习题1.3 某信息源由A ，B ，C ，D 四个符号组成，这些符号分别用二进制码组00，01，10，11表示。
若每个二进制码元用宽度为5ms 的脉冲传输，试分别求出在下列条件下的平均信息速率。
（1） 这四个符号等概率出现； （2）这四个符号出现概率如习题1.2所示。
解：（1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时间为2×5ms 。
传送字母的符号速率为Bd 100105213B =⨯⨯=-R 等概时的平均信息速率为b 2004log log 2B 2B b ===R M R R（2）平均信息量为符号比特977.1516log 165316log 1634log 414log 412222=+++=H则平均信息速率为 b 7.197977.1100B b =⨯==H R R习题1.6 设一个信息源输出四进制等概率信号，其码元宽度为125 us 。
试求码元速率和信息速率。
解：B 6B 118000 Bd 125*10R T -=== 等概时，s kb M R R B b /164log *8000log 22===1.7 设一个接收机输入电路的等效电阻等于600欧姆，输入电路的带宽等于6MHz ，环境温度为23℃，试求该电路产生的热噪声电压有效值。
解：66231067.7106600)27323(1038.144--⨯≈⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==kTRB V V习题1.8 设一条无线链路采用视距传输方式通信，其收发天线的架设高度都等于80 m ，试求其最远的通信距离。
解：由28D rh =，得63849 km D =m 习题2.3 设有一信号可表示为：4exp() ,t 0(){0, t<0t X t -≥=试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：它是能量信号。
X (t )的傅立叶变换为：(1)004()()441j t t j t j tX x t e dt e e dt edt j ωωωωω+∞-+∞--+∞-+-∞====+⎰⎰⎰ 则能量谱密度 G(f)=2()X f =222416114j f ωπ=++ 注意：以后的作业都要求将ω展开为f π2。
习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件： (1)()f f πδ2cos 2+； (2)()a f a -+δ； (3)()2ex p fa -解：根据功率谱密度P (f )的性质：①P (f )0≥，非负性；②P (-f )=P (f ) ，偶函数。
可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。
习题2.6 试求X (t )=A cos t ω的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。
解：⎰-∞→+⋅=222)(cos cos 1)(limT T T dt t t A TR τωωτ ωτcos 22A = 221)0(A R P == 下面的答案有疑问，最好是用课本中的式 2.2-40（该公式是针对确知信号的），而用课本中的式2.6-3（该公式是针对随机信号的）是有疑问的。
解：R (t ，t+τ)=E [X (t )X (t+τ)] =E [[]cos *cos()E A t A t ωωτ+)](τω+t []221cos cos (2)cos ()22A A E t R ωτωτωττ=++== 功率P =R(0)=22A习题2.4 X (t )=12cos 2sin 2x t x t ππ-，它是一个随机过程，其中1x 和2x 是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为2σ。
试求：(1)E [X (t )]，E [2()X t ]；(2)X (t ) 的概率分布密度；(3)12(,)X R t t 解：(1)]2sin 2cos [)]([21t x t x E t X E ππ-= t x E t x E ππ2sin ][2cos ][21-= =0])2sin 2cos [()]([2212t x t x E t X E ππ-=]2sin 2sin 2cos 22cos [22221221t x t t x x t x E ππππ+-= t x E t x E x E t x E πππ2sin ][4sin ][][2cos ][22221221+-= )2sin 2(cos 222t t ππσ+= 2σ=(2)因为21x x 和服从高斯分布，()21x x t X 和是的线性组合，所以()t X 也服从高斯分布，其概率分布函数()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222exp 21σσπx x p 。
(3)()()()[]()[]2221121121212sin 2cos )2sin 2cos (,t x t x t x t x E t X t X E t t R X ππππ--==[]212122sin 2sin 2cos 2cos t t t t ππππσ+= ()1222cos t t -=πσ习题2.10 已知噪声()t n 的自相关函数()ττk -e 2k R n =，k 为常数。
(1)试求其功率谱密度函数()f P n 和功率P ；(2)画出()τn R 和()f P n 的曲线。
