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自动控制原理课程教案-附录1-拉普拉斯变换附录1. 拉普拉斯变换附录1.1拉氏变换的定义如果有一个以时间为变量的函数()f t ，它的定义域是0t >，那么拉氏变换就是如下运算式()()st t F s f t e dt ∞=⎰ A-1式中s 为复数。
一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是 （1） 在0t <时，()0f t =；（2） 在0t ≥时的任一有限区域内，()f t 是分段连续的； （3） 0()st f t e dt ∞<∞⎰在实际工程中，上述条件通常是满足的。
式A-1中，()F s 成为像函数，()f t 成为原函数。
为了表述方便，通常把式A-1记作()[()]F s L f t =如果已知象函数()F s ，可用下式求出原函数1()()2c j st c j f t F s e ds j π+∞-∞=⎰ （A-2）式中c 为实数，并且大于()F s 任意奇点的实数部分，此式称为拉氏变换的反变换。
同样，为了表述方便，可以记作1()[()]f t L F s -=为了工程应用方便，常把()F s 和()f t 的对应关系编成表格，就是一般所说的拉氏变换表。
表A-1列出了最常用的几种拉氏变换关系。
一些常用函数的拉氏变换附录1.1.1单位阶跃函数的拉氏变换这一函数的定义为0, 0()0, 0t u t t <⎧=⎨>⎩它表示0t =时，突然作用于系统的一个不变的给定量或扰动量，如图3-1所示。
单位阶跃函数的拉氏变换为0011()[]st st F s e dt e s s∞--∞==-=⎰ 在进行这个积分时，假设s 的实部比零大，即Re[]0s >，因此lim 0st t e -→∞→附录1.1.2 单位脉冲函数的拉氏变换单位脉冲函数也是作为自动控制系统常用的标准输入量。
它是在持续时间0ε→期间内作用的矩形波，其幅值与作用时间的乘积等于1，如图3-3所示。
自动控制原理课程教案(电气专54课时)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《自动控制原理》课程教案课程名称：自动控制原理学时/学分： 54/3开课系部：机电系适用专业：电气自动化教案编写：王锋山东农业工程学院教务处制教学内容及过程教学内容与教学设计引言拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。
拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。
因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。
拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在区间的函数,其拉氏变换定义为L[f(t)]=F(s)=式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频域。
应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。
通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。
拉普拉斯变换的基本性质本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。
一、唯一性定义在区间的时间函数与其拉氏变换存在一一对应关系。
根据可以唯一的确定其拉氏变换；反之，根据，可以唯一的确定时间函数。
唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。
唯一性的证明从略。
二、线性性质若和是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为和，和是两个任意常数，则有证根据拉氏变换的定义可得例求的拉氏变换。
解三、时域导数性质（微分性质）例应用时域导数性质求的象函数。
四、时域积分性质（积分规则）例：求单位斜坡函数及的象函数。
五、时域平移性质（延迟性质）的模型窗口。
2)将所需的模块方框图拖入模型窗口。
自动控制原理教案经典控制部分第一章控制理论一般概念3学时 (2)第二章控制系统的数学模型9学时 (6)第三章控制系统的时域分析10学时 (15)第五章频率特性12学时 (26)第六章控制系统的校正与设计8学时 (36)第七章非线性系统8学时 (40)第八章离散控制系统8学时 (45)第一章控制理论一般概念3学时1．本章的教学要求1）使学生了解控制工程研究的主要内容、控制理论的发展、控制理论在工程中的应用及控制理论的学习方法等内容，认识本学科在国民经济建设中的重要作用，从而明确学习本课程的目的。
2）使学生深入理解控制系统的基本工作原理、开环闭环和复合控制系统、闭环控制系统的基本组成等内容，学会利用所学控制原理分析控制系统。
