长春市高三上学期期末数学试卷(理科)C卷

吉林省长春市第十三中学2020-2021学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S的值为（）A．2 B．1 C．0 D．－1参考答案：C2. 某算法的程序框图如右图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为( ) A．B．C．D．参考答案：C试题分析：程序在运行过程中，各变量的值变化如下所示：条件循环前 0/1第1圈 1 否 2第2圈 4 否 3第3圈 11 否 4 第4圈 26 是可得，当时，．此时应该结束循环体并输出的值为26所以判断框应该填入的条件为：故选C．考点：程序框图3. 如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．O是△ABC的外心，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，则OD：OE：OF等于（）A．a：b：c B．C．sinA：sinB：sinC D．cosA：cosB：cosC参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】作出△ABC的外接圆，连接OA、OB、OC，由垂径定理和圆周角定理可得∠B=∠AOC=∠AOE，同理可知∠A=∠BOD、∠C=∠AOF，若设⊙O的半径为R，可用R分别表示出OD、OE、OF，进而可得到它们的比例关系．【解答】解：如图，连接OA、OB、OC；∵∠BOC=2∠BAC=2∠BO D，∴∠BAC=∠BOD；同理可得：∠BOF=∠BCA，∠AOE=∠ABC；设⊙O的半径为R，则：OD=R?cos∠BOD=R?cos∠A，OE=R?cos∠AOE=R?cos∠B，OF=R?cos∠BOF=R?cos∠C，故OD：OE：OF=cos∠A：cos∠B：cos∠C，故选D．4. 定义在R上的函数满足，．当x∈时，，则的值是（）A．－1 B．0 C．1D．2参考答案：B5. 复数（i为虚数单位)的实部和虚部相等，则实数b的值为( )A. 一1B. 一2C. 一 3D. 1参考答案：6. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是A． B． C．D．参考答案：C7. 已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥的是A．⊥且m⊥ B．⊥且m∥ c．m∥n且n⊥ D．m⊥n且n//参考答案：C8. “a＜b＜0”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】利用不等式的性质判断出“a＜b＜0”则有“”，通过举反例得到，“”成立，推不出“a＜b＜0”成立，利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：由a＜b＜0，得，﹣a＞﹣b＞0，由不等式的性质可得，＞0；反之则不成立，例如a=1，b=2满足，但不满足“a＜b＜0”∴“a＜b＜0”是“”的充分不必要条件，故选A．【点评】此题主要考查不等式与不等关系之间的联系，此题可以举反例进行求解，属基础题．9. 复数（其中是虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B略10. 已知函数，(R)，对于任意的，，，下面对的值有如下几个结论，其中正确的是（）A. 零B.负数C.正数D.非以上答案参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为．若a 2sinC=4sinA ，（a+c ）2=12+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可求ac 的值，可求a 2+c 2﹣b 2=4，代入“三斜求积”公式即可计算得解． 【解答】解：根据正弦定理：由a 2sinC=4sinA ，可得：ac=4， 由于（a+c ）2=12+b 2，可得：a 2+c 2﹣b 2=4，可得： ==．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．12. 在等差数列中,已知,则_________参考答案：2013. 设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________.参考答案：{1,2,5} 略14. 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A,B 两点，若，则______________。

2022－2023学年高三上期末模拟数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在△ABC 中，，则（ ）12BD DC =AD = A ．B ．C ．D ．1344AB AC+2133AB AC+1233AB AC+1233AB AC-2．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种3．已知a ，，，则（ ）b ∈R ()3i 21i a b a +=--3i a b +=A B ．C ．3D ．44．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ）()220,0mx ny m n +=>>()()22125x y -+-=11m n+A ．1B ．2C ．3D ．45．已知双曲线C ：的左，右焦点分别为，，O 为坐标原点，P 为双曲线在第()222210,0x y a b a b-=>>1F 2F 一象限上的点，直线PO ，分别交双曲线C 的左，右支于另一点M ，N ，若，且2PF 123PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）260MF N ∠=︒A B ．3C ．2D 6．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种7．已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度a b θa b ⨯ a b a b ⨯，若，，则（ ）sin a b a b θ⨯= ()2,0u = (1,u v -=()u u v ⨯+=A ．BC ．6D ．8．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的．则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ）A ．B ．C ．1D ．213129．已知集合的所有三个元素的子集记为，，，…，，，记为集合{}1,2,3,4,5,6A =1B 2B 3B n B *n ∈N i b 中的最大元素，则（ ）i B 123n b b b b ++++= A ．45B ．105C ．150D ．21010．设集合，，若，则a 的取值范围是（ ）{}12M x x =<≤{}N x x a =<M N M ⋂=A ．B ．C ．D ．(),1-∞(],1-∞()2,+∞[)2,+∞11．设等比数列的前n 项和为，则“”是“”的（ ）{}n a n S 1322a a a +<210n S -<A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要12．已知复数，则（ ）2i1iz =+z =A ．1＋iB．1－iC D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在的展开式中，常数项为______．（用数字作答）61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭14．在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为______，第______天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．15．若x 、y 满足约束条件，则z ＝x ＋2y 的最小值为______．3236y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩16．在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球，同时在三棱柱外有一个外111ABC A B C -1O 111ABC A B C -接球．若AB ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝4，则球的表面积为______．2O 2O 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数．()()21f x x a x a =-+-∈R （Ⅰ）当a ＝1时，求不等式的解集；()1f x ≥（Ⅱ）若存在满足不等式，求实数a 的取值范围．x ∈R ()4f x <18．（12分）已知函数，．()cos xf x x=()sin cos g x x x x =+（1）判断函数在区间上的零点的个数；()g x ()0,2π（2）记函数在区间上的两个极值点分别为、，求证：．()f x ()0,2π1x 2x ()()120f x f x +<19．（12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且．22233b a c =-（1）证明：；3cos b c A =⋅（2）若△ABC 的面积S ＝2，C ．b =20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：（t 为参数），以坐标原点O为极点，x121x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为．