集合为________．14．已知函数f (x )＝kx ，g (x )＝2ln x ＋2e ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2，若f (x )与g (x )的图象上分别存在点M ，N ，使得M ，N 关于直线y ＝e 对称，则实数k 的取值范围是__________________________________．1．已知集合A ＝{0,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，则A ∩B ＝________. 解析：因为集合A ＝{0,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，所以A ∩B ＝{0,3}． 答案：{0,3}2．已知x ＞0，若(x －i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝________. 解析：因为x ＞0，(x －i)2＝x 2－1－2x i 是纯虚数(其中i 为虚数单位)， 所以x 2－1＝0且－2x ≠0，解得x ＝1. 答案：13．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－2log 6x ≥0，解得0<x ≤ 6.答案：(0， 6 ]4．从2个白球，2个红球，1个黄球中随机取出2个球，则取出的2球中恰有1个红球的概率是________．解析：将2个白球记为A ，B,2个红球记为C ，D,1个黄球记为E ，则从中任取两个球的所有可能结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10个，恰有1个红球的可能结果为(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(E ，C )，(E ，D )共6个，故所求概率为P ＝610＝35.答案：355．执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是________．Read xIf x ≤2 Then y ←6x Else y ←x ＋5End If Print y解析：若6x ＝13，则x ＝136>2，不符合题意；若x ＋5＝13，则x ＝8>2，符合题意，故x ＝8. 答案：86．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2)分别为：9.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为________．解析：这组数据的平均数为15(9.4＋9.7＋9.8＋10.3＋10.8)＝10，方差为15[(10－9.4)2＋(10－9.7)2＋(10－9.8)2＋(10－10.3)2＋(10－10.8)2]＝0.244. 答案：0.2447．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<2,0<φ<π)．若x ＝－π4为函数f (x )的一个零点，x ＝π3为函数f (x )图象的一条对称轴，则ω的值为________．解析：函数f (x )的周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝7π3，又T ＝2πω，所以ω＝2π×37π＝67. 答案：678．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB ―→·AC ―→＝3，b ＋c ＝6，则a ＝________.解析：∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，又由AB ―→·AC ―→＝3，得bc cos A ＝3，∴bc ＝5，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )＝36－10×85＝20，解得a ＝2 5.答案：2 59．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－15，则tan α的值为________．解析：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－151－12×⎝⎛⎭⎫－15＝311.答案：31110．已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2P A ―→＋3PB ―→＋4PC ―→＝3AB ―→，则△P AB 与△PBC 的面积的比值为________．解析：因为2P A ―→＋3PB ―→＋4PC ―→＝3AB ―→，所以2P A ―→＋3PB ―→＋4PC ―→＝3PB ―→－3P A ―→，即5P A ―→＋4PC ―→＝0，所以P A ∶PC ＝4∶5，△P AB 与△PBC 的面积的比为4∶5. 答案： 4511．已知正数x ，y 满足1x ＋2y＝1，则log 2x ＋log 2y 的最小值为________．解析：由1x ＋2y ＝1，得x ＝y y －2>0，则log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ＝log 2y 2y －2＝log 2(y －2＋2)2y －2＝log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(y －2)＋4y －2＋4≥log 28＝3，当且仅当(y －2)2＝4，即y ＝4时等号成立，故log 2x ＋log 2y 的最小值为3. 答案：312．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －8＝0，直线l ：y ＝k (x －1)(k ∈R )过定点A ，且交圆C 于点B ，D ，过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ，则△AEC 的周长为________． 解析：易得圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝9，即半径r ＝3，定点A (1,0)，因为AE ∥BC ，所以EA ＝ED ，则EC ＋EA ＝EC ＋ED ＝3，从而△AEC 的周长为5. 答案：513．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d (d >0)的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列．若a 4－a 1＝88，则q 的所有可能的值构成的集合为________．解析：由题意设这四个数分别为a 1，a 1＋d ，a 1＋2d ，a 1＋88，其中a 1，d 均为正偶数，则(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋88)，整理得a 1＝4d (22－d )3d －88>0，所以(d －22)(3d －88)<0，解得22<d <883，所以d 的所有可能的值为24,26,28.当d ＝24时，a 1＝12，q ＝53；当d ＝26时，a 1＝2085(舍去)；当d ＝28时，a 1＝168，q ＝87.所以q 的所有可能的值构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，87.答案： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，8714．已知函数f (x )＝kx ，g (x )＝2ln x ＋2e ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2，若f (x )与g (x )的图象上分别存在点M ，N ，使得M ，N 关于直线y ＝e 对称，则实数k 的取值范围是__________________________________． 解析：设直线y ＝kx 上的点M (x ，kx )，点M 关于直线y ＝e 的对称点N (x,2e －kx )，因为点N 在g (x )＝2ln x ＋2e ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2的图象上，所以2e －kx ＝2ln x ＋2e ，所以kx ＝－2ln x ．构造函数y ＝kx ，y ＝－2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2，画出函数y ＝－2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2的图象如图所示，设曲线y ＝－2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2上的点P (x 0，－2ln x 0)，则k OP ≤k ≤k OB (其中B 为端点，P 为切点)．因为y ′＝－2x ，所以过点P 的切线方程为y ＋2ln x 0＝－2x 0(x －x 0)，又该切线经过原点，所以0＋2ln x 0＝－2x 0(0－x 0)，x 0＝e ，所以k OP ＝－2e .又点B ⎝⎛⎭⎫1e ，2，所以k OB ＝2e ，所以k ∈⎣⎡⎦⎤－2e ，2e . 答案：⎣⎡⎦⎤－2e ，2e1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{3,4}，则∁U (A ∪B )＝_________. 2．若复数z 满足2z －z i ＝3i(i 为虚数单位)，则z 的虚部为________．3．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取________人． 4．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．5．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为__________．6．“x ＝2k π＋π6，k ∈Z ”是“sin x ＝12”成立的________条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线C 的离心率为________．8．