利用空间向量解决空间距离问题共23页

利用空间向量求空间距离定远中学 赵艳丽教学目标：（1）知识与技能了解空间中的各种距离，掌握各种空间距离的转化方法，利用空间向量求各种空间距离。

（2）过程与方法通过将空间距离转化求解的过程，使学生体会类比，转化、化归及数形结合思想的应用。

（3）情感、态度与价值观通过求解空间距离，培养学生观察、分析和解决问题的能力。

感受数学之妙，激发学生学习数学的热情。

教学重、难点：重点：空间距离的转化和求解。

难点：空间距离的转化。

教学过程： 一、新课引入不考虑时间，我们生活在一个三维空间里。

这个空间里充满了各种与我们生活密切相关的距离。

那么空间距离有哪些？又该怎么求呢？［设计意图］数学来源于生活，又服务于生活。

从生活出发，让学生体会数学的价值，明确学习数学的重要性。

二、新课讲解1、点到平面的距离向量法求点到平面的距离. 在PAO Rt ∆中，θθcos ||||cos AP d AP =⇒=又|||||cos n AP n AP =θ|||n n AP d =∴（其中AP 为斜向量，n 为法向量）2、直线到平面的距离转化为点到线的距离：|||n n AP d =AP 为斜向量，n 为法向量）3、平面到平面的距离也是转化为点到线的距离：|||n n AP d =AP 为斜向量，n 为法向量）师生：教师引导，启发，学生积极思考，共同总结，给出结论。

［设计意图］体会转化、化归思想在数学学习中的重要性。

三、例题讲解例1．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为1，求下列问题： （1）求点1D 到面BD A 1的距离；解：如图，建立空间直角坐标系xyz D -，则)1,0,0(,)1,1,0(,)1,1,1(,)1,0,1(),0,0,0(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1(1111 D C B A D C B A ,（1）显然,)1,1,1(1-=AC 为面BD A 1的法向量 选点1D 到面BD A 1的斜向量为)0,0,1(11=A D 得点1D 到面BD A 1的距离为33|||1111==AC AC A D d （2）求直线C D 1到面BD A 1的距离； (3) 求面DB A 1与面11CB D 的距离；解：转化、化归为点1D 到面BD A 1的1D 到面BD A 1距离；师生：共同合作，共同完成。