2cos ρθ=（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点M 的极坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求的值．1,2π⎛⎫⎪⎝⎭MA MB +21．（12分）已知函数．()()2cos f x ax x a =+∈R （1）当时，证明，在恒成立；12a =()0f x '≥[)0,+∞（2）若在x ＝0处取得极大值，求a 的取值范围．()f x 22．（10分）已知椭圆C ：的左顶点为A ，左、右焦点分别为，，离心率为，()222210x y a b a b +=>>1F2F 12P 是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且的周长为6，点P 关于原点的对称点为Q ，直线12PF F △AP ，交于点M ．2QF （1）求椭圆方程；（2）若直线与椭圆交于另一点N ，且，求点P 的坐标．2PF 224AF M AF NS S=△△参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B 【解析】在AB ，AC 上分别取点E 、F ，使得，，2AE EB = 12AF FC =可知AEDF 为平行四边形，从而可得到，即可得到答案．2133AD AE AF AB AC =+=+【详解】如下图，，在AB ，AC 上分别取点E 、F ，使得，，12BD DC = 2AE EB = 12AF FC =则AEDF 为平行四边形，故，故答案为B ．2133AD AE AF AB AC =+=+【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．2．B 【解析】分成甲单独到A 县和甲与另一人一同到A 县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A 县的分法数．【详解】如果甲单独到A 县，则方法数有种．22326C A ⨯=如果甲与另一人一同到A 县，则方法数有种．12326C A ⨯=故总的方法数有6＋6＝12种．故选：B【点睛】本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题．3．A 【解析】根据复数相等的特征，求出3a 和b ，再利用复数的模公式，即可得出结果．【详解】因为，所以解得()3i 21i a b a +=--()3,21,b a a =⎧⎨--=⎩3,31,b a =⎧⎨=⎩则．故选：A．3i 13i a b +=+==【点睛】本题考查相等复数的特征和复数的模，属于基础题．4．D 【解析】圆心坐标为（1，2），代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值．【详解】圆的圆心为（1，2），()()22125x y -+-=由题意可得2m ＋2n ＝2，即m ＋n ＝1，m ，，0n >则，当且仅当且m ＋n ＝1即时取等号，()111124n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭n m m n =12m n ==故选：D ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．5．D 【解析】本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a 与c 的等式，计算离心率，即可．【详解】结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO ＝MO ，而，结合四边形对角线平分，可得四边形12FO F O =为平行四边形，结合，故12PF MF 260MF N ∠=︒1260F MF ∠=︒对三角形运用余弦定理，得到，12F MF 222121121222cos F M F M F F MF MF F MF +-=⋅⋅⋅∠而结合，可得，，，代入上式子中，得到123PF PF =1MF a =23MF a =122F F c =，结合离心率满足，即可得出，故选D ．2222943a a c a +-=ce a=c e a ==【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难．6．B 【解析】利用分步计数原理结合排列求解即可．【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；2412A =第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，2412A =所以不同的排表方法共有种．选B ．1212144⨯=【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题．7．D 【解析】先根据向量坐标运算求出和，进而求出，代入题中(u v += cos ,u u v + sin ,u u v +给的定义即可求解．【详解】由题意，则，，得，()(v u u v =--= (u v += cos ,u u v += 1sin ,2u u v +=由定义知()1sin ,22u u v u u v u u v ⨯+=⋅++=⨯=故选：D ．【点睛】此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目．8．C【解析】每一次成功的概率为，X 服从二项分布，计算得到答案．2163p ==【详解】每一次成功的概率为，X 服从二项分布，故．故选：C ．2163p ==()1313E X =⨯=【点睛】本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力．9．B 【解析】分类讨论，分别求出最大元素为3，4，5，6的三个元素子集的个数，即可得解．【详解】集合M 含有3个元素的子集共有，所以k ＝20．3620C =在集合（i ＝1，2，3，…，k ）中：最大元素为3的集合有个；i B 221C =最大元素为4的集合有；最大元素为5的集合有；最大元素为6的集合有；233C =246C =2510C =所以．故选：B ．12345314356610105b b b b b ++++=⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解．10．C 【解析】由得出，利用集合的包含关系可得出实数a 的取值范围．M N M ⋂=M N ⊆【详解】∵，且，∴，∴．{}12M x x =<≤{}N x x a =<M N M ⋂=M N ⊆2a >因此，实数a 的取值范围是．故选：C ．()2,+∞【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题．11．A 【解析】首先根据等比数列分别求出满足，的基本量，根据基本量的范围即可1322a a a +<210n S -<确定答案．【详解】为等比数列，若成立，有，{}n a 1322a a a +<()21210a q q -+<因为恒成立，故可以推出且，2210q q -+≥10a <1q ≠若成立，当q ＝1时，有，210n S -<10a <当时，有，因为恒成立，所以有，1q ≠()211101n a q q--<-21101n q q-->-10a <故可以推出，，10a <q ∈R 所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A ．1322a a a +<210n S -<【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题．12．C 【解析】根据复数模的性质即可求解．【详解】∵，∴，故选：C2i1i z =+2i 1i z ===+【点睛】本题主要考查了复数模的性质，属于容易题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．20【解析】的展开式的通项为，取r ＝3计算得到答案．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6216r rr T C x -+=【详解】的展开式的通项为：，取r ＝3得到常数项．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6621661rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭3620C =故答案为：20．【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力．14．16 1【解析】由题意可知出院人数构成一个首项为1，公比为2的等比数列，由此可求结果．【详解】某医院一次性收治患者127人．第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．且从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，∴从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，则第19天治愈出院患者的人数为，，451216a =⨯=()11212712n n S ⨯-==-解得n ＝7，∴第7＋15－1＝21天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．故答案为：16，1．【点睛】本题主要考查了等比数列在实际问题中的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．15．1【解析】作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出使得目标函数z ＝x ＋2y 取得最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可．