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为________．9.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P -BB 1C 1C 的体积为________．10．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(0≤x <π)，且f (α)＝f (β)＝13(α≠β)，则α＋β＝__________. 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0.若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是________.12．已知△ABC 外接圆O 的半径为2，且AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，|AB ―→|＝|AO ―→|，则CA ―→·CB ―→＝__________.13．设a ，b ，c 是三个正实数，且a (a ＋b ＋c )＝bc ，则ab ＋c的最大值为__________．14．定义：点M (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的有向距离为ax 0＋by 0＋ca 2＋b 2.已知A (－1,0)，B (1,0)，直线m 过点P (3,0)，若圆x 2＋(y －18)2＝81上存在一点C ，使得A ，B ，C 三点到直线m 的有向距离之和为0，则直线m 的斜率的取值范围为________．1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{3,4}，则∁U (A ∪B )＝_________. 解析：因为A ＝{1,4}，B ＝{3,4}， 所以A ∪B ＝{1,3,4}， 因为全集U ＝{1,2,3,4}， 所以∁U (A ∪B )＝{2}． 答案：{2}2．若复数z 满足2z －z i ＝3i(i 为虚数单位)，则z 的虚部为________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b 为实数)，则2z －z i ＝2a ＋2b i －(a －b i)·i ＝(2a －b )＋(2b －a )i ＝3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b ＝0，2b －a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，所以z 的虚部为2.答案：23．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取________人．解析：设足球兴趣小组中抽取人数为n ，则n 24＝40120，所以n ＝8.答案：84．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．解析：由题意，n ＝1，a ＝1，第1次循环，a ＝5，n ＝3，满足a ＜16，第2次循环，a ＝17，n ＝5，不满足a ＜16，退出循环，输出的n 的值为5. 答案：55．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为__________． 解析：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，基本事件总数n ＝6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：(1,2)，(2,4)，共2个，故这两个数的和为3的倍数的概率P ＝26＝13.答案：136．“x ＝2k π＋π6，k ∈Z ”是“sin x ＝12”成立的________条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．解析：sin x ＝12⇔x ＝π6＋2k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋2k π，k ∈Z ，所以“x ＝2k π＋π6，k ∈Z ”是“sinx ＝12”成立的充分不必要条件． 答案：充分不必要7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线C的离心率为________．解析：由题意，双曲线C 的左焦点到渐近线的距离d ＝bca 2＋b 2＝b ，则b ＝2a ，因此双曲线C 的离心率e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5. 答案： 5 8．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为________． 解析：由题意q ≠1，设等比数列的公比为q (q ≠1)， 由a 1＝1，S 4－5S 2＝0，得1－q 41－q －5(1＋q )＝0，化简得1＋q 2＝5，解得q ＝±2. ∵数列{a n }的各项均为正数， ∴q ＝2.故S 5＝1－251－2＝31.答案：31 9.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P -BB 1C 1C 的体积为________．解析：因为四棱锥P -BB 1C 1C 的底面积为16，高PB 1＝1，所以VP -BB 1C 1C ＝13×16×1＝163. 答案：16310．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(0≤x <π)，且f (α)＝f (β)＝13(α≠β)，则α＋β＝__________. 解析：由0≤x <π，知π3≤2x ＋π3<7π3，因为f (α)＝f (β)＝13<32，所以⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋⎝⎛⎭⎫2β＋π3＝2×3π2，所以α＋β＝7π6.答案：7π611．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0.若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是________.解析：当x <0时，－x >0，故－x ＋1>0， 所以f (－x ＋1)＝x 2－2x ＋1－1＝x 2－2x ， 当x ≥0时，f (x )＝x 2－1，当0≤x <1时，x 2－1<0，故f (x 2－1)＝－x 2＋2，当x ≥1时，x 2－1≥0，故f (x 2－1)＝x 4－2x 2.故f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x <0，－x 2＋2，0≤x <1，x 4－2x 2，x ≥1，作出函数f (f (x ))的图象如图所示，可知当1<k ≤2时，函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点． 答案：(1,2]12．已知△ABC 外接圆O 的半径为2，且AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，|AB ―→|＝|AO ―→|，则CA ―→·CB ―→＝__________.解析：由AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，可得OB ―→＋OC ―→＝0，即BO ―→＝OC ―→，所以圆心在BC 中点上，且AB ⊥AC .因为|AB ―→|＝|AO ―→|＝2，所以∠AOC ＝2π3，C ＝π6，由正弦定理得AC sin 2π3＝AOsin π6，故AC ＝23，又BC ＝4，所以CA ―→·CB ―→＝|CA ―→|·|CB ―→|·cos C ＝4×23×32＝12.答案：1213．设a ，b ，c 是三个正实数，且a (a ＋b ＋c )＝bc ，则ab ＋c的最大值为__________．解析：由a (a ＋b ＋c )＝bc ，得1＋b a ＋c a ＝b a ·c a ，设x ＝b a ，y ＝c a ，则x ＋y ＋1＝xy ，a b ＋c ＝1x ＋y ，因为x ＋y ＋1＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，所以x ＋y ≥2＋22，所以ab ＋c 的最大值为2－12. 答案：2－1214．定义：点M (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的有向距离为ax 0＋by 0＋ca 2＋b 2.已知A (－1,0)，B (1,0)，直线m 过点P (3,0)，若圆x 2＋(y －18)2＝81上存在一点C ，使得A ，B ，C 三点到直线m 的有向距离之和为0，则直线m 的斜率的取值范围为________．解析：设直线m 的斜率为k ，C (x ，y )，则m ：kx －y －3k ＝0.由A ，B ，C 三点到直线m 的有向距离之和为0，得－4kk 2＋1＋－2kk 2＋1＋kx －y －3k k 2＋1＝0，化简得kx －y －9k ＝0.又点C 在圆x 2＋(y －18)2＝81上，所以直线kx －y －9k ＝0与圆有公共点，所以|－18－9k |k 2＋1≤9，解得k ≤－34.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－34江苏高考数学14个填空题综合仿真训练(3)1．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0是________命题(选填“真”或“假”)． 2．已知集合A ＝{1,3}，B ＝{1,2，m }，若A ⊆B ，则实数m ＝________.3．已知复数z ＝3－i1＋i，其中i 为虚数单位，则复数z 的模是________．4．某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________． 5．如图是给出的一种算法，则该算法输出的t 的值是________．t ←1i ←2While i ≤4t ←t ×ii ←i ＋1End While Print t6．