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13.4 课题学习最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】课本P85页问题1练习、如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址【例2】P86页问题2【课堂检测】课本P93页、15题。
人教版-八年级数学讲义--最短路径问题-(含解析)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第6讲最短路径问题知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。
本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。
知识梳理讲解用时：20分钟两点之间线段最短C DA BEA地到B地有3条路线A-C-D-B，A-B，A-E-B，那么选哪条路线最近呢？垂线段最短如图，点P是直线L外一点，点P与直课堂精讲精练【例题1】已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据作图的方法即可得到结论．解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB 的值最小，∴D的作法正确，故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习】如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A． B．C．D．【答案】D【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习】如图，A、B在直线l的两侧，在直线l上求一点P，使|PA﹣PB|的值最大．【答案】见解析【解析】作点A关于直线l的对称点A′，则PA=PA′，因而|PA﹣PB|=|PA′﹣PB|，则当A′，B、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大．解：作点A关于直线l的对称点A′，连A′B并延长交直线l于P．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】如图，A、B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使△PAB的周长最小．【答案】【解析】由于△PAB的周长=PA+AB+PB，而AB是定值，故只需在直线l上找一点P，使PA+PB最小．如果设A关于l的对称点为A′，使PA+PB最小就是使PA′+PB最小．解：作法：作A关于l的对称点A′，连接A′B交l于点P．则点P就是所要求作的点；理由：在l上取不同于P的点P′，连接AP′、BP′．∵A和A′关于直线l对称，∴PA=PA′，P′A=P′A′，而A′P+BP＜A′P′+BP′∴PA+BP＜AP′+BP′∴AB+AP+BP＜AB+AP′+BP′即△ABP周长小于△ABP′周长．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短路线问题解这类问题的关键是把两条线段的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．教学建议：把三角形的周长用线段表示出来，通过转化成一条线段利用两点之间线段最短进行解题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习】（Ⅰ）如图①，点A、B在直线l两侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA+PB的值最小；（Ⅱ）如图②，点E、F在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得PE+PF的值最小；（Ⅲ）如图③，点M、N在直线l同侧，请你在直线l上画出两点O、P，使得OP=1cm，且MO+OP+PN的值最小．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【解析】（I）图①，显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点；（II）图2，作E关于直线的对称点，连接FE′即可；（III）图③，画出图形，作N的对称点N′，作NQ∥直线l，NQ=1cm，连接MQ 得出点O即可．解：（I）如图①，连接A、B两点与直线的交点即为所求作的点P，这样PA+PB 最小，理由是：两点之间，线段最短；（II）如图②，先作点E关于直线l的对称点E′，再连接E′F交l于点P，则PE+PF=E′P+PF=E′F，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点；（III）如图③，作N关于直线l的对称点N′，过N′作线段N′Q∥直线l，且线段N′Q=1cm，连接MQ，交直线l于O，在直线l上截取OP=1cm，如图，连接NP，则此时MO+OP+PN的值最小．讲解用时：5分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用，题目比较典型，第三小题有一定的难度，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，求△CDM周长的最小值.【答案】10【解析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．讲解用时：5分钟解题思路：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．教学建议：想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段，利用垂线段最短进行解题.