【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：3236y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩联立，解得，即点A （3，－1），236x y x y +=⎧⎨-=⎩31x y =⎧⎨=-⎩平移直线z ＝x ＋2y ，当直线z ＝x ＋2y 经过可行域的顶点A （3，－1）时，该直线在x 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即．故答案为：1．()min 3211z =+⨯-=【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想的应用，属于基础题．16．29π【解析】先求出球的半径，再求出球的半径，即得球的表面积．1O 2O 2O 【详解】解：∵AB ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝4∴，∴AC ＝5，222AC AB BC =+设球的半径为r ，由题得，∴r ＝11O ()113453422r r r ++=⨯⨯所以棱柱的侧棱为2r ＝2．=所以球的表面积为．2O 2429ππ⋅=故答案为：29π【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（Ⅰ）．（Ⅱ）113x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或610a -<<【解析】（Ⅰ）分类讨论解绝对值不等式得到答案．（Ⅱ）讨论和两种情况，得到函数单调性，得到只需，代入计算得到答案．2a ≤2a >42a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭【详解】（Ⅰ）当a ＝1时，不等式为，2111x x -+-≥变形为或或，解集为．12231x x ⎧<⎪⎨⎪-≥⎩1121x x ⎧≤≤⎪⎨⎪≥⎩1321x x >⎧⎨-≥⎩113x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或（Ⅱ）当时，，2a ≤()31,2211,1231,1a x a x a f x x a x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪=-+-=-+≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩由此可知在单调递减，在单调递增，()f x ,2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭当时，同样得到在单调递减，在单调递增，2a >()f x ,2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭所以，存在满足不等式，只需，即，()2a f x f ⎛⎫≥⎪⎝⎭x ∈R ()4f x <42a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭142a -<解得．610a -<<【点睛】本题考查了解绝对值不等式，不等式存在性问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力．18．（1）2；（2）见解析．【解析】（1）利用导数分析函数在区间上的单调性与极值，结合零点存在定理可得出结论；()y f x =()0,2π（2）设函数的极大值点和极小值点分别为、，由（1）知，，且()y f x =1x 2x 1,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭23,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭满足，，于是得出，由()sin cos 01,2i i i x x x i +==1tan i ix x =-()()1212sin sin f x f x x x +=--得，利用正切函数的单调性推导出，再利用正弦函数的单调1211x x >12tan tan x x ->-122x x πππ<<-<性可得出结论．【详解】（1）∵，∴，()sin cos g x x x x =+()cos g x x x '=∵，当时，，，，则函数在上单调02x π<<0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0x >cos 0x x >()0g x '>()y g x =0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭递增；当时，，，，则函数在上单调递减；3,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭cos 0x <cos 0x x <()0g x '<()y g x =3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭当时，，，，则函数在上单调递增．3,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭cos 0x >cos 0x x >()0g x '>()y g x =3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭∵，，，，．()010g =>022g ππ⎛⎫=>⎪⎝⎭()10g π=-<33022g ππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭()210g π=>所以，函数在与不存在零点，在区间和上各存在一个零点．()y g x =0,2π⎛⎫⎪⎝⎭3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭综上所述，函数在区间上的零点的个数为2；()y g x =()0,2π（2）∵，∴．()cos xf x x=()()22sin cos g x x x x f x x x +'=-=-由（1）得，在区间与上存在零点，()sin cos g x x x x =+,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭所以，函数在区间与上各存在一个极值点、，且，()y f x =,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭1x 2x 1,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足即，，23,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0i g x =()sin cos 01,2i i i x x x i +==1tan i i x x =-∴，()()12121212cos cos sin sin x x f x f x x x x x +=+=--又∵，∴即，，123222x x ππππ<<<<<1211x x >12tan tan x x ->-()122tan tan tan x x x π<=-∵，，∴，1,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭23,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2,2x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭由在上单调递增，得，tan y x =,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭122x x πππ<<-<再由在上单调递减，得sin y x =,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭()122sin sin sin x x x π>-=-∴，即．12sin sin 0x x +>()()120f x f x +<【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，同时也考查了利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题．19．（1）见解析；（2）45°【解析】（1）利用余弦定理化简已知条件，由此证得3cos b c A=⋅（2）利用正弦定理化简（1）的结论，得到，利用三角形的面积公式列方程，由此求得tan 2tan A C =，进而求得的值，从而求得角C ．tan A tan C 【详解】（1）由已知得，22213c a b -=-由余弦定理得，∴．222222122cos 33bc A b c a b b b =+-=-=3cos b c A =⋅（2）由（1）及正弦定理得，即，sin 3sin cos B C A =()sin 3sin cos A C C A +=∴，∴，sin cos cos sin 3sin cos A C A C C A +=sin cos 2sin cos A C C A =∴．tan 2tan A C =．21112sin sin tan 223cos 6b S bc A b A b A A ===⋅⋅=∴，，．tan 2A =tan 1C =45C =︒【点睛】本小题主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题．20．（1） （2()2211x y -+=1+【解析】（1）由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩（2）把M 点极坐标化为直角坐标，直线的参数方程是过定点M 的标准形式，因此直接把参数方程代入曲线C 的方程，利用参数t 的几何意义求解．