201X版七年级数学上册 第三章 勾股定理单元练习五 鲁教版五四制

章节测试题1.【答题】设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，已知b=12，c=13，则a＝（）A. 1B. 5C. 10D. 25【答案】B【分析】【解答】2.【答题】在△ABC中，已知下列条件：①∠B=∠C-∠A；②a2＝（b+c）（b-c）；③∠A：∠B：∠C=3：4：5；④a：b：c=5：4：3；⑤a2：b2：c2=1：2：3．其中能判断△ABC为直角三角形的条件有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C【分析】【解答】3.【答题】如图，网格中小正方形的边长为1，点A，B为网格线的交点，则AB的长为（）A. 3B. 5C. 7D. 12【分析】【解答】4.【答题】如图①，分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为S1，S2，S3；如图②，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别为S1，S2，S3；如图③，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别为S1，S2，S3，其中满足S1＝S2+S3的是（）A. ①B. ②C. ①②D. ①②③【答案】D【分析】【解答】5.【答题】如图，一只蚂蚁从长为2cm、宽为2cm、高是3cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A. 3cmB. 2cmC. 5cmD. 7cm【分析】【解答】6.【答题】我国古代算书《九章算术》中第九章第六题是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？你读懂题意了吗？请回答水深几尺，葭长几尺．根据题意，可设水深OB=x尺，则葭长OA′＝（x+1）尺．下列方程正确的是（）A. x2+52＝（x+1）2B. x2+52＝（x-1）2C. x2+（x+1）2=102D. x2+（x-1）2＝52【答案】A【分析】【解答】7.【答题】底边长为10cm、底边上的高为12cm的等腰三角形的腰长为（）A. 12cmB. 13cmC. 8cmD. 9cm【答案】B【分析】8.【答题】已知a，b，c是三角形的三边长，如果a，b，c满足（a-b）2+（b-8）2+|c-10|=0，那么三角形的形状是（）A. 底与边不相等的等腰三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形【答案】D【分析】【解答】9.【答题】《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长．如果设AC=x，则可列方程为______．【答案】x2+32=（10-x）2【分析】10.【答题】小明将四个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理．小明在证明过程中用两种方法表示五边形的面积，分别记为S1＝______，S2＝______．【答案】c2+ab,【分析】【解答】11.【答题】我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里、12里、13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里＝0.5km，则该沙田的面积为______km2．【答案】7.5【分析】【解答】12.【答题】已知一个三角形的三边之比为5：12：13，它的周长为60，则它的面积是______．【答案】120【分析】【解答】13.【题文】（10分）为整治城市街道汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行流动测速．如图，一辆小汽车在该城市街道上向西直行，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A 正北方向60m的C处，过了4s后，小汽车到达离车速检测仪A100m的B处．已知该段城市街道的限速为60km/h，请问这辆小汽车是否超速？【答案】【分析】【解答】超速．理由如下：在Rt△ABC中，AC=60m，AB=100m．由勾股定理可得BC2=AB2-AC2=1002-602=802．∴BC=80m，∴汽车速度为80÷4=20m/s=72km/h．∵72＞60，∴这辆小汽车超速了．14.【题文】（12分）在一平直河岸l的同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离AM，BN 分别是5km，3km，且MN为6km．现计划在河岸上建一座抽水站P，用输水管向两个村庄A，B供水，求水管长度最少为多少．【答案】【分析】【解答】如图，延长AM到A'，使MA'=AM，连接A'B交l于P，过A'作A'C垂直于BN的延长线于点C．∴AM⊥l，∴PA=PA'．∵A'M⊥l，CN⊥l，A'C⊥BC，∴四边形MA'CN是长方形，∴CN=A'M=5km，A'C=MN=6km．∴BC=3+5=8（km）．∵A'C2+BC2=A'B2．∴A'B=10．∴AP+BP=A'P+PB=A'B=10km．答：水管长度最少为10km．15.【题文】（12分）某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，那么能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案】【分析】【解答】根据题意得PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里）．∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°．由“远洋号”沿东北方向航行可知∠QPS=45°，则∠SPR=45°，即“海天”号沿西北方向航行．16.【题文】（14分）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC．由于某种原因，由C到A的路现在已经不通．为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB=3km，CH=2.4km，HB=1.8km．（1）CH是否为从村庄C到河边的最近路（即CH与AB是否垂直）？请通过计算加以说明．（2）求原来的路线AC的长．【答案】【分析】【解答】（1）是．理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2=（2.4）2+（1.8）2=9．BC2=9．∴CH2+BH2=BC2．∴CH⊥AB，∴CH是从村庄C到河边的最近路．（2）设AC=x km．在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-1.8，CH=2.4．由勾股定理得AC2=AH2+CH2，∴x2=（x-1.8）2+（2.4）2．解这个方程，得x=2.5，答：原来的路线AC的长为2.5 km．17.【答题】下列四组数中不是勾股数的一组是（）A. a=15，b=8，c=17B. a=9，b=12，c=15C. a=7，b=24，c=25D. a=3，b＝5，c=7【答案】D【分析】【解答】18.【答题】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．将矩形沿AC折叠，点D落在点E 处，且CE与AB交于F，那么△ACF的面积为（）A. 12B. 15C. 6D. 10【答案】D【分析】【解答】19.【答题】已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2＝a4-b4，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【分析】【解答】20.【答题】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【分析】【解答】。

章节测试题1.【答题】已知下列几组数：①6，8，10；②7，24，25；③9，12，15；④n2-1，2n，n2+1（n是大于1的整数）．其中是勾股数的有（）A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组【答案】D【分析】【解答】2.【答题】有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，25，24．现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】【解答】3.【答题】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列说法中错误的是（）A. 如果∠C-∠B=∠A，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°B. 如果c2=a2-b2，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°C. 如果（c+a）（c-a）＝b2，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°D. 如果∠A：∠B：∠C=3：2：5，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°【答案】B【分析】【解答】4.【题文】例1 如图，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm．（1）求证：CD⊥AB；（2）求该三角形的腰的长度．【答案】见解答.【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．（1）依据勾股定理的逆定理可得到∠BDC=90°，从而得到CD⊥AB．（2）设腰长为x，则AD＝x-12．由（1）可知AD2+CD2=AC2，解方程（x-12）2+162＝x2，即可得到腰长．【解答】（1）∵BC=20cm，CD=16cm，BD=12cm，∴BD2+CD2＝BC2．根据勾股定理的逆定理可知∠BDC=90°，即CD⊥AB．（2）设腰长为x，则AD＝x-12．由（1）可知AD2+CD2=AC2，即（x-12）2+162=x2，解得．∴腰长为cm．5.【题文】例2 如图，△ABC中，D是BC上的一点，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．【答案】84.【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．【解答】∵BD2+AD2=62+82＝102=AB2，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC．在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=172-82=152，∴CD=15，∴．因此△ABC的面积为84．6.【答题】若△ABC的三边长分别为5，12，13，则△ABC的面积是（）A. 30B. 40C. 50D. 60【答案】A【分析】【解答】7.【答题】某住宅小区有一块草坪，形状如图所示．已知AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，且AB⊥BC，则这块草坪的面积是（）A. 24m2B. 36m2C. 48m2D. 72m2【答案】B【分析】【解答】8.【答题】下列四组数中，不是勾股数的是（）A. a=15，b=8，c=17B. a=9，b=12，c=15C. a＝7，b=24，c=25D. a=3，b=5，c=7【答案】D【分析】【解答】9.【答题】如图，已知∠ADC=90°，AD=8m，CD=6m，BC=24m，AB=26m，则图中阴影部分的面积为______m2．【答案】96【分析】【解答】10.【答题】已知△ABC中∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b和c．下面给出了五组条件：①∠A：∠B：∠C=1：2：3；②a：b：c=3：4：5；③2∠A＝∠B+∠C；④a2-b2=c2；⑤a=6，b=8，c＝13．其中能独立判定△ABC是直角三角形的是______．（请写出所有正确的序号）【答案】①②④【分析】【解答】11.【题文】如图，在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=15，求BC边上的高AD．【答案】【分析】【解答】∵AB2+AC2=225=BC2，∴△ABC是直角三角形．∴AB×AC=BC×AD，∴AD=7.2．12.【题文】如图，在△ABC中，AB=17cm，AC=8cm，BC=15cm．将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合．（1）证明：△ABC是直角三角形；（2）求△AEB的面积．【答案】【分析】【解答】（1）∵AC2+BC2=82+152=289，AB2=289．∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形．（2）由翻折的性质可知EC=DE，AC=AD=8cm，∠ADE=∠C=∠BDE=90°．设EC=DE=x cm，在Rt△BDE中，∵DE2+BD2=BE2，∴x2+92=（15-x）2，解得．∴，∴．13.【题文】如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，AF⊥BC于点F．（1）若∠BAC=90°，求AE的长；（2）若DF=1.4，求证：△ABC为直角三角形．【答案】【分析】【解答】（1）如图，连接CE．设AE=x，∵AB=8．∴BE=8-x．∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE=8-x．∵∠BAC=90°，AC=6．∴x2+62=（8-x）2，∴，即．（2）证明：设BD=y，则CD=y．∵DF=1.4，∴BF=y+1.4，CF=y-1.4．∵AF⊥BC，∴AB2-BF2=AC2-CF2=AF2．∴82-（y+1.4）2=62-（y-1.4）2，∴y=5，∴BC=10．∵62+82=102．∴△ABC为直角三角形．14.【题文】如图，在△ABC中，D是BC的中点，点M，N分别在AB，AC上，且∠MDN＝90°，延长MD到点E，使MD=DE，连接CE，EN，已知BM2+CN2＝DM2+DN2．（1）求证：MN=EN；（2）求证：△ABC为直角三角形．【答案】【分析】【解答】（1）∵MD=DE，∠MDN=90°，∴ND垂直平分ME，∴MN=NE（2）∵D是BC的中点，∴BD=CD．在△BDM和△CDE中，∴△BDM≌△CDE，∴BM=CE，∠B=∠DCE．∵BM2+CN2=DM2+DN2，DM2+DN2=MN2=NE2，∴CE2+CN2=EN2，∴∠NCE=90°．∴∠B+∠ACB=∠ACB+∠BCE=90°．∴∠A=90°，∴△ABC为直角三角形．15.【答题】如果三角形的三边长a，b，c满足______，那么这个三角形是直角三角形．其中，边长为______的边所对的角是直角．【答案】【解答】16.【答题】满足a2+b2=c2的三个正整数，称为______数．请在下面的横线上任意写出四组勾股数：______．【答案】【分析】【解答】17.【答题】下列条件中，不能判断一个三角形为直角三角形的是（）A. 三个角的比是1：2：3B. 三条边满足关系a2=c2-b2C. 三条边的比是2：3：4D. 三个角满足关系∠B+∠C=∠A【答案】C【分析】【解答】18.【答题】三角形的两边长为5和4，要使它成为直角三角形，则第三边长的平方为______．【答案】9或41【分析】19.【答题】小白兔每跳一次为1m，先沿直线跳12次后左拐，再沿直线向前跳5次后左拐，最后沿直线向前跳13次正好回到原来的地方，则小白兔第一次左拐的角度是______．【答案】90°【分析】【解答】20.【题文】如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识判断△ABC是什么形状，并说明理由．【答案】【分析】【解答】如图，在Rt△ABF中，AB2=33+22=13．在Rt△AEC中，AC2=82+12=65．在Rt△BDC中，BC2=62+4=52，所以AB2+BC2=AC2，所以△ABC是直角三角形．。