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习】如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F 是AD边上的动点，求BF+EF的最小值.【答案】5【解析】过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，证△ADB ≌△CEB得CE=AD=5，即BF+EF=5．解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，∵等边△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE=AD=5，即BF+EF=5．故答案为：5．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．教学建议：想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段，利用垂线段最短进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短？【答案】见解析【解析】虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸．关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办法使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的．解：如图，作BB'垂直于河岸GH，使BB′等于河宽，连接AB′，与河岸EF相交于P，作PD⊥GH，则PD∥BB′且PD=BB′，于是PDBB′为平行四边形，故PB′=BD．根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AP+BD最短．故桥建立在PD处符合题意．讲解用时：4分钟解题思路：此题考查了轴对称﹣﹣﹣最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．教学建议：将3条线段进行转化成一条线段.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习】作图题（1）如图1，一个牧童从P点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．（2）如图2，在一条河的两岸有A，B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD表示．试问：桥CD建在何处，才能使A到B的路程最短呢？请在图中画出桥CD的位置．【答案】见解析【解析】（1）把河岸看做一条直线，利用点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短的性质即可解决问题．（2）先确定AA′=CD，且AA′∥CD，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．解：（1）根据垂直线段最短的性质，即可画出这条从草地到河边最近的线路，如图1所示：（2）先确定AA′=CD，且AA′∥CD，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．如图2，讲解用时：4分钟解题思路：此题考查了垂直线段最短的性质的在解决实际问题中的灵活应用，解题的关键是灵活运用垂直线段最短的性质作图．教学建议：掌握求最短路径的几种基本题型和方法.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是多少？【答案】30°【解析】由于点C关于直线MN的对称点是B，所以当B、P、D三点在同一直线上时，PC+PD的值最小解：连接PB．由题意知，∵B、C关于直线MN对称，∴PB=PC，∴PC+PD=PB+PD，当B、P、D三点位于同一直线时，PC+PD取最小值，连接BD交MN于P，∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴PA=PC，∴∠PCD=∠PAD=30°讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了线路最短的问题、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．教学建议：学会转移对称线段，利用垂线段最短进行解题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习】已知，如图△ABC为等边三角形，高AH=10cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为多少？【答案】10cm【解析】连接PC，根据等边三角形三线合一的性质，可得PC=BP，PD+PB要取最小值，应使D、P、C三点一线．解：连接PC，∵△ABC为等边三角形，D为AB的中点，∴PD+PB的最小值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm．解题思路：此题主要考查有关轴对称﹣﹣最短路线的问题，注意灵活应用等边三角形的性质．教学建议：学会转移对称线段，利用垂线段最短进行解题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．【答案】见解析【解析】作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1，交OB于P2，连接PP1，PP2，△PP1P2即为所求．解：如图，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1，交OB于P2，连接PP1，PP2，△PP1P2即为所求．理由：∵P1P=P1E，P2P=P2F，∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+p1p2+p2F=EF，根据两点之间线段最短，可知此时△PP1P2的周长最短．