【详解】解：（1）C ：，则，∴，2cos ρθ=22cos ρρθ=222x y x +=所以曲线C 的直角坐标方程为，即2220x y x +-=()2211x y -+=（2）点的直角坐标为M （0，1），易知，设A ，B 对应参数分别为，1,2M π⎛⎫ ⎪⎝⎭M l ∈1t 2t 将l ：与C ：联立得121x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2220x y x +-=，∴，，∴，)2110t t +++=121t t +=-121t t ⋅=10t <20t <12121MA MB t t t t +=+=+=+【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程，解题时可利用参数方程的几何意义求直线上两点间距离问题．21．（1）证明见解析 （2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】（1）根据，求导，令，用导数法求其最小()21cos 2f x x x =+()sin f x x x '=-()sin h x x x =-值．（2）设，研究在x ＝0处左正右负，求，分，()()2sin g x f x ax x '==-()2cos g x a x '=-12a ≥，，三种情况讨论求解．12a ≤-1122a -<<【详解】（1）因为，所以，()21cos 2f x x x =+()sin f x x x '=-令，则，()sin h x x x =-()1cos 0h x x '=-≥所以是的增函数，故，即．()h x [)0,+∞()()00h x h ≥=()0f x '≥（2）因为，所以，()()2sin g x f x ax x '==-()2cos g x a x '=-①当时，，12a ≥()1cos 0g x x '≥-≥所以函数在R 上单调递增．()f x '若，则；若，则．0x >()()00f x f ''>=0x <()()00f x f ''<=所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，()f x ()0,+∞(),0-∞所以在x ＝0处取得极小值，不符合题意，()f x ②当时，，12a ≤-()1cos 0g x x '≤--≤所以函数在R 上单调递减．()f x '若，则；若，则．0x >()()00f x f ''<=0x <()()00f x f ''>=所以的单调递减区间是，单调递增区间是，()f x ()0,+∞(),0-∞所以在x ＝0处取得极大值，符合题意．()f x ③当时，，使得，1122a -<<()00,x π∃∈0cos 2x a =即，但当时，即，()00g x '=()00,x x ∈cos 2x a >()0g x '<所以函数在上单调递减，()f x '()00,x 所以，即函数在上单调递减，不符合题意()()00f x f ''<=()f x ()00,x 综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性和极值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题．22．（1）；（2）或22143x y +=12⎛ ⎝1,2⎛ ⎝【解析】（1）根据的周长为2a ＋2c ，结合离心率，求出a ，c ，即可求出方程；12PF F △（2）设P （m ，n ），则Q （－m ，－n ），求出直线AM 方程，若斜率不存在，求出M ，P ，N 坐标，直接2QF 验证是否满足题意，若斜率存在，求出其方程，与直线AM 方程联立，求出点M 坐标，根据2QF 和P ，，N 三点共线，将点N 坐标用m ，n 表示，P ，N 坐标代入椭圆方程，即可求224AF M AF N S S=△△2F 解．【详解】（1）因为椭圆的离心率为，的周长为6，1212PF F △设椭圆的焦距为2c ，则解得a ＝2，c ＝1，，所以椭圆方程为．222226,1,2,a c c ab c a +=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩b =22143x y +=（2）设P （m ，n ），则，且Q （－m ，－n ），22143m n +=所以AP 的方程为①．()22n y x m =++若m ＝－1，则的方程为x ＝1②，由对称性不妨令点P 在x 轴上方，2QF 则，，联立①，②解得，即．31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,9,2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩91,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭的方程为，代入椭圆方程得，整理得，2PF ()314y x =--()22931124x x +-=276130x x --=或，∴．，不符合条件．1x =-137x =139,714N ⎛⎫- ⎪⎝⎭222219227419214AF M AF N AF S S AF ⨯⨯==≠⨯⨯△△若，则的方程为，即③．1m ≠-2QF ()11n y x m -=---()11n y x m =-+联立①，③可解得，所以．34,3,x m y n =+⎧⎨=⎩()34,3M m n +因为，设224AF M AF N S S=△△(),N N N x y 所以，即．2211422M N AF y AF y ⨯⨯=⨯⨯⨯4M N y y =又因为M ，N 位于x 轴异侧，所以．34N n y =-因为P ，，N 三点共线，即应与共线，，2F 2F P 2F N ()21,F P m n =- 231,4N n F N x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭所以，即，()()3114N n n x m -=--734N m x -=所以，又，2273344143m n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=22143m n +=所以，解得，所以，2272839m m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭12m =n =所以点P 的坐标为或．12⎛ ⎝1,2⎛ ⎝【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题．。

长春外国语学校2017-2018学年第一学期期末考试高三年级数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.2.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.A4.A. 2B.15.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布A. 30尺B. 90尺C. 150尺D. 180尺6.下列说法不正确．．．的是A.B.C. 是真命题D. 甲、乙两位学生参与数学模拟考试,7.已知一个空间几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是A．4 cm3B．5 cm3C．6 cm3D．7 cm38.则①应为A ．n ≤B ．n≤C ．n ≤D ．n ≤8?10.A．12 C ．6 D11.,,若则双曲线的离心率为12.A．．1 D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.14.圆心在直线x －2y＝0上的圆C 与y 轴的负半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________1516.以下命题正确的是②③某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （2．若ξ内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题满分12分)2.(1)(2)A为锐角，且满足18.(本小题满分12分)从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（2）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取6人，该6人中成绩在[130，150]的有几人？（3）在（2）抽取的6人中，随机抽取3人，计分数在[130，150]内的人数为ξ，求期望E （ξ）．19.(本小题满分12分)如图，(Ⅰ)求证：MN ⊥平面PAB ；(Ⅱ).20.(本小题满分12分)M （），且左焦点为（Ⅱ）已知点A 、B 是椭圆C 上的两个动点，若以AB 为直径的圆过原点O ， 证明：原点O 到直线AB 的距离为定值，并求这个定值.NMDCBAP21. (本小题满分12分)（1（2（3最大值.请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题好进行评分；多涂多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.(本小题满分10分)在直角坐标系xoyt 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C（I ）求曲线C 的直角坐标方程；（II ）设曲线C A 、B ，若点P |P A |+|PB |的值.23.（1（2.数学试卷（理科答案）一选择题二填空题13.14.15.6016.①③④三解答题17.（1）m=;(2)18.(1) 92(2)2(3)E(ζ)=119.(1)证明略（2）PN=20.（1）（2）证明略定值为21.（1）a=-2(2);(3)k=3 22(1)(2)23(1)(2)-2。