男队有号码1,2,3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1,2,3,4的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，则出场的两名运动员号码不同的概率为________． 7．等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13＝________. 8．将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，可得函数g (x )＝sin 2x －cos 2x 的图象，则φ的最小值为________．9．已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥的体积为________．10.如图，点A ，B 分别在x 轴与y 轴的正半轴上移动，且AB ＝2，若点A 从(3，0)移动到(2，0)，则AB 的中点D 经过的路程为________． 11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，D 是BC 的中点，E是AB 的中点，P 是△ABC (包括边界)内任一点．则AD ―→·EP ―→的取值范围是________．12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，A ，B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，直线P A ，PB 的倾斜角分别为α，β，则cos (α－β)cos (α＋β)＝________.13．已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ ―→＝23AP ―→＋13AC ―→，则|BQ ―→|的最小值是__________．14．已知函数f (x )满足f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ．若在区间⎣⎡⎦⎤13，3上，函数g (x )＝f (x )－ax 恰有一个零点，则实数a 的取值范围是________．江苏高考数学14个填空题综合仿真训练(3)1．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0是________命题(选填“真”或“假”)．解析：由x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2≥0，得∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0是真命题． 答案：真2．已知集合A ＝{1,3}，B ＝{1,2，m }，若A ⊆B ，则实数m ＝________. 解析：由A ⊆B 知m ∈A 且m ≠1，所以m ＝3. 答案：33．已知复数z ＝3－i1＋i，其中i 为虚数单位，则复数z 的模是________．解析：法一：因为z ＝3－i1＋i ，所以|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－i 1＋i ＝|3－i||1＋i|＝102＝ 5. 法二：因为z ＝3－i 1＋i＝(3－i )(1－i )2＝1－2i ，所以|z |＝12＋(－2)2＝ 5.答案： 54．某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．解析：样本中教师抽160－150＝10人，设该校教师人数为n ，则10n ＝1603 200，所以n ＝200.答案：2005．如图是给出的一种算法，则该算法输出的t 的值是________．t ←1i ←2While i ≤4t ←t ×ii ←i ＋1End While Print t解析：当i ＝2时，满足循环条件，执行循环t ＝1×2＝2，i ＝3； 当i ＝3时，满足循环条件，执行循环t ＝2×3＝6，i ＝4； 当i ＝4时，满足循环条件，执行循环t ＝6×4＝24，i ＝5；当i ＝5时，不满足循环条件，退出循环，输出t ＝24. 答案：246．男队有号码1,2,3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1,2,3,4的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，则出场的两名运动员号码不同的概率为________． 解析：两队各出一名运动员的基本事件总数n ＝12，出场的两名运动员号码不同的对立事件是出场的两名运动员号码相同，共有3个基本事件，所以出场的两名运动员号码不同的概率P ＝1－312＝34.答案：347．等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13＝________.解析：由题意及等差数列的性质得5a 7＝100，故a 7＝20,3a 9－a 13＝3(a 1＋8d )－(a 1＋12d )＝2a 7＝40. 答案：40 8．将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，可得函数g (x )＝sin 2x －cos 2x 的图象，则φ的最小值为________．解析：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8， g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8， 故将函数f (x )向右平移π4＋k π，k ∈Z 个单位可得g (x )的图象，因为φ>0，故φ的最小值为π4.答案：π49．已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥的体积为________．解析：设圆锥的底面半径为r ，圆锥的高为h ，则有1r 2＋1h2＝1，而母线长l ＝r 2＋h 2，则l 2＝(r 2＋h 2)⎝⎛⎫1r 2＋1h 2≥4，即可得母线最小值为2，此时r ＝h ＝2，则体积为13πr 2h ＝13(2)3π＝223π.答案：223π10.如图，点A ，B 分别在x 轴与y 轴的正半轴上移动，且AB ＝2，若点A 从(3，0)移动到(2，0)，则AB 的中点D 经过的路程为________． 解析：连结D ′O ，DO (图略)，由题意得OD ＝OD ′＝1，故点D 的运动轨迹是以O 为原点，1为半径的圆，即点D 的运动轨迹方程为x 2＋y 2＝1，点D ⎝⎛⎭⎫32，12，点D ′⎝⎛⎭⎫22，22，则∠D ′Ox ＝π4，∠DOx ＝π6，所以∠D ′OD ＝π12，所以点D 经过的路程为D ′D 的长，为π12.答案：π1211．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，P 是△ABC (包括边界)内任一点．则AD ―→·EP ―→的取值范围是________．解析：以C 为坐标原点，CB ，CA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,4)，B (2,0)，E (1，2)，D (1，0)，设P (x ，y )，则AD ―→·EP ―→＝(1，－4)·(x －1，y －2)＝x －4y ＋7， 令z ＝x －4y ＋7，则y ＝14x ＋7－z 4，作直线y ＝14x ，平移直线y ＝14x ，由图象可知当直线y ＝14x ＋7－z4，经过点A 时，直线的截距最大，但此时z 最小， 当直线经过点B 时，直线的截距最小，此时z 最大． 即z min ＝－4×4＋7＝－9，z max ＝2＋7＝9， 即－9≤AD ―→·EP ―→≤9.故AD ―→·EP ―→的取值范围是[－9,9]． 答案：[－9,9]12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，A ，B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，直线P A ，PB 的倾斜角分别为α，β，则cos (α－β)cos (α＋β)＝________.解析：由题意可知A (－a,0)，B (a,0)，设P (x 0，y 0)，则k P A ·k PB ＝y 20x 20－a 2，又y 20＝b 2－b 2a 2·x 20，所以k P A ·k PB ＝－b 2a 2，即tan αtan β＝－b 2a 2.又e ＝ca＝a 2－b 2a 2＝32，所以－b 2a 2＝－14，即tan αtan β＝－14，所以cos (α－β)cos (α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βcos αcos β－sin αsin β＝1＋tan αtan β1－tan αtan β＝35.答案：3513．已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ ―→＝23AP ―→＋13AC ―→，则|BQ ―→|的最小值是__________．解析：以点A 为坐标原点，AB 为x 轴正半轴，使得C 落在第一象限，建立平面直角坐标系(图略)，设P (cos α，sin α)，则由AQ ―→＝23AP ―→＋13AC ―→得，Q 23cos α＋12，23sin α＋32，故点Q的轨迹是以D ⎝⎛⎭⎫12，32为圆心，23为半径的圆．又BD ＝7，所以|BQ ―→|的最小值是7－23.答案：7－2314．已知函数f (x )满足f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ．若在区间⎣⎡⎦⎤13，3上，函数g (x )＝f (x )－ax 恰有一个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤13，1时，1x ∈[1,3]，则f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln 1x＝－2ln x ，在同一直角坐标系中作y ＝ln x ，x ∈[1,3]与y ＝－2ln x ，x ∈⎣⎡⎦⎤13，1的图象如图所示，由图象知当y ＝ax 在直线OA 与y ＝ln x ，x ∈[1,3]的切线OB 之间及直线OA上，即k OB <a ≤k OA 时，g (x )＝f (x )－ax 恰有一个零点，由题易知k OA ＝6ln 3，设过原点的直线与y ＝ln x ，x ∈[1,3]的切点为(m ，ln m )，由y ′＝1x ，得k OB ＝1m，故直线的方程为y －ln m ＝1m (x －m )，∵直线过原点，∴ln m ＝1，即m ＝e ，∴k OB ＝1e ，故1e<a ≤6ln 3，又当a ＝0时，g (x )恰有一个零点，故a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤1e ，6ln 3∪{0}．