2019-2020 年七年级数学上册 第三章《勾股定理》单元综合测试卷鲁教版五四制一、选择题（每题4 分，共 40 分）BC21、在△ ABC 中，∠ C=90°， BC=2， AB = 3 ，则边 AC 的长是（）A 、 5B 、 3 C、 34D、 132、如图 1，小正方形边长为 1，连结小正方形的三个极点， 可得△ ABC ，则 AC 边上的高是（） ABCCBA图 2图 13 25 53 54 5A 、 2B 、10 C 、5 D 、 53、假如△ ABC 中，∠ A ：∠ B ：∠ C=1： 2： 3，那么这个三角形是（）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、等腰三角形4、把直角三角形两直角边同时扩大到本来的3 倍，则斜边扩大到本来的（ ）A 、 2 倍B、 3 倍C、 4 倍D、 5 倍5、对于随意两个正整数m 、n （ m ＞ n ），以下各组三个数为勾股数的一组是（）22B2222A 、 m+mn ， m － 1， 2mn 、 m －n ， 2mn ，m+nC 、 m+n ， m － n ，2mnD、 n 2－ 1，n 2 +mn ， 2mn6、如图 2，正方形网格中的△ ABC ，若小方格边长为1，则△ ABC 是（）A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形D、以上答案都不对北A东图 3南12 海7、如图 3，一轮船以 16 海里 / 小时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以里 / 小时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行， 则走开港口 2h 后，两船相距 （）A、 25 海里B、30海里C、35海里D、40海里8、以下表达中，正确的选项是（）A、直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方B、假如一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形C、△ ABC中，∠ A、∠ B、∠C 的对边分别为a、 b、c，若 a2+b2=c2，则∠ A=90°D、假如△ ABC是直角三角形，且∠ C=90°，那么c2=b2－ a29、 CD是 Rt△ABC斜边 AB上的高，若 AB=2， AC： BC=3：1，则 CD为（）1 2 3 4A、5 B 、5 C 、5 D 、510、如图4，矩形 ABCG（AB＜ BC）与矩形 CDEF全等，点 B、 C、D 在同向来线上，∠ APE 的极点在线段 BD上挪动，使∠ APE 为直角的点 P 的个数是（）A、 0 B 、 1 C 、 2 D 、 3F E AB′A G MBPC D图 4 B C A’二、填空题（每题 3 分，共30 分）图 511、如图5，将 Rt△ABC绕点 C 按顺时针方向旋转90°到△ A′B′C的地点，次开发已知斜边 AB=10cm，BC=6cm，设 A′B′的中点是M，连结 AM，则 AM= cm ．12、如图6，直线 l 过正方形 ABCD的极点 B，点 A、 C到直线 l 的距离分别是 1 和 2，则正方形的边长是． ADC E M FA2 B DC 图 71lB 图 622互为相反数，则以 x、y、z 为三边的三角形为三13、已知 |x － 12|+（ y－ 13）和 z － 10z+25角形（填锐角、直角、钝角）14、如图 7，△ ABC中， CE均分∠ ACB， CF 均分∠ ACD，且EF∥BC 交 AC于 M，若 EF=5，则2 2．CE+CF=15、在△ ABC 中，若 AB=5cm， BC=6cm， BC边上的中线 AD=4cm，则∠ ADC的度数是．16、直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为．17、某人要登上6m高的建筑物，为保证安全，梯子底端要走开建筑物 2.5m ，且顶端不低于建筑物顶部，则梯子长应许多于m．18、若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长 20cm，则斜边上的高为．19、如图 8，在△ ABC中，∠B=90°，D 是斜边 AC的垂直均分线与BC的交点，连结 AD，∠DAC：∠DAB=2： 5，则∠ DAC= ．AAD EBBDC图 9 图 8C20、如图9，在四边形 ABCD中， AB：BC： CD：DA=2： 2：3： 1，且∠ ABC=90°，则∠DAB的度数是．三、解答题（每题7 分，共 28 分）21、如图10，在 4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段 AB和 CD分别是图中 1×3的两个矩形的对角线，明显AB∥CD，请你用近似的方法画出过点 E 且垂直于 AB的直线，并证明．FC EADG B图1022、台球是一项文雅的体育运动，此中包括了很多物理、几何学知识，图 11－①是一个台球桌，目标球 F 与本球之间有一个 G 球阻拦．y○（○○ （ ○ABABE ·E ···GG··FFD ○○xD○ ）○）CC图 11-①图 11-②（ 1）击球者想经过击打 E 球，让 E 球先撞球台的 AB 边，经过一次反弹后再撞击 F 球，他应将 E 球打到 AB 边上的哪一点？请在图 10－①顶用尺规作出这一点 H ，并作出 E 球的运转路线；（不写画法，保存作图印迹）（ 2）如图 11－②， 现以 D 为原点， 成立直角坐标系，记 A （ 0，4），C （ 8，0），E （ 4，3），F （ 7， 1），求 E 球按方才方式运转到球的路线长度（忽视球的大小）23、如图 12，已知在△ ABC 中，AD 、AE 分别是 BC 边上的高和中线，AB=9cm ，AC=7cm ，BC=8m ，求 DE 的长．ABCE D图 1224、如图 13 所示的一块地ABCD ，已知 AD=4m ， CD=3m ，∠ ADC=90°， AB=13m ，BC=12m ，，求C这块地的面积．四、综合应用题（每题11 分，共 22 分）25、察看以下勾股数：3，4， 5； 5， 12， 13； 7， 24， 25； 9， 40， 41；， a， b， c依据你发现的规律，请写出（1）当 a=19 时，求 b、 c 的值．（2）当 a=2n+1 时，求 b、 c 的值．（3）用（ 2）的结论判断 15，111， 112 能否为一组勾股数，并说明原因．26、如图 14，南北向 MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9 时 50分，我国反走私 A 艇发现正东方有一走私艇以13 海里 / 时的速度偷偷向我领海开来，便立刻通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇 B 亲密注意．反走私艇 A 和走私艇 C 的距离是13 海里， A、 B 两艇的距离是 5 海里；反走私艇 B 测得距离 C 艇 12 海里，若走私艇 C 的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？MACEBN第一章《勾股定理》单元测试卷1（基础卷）参照答案一、选择题1～ 10 ACBBB ADBCC图 14提示： 2、如图 1， AC=AB= 22 12 = 5 ， BC= 1212 = 2 ，作 AD ⊥BC 于 D ，则 BD=DC ，AAD= 5 (2 )2= 3 221 1C设 AC 边上的高为 h ，则 2 AC ·h= 2 BC ·ADBC AD 23 3 5Dh==2=AC5 5B5、可代 m=2， n=1，查验图 12222 2226、 AC=3 +2 =13 AB =6 +4 =5222222∴△ ABC 为直角三角形BC=8 +1 =65 ∵AC +AB=BC29、设 AC=3x ， BC=x ，则 9x 2 +x 2=4 x 2= 5ACBC 3xx3x 232 3由 CD ·AB=AC ·BC ，得 CD= AB =2 = 2 = 2 · 5 = 5 10、如图 2，作 EH ∥BD ，BH ∥BD 交于 H ，设 AB=a ， DE=bH F EAGbaBPc C D图 2若 P 在 BC 上，且∠ APE 为直角，有2222222AP+PE=AE =（ a+b ） +（ b － a ） =2（ a +b ）（ 1）又 AP 2+PE 2=a 2+（ b － PC ） 2+b 2+（ a+PC ） 2=2（ a 2+b 2）+2P （ a+PC ）－ 2bpc（ 2）当 a+PC=b 时，（1）、（ 2）两式相等，此时，∠ APE 为直角当 P 在 C 时也合适，应选 C ．二、填空题11～ 20415 直角25 90 °24 20 9.6cm 20°135°提示： 11、如题图，过M 作MN ∥BA ′，因为M 为A ′B ′的中点，因此N 为B ′C 的中点在 Rt △ACB 中，由AB=10， BC=6得 AC=8∴∠ A ′=8B′C=6∴B′N=NC=3 AB′=AC－B′C=8－6=21∴AN=2+3=5 MN= 2 CA′=42∴AM= 41在 Rt△ANM中， AM=25+16=4112、如题图，易证含边长为 1 和 2 的两个直角三角形全等∴正方形边长= 1 22= 513、由题意知，|x －12|+ （ y－ 13）2=0，z2－ 10z+25=0∴x=12， y=13，z=5，∵ 122+52=132∴为直角△14、证∠ ECF=90°20、连结 AC，在△ ABC 中，∵∠ ABC=90°， AB=BC=2DA，222 2∴∠ BAC=45° AC=AB +BC=8DA在△ ACD中，∵ AC2=8DA2， CD=3DA2 2 2∴AC +DA=CD∴∠ CAD=90°∴∠ DAB=∠CAD+∠BAC=135°三、解答题21、解：直线AE 为所画的直线如图 4CFEAD 图 4G证明：连B接 BE，由网格的特点，得∠ F=∠G=∠BCE=90°由勾股定理，得AE2=10，AB2=10， BE2=2022 2∴AE +AB=BE∴∠ BAE=90°，即EA⊥AB22、解：（1）画出正确的图形．如图3（可作点 3 对于直线AB 的对称点E1，连结E1 F、 E1F与 AB 交于点 H ，球 E 的运动路线就是EH →HF ）yE 1 HA ○（○B·E ·NG ·FD ○）○ xC图 3（ 2）过 F 作 AB 的平行线，交 E 1E 的延伸线于点 N ，由题意可知， 111E 1 N 2NF2E N=4， FN=3，在 Rt △FNE 中， E F==5因为是点 E 1 是点 E 直线 AB 的对称点，因此 EH=E 1H ，因此 EH+HF=E 1F=5 因此 E 球运转到 F 球的路线长度为 522222223、解：在 Rt △ ABC 中， AD=AB － BD ，即 AD=9 －（ 4+DE ）222 2 2 －（ 4－ DE ）2在 Rt △ADC 中， AD=AC － DC 即 AD=7∴ 81－（ 4+DE ）2=49－（ 4－ DE ） 2∴（ 4+DE ） 2－（ 4－ DE ） 2=32 8 ·2DE=32 DE=224、解：连结 AC∵△ ADC 为直角三角形∴由勾股定理，得AC 2=32+42=52222222又 AC+BC=5 +12 =13 =AB ∴△ ACB 为直角三角形112∴S 四边形 ABCD =S △ACB － S △ACD = 2 ×12×5－ 2 ×3×4=24（ m ）25、解：（1） b=180， c=181（ 2）经过察看知222222b － a=1，又（ 2n+1） +a =b ∴b－ a =（ 2n+1）（ b+a ）（ b － a ）=（ 2n+1） 2 ∴b+a=（ 2n+1）2(2 n 1) 21(2 n 1) 21∴b=2， a=2(2 n 1) 21( 2n 1)2 1=2n （n+1） +1 为一组勾股数，（ 3）由（ 2）知， 2n+1，2=2n （ n+1），2当 n=7 时， 2n+1=15， 112－ 111=1，但 2n （ n+1）=2×7×8=112≠111，∴ 15， 111，112不是一组勾股数26、解：设MN与 AC订交于 E，则∠ BEC=90°∵AB2+132=52+122=132=AC2∴△ ABC为直角三角形，∠ ABC=90°因为 MN⊥CE，因此走私艇 C 进入我领海的最的距离是CE CE 2 BE 2 144 ①1AB BC 1AC BE②2 2 SABC144 解得 CE= 1314413÷13= 144169≈0.85 （ h） =51（ min）9 时 50 分 +51 分=10 时 41 分即走私艇 C 最早在 10 时 41 分进入我领海．。