解：(1)222()()2(2)k j j n n k k P f R ed e e d k f τωτωττττπ-+∞-+∞--∞-∞===+⎰⎰()20k R P n ==(2)()n R τ和()f P n 的曲线如图2-2所示。
图2-2习题2.13 设输入信号/,0()0,0t e t x t t τ-⎧≥=⎨<⎩ ，将它加到由电阻R 和电容C 组成的高通滤波器（见图2-3）上，RC ＝。
试求其输出信号y(t)的能量谱密度。
解：高通滤波器的传输函数为 fCj R R f H π21)(+=输入信号的傅里叶变换为τπτπτf j fj f X 21211)(+=+= 输出信号y(t)的能量谱密度为222)21)(21()()()()(τππτf j fCj R R f H f X f Y f G y ++===44422242216814τπτπτπf f f ++=习题2.16 设有一个LR 低通滤波器如图2-4所示。
若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为02n的高斯白噪声时，试求(1) 输出噪声的自相关函数。
(2)输出噪声的方差。
解：(1)LR 低通滤波器的传输函数为()τn R 2k τ()f P n 1fCR图2-3RC 高通滤波器输出噪声的功率谱密度为对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为（2）输出亦是高斯过程，因此习题 3.1 设一个载波的表达式为()5cos1000c t t π=，基带调制信号的表达式为：m(t)=1+cos 200t π。
试求出振幅调制时已调信号的频谱，并画出此频谱图。
解： ()()()()()t t t c t m t s ππ1000cos 5200cos 1+==()t t t tt t ππππππ800cos 1200cos 251000cos 51000cos 200cos 51000cos 5++=+= 由傅里叶变换得()()()[]()()[]()()[]400400456006004550050025-+++-+++-++=f f f f f f f S δδδδδδ已调信号的频谱如图3-1所示。
图3-1 习题3.1图图2-4 LR 低通滤波器S(f)2545习题3.4 试证明：若用一基带余弦波去调幅，则调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波功率的一半。
证明：设基带调制信号为'()m t ，载波为c (t )=A 0cos t ω，则经调幅后，有'0()1()cos AM s t m t A t ω⎡⎤=+⎣⎦已调信号的功率 22'220()1()cos AM AMP s t m t A t ω⎡⎤==+⎣⎦=22'222'22000cos ()cos 2()cos A t m t A t m t A t ωωω++因为调制信号为余弦波且其振幅小于等于1，设调制信号振幅为A m 且1≤m A ，故0)('=t m , 212)('22≤=m A t m则：载波功率为 2220cos 2c A P A t ω==边带功率为 44cos )('2220222A A A t A t m P m s ≤==ω 因此12s c P P ≤。
即调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波功率的一半。
习题3.8设角度调制信号的表达式为63()10cos(2*1010cos 2*10)s t t t ππ=+。
试求：（1）已调信号的最大频移；（2）已调信号的最大相移；（3）已调信号的带宽。
解：（1）已调信号的瞬时相位为t t t ππϕ2000cos 10102)(6+⨯=瞬时角频率为t dtt d t i πππϕω2000sin 200010102)()(6⨯-⨯==故最大频移 200010*10 kHZ2f ππ∆== kHz （2）已调信号的瞬时相位为t t t ππϕ2000cos 10102)(6+⨯=故已调信号的最大相移10=∆ϕ rad（3）因为调制指数11010101033>>=⨯=∆=m f f f m所以已调信号带宽22)101010(2)(233=+⨯⨯=+∆≈m f f B kHz习题4.2 若语音信号的带宽在300～3400Hz 之间，试按照奈奎斯特准则计算理论上信号不失真的最小抽样频率。
解：由题意，H f =3400Hz ,L f =300Hz ,故语音信号的带宽为 B =3400-300=3100HzH f =3400Hz =13100⨯+331⨯3100=kB nB +即n =1,k =331。
根据带通信号的抽样定理，理论上信号不失真的最小抽样频率为s f =)1(2n kB +=2⨯3100⨯（1+331）=6800Hz习题4.3 若信号()sin(314)s t t t =。
试问：（1） 最小抽样频率为多少才能保证其无失真地恢复？ （2） 在用最小抽样频率对其抽样时，为保存3min 的抽样，需要保存多少个抽样值？(a) (b)图4-1 习题4.3图解：()sin(314)s t t t =，其对应的傅里叶变换为()S ω=⎩⎨⎧≤其他,0314,314ωπ信号()s t 和对应的频谱()S ω如图4-1所示。
所以Hz 5023142H H ===ππωf根据低通信号的抽样定理，最小频率为Hz 1005022H s =⨯==f f ，即每秒采100个抽样点，所以3min 共有：100⨯3⨯60=18000个抽样值。
