高三数学《三角恒等变换与解三角形》专题复习题含答案
- 格式：doc
- 大小：136.50 KB
- 文档页数：7
- 1 - 《三角恒等变换与解三角形》专题复习题含答案
一、选择题
1．已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝( )
A．15 B．55 C．33 D．255
2．若tanα＋π4＝－3，则sin2α－cos2α＝(
)
A．35 B．－25 C．－1
D．3
3．已知3sinx＋cosx＝22，则cosx－π3＝(
)
A．12 B．24 C．23 D．34
答案 B
4．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若2cosB＝ac，则该三角形一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
5．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log 5tanαtanβ2等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(
)
A．518 B．34 C．32 D．78
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2＝c2＋ac－bc，则cbsinB＝( )
A．32 B．233 C．33 D．3
8．设锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，B＝2A，则b的取值范围为( )
A．(0．4) B．(2．23) C．(22，23) D．(22，4)
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A＝60°，a＝43，b＝4，则B＝( )
A．B＝30°或B＝150° B．B＝150°
C．B＝30° D．B＝60°或B＝150°
- 2 - 10．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知absinC＝20sinB，a2＋c2＝41，且8cosB＝1，则b＝( )
A．6 B．42 C．35 D．7
11．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，已知C＝45°，c＝2，a＝x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是( )
A．2
12．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是( )
A．7π4 B．9π4 C．5π4或7π4 D．5π4或9π4
二、填空题
13．已知sin10°＋mcos10°＝－2cos40°，则m＝________.
14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°.若m2＋n＝4，则m＋nsin63°＝________.
15．已知点(3，a)和(2a．4)分别在角β和角β－45°的终边上，则实数a的值是________．
16．在△ABC中，a，b，c为∠A，∠B，∠C的对边，a，b，c成等比数列，a＋c＝3，cosB＝34，则AB→·BC→＝________.
三、解答题
17．已知△ABC中，A＝π4，cosB＝35，AC＝8.
(1)求△ABC的面积；(2)求AB边上的中线CD的长．
18．在△ABC中，AB＝23，AC＝3，AD为△ABC的内角平分线，AD＝2.
(1)求BDDC的值；(2)求角A的大小．
- 3 - 19．在△ABC中，3sinA＝2sinB，tanC＝22.
(1)证明：△ABC为等腰三角形；
(2)若△ABC的面积为22，D为AC边上一点，且BD＝3CD，求线段CD的长．
20．如图所示，锐角△ABC中，AC＝52，点D在线段BC上，且CD＝32，△ACD的面积为66，延长BA至E，使得EC⊥BC.
(1)求AD的值；
(2)若sin∠BEC＝23，求AE的值．
- 4 - 三角恒等变换与解三角形专题复习题含答案
参考答案：
一、选择题
1、答案 B
解析 由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.又∵α∈0，π2，∴tanα＝12，∴sinα＝55.故选B.
2、答案 A
解析 因为tanα＋π4＝－3⇒tanα＋tanπ41－tanα·tanπ4＝－3⇒tanα＝2，所以sin2α－cos2α＝sin2α－cos2αsin2α＋cos2α＝2sinαcosα－cos2αsin2α＋cos2α＝2tanα－11＋tan2α＝35，故选A.
3、答案 B
解析 由3sinx＋cosx＝22，得2sinx＋π6＝22，所以cosx－π3＝sinx＋π6＝24，故选B.
4、答案 A
解析 由2cosB＝ac得2×a2＋c2－b22ac＝ac，即c2＝b2，∴b＝c，∴△ABC为等腰三角形，故选A.
5、答案 C
解析 因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sinαcosβ＋cosαsinβ＝12，sinαcosβ－cosαsinβ＝13，
所以sinαcosβ＝512，cosαsinβ＝112，所以tanαtanβ＝5，所以log 5tanαtanβ2＝log 552＝4.故选C.