解题思路：本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．教学建议：此类问题的解题技巧是做对称点，做定点关于动点所在直线的对称点.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习】知识拓展：如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使△PEF周长最短（保留作图痕迹不写作法）【答案】见解析【解析】作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD角OA、OB于E、F．此时△PEF周长有最小值；作图如下：讲解用时：3分钟解题思路：题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出对称点的位置是解题关键．教学建议：此类问题的解题技巧是做对称点，做定点关于动点所在直线的对称点.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内一点，PO=8，在∠AOB的两边分别有点R、Q（均不同于O），求△PQR周长的最小值．【答案】【解析】根据轴对称图形的性质，作出P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，根据两点之间线段最短得到最小值线段，根据等边三角形的性质解答即可．解：分别作P关于OA、OB的对称点M、N．连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件．连接OM、ON，由轴对称的性质可知，OM=ON=OP=8，∠MON=∠MOP+∠NOP=2∠AOB=2×30°=60°，则△MON为等边三角形，∴MN=8，∵QP=QM，RN=RP，∴△PQR周长=MN=8，讲解用时：5分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短路径问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质的灵活运用．教学建议：对称之后，角度也是相同的，做定点关于动点所在直线的对称点. 难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习】如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10，OA上有一点Q，OB上有一定点R．若△PQR周长最小，求它的最小值．【答案】10【解析】先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF 与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解．解：设∠POA=θ，则∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR=RP，∴△PQR的周长=EF．∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°﹣θ）=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=10，即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10．故答案为：10．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答．教学建议：做定点关于动点所在直线的对称点，利用轴对称的性质进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，在铁路l的同侧有A、B两个工厂，要在铁路边建一个货场C，货场应建在什么地方，才能使A、B两厂到货场C的距离之和最短？【答案】见解析【解析】作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，交l于点C，则点C即为所求点．解：如图所示：讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】用三角板和直尺作图．（不写作法，保留痕迹）如图，点A，B在直线l的同侧．（1）试在直线l上取一点M，使MA+MB的值最小．（2）试在直线l上取一点N，使NB﹣NA最大．【答案】见解析【解析】（1）作点A关于直线l的对称点，再连接解答即可；（2）连接BA，延长BA交直线l于N，当N即为所求；解：（1）如图所示：（2）如图所示；理由：∵NB﹣NA≤AB，∴当A、B、N共线时，BN﹣NA的值最大．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=6，点F 是AD边上的动点，求BF+EF的最小值.【答案】6【解析】过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，证△ADB ≌△CEB得CE=AD=6，即BF+EF=6．解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，∵等边△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB和△CEB中，∵，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE=AD=6，即BF+EF=6.讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，点P是∠AOB内部的一点，∠AOB=30°，OP=8cm，M，N是OA，OB上的两个动点，则求△MPN周长的最小值【答案】8【解析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=8cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=8cm．∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=8cm．故答案为：8．讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。