章节测试题1.【答题】如图，在中，，平分，，，那么的长是______．【答案】【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理求出AB，然后过点D作DE⊥AB，证明Rt△ACD≌Rt△AED，求出AC=AE=9cm，得到BE=6cm，设DE=CD=x，则BD=12-x，在Rt△BED中，利用勾股定理构造方程求出CD即可解决问题．【解答】解：∵，，，∴，过点D作DE⊥AB，∵，平分，∴DE=CD，又∵AD=AD，∠AED=∠ACD=90°，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE=9cm，∴BE=15-9=6cm，设DE=CD=x，则BD=12-x，在Rt△BED中，∵BE2+DE2=BD2，∴，解得：，即，∴，故答案为：．2.【答题】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠BCD＝60°，若BD＝3cm，则AD＝______cm．【答案】1【分析】本题考查了勾股定理．根据含30°的直角三角形的性质及勾股定理解答即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∠BCD＝60°，BD＝3cm，∴BC＝2CD，AB=2AC可得：BC2﹣CD2＝4CD2﹣CD2＝9，解得：CD＝cm，∴BC＝2cm，在Rt△ABC中，由勾股定理得即∴AC=2cm，AB＝4cm，∴AD＝AB-BD=4﹣3＝1cm．故答案为：13.【答题】在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为______．【答案】32或42【分析】本题考查了勾股定理．【解答】∵AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，∴AD==9，BD==5，如图1，CD在△ABC内部时，AB=AD+BD=9+5=14，此时，△ABC的周长=14+13+15=42，如图2，CD在△ABC外部时，AB=AD-BD=9-5=4，此时，△ABC的周长=4+13+15=32．综上所述，△ABC的周长为32或42．4.【答题】如图，Rt△ABC中，分别以它的三边为边长向外作三个正方形．S1，S2，S3分别为三个正方形的面积，若S1=36，S2=64，则S3=______．【答案】100【分析】本题考查了勾股定理．【解答】∵在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，又由正方形面积公式得S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，∴S3=S1+S2=36+64=100．故答案为100．5.【答题】已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，BC＝______．【答案】14或4【分析】本题考查了勾股定理．【解答】分两种情况：①AD在线段BC上，∵AB=15，AD=12，∴BD=，∵AC=13，AD=12，CD=，BC=BD+CD=9+5=14，②AD在线段BC的延长线上，∵AB=15，AD=12，∴BD=，∵AC=13，AD=12，CD=，BC=BD-CD=9-5=4．6.【答题】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是______【答案】25【分析】本题考查了勾股定理的应用．要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【解答】解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，（1）如图，BD=10+5=15，AD=20，由勾股定理得：AB====25．（2）如图，BC=5，AC=20+10=30，由勾股定理得，AB====5．（3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB===5；由于25＜5＜5，故答案为：25．7.【答题】如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD＝4，CD＝3，折叠纸片使AB 边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则BE的长为______．【答案】1.5【分析】本题考查了勾股定理和翻折问题．在直角△ABC中，利用勾股定理即可求得AC的长，设BE＝x，则在直角△EFC中利用勾股定理即可得到一个关于x的方程，求得BE的长即可．【解答】解：矩形ABCD中，AB＝CD＝AF＝3，AD＝BC＝4，在直角△ABC中，AC＝＝5，设BE＝x，则EF＝BE＝x．在Rt△EFC中，CF＝AC﹣AF＝2，EC＝4﹣x．根据勾股定理可得：EF2+CF2＝CE2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝1.5．∴BE＝1.5，故答案为：1.5．8.【答题】如图，在以表示数2的点处作长度为1个单位的线段与数轴垂直，连接上端点与原点，得线段a．以原点为圆心，a为半径画弧，交数轴于点A，则点A 表示的数是______．【答案】﹣【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理求出a的值，从而求出OA，再根据数轴上点所表示的数的特征即可求出点A表示的数．【解答】解：由题意知，a＝＝，∴OA＝，∵点A在原点左侧，∴点A表示的数是﹣，故答案为：﹣．9.【答题】如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于______．【答案】8【分析】本题考查了勾股定理．由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．【解答】∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，∴DE=AC=5，∴AC=10．在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得．故答案是：8．10.【答题】在平面直角坐标系中，若点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，则x的值是______．【答案】﹣1或5【分析】本题考查了勾股定理．根据点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，可以得到|2-x|=3，从而可以求得x的值．【解答】解：∵点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，∴|2﹣x|＝3，解得，x＝﹣1或x＝5，故答案为：﹣1或5．11.【题文】如图，一根长米的木棒（），斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，且木棒顶端与地面的距离（）为9米，当木棒端沿墙下滑至点时，端沿地面向右滑行至点．（1）求的长；（2）当米时，求的长（结果保留根号）．【答案】（1）米；（2）米．【分析】本题考查了勾股定理的应用．（1）在中，根据勾股定理解之即可；（2）根据题意求得下滑后木棒顶端离地面的高度的长度，根据木棒下滑前后长度不变，在中运用勾股定理求出的长度即可．【解答】解：①在中米．②∵∴∴米∴米．12.【题文】在波平如镜的湖面上有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺（如图）．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲离开原处的水平距离为6尺，请问水深多少？【答案】4.5尺．【分析】本题考查了勾股定理的应用．首先画出示意图，设水深为h尺，则AB＝h 尺，然后表示出AC、BC的长度，由勾股定理列方程求解即可．【解答】设水深为h尺，根据题意画出图形，如图：在Rt△ABC中，AB＝h尺，AC＝（h＋3）尺，BC＝6尺．由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2，即（h＋3）2＝h2＋62，解得h＝4.5．∴水深4.5尺．13.【题文】有一圆柱形油罐，如图所示，要从A点环绕油罐建梯子到B点，正好B点在A点的正上方，已知油罐的周长为12m，高AB为5m，问：所建梯子最短需多少米？【答案】13【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，把圆柱沿AB侧面展开，连接AB，再根据勾股定理即可得出结论．【解答】如图所示：∵AC=12m，BC=5m，∴AB===13m，答：梯子最短需要13m．14.【题文】如图，在数轴上画出表示的点（不写作法，但要保留画图痕迹）．【答案】答案见解答．【分析】本题考查了勾股定理．【解答】根据勾股定理，作出以1和4为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是；再以原点为圆心，以为半径画弧与数轴的正半轴的交点即为所求．所画图形如下所示，其中点A即为所求．15.【题文】如图，在中，，，，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE．（1）求AD的长；（2）求AE的长．【答案】（1）5；（2）【分析】本题考查了勾股定理．（1）直接利用勾股定理得出AB的长，即可解决问题．（2）用未知数表示出EC，BE的长，再利用勾股定理得出EC的长，进而得出答案．【解答】（1）如图所示：∵在中，，，，∴，∵DE垂直平分AB，∴．（2）∵DE垂直平分AB，∴，设，则，故，解得：，∴．16.【题文】已知：如图，在△ABC中，∠C=90°．（1）在AC上作一点E，使EA=EB；（保留作图痕迹，作图痕迹请加黑描重）（2）在（1）的条件下，若AB=6，AE：EC=2：1，求CE的长．【答案】（1）详见解答；（2）．【分析】本题考查了勾股定理．【解答】（1）作线段的垂直平分线，与的交点即为点的位置．（2）设在中，在中即解得即17.【题文】如图所示，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点．（1）求证：△BCD≌△ACE；（2）若AD=3，BD=4，求DE的长．【答案】（1）见解答；（2）5【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．（1）根据同角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，又夹这个角的两边分别是两等腰直角三角形的腰，利用SAS即可证明；（2）根据全等三角形的对应边相等、对应角相等可以得到AE=BD，∠EAC=∠B=45°，∴△AED是直角三角形，利用勾股定理即可求出DE长度．【解答】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=DC．∵∠ACE=∠DCE-∠DCA，∠BCD=∠ACB-∠DCA，∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACE=∠BCD．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS）．（2）由（1）得，∠CAE=∠B=45°，AE=BD=4，又∠BAC=45°∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，即△EAD是直角三角形，∴∵AD=3∴DE==5．18.【题文】中日钓鱼岛争端持续，我国海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，，海里，海里，钓鱼岛位于点，我国海监船在点处发现有一不明国籍的渔船自点出发沿着方向匀速驶向钓鱼岛所在地点，我国海监船立即从处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点处截住了渔船．（1）请用直尺和圆规作出处的位置．（不写作法，保留作图痕迹）（2）求我国海监船行驶的航程的长．【答案】（1）见详解（2）25海里【分析】本题考查了勾股定理的应用．（1）由题意得，我渔政船与不明船只行驶距离相等，即在上找到一点，使其到A点与B点的距离相等，∴连接，作的垂直平分线即可．（2）利用第（1）题中的设BC=x海里，则AC=x海里．在直角三角形中，海里、海里，利用勾股定理列出方程，解得即可．【解答】解：（1）作AB的垂直平分线与OA交于点C；（2）连接BC，设BC为x海里，则CA也为x海里，OC为海里∵∠O=90°，∴在中，，即：，解得：，答：我国渔政船行驶的航程BC的长为25海里．19.【题文】在△ABC中，如果∠ACB=90°，∠A=30°，CD是高，求证AD=3BD．【答案】见解答．【分析】本题考查了勾股定理．设BD=x，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出CD，然后再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出AD，即可证明结论．【解答】证明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，CD是高，∴∠ACD＝60°，∴∠BCD＝30°，设BD=x，则BC=2x，∴CD=，∴AC=2CD=2，∴AD=，即AD=3BD．20.【题文】在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳．10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号）【答案】【分析】本题考查了勾股定理的应用．在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB 长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BC=13m，AC=5m，∴AB＝＝12（m），∵此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，∴CD=13﹣0.5×10=8（m），∴AD＝＝＝（m），∴BD＝AB−AD＝（12−）（m）答：船向岸边移动了（12−）m．。