用向量法求空间距离湖南省冷水江市七中(417500) 李继龙在高中立体几何中引入空间向量，为解决立体几何问题提供了一种新的解题方法，有时也能降低解题难度.下面通过例题介绍用向量法求空间距离的方法. 一、 求两点之间的距离用向量求两点间的距离，可以先求出以这两点为始点和终点的向量，然后求出该向量的模，则模就是两点之间的距离.例1 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是AD 1的中点，Q 是BD 上一点，DQ=41DB ，求P 、Q 两点间的距离.解 如图1，以1DD DC DA 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则0)4141(Q )21021(，，、，，P ， 所以)21－4141(－，，=.46=,即P 、Q 两点的距离为46. 二、 求点到直线之间的距离已知如图2，P 为直线a 外一点，Q 为a 上任意一点，PO ⊥a 于点O ，所以点P 到直线a 的距离为|PO|=d .则有><⋅=⋅cos ，所以cos >=<故><⋅=∠⋅==QP PQO PQ PO d sin sin=⋅==xa图2例2 在长方体OABC-O 1A 1B 1C 1中，OA=2，AB=3，AA 1=2.求点O 1到直线AC 的距离. 解 建立如图3所示的空间直角坐标系，连结AO 1，则A(2，0，0)，C(0，3，0)，O 1(0，0，2).所以0)32－(AC 2)02－(AO 1，，，，，==. 故d =13286213168=-= 所以点O 1到直线AC 的距离为132862. 三、 求点到平面的距离如图4设A 是平面α外一点，AB 是平面α的一条斜线，交平面α于点B ，而是平面α的法向量，那么向量在方向上的射影长就是点A 到平面α的距离d，所以d ==><⋅=cos .例3 如图5，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M 是线段EF 的中点，N 为AC 与BD 的交点，求点B 到平面CMN 的距离. 解 如图5，以CE CB CD 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系C-xyz.因为AB=2，AF=1，所以)12222(CM ，，=，)02222(CN ，，=)02(0CB ，，=设平面CMN 的法向量为)(x z y ，，=，则有图4yxx⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n CM 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++0222202222y x z y x 令x=1,得y=-1，z=0，所以)01(1，，-=.所以点B 到平面CMN的距离1==d .四、 求异面直线间的距离如图6，假设a 、b 是异面直线，平移直线a 至a ′且交b 于点A ，那么直线a ′和b 确定平面α，且直线a ∥α，设n ⊥a ,n ⊥b ，即n 为异面直线a 、b 的公垂线的方向向量.所以异面直线a 的b 的距离等于直线a 上任意一点至平面α的距离.若F ∈a ，E ∈b ，则异面直线a 、b之间的距离d =⋅=><⋅=cos ，即为异面直线a 、b 之间的距离.例4 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1C 1与B 1C 的距离. 解 如图7所示，以1DD DC DA 、、所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则有1)01－(C B 0)11－(C A 111－，，，，，==.设B C A 111与的公垂线的方向向量为)(x z y ，，=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0B 0111C n C A n 即⎩⎨⎧=--=+-00z x y x 令x=1,得y=1，z=-1，所以)11(1-=，，又)010(11，，=B A ，x所以A 1C 1与B 1C的距离3331===d . 五、 求直线与它平行平面及求两个平行平面之间的距离求直线与它平行平面及两个平行平面之间的距离可以转化为求点到平面的距离，即运用d =求它们之间的距离.例5 如图8，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 、N 、E 、F 分别是A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1 C 1D 1的中点.求平行平面AMN 与平面EFDB 的距离. 解 以1CC 、、所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ，则0)0(1)121(0)1021(，，，，，，，，=-=-=.设平面EFDB 的法向量为)(x n z y ，，=，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-021021z y z x 取1=z ,则2==y x ，所以)12(2，，=，所以平行平面AMN 与平面EFDB的距离32==d .x。

解决实际问题的空间向量应用空间向量是指在三维空间内用有序三元组表示的矢量，具有方向和大小。

在物理、工程、计算机图形学等领域，空间向量的应用十分广泛。

在解决实际问题时，空间向量的运用可以提供一种简洁、高效的分析和解决方法。

本文将探讨在实际问题中如何应用空间向量来解决问题。

一、三维空间中的几何问题空间向量在几何问题的解决中起到了至关重要的作用。

例如，在计算两点间的距离时，可以利用空间向量的模长计算公式：d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)其中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别为两点的坐标。

通过这个公式，可以方便地计算两点之间的距离。

此外，在求两向量的夹角时，可以利用向量的数量积公式：cosθ = (a·b) / (|a||b|)其中，a和b分别为两个空间向量，(a·b)表示向量的数量积，|a|和|b|表示向量的模长。