13.4 课题学习最短路径问题祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。
《老子·五十八章》涵亚学校陈冠宇【知识与技能】1.了解最短路径问题.2.掌握解决最短路径问题的方法.【过程与方法】通过解决最短路径问题的过程培养学生分析问题的能力.【情感态度】通过对最短路径问题的学习，增强应用数学知识解决实际问题的信心.【教学重点】解决最短路径问题.【教学难点】最短路径的选择.一、情景导入，初步认识问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）【教学说明】（1）C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小.作出点B关于l的对称点B′，连接AB′，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.（2）N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB 最小?将AM沿与河岸垂直方向平移，移动距离为河宽，则A点移到A′点，连接A′B，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知例要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管道最短？【分析】本问题就是要在l上找一点C，使AC与CB的和最小.设B′是B关于直线l的对称点，本问题也就是要使AC与CB′的和最小.在连接AB′的线中，线段AB′最短.因此，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.【教学说明】解决最短路径问题通常运用的知识有“过直线作已知点的对称点”，“两点的所有连线中，线段最短”等.三、师生互动，课堂小结这节课主要学习了最短路径问题，让学生相互交流体会与收获，并总结本课所学知识.完成练习册中本课时的练习.本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，教学时，据本课内容特点，可依据其学科知识间联系调动课堂气氛，培养学生学习兴趣.【素材积累】司马迁写《史记》汉朝司马迁继承父业，立志著述史书。
课题学习最短路径问题〔第二课时〕造桥选址问题〔邹敏〕一、教学目标：〔一〕学习目标1.熟练应用轴对称变换知识，提高解决实际问题的能力；2.学会利用平移变换知识解决造桥选址的最短路径问题；3.体会平移变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．〔二〕教学重点教学重点：利用平移将“造桥选址〞的实际问题转化为“两点之间，线段最短〞问题〔三〕教学难点教学难点：如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题二、教学设计〔一〕课前设计1.预习任务⑴平移不改变图形的和;⑵三角形三边的数量关系：三角形任意两边的差第三边;⑶如图，直线AB，CD且AB∥CD，在直线AB上任取不同两点P、Q，过P、Q 分别作CD的垂线，垂足分为M、N，那么PM与QN的大小关系为〔〕A．PM＞QN B．PM＝QN C．PM＜QN D．不能确定答案：⑴形状，大小；⑵小于；⑶B2.预习自测⑴直线AB上有一点P，当点P在时，P A+PB有最小值，最小值为AB 的值；⑵直线AB上有一点P，当点P在时，PB-P A等于AB的值；⑶直线AB 上有一点P ，当点P 在 时，P A -PB 等于AB 的值；图1图3图2B AP B AP 【知识点】线段的和差 【数学思想】分类讨论，数形结合【思路点拨】直线AB 上有一点P ，此时点P 与线段AB 的位置关系有两种：①如图1，点在线段AB 上；②如图2和图3，点在线段BA 的延长线上或点在直线AB 的延长线上.【解题过程】⑴当点P 在线段AB 上时，如图1，P A +PB =AB 即P A +PB 最小值为AB 的值；⑵当点P 在线段BA 的延长线上时，如图2，PB -P A =AB ；⑶当点P 在线段AB 的延长线上时，如图3，P A - PB =AB ；【答案】⑴线段AB 上；⑵线段BA 的延长线上；⑶线段AB 的延长线上.⑷如图，点 A 、B 在直线l 的同侧，在直线l 上能否找到一点P ，使得｜PB －P A ｜的值最大？ l B A【知识点】两点之间线段最短，三角形两边的差小于第三边【思路点拨】当点P 、点A 、点B 不共线时，根据“三角形任意两边的差小于第三边〞 ，那么｜PB －P A ｜＜AB ； 当点P 与A 、B 共线，点P 在线段BA 的延长线上时，即点P 为直线AB 与直线l 的交点，那么｜PB －P A ｜=AB .【解题过程】⑴当点P 在直线l 上且点P 、点A 、点B 不共线时｜PB －P A ｜＜AB ；⑵当点P 在线段BA 的延长线与直线l 的交点时，如图，PB -P A =AB ，即 ｜PB －P A ｜=AB ；【答案】如图，连接BA 并延长交直线l 于P ，此时｜PB －P A ｜的值最大.〔二〕课堂设计1.知识回忆⑴在平面内，一个图形沿一定方向、移动一定的距离，这样的图形变换称为平移变换〔简称平移〕. 平移不改变图形的形状和大小.⑵三角形三边的数量关系：三角形两边的差小于第三边2.问题探究探究一运用轴对称解决距离之差最大问题●活动①回忆旧知，引入新知师：上节课我们认识了精通数学、物理学的学者海伦，解决了数学史中的经典问题——“将军饮马问题〞，但善于观察与思考的海伦在解决“两点〔直线同侧〕一线〞的最短路径问题时他从另一角度发现了“最大值〞的情况：●活动②整合旧知，探究新知例1. 如图，A、B两点在直线l的异侧，在直线l上求作一点C，使｜AC－BC｜的值最大．