3）使学生学会控制系统的基本分类方法，4）掌握对控制系统的基本要求。
2．本章讲授的重点本章讲授的重点是控制系统的基本概念、反馈控制原理、控制系统的的基本分类方法及对控制系统的基本要求。
3．本章的教学安排本课程讲授3个学时，复习学时3个。
演示《自动控制技术与人类进步》及《自动化的应用举例》幻灯片，加深同学对本课程研究对象和内容的了解，加深对反馈控制原理及系统参数对系统性能影响的理解。
[教案1-1]第一节概述1．教学主要内容：本讲主要介绍控制工程研究的主要内容、控制理论的发展、控制理论在工程中的应用及控制理论的学习方法等内容。
2．讲授方法及讲授重点：本讲首先介绍控制工程研究的主要内容，给出定义，并以瓦特发明的蒸汽机离心调速器为例，说明需要用控制理论解决控制系统的稳定、准确、快速等问题。
其次，在讲授控制理论的发展时，主要介绍控制理论的发展的三个主要阶段，重点说明经典控制理论、现代控制理论研究的范围、研究的手段，强调本课程重点介绍经典控制理论。
另外，在介绍控制理论在工程中的应用时，应举出控制理论在军事、数控机床、加工中心、机器人、机电一体化系统、动态测试、机械动力系统性能分析、液压系统的动态特性分析、生产过程控制等方面的应用及与后续课的关系，激发同学的学习兴趣。
第一讲 拉普拉斯变换及其应用1.1基本要求1,熟悉拉氏变换的基本法则2,熟练掌握典型函数的拉氏变换式。
3,掌握用拉氏变换求解微分方程初值问题的思路。
4,熟练掌握求有理分式函数拉氏反变换的方法 1.2.重点讲解1, 对于学习本课程而言，广义积分式(拉氏变换的定义)的收敛性以及复变量主值积分式(反变换定义式)的计算，与正确地熟练地运用拉氏变换的基本法则相比不是主要的，因为在工程计算中可以用查表的方式来完成拉氏变换和拉氏反变换的计算。
而拉氏变换的基本法则的运用则直接关系到是否真正掌握这种变换的工具。
2,拉氏变换的线性性质源自定积分的线性性质，这说明作为一种变换关系，拉氏变换是线性变换。
应当指出线性关系并非所有变换都具有的性质，例如以十为底的对数可以看成正半数轴到数轴的变换关系，但关系式g()g g l a b l a l b +≠+说明取对数的运算显然不满足线性关系。
3, 为了保证拉氏变换的一一对应关系，总假定拉氏变换的定义式中的原函数()f t 在t 时为零。
即原函数应写成0<()1()f t t ⋅,根据单位阶跃函数1(t)的定义，这里()1()f t ⋅t 为()0()1()00f t t f t t t > ⋅=<下面给出()f t 、()1()f t t ⋅、、0()1()f t t t ⋅−00()1(f t t t t )−⋅−、0(f t t )−的函数关系，以说明通常所说“将()f t 延迟t ” 的正确表示。
显然应当是图1-1中的(d) ，不是(c)或(e) 0()1()f t t ⋅0()1()f t t t ⋅−00()1()f t t t t −⋅− (d)(c)(b) (a) (e)图1-1 将()f t 延迟t基于上述认识，就能正确表达图形和用延迟定理求出某些图形的拉氏变换式。
例题1-2图1-2 波形图求图1-2中的波形的拉氏变换。
解 图1-2中的波形可以看成、()1()t t ⋅001(t t t t )−⋅−、t t 01()t 0⋅−这三个信号的代数和，读者可画出这三个信号的波形图以验证下式的正确性。
附录1. 拉普拉斯变换附录1.1 拉氏变换的定义如果有一个以时间为变量的函数()f t ，它的定义域是0t >，那么拉氏变换就是如下运算式()()st t F s f t e dt ∞=⎰ A-1式中s 为复数。
一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是 （1） 在0t <时，()0f t =；（2） 在0t ≥时的任一有限区域内，()f t 是分段连续的； （3）()st f t e dt ∞<∞⎰在实际工程中，上述条件通常是满足的。
式A-1中，()F s 成为像函数，()f t 成为原函数。
为了表述方便，通常把式A-1记作()[()]F s L f t =如果已知象函数()F s ，可用下式求出原函数1()()2c j st c j f t F s e ds j π+∞-∞=⎰ （A-2）式中c 为实数，并且大于()F s 任意奇点的实数部分，此式称为拉氏变换的反变换。
同样，为了表述方便，可以记作1()[()]f t L F s -=为了工程应用方便，常把()F s 和()f t 的对应关系编成表格，就是一般所说的拉氏变换表。
表A-1列出了最常用的几种拉氏变换关系。
一些常用函数的拉氏变换附录1.1.1 单位阶跃函数的拉氏变换这一函数的定义为 0, 0()0, 0t u t t <⎧=⎨>⎩它表示0t =时，突然作用于系统的一个不变的给定量或扰动量，如图3-1所示。
