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线性规划对偶问题线性规划是一种优化问题的数学建模方法，在实际生产和管理中广泛应用。
线性规划问题通常包括最大化或最小化一个线性目标函数的约束条件下的一组线性不等式或等式。
对于一个线性规划问题，其对偶问题是通过对原问题的目标函数和约束条件进行变换而得到的。
对偶问题有助于理解原问题的特性，并提供关于原问题的附加信息。
具体来说，对于一个原问题：最小化 C^T * X约束条件 A * X >= bX >= 0其中，C是目标函数的系数矩阵，X是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右侧向量。
对于原问题的对偶问题，其形式为：最大化 b^T * Y约束条件 A^T * Y <= CY >= 0其中，Y是对偶变量向量。
对偶问题的最优解被称为对偶可行解，对偶问题的最优解与原问题的最优解之间存在弱对偶性和强对偶性。
弱对偶性指的是对于原问题的任意可行解X和对偶问题的任意可行解Y，有C^T * X >= b^T * Y。
这意味着对于原问题的任意最优解X*和对偶问题的任意最优解Y*，有C^T * X* >=b^T * Y*。
强对偶性指的是如果原问题和对偶问题的任意一个都有有界解，那么它们必然存在一对最优解，使得C^T * X* = b^T * Y*。
对偶问题的解决可以通过使用单纯形法或内点法等优化算法来进行求解。
对偶问题对线性规划问题的求解具有重要的应用价值和理论意义。
它可以用于确定原问题的可行解的界限，还可以提供原问题的敏感性分析和稳定性分析。
总之，线性规划的对偶问题是通过对原问题的目标函数和约束条件进行变换而得到的，对偶问题为理解原问题的特性和提供附加信息提供了一种有力的工具。
线性规划的对偶原理3。
1 线性规划的对偶问题一、 对偶问题的提出换位思考家具厂的线性规划问题,该问题站在家具厂管理者的角度追求销售收入最大213050m ax x x z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,50212034212121x x x x x x某企业家有一批待加工的订单，有意利用该家具厂的木工和油漆工资源来加工他的产品。
他 需要与家具厂谈判付给该厂每个工时的价格。
如果该企业家已对家具厂的经营情况有详细了 解，他可以构造一个数学模型来研究如何才能既让家具厂觉得有利可图,肯把资源出租给他, 又使自己付的租金最少.目标：租金最少；1y —付给木工工时的租金；2y -付给油漆工工时的租金2150120m in y y w +=所付租金应不低于家具厂利用这些资源所能得到的利益1）支付相当于生产一个桌子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个桌子的收入 502421≥+y y2）支付相当于生产一个椅子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个椅子的收入 30321≥+y y3）付给每种工时的租金应不小于零 0,021≥≥y y二、 原问题与对偶问题的数学模型1. 对称形式的对偶原问题和对偶问题只含有不等式约束时，一对对偶问题的模型是对称的，称为对称形式的对偶。
原问题:⎪⎩⎪⎨⎧≥≥=0min X b AX CX z对偶问题:⎪⎩⎪⎨⎧≥≤=0max Y C YA Yb w2. 非对称形式的对偶若原问题的约束条件全部是等式约束（即线性规划的标准型）,即⎪⎩⎪⎨⎧≥==0min X b AX CX z则其对偶问题的数学模型为⎪⎩⎪⎨⎧≤=是自由变量Y C YA Yb w max可把原问题写成其等价的对称形式:min z =CX AX ≥b AX ≤b X ≥0即 min z =CX⎥⎦⎤⎢⎣⎡-A A X ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b bX ≥0设Y 1=(y 1,y 2,…,y m ）， Y 2=（y m+1，y m+2，…,y 2m ）。