6、答案 D
解析 根据题意可设此三角形的三边长分别为2t．2t，t，由余弦定理得它的顶角的余弦值为222(2)(2)(2)(2)tttttt＝78.
7、答案 B
解析 由a，b，c成等比数列得b2＝ac，则有a2＝c2＋b2－bc，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，故A＝π3，对于b2＝ac， sin2B＝sinAsinC＝32·sinC，cbsinB＝sinCsin2B＝sinC32sinC＝233.
8、答案 C
解析 ∵a＝2，B＝2A，∴0<2A
- 5 - 选C.
9、答案 C
解析 ∵A＝60°，a＝43，b＝4，∴sinB＝bsinAa＝4×sin60°43＝12，∵a>b，∴B<60°，∴B＝30°，故选C.
10、答案 A
解析 因为absinC＝20sinB，所以由正弦定理得abc＝20b，所以ac＝20，又因为a2＋c2＝41，cosB＝18，所以由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝41－2×20×18＝36，所以b＝6.
11、答案 B
解析 在△ABC中，由正弦定理得asinA＝csinC，即xsinA＝2sin45°，可得sinA＝12x，由题意得当A∈0，3π4时，满足条件的△ABC有两个，所以22<12x<1，解得2
12、答案 A
解析 因为α∈π4，π，所以2α∈π2，2π，又sin2α＝55，所以2α∈π2，π，α∈π4，π2，
所以cos2α＝－255.又β∈π，3π2，所以β－α∈π2，5π4，故cos(β－α)＝－31010，
所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×－31010－55×1010＝22，又α＋β∈5π4，2π，故α＋β＝7π4，选A.
二、填空题
13、答案 －3
解析 由sin10°＋mcos10°＝－2cos40°得sin10°＋mcos10°＝－2cos(10°＋30°)＝－232cos10°－12sin10°，所以m＝－3.
14、答案 22
解析 因为m＝2sin18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°，
所以m＋nsin63°＝2sin18°＋2cos18°sin63°＝22sin(1845)sin63＝22.
15、答案 6
解析 由题得tanβ＝a3，tan(β－45°)＝tanβ－11＋tanβ＝a3－11＋a3＝42a，所以a2－5a－6＝0，解得a＝6或－1，
- 6 - 当a＝－1时，两个点分别在第四象限和第二象限，不符合题意，舍去，所以a＝6.
16、答案 －32
解析 因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac.又因为a＋c＝3，cosB＝34.根据余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB，所以ac＝32－2ac－32ac，
解得ac＝2，所以AB→·BC→＝c·acos(π－B)＝－accosB＝－2×34＝－32.
三、解答题
17、解 (1)∵cosB＝35，且B∈(0，π)，∴sinB＝1－cos2B＝45，
∴sinC＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝22×35＋22×45＝7210，在△ABC中，由正弦定理，得ACsinB＝ABsinC，即845＝AB7210，解得AB＝72.
∴△ABC的面积为S＝12AB·AC·sinA＝12×72×8×22＝28.
(2)解法一：在△ACD中，AD＝722，
∴由余弦定理得CD2＝82＋7222－2×8×722×22＝652，∴CD＝1302.
解法二：∵cosB＝35<22，∴B>π4，
∵A＝π4，∴C为锐角，故cosC＝1－sin2C＝210
∵CA→＋CB→＝2CD→，∴4|CD→|2＝(CA→＋CB→)2＝|CA→|2＋2CA→·CB→＋|CB→|2＝64＋2×8×52×210＋50＝130，∴CD＝1302.
18、解 (1)在△ABD中，由正弦定理，得BDsinA2＝ABsin∠ADB，
在△ACD中，由正弦定理，得CDsinA2＝ACsin∠ADC，
∵sin∠ADB＝sin∠ADC，AC＝3，AB＝23，∴BDDC＝ABAC＝2.
(2)在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA2＝16－83×cosA2，