七年级数学上册《第3章勾股定理》单元测试卷一．填空题（每题3分，共24分）1．如图，正方形内数字分别为所在正方形的面积，则图中字母A，B，C所代表的正方形面积是__________．2．如图，半圆内数字分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的半圆面积是__________．3．已知直角三角形的两直角边长为6cm和8cm，则斜边上的中线长是__________；斜边上的高为__________．4．如图，台风过后，琼岛小学的旗杆在B处折断，旗杆顶部A落在离旗杆底部8米处，已知旗杆长16米，则旗杆是在离底部__________米处断裂．5．长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体纸盒内可完全放入的棍子最长是__________cm．6．在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2=__________．7．直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为__________cm．8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__________cm2．二、选择题（每题3分，共24分）9．在Rt△ABC中，a、b、c分别是△A、△B、△C、的对边，若△A=90°，则( )A．a2+b2=c2B．b2+c2=a2C．c2+a2=b2D．b+a=c10．观察下列几组数据：①3，4，5；②4，5，6；③6，8，10；④7，24，25．其中能作为直角三角形三边长的有( )A．1组B．2组C．3组D．4组11．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的( )A．2倍B．4倍C．3倍D．5倍12．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是( )A．斜边长为5B．三角形的周长为25C．斜边长为25D．三角形的面积为2013．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是( )A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形14．如图，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上底B 处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）( )A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm15．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于( )A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm16．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为( )A．600米B．800米C．1000米D．不能确定三、解答题（共52分）17．如图，等腰三角形腰长为5cm，底边长为6cm，求三角形的面积．18．在Rt△ABC中，△C=90°．（1）已知c=25，b=15，求a的值；（2）已知a=12，△A=60°，求b、c的值．19．在Rt△ABC中，△C=90°，a：b=3：4，c=15，求a、b的值．20．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m，﹣阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m，求这里的水深为__________米．21．如图所示，一架长为2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离底0.7米，求梯子顶端离地多少米？如果梯子顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动多少m？22．一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中△A和△DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2所示．（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？（2）求这个零件的面积．23．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？24．如图，已知长方体的长为AC=2cm，宽BC=1cm，高AA′=4．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？鲁教五四新版七年级数学上册《第3章勾股定理》单元测试卷一．填空题（每题3分，共24分）1．如图，正方形内数字分别为所在正方形的面积，则图中字母A，B，C所代表的正方形面积是81，64，100．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理，即可求出A，B，C所代表的正方形的面积．【解答】解：如图1所示：△△DEF=90°，△DE2=DF2﹣EF2=162﹣81=81，△字母A所代表的正方形面积是81；同理：字母B所代表的正方形面积=172﹣152=64；字母C所代表的正方形面积=64+36=100；故答案为：81，64，100．【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．2．如图，半圆内数字分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的半圆面积是π．【考点】勾股定理．【分析】由于正方形的面积等于边长的平方，根据勾股定理求出面积是A的半圆的直径的平方，进而即可求得半圆的面积A．【解答】解：△以EG为边正方形的面积等于400，即EG2=400，△以FG为边正方形的面积为300，△FG2=300，又△△EFG为直角三角形，根据勾股定理得：EG2=EF2+FG2，△EF2=EG2﹣FG2=400﹣300=100，△EF=10，则半圆的面积为：A=π（）2=π．故答案为π．【点评】此题考查了正方形的面积公式、圆的面积公式以及勾股定理，熟记正方形、圆的面积和勾股定理是解题的关键．3．已知直角三角形的两直角边长为6cm和8cm，则斜边上的中线长是5cm；斜边上的高为4.8cm．【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．【专题】计算题．【分析】根据勾股定理先求出斜边，依据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半求出中线长，再根据面积相等求出斜边上的高．【解答】解：直角三角形中两直角边长为6、8，则根据勾股定理可得斜边长的平方等于两直角边的平方和，△斜边长==10，△斜边中线长=×10=5；根据面积相等，设斜边上的高为xcm，列方程得：×6×8=×10x，解得x=4.8cm．故答案为：5cm，4.8cm．【点评】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质，利用面积相等来解题，是解决直角三角形问题的常用的方法，可有效简化计算．4．如图，台风过后，琼岛小学的旗杆在B处折断，旗杆顶部A落在离旗杆底部8米处，已知旗杆长16米，则旗杆是在离底部6米处断裂．【考点】勾股定理的应用．【分析】旗杆折断的部分，未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的未知求出．【解答】解：设旗杆未折断部分长为x米，则折断部分的长为（16﹣x）m，根据勾股定理得：x2+82=（16﹣x）2，可得：x=6m，即距离地面6米处断裂，故答案为：6．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是建立数学模型，将实际问题运用数学思想进行求解．5．长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体纸盒内可完全放入的棍子最长是13cm．【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意画出图形，两次运用勾股定理即可得出结果．【解答】解：如图所示：BC=3cm，CD=4cm，AB=12cm，连接BD、AD，在Rt△BCD中，BD===5（cm），在Rt△ABD中，AD===13（cm）．故这个盒子最长能放13cm的棍子．故答案为：13．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关键．6．在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2=8．【考点】勾股定理．【专题】计算题．【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理根据斜边AB的长，可得出AB的平方及两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：△△ABC为直角三角形，AB为斜边，△AC2+BC2=AB2，又AB=2，△AC2+BC2=AB2=4，则AB2+BC2+CA2=AB2+（BC2+CA2）=4+4=8．故答案为：8【点评】此题考查了勾股定理的运用，勾股定理为：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．7．直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为24cm．【考点】勾股定理．【分析】设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2，由勾股定理得：两直角边的平方和等于斜边的平方，据此列出关于n的方程，求出符合题意n的值，即求出了直角三角形的三边长，之后求出周长即可．【解答】解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得：（2n﹣2）2+（2n）2=（2n+2）2，解得：n1=4，n2=0（不合题意舍去），即：该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm．所以，其周长为6+8+10=24cm．【点评】本题主要考查了运用直角三角形的性质的能力，关键在于运用勾股定理得出三边之间的关系，根据题意求出三边的边长．周长=三边之和，求出周长．8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为49cm2．【考点】勾股定理．【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．故答案为：49cm2．【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换．二、选择题（每题3分，共24分）9．在Rt△ABC中，a、b、c分别是△A、△B、△C、的对边，若△A=90°，则( )A．a2+b2=c2B．b2+c2=a2C．c2+a2=b2D．b+a=c【考点】勾股定理．【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图所示，△△A=90°，△b2+c2=a2．故选B．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．10．观察下列几组数据：①3，4，5；②4，5，6；③6，8，10；④7，24，25．其中能作为直角三角形三边长的有( )A．1组B．2组C．3组D．4组【考点】勾股定理的逆定理．【分析】由勾股定理的逆定理得出①③④能构成直角三角形，②不能构成直角三角形；即可得出结论．【解答】解：△32+42=52，△3，4，5能构成直角三角形，△①能作为直角三角形三边长；△42+52≠62，△4，5，6不能构成直角三角形，△②不能作为直角三角形三边长；△62+82=102，△6，8，10能构成直角三角形，△③能作为直角三角形三边长；△72+242=252，△7，24，25能构成直角三角形，△④能作为直角三角形三边长；△能作为直角三角形三边长的有3组，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．11．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的( )A．2倍B．4倍C．3倍D．5倍【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理，可知：把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．【解答】解：设一直角三角形直角边为a、b，斜边为c．则a2+b2=c2；另一直角三角形直角边为2a、2b，则根据勾股定理知斜边为=2c．即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．故选A．【点评】熟练运用勾股定理对式子进行变形．12．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是( )A．斜边长为5B．三角形的周长为25C．斜边长为25D．三角形的面积为20【考点】勾股定理．【分析】利用勾股定理求出后直接选取答案．【解答】解：两直角边长分别为3和4，△斜边==5；故选A．【点评】此题较简单关键是熟知勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．13．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是( )A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【考点】相似三角形的性质．【分析】根据三组对应边的比相等的三角形相似，依据相似三角形的性质就可以求解．【解答】解：将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，因而得到的三角形是直角三角形．故选C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定以及性质．14．如图，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上底B 处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）( )A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．【解答】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得AC=3×16÷2=24，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB===30cm．故选B．【点评】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键．15．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于( )A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【考点】勾股定理．【专题】几何图形问题．【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．【解答】解：△AC=6cm，BC=8cm，△C=90°△AB=10cm，△AE=6cm（折叠的性质），△BE=4cm，设CD=x，则在Rt△DEB中，42+x2=（8﹣x）2，△x=3cm．故选：B．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．16．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为( )A．600米B．800米C．1000米D．不能确定【考点】勾股定理的应用．【分析】两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互相垂直，根据勾股定理即可求解．【解答】解：根据题意得：如图：OA=40×20=800m．OB=40×15=600m．在直角△OAB中，AB==1000米．故选C．【点评】本题考查正确运用勾股定理的应用，解题时从实际问题中整理出直角三角形是本题的关键．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．三、解答题（共52分）17．如图，等腰三角形腰长为5cm，底边长为6cm，求三角形的面积．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】作CD△AB于D，则△ADC=90°，AD=AB=3cm，由勾股定理求出CD，△ABC的面积=AB•CD，即可得出结果．【解答】解：作CD△AB于D，如图所示：则△ADC=90°，AD=AB=3cm，△CD===4（cm），△△ABC的面积=AB•CD=×6×4=12（cm2）．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．18．在Rt△ABC中，△C=90°．（1）已知c=25，b=15，求a的值；（2）已知a=12，△A=60°，求b、c的值．【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．【分析】（1）直接根据勾股定理即可得出a的值；（2）根据锐角三角函数的定义即可得出b、c的值．【解答】解：（1）△Rt△ABC中，△C=90°，c=25，b=15，△a===20；（2）△Rt△ABC中，△C=90°，a=12，△A=60°，△b=a•cot60°=12×=4，c===8．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．19．在Rt△ABC中，△C=90°，a：b=3：4，c=15，求a、b的值．【考点】勾股定理．【分析】首先设出a=3k，b=4k，然后运用勾股定理列出关于k的方程，求出k的值即可解决问题．【解答】解：△a：b=3：4，△设a=3k，b=4k；由勾股定理得：（3k）2+（4k）2=152，解得：k=3，△a=9，b=12．【点评】该题以直角三角形为载体，考查了勾股定理及其应用问题；灵活运用勾股定理来分析、判断是解题的关键．20．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m，﹣阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m，求这里的水深为米．【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】根据题意画出图形，结合图形利用勾股定理解答．【解答】解：如图，AD是红莲高出水面部分，即AD=1，B是红莲入泥处（根部）．设BD=x，则BA=1+x，所以BC=AB=1+x，在Rt△BCD中，CD2+BD2=BC2，即22+x2=（1+x）2，4+x2=1+2x+x2，2x=3△x=．故这里的水深m．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．21．如图所示，一架长为2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离底0.7米，求梯子顶端离地多少米？如果梯子顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动多少m？【考点】勾股定理的应用．【分析】首先利用勾股定理得出BO的长，进而求出CO的长，即可得出答案．【解答】解：由题意可得：AB=2.5m，AO=0.7m，故BO==2.4（m），△梯子顶端沿墙下滑0.4m，△DO=2m，CD=2.5m，△CO=1.5m，△AC=CO﹣AO=1.5﹣0.7=0.8（m）．答：梯子底端将向左滑动0.8m．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键．22．一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中△A和△DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2所示．（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？（2）求这个零件的面积．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，判断出△ABD、△BDC的形状，从而判断这个零件是否符合要求；（2）这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积，再根据三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）△AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12，△AB2+AD2=BD2，BD2+BC2=DC2，△△ABD、△BDC是直角三角形，△△A=90°，△DBC=90°，故这个零件符合要求．（2）这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积=3×4÷2+5×12÷2=6+30=36．故这个零件的面积是36．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断△ABD、△BDC 的形状．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．23．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？【考点】轴对称-最短路线问题．【专题】计算题；作图题．【分析】此题的关键是确定点M的位置，需要首先作点A的对称点A′，连接点B和点A′，交l于点M，M即所求作的点．根据轴对称的性质，知：MA+MB=A′B．根据勾股定理即可求解．【解答】解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD，交点CD于M，点M即为所求作的点，则可得：DK=A′C=AC=10千米，△BK=BD+DK=40千米，△AM+BM=A′B==50千米，总费用为50×3=150万元．【点评】此类题的重点在于能够确定点M的位置，再运用勾股定理即可求解．24．如图，已知长方体的长为AC=2cm，宽BC=1cm，高AA′=4．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：如图：根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图（1）AB′2=AB2+BB′2=（2+1）2+42=25；（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图（2）AB′2=AC2+B′C2=22+（4+1）2=4+25=29；（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图（3）AB′2=AD2+B′D2=12+（4+2）2=1+36=37；综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2=25，即AB′=5cm．【点评】将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．。