吉林省长春市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·福州期末) 已知集合A＝，B＝，则A∩B等于（）A . [1,3]B . [1,5]C . [3,5]D . [1，＋∞)2. （2分） (2016高二下·浦东期末) b=2，c=3若1+ i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A . b=2，c=3B . b=﹣2，c=3C . b=﹣2，c=﹣1D . b=2，c=﹣13. （2分） (2019高三上·广州月考) 某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（）①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同；②支出最高值与支出最低值的比是6:1;③第三季度平均收入为50万元；④利润最高的月份是2月份.A . ①②③B . ②③C . ②③④D . ①②④4. （2分）已知a=5+2 ，b=5﹣2 ，则a与b的等差中项、等比中项分别为（）A . 5，1B . ，1C . ，±1D . 5，±15. （2分） (2018高二下·滦南期末) 使的展开式中含有常数项的最小的为（）A . 4B . 5C . 6D . 76. （2分）为得到函数y=cos(2x+)的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A . 向左平移个长度单位B . 向右平移个长度单位C . 向左平移个长度单位D . 向右平移个长度单位7. （2分）函数在区间上的零点个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分） (2017高一下·沈阳期末) 如图所示的程序框图给出了求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为3，2，则输出的值为（）A . 9B . 18C . 20D . 359. （2分）(2017·山东模拟) 三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为（）A .B .C . 3πD . 12π10. （2分） (2016高一下·重庆期中) △ABC中，角C=90°，若 =（t，1）， =（2，2），则t=（）A . ﹣1B . 1C . ﹣3D . 311. （2分）已知，，则下列结论中正确的是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一上·银川期中) 下列结论正确的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高一下·扬州期末) 已知变量x，y满足，则z=x﹣y的最小值为________．14. （1分） (2018高一下·宜昌期末) 如下图，在空间四边形中，，分别是、的中点， = ，则异面直线与所成角的大小为________．15. （2分） (2017高二下·宜昌期中) 已知双曲线的方程为 =1，则此双曲线的离心率为________渐近线方程为________．16. （1分） (2018高一下·台州期中) 已知向量及向量序列: 满足如下条件:，且 ,当且时, 的最大值为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2017高三上·韶关期末) 设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和Sn ．18. （10分）(2017·大庆模拟) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B= +A．（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的值．19. （10分）(2019·金华模拟) 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，为线段上的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值．20. （15分）（理科）在一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次，在A处每投进一球得3分；在B 处每投进一球得2分，如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第3次，某同学在A处的抽中率q1=0.25，在B处的抽中率为q2 ，该同学选择现在A处投第一球，以后都在B处投，且每次投篮都互不影响，用X表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：X02345P0.03P2P3P4P5（1）求q2的值；（2）求随机变量X的数学期望E（X）；（3）试比较该同学选择上述方式投篮得分超过3分与选择都在B处投篮得分超过3分的概率的大小．21. （10分） (2017高二下·濮阳期末) 已知直线y=﹣x+1与椭圆 + =1（a＞b＞0）相交于A、B两点．（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；（2）若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[ ， ]时，求椭圆的长轴长的最大值．22. （5分）(2017·日照模拟) 己知函数f（x）= （其中e为自然对数的底数），h（x）=x﹣．（I）求函数f（x）的单调区间；（II）设g（x）= ，．已知直线y= 是曲线y=f（x）的切线，且函数g（x）在（0，+∞）上是增函数．（i）求实数a的值；（ii）求实数c的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、。

吉林省长春市吉大中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设定义在D上的函数在点处的切线方程为，当时，若[]在D内恒成立，则称P为函数的“类对称点”，则的“类对称点”的横坐标是A．1 B．C．e D．参考答案：【知识点】导数 B11B 解析：由于，则在点P处切线的斜率.所以切线方程为，则，.当时，在上单调递减，所以当时，从而有时，；当时，在上单调递减，所以当时，从而有时，；所以在上不存在“类对称点”. 当时，，所以在上是增函数，故所以是一个类对称点的横坐标. （可以利用二阶导函数为0，求出，则）故选择B【思路点拨】由导数的运算，判定函数的单调性，再根据函数的性质判定结果.2. 若，，，则a，b，c大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c参考答案：D【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出大小关系．【解答】解：∵∈（0，1），＞1，＜0，∴b＞a＞c．故选：D．3. 设i为虚数单位，则复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2﹣i D．﹣2+i参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】通过将分子、分母同乘以i进行分母有理化，计算即得结论．【解答】解： ===2+i，故选：A．4. 已知向量、满足，，且，则向量与的夹角是（）A. B. C.D.参考答案：A5. 已知集合，集合，若，则实数可以取的一个值是( )A. B. C. D.参考答案：A略6. 某同学忘记了自己的号，但记得号是由一个2，一个5，两个8组成的四位数，于是用这四个数随意排成一个四位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的号最多尝试次数为（）A. 18B. 24C. 6D. 12参考答案：D7. i为虚数单位，, 则的共轭复数为 ( )A. 2-iB. 2+iC. -2-iD. -2+i 参考答案：【知识点】复数代数形式的乘除运算;共轭复数.【答案解析】C解析：解：因为，故的共轭复数为，故选C.【思路点拨】先把原式化简，再利用共轭复数的概念即可求得结果.8. 已知定义域为R的函数，那么等于（）A．1 B．62 C．64 D．83参考答案：D9. 下列命题中正确的是（（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分必要条件C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”D．命题p：?x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥0参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A根据且命题和或命题的概念判断即可；B均值定理等号成立的条件判断；C或的否定为且；D对存在命题的否定，应把存在改为任意，然后再否定结论．【解答】解：A、若p∨q为真命题，p和q至少有一个为真命题，故p∧q不一定为真命题，故错误；B、“a＞0，b＞0”要得出“+≥2”，必须a=b时，等号才成立，故不是充分必要条件，故错误；C、命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”，故错误；D、对存在命题的否定，应把存在改为任意，然后再否定结论，命题p：?x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥0，故正确．故选：D．10. 函数的图像为参考答案： C图像是偶函数，排除B 、D ，又当时，，择选 C ．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知为一个内角，且，则___________参考答案：12. 已知向量满足，，则的夹角为.参考答案：略13. 设若f（x ）=，f（f （1））=1，则a 的值是 ．参考答案：1【考点】函数的值．【分析】分段函数f （x ）在不同区间有不同对应法则，可先计算f （1）=lg1=0，再相应代入进行计算即可．【解答】解：∵1＞0，∴f （1）=lg1=0， ∴f（0）=0+3t 2dt==a 3，又f （f （1））=1， ∴a 3=1， ∴a=1， 故答案是1．14. 在边长为的正方形内任取一点，则点到点的距离小于的概率为参考答案：略15. 如图，阴影区域是由函数y=cosx 的一段图象与x 轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是 ．参考答案：2【考点】定积分．【分析】由题意，利用定积分的几何意义，所求阴影区域的面积是S=﹣，即可得出结论．【解答】解：由题意，阴影区域的面积是S=﹣=﹣sinx =2．故答案为：2．16. 由曲线以及x 轴所围成的面积为 ______ .参考答案：17. 如图，⊙O 的直径AB ＝6cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若∠CPA ＝30°，PC ＝_____________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