通过这个公式，可以快速求解向量之间的夹角。

二、力学问题中的向量运用力学问题中经常涉及到力、速度与加速度的计算。

空间向量可以提供简洁且有效的计算方法。

例如，在计算合力时，可以将各个力看作空间向量，利用向量的代数运算求出它们的合力向量。

另外，在求解动力学问题时，将速度和加速度表示为空间向量可以简化运算。

例如，求解物体在给定力下的运动轨迹时，可以通过分解速度和加速度为水平方向和垂直方向的分量，然后利用空间向量的叠加原理计算出物体的运动轨迹。

三、电磁学问题中的向量应用电磁学问题中的向量应用也是十分常见的。

例如，在求解电场和磁场强度时，可以利用库仑定律和安培定律来描述电场和磁场的分布情况。

而库仑定律和安培定律都可以用空间向量表示，从而方便了对电磁问题的分析和研究。

此外，在电磁学问题中，还常常需要计算电流线圈和磁场线之间的夹角。

空间向量的运用可以提供一种简洁的计算方法。

例如，在计算电流线圈内某一点的磁场强度方向时，可以利用安培定律和向量叉积的概念，得出磁场线和电流线圈的夹角。

2021届高考数学立体几何突破性讲练09利用空间向量求空间距离一、考点传真：能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用． 二、知识点梳理：空间距离的几个结论(1)点到直线的距离：设过点P 的直线l 的方向向量为单位向量n ，A 为直线l 外一点，点A 到直线l 的距离d ＝|P A →|2－|P A →·n |2. (2)点到平面的距离：设P 为平面α内的一点，n 为平面α的法向量，A 为平面α外一点，点A 到平面α的距离d ＝|P A →·n ||n |.(3)线面距离、面面距离都可以转化为点到面的距离． 三、例题：例 1.(2018天津)如图，AD BC ∥且2AD BC =，AD CD ⊥，EG AD ∥且EG AD =，CD FG ∥且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===．(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ； (2)求二面角E BC F --的正弦值；(3)若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60，求线段DP 的长．【解析】依题意，可以建立以D 为原点，分别以DA ，DC ，DG 的方向为x 轴，y 轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C ，(2,0,2)E ，(0,1,2)F ，(0,0,2)G ，3(0,,1)2M ，(1,0,2)N ．N ABC D EF G M(1)证明：依题意(0,2,0)DC =，(2,0,2)DE =．设0(,,)x y z =n 为平面CDE 的法向量，则0000DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即20220y x z =⎧⎨+=⎩，，不妨令1z =-，可得0(1,0,1)=-n ． 又3(1,,1)2MN =-，可得00MN ⋅=n ，又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN ∥平面CDE ．(2)依题意，可得(1,0,0)BC =-，(122)BE =-，，，(0,1,2)CF =-．设(,,)x y z =n 为平面BCE 的法向量，则00BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即0220x x y z -=⎧⎨-+=⎩，，不妨令1z =，可得(0,1,1)=n ．设(,,)x y z =m 为平面BCF 的法向量，则00BC BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，m m 即020x y z -=⎧⎨-+=⎩，， 不妨令1z =，可得(0,2,1)=m ．因此有cos ,||||10⋅<>==m n m n m n，于是sin ,<>=m n 所以，二面角E BC F --． (3)设线段DP 的长为h ([0.2]h ∈)，则点P 的坐标为(0,0,)h ，可得(12)BP h =--，，． 易知，(0,2,0)DC =为平面ADGE 的一个法向量，故cos BP DC BP DC BP DCh ⋅<⋅>==3sin602==，解得[0,2]3h=．所以线段DP例2. （2014新课标2）如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D AE C--为60°，AP=1，AD求三棱锥E ACD-的体积．【解析】（Ⅰ）连接BD交AC于点O，连结EO．因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB．EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC．（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，AP为单位长，建立空间直角坐标系Axyz-，则D1(0,),22E1(0,)2AE=．设(,0,0)(0)B m m>，则(C m(AC m=．设1(,,)x y z=n为平面AEC的法向量，则110,0,AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,10,22mx y z ⎧+=+=⎪⎩，可取1=-n ． 又2(1,0,0)=n 为平面DAE 的法向量， 由题设121cos ,2=n n12=，解得32m =． 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD -的高为12． 三棱锥E ACD -的体积113132228V =⨯⨯=． 