章节测试题1.【答题】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=8，AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E.则AD的长度为______.【答案】8.2【分析】由线段垂直平分线的性质得出AD=BD，在Rt△BCD中，由勾股定理得出方程，解方程即可.【解答】解：连接BD，如图所示：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，设AD=BD=x，则CD=AC﹣AD=10﹣x，在Rt△BCD中，由勾股定理得：82+（10﹣x）2=x2，解得：x=8.2；故答案为：8.2.2.【答题】如图，已知圆柱底面的周长为24cm，高为5cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少长______cm.【答案】26【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据"两点之间线段最短"得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可.【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度.∵圆柱底面的周长为24cm，圆柱高为5cm，∴AB=5cm，BC=BC′=12cm，∴AC2=52+122=169，∴AC=13cm，∴这圈金属丝的周长最小为2AC=26cm.故答案为：26.3.【答题】如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为______．【答案】10【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，∴AF=AB-BF．【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F=BF，设D′F=x，则AF=8-x，在Rt△AFD′中，（8-x）2=x2+42，解之得：x=3，∴AF=AB-FB=8-3=5，∴S△AFC=•AF•BC=10．故答案为10．4.【答题】如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF=______．【答案】6【分析】设BC=x，AF可用含x的式子表示，CF可以根据勾股定理求出，然后用x表示出BF，在Rt△ABF中，利用勾股定理，可建立关于x的方程，即可得出BF的长．【解答】解：由折叠的性质知：AD=AF，DE=EF=8-3=5；在Rt△CEF中，EF=DE=5，CE=3，由勾股定理可得：CF=4，若设AD=AF=x，则BC=x，BF=x-4；在Rt△ABF中，由勾股定理可得：82+（x-4）2=x2，解得x=10，故BF=x-4=6．5.【答题】直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长为______cm．【答案】25【分析】设斜边的长为xcm，则另一直角边长为（49-x）cm，再根据勾股定理求出x的值即可．【解答】解：设斜边的长为xcm，则另一直角边长为（49-x）cm，∵直角三角形的一条直角边长是7cm，∴72+（49-x）2=x2，解得x=25cm．故答案为：25．6.【答题】在直角三角形中，斜边比一条直角边长1厘米，另一条直角边长为7厘米，则这个三角形的斜边长是______厘米．【答案】25【分析】设该三角形的斜边是xcm，则其中一条直角边是（x-1）cm，根据勾股定理列方程求解．【解答】解：设该三角形的斜边是xcm．根据勾股定理，得x2=（x-1）2+49，x=25．则该三角形的斜边是25cm．7.【答题】如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为______．【答案】4.8【分析】由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，在△ODP和△OEG中，，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，∴CG=8-x，BG=8-（6-x）=2+x，根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，即62+（8-x）2=（x+2）2，解得：x=4.8，∴AP=4.8；故答案为：4.8．8.【答题】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是______尺．【答案】25【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，另一条直角边长5×3=15（尺），因此葛藤长为=25（尺）．故答案为：25．9.【答题】如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为______cm．【答案】20【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B==20（cm）．故答案为：20．【点评】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．10.【答题】如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m 的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为______m（容器厚度忽略不计）．【答案】1.3【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图：∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，∴A′D=0.5m，BD=1.2m，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B==1.3（m）．故答案为：1.3．11.【答题】如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为______cm．【答案】13【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：∵PA=2×（4+2）=12，QA=5∴PQ=13．故答案为：13．12.【答题】如图，圆柱底面半径为2cm，高为9πcm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为______cm．【答案】15π【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为2cm，∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×2=4πcm；又∵圆柱高为9πcm，∴小长方形的一条边长是3πcm；根据勾股定理求得AC=CD=DB=5πcm；∴AC+CD+DB=15πcm；故答案为：15π．13.【题文】某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召,决定公路相距25km的A,B两站之间E点修建一个土特产加工基地,如图,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要使C、D两村到E点的距离相等,那么基地E应建在离A站多少km的地方?【答案】10【分析】设AE=x千米，则BE=（25-x）千米，再根据勾股定理得出DA2+AE2=BE2+BC2，进而可得出结论．【解答】设AE=x千米，则BE=(25-x)千米，在Rt△DAE中，DA2+AE2=DE2在Rt△EBC中，BE2+BC2=CE2∵CE=DE∴DA2+AE2=BE2+BC2∴152+x2=102+(25-x)2解得x=10答：基地应建在离A站10千米地方.14.【答题】如图，在底面周长为12、高为8的圆柱体上有A，B两点，则A，B两点之间外表面的最短距离是（）A. 10B. 8C. 5D. 4【答案】A【分析】【解答】15.【答题】如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱外表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（）A. 6B. 8C. 10D. 14【答案】C【分析】【解答】16.【答题】如图，网格纸中的小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】B【分析】【解答】17.【答题】一个三角形的三边长分别为15，20，25，则此三角形最长边上的高为（）A. 10B. 12C. 24D. 48【答案】B【分析】【解答】18.【题文】例1 如图是一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点．点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为多少？【答案】见解答【分析】本题是最短路径问题，解答此类问题要先根据题意把立体图形展开成平面图形，然后确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间线段最短，在平面图形上构造直角三角形解决问题．先将立体图形展开，再由勾股定理，根据两点之间线段最短进行解答．【解答】三级台阶的平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x dm，则由勾股定理得x2＝202+[（2+3）×3]2=252，解得x＝25．19.【题文】例2 如图，在高为3m、斜坡长为5m的楼梯表面铺地毯．（1）至少需要地毯多少米？（2）若楼梯宽2m，地毯每平方米30元，那么这块地毯需要花多少元？【答案】见解答.【分析】此题考查勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题．（1）利用勾股定理求出AC的长度，利用平移的知识可得出地毯的长度．（2）求出所需地毯的面积，继而可得出答案．【解答】（1）如图，∠C=90°，AB=5m，BC=3m．在Rt△ABC中，AC2=AB2-BC2=16，∴AC=4m．故可得地毯的长度为AC+BC=7m．（2）7×2×30=420（元）．答：这块地毯需要花费420元．20.【答题】如图，小明将一张长为20cm、宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（）A. 5cmB. 12cmC. 16cmD. 20cm 【答案】D【分析】【解答】。