长春市数学高三上学期理数期中考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）由下列对象组成的集体属于集合的是（）A . 不超过π的正整数B . 本班中成绩好的同学C . 高一数学课本中所有的简单题目D . 接近于0的数2. （2分）(2017·房山模拟) 已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=2，S3=15，则a6=（）A . 17B . 14C . 13D . 33. （2分） (2016高二上·福州期中) 下列命题中，正确的是（）A . 若a＞b，c＞d，则ac＞bdB . 若 ac＜bc，则a＜bC . 若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dD . 若ac2＜bc2 ，则a＜b4. （2分） (2019高二下·临海月考) 曲线在点处的切线方程为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·蚌埠模拟) 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π．若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则函数f（x）的解析式为（）A . f（x）=2sin（x+ ）B . f（x）=2sin（x+ ）C . f（x）=2sin（2x+ ）D . f（x）=2sin（2x+ ）6. （2分）(2017·西安模拟) 已知两个单位向量的夹角为45°，且满足⊥（λ ﹣），则实数λ的值为（）A . 1B .C .D . 27. （2分）方程表示（）A . 两条直线B . 两条射线C . 两条线段D . 一条射线和一条线段8. （2分） (2016高一下·佛山期中) 设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A . 8B . 7C . 2D . 19. （2分） (2015高一下·济南期中) 等于（）A . sin2﹣cos2B . cos2﹣sin2C . ±（sin2﹣cos2）D . sin2+cos210. （2分）方程cosx=lgx的实根的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 无数11. （2分）一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·湖北期中) 已知f（x）在R上是可导函数，f（x）的图象如图所示，则不等式f′（x）＞0的解集为（）A . （﹣2，0）∪（2，+∞）B . （﹣∞，2）∪（2，+∞）C . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D . （﹣2，﹣1）∪（1，2）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·上海月考) 已知点、，如果，则点的坐标为________14. （1分） (2016高二上·济南期中) 已知a＞1，b＞1，且ab+2=2（a+b），则ab的最小值为________．15. （1分）(2018·石嘴山模拟) 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则 ________．16. （1分） (2017高一下·南京期末) 在△ABC中，若a= ，b= ，A=120°，则B的大小为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2018高一下·庄河期末) 在中，分别为角的对边，且满足 .（1）求的值；（2）若，，求的面积.18. （10分） (2018高二上·湖南月考) 数列满足， .（1）求证：数列是等差数列；（2）若，求的取值范围.19. （5分） (2017高二下·汉中期中) 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．20. （5分） (2020高二上·兰州期末) 设函数在和处有极值，且，求的值，并求出相应的极值.21. （10分） (2016高三上·安徽期中) 设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x∈（1，+∞）时，xf（x）+xe1﹣x＞1恒成立，求a的取值范围．（其中，e=2.718…为自然对数的底数）．22. （15分） (2016高一上·万州期中) 对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f （x）的不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+（b﹣1）（a≠0）．（1）当a=1，b=2时，求函数f（x）的不动点；（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若f（x）的两个不动点为x1，x2，且f（x1）+x2= ，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、答案：略21-2、答案：略22-1、22-2、22-3、。

吉林省长春市榆树弓棚中学校2021年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，，则（）．A．B．C．D．参考答案：B∵或，，，故选．2. 设且，则（）A. B. C. D.参考答案：D3. 如下图，矩形ABCD中，点E为边CD上的任意一点，若在矩形ABCD内部随机取一个[点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为所以选C.4. 将函数的图像向右平移m 个长度单位后得到函数，若与的零点重合，则m 的一个可能的值为A ．B．C．D．参考答案：B5. 双曲线y2﹣=1的焦点坐标是（）A．（0，），（0，﹣）B．（，0），（﹣，0）C．（0，2），（0，﹣2）D．（2，0），（﹣2，0）参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得该双曲线的焦点位置以及a、b的值，计算可得c的值，进而有双曲线的焦点坐标公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为y2﹣=1，其焦点在y轴上，且a=1，b=，则c==2，则其焦点坐标为（0，2）、（0，﹣2）；故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，涉及双曲线的焦点坐标，注意由双曲线的标准方程分析其焦点位置．6. 若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种B．63种C．65种D．66种参考答案：D考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法．解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有=1种结果，当取得4个奇数时，有=5种结果，当取得2奇2偶时有=6×10=60∴共有1+5+60=66种结果，故选D点评：本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是根据题意把符合条件的取法分成三种情况，利用组合数表示出结果，本题是一个基础题．7. 在△ABC中,记,,,,AD是边BC的高线,O是线段AD的中点,则()A. B.C. D.参考答案：D由题意易得,由,得,则，故选D.8. 椭圆的中心在原点，焦距为，一条准线为，则该椭圆的方程为( )A． B. C. D.参考答案：C因为椭圆的焦距是4，所以又准线为，所以焦点在轴且，解得，所以，所以椭圆的方程为，选C.9. 若，则角是（）A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第二或第四象限角参考答案：D因为，则角是第二或第四象限角，选D10. 对任意非零实数a，b，若的运算法则如右图的框图所示，则的值等于A、B、C、D、参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （15）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，p为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的洁面记为S，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）。