【知识点】轴对称变换，三角形三边的关系【思路点拨】根据轴对称的性质、利用三角形三边的关系，通过比拟来说明最值问题是常用的一种方法.此题的突破点是作点A(或点B)关于直线l的对称点A′(或B′)，利用三角形任意两边之差小于第三边，再作直线A′B(AB′)与直线l交点C.【解题过程】如图1所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的延长线交l于点C，那么点C即为所求．Arrayl●活动③类比建模，证明新知师：回忆我们是怎么利用轴对称的知识证明“两点〔直线同侧〕一线型〞时AC +BC 最小的吗？试类比证明“｜AC－BC｜最大〞的作法是否正确性？理由：在直线l上任找一点C ′ (异于点C )，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，那么有CA＝CA′，所以CA －CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.又在△A′BC′中，C′A －C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.练习点A、B均在由面积为1的一样小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系，如下图.假设P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，请在图中画出点P与点Q.【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边，三角形任意两边的和大于第三边【思路点拨】当点P与A、B共线时，即在线段AB的延长线上，点P为直线AB 与x轴的交点，那么此时P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，即｜P A－PB｜=AB. 将点A、B看成y轴同侧有两点：在y轴上求一点Q，使得QA+QB最小【解题过程】⑴延长线段AB，AB与x轴交于点P，那么此时P是x轴上使得|PA －PB|的值最大的点，即｜P A－PB｜=AB；⑵作点A关于x轴的对称点A′，A′B 的连线交y轴于点Q，那么点Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点.【答案】如图，点P与点Q即为所求：探究二 利用平移解决造桥选址问题★▲●活动①结合实际，难点分解师：常说“遇山开路，遇水搭桥〞，生活中的建桥问题与我们所学习的轴对称有什么关系呢？如图，在笔直河岸CD 上的点A 处需建一座桥，连接河岸EF ，且CD ∥EF .显然当桥AB 垂直于河岸时，所建的桥长最短. D C E F A B D C E F A●活动②生活中的实际问题例2. 如图，A 、B 两地位于一条河的两岸，现需要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？〔假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直〕【知识点】平移知识，两点之间线段最短 【思路点拨】需将实际问题抽象成数学问题：从点A 到点B 要走的路线是A →M →N →B ，如下图，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要AM ＋BN 最短即可．如图1，此时两线段AM 、BN 应在同一平行方向上，平移MN 到A A ′，那么A A ′=MN ，AM +NB = A′N+NB ，这样问题就转化为：当点N 在直线b 的什么位置时，A′N+NB 最小？如图2，连接A ′，B 两点的线中，线段 A ′B 最短，因此，线段A ′B 与直线b 的交点N 的位置即为所求，即在点N 处造桥MN ，所得路径A→M→N→B 是最短的.图1【解题过程】⑴如图2，平移MN到AA′〔或者过点A作A A′垂直于河岸〕，且使AA′等于河宽．⑵连接BA′与河岸的一边b交于点N.⑶过点N作河岸的垂线交另一条河岸a于点M.【答案】如下图，那么MN为所建的桥的位置．图2●活动③几何证明上述作图为什么是最短的？请你想想.先让学生小组合作完成，进展展示、分享.证明：由平移的性质，得MN∥AA′，且MN= AA′，AM=A′N，AM∥A′N，所以A、B两地的距离:AM+MN+BN= AA′+ A′N+ BN = AA′+ A′B.如图2，不妨在直线b上另外任意取一点N′，假设桥的位置建在N′M′处，过点N′作N′M ′⊥a，垂足为M ′，连接AM ′，A′N ′，N ′B.由平行知：AM′=A′N′，AA′= N′M′，那么建桥后AB两地的距离为：AM′+M′N′+N′B=A′N′+AA′+N′B=AA′+A′N′+N′B. 在△A′N′B 中，∵A′N′+N′B＞A′B，∴AA′+A′N′+N′B＞AA′+A′B，即AM′+M′N′+N′B＞AM+MN+BN.所以桥建在MN处，AB两地的路程最短.【设计意图】利用平移等变换把问题转化为容易解决的问题，从而做出最短路径的选择.练习如图1，江岸两侧有A、B两个城市，为方便人们从A城经过一条大江到B城的出行，今欲在江上建一座与两岸垂直的大桥，且笔直的江岸互相平行.应如何选择建桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？【知识点】平移的知识，两点之间线段最短【思路点拨】从A到B要走的路线是A→M→N→B，如下图，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥．【解题过程】(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽；(2)连接BC与河岸的一边交于点N；(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.【答案】如图2所示，那么MN为所建的桥的位置．3. 课堂总结知识梳理本堂课主要知识为两个最值问题：〔1〕利用轴对称知识解决“线段距离之差最大〞问题；〔2〕利用平移、两点间线段最短解决“造桥选址〞问题．