鲁教版（五四制）七年级数学上册《第三章勾股定理》单元检测卷及答案一、单选题1．下列各组数能构成勾股数的是（ ）A ．2 √3 7B ．3，4，5C ．13 14 15D ．32 42 522．在Rt ABC △中90C ∠=︒，b=6，c=10，则a 的值是（ ）A ．8B ．6C ．10D ．23．在平面直角坐标系中，点()2,3P 到原点的距离是（ ）A ．1B ．5C 5D 134．在平面直角坐标系中，点()2,3P --到原点的距离为（ ）A 13B 10C 7D ．55．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．3，4，6C 3 4 5D ．5，12，136．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中=5AE ，AB =13，则EF 的值是（ ）A ．7B ．3C 13D ．27．若一个直角三角形的两条直角边长分别是5cm 和12cm ，则斜边上的高为多少（ ）A ．8013B ．13C ．6D ．60138．如图，正方形ABCD 的边长为1，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 2018的值为（ ）A ．201612 B ．201712 C ．201812 D ．2019129．在ABC 中，AB 边上的中线3,6,8CD AB BC AC ==+=，则ABC 的面积为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题10．如图，已知直线a ∥b ，a ，b 之间的距离为4，点P 到直线a 的距离为4，点Q 到直线b 的距离为2，PQ =241在直线a 上有一动点A ，直线b 上有一动点B ，满足AB ∥b ，且P A +AB +BQ 最小，此时P A +BQ ＝ ．11．如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为3m ，梯子的底端A 向外移动到A '，使梯子的底端A '到墙根O 的距离等于4m ，同时梯子的顶端B 下降至B '，则BB '的长为 （梯子AB 的长为5m ）．12．如图，以直角ABC 的三边向外作正方形，其面积分别为1S 、2S 和3S ，且15S =，210S =则3S = ．13．如图，长方体的长为6，宽、高均为4，一只蚂蚁从A 处沿长方体表面爬到B 处的最短路程等于 .14．如图，在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，以AB AC 、为边的正方形的面积分别为1S 和2S ．若19S =，25S =则BC 的长为 ．15．定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，ABC 中90ACB ∠=︒，AC=4，BC=3，CD 是AB 边上的高，则ABC 中AB 边的“中偏度值”为 ．16．如图，在Rt ABC ∆中90BAC ∠=︒，以AB 、AC 和BC 为直径分别作半圆，已知15S =，22S =则3S =17．如图，Rt △ABC 中，∥C=90°，AB=5，BC=4，AC=3，点I 为Rt △ABC 三条角平分线的交点，则点I 到边AB 的距离为 ．三、解答题18．长方形ABCD 中，AB=4，BC=2．(1)求AC 的长；(2)将ABC 对折，使得点A 与点C 重合，折痕B E '交AB 于点E ，求AE 的长．19．如图，在平面直角坐标系中，点(1,3)A ，点(3,1)B ，点(4,5)C .（1）画出ΔABC 关于y 轴的对称图形111A B C ∆，并写出点A 的对称点1A 的坐标；（2）若点P 在x 轴上，连接PA 、PB ，则PA PB +的最小值是 ；（3）若直线//MN y 轴，与线段AB 、AC 分别交于点M 、N （点M 不与点A 重合），若将AMN ∆沿直线MN 翻折，点A 的对称点为点'A ，当点'A 落在ΔABC 的内部（包含边界）时，点M 的横坐标m 的取值范围是 .20．问题情境：如图∥，一只蚂蚁在一个长为100cm，宽为50cm的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽AD，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图∥中补全．．木块的侧面展开图，并画出．．蚂蚁所走的最短路线，依据是．(2)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．21．“平地秋千为起，踏板一尺高地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，二公高士好争，算出索长有几？（注：二步=10尺）”这是商人出身的明代珠算大师程大位在他的部17卷的数学巨著《直指算法统宗》中用词的形式给出的一道题．这词生动地描绘了少女荡秋千的欢快场景，也是一道在当时颇有分量的数学题，你能解答这道题目吗？大意是“当秋千静止时，它的踏板离地的距离为1尺，将秋千的踏板往前推2步（这里的每1步合5尺），它的踏板与人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终是有这状态的，现在问：这个秋千的绳索有多长？”22．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个三角形三边长都是正整数，这三个正整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13等都是勾股数．把勾股数同时乘以相同的正整数倍得到的也是勾股数，我们把这种勾股数称为“派生勾股数” ，因为6＝3×2，8＝4×2，10＝5×2，那么6，8，10就是“派生勾股数”，如果一组勾股数斜边比一条直角边大3，我们把这种勾股数称为“新新勾股数”．（1）请判断9，12，16和10，24，26是否为“派生勾股数”；（2）请求出斜边小于200的所有“新新勾股数”．参考答案1．B2．A3．D4．A5．D6．D7．D8．B9．B10．1011．1m12．1513．1014．215．247/33716．7 17．118．(1)25(2)5 219．（1）1A的坐标（-1,3）；（2）5（3）1<m≤1.2520．(1)两点之间，线段最短(2)130cm21．14.5尺22．（1）9，12，16不是“派生勾股数”；10，24，26是“派生勾股数”；（2）15、36、39；15、36、39；21、72、75；27、120、123；22、180、183。

章节测试题1.【答题】在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A.13 mB.12 mC.4 mD.10 m【答案】B【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【解答】如图：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m．BC=5m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，∴x2+52=（x+1）2，解得x=12，∴旗杆的高12m．选B.2.【答题】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米【答案】C【分析】根据勾股定理解答即可。

【解答】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．选C.3.【答题】一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5m，消防车的云梯底端距地面1m，云梯的最大伸长为13m，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（）A.16mB.13mC.14mD.15m【答案】B【分析】根据勾股定理解答即可。

【解答】如图所示，由题意可知AB=13米，BC=5米，由勾股定理可得，AC=，又消防车的云梯底端距地面1m，所以云梯可以达到该建筑物的最大高度=12+1=13m，选B.4.【答题】如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（）步路（假设2步为1m），却踩伤了花草（）A.4B.6C.7D.8【答案】D【分析】根据勾股定理解答即可。

2019版七年级数学上册第三章勾股定理单元练习二鲁教版五四制1．在Rt△ABC中，∠C＝90°.如果BC＝3，AC＝5，那么AB＝（）A．34B．4 C．4或34D．以上都不对2．如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC＝90°，并测得AC长20米，BC长16米，则A点和B点之间的距离为( )A．25米B．12米C．13米D．4米3．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．a：b：c=3：4：5 B．∠A：∠B：∠C=9：12：15C．∠C=∠A﹣∠B D．b2﹣a2=c24．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）．A．1，，B．3，4，5 C．5，12，13 D．2，2，35．已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别为81 cm2和144 cm2，则正方形③的边长为（）A．225 cm B．63 cm C．50 cm D．15 cm6．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )A．3，5，7 B．5，12，13 C．1，1，2D．6，8，107．如图，在四边形，，，，，则四边形的面积是（）．A ．B ．C ．D ． 无法确定8．王师傅手中拿着一根长12cm 的木条，则该木条不能与下列所给木条组成直角三角形的是（ ） A ． 5cm 和13cm B ． 9cm 和15cm C ． 16cm 和20cm D ． 9cm 和13cm9．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分．．．．a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是( )A ． 1213a ≤≤B ． 1215a ≤≤C ． 512a ≤≤D ． 513a ≤≤10．如图，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，点A 在第二象限，点D 在第一象限，AB=2，OD=4，将矩形ABCD 绕点O 旋转，使点D 落在x 轴上，则点C 对应点的坐标是A ． (–，1) B ． (–1，) C ． (–1，)或(1，–) D ． (–，1)或(1，–)11．如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折,得到△B′CP,连接B′A,则B′A 长度的最小值是________．12．如图，ΔABC 中，AC = BC = 4，∠C = 90°，将ΔABC 折叠，使A点落在BC 的中点A ＇处，折痕分别交边AB 、AC 于点D 、点E ，则AD = ___________．13．在等腰中，，，过点作直线，是上的一点，且，则__________． 14．在中，，分别以AB 、AC 为边向外作正方形，面积分别记为.若，则BC =______．15．如图，在Rt ABC 中， 90ACB ∠=︒， AC m =， BC n =，分别以三角形的三条边为边作正方形．（1）若三个正方形的位置如图1所示，其中阴影部分的面积123S S S ++的值为__________．（结果用含m ， n 的代数式表示）（2）若三个正方形的位置如图2所示，其中阴影部分的面积1234S S S S ++-的值为__________．（结果用含m ， n 的代数式表示）16．如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，E ，F 分别是边AD ，BC 上的点，将正方形纸片沿EF 折叠，使得点A 落在CD 边上的点A ′处，此时点B 落在点B ′处．已知折痕EF =13，则AE 的长等于_________．17．在△ABC中，∠C＝90°，若c＝10，a：b＝3：4，则＝_____；18．如图在矩形ABCD 中，AB＝8cm，AD＝6cm，EF 是对角线BD 的垂直平分线，则EF 的长为_______．19．若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a－2、a、a＋2为边的三角形的面积为______．20．如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿的路径运动，到点C停止过点P作，PQ与边或边交于点Q，PQ的长度与点P的运动时间秒的函数图象如图所示当点P运动秒时，PQ的长度是______cm．21．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10，(1)求四边形ABCD的面积(2)求BD的长22．在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上（1）AB的长等于；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角，画出线段AB的垂直平分线，并简要说明画图的方法（不要求证明）23．如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动一周，且速度为每秒，设运动的时间为秒．（）求为何值时，把的周长分成相等的两部分（）求为何值时，把的面积分成相等的两部分；并求此时的长．（）求为何值时，为等腰三角形？（请直接写出答案）24．如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5 cm,3 cm和1 cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少?25．观察下列一组勾股数：第1组3=2×1+14=2×1×（1+1）5=2×1×（1+1）+1第2组5=2×2+112=2×2×（2+1）13=2×2×（2+1）+1第3组7=2×3+124=2×3×（3+1）25=2×3×（3+1）+1第4组9=2×4+140=2×4×（4+1）41=2×4×（4+1）+1…………观察以上各组勾股数的特点：（1）请写出第7组勾股数，，；（2）写出第组勾股数，，.26．图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是3的直角三角形；在图2中画出一个面积是5的四边形．27．已知四边形中，，，，，．（）求的面积．（）若为中点，求线段的长．28．如图，已知某学校A与笔直的公路BD相距3 000米，且与该公路上的一个车站D距5 000米，现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市与车站D的距离是多少米？感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！。

初二数学第三章《勾股定理》单元评价检测A班级_______ 姓名_______ 成绩________一、选择题(每小题4分，共32分)1.下列各组数是勾股数的为( )(A)2，4，5 (B)8，15，17 (C)11，13，15 (D)4，5，6 2.如图，已知正方形的面积为144，正方形的面积为169时，那么正方形的面积为（ ）A.313B.144C.169D.253.在Rt △ABC 中，斜边AB=2，则AB 2+BC 2+AC 2的值是( )(A)4 (B)6 (C)8 (D)94.已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足(a-17)2+|b-15|+(c-8)2=0，则△ABC 是( )[来源:ZXXK](A)以a 为斜边的直角三角形 (B)以b 为斜边的直角三角形(C)以c 为斜边的直角三角形 (D)不是直角三角形5.下列说法：①如果a ，b ，c 为一组勾股数，那么4a ，4b ，4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a ，b ，c(a>b=c)，那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1.其中正确的是( )(A)①②(B)①③ (C)①④ (D)②④6.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个A B C第2题图715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a ，b ，那么(a+b)2的值是( )(A)12 (B)16 (C)20 (D)257.在△ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为( )(A)14 (B)14或4 (C)8 (D)4或88.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）A B CD[来源:ZXXK]二、填空题(每小题4分，共20分)9.在Rt △ABC 中，若BC=3，AC=4，则AB 2是________. 10.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A 和B 的距离为________mm.11.已知：如图，在四边形中ABCD 中，AB=8，BC=6，CD=26，AD=24，且AB ⊥BC ，则四边形ABCD 的面积为________. 12.如图所示，在△ABC 中，AB ∶BC ∶CA=3∶4∶5，且周长为36cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，则过39题 10题 11题 12题秒时，△BPQ的面积为________cm2.13.如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC_____________.三、解答题(共48分)14.(10分)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过18m/s.如图，一辆小汽车在一条城街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？15.（8分）如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8 m处，已知旗杆原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？16.（10分）一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？B我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