长春市高三理数第一次统测数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）(2019·桂林模拟) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （1分） (2020高三上·静安期末) 设，若复数是纯虚数，则点一定满足（）A .B .C .D .3. （1分）已知向量，向量，若，则实数x的值是（）A . 0或2B . -3C . 0或-3D . 24. （1分）(2019·武威模拟) 已知（）且，则（）A .B .C .D .5. （1分） (2018高二下·中山月考) 如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的回归直线方程为，则表中的值为（）A .B .C .D .6. （1分）若实数x,y满足，则的最大值是（）A . 0B . 1C .D . 97. （1分）(2017·佛山模拟) 如图所示的程序框图，输出的值为（）A .B .C .D .8. （1分）(2016·北区模拟) 设x，y∈R，则“x≥1且y≥2”是“x+y≥3”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件9. （1分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .10. （1分）下列说法一定正确的是（）A . 一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况B . 一枚硬币掷一次得到正面的概率是，那么掷两次一定会出现一次正面的情况C . 如买彩票中奖的概率是万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元D . 随机事件发生的概率与试验次数无关11. （1分）某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校，则该学生不同的报考方法种数是（）A . 16B . 24C . 36D . 4812. （1分） (2016高二上·衡水期中) 已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为斜边长为的等腰直角三角形（如图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）A . 4πB . 3πC . 2πD . π二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·汕头期末) 已知随机变量X服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤X≤0）=0.4，则P（X＞2）=________．14. （1分）若（2﹣x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015 ，则=________15. （1分）(2020·天津模拟) 已知某同学投篮投中的概率为，现该同学要投篮3次，且每次投篮结果相互独立，则恰投中两次的概率为：________；记X为该同学在这3次投篮中投中的次数,则随机变量X的数学期望为________.16. （1分） (2017高一下·芮城期末) 如图在平行四边形中，为中点， ________．(用表示)三、解答题 (共7题；共9分)17. （2分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别是PA，PD边上的中点，且PD=AB=2．（1）求EF∥平面PBC；（2）求四棱锥P﹣ABCD的表面积．18. （2分） (2018高一下·汕头期末) 某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量（百斤）与使用某种液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．附：相关系数公式，参考数据，．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0．01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：周光照量（单位：小时）若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．19. （1分）(2017·渝中模拟) 如图（1），在五边形BCDAE中，CD∥AB，∠BCD=90°，CD=BC=1，AB=2，△ABE 是以AB为斜边的等腰直角三角形，现将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，如图（2），记线段AB的中点为O．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面EOD；（Ⅱ）求平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小．20. （1分）(2016·山东模拟) 2016年上半年，股票投资人袁先生同时投资了甲、乙两只股票，其中甲股票赚钱的概率为，赔钱的概率是；乙股票赚钱的概率为，赔钱的概率为．对于甲股票，若赚钱则会赚取5万元，若赔钱则损失4万元；对于乙股票，若赚钱则会赚取6万元，若赔钱则损失5万元．（Ⅰ）求袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票赚钱的概率；（Ⅱ）试求袁先生2016年上半年同事投资甲、乙两只股票的总收益的分布列和数学期望．21. （1分） (2015高二上·龙江期末) 一个多面体的直观图（图1）及三视图（图2）如图所示，其中M，N 分别是AF，BC的中点（1）求证：MN∥平面CDEF：（2）求二面角A﹣CF﹣B的余弦值；22. （1分）(2018·黄山模拟) 已知圆锥曲线(是参数)和定点 ,、是圆锥曲线的左、右焦点．（1）求经过点且垂直于直线的直线的参数方程；（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．23. （1分）已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣3|（a＜3）．（1）若不等式f（x）≥4的解集为{x|x≤ 或x }，求a的值；（2）若对∀x∈R，f（x）+|x﹣3|≥1，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共9分) 17-1、17-2、18-1、18-2、20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。

长春市数学高三上学期理数期末联考试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共6题；共6分)1. （1分）已知全集则（）A . {2,3}B . {1,2,3}C . {2,3,4}D . {1,2,3,4}2. （1分）(2017·北京) 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A . 2B .C .D .3. （1分）三个数a= ，b=log20.31，c=20.31之间的大小关系是（）A . a＜c＜bB . b＜a＜cC . a＜b＜cD . b＜c＜a4. （1分）如果a，b，c都是实数，那么P：ac＜0，是q：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （1分） (2019高三上·承德月考) 将函数的图象向右平移单位后，所得图象对应的函数解析式为（）A .B .C .D .6. （1分）若向量=(3,K)，=(2,-1)，=0，则实数k的值为（）A . -B .C . 6D . 2二、填空题 (共6题；共6分)7. （1分） (2019高二下·涟水月考) 已知是虚数单位，若复数满足，则的共轭复数________.8. （1分）已知xn=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+an（x﹣1）n ，若5a1=2a2 ，则a0+a1+a2+a3+…+an=________．9. （1分） (2019高二上·丽水期末) 我国古代数学经典名著《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥为鳖臑,且平面 , ,且该鳖臑的外接球的表面积为 ,则该鳖臑的表面积为________．10. （1分）将参数方程（为参数）化为普通方程为________.11. （1分）(2017·山东) 若直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为________．12. （1分）定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且当0＜x≤1时，f（x）=log3x，则方程在区间（0，10）内所有的实根之和为________．三、解答题 (共5题；共11分)13. （2分）已知△ABC的周长为，且sinB+sinC=sinA．（Ⅰ）求边长a的值；（Ⅱ）若S△ABC=3sinA，求cosA的值．14. （2分）通过随机调查某校高三100名学生在高二文理分科是否与性别有关，得到如下的列联表：（单位：人）文理性别男女总计选理科402060选文科103040总计5050100（1）从这50名女生中按文理采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中文科生与理科生各多少人？