重难点归纳解决线段最值问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．⑴“距离之差最大〞问题的两种模型：①如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大；②如果两点在一条直线的异侧时，先作其中一点关于直线的对称点，转化为①即可.通常求最大值或最小值的情况，常取其中一个点的对称点来解决，而用三角形三边的关系来推证说明其作法的正确性．⑵“造桥选址〞问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．〔三〕课后作业根底型自主突破1.如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．那么符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是〔〕A．F和C B．F和E C．D和C D．D和E 【知识点】最短路径问题．【思路点拨】图中隐含了两个“两点〔同侧〕一线型〞的模型.【解题过程】由轴对称的最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点B关于a的对称点B′与A的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C．应选A．【答案】A2. 如下图，一面镜子MN竖直悬挂在墙壁上，人眼O的位置与镜子MN上沿M 处于同一水平线．有四个物体A、B、C、D放在镜子前面，人眼能从镜子看见的物体有〔〕A.点A、B、CB. 点A、B、DC. 点B、C、DD. 点A、B、C、D 【知识点】轴对称的知识【思路点拨】物体在镜子里面所成的像就是数学问题中的物体关于镜面的对称点，人眼从镜子里所能看见的物体是它关于镜面的对称点，必须在眼的视线范围内．如下列图示，分别作A、B、C、D四点关于直线MN的对称点A′、B′、C′、D′．由于C′不在∠MON内部，故人能从镜子里看见A、B、D三个物体．【解题过程】如下列图示，分别作A、B、C、D四点关于直线MN的对称点A′、B′、C′、D′．由于C′不在∠MON内部，故人能从镜子里看见A、B、D三个物体．【答案】B3．如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为〔〕A．50°B．60°C．70°D．80°A【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、三角形的外角以及三角形内角和、四边形内角和【解题过程】∵在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD=130°延长AB到P，使BP=AB，延长AD到Q，使DQ=AD，那么点A关于BC的对称点为点P，关于CD的对称点为点Q，连接PQ与BC相交于点E，与CD相交于点F，如图，PQ的长度即为△AEF的周长最小值；又∵∠BAD=130°，∴在△APQ 中，∠P＋∠Q＝180°－130°＝50°.∵∠AEF＝∠P＋∠P AE＝2∠P，∠AFE＝∠Q＋∠QAF＝2∠Q，∴∠AEF＋∠AFE＝2(∠P＋∠Q)＝2×50°＝100°，∴∠EAF =180°－100°=80°【思路点拨】①补全图形，转化为“一点两线型〞求三角形周长最小的问题；②根据三角形的内角和等于180°求出∠P＋∠Q，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决．【答案】D4.如图，村庄A，B在公路l的同侧，在公路l上有一个公交车站点P，此点P使得｜PB－PA｜值最大，试作出公交车站P的位置.BAl【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边【思路点拨】当点P、点A、点B不共线时，根据“三角形任意两边的差小于第三边〞，那么｜PB－P A｜＜AB；当点P与A、B共线时，即在线段BA的延长线上，点P为直线AB与直线l的交点，那么｜PB－P A｜=AB.【解题过程】⑴当点P在直线l上且点P、点A、点B不共线时｜PB－P A｜＜AB；⑵当点P在线段BA的延长线与直线l的交点时，如图，PB-P A=AB，即｜PB－P A｜=AB；【答案】如图，点P为所求公交车站的位置.5. 如图，等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的中线，E是AD边上的动点，F是AC边上的中点，当EF+EC取得最小值时，求∠ECF的度数.（图2）E F'D C B A F FD C AB E【知识点】等腰三角形的“三线合一〞，轴对称知识，两点之间线段最短【思路点拨】拆分出点F 、点C 和直线AD ，构成“两点一线型〞的根本模型是解决此题的关键，连接CF′〔或者连接BF 〕与直线AD 交于点E ，此时EF+EC 取得最小值为CF′〔或者BF 〕，但题目要求∠ECF 的度数，那么只能连接CF′，根据等腰三角形 “三线合一〞的性质求解.【解题过程】取AB 得中点F′，那么等边三角形AC 边的中点F 与点F′关于直线AD 对称；连接CF′，与直线AD 相交于点E ，此时 EF +ECCF′是等边△ABC 的边AB 上的中线，所以CF′平分∠ACB ，那么∠ECF 的度数是30°.作图解题之前应该忽略图中的点E ，如图1，又由“两点一线型〞的最短距离的模型得到图2；（图1）D CB AF【答案】∠ECF 的度数为30°6. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =8，AB =10，AD 是∠BAC 的平分线．假设P 、Q 分别是AD 和AC 上的动点，求PC +PQ 的最小值.