人教版八年级上册数学专题：最短路径问题复习课件
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人教版八年级上最短路径问题精选课件
转化 猜想 尝试 验证 总结
·
A· ·
C' C
·
B
证明：
在l上任取另一点C’，
l 连结BC’、AC’、B’C’
·B′∵直线MN是点B、B’的对称
轴，点C、C’在对称轴上，
∴BC=B’C， BC’=B’C’． ∴BC+A C=B’C+AC=AB’ ． ∴BC’+AC’=B’C’+AC’
在△AB’C’中，AC’+B’C’ >AB’
•
8.对传统生物学过分强调个体行为和 动物本 能的观 点进行 了反思 ，也对 人类盲 目自大 、不能 充分认 识自身 生存危 机作出 了警示 。
•
9. 人类虽然最终脱颖而出，主宰了这 个世界 ，但人 类的行 为方式 还具有 和其他 社会性 生物相 类似的 特点， 还需要 联合， 需要团 结，才 能源源 不断地 产生智 慧，克 服自身 发展面 临的种 种困境 ，推动 社会进 步。
A·
·
C
·B
l
转化 猜想 尝试 验证 总结
求：线段AC+BC最短
A·
·B
（1）BC=B′C， ∴AC+BC=AC+B’C=AB’
．
·· C' C
l （2）BC′=B′C′ ． ·B′ AC’+BC’=AC’+B’C’
∴泵站修在 在△AB’C’中，AC’+B’C’ >AB’
管道的C处
即：AC’+BC’ >AC+BC
探究2.如图，要在燃气管道l上修建一个
泵站C，分别向A、B两镇供气，泵站C修
在管道l的什么地方，可以最省材料？
A.
人教版八年级数学上册1最短路径问题课件
在△AB′C′中，AB′< AC′+B′C′，
B′
∴AC+BC < AC′+B′C′，
即AC+BC最小．
归纳
B A
l
解决实 际问题
B
抽象为数学问题
A
C
l
轴对称
A C
用旧知解决新知
B
l
A
C
l
B′
B′
解决“两点一线”型最短路径问题的方法：
异侧: 连接两点，与直线的交点即为所求的点；
同侧: 作其中某一点关于直线的对称点，对称点与另
a P1
M .P
N
b
P2
解决“两线一点”型最短路径问题:
要作两次轴对称，从而构造出最短路径． a
P1
作法： 1.作点P关于直线a的对称 点P1; 2.作点P关于直线b的对称
M .P
点P2; 3.连接P1P2，分别交直线 a ，b于点M ,N ;
N
b
4.依次连接PM ,MN ,NP , 即所求最短路径。
A1
P
l1
.
A
Q
. B1
B
l2
再学习（4）造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在 河上造一座桥MN.乔造在何处才能使从A到 B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平 行的直线，桥要与河垂直）
A
B
思维分析
A Ｍ
Ｎ B
如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和 ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN， 那么怎样确定什么情况下最短呢？
问题解决
如图，平移A到A1，使Ａ
A
A1等于河宽，连接A1Ｂ
人教版数学初中八年级上册13.4课题《学习最短路径问题》PPT课件
▪ 问题2 A和B两地在一条河的两岸，现在要 在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A 到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的 直线，桥要与河垂直。）
A
a M
N
b
B
▪ 分析：可以动点，MN垂直于直线b，交 直线a于点M，这样问题可以转化为：
▪ 当点N在直线的什么位置时，AM+MN+NB 最小？
▪ 由于河宽固定，因此当AM+NB最小时， AM+MN+NB最小。这样问题进一步转化为：
▪ 当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
▪ 根据问题1的知识，请同学们： ▪ 1、自主探究， ▪ 2、同学讨论， ▪ 3、对照课本， ▪ 找出不足，解决问题。
▪ 归纳：
▪
在解决最短路径问题时，我们通常利
用轴对称、平移等变化把已知问题转化为
容易解决的问题，从而作出最短路径的选 择。
▪ 小结：
▪ 本节课同学们学到了哪些知识？还有哪 些困惑？
▪ 那么我们如何才能把同则的两点变成异则 的两点呢？
▪ 如果能把点B或A移到L的另一则B′或A′处， 同时对直线上的任一点C，都保持CB=CB′， 就可以了。
▪ 你能利用轴对称找到符合条件的B′点吗？
B A
B A
C 点C 即为所求
你能证明为什么点C即为所求吗？
B′
▪ 证明：在L上另取一点C′，连接AC′,BC′,B′C′, ▪ ∵AC′+BC′=AC′+B′C′ ▪ 在△AB′C′中 ▪ AC′+BC′＞AB′(两边之和大于第三边） ▪ ∴点C即为所求。
复习：
▪ 我们以前学过哪些知识能说明线段最短？
1，两点间线段最短
人教版八年级上册数学专题最短路径问题复习精品课件PPT
图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
人教版八年级上册数学13.4专题：最 短路径 问题复 习 课件
人教版八年级上册数学13.4专题：最 短路径 问题复 习 课件
练习2.如图13-4-2，一个牧童在小河的南边A处牧马，他想把他的马牵到
小河边去饮水，然后回家(即图中的小屋B). 问：马牵到小河边什么地方饮 水，然后回家所走的路程最短？请在图中画出河边马饮水的位置.