单位阶跃函数的拉氏变换为0011()[]st st F s e dt e s s∞--∞==-=⎰ 在进行这个积分时，假设s 的实部比零大，即Re[]0s >，因此lim 0st t e -→∞→附录1.1.2 单位脉冲函数的拉氏变换单位脉冲函数也是作为自动控制系统常用的标准输入量。
它是在持续时间0ε→期间内作用的矩形波，其幅值与作用时间的乘积等于1，如图3-3所示。
其数学表达式为00, 0()1lim 0 t t t t εεδεε→>>⎧⎪=⎨<<⎪⎩和 其拉氏变换为0000220[()]()lim ()11lim[]lim [1]1 lim [1()]11!2!st st s L t s t e dte e ss s s s εεεεεεεδδδεεεεε-→--→→→===⨯=-=-++=⎰L附录1.1.3 单位斜坡时间函数和抛物线时间函数的拉氏变换单位斜坡时间函数为0,0(),0t f t t t <⎧=⎨>⎩如图3-2所示，斜坡时间函数的拉氏变换为022011()[]st st st t F s te dt e e s s s∞---∞==-+=⎰。
Re[]0s > 同理单位抛物线函数为21()2f t t =其拉氏变换为31()F s s =，Re[]0s >。
附录1.1.4 正弦和余弦时间函数的拉氏变换正弦函数的拉氏变换为00()()00221[sin ]()sin ()211 22111()2 st j tj t st s j t s j tL t F s te dt e e e dt je dt e dt j j j s j s j s ωωωωωωωωωω∞∞---∞∞---+===-=-=--+=+⎰⎰⎰⎰同理求得余弦函数的拉氏变换为22[cos ]()L t F s s ωωω==+常用的拉氏变换法则（不作证明）1. 线性性质 拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性。
拉氏变换的齐次性是一个时间函数乘以常数时，其拉氏变换为该时间函数的拉氏变换乘以该常数，即(())()L af t aF s = 拉氏变换的叠加性是：若1()f t 和2()f t 的拉氏变换分别是1()F s 和2()F s ，则有1212[()()]()()L f t f t F s F s +=+2．微分定理 原函数的导数的拉氏变换为()()(0)df t L sF s f dt ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦式中 (0)f ——()f t 在0t =时的值。
同样，可得()f t 各阶导数的拉氏变换是222()()(0)'(0)d f t L s F s sf f dt ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦3323()()()'(0)''(0)d f t L s F s s f s sf f dt ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦L L L L L L L L121()()()'(0)(0)n n n n n nd f t L s F s s f s s f f dt ---⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦L L 如果上列各式中所有的初始值都为零，则各阶导数的拉氏变换为['()]()L f t sF s =2[''()]()L f t s F s = 3['''()]()L f t s F s =L L L L L L L L [()]()n n L f t s F s =图1 平移函数3．积分定理 原函数()f t 积分的拉氏变换为(())()()t f t dt F s L f t dt ss=⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰ 当初始值为零时()()F s L f t dt s⎡⎤=⎣⎦⎰ 4．时滞定理 如图A-1所示，原函数()f t 沿时间轴平移T ，平移后的函数为()f t T -。
该函数满足下述条件0t <时，()0f t = 0t T <<时，()0f t T -=则平移函数的拉氏变换为[()]()()st sT L f t T f t T e dt e F s ∞---=-=⎰这就是时滞定理。
5．初值定理 如果原函数()f t 的拉氏变换为()F s ，并且lim ()s sF s →∞存在，则时间函数()f t 的初值为lim ()lim ()t s f t sF s →→∞=表A-1 拉普拉斯变换对照表6．终值定理 如果原函数()f t 的拉氏变换为()F s ，并且()sF s 在s 平面得右半平面和虚轴上是解析的，则时间函数()f t 的稳态值可如下求得lim ()lim ()t s f t sF s →∞→=这一定理对于求暂态过程的稳态值是很有用的。
但是，当()sF s 的极点的实部为正或等于零时，不能应用终值定理。
这一点必须注意。
在下面的例题中，还要说明。