答案：⎝⎛⎦⎤1e ，6ln 3∪{0}1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中的元素的个数为________．2．复数z ＝21－i(其中i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数为________．3．如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为________．4．一个袋子中装有2个红球和2个白球(除颜色外其余均相同)，现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为________．5．双曲线x 25－y 24＝1的右焦点与左准线之间的距离是____________.6若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________． 7．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，y －x －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________．8．底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为________．9．若直线l 1：2x －y ＋4＝0，直线l 2：2x －y －6＝0都是⊙M ：(x －a )2＋(y －1)2＝r 2的切线，则⊙M 的标准方程为________________________．10．若a >0，b >0，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值为________．11．已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝________. 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________________．13．△ABC 的内角为A ，B ，C ，点M 为△ABC 的重心，如果sin A ·MA ―→＋sin B ·MB ―→＋33sinC ·MC ―→＝0，则内角A 的大小为________．14．已知函数f (x )＝|x －a |－3x＋a －2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a 的取值集合为_______________________________________________________．1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中的元素的个数为________． 解析：集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，所以A ∪B 中元素的个数为5. 答案：52．复数z ＝21－i (其中i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数为________．解析：z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，则复数z 的共轭复数为1－i.答案：1－i3．如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为________．解析：阅读流程图，当k ＝2,3,4,5时，k 2－7k ＋10≤0，一直进行循环，当k ＝6时，k 2－7k＋10＞0，此时终止循环，输出k ＝6. 答案：64．一个袋子中装有2个红球和2个白球(除颜色外其余均相同)，现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为________．解析：从2个红球和2个白球中随机摸出2个球，共有6种结果，其中摸出的2个球中没有红球的结果有1种，则摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为1－16＝56.答案：565．双曲线x 25－y 24＝1的右焦点与左准线之间的距离是____________.解析：由已知得，双曲线的右焦点为(3,0)，左准线方程为x ＝－53，所以右焦点与左准线之间的距离是3－⎝⎛⎭⎫－53＝143. 答案：1436若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________．解析：由题意，得840＝n40＋10＋40＋60，所以n ＝30.答案：307．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，y －x －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________．解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，y －x －1≤0，x ≤1，作出可行域如图，化目标函数z ＝2x ＋3y 为y ＝－23x ＋13z ，由图可知，当直线y ＝－23x ＋13z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y －x －1＝0，解得A (1，2)，故z max ＝8.答案：88．底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为________． 解析：取点O 为底面ABCD 的中心，则SO ⊥平面ABCD ，取BC 的中点E ，连结OE ，SE ，则OE ＝BE ＝1，在Rt △SBE 中，SE ＝SB 2－BE 2＝2，在Rt △SOE 中，SO ＝SE 2－OE 2＝1，从而该正四棱锥的体积V ＝13S 四边形ABCD ·SO ＝13×2×2×1＝43.答案：439．若直线l 1：2x －y ＋4＝0，直线l 2：2x －y －6＝0都是⊙M ：(x －a )2＋(y －1)2＝r 2的切线，则⊙M 的标准方程为________________________．解析：根据题意，l 1∥l 2，且l 1，l 2都是⊙M ：(x －a )2＋(y －1)2＝r 2的切线，则直线l 1与直线l 2之间的距离就是⊙M 的直径，即d ＝2r ，而d ＝|4－(－6)|22＋12＝25，则r ＝5，且圆心(a,1)在直线2x －y ＋4＋(－6)2＝0，即2x －y －1＝0上，则有2a －1－1＝0，解得a ＝1，即圆心的坐标为(1,1)，则⊙M 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5. 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝510．若a >0，b >0，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值为________．解析：由已知等式得2a ＋2b ＋1＝2ab ＋2a ＋b 2＋b ，从而a ＝b －b 2＋12b ，所以a ＋2b ＝b －b 2＋12b＋2b ＝12＋32b ＋12b ≥12＋234＝23＋12，当且仅当b ＝33时等号成立，故a ＋2b 的最小值为23＋12. 答案：23＋1211．已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝________. 解析：由θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2知θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4.又cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝31010.令θ＋π4＝α，则sin α＝31010，cos α＝1010，于是sin 2α＝2sin αcos α＝35，cos 2α＝2cos 2α－1＝－45，故sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α－π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－3π4＝22(－sin 2α－cos 2α)＝22×⎝⎛⎭⎫－35＋45＝210. 答案：21012．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x >1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )<0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－14∪[1，＋∞) 13．△ABC 的内角为A ，B ，C ，点M 为△ABC 的重心，如果sin A ·MA ―→＋sin B ·MB ―→＋33sinC ·MC ―→＝0，则内角A 的大小为________．解析：因为点M 为△ABC 重心，故MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0，即MA ―→＝－MB ―→－MC ―→，因为sin A ·MA ―→＋sin B ·MB ―→＋33sin C ·MC ―→＝0，即a MA ―→＋b MB ―→＋33c ·MC ―→＝0，所以a (－MB ―→－MC ―→)＋b MB―→＋33c ·MC ―→＝(－a ＋b )MB ―→＋⎝⎛⎭⎫－a ＋33c ·MC ―→＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，－a ＋33c ＝0，故a ∶b ∶33c ＝1∶1∶1，令a ＝1，则b ＝1，c ＝3，由余弦定理可得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，所以A ＝π6.