人教版八年级上册数学13.4专题：最 短路径 问题复 习 课件
完成作业2.24作业
人教版八年级上册数学13.4专题：最 短路径 问题复 习 课件
15
人教版八年级上册数学13.4专题：最 短路径 问题复 习 课件
蓦然回首
对自己说，你有什么收获？ 对同学说，你有什么温馨提示？ 对老师说，你还有什么困惑？
10
人教版八年级上册数学13.4专题：最 短路径 问题复 习 课件
知识点一：利用轴对称解决最短路径问题
典例讲评
两线一点型
如图，已知点A是锐角∠MON内的一点，试分别在
OM，ON上确定点B，C，使△ABC的周长最小，写出你作
图的主要步骤,并标明你所确定的点.(要求画出草图,保留作图
作痕法迹：) 1、分别作点A关于 OM、ON的对称点A′,A′′;
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线 AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的 最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
人教版八年级上册数学13.4专题：最 短路径 问题复 习 课件
人教版八年级上册数学13.4专题：最 短路径 问题复 习 课件
人教版八年级上册数学13.4专题：最 短路径 问题复 习 课件
人教版八年级上册数学13.4专题：最 短路径 问题复 习 课件
练习2.如图13-4-2，一个牧童在小河的南边A处牧马，他想把他的马牵到
小河边去饮水，然后回家(即图中的小屋B). 问：马牵到小河边什么地方饮 水，然后回家所走的路程最短？请在图中画出河边马饮水的位置.
人教版八年级上册数学13.4专题：最 短路径 问题复 习 课件
完成作业2.24作业
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15
人教版八年级上册数学13.4专题：最 短路径 问题复 习 课件
蓦然回首
对自己说，你有什么收获？ 对同学说，你有什么温馨提示？ 对老师说，你还有什么困惑？
10
人教版八年级上册数学13.4专题：最 短路径 问题复 习 课件
知识点一：利用轴对称解决最短路径问题
典例讲评
两线一点型
如图，已知点A是锐角∠MON内的一点，试分别在
OM，ON上确定点B，C，使△ABC的周长最小，写出你作
图的主要步骤,并标明你所确定的点.(要求画出草图,保留作图
作痕法迹：) 1、分别作点A关于 OM、ON的对称点A′,A′′;
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线 AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的 最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
人教版八年级上册数学13.4专题：最 短路径 问题复 习 课件
人教版八年级上册数学13.4专题：最 短路径 问题复 习 课件
人教版八年级数学上册《最短路径问题》课件(共15张PPT)
联想：
如果点A、B在直线l的异侧时
A
C
l
B
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
思考：
能把A、B两点从直线 l 的同侧转化为异侧吗？
作法及思路分析
1.作点B关于直线 l 的对称点B′ ，连接
CB′。
B
A C
l
B′
2.由上步可知AC+CB=AC +CB′，
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短？
根据前面的分析，我们认为的
人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
饮马问题
如图，牧马人从马棚A牵马到河边 l 饮水，然后再到帐蓬B．问：在河边 的什么地方饮水，可使所走的路径最 短？
B B
AA l
l
分析：
B
B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC+CB的和最小？
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
A
B
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
八年级数学人教版(上册)课件_13.4课题学习最短路径问题(共20张PPT)
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小？
追问2 你能利用轴对称的
A··B源自有关知识，找到上问中符合条
l
件的点B′吗？
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
八年级数学上册·人教版
第13章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
• 本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮 马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研 究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最 小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为 “两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大 于第三边”）问题．
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，
课件说明
• 学习目标： 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
• 学习重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线 段最短”问题．
引入新知
引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
人教版数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题课件(共27张PPT)
A∙ 请小组讨论证明这个结论吧！
A′
M′ a M
b
N′
N
∙B
13.4 最短路径问题
证明
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，
连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′. 即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′， 即AM+NB+MN的值最小.