例1 应用初值定理求21()(2)F s s =+的原函数()f t 的初始值(0)f 和'(0)f 。
(1) 求()0f 。
根据初值定理()()0lim s f sF s →∞=得()()210limlim0424s s sf s s s→∞→∞===+++(2) 求()0f '。
因为()()()()()2002sL f t sF s f f s '=-=-⎡⎤⎣⎦+将已求得的()00f =带入上式得()()22sL f t s '=⎡⎤⎣⎦+根据初值定理得()()2210lim lim14421s s sf ss s s→∞→∞'===+++可以校核这一结果的正确性，由()()L F s f t -=⎡⎤⎣⎦得()2t f t te -=()200lim 0t t f te -→==()2200lim 21t tt f e te --→'⎡⎤=-=⎣⎦例2 应用终值定理求()55t f t e -=-的终值。
因 ()()51F s s s =+所以得()()()05lim lim lim51t s s f t sF s s →∞→→===+也可以按下式求()f t 的终值()lim lim(55)5t t t f t e -→∞→∞=-=例3 应用终值定理()22F s s ωω=+原函数的终值，并用()sin f t t ω=的终值进行校核。
由于()22s sF s s ωω=+有两个极点在虚轴上，所以不能应用终值定理。
如用终值定理，则得()()220lim lim lim0t s s s f t sF s s ωω→∞→→===+这个结论是错误的，因为表1A -得知原函数为()sin f t t ω=，该函数为周期性的简谐振荡函数，没有终值。
7. 卷积和定理 如果时间函数()1f t 和()2f t 都满足条件：当0t <时，()()120f t f t ==则()1f t 和()2f t 的卷积为()()()()12120tf t f t f f t d τττ*=-⎰由于卷积符合交换律，卷积也可写成()()()()21210tf t f t f f t d τττ*=-⎰()()()()1221f t f t f t f t *=*如果()1f t 和()2f t 是可以进行拉氏变换的，()()11F s L f t =⎡⎤⎣⎦，()()22F s L f t =⎡⎤⎣⎦。
那么()()12f t f t *的拉氏变换可求得如下()()()()12120tL f f t d F s F s τττ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎰ 这称为卷积定理。
根据卷积符合交换律得()()()()21210tL f f t d F s F s τττ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎰ 因此()()()()()()()()12211221L f t f t L f t f t F s F s F s F s *=*==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦8. 位移性质 如果()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦，则有()()at L e f t F s a -⎡⎤=+⎣⎦，[]Re 0s a +>附录1.2 拉普拉斯反变换求反变换的运算公式是()()12c j st c j f t F s e ds j π+∞-∞=⎰用上式求反变换显然是很复杂的，但是对与绝大多数控制系统，并不需要利用这一公式求解反变换，而是按照下面的方法求反变换。
在控制系统中，拉氏变换可以写成下列一般形式()10111011m m m mn n n nb s b s b s b F s a s a s a s b ----++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++ ()3A -一般n m >。
式3A -可以分解为诸因式之积：()()()()()()()1212m n K s z s z s z F s s p s p s p ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ()4A -式中当12, , , m s z s z s z =-=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-时，()0F s =。
因此，12, , , m z z z --⋅⋅⋅⋅⋅⋅-称为复变函数()F s 的零点。
当12, , , n s p s p s p =-=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-时，()F s =∞，因此，12, , , n p p p --⋅⋅⋅⋅⋅⋅-称为复变函数()F s 的极点。