答案： π614．已知函数f (x )＝|x －a |－3x＋a －2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a 的取值集合为_______________________________________________________．解析：f (x )＝⎩⎨⎧x －3x －2，x ≥a ，－x －3x＋2a －2，x <a ，当x ≥a 时，由x －3x －2＝0，得x 1＝－1，x 2＝3，结合图形知，①当a <－1时，x 3，－1,3成等差数列，则x 3＝－5，代入－x －3x ＋2a －2＝0得，a ＝－95；②当－1≤a ≤3时，方程－x －3x ＋2a －2＝0，即x 2＋2(1－a )x ＋3＝0，设方程的两根为x 3，x 4，且x 3<x 4，则x 3x 4＝3，且x 3＋3＝2x 4，解得x 4＝3±334，又x 3＋x 4＝2(a －1)，所以a ＝5＋3338.③当a >3时，显然不符合．所以a 的取值集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－95，5＋3338. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－95，5＋33381．已知集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{3,4}，B ＝{1,4,5}，则A ∪(∁U B )＝________.2．已知i 为虚数单位，复数z 1＝3＋y i(y ∈R )，z 2＝2－i ，且z 1z 2＝1＋i ，则y ＝________.3．某中学共有学生2 000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.则该校高三学生共有________人． 4．阅读如图所示的算法流程图，若输入的n 是30，则输出的变量S 的值是________．5．已知倾斜角为α的直线l 的斜率等于双曲线x 2－y 23＝1的离心率，则sin ⎝⎛⎭⎫2 019π3－2α＝________.6．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，则不等式f (x 2－2x )>0的解集为________．7．设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝20，且a 3，a 7，a 9成等比数列，则S 10＝________.8．已知Ω1是集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{(x ，y )|y ≤|x |}所表示的区域，向区域Ω1内随机的投一个点，则该点落在区域Ω2内的概率为________．9．函数f (x )＝sin x ＋3cos x －a 在区间[0,2π]上恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________.10．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.其中F 2也是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且MF 1＝2a －53.则椭圆C 1的方程为____________．11．在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB ，AD 的长分别为2,1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM ―→||BC ―→|＝|CN ―→||CD ―→|，则AM ―→·AN ―→的最大值为________．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3x ＋y －6＝0与圆(x －3)2＋(y －1)2＝4交于A ，B 两点，则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为________．13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2mx －1，0≤x ≤1，mx ＋2，x >1，若f (x )在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是________．14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A ＋2sin B ＝2sin C ，b ＝3，则cos C 的最小值等于________．1．已知集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{3,4}，B ＝{1,4,5}，则A ∪(∁U B )＝________. 解析：∵集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{3,4}，B ＝{1,4,5}，∴∁U B ＝{2,3}，A ∪(∁U B )＝{2,3,4}． 答案：{2,3,4}2．已知i 为虚数单位，复数z 1＝3＋y i(y ∈R )，z 2＝2－i ，且z 1z 2＝1＋i ，则y ＝________.解析：因为z 1z 2＝1＋i ，所以z 1＝(1＋i)z 2＝(1＋i)(2－i)＝3＋i ，所以y ＝1.答案：13．某中学共有学生2 000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.则该校高三学生共有________人．解析：设高二女生人数为x 人，所以x2 000＝0.19，即x ＝380，所以高三人数为2 000－650－370－380＝600人． 答案：6004．阅读如图所示的算法流程图，若输入的n 是30，则输出的变量S 的值是________．解析：根据算法流程图知，当n ＝30时，n ＞2，S ＝30，n ＝28；当n ＝28时，n ＞2，S ＝58，n ＝26；……；当n ＝2时，S ＝30＋28＋26＋…＋2＝15(30＋2)2＝240，n ＝0.当n ＝0时，n＜2，输出S ＝240. 答案：2405．已知倾斜角为α的直线l 的斜率等于双曲线x 2－y 23＝1的离心率，则sin ⎝⎛⎭⎫2 019π3－2α＝________.解析：因为双曲线的离心率e ＝2，所以tan α＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎫2 019π3－2α＝sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45. 答案：456．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，则不等式f (x 2－2x )>0的解集为________．解析：根据偶函数的性质，可得－3<x 2－2x <3，从而可得－1<x <3，所以不等式的解集为(－1,3)．答案：(－1,3)7．设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝20，且a 3，a 7，a 9成等比数列，则S 10＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)．因为a 1＝20，且a 3，a 7，a 9成等比数列，所以a 27＝a 3a 9，即(20＋6d )2＝(20＋2d )(20＋8d )，解得d ＝－2或d ＝0(舍去)，所以S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110. 答案：1108．已知Ω1是集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{(x ，y )|y ≤|x |}所表示的区域，向区域Ω1内随机的投一个点，则该点落在区域Ω2内的概率为________．解析：如图所示，作出区域Ω1(圆面)，Ω2(虚线部分)的图象，根据几何概型的概率计算公式得，该点落在区域Ω2内的概率P ＝34πr 2πr 2＝34.答案：349．函数f (x )＝sin x ＋3cos x －a 在区间[0,2π]上恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________.解析：f (x )＝sin x ＋3cos x －a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－a ，函数在区间[0,2π]上恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则a ＝ 3.令sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝32，所以x ＋π3＝2k π＋π3或x ＋π3＝2k π＋π－π3，所以x ＝2k π或x ＝2k π＋π3，所以x 1＝0，x 2＝π3，x 3＝2π，即x 1＋x 2＋x 3＝7π3.答案：7π310．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.其中F 2也是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且MF 1＝2a －53.则椭圆C 1的方程为____________．解析：依题意知F 2(1,0)，设M (x 1，y 1)，由椭圆的定义可得MF 2＝53，由抛物线定义得MF 2＝1＋x 1＝53，即x 1＝23，将x 1＝23代入抛物线方程得y 1＝263，进而由⎝⎛⎭⎫232a 2＋⎝⎛⎭⎫2632b2＝1及a 2－b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝3，故椭圆C 1的方程为x 24＋y23＝1.答案：x 24＋y23＝111．在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB ，AD 的长分别为2,1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM ―→||BC ―→|＝|CN ―→||CD ―→|，则AM ―→·AN ―→的最大值为________．