13.4 最短路径问题
解：∵点B 和 点C 关于直线 AD 对称， ∴BF = CF . 求BF + EF 最小值，只需 CF + EF 最小. 连接EC，线段 CE 的长即为 BF + EF 的最 小值. ∵D、E 是等边△ABC 中 BC、AB 的中点， ∴CE = AD = 5. ∴BF+EF的最小值为5.
路程最短？ C
A
D
A1
A C
C1 D1 E
E1 B B1
C1 B
解：如图，作 AA1⊥CD，且 AA1 = 河宽，作 BB1⊥CE，且 BB1 = 河宽， 连接 A1B1，与内河岸相交于 E1，D1. 过 E1，D1作河岸的垂线段 EE1 、 DD1，即为桥.
13.4 最短路径问题
13.4 最短路径问题
学习目标 1. 利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题. 重点
2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为
数学问题的思想. 难点
13.4 课题学习 最短路径问题 课件(共15张PPT)人教版初中数学八年级上册
迁移应用
3.如图，点P是∠AOB内任意一点，点M和点N分别是射线OB和射线OA 上的动点，当△PMN的周长为最小时，画出点M,N的位置.
B P'
M P
O
N
A
P''
解：如图所示，点 M,N 即为所求
B
M
P
O
A N
课后延伸
1.课本P93，第15题 2.收集最短路径的其他模型
人教版八年级数学第十三章《轴对称》
课题学习—最短路径问题
情境引入
古从军行 唐·李颀
经验唤醒
如图所示，请规划从A地到B地最近的路线？为什么 这条路线最近？
A
B
AB即为最短路线，因为两点之间，线段最短
探究一
问题情境1
图形
将军从烽火台到河边饮马 在这个情境中我们 再回到营地，饮马点在什么位 分别把烽火台，营 置，可使将军所走的路径最短？ 地，河流抽象成哪
种几何图形？
A. 点 B.线
A
l B
最短路径作法
直线异侧 “两定点”
连定点 得最短
A
l P
B
两点之间 线段最短
探究二
问题情境2
将军从烽火台到河边 饮马再回到营地，饮马点 在什么位置，可使将军所 走的路径最短？
图形
我们可以把情境 2抽象成怎样的几何 图形？
最短路径作法
直线同侧“两定点”
作对称 化折为直得最短
∴AＭ１+M１N１+BN１＝AA１+A１N１+BN１ 在△A１N１B中
因为A1N1+BN1＞A1B 因此AM１+M１N１+BN１＞ AM+MN+BN. ∴AM +MN+BN为最短路径.
人教版八年级上册数学课件13.4课题学习最短路径问题(共21张PPT)
．
课堂回顾：本节课你复习了什么内容？通过本节课复 习，你有何收获？
探求平面内最短路径的主要原理有以下两种： 一是“垂线段最短”，二是“两点之间，线段最 短”，求平面内折线的最短路径的最短路径通常 用轴对称变换、平移变换、旋转变换转化为“两 点之间的线段”。立体图形上的最短路径问题常 需借助平面展开图转化为平面问题。
5、在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，
用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则
丝带的最短长度为
cm．（结果保留π）
6、如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，
点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C
为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点
不重合）两点间的最短距离为
13.4 课题学习 最短路径问 题
问题情景
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l的P点饮马， 然后到B 地．P在何处可使他所走的路线全程 最短？
B A
l
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直
线．
·B
A·Leabharlann l这样做的理由是什么？
知识回顾
探求平面内最短路径的主要原理有以下两 种：一是“垂线段最短”，二是“两点之 间，线段最短”，求平面内折线的最短路 径的最短路径通常用轴对称变换、平移变 换、旋转变换转化为“两点之间的线段”。 立体图形上的最短路径问题常需借助平面 展开图转化为平面问题。
某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图1中的 AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，BO桌面上摆 满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果， 然后回到空座位D上．请你帮助他设计一条行走路 线，使其所走的总路程最短？
人教版数学八年级上册《课题学习——最短路径问题》课件
方法点拨：解决“两线两点”型最短路径问题 的方法以两线为对称轴，分别作靠近线的点的 对称点，连接两个对称点，将最短路径转化为 连接两个对称点的线段.
