第2章线性规划的对偶问题
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第二章线性规划的对偶问题习题2.1写出下列线性规划问题的对偶问题(1)maxz=10x1+x2+2x3(2)maxz=2x1+x2+3x3+x4st.x1+x2+2x3≤10st.x1+x2+x3+x4≤54x1+x2+x3≤202x1-x2+3x3=-4x j ≥0(j=1,2,3)x1-x3+x4≥1xj≥0(j=1,2,3,4)其对偶问题的最优解y1*=4;y2*=1,试根据对偶问题的性质,求出原问题的最优解。
2.5考虑线性规划问题maxz=2x1+4x2+3x3st.3x1+4x2+2x3≤602x1+x2+2x3≤40x 1+3x2+2x3≤80xj≥0(j=1,2,3)(1)写出其对偶问题(2)用单纯形法求解原问题,列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解;仅供个人学习参考(3)用对偶单纯形法求解其对偶问题,并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解;(4)比较(2)和(3)计算结果。
2.6已知线性规划问题maxz=10x1+5x2st.3x1+4x2≤95x1+2x2≤8xj≥0(j=1,2)(1)给出a,b,c,d,e,f,g的值或表达式;(2)指出原问题是求目标函数的最大值还是最小值;(3)用a+?a,b+?b分别代替a和b,仍然保持上表是最优单纯形表,求?a,?b满足的范围。
仅供个人学习参考仅供个人学习参考2.9某文教用品厂用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产品。
该厂现有工人100人,每月白坯纸供应量为30000千克。
已知工人的劳动生产率为:每人每月可生产原稿纸30捆,或日记本30打,或练习本30箱。
已知原材料消耗为:每捆原稿纸用白坯纸310千克,每打日记本用白坯纸340千克,每箱练习本用白坯纸380千克。
又知每生产一捆原稿纸可获利2元,生产一打日记本获利3元,生产一箱练习本获利1元。
试确定:(1)现有生产条件下获利最大的方案;(2)如白坯纸的供应数量不变,当工人数不足时可招收临时工,临时工工资支出为每人每月40元,则该厂要不要招收临时工?如要的话,招多少临时工最合适?2.10某厂生产甲、乙两种产品,需要A 、B 两种原料,生产消耗等参数如下表(表中2.12试从经济上解释对偶问题及对偶变量的含义。
习题二2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题(1) max z =10x1+x2+2x3(2) max z =2x1+x2+3x3+x4st. x1+x2+2 x3≤10 st. x1+x2+x3 +x4≤54x1+x2+x3≤20 2x1-x2+3x3=-4x j≥0 (j=1,2,3)x1-x3+x4≥1x1,x3≥0,x2,x4无约束(3) min z =3x1+2 x2-3x3+4x4(4) min z =-5 x1-6x2-7x3st. x1-2x2+3x3+4x4≤3 st. -x1+5x2-3x3≥15x2+3x3+4x4≥-5 -5x1-6x2+10x3≤202x1-3x2-7x3 -4x4=2=x1-x2-x3=-5 x1≥0,x4≤0,x2,,x3无约束x1≤0,x2≥0,x3无约束2.2 已知线性规划问题max z=CX,AX=b,X≥0。
分别说明发生下列情况时,其对偶问题的解的变化:(1)问题的第k个约束条件乘上常数λ(λ≠0);(2)将第k个约束条件乘上常数λ(λ≠0)后加到第r个约束条件上;(3)目标函数改变为max z=λCX(λ≠0);'x代换。
(4)模型中全部x1用312.3 已知线性规划问题min z=8x1+6x2+3x3+6x4st. x1+2x2+x4≥33x1+x2+x3+x4≥6x3 +x4=2x1 +x3 ≥2x j≥0(j=1,2,3,4)(1) 写出其对偶问题;(2) 已知原问题最优解为x*=(1,1,2,0),试根据对偶理论,直接求出对偶问题的最优解。
2.4 已知线性规划问题min z=2x1+x2+5x3+6x4 对偶变量st. 2x1 +x3+x4≤8 y12x1+2x2+x3+2x4≤12 y2x j≥0(j=1,2,3,4)对偶问题的最优解y1*=4;y2*=1,试对偶问题的性质,求出原问题的最优解。
2.5 考虑线性规划问题max z=2x1+4x2+3x3st. 3x1+4 x2+2x3≤602x1+x2+2x3≤40x1+3x2+2x3≤80x j≥0 (j=1,2,3)4748(1)写出其对偶问题(2)用单纯形法求解原问题,列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解;(3)用对偶单纯形法求解其对偶问题,并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解;(4)比较(2)和(3)计算结果。
2.1 写出线性规划问题的对偶问题,并进一步写出其对偶问题的对偶问题(a) min z=2x1+2x2+4x3(b) max z=5x1+6x2+3x3s.t. x1+3x2+4x3≥2 s.t. x1+2x2+2x3=52x1+x2+3x3≤3 -x1+5x2-3x3≥3x1+4x2+3x3=5 4x1+7x2+3x3≤8x1, x2≥0, x3无约束x1无约束,x2≥0, x3≤0解:(a)对偶问题的原问题为max w=2y1+3y2+5y3s.t. y1+2y2+y3≤23y1+y2+4y3≤24y1+3y2+3y3=4y1≥0, y2≤0, y3无约束(b)原问题的对偶问题为min w=5y1+3y2+8y3s.t. y1-y2+4y3=52y1+5y2+7y3≥62y1-3y2+3y3≤3y1无约束, y2≤0, y3≥02.3 已知线性规划问题:max z=x1+x2s.t. -x1+ x2+ x3 ≤2-2x1+x2- x3 ≤1x1, x2, x3≥0试应用对偶理论证明上述线性规划问题最优解为无界。
解:原问题的对偶问题为min w=2y1+ y2s.t. -y1- 2y2 ≥12y1+ 5y2 ≥1y1- y2 ≥0y1, y2≥0由于约束条件3可得y1-y2 ≥0 →y1≥y2 →-y1≤-y2 且y2≥0所以-y1-2y2 ≤-3y2≤0 (1)由于约束条件1可得-y1- 2y2 ≥1 (2)(1)(2)不等式组无解所以其对偶问题无可行解,又知点X=(1,1,1)为原问题一个可行解,即原问题有可行解, 现在其对偶问题无可行解。
根据对偶理论性质3原问题无界.2.4 已知线性规划问题:max z=2x 1+4x 2+ x 3+x 4 s.t. x 1+ 3x 2 +x 4 ≤8 2x 1+ x 2 ≤6 x 2+ x 3 +x 4 ≤6 x 1+ x 2+ x 3 ≤9 x j ≥0 (j=1,…4)要求(a)写出其对偶问题;(b)已知原问题最优解X=(2,2,4,0),试根据对偶理论,直接求出对偶问题的最优解. 解:对偶问题: min w=8y 1+ 6y 2+6y 3+9 y 4 s.t. y 1+ 2y 2 +y 4 ≥2 3y 1+ y 2 + y 3 +y 4 ≥4 y 3+ y 4 ≥1 y 1 +y 3 ≥1 y 1, y 2,y 3, y 4≥0将最优解X=(2,2,4,0)代入原问题的约束条件得: x 1+ 3x 2 +x 4 =8 2x 1+ x 2 =6 x 2+ x 3 +x 4 =6 x 1+ x 2+ x 3 =8<9根据对偶理论性质5, 如果∑=<ni i j ij b xa 1ˆ,则0ˆ=i y 。