例3.(2013天津) 如图， 四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB DC ∥，AB AD ⊥，1AD CD ==，12AA AB ==，E 为棱1AA 的中点．（Ⅰ）证明11B C CE ⊥；（Ⅱ）求二面角11B CE C --的正弦值；（Ⅲ）设点M 在线段1C E 上；且直线AM 与平面11ADD A， 求线段AM 的长．【解析】解法一 如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，1A 1依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B 1(0，2，2)，C 1(1，2，1)，E(0，1，0)（Ⅰ）易得=（1，0，-1），=（-1，1，-1），于是，所以． （Ⅱ） =（1，-2，-1）．设平面1B CE 的法向量，则，即消去，得y+2z =0，不妨令z=1，可得一个法向量为=（-3，-2，1）．由（Ⅰ）知，，又，可得平面，故=（1，0，-1）为平面的一个法向量． 于是从而 所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为． （Ⅲ）=（0，1，0），=(1，l ，1)，设，，有．可取=（0，0，2）为平面的一个法向量，设为直线AM 与平面所成的角， 则，解得，所以11B C CE 110BC CE ⋅=11B C CE ⊥1B C (),,x y z =m 100B C CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 200x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩x m 11B C CE ⊥111CC B C ⊥11B C ⊥1CEC 11B C 1CEC 111111cos ,||||14B C B C B C ⋅<>===m m m 1121sin ,7B C <>=m 7AE 1EC ()1,,EM EC λλλλ==01λ≤≤(),1,AM AE EM λλλ=+=+AB 11ADD A θ11ADD A sin cos ,3AM AB AM AB AM ABθ⋅=<>==⋅6=13λ=AM =例4.（2012福建）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中11AA AD ==，E 为CD 中点.（Ⅰ）求证：11B E AD ⊥；（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在一点P ,使得DP ∥平面1B AE ？若存在，求AP 的行；若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若二面角11A B E A --的大小为30°，求AB 的长． 【解析】（Ⅰ）以A 为原点1,,AB AD AA 的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB a =,则(0,0,0)A ，(0,1,0)D ，1(0,1,1)D ，,1,02a E ⎛⎫⎪⎝⎭， 1(,0,1)B a 故1(0,1,1)AD =，1,1,12a B E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1(,0,1)AB a =，,1,02a AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∵11011(1)102aAD B E ⋅=-⨯+⨯+-⨯=， ∴11B E AD ⊥ （Ⅱ）假设在棱AA 1上存在一点0(0,0,)P z ， 使得DP ∥平面1B AE ．此时0(0,1,)DP z =-．又设平面1B AE 的法向量n =(x ,y ,z )．∵n ⊥平面1B AE ，∴1AB ⊥n ,AE ⊥n ，得002ax z ax y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩取1x =，得平面1B AE 的一个法向量1,,2a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭n ． 要使DP ∥平面1B AE ，只要DP ⊥n ，有002a az -=，解得012z =． 又DP ⊄平面1B AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面1B AE ，此时AP =12．（Ⅲ）连接A 1D ,B 1C ,由长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1及AA 1=AD =1,得AD 1⊥A 1D ．∵B 1C ∥A 1D ,∴AD 1⊥B 1C ．又由（Ⅰ）知B 1E ⊥AD 1,且B 1C ∩B 1E =B 1,∴AD 1⊥平面DCB 1A 1．∴1AD 是平面A 1B 1E 的一个法向量,此时1AD =(0,1,1)． 设1AD 与n 所成的角为θ,则11cos a an AD n AD θ--⋅==⋅．∵二面角A -B 1E -A 1的大小为30°，∴cos cos30θ=3a=解得2a =，即AB 的长为2． 四、巩固练习：1.如图，已知圆柱OO 1底面半径为1，高为π，平面ABCD 是圆柱的一个轴截面，动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其运动路程最短时在侧面留下曲线Γ.将轴截面ABCD 绕着轴OO 1逆时针旋转θ(0<θ<π)后得到平面A 1B 1C 1D 1，边B 1C 1与曲线Γ相交于点P .(1)求曲线Γ的长度；(2)当θ＝π2时，求点C 1到平面APB 的距离．