感悟新知
解：如图13 .4 -4，(1)作点A 关于直 线l1 的对称点A′； (2)作点B 关于直线l2 的对称点B′； (3)连接A′B′，分别与直线l1，l2相交 于C，D 两点，连接AC，BD，则沿 路线A → C → D → B 走才能使总路 程最短.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
感悟新知
知识点 1 最短路径问题
知1－讲
类型
问题
作法
最小值
一 线 两
点 型
两点 在直 线异
侧
在直线l 上找 一点P，使PA
＋PB 最小
连接AB，与直 线l 的交点即为
点P
PA＋PB 的最小值 为AB的
值
感悟新知
类型
问题
作法
知1－讲
最小值
两点
一 线 两
知1－练
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
感悟新知
知1－练
3-1.如图，AB 是∠ MON内部的一条线段，在∠ MON 的两 边OM，ON 上分别取点C，D组成四边形ABDC，如何 取点才能使该四边形的周长最小？
感悟新知
知1－练
(1)如果居民小区A，B 在主干线l 的两侧，如图13.4-1，那么 分支点M 在什么地方时总线路最短？
解：如图13 .4 -1，
连接AB，与l 的 交点即为所求的
分支点M.
感悟新知
知1－练
(2)如果居民小区A，B 在主干线l 的同侧，如图13.4-2，那么 分支点M 在什么地方时总线路最短？
感悟新知
解：如图13 .4 -4，(1)作点A 关于直 线l1 的对称点A′； (2)作点B 关于直线l2 的对称点B′； (3)连接A′B′，分别与直线l1，l2相交 于C，D 两点，连接AC，BD，则沿 路线A → C → D → B 走才能使总路 程最短.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
感悟新知
知识点 1 最短路径问题
知1－讲
类型
问题
作法
最小值
一 线 两
点 型
两点 在直 线异
侧
在直线l 上找 一点P，使PA
＋PB 最小
连接AB，与直 线l 的交点即为
点P
PA＋PB 的最小值 为AB的
值
感悟新知
类型
问题
作法
知1－讲
最小值
两点
一 线 两
知1－练
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
感悟新知
知1－练
3-1.如图，AB 是∠ MON内部的一条线段，在∠ MON 的两 边OM，ON 上分别取点C，D组成四边形ABDC，如何 取点才能使该四边形的周长最小？
感悟新知
知1－练
(1)如果居民小区A，B 在主干线l 的两侧，如图13.4-1，那么 分支点M 在什么地方时总线路最短？
解：如图13 .4 -1，
连接AB，与l 的 交点即为所求的
分支点M.
感悟新知
知1－练
(2)如果居民小区A，B 在主干线l 的同侧，如图13.4-2，那么 分支点M 在什么地方时总线路最短？
人教版八年级上册 13.4 最短路径问题 课件(共56张ppt)
求解原理 两点之间，线段最短
将军饮马问题的应用 将军饮马问题有什么特点？ 如何发现并解决将军饮马问题？
美术字与轴对称
利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案
等腰三角形中相等的线段
复习巩固 下列图形是轴对称图形吗？如果是，找出它们的对称轴 .
复习巩固 画出下列轴对称图形的对称轴
复习巩固
如图，D，E 分别是AB，AC 的中点，CD⊥AB，垂足为 D，BE⊥AC，垂足为E .求证AC =AB .
一开始的时候我们就讨论过点A，B在直线异侧的情况， 你还记得是怎么做的吗？ 连接两点，交点就是所求 同侧的情况也能直连接两点吗？不行
探究
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点 ，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
能不能把点在同侧的问题转化 为点在异侧的问题呢？ 提示：将点B“移”到l 的另一侧 B′处，得满足直线l 上的任意一 点C，都保持CB 与CB′的长度相 等 你．想到怎么做了吗？
如图，A、B两地在一条河 的两岸，现要在河上建一座 桥MN，桥造在何处才能使 从A到B的路径AMNB最短 ？（假设河的两岸是平行的 直线，桥要与河垂直）
你能把这个问题抽象成一 个数学问题吗？
抽象
可以把河的两岸看成两条平行线a和b， N为直线b上的一个动点，MN 垂直于直线b，交直线a于点M， 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
，同时向 A，B 两个居民小区送电 .