【知识点】轴对称的知识、垂线段最短、角平分线的性质【数学思想】数形结合，转化【解题过程】如图，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，交AD 于点P ，过点P 作PQ ⊥AC于点Q ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴PQ =PM ，这时PC +PQ 有最小值，最小值为CM 的长度. ∵AC =6，BC =8，AB =10，S △ABC =12AB •CM =12AC •BC ，∴CM =AC BC AB ⋅=6810⨯=245，即PC +PQ 的最小值为245．【思路点拨】因为∠BAC 的对称轴是∠BAC 的平分线所在的直线AD ，所以点Q 的对称点在射线AB 上.假设点Q 关于直线AD 的对称点为点M ， PC +PQ =PC +PM ， 又当PC 、PM 共线时，PC +PM 的最小值为线段CM 的最小值，根据垂线段最短，所以当CM ⊥AB 时线段CM 的值最小.过点C 作CM ⊥AB 于点M ，交AD 于点P ，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ，因为AD 是∠BAC 的平分线，得出PQ =PM ，这时PC +PQ 有最小值，最小值为CM 的长度，再运用S △ABC =12AB •CM =12AC •BC ，得出CM 的值，即PC +PQ 的最小值．此题主要考察了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC +PQ 有最小值时点P 和Q 的位置．【答案】245能力型 师生共研7.如下图，在边长为3的等边三角形ABC 中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，点P 是线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，求△BPG 周长的最小值． G EF C AP【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】要使△PBG 的周长最小，而BG 是一个定值，只要使BP +PG 最短即可，那么转化为“两点一线型〞的最短路径问题. 连接AB 交直线EF 于点P即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即△PBG的周长最小.【解题过程】如图，连接AG交EF于M.∵等边△ABC，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，∴AG⊥BC，EF∥BC，那么AG⊥EF，AM=MG，∴A、G关于EF对称，连接AB交直线EF于点P，即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即△PBG的周长最小，∵AP=PG，BP=BE，∴最小值是：PB+PG+BG=AE+BE +BG=AB+BG．【答案】探究型多维突破8. 读一读：勾股定理提醒了直角三角形边之间的关系: 在直角三角形中，两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c² .我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾〞，较长直角边为“股〞，斜边称为“弦〞，所以把这个定理成为“勾股定理〞.例如：直角三角形的两个直角边分别为3、4，那么斜边c2= a2+b2=9+16=25，那么斜边c为5. 借助勾股定理我们可以解决更多最短路径问题，勾股定理的具体内容我们将在八年级下册中学到.借助勾股定理，请尝试完成下面的练习：如图，A、B两个村庄位于河流CD的同侧，它们到河流的距离AC=10km，BD=30km，且CD=30km．现在要在河流CD上建立一个泵站P向村庄供水，铺设管道的费用为每千米2万元，要使所花费用最少，请确定泵站P的位置，并求出此时所花费用的最小值为多少？〔保存痕迹，不写作法〕【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】根据得出作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，那么A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，再构造直角三角形利用勾股定理即可求出．此题主要考察了用轴对称解决最短路径问题和勾股定理的应用，解题关键是构建直角三角形．【解题过程】依题意，只要在直线l上找一点P，使点P到A、B两点的距离和最小．作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，那么A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，且PA+PB=PA′+PB=A′B．又过点A′向BD作垂线，交BD的延长线于点E，在直角三角形A′BE中，A′E=CD=30，BE=BD+DE=40，根据勾股定理可得：A′B=50〔千米〕即铺设水管长度的最小值为50千米．所以铺设水管所需费用的最小值为：50×2=100〔万元〕．【答案】100万元9. 读一读：勾股定理提醒了直角三角形边之间的关系: 在直角三角形中，两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c² .我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾〞，较长直角边为“股〞，斜边称为“弦〞，所以把这个定理成为“勾股定理〞.例如：直角三角形的两个直角边分别为3、4，那么斜边c2= a2+b2=9+16=25，那么斜边c为5. 借助勾股定理我们可以解决更多最短路径问题，勾股定理的具体内容我们将在八年级下册中学到.借助勾股定理，请尝试完成下面的练习：如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q 分别在边OB、OA上，那么MP+PQ+QN的最小值是．【知识点】轴对称的知识【思路点拨】点M、N分别在边OA、OB上的定点，作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．