解析：以AB 所在直线为x 轴，过点A 作垂直于直线AB 所在的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系． 设|BM ―→||BC ―→|＝|CN ―→||CD ―→|＝λ(0≤λ≤1)，所以|BM ―→|＝λ，|CN ―→|＝2λ， 所以M ⎝⎛⎭⎫2＋λ2，32λ，N ⎝⎛⎭⎫52－2λ，32，所以AM ―→·AN ―→＝5－4λ＋54λ－λ2＋34λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6，因为λ∈[0,1]，所以AM ―→·AN ―→∈[2,5]，所以AM ―→·AN ―→的最大值为5.答案：512．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3x ＋y －6＝0与圆(x －3)2＋(y －1)2＝4交于A ，B 两点，则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为________．解析：由条件可知，圆过原点O ，故过点O 且与直线AB 垂直的直线方程为x －3y ＝0，其倾斜角为30°，且该直线过圆心(3，1)，根据对称性得，直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为60°. 答案：60°13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2mx －1，0≤x ≤1，mx ＋2，x >1，若f (x )在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：法一：由题意得当m ≥0时，函数f (x )＝2x 2＋2mx －1的对称轴－m2≤0，且f (0)＝－1，所以此时f (x )在[0,1]上至多有一个零点，而f (x )＝mx ＋2在(1，＋∞)上没有零点．所以m ≥0不符合题意．当m <0时，函数f (x )＝2x 2＋2mx －1的对称轴－m2>0，且f (0)＝－1，所以，此时f (x )在[0,1]上至多有一个零点，而f (x )＝mx ＋2在(1，＋∞)上至多有一个零点，若f (x )在[0，＋∞)上有且只有2个零点，则要求⎩⎪⎨⎪⎧0<－m2≤1，2＋2m －1≥0，m ＋2>0，解得－12≤m <0.综上，实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，0. 法二：由题意得x ＝0不是函数f (x )的零点．当0＜x ≤1时，由f (x )＝0，得m ＝12x－x ，此时函数y ＝12x －x 在(0,1]上单调递减，从而y ＝12x －x ≥－12，所以，当m ≥－12时，f (x )在(0,1]上有且只有一个零点，当x ＞1时，由f (x )＝0，得m ＝－2x ，此时函数y ＝－2x在(1，＋∞)上单调递增，从而y ＝－2x∈(－2,0)，所以，当－2＜m ＜0时，f (x )在(1，＋∞)上有且只有一个零点，若f (x )在[0，＋∞)上有且只有2个零点，则要求⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12，－2<m <0，解得－12≤m <0.综上，实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，0. 答案：⎣⎡⎭⎫－12，0 14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A ＋2sin B ＝2sin C ，b ＝3，则cos C 的最小值等于________．解析：利用正弦定理化简sin A ＋2sin B ＝2sin C ，得a ＋2b ＝2c ，两边平方得a 2＋2 2ab ＋2b 2＝4c 2，所以4a 2＋4b 2－4c 2＝3a 2＋2b 2－2 2ab ，即a 2＋b 2－c 2＝3a 2＋2b 2－22ab4，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ＝18⎝⎛⎭⎫3a b ＋2b a －22≥18(2 6－2 2)＝6－24，当且仅当3a b ＝2ba 时取等号，所以cos C 的最小值为6－24.6－2答案：41．已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{x |x 2－6x ＋5≤0，x ∈Z }，则∁U M ＝________. 2．已知复数z ＝2＋i2－i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．3．用分层抽样的方法从某高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为________． 4．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为________．S ←1I ←1While I ≤8 S ←S ＋I I ←I ＋2End While Print S5．设双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为__________．6．100张卡片上分别写有1,2,3，…，100的数字．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是________．7．若一个圆锥的母线长为2，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为________． 8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6S 3＝－198，a 4－a 2＝－158，则a 3的值为________．9．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ，则不等式f (x )<－e 的解集为________．10．若点(x ，y )位于曲线y ＝|2x －1|与y ＝3所围成的封闭区域内(包含边界)，则2x －y 的最小值为________．11．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ，若f (x －φ)的图象关于y 轴对称⎝⎛⎭⎫0<φ<π2，则φ＝________. 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2＝2，直线x ＋by －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|OA ―→＋OB ―→|≥3|OA ―→－OB ―→|，则b 的取值范围为___________________． 13．设实数m ≥1，不等式x |x －m |≥m －2对∀x ∈[1,3]恒成立，则实数m 的取值范围是________．14．在斜三角形ABC 中，若1tan A ＋1tan B ＝4tan C，则sin C 的最大值为________．1．已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{x |x 2－6x ＋5≤0，x ∈Z }，则∁U M ＝________. 解析：集合U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{x |x 2－6x ＋5≤0，x ∈Z }＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z }＝{1,2,3,4,5}，则∁U M ＝{6,7}． 答案：{6,7}2．已知复数z ＝2＋i 2－i (i 为虚数单位)，则z 的模为________．解析：法一：z ＝2＋i 2－i ＝(2＋i )25＝35＋45i ，则|z |＝⎝⎛⎭⎫352＋⎝⎛⎭⎫452＝1.法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 2－i ＝|2＋i||2－i|＝55＝1. 答案：13．用分层抽样的方法从某高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为________． 解析：样本中高二年级抽45－20－10＝15人，设该校学生总数为n 人，则45n ＝15300，所以n＝900. 答案：9004．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为________．S ←1I ←1While I ≤8 S ←S ＋I I ←I ＋2End While Print S解析：模拟执行程序，可得S ＝1，I ＝1，满足条件I ≤8； S ＝2，I ＝3，满足条件I ≤8； S ＝5，I ＝5，满足条件I ≤8； S ＝10，I ＝7，满足条件I ≤8； S ＝17，I ＝9，不满足条件I ≤8；退出循环，输出S 的值为17. 答案：175．设双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为__________．解析：双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的渐近线方程为y ＝±1a x ，则tan 30°＝1a ，即a ＝3，则c ＝2，所以e ＝233.答案：2336．100张卡片上分别写有1,2,3，…，100的数字．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是________．解析：从100张卡片上分别写有1,2,3，…，100中任取1张，基本事件总数n ＝100，所取这张卡片上的数是6的倍数包含的基本事件有：1×6,2×6，…，16×6，共有16个，所以所取这张卡片上的数是6的倍数的概率是P ＝16100＝425.答案：4257．若一个圆锥的母线长为2，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为________． 解析：由圆锥母线长2，可求底面半径为1，故高h ＝3，所以V ＝13×π×12×3＝3π3.答案：3π38．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6S 3＝－198，a 4－a 2＝－158，则a 3的值为________．解析：法一：设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，则S 6S 3＝1－q 61－q 3＝1＋q 3＝－198，所以q＝－32，a 4－a 2＝a 1q 3－a 1q ＝－27a 18＋3a 12＝－158，所以a 1＝1，则a 3＝a 1q 2＝94.法二：设等比数列{a n }的公比为q ， 则S 6S 3＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝a 1＋a 2＋a 3＋a 1q 3＋a 2q 3＋a 3q 3a 1＋a 2＋a 3＝1＋q 3＝－198，。