（2） 如果居民小区 A，B 在主干线 l 的同旁，如图（2） 所示
，那么分支点 M 在什么地方时总线路最短？在图上标注位置，
并说明理由 .
作A的对称
点可以吗
人教版八年级上册1最短路径问题课件
人教版八年级上册第十三章第四节
13.4 最短路径问题
1
情景引入
相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者， 名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个
百思不得其解的问题，将军问：从住所A 地出发，到一 条笔直的河边l 饮马，然后到营地B 。到河边的什么地
方饮马可使他所走的路径最短？
B地 A地
使AC+BC最短问题。如何确定点C的位置呢？
你学习过哪些最短连线的 知识？
怎么办？
问题难在哪里呢？
线段公理： 两点之间，线段最短
A
B
垂线段性质： 垂线段最短.
A
l
若A、B两点分别在直线l两侧， 你能找到符合条件的点吗？
A C
Dl
B
B
A
l
C
不管点C在直线上哪里，A、 B、C都不可能在同一直线
上，无法直接应用这两个知 识解决问题。
起源
在古罗马，亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名 叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百 思不得其解的问题：
将军骑马从城堡A出发到城堡B，途中马要到河边饮 水一次。将军问怎样走路程最短？
这就是"将军饮马"问题。
如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到河边饮水一次，
问：这位将军怎样走路程最短？
进
步
你的疑惑；
的
阶
梯
面对一个新的求线段最短问题时，
我们可以通过怎样的途径去研究它？
谢谢聆听，欢迎指正！
B
A
河
如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营， 问：将军怎么走能使得路程最短？
【问题简化】 如图，在直线上找一点P使得PA+PB 最小？
13.4 最短路径问题
1
情景引入
相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者， 名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个
百思不得其解的问题，将军问：从住所A 地出发，到一 条笔直的河边l 饮马，然后到营地B 。到河边的什么地
方饮马可使他所走的路径最短？
B地 A地
使AC+BC最短问题。如何确定点C的位置呢？
你学习过哪些最短连线的 知识？
怎么办？
问题难在哪里呢？
线段公理： 两点之间，线段最短
A
B
垂线段性质： 垂线段最短.
A
l
若A、B两点分别在直线l两侧， 你能找到符合条件的点吗？
A C
Dl
B
B
A
l
C
不管点C在直线上哪里，A、 B、C都不可能在同一直线
上，无法直接应用这两个知 识解决问题。
起源
在古罗马，亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名 叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百 思不得其解的问题：
将军骑马从城堡A出发到城堡B，途中马要到河边饮 水一次。将军问怎样走路程最短？
这就是"将军饮马"问题。
如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到河边饮水一次，
问：这位将军怎样走路程最短？
进
步
你的疑惑；
的
阶
梯
面对一个新的求线段最短问题时，
我们可以通过怎样的途径去研究它？
谢谢聆听，欢迎指正！
B
A
河
如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营， 问：将军怎么走能使得路程最短？
【问题简化】 如图，在直线上找一点P使得PA+PB 最小？
新人教版八年级数学上册《最短路径问题》课件(共15张PPT)
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
l CC A’
解（：1）作AB的中垂线交l于点C，如图. （2）如图.
A1 B
C
解：如图所示，B、C为两个加A油2 站的位置.
本课时学习了生活中的最短路径可以转化 为数学中最值问题.
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A1
B
m
A
C
A2
n
解析：利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定B、C的位置，从而使AB＋B Nhomakorabea＋CA最小.
解：①作A关于m的对称点A1，再作A关于n的对称点A2；
②连接A1A2交m于B，交n于C，连接AB、AC.
由于两点之间线段最短，且AB＝A1B，AC＝A2C，
∴AB＋BC＋CA最小.
1
B处
B A
探究二：造桥选址问题中的最短路径问题
3.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？ （假设两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A
C
例：如图所示，点A是货运总部，想在公路m上建一
个分部B，在公路n上建一个分部C，要使AB＋BC＋CA最小，
You made my day!
我们，还在路上……
l CC A’
解（：1）作AB的中垂线交l于点C，如图. （2）如图.
A1 B
C
解：如图所示，B、C为两个加A油2 站的位置.
本课时学习了生活中的最短路径可以转化 为数学中最值问题.
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A1
B
m
A
C
A2
n
解析：利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定B、C的位置，从而使AB＋B Nhomakorabea＋CA最小.