章节测试题1.【答题】直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为______．【答案】2.4【分析】【解答】2.【答题】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2+AC2+BC2＝______．【答案】50【分析】【解答】3.【答题】如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______米．【答案】13【分析】【解答】4.【答题】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为______cm2．【答案】49【分析】【解答】5.【题文】（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a：b＝3：4，c＝15，求a、b的值．【答案】（8分）解：∵a：b＝3：4，∴设a＝3k，b＝4k；（2分）由勾股定理得：（3k）2+（4k）2＝152，（3分）解得k＝3，（2分）∴a＝9，b＝12．（1分）【分析】【解答】6.【题文】（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，BC=6，AC=8，求AB、CD的长．【答案】（8分）解：在Rt△ABC中，BC=6，AC=8∴AB２＝AC２＋BC２（2分）∴AB＝10（2分）∴CD＝==＝4.8（4分）【分析】【解答】7.【题文】（10分）某条道路限速70km/h，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速测检测仪间的距离为50m，这辆小汽车超速了吗？【答案】（10分）解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m，据勾股定理可得：BC＝＝＝40（m）（4分）∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；（4分）∵72（km/h）＞70（km/h）（1分）∴这辆小汽车超速行驶．（1分）答：这辆小汽车超速了．【分析】【解答】8.【题文】（10分）如图①，在Rt△ABC中∠C＝90°，两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．如图②，现将与Rt△ABC全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN．（1）根据勾股定理的知识，请直接写出a，b，c之间的数量关系；（2）若正方形EFMN的面积为64，Rt△ABC的周长为18，求Rt△ABC的面积．【答案】（10分）解：（1）由勾股定理得，a2+b2＝c2（3分）（2）∵正方形EFMN的面积为64∴c2＝64，即c＝8（2分）∵Rt△ABC的周长为18∴a+b+c＝18∴a+b＝10（2分）则Rt△ABC的面积＝ab＝[（a+b）2-（a2+b2）]＝9．（3分）【分析】【解答】9.【题文】附加题（20分）：我们已经知道了一些特殊的勾股数，如三个连续整数中的勾股数：3、4、5；三个连续偶数中的勾股数6、8、10；由此发现勾股数的正整数倍仍然是勾股数．（1）如果a、b、c是一组勾股数，即满足a2+b2＝c2，求证：ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数．（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+l（n为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的a，b，c是一组勾股数．（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当a＝（m2-n2），b＝mn，c＝（m2+n2）（m、n为正整数，m＞n）时，a，b，c构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数．【答案】附加题（20分）：解：（1）证明：（ka）2+（kb）2＝k2（a2+b2）＝k2c2（4分）∴ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数（1分）（2）证明：（2n+1）2+（2n2+2n）2＝4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2＝4n4+8n3+8n2+1（2n2+2n+l）2＝4n4+8n3+8n2+1∴（2n+1）2+（2n2+2n）2＝（2n2+2n+l）2（4分）∴满足以上公式的a，b，c是一组勾股数；（1分）（3）解：[（m2-n2）]2+（mn）2＝m4-m2n2+n2+m2n2＝m4+m2n2+n2＝[（m2+n2）]2＝c2，（6分）∴a，b，c构成一组勾股数；当m＝4，n＝2时，a＝（m2-n2）＝6，b＝mn＝8，c＝（m2+n2）＝10，（3分）∴6，8，10构成一组勾股数．（1分）【分析】【解答】10.【答题】在Rt△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若∠A＝90°，则（）A. a2+b2＝c2B. b2+c2＝a2C. c2+a2＝b2D. b+a＝c【答案】B【解答】11.【答题】如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（）A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【答案】B【分析】【解答】12.【答题】如图，两个正方形的面积分别是100和36，则字母B所代表的正方形的面积是（）A. 8B. 10C. 64D. 136【答案】C【分析】【解答】13.【答题】下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5B. a：b：c＝5：12：13C. ∠A+∠B＝∠CD. a＝1.5b＝2c＝2.5【分析】【解答】14.【答题】已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A. 25B. 14C. 7D. 7或25【答案】D【分析】【解答】15.【答题】直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A. 121B. 120C. 90D. 不能确定【答案】C【分析】【解答】16.【答题】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝5cm，BC＝12cm，则Rt△ABC 斜边上的高CD的长为（）A. cmB. cmC. 6cmD. 8.5cm【答案】A【解答】17.【答题】如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（）A. 6cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm【答案】C【分析】【解答】18.【答题】如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】B【解答】19.【答题】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、BC 为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（）A. 14B. 16C. 18D. 20【答案】C【分析】【解答】20.【答题】若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为______．【答案】30【分析】【解答】。

章节测试题1.【答题】已知三角形的三边长分别为3,5，，则该三角形最长边上的高为______．【答案】【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，先根据题意判断出三角形的形状是解答此题的关键．【解答】解：∵，∴此三角形是直角三角形，且直角边为3，5，∴此三角形的最长边上的高==．故答案为：．2.【答题】△ABC的两边分别为5，12，另一边c为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为______，此三角形为______三角形。

【答案】13 直角【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．【解答】由三角形三边间的关系可得：，即，又∵为奇数，∴的值可能是9、11、13、15，又∵是3的倍数，∴，∵，∴此三角形是直角三角形.3.【答题】如图是一块地的平面示意图，已知AD＝4 m，CD＝3 m，AB＝13 m，BC＝12 m，∠ADC＝90°，则这块地的面积为______m2.【答案】24【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．【解答】解：连接AC，∵AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，∴AC===5，∵AB=13m，BC=12m，∴AB2=BC2+CD2，即△ABC为直角三角形，∴这块地的面积为S△ABC-S△ACD=AC•BC-AD•CD=×5×12-×3×4=24．4.【答题】如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13,，∠B=90°，则四边形的面积是______.【答案】36【分析】链接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：连接AC，在Rt△ABC中，有AC2=AB2+BC2=42+32=25，又AC>0，∴AC=5∵AC2+CD2=52+122=169=132=AD2∴∠ACD=90°，S四边形ABCD=AB×BC+AC×CD=36。