14个填空题专项强化练(九)　数　列A 组——题型分类练题型一　等差、等比数列的基本运算1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＝7，S 7＝－7，则a 7的值为________．解析：因为等差数列{a n }满足a 2＝7，S 7＝－7，所以S 7＝7a 4＝－7，a 4＝－1，所以d ＝＝－4，所以a 7＝a 2＋5d ＝－13.a 4－a 24－2答案：－132．(2018·盐城高三模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)　①，当n ＝1时，得a 1＝－1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋n －1　②，①－②，得a n ＝2a n －2a n －1＋1(n ≥2)，即a n －1＝2(a n －1－1)(n ≥2)，则数列{a n －1}是以－2为首项，2为公比的等比数列，则a n －1＝－2×2n －1＝－2n ，a 1＝－1符合上式．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1－2n .答案：1－2n3．已知等比数列{a n }的各项均为正数，若a 4＝a ，a 2＋a 4＝，则a 5＝________.2516解析：法一：设等比数列{a n }的首项为a 1(a 1>0)，公比为q (q >0)，由题意Error!解得Error!所以a 5＝a 1q 4＝.132法二：(整体思想)依题意由Error!得16a ＋16a 2－5＝0，即(4a 2＋5)(4a 2－1)＝0，又等2比数列{a n }各项均为正数，所以a 2＝，从而a 4＝，从而由q 2＝＝，又q >0，所以q ＝，a 5＝14116a 4a 21412a 4q ＝×＝.11612132答案：132[临门一脚]1．等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．2．在等差、等比混合后考查基本量的计算容易造成公式和性质混淆，从而造成计算失误．3．等差、等比数列的通项公式：等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m (a 1≠0，q ≠0)．4．等差、等比数列的前n 项和：(1)等差数列的前n 项和为：S n ＝＝na 1＋d ＝n 2＋n (二次n a 1＋a n2n n －12d 2(a 1－d2)函数)．特别地，当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0，即可设S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．(2)等比数列的前n 项和为：S n ＝Error!特别地，若q ≠1，设a ＝，则S n ＝a －aq n ，要注意对q 是否等于1讨论．a 11－q题型二　等差、等比数列的性质1．(2018·苏北四市质检)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝10，a －a ＝36，282则a 11的值为________．解析：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝5a 5＝10，a 5＝2，则a －a ＝282(a 8＋a 2)(a 8－a 2)＝12a 5d ＝24d ＝36，d ＝，则a 11＝a 5＋6d ＝11.32答案：112．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若＝3，则＝________.S 4S 2S 6S4解析：设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴＝＝.S 6S 47k 3k 73答案：733．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋lna 20＝________.解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.答案：504．已知数列{a n }是等差数列，且a n >0，若a 1＋a 2＋…＋a 100＝500，则a 50·a 51的最大值为________．解析：法一：设等差数列{a n }的公差为d (d ≥0)，由题意得，100a 1＋4 950d ＝500，所以a 1＝5－49.5d ，所以a 50·a 51＝(a 1＋49d )·(a 1＋50d )＝(5－0.5d )·(5＋0.5d )＝－0.25d 2＋25.又d ≥0，所以当d ＝0时，a 50·a 51有最大值25.法二：由等差数列的性质知，50(a 50＋a 51)＝500，即a 50＋a 51＝10，所以由基本不等式得a 50·a 51≤2＝25，当且仅当a 50＝a 51＝5时取等号，所以a 50·a51有最大值25.(a 50＋a 512)答案：255．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，若＝，则使得A n B n 7n ＋45n ＋3a nbn为整数的正整数n 的个数是________．解析：由＝＝＝a nb n A 2n －1B 2n －17 2n －1 ＋45 2n －1 ＋37n ＋19n ＋1＝＝7＋.因此n ∈N *，∈N *，7 n ＋1 ＋12n ＋112n ＋1a n b n 故n ＋1＝2,3,4,6,12，即n 共有5个．答案：5[临门一脚]1．若序号m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；在等比数列中，则有a m ·a n ＝a p ·a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a；该性质还可以运用于更多项之间的关系．2p 2．在等差数列{a n }中，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，其公差为kd ；其中S n 为前n 项的和，且S n ≠0(n ∈N *)；在等比数列{a n }中，当q ≠－1或k 不为偶数时S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其中S n 为前n 项的和(n ∈N *)．题型三　数列的综合问题1．已知等比数列{a n }的前4项和为5，且4a 1，a 2，a 2成等差数列，若b n ＝，321log 23a n ＋1则数列{b n b n ＋1}的前10项和为________．解析：由4a 1，a 2，a 2成等差数列，可得4a 1＋a 2＝3a 2，则2a 1＝a 2，则等比数列{a n }的32公比q ＝＝2，则数列{a n }的前4项和为＝5，解得a 1＝，所以a n ＝×2n －1，b n ＝a 2a 1a 1 1－24 1－21313＝，则b n b n ＋1＝＝－，其前10项和为＋＋…＋1log 23a n ＋11n 1n n ＋1 1n 1n ＋1(1－12)(12－13)(110－111)＝.1011答案：10112．对于数列{a n }，定义数列{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，且b n ＋1－b n ＝1(n ∈N *)，a 3＝1，a 4＝－1，则a 1＝________.解析：由a 3＝1，a 4＝－1及b n ＝a n ＋1－a n 得b 3＝a 4－a 3＝－2，又由b n ＋1－b n ＝1得数列{b n }是等差数列，b n ＝b 3＋(n －3)×1＝n －5，所以a n ＋1－a n ＝n －5，从而得a 3－a 2＝－3⇒a 2＝4，a 2－a 1＝－4⇒a 1＝8.答案：83．(2018·南京四校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝8n －n 2，令b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，设数列{b n }的前n 项和为T n ，当T n 取得最大值时，n ＝________.解析：法一：当n ＝1时，a 1＝7；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝9－2n ，经检验，n ＝1时也符合，故a n ＝9－2n ，则b n ＝a n a n ＋1a n ＋2＝(9－2n )(7－2n )(5－2n )，当T n 取得最大值时，应满足{b n }的前n 项均为非负项．令b n ≥0得，n ≤2.5或3.5≤n ≤4.5，又n ∈N *，所以n ＝1,2,4，而T 1＝105，T 2＝120，T 4＝120，故当T n 取得最大值时，n ＝2或4.法二：由S n ＝8n －n 2知，数列{a n }为等差数列，且a n ＝9－2n ，即7,5,3,1，－1，－3，－5，－7，…，枚举知，T 1＝105，T 2＝120，T 3＝117，T 4＝120，T 5＝105，…，故当T n 取得最大值时，n ＝2或4.答案：2或44．在等差数列{a n }中，首项a 1＝3，公差d ＝2，若某学生对其中连续10项进行求和，在漏掉一项的前提下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为________．