解：①作A关于m的对称点A1，再作A关于n的对称点A2；
②连接A1A2交m于B，交n于C，连接AB、AC.
由于两点之间线段最短，且AB＝A1B，AC＝A2C，
∴AB＋BC＋CA最小.
1
B处
B A
探究二：造桥选址问题中的最短路径问题
3.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？ （假设两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A
C
例：如图所示，点A是货运总部，想在公路m上建一
个分部B，在公路n上建一个分部C，要使AB＋BC＋CA最小，
人教版八年级数学上册1最短路径问题教学课件
最短路径问题
如图，在直线 上求作一点 ，使得 + 最短.
、 在直线 异侧
′
、 在直线 同侧
例：造桥选址问题
例
如图， 和 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥
. 桥造在何处可使从 到 的路径 最短（假定
河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）?
作 ′ 关于直线 的对称点 ′′.
′
′
′
′′
连接 ′′，与直线 交于一点即
为所求点 .
问题
在直线 上求作两点 ，，使
得四边形 的周长最小.
练习 已知线段 ，点 、 在直线 的同侧，在直线 上求
作两点 ，（点 在点 的左侧）且 = ，使得
四边形 的周长最小.
思考
哪些点是定点？
哪些点是动点？
思考
问题是否可以简化？
问题转化为：
当点 在什么位置时， + + + 最小.
问题转化为：当点 在什么位置时， + 最小.
′
思考
通过哪种图形的变化（轴对称，平移等），
座桥 ．桥造在何处可使从 到 的路径
最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
当点 在直线 的什么位置时，
+ + 最小？
实际问题用数学语言表达.
如图，在直线 上求作一点 ，使得 + 最短.
、 在直线 异侧
′
、 在直线 同侧
例：造桥选址问题
例
如图， 和 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥
. 桥造在何处可使从 到 的路径 最短（假定
河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）?
作 ′ 关于直线 的对称点 ′′.
′
′
′
′′
连接 ′′，与直线 交于一点即
为所求点 .
问题
在直线 上求作两点 ，，使
得四边形 的周长最小.
练习 已知线段 ，点 、 在直线 的同侧，在直线 上求
作两点 ，（点 在点 的左侧）且 = ，使得
四边形 的周长最小.
思考
哪些点是定点？
哪些点是动点？
思考
问题是否可以简化？
问题转化为：
当点 在什么位置时， + + + 最小.
问题转化为：当点 在什么位置时， + 最小.
′
思考
通过哪种图形的变化（轴对称，平移等），
座桥 ．桥造在何处可使从 到 的路径
最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
当点 在直线 的什么位置时，
+ + 最小？
实际问题用数学语言表达.
人教版八年级上册数学《最短路径问题》轴对称培优说课教学复习课件
课堂检测
基础巩固题
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关
于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确
的是（ A ）
A．P是m上到A、B距离之和最短的点，
Q是m上到A、B距离相等的点.
B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，
P是m上到A、B距离相等的点.
.
解：如图，P点即为该点.
探究新知
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和
（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条
直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ A ）
A．（0，3）
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，0）
C′
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于 B′
.
.
M
A
BN
题目解析 O
.A .B
E
F
L
如图：E、F分别为两边OM、ON上一个动点，那么，上述问题可转化为：当点E、点F在OM、ON的什么位置时，
.
AE+EF+FB的距离之和最短？
.
M
A
BN
.
A'
两定点，一定河 做对称，再连接
O
E
F 化折为直
..
M A BN
. A ' M
O .E .F .
. . B' A BN
接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥. C
DF
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′， 则四边形AFD′D为平行四边形，
C′ D ′
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人教版八 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ级上 册数学 专题： 最短路 径问题 复习课 件
完成作业2.24作业
人教版八 年级上 册数学 专题： 最短路 径问题 复习课 件
15
蓦然回首
对自己说，你有什么收获？ 对同学说，你有什么温馨提示？ 对老师说，你还有什么困惑？
16
变式.如图，△ABC是等边三角形，高AD＝3，点E是AB上
中点，点P是AD上的动点，则PE+PB的最小值为 3 .
A
E
P
∟
B
DC
人教版八 年级上 册数学 专题： 最短路 径问题 复习课 件
9
人教版八 年级上 册数学 专题： 最短路 径问题 复习课 件
知识点三：利用轴对称和垂线段最短解决最小值问题
学以致用
3
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
例1. 已知：如图，A，B在直线L的两侧，
A . 在L上求一点P，使得PA+PB最小。 连接AB,线段AB与直线L的交点P ， 就是所求 P .B L
思考:为什么这样就能得到最短距离呢？
根据：两点之间线段最短.