（2）从（1）中抽到的5名学生中随机选取两名访谈，求选到文科生、理科生各一名的概率；（3）根据以上列联表，问有多大把握认为“文理分科与性别”有关？15. （2分）(2017·武邑模拟) 在等差数列{an}中，a2+a7=﹣23，a3+a8=﹣29（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{an+bn}是首项为1，公比为2的等比数列，求{bn}的前n项和Sn．16. （2分） (2017高二下·双流期中) 已知椭圆Γ： =1（a＞b＞0）的右焦点为（2 ，0），且椭圆Γ上一点M到其两焦点F1 ， F2的距离之和为4 ．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆Γ交于不同两点A，B，且|AB|=3 ．若点P（x0 ， 2）满足| |=| |，求x0的值．17. （3分）(2017·重庆模拟) 已知函数f（x）=mex﹣lnx﹣1．（1）当m=1，x∈[1，+∞）时，求y=f（x）的值域；（2）当m≥1时，证明：f（x）＞1．参考答案一、单选题 (共6题；共6分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、二、填空题 (共6题；共6分)7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、三、解答题 (共5题；共11分)13-1、14-1、14-2、14-3、15-1、15-2、16-1、17-1、第11 页共11 页。

长春市实验中学2018-2019学年上学期期末考试高三数学试卷（理）一选择题：在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合, ，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出A中函数的值域y的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【详解】由A中，得到y≥0，即A＝{y| y≥0}，由B中， x，即B＝{x| x}，则A∩B＝{x| x}，故选：C．【点睛】本题考查了交集的运算及函数定义域和值域的求法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.若复数是纯虚数（为虚数单位），则的值为（）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】由于z为纯虚数，,.3.函数的递增区间为（）A. B. C. D.【答案】C分析：令=>0，求得函数的定义域为，且函数y=，本题即求二次函数t（x）在上的增区间．再利用二次函数的性质可得t（x）在上的增区间．详解：令=>0，求得 x≤1，或x≥2，故函数的定义域为，且函数y=，故本题即求二次函数t（x）在y=上的增区间．再利用二次函数的性质可得t（x）在y=上的增区间为，故选：C．点睛：复合函数单调性判断的口诀：同增异减，即内外层单调性一致为增函数，内外层单调性相反为减函数.4.若是两条不同的直线，是三个不同的平面，①②③④若,，则则以上说法中正确的有( )个A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由是两条不同的直线，是三个不同的平面，知：对于①，，，由线面垂直的判定定理得，故①正确；对于②，，，，则与平行或异面，故②错误；对于③，，，，由线面垂直的判定定理得，故③正确；对于④，若，，，则与相交或平行，故④错误．故选B.5.下列判断中正确的是（）A. “若，则有实数根”的逆否命题是假命题B. “”是“直线与直线平行”的充要条件C. 命题“”是真命题D. 已知命题，使得；命题，则是真命题.【解析】【分析】A,根据有实数根的等价条件，判断A是否正确；B, 根据“直线与直线平行” 的充要条件是或，判断B；C, 根据sin x+cos x，判断C；D,先判断p，q的真假，再利用复合命题真假性的判定方法得出结果．【详解】对于A, ∵有实数根,∴△＝1+4×m，∴m，∴若，则有实数根是正确的，所以逆否命题是正确的，故A错误；对于B, “直线与直线平行” 的充要条件是或，∴“”是“或”的充分不必要条件，故B错误；对于C, ∵sin x+cos x sin（x），∴命题“”为假命题，故C 错误；对于D，∵﹣1≤cos x≤1，∴lg cos x≤0，∴命题p为假命题，命题q：∀x＜0，3x＞0，是真命题，∴是真命题，故D正确.故选D.【点睛】本题考查了命题的真假判断，考查了命题的否定命题，考查了充要条件的判断，涉及三角函数的值域问题、平面上两直线间的位置关系判断及一元二次方程根的情况的判断等知识，解答时要细心，属于综合题.6.设数列中，若，则称数列为“凸数列”.已知数列为“凸数列”，且，则数列的前2019项和为（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】数列{b n}为“凸数列”，b n+1＝b n+b n+2，b1＝1，b2＝﹣2，可得：b3＝﹣3，进而得到b4，b5，b6，b7，b8，…，所以发现b n+6＝b n．即可得出．【详解】∵数列{b n}为“凸数列”，∴b n+1＝b n+b n+2，∵b1＝1，b2＝﹣2，∴﹣2＝1+b3，解得b3＝﹣3，同理可得：b4＝﹣1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝﹣2…，∴b n+6＝b n．又b1+b2+…+b6=1﹣2﹣3﹣1+2+3=0，且2019=6+3，∴数列{b n}的前2019项的和＝b1+b2+ b3+336=1-2-3=-4，故选：C．【点睛】本题考查了递推关系的应用、新定义、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.若向量满足，则与夹角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由可求得，再根据夹角公式求向量的夹角，进而得解.【详解】∵，∴，即，∴，∴，∴，故选D.【点睛】本题考查了向量的数量积的应用，涉及了向量的模，向量的夹角以及同角三角函数的关系；一般情况下，在解题时需注意两向量夹角的范围是 .8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. 20B. 15C. 10D. 5【答案】C【解析】【分析】由三视图可知：该几何题是由一个长方体截取后剩下的一个三棱锥，直接利用锥体体积公式计算即可．【详解】由三视图可知：该几何题是由一个长方体截取后剩下的一个三棱锥A-BCD，如图：∴该几何体的体积．故选：C．【点睛】本题考查了三视图的有关计算、三棱锥与四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.设的一个顶点是，的平分线方程分别为，则直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析题意，求出A关于x＝0，y＝x，的对称点的坐标，都在直线BC上，利用两点式方程求解即可．【详解】∵∠B、∠C的平分线分别是x＝0，y＝x，∴AB与BC对于x＝0对称，AC与BC对于y＝x对称．A（-3， 1）关于x＝0的对称点A'（3，1）在直线BC上，A关于y＝x的对称点A''（1，-3）也在直线BC上．由两点式，所求直线BC的方程：y＝2x-5．故选：B．【点睛】本题是基础题，考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，考查计算能力，发现问题解决问题的能力，常考题型．10.已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A. 函数的周期为B. 函数为偶函数C. 函数在上单调递增D. 函数的图象关于点对称【答案】C【解析】【分析】观察图象由最值求，然后由函数所过的点，求出，可求函数的解析式，进而研究函数性质即可得出结论．【详解】观察图象可得，函数的最小值，所以，又由图像可知函数过，即结合可得，则，显然A 选项错误；对于B，，不是偶函数，B错；对于D ，当，故D错误，由此可知选C.【点睛】点睛：本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．11.函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【解析】【分析】由题意得到，然后将问题转化为函数在区间上有一个变号零点的问题处理，分离参数后借助数形结合的方法可得结果．【详解】∵，∴．∵函数在区间上有且仅有一个极值点，∴在区间上只有一个变号零点．令，得．令，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴，又．结合函数的图象可得，当时，在区间上只有一个变号零点．∴实数的范围为．故选B．【点睛】本题具有综合性，解答本题时注意以下几点：（1）将函数有一个极值点的问题转化为导函数有一个变号零点的问题处理，然后再转化为两个函数图象的公共点的问题处理；（2）解题中要利用数形结合的方法解题，求解时注意所求范围的端点值能否取到．12.设函数是定义在上的函数，且对任意的实数，恒有，当时，．若在上有且仅有三个零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据函数的周期和奇偶性作出f（x）和y＝log a x在（0，+∞）上的图象，根据交点个数列出不等式解出a．【详解】∵f（x）﹣f（﹣x）＝0，∴f（x）＝f（﹣x），∴f（x）是偶函数，∴，令则x=t+，∴有成立，∴f（x）是的周期为2，根据函数的周期和奇偶性作出f（x）的图象如图所示：∵g（x）＝f（x）﹣log a x在x∈（0，+∞）上有且仅有三个零点，∴y＝f（x）和y＝log a x的图象在（0，+∞）上只有三个交点，∴，解得3＜a＜5．故选：A．【点睛】本题考查了零点个数的判断，作出f（x）的函数图象是解题关键．二填空题：将正确的答案填在横线上。