解析：由已知条件可得数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1，设连续10项为a i ＋1，a i ＋2，a i ＋3，…，a i ＋10，i ∈N ，设漏掉的一项为a i ＋k,1≤k ≤10，由－a i ＋k ＝185， a i ＋1＋a i ＋10 ×102得(2i ＋3＋2i ＋21)×5－2i －2k －1＝185，即18i －2k ＝66，即9i －k ＝33，所以34≤9i ＝k ＋33≤43,3<≤i ≤<5，所以i ＝4，此时，由36＝33＋k 得k ＝3，所以a i ＋k ＝a 7＝15，故349439此连续10项的和为200.答案：200[临门一脚]1．数列求和的方法主要有错位相减法、倒序相加法、公式法、拆项并项法、裂项相消法等．2．根据递推关系式求通项公式的方法有累加法，累积法，待定系数法，取倒数、取对数等．3．数列单调性可以用定义研究，也可以构造函数进行研究，要注意数列和所构造函数的定义域的差别．B 组——高考提速练1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＝1，a 4＝5，则S 5＝________.解析：法一：由等差数列的通项公式，得5＝1＋2d ，则d ＝2，a 1＝－1，S 5＝5×(－1)＋×2＝15.5×42法二：S 5＝＝＝＝15.5 a 1＋a 5 25 a 2＋a 4 25×62答案：152．在数列{a n }中，a 1＝3，且对任意大于1的正整数n ，－＝，则a n ＝________.a n a n －13解析：由定义知{}是以为首项，以为公差的等差数列，故＝n ，即a n ＝3n 2.a n 33a n 3答案：3n 23．在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 7＝________.解析：法一：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，所以q 2·q 4＝4(q 3－1)，即q 6－4q 3＋4＝0，q 3＝2，所以a 7＝q 6＝4.法二：设等比数列{a n }的公比为q, 由a 3a 5＝4(a 4－1)得a ＝4(a 4－1)，即a －4a 4＋4＝0，2424所以a 4＝2，因为a 1＝1，所以q 3＝2，a 7＝q 6＝4.答案：44．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由Error!得Error!即Error!解得d ＝4.答案：45．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＝3，S 3＋S 4＝，则a 3＝________.533解析：因为等比数列{a n }的公比q ＝3，所以S 3＋S 4＝2S 3＋a 4＝2a 3＋3a 3＝a 3＝，所以a 3＝3.(1＋13＋19)539533答案：36．设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝a ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，2则a 10＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由S 3＝a 得3a 2＝a ，解得a 2＝0或a 2＝3.22又由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S ＝S 1S 4.若a 2＝0，则S 1＝S 2＝a 1≠0，S 2＝S 4＝a 1，a 2＋a 3＋a 4＝23a 3＝0，a 3＝0，则d ＝0，故a 2＝0舍去；若a 2＝3，则S 1＝3－d ，S 2＝6－d ，S 4＝12＋2d ，有(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )(d ≠0)，得d ＝2，此时a 10＝a 2＋8d ＝19.答案：197．在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }的前n 项和，若S n 取得最大值，则n ＝________.解析：因为3a 4＝7a 7，所以3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )，所以a 1＝－d >0，所以d <0，334所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(4n －37)，d4当n ≤9时，a n >0，当n ≥10时，a n <0，所以使S n 取得最大值的n ＝9.答案：98．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯________盏．解析：每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝＝381，解得a 1＝3.a 1 1－271－2答案：39．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.故“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充要条件．答案：充要10．设数列满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n ∈N *)，则(a k ak ＋1)的值为________．{a n }100∑k ＝1解析：因为(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1，所以a n －a n ＋1－a n a n ＋1＝0，从而－＝1，＝1，1an ＋11a n 1a1所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以＝1＋n －1＝n ，所以a n＝，故a n an ＋1{1a n}1a n1n ＝＝－，因此(a k a k ＋1)＝＋＋…＋＝1－＝.1n n ＋1 1n 1n ＋1100∑k ＝1(1－12)(12－13)(1100－1101)1101100101答案：10010111．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足＝9，＝，则数S 2m S m a 2m a m 5m ＋1m －1列{a n }的公比为________．解析：设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.因为＝S 2m S m S 2mS m ＝q m ＋1＝9，所以q m ＝8.所以＝＝q m ＝8＝，所以m ＝3，所以q 3＝a 1 1－q 2m1－q a 1 1－q m 1－qa 2m a m a 1q 2m －1a 1q m －15m ＋1m －18，所以q ＝2.答案：212．数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列的前8项和为{1a n}________．解析：因为a n ＋1－a n ＝n ＋1，所以a 2－a 1＝1＋1，a 3－a 2＝2＋1，a 4－a 3＝3＋1，…a n －a n －1＝(n －1)＋1，以上等式相加，得a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n －1，把a 1＝1代入上式得，a n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＝，n n ＋12∴＝＝2，1a n 2n n ＋1 (1n －1n ＋1)∴数列的前n 项的和{1a n}S n ＝2(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝2＝，(1－1n ＋1)2n n ＋1∴数列的前8项和为.{1a n}169答案：16913．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n >0，若S 6－2S 3＝5，则S 9－S 6的最小值为________．解析：法一：当q ＝1时，S 6－2S 3＝0，不合题意，所以q ≠1，从而由S 6－2S 3＝5得－＝5，从而得＝＝<0，故1－q <0，a 1 1－q 6 1－q 2a 1 1－q 3 1－q a 11－q 5－q 6＋2q 3－15－ q 3－1 2即q >1，故S 9－S 6＝－＝a 1 1－q 9 1－q a 1 1－q 6 1－q·(q 6－q 9)＝，令q 3－1＝t >0，则S 9－S 6＝＝55－ q 3－1 25q 6q 3－15 t ＋1 2t (t ＋1t＋2)≥20，当且仅当t ＝1，即q 3＝2时等号成立．法二：因为S 6＝S 3(1＋q 3)，所以由S 6－2S 3＝5得S 3＝>0，从而q >1，故S 9－S 6＝S 3(q 65q 3－1＋q 3＋1)－S3(q 3＋1)＝S3q 6＝，以下同法一．5q 6q 3－1答案：2014．已知数列{b n }的每一项都是正整数，且b 1＝5，b 2＝7<b 3，数列{a n }是公差为d (d ∈N *)的等差数列，且有a 7＝6，则使得数列{ab n }是等比数列的d 的值为________．解析：法一：ab 1＝a 5＝6－2d ，ab 2＝a 7＝6，易知d ≠3，等比数列{ab n }的公比q ＝＝66－2d，ab n ＝(6－2d )·n －1，又ab n ＝6＋(b n －7)d ，所以6＋(b n －7)d ＝(6－2d )n －1，33－d (33－d )(33－d)所以6＋(b 3－7)d ＝(6－2d )·2，即6＋(b 3－7)d ＝，由b 3>7，得3－d >0，由d ∈N *(33－d )183－d得d ＝1或2，当d ＝1时，b n＝4n －1＋1，不合题意，当d ＝2时，b n＝3n －1＋4，符合题意，(32)所以所求d 的值为2.法二：由数列{ab n }是等比数列得ab 1ab 3＝a 2b 2，而ab n ＝a 7＋(b n －7)d ，所以，由b 1＝5，b 2＝7得，(6－2d )·[6＋(b 3－7)d ]＝36，易知d ≠3，解得b 3－7＝>0，由d ∈N *得，d ＝163－d或2，当d ＝1时，b n ＝4n －1＋1，不合题意，当d ＝2时，b n ＝3n －1＋4，符合题意，所以(32)所求d 的值为2.答案：2。