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧
例2：已知：直线l和同侧两点A、B
10
人教版八 年级上 册数学 专题： 最短路 径问题 复习课 件
知识点一：利用轴对称解决最短路径问题
典例讲评
两线一点型
如图，已知点A是锐角∠MON内的一点，试分别在
OM，ON上确定点B，C，使△ABC的周长最小，写出你作
图的主要步骤,并标明你所确定的点.(要求画出草图,保留作图
作痕法迹：) 1、分别作点A关于 OM、ON的对称点A′,A′′;
求作：直线l上一点C满足AC+BC的值最小.
作法： 1、作点B关于直
线l的对称点B＇
A
B
2、连接AB＇ ,交直 线l于C 。
l
C
B′ 5
人教版八 年级上 册数学 专题： 最短路 径问题 复习课 件
练习1：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处 修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，
练习4.在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下
列各题(用直尺画图):(1)画出格点△ABC(顶点均在格点上)关
于直线DE对称的△A1B1C1; (2)在DE上画出点P，使PB1+PC最小; (3)在DE上画出点Q，使QA+QC最小
C
D
Q
C1
P
A
B B1
A1
E
人教版八 年级上 册数学 专题： 最短路 径问题 复习课 件
牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然 后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
作法：1.作点C关于直线 OA的对称点点F,
2.作点D关于直线OB 的对称点点E,
F
G
O
A
·C
H
D·
E
3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H， B
则CG+GH+DH最短
人教版八 年级上 册数学 专题： 最短路 径问题 复习课 件
C
N
上摆满了糖果，站在C处的学生小明先 拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上， 请你帮助他设计一条行走路线，使其所
A′ D
B
走的总程最短.
人教版八 年级上 册数学 专题： 最短路 径问题 复习课 件
13
人教版八 年级上 册数学 专题： 最短路 径问题 复习课 件
• 2. 如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩
A'
C
人教版八 年级上 册数学 专题： 最短路 径问题 复习课 件
人教版八 年级上 册数学 专题： 最短路 径问题 复习课 件
练习3. 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、
AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小
值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
13章：
1
1.最短路径问题的类型
（一）两点一线型的线段和最小值问题；
①两点在直线异侧 ②两点在直线同侧
（二）两线一点型线段和最小值问题；
（三）两点两线型的线段和最小值问题；
(四)造桥选址问题.
2
2. 解决最短路径问题的方法：
借助轴对称 或平移的知识，化折为 直，利用“ 两点之间，线段最短”或“ ”来垂线求段线最段短和的最小值.
图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
人教版八 年级上 册数学 专题： 最短路 径问题 复习课 件
人教版八 年级上 册数学 专题： 最短路 径问题 复习课 件
练习2.如图13-4-2，一个牧童在小河的南边A处牧马，他想把他的马牵到
小河边去饮水，然后回家(即图中的小屋B). 问：马牵到小河边什么地方饮 水，然后回家所走的路程最短？请在图中画出河边马饮水的位置.
C
E F
∟
A
M
B
D
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12
人教版八 年级上 册数学 专题： 最短路 径问题 复习课 件
知识点一：利用轴对称解决最短路径问题
典例讲评
两线两点型
某中学八(12)班举行文艺晚会， C 桌子摆成如图所示两直排(图中的AO， A
MO
BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线 AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的 最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
人教版八 年级上 册数学 专题： 最短路 径问题 复习课 件
人教版八 年级上 册数学 专题： 最短路 径问题 复习课 件
A′ M
2、连接A′A′′ ,分别交OM、 ON于B、C ；
B A
∟
人教版八 年级上 册数学 专题： 最短路 径问题 复习课 件
O
C
N
A′′
11
人教版八 年级上 册数学 专题： 最短路 径问题 复习课 件
知识点一：利用轴对称解决最短路径问题
学以致用
两线一点型
练习7.如图，OA，OB分别是线段MC， MD的垂直平分线，MD=5cm， MC=7cm，CD=10cm，一只小蚂蚁从点 M出发爬到OA边上任意一点E，再爬到 OB边上任意一点F，然后爬回M点处， O 则小蚂蚁爬行的路径最短可为(B ) A. 12cm B 10cm C. 7cm D. 5cm