高考数学(文科)二轮习题：专题三第六讲 三角恒等变换与解三角形
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第六讲 三角恒等变换与解三角形
1.(2018四川成都模拟)已知tan α=
,α∈(0,π),则cos
的值为( )
A. -
B.
C. -
D. -
2.(2018福建福州模拟) cos 15°-4sin215°cos 15°=( )
A.
B.
C.1 D.
3.(2018课标全国Ⅲ(理),9,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为 -
,则C=( )
A.
B.
C.
D.
4.(2018重庆六校联考)在△ABC中,cos2
=
(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形
5.(2018河南洛阳第一次统考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a,b,c成等比数列,且a2=c2+ac-bc,则
=( )
A.
B.
C.
D.
6.(2018湖北武汉调研)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且2bcos C=2a+c,则B=( )
A.
B.
C.
D.
7.(2018吉林长春监测)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若
bcos A=sin B,且a=2 ,b+c=6,则△ABC的面积为 .
8.(2018湖北武汉调研)在钝角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,b=3,则c的取值范围是 .
9.(2018四川成都模拟)如图,在直角梯形ABDE中,已知∠ABD=∠EDB=90°,C是BD上一点,AB=3- ,∠ACB=15°,∠ECD=60°,∠EAC=45°,则线段DE的长度为 .
10.(2018河南开封模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,btan B+btan A=2ctan B,且a=5,△ABC的面积为2 ,则b+c的值为 .
11.(2018广东惠州模拟)在△ABC中,D是BC边的中点,AB=3,AC= ,AD= .
(1)求BC边的长;
(2)求△ABC的面积.
12.(2018天津,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos -
.
(1)求角B的大小;
(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.
13.(2018湖北黄冈模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(1)若23cos2A+cos 2A=0,且△ABC为锐角三角形,a=7,c=6,求b的值;
(2)若a= ,A=
,求b+c的取值范围.
14.(2018湖南湘东五校联考)已知函数f(x)=
sin 2x-cos2x-
.
(1)求f(x)的最小值,并写出取得最小值时的自变量x的集合;
(2)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c= , f(C)=0,若sin B=2sin A,求a,b的值.
答案精解精析
1.A 因为tan α=
,α∈(0,π),所以sin α=
,cos α=
,故cos
=cos αcos
-sin αsin
=
×
-
×
= -
,故选A.
2.D 解法一: cos 15°-4sin215°cos 15°= cos 15°-2sin 15°·2sin 15°cos 15°= cos 15°-2sin
15°·sin 30°= cos 15°-sin 15°=2cos(15°+30°)=2cos 45°= .故选D.
解法二:因为cos 15°=
,sin 15°= -
,所以 cos 15°-4sin215°·cos
15°= ×
-4× -
×
=
× - -
= .故选D.
3.C 根据余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,因为S△ABC= -
,所以S△ABC=
,又S△ABC=
absin C,所以tan C=1,因为C∈(0,π),所以C=
.故选C.
4.A 已知等式变形得cos B+1=
+1,即cos B=
①.由余弦定理得cos B= -
,代入①得 -
=
,整理得b2+a2=c2,即C为直角,则△ABC为直角三角形.
5.A ∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,∴sin2B=sin A×sin C,又a2=c2+ac-bc=c2+b2-bc,∴cos
A= -
=
=
,∴sin A=
,∴
=
=
=
=
,故选A.
6.D 因为2bcos C=2a+c,所以由正弦定理可得2sin Bcos C=2sin A+sin C=2sin(B+C)+sin
C=2sin Bcos C+2cos Bsin C+sin C,即2cos Bsin C=-sin C,又sin C≠0,所以cos B=-
,又0
,故选D.
7.答案 2
解析 由题意可知
=
=
,又a=2 ,所以tan A= ,所以A=
,由余弦定理得12=b2+c2-bc,又b+c=6,所以bc=8,从而△ABC的面积为
bcsin A=
×8×sin =2 .
8.答案 (1, )∪(5,7)
解析 三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,据此可得1
若∠C为钝角,则cos C=
-
= -
<0,解得c>5,②
若∠A为钝角,则cos A=
-
= -
<0,解得0
结合①②③可得c的取值范围是(1, )∪(5,7).
9.答案 6
解析 在Rt△ABC中,因为AB=AC·sin∠ACB,所以3- =AC·sin 15°,
又sin 15°=
-
,所以可得AC=2 .
又易知∠AEC=30°,所以在△ACE中,由
=
,得EC=4 .于是在Rt△CDE中,由∠ECD=60°,可得DE=EC·sin 60°=4 ×
=6.
10.答案 7
解析 在△ABC中,由btan B+btan A=2ctan B及正弦定理,得
+
=
,由于sin
B≠0,故
= -
,即sin Acos B=2sin Ccos A-sin Bcos A,整理得sin Acos B+sin Bcos
A=2sin Ccos A,由两角和的正弦公式及诱导公式,得sin(A+B)=sin C=2sin Ccos A,由于sin
C≠0,故等式两端同除以sin C可得cos A=
,所以sin A=
,因为S△ABC=
bcsin A=
bc=2 ,所以bc=8,由cos A= -
= - -
=
,a=5,可得b+c=7.
11.解析 (1)设BD=x,则BC=2x,
在△ABD中,有cos∠ABD= -
· = -
,
在△ABC中,有cos∠ABC= -
· = -
,
且∠ABD=∠ABC,即 -
= -
,得x=2,
∴BC=4.
(2)由(1)可知,cos B=
,又由B∈(0,π),得sin B=
,
∴S△ABC=
·AB·BC·sin B=
×3×4×
=3 .
12.解析 (1)在△ABC中,由
=
可得bsin A=asin B,又由bsin A=acos -
,得asin
B=acos -
,即sin B=cos -
,可得tan B= .又因为B∈(0,π),所以B=
.
(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=
,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b= .
由bsin A=acos -
,可得sin A=
.
因为a
.
因此sin 2A=2sin Acos A=
,cos 2A=2cos2A-1=
.
所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=
×
-
×
=
.