第三章综合测试题（满分：100分时间：60分钟）一、选择题(每小题3分，共24分)1.在下列四组数中，属于勾股数的是( )A.0.3,0.4,0.5B.9,40,41C.2,8,10D.1,2,32.如图，有一块长方形空地ABCD，AB=6米,AD=8米，那么从A到C至少要走( )A.6米B.8米C.10米D.14米3.如图，分别以直角△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别用S₁,S₁,S₁表示,若S2=7,S3=2,则S1=()A.9B.5C.45D.534.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，则下列条件中,能判定△ABC是直角三角形的有 ( )①a=3,b=4,c=5;②(c+b)(c−b)=a2;③∠A ∶ ∠B ∶ ∠ C=1 ∶ 2 ∶ 3;④a=9,b=40,c=41.A.1个B.2个C.3个D.4个5.用四个边长分别为a，b，c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的方法计算这个图形的面积，可得( )A.(a+b)2=c2B.(a−b)2=c2C.a2+b2=c2D.a2−b2=c26.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°，以AC为直径的圆恰好过点B，AB=8,BC=6，则阴影部分的面积是( )A.100π-24B.100π-48C.25π-24D.25π-487.如图，圆柱的高为8 cm，底面半径为6cm，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到π点B吃食，要爬行的最短路程是( )A.6 cmB.8 cmC.10 cmD.12 cm8.如图，有一张直角三角形纸片ABC,∠C=90°,AC=5,BC=10,将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为( )A.1.8B.2.5C.3D.3.75二、填空题(每小题4分，共24分)9.在Rt△ABC中, ∠C=90∘,AB=15,BC:AC=3:4,则BC=______________.10.如图, AC⟂CE,AD=BE=13,BC=5,DE=7,则AC=_____________.11.如图,在高AC为3米，坡面AB的长度为5米的楼梯表面铺上地毯,则至少需要地毯____________米.12.如图，学校操场边上一块空地(阴影部分)需要绿化，测出CD=6m,AD=8cm,BC=24m,AB=26m,AD⊥CD,那么阴影部分的面积为_____________ .13.已知直角三角形的两边长分别为3cm，4cm，则以第三边为边的正方形的面积为_______.14.如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,点D是BC上一点,若AB=8,AD=BD=5,则CD=_________.三、解答题(共52分)15. (8分)如图,在△ABC中,D是BC边上的点,AB=13,AD=12,BD=5,AC= 15.(1)求证: △ABD是直角三角形；(2)求DC的长.16. (8分)甲、乙两位探险者到沙漠同一位置开始探险，某日上午8：00，甲先出发，他以6千米/小时的速度向正东方向行走.1小时后乙出发，他以5千米/小时的速度向正北方向行走.当天上午10：00，甲、乙两人相距多远?17.(8分)如图，在一条笔直公路MN的一侧有一村庄A，村庄A到公路MN的距离AB的长为800米，一辆宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传.(1)请问村庄A的村民能否听到宣传?请说明理由；(2)已知宣讲车的速度是300米/分钟，如果能听到，那么村庄A的村民能听到多长时间的宣传?18. (8分)如图,在长方形ABCD中,DC=5,在DC上存在一点E,沿AE所在直线折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，若△ABF的面积为30,求△ADE的面积.19.(10分)观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;……;a,b,c.请根据你发现的规律，回答下列问题：(1)当a=19时,求b,c的值;(2)当a=2n+1时，求b，c的值(用含n的式子表示);(3)用(2)的结论判断15,111,112是不是一组勾股数，并说明理由.20.(10分)如图，对任意符合条件的Rt△BAC,绕其锐角顶点A逆时针旋转90°得到Rt△EAD(∠BAE=90∘),连接BE,延长DE、BC,交于点F，易知四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法.参考答案1.B 9²+40²=41²,故选B.2.C 由题可知∠D=90∘,CD=AB=6米，如图，连接AC,则AC2=AD2+ CD2=82+62=100(米²),∴AC=10米.∴从A到C至少要走10米.故选C.3.A 在Rt△ABC中, AB2=BC2+AC2,∵S1=AB2,S2=BC2,S3=AC2,∴S1=S2+S3.∵S2=7,S3=2,∴S1=7+2=9.故选A.4.D ①32+42=52,则△ABC是直角三角形；②(c+b)⋅(c−b)=a2,∴c2−b2=a2,即a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形；③易知∠A=30∘,∠B= 60∘,∠C=90°,则△ABC是直角三角形；④92+402=412,则△ABC是直角三角形.故选D.ab+ 5.C 根据题意，得大正方形的面积=(a+b)2,大正方形的面积=4×12c2,ab+c2,即a2+2ab+b2=2ab+c2,∴a2+b2=c2.故选∴(a+b)2=4×12C.6.C 在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8,BC=6,所以AC=10，所以以AC为直径的圆的半径为5，所以S阴影=S圆−S△ABC=π×52−12×6×8=25π−24.故选C.7.C 将圆柱侧面展开如图所示，连接AB，由题可知，AC=12×2π×6π=6(cm),BC=8cm,∠ACB=90∘,根据勾股定理得AB=10cm.故选C.8.D 由折叠的性质,得AD=BD,设CD=x,则AD=BD=10−x.在RtACD中, AD2=CD2+AC2,∴(1−x)2=x2+52,解得x=3.75.故选D.9.答案 9解析设BC=3x,AC=4x(x>0),在Rt△ABC中,BC2+AC2=AB2,即(3x)2+(4x)2=152,所以x2=9,所以x=3,所以BC=3x=9.10.答案 12解析∵AC⊥CE,∴∠C=90°,在Rt△BCE中,BE=13,BC=5,∴EC2=BE2−BC2=144,∴EC=12,∴CD=EC−DE=12−7=5.在Rt△ACD 中,AD=13,CD=5,∴AC²=AD²-CD²=144,∴AC=12.11.答案 7解析由题意知AC=3米,AB=5米,∠ACB=90∘,在Rt△ABC中,由勾股定理得BC=4米,在楼梯表面铺上地毯，至少需要地毯4+3=7(米).12.答案96 m²解析如图,连接AC,∵ADLCD,∴∠ADC=90°,在Rt△ACD中, AC2=AD2+ CD2=64+36=100(m2),∴AC=10m,∴AC2+BC2=100+576= 676(m2),AB2=676m2,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90∘,∴阴影部分的面积=S△ACB−S△ACD=12AC⋅BC−12AD⋅CD=12×10×24−12×8×6=96(m2).13.答案7cm2或25cm2解析①若4cm为直角三角形的斜边长，则以第三边为边的正方形的面积为42−32=16−9=7(cm2);②若3cm，4cm都为直角三角形的直角边长，则以第三边为边的正方形的面积为32+42=9+16=25(cm2).综上，以第三边为边的正方形的面积为7cm2或25cm2.14.答案 1.4解析设CD=x,则BC=5+x,在Rt△ACD中,AC²=AD2−CD2=25−x2,在Rt△ABC中, AC2=AB2−BC2=64−(5+x)2,所以25−x2=64−(5+x)2,解得x=1.4,所以CD=1.4.15.解析 (1)证明:因为AB=13,AD=12,BD=5,所以AB2=169,AD2+ BD2=169,所以AB2=AD2+BD2,所以ABD是直角三角形,∠ADB=90°. (2)因为∠ADB=90∘,所以∠ADC=90°,在Rt△ADC中, CD2=AC2−AD2= 225−144=81,所以DC=9.16.解析如图,甲从上午8:00到上午10:00,一共走了2小时，走了2×6= 12(千米),即OA=12千米.乙从上午9：00到上午10：00，一共走了1小时，走了1×5=5(千米),即OB=5千米.在Rt△OAB中, AB2=OA2+OB2= 122+52=169(千米²),所以AB=13千米.故当天上午10：00，甲、乙两人相距13千米.17.解析 (1)村庄A的村民能听到宣传.理由：∵村庄A到公路MN的距离AB的长为800米,800米<1000米,∴村庄A的村民能听到宣传.(2)如图，假设当宣讲车行驶到P点时，村庄A的村民开始听到宣传，当行驶过Q点时，村庄A的村民听不到宣传，则AP=AQ=1000米，又∵AB=800米,∴BP²=BQ²=1000²-800²=600²(米²),∴BP=BQ=600米, ∴PQ=1200米, 1200÷300=4(分钟)，∴村庄A的村民能听到4分钟的宣传.18.解析由折叠的性质,得AD=AF,DE=EF.由S△ABF=12BF⋅AB=30,AB=CD=5,得BF=12.在Rt△ABF中,由勾股定理,得AF=13,所以AD=13,,所以CF=BC-BF=AD-BF=1. 设DE=x,则EC=5−x,EF=x,在Rt△ECF中, EC2+CF2=EF2,即(5−x)2+12=x2,解得x=135.所以S△ADE=12AD⋅DE=12×13×135=16.9.19.解析 (1)观察题中给出的勾股数得c-b=1,即c=b+1,a2+b2=c2,当a=19时, 192+b2=(b+1)2,∴b=180,∴c=181.(2)由(1)知c=b+1,a2+b2=c2,当a=2n+1时,(2n+1)2+b2= (b+1)2,∴b=2n2+2n,∴c=2n2+2n+1.(3)15,111,112不是一组勾股数.理由:由(2)知, 2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1为一组勾股数,当2n+1=15时, n=7,∴2n2+2n=2×72+2×7=112,2n²+2n+1=113,∴15,111,112不是一组勾股数.20.解析由题意可知S△ABC=S△ADE,∠BAE=∠F=90∘,所以S正方形ACFD=S△ADE+S梯形ACFE =S△ABC+S梯形ACFE=S四边形ABFE=S△BAE+S△BFE,∴b2=12c2+(b+a)(b−a)2,整理得a2+b2=c2.。

章节测试题1.【题文】例1 观察、思考与验证．（1）图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式：______；（2）如图2，∠B=∠D=90°，且B，C，D在同一直线上，试说明∠ACE=90°；（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．【答案】见解答.【分析】本题考查完全平方公式，全等三角形的性质，正方形面积、梯形面积的计算方法，熟练掌握完全平方公式和四边形面积的计算方法是解决问题的关键．（1）由大正方形面积的两种计算方法即可得出结果．（2）由全等三角形的性质得出∠BAC＝∠DCE，再由角的互余关系得出∠ACB+∠DCE=90°，从而得出结论．（3）先证明四边形ABDE是梯形，再由四边形ABDE的面积的两种计算方法得出结论．【解答】（1）（a+b）2=a2+2ab+b2．（2）∵△ABC≌△CDE，∴∠BAC=∠DCE．∵∠ACB+∠BAC=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∴∠ACE=90°．（3）∵∠B=∠D=90°，∴∠B+∠D=180°，∴AB∥DE，即四边形ABDE是梯形．∴四边形ABDE的面积，整理得a2+b2=c2．2.【题文】例2 如图，张明家（记作A）在成都东站（记作B）南偏西30°方向且相距4000m，王强家（记作C）在成都东站南偏东60°方向且相距3000m，则张明家与王强家的距离为多少米？【答案】5000m．【分析】本题考查勾股定理在实际生活中的运用，关键是得出△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理求解．根据题意可得∠ABC=90°，AB=4000m，BC=3000m，然后利用勾股定理求得AC．【解答】如图，连接AC．依题意得∠ABC=90°，AB=4000m，BC=3000m．由勾股定理得AC2＝AB2+BC2＝40002+30002=50002，∴AC=5000m．3.【答题】已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A. 25B. 14C. 7D. 7或25【答案】D【分析】【解答】4.【答题】若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A. 2：3：4B. 3：4：6C. 5：12：13D. 4：6：7【答案】C【分析】【解答】5.【答题】将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数后，得到的三角形是（）A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形【答案】C【解答】6.【答题】将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围为______．【答案】11＜h＜12【分析】【解答】7.【答题】如图，在一个高为5m、长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少是______m．【答案】17【分析】【解答】8.【题文】如图，有两棵树，一棵高18m，另一棵高10m，两树相距15m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？【答案】【解答】如图，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC．由题意知四边形BDCE是长方形，∴BE=CD=10m，CE=BD=15m．∴AE=AB-BE=18-10=8m．由勾股定理得AC2=AE2+CE2=82+152=172．故AC=17m．答：小鸟至少飞行17m．9.【题文】如图，一棵大树在离地面5m处断裂，大树顶部落在离大树底部12m处，大树断裂之前有多高？【答案】【分析】【解答】在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，AB=5m，AC=12m，∴BC2=AC2+AB2=122+52=132，∴BC=13m，∴AB+BC=5+13=18m．答：大树断裂之前的高度为18m．10.【题文】如图，小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端A处的绳子垂到地面B处后还多2m．他把绳子拉直并使下端刚好接触到地面C处，发现绳子下端到旗杆下端的距离为6m．请你帮小刚求出旗杆的高度AB．【答案】【分析】【解答】设旗杆的高度为x m，则绳子的长度为（x+2）m．根据勾股定理可得x2+62=（x+2）2．解得x=8．答：旗杆的高度为8m．11.【题文】如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现C处有一筐水果．一只猴子从D处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C 处；另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C处．已知两只猴子所经过的路程都为15m，求树高AB．【答案】【分析】【解答】Rt△ABC中，∠B=90°．设BC=a m，AC=b m，AD=x m，则10+a=x+b=15．∴a=5，b=15-x．在Rt△ABC中，由勾股定理得（10+x）2+a2=b2．∴（10+x）2+52=（15-x）2，解得x=2，即AD=2m．∴AB=AD+DB=2+10=12（m）．答：树高AB为12m．12.【答题】直角三角形两直角边的平方和等于______的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么______．【答案】【分析】【解答】13.【答题】在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则a=BC，b=______，c=______．【答案】【分析】【解答】14.【答题】如图，字母A所代表的正方形的面积是（）A. 12B. 13C. 144D. 194【答案】C【分析】【解答】15.【答题】下列说法中正确的是（）A. 若a，b，c是△ABC的三边，则a2+b2=c2B. 若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2C. 若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a2+b2=c2D. 若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a2+b2=c2【答案】D【分析】【解答】16.【答题】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF，△BCG，△CDH，△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为______．【答案】10【分析】【解答】17.【答题】在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）如果a=6，c=10，则b=______．（2）如果b=12，c=13，则b=______．（3）如果a=2.5，b=6，则c=______．【答案】8 5 6.5【分析】【解答】18.【题文】如图，计算下列各直角三角形中未知的边长．【答案】（1）5；（2）4；（3）3.【分析】【解答】19.【答题】在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=3，则AB2+AC2+BC2的值为（）A. 18B. 9C. 6D. 无法计算【答案】A【分析】【解答】20.【答题】已知直角三角形的两直角边长分别是12，16，则斜边上的高为（）A. 20B.C.D. 【答案】C【分析】【解答】。