【解题过程】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．∴根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=∠AOB=30°，O N′=ON=3，OM′=OM=1，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=22=10．故答案为10．31【答案】10自助餐1. 如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，现要在河边建一自来水厂E为A 村与B村供水，自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小？请在下列图中找出点E的位置．〔保存作图痕迹，不写作法〕【知识点】轴对称知识，两点之间线段最短【思路点拨】利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线CD的对称点A′，再连接A′B交CD于点E，即可得出答案．【解题过程】如下图，点E即为所求．2. 如图，在一条笔直的公路l旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之差即｜PB－P A｜最小? (保存作图痕迹及简要说明)l BA【知识点】线段垂直平分线的知识，绝对值的知识【思路点拨】因为绝对值具有非负性，即｜PB －AP ｜≥ 0，所以当点PA=PB 时， ｜PB －P A ｜最小值为0.【解题过程】 作线段AB 的垂直平分线，与直线l 交于点P ，交点P 即为符合条件的点．如图，取线段AB 的中点G ，过中点G 画AB 的垂线，交EF 于P ，那么P 到A ，B 的距离相等．也可分别以A 、B 为圆心，以大于12AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．【答案】如图，点P 为所求公交车站的位置.3. 如图，直线l 外不重合的两点A 、B ，在直线l 上求作一点C ，使得AC +BC 的长度最短，作法为：①作点B 关于直线l 的对称点B ′；②连接AB ′与直线l 相交于点C ，那么点C 为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的数学知识或方法是〔 〕lA ．转化思想B ．三角形的两边之和大于第三边C ．两点之间，线段最短D ．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角【知识点】轴对称的知识、两点之间最短【解题过程】∵点B 和点B ′关于直线l 对称，且点C 在l 上，∴CB =CB ′，又∵AB ′交l 与C ，且两条直线相交只有一个交点，∴CB ′+CA= AB ′最短，即此时点C 使CA +CB 的值最小，将轴对称最短路径问题转化为“两点之间，线段最短〞，表达了转化的思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．应选D ．【思路点拨】利用“两点之间线段最短〞分析并验证即可．此题主要考察了利用轴对称知识解决最短路径问题，但凡涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理“两点之间线段最短〞，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．【答案】D4.如图，在△ABC 中，AC =5，EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上的任一点，那么AP +BP 的最小值= .【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【数学思想】数形结合.【解题过程】∵EF 垂直平分BC ， ∴B 、C 关于EF 对称.连接AC 交EF 于D ，∴当P 和D 重合，即当点P 在直线EF 上的D 点处时，AP +BP 的值最小，最小值等于AC 的长为5.【思路点拨】根据题意知点B 关于直线EF 的对称点为点C ，故当点P 与点D 重合时，AP +BP 的最小值为AC 长度5.【答案】5 DA B CEF P5. 如图，在平面直角坐标系中，PQ ⊥x 轴于点Q ，P 〔-4，8〕. 直线AB 垂直平分线段OQ ,交x 轴于点C ，点M 为直线AB 上的一动点，过M 作y 轴的垂线，垂足为点N ，连接PM 、NQ ，求PM ＋MN ＋NQ 的最小值；【知识点】平移知识，两点之间线段最短【思路点拨】将直线AB 和y 轴看作河的两岸，点P 和点Q′看作河岸两侧的点，转化为造桥选址问题.从P 到Q 要走的路线是P →M →N →Q ，如下图，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要PM ＋QN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到PP′，从P′→N →Q 应是余下的路程，当P′N + NQ 的值最小时PM ＋MN ＋NQ 有最小值.作点Q 关于y 轴的对称点Q′，连接P′Q′的线段即为最短， P′Q′与y 轴的交点为N ，过N 作直线AB 的垂线，垂足为点M ，那么PM ＋MN ＋NQ 的最小值为线段P′Q′的长．【解题过程】因为PQ ⊥x 轴于点Q ，P 〔-4，8〕所以Q 〔-4，0〕又因为直线AB 垂直平分线段OQ ,交x 轴于点C ，所以C 〔-2，0〕.如图2，过点P 作PP′⊥AB 于P′，且PP′等于OC ．又作点Q 关于y 轴的对称点Q′〔4，0〕，连接P′Q′与y 轴的交点为N ，过N 作直线AB 的垂线，垂足为点M ，那么PM ＋MN ＋NQ 的最小值为线段P′Q′+MN 的长．又易得P′C =8， Q ′C =6，借助勾股定理，在直角三角形P′CQ ′中可得P′Q′=22''C Q C P +=2268+=10，所以PM ＋MN ＋NQ 的最小值为10+2=12.【答案】PM ＋MN ＋NQ 的最小值为12.。