【解析】 (1)将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA ，曲线Γ就是对角线BD .由于AB ＝πr ＝π，AD ＝π，∴BD ＝2π. 故曲线Γ的长度为2π.(2)当θ＝π2时，建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (0，－1,0)，B (0,1,0)，P ⎝⎛⎭⎫－1，0，π2，C 1(－1，0，π)，则AB →＝(0,2,0)，AP →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，π2，OC 1→＝(－1,0，π)， 设平面ABP 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，－x ＋y ＋π2z ＝0， 取z ＝2得n ＝(π，0,2)，∴点C 1到平面P AB 的距离d ＝|OC 1→·n ||n |＝ππ2＋4.2.如图，在多面体ABCDE 中，平面ABD ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AE ⊥BD ，DE ∥12AC ，AD ＝BD ＝1.(1)求AB 的长；(2)已知2≤AC ≤4，求点E 到平面BCD 的距离的最大值．【解析】 (1)∵平面ABD ⊥平面ABC ，且交线为AB ，而AC ⊥AB ，∴AC ⊥平面ABD . 又∵DE ∥AC ，∴DE ⊥平面ABD ，从而DE ⊥BD . 注意到BD ⊥AE ，且DE ∩AE ＝E ，∴BD ⊥平面ADE ， 于是，BD ⊥AD .而AD ＝BD ＝1，∴AB ＝ 2. (2)∵AD ＝BD ，取AB 的中点为O ，∴DO ⊥AB . 又∵平面ABD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC .过O 作直线OY ∥AC ，以点O 为坐标原点，直线OB ，OY ，OD 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示．记AC ＝2a ，则1≤a ≤2， A ⎝⎛⎭⎫－22，0，0，B ⎝⎛⎭⎫22，0，0， C ⎝⎛⎭⎫－22，2a ，0，D ⎝⎛⎭⎫0，0，22，E ⎝⎛⎭⎫0，－a ，22，BC →＝(－2，2a,0)，BD →＝⎝⎛⎭⎫－22，0，22.设平面BCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧BC →·n ＝0，BD →·n ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2ay ＝0，－22x ＋22z ＝0. 令x ＝2，得n ＝⎝⎛⎭⎫2，1a ，2. 又∵DE →＝(0，－a,0)，∴点E 到平面BCD 的距离d ＝|DE →·n ||n |＝14＋1a2.∵1≤a ≤2，∴当a ＝2时，d 取得最大值， d max ＝14＋14＝21717.3.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD .(1)证明：DC 1⊥BC ；(2)设AA 1＝2，A 1B 1的中点为P ，求点P 到平面BDC 1的距离． 【解析】 (1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形． 由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .又因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)由(1)知BC ⊥DC 1，且BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1A 1，所以CA ，CB ，CC 1两两垂直．以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz .由题意知B (0,1,0)，D (1,0,1)，C 1(0,0,2)，B 1(0，1,2)，P ⎝⎛⎭⎫12，12，2，则BD →＝(1，－1，1)，DC 1→＝(－1，0,1)，PC 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0. 设m ＝(x ，y ，z )是平面BDC 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·BD →＝0，m ·DC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0，可取m ＝(1,2,1)． 设点P 到平面BDC 1的距离为d ，则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PC 1→·m |m |＝64. 4.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，2AB AD DC ===E ，F 分别为PD ，PB 的中点.（1）求证：//CF 平面PAD ；（2）若截面CEF 与底面ABCD 所成锐二面角为4π，求PA 的长度. 【解析】（1）证明：取PA 的中点Q ，连接QF ，QD ，F 是PB 的中点，//QF AB ∴且12QF AB =， 底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，2AB AD DC ===//CD AB ∴，12CD AB =， //QF CD ∴且QF CD =，∴四边形QFCD 是平行四边形，//FC QD ∴，又FC ⊄平面PAD ，QD ⊂平面PAD ，//FC ∴平面PAD .（2）如图，分别以AD ，AB ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设PA a =。