下载文档原格式
弹性波的传播和衰减弹性波是一种在固体和流体介质中传播的波动形式。
它具有传播距离远、能量传递快、频率范围广、信息传递高效等特点，在地震学、声学、材料科学等领域具有重要应用。
本文将探讨弹性波的传播机理和衰减规律。
一、弹性波的传播机理在固体和流体介质中传播的弹性波可以分为纵波和横波。
纵波是沿着波的传播方向产生压缩和膨胀的弹性变形波动；横波则是垂直于传播方向产生横向位移的弹性波动。
弹性波的传播过程中，需要考虑介质的密度、速度、弹性模量等因素。
在固体介质中，声波的传播速度与固体的弹性模量和密度有关。
例如，高弹性模量和低密度的固体，其声波传播速度较高。
在流体介质中，声波传播的速度与介质的压力和密度相关。
弹性波传播过程中，会遇到不同介质之间的界面。
当波传播到界面时，会发生反射和折射现象。
反射是指波遇到不连续介质界面时，一部分能量被反弹回来，另一部分能量继续传播；折射则是指波穿过界面时，会改变传播方向和传播速度。
二、弹性波的衰减规律弹性波在传播过程中会发生衰减，主要是由于介质的吸收、散射和径向扩散引起的。
各种因素之间的相互作用决定了波能量的逐渐耗散和减弱。
介质的吸收是导致弹性波衰减的主要因素之一。
当波传播过程中，介质的分子或原子会吸收波的能量并转化为内能，导致波的振幅逐渐减弱。
吸收程度与介质的特性以及波的频率有关，高频率波的吸收相对较强。
散射是另一个导致弹性波衰减的因素。
当波传播过程中，遇到介质的不均匀性或杂质等异质结构时，波会发生散射现象，波的能量会被散射到不同的方向，使得整体的振幅减小。
散射的强度与杂质的尺寸和分布有关，尺寸较大或分布较密集的杂质会引起更强的散射。
径向扩散是弹性波在固体介质中衰减的特殊现象。
当波在均匀固体中传播时，波的能量会随着距离的增加而扩散，导致波的振幅衰减。
径向扩散的强度与波长、传播介质的特性有关，波长较长或介质的吸收和散射性质较强时，径向扩散效应更加显著。
三、应用与展望弹性波在地震勘探、医学成像、无损检测等领域具有广泛应用。
第四章习题试解1. 一维单原子晶格,在简谐近似下,考虑每一原子与其余所有原子都有作用,求格波的色散关系.解：设原子质量为m ,周期为a ,第n 个原子偏离平衡位置的位移为μn ,第n-k 与n+k 个原子偏离平衡位置的位移分别为μn-k ,μn+k ,其与第n 个原子间的弹性恢复力系数为β-k ,βk .n-k n-1 n n+1 n+k显然：k k ββ-=第n 个原子受n-k 和n+k 原子的合力为：第n 个原子受所有原子的合力为：振动的运动学方程可写为：代入振动的格波形式的解()i qna t nq Ae ωμ-= 有2()[()][()]()()(2)i qna t i q n k a t i q n k a t i qna t k km i Ae Ae Ae Ae ωωωωωβ-+----=+-∑色散关系即为2.聚乙烯链…—CH ＝CH —CH ＝CH…的伸张振动,可以采用一维双原子链模型来描述,原胞两原子质量均为M,但每个原子与左右邻原子的力常熟分别为β1和β2,原子链的周期为a .证明振动频率为证：如图,任意两个A 原子〔或B 原子〕之间的距离为a,设双键距离b 2,单键距离b 1 …—CH ＝CH —CH ＝CH —CH ＝CH —CH ＝CH —CH ＝CH …2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2 AB Ab2 b1只考虑近邻作用的A,B 两原子的运动方程为A ：222121221()()n n n n n M μβμμβμμ+-=---B ： 21122212212()()n n n n n M μβμμβμμ++++=---将格波解()2i qna t n Ae ωμ-= 和2[()]21i q na b t n Be ωμ+-+= 代入以上运动方程,有 化简得：1221212()()0iqb iqb M A e e B ββωββ-+--+=同理：1221212()()0iqb iqb e e A M B ββββω--+++-=化为以A 、B 为未知数的线性齐次方程组,它的有解条件是从而得到3.求一维单原子链的振动模式密度g<ω>,若格波的色散可以忽略,其g<ω>具有什么形式,比较这两者的g<ω>曲线.解：一维情况q 空间的密度约化为L/2π,L=Na 为单原子链的长度,其中a 为原子间距,N 为原子数目.则在dq 间隔内的振动模式数目为2L dq π.dω频率间隔内的振动模式数目为 等式右边的因子2来源于ω〔q 〕具有中心反演对称,q ﹥0和q ﹤0区间是完全等价的.从而有 对于一维单原子链,只计入最近邻原子之间的相互作用时,有其中ωm 为最大频率.代入g <ω>得考虑ω=cq 〔德拜近似〕由q →0〔德拜近似下〕, 有111()222m m q qa qa a q ωωω==⋅=⋅ 即12m c a ω=⋅ 则有：12m d a dq ωω=⋅ 121()12m m NaN g a ωππωω==⋅ 〔常数〕考虑ω=ω0〔爱因斯坦近似〕显然有()000g ωωωωω∞=⎧=⎨≠⎩ 4.金刚石〔碳原子量为12〕的杨氏模量为1012N·m -2,密度ρ=3.5g·cm -3.试估算它的德拜温度ΘD =？ 解：德拜温度D D B k ωΘ=223231()4()(2)2j V V g c c c ωωπωππ==, 2233()2V g c ωωπ== 近似看作弹性介质时,1/2410/C m s ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭杨氏模量密度 每摩尔原子数目为N=6.02×1023,摩尔质量m=12g,则摩尔体积代入,得ωm =57.97×1013最后得 ΘD =4427K5.试用德拜模型求晶体中各声频支格波的零点振动能. 解：根据量子理论,各简谐振动的零点能为12ω 德拜近似下2233()2V g C ωωπ= 总零点能为034232301()2331444m m m E g d VV d C C ωωωωωωωωππ===⎰⎰ 由自由度确定的21/3[6()]m NC V ωπ=代回上式中6.一根直径为3mm 的人造蓝宝石晶体的热导率,在30K 的温度达到一个锐的极大值,试估计此极大值.〔蓝宝石在T ﹤﹤ΘD =1000K 时,c V =10-1T 3J·m -3·K -1〕解：m D B k ωΘ=→ωm =1.31×1014λ与晶格常数10-10m 近似时约为2.09×103,近似作为平均声速代入 热导率35.643103c l υκυ==⨯ 7.Na 和Cl 的原子量分别为23和37.氯化钠立方晶胞边长为0.56nm,在[100]方向可以看做是一组平行的离子链.离子间距d=0.28nm.NaCl 晶体的杨氏模量为5×1010N·m -2,如果全反射的光频率与q=0的光频模频率相等,求对应的光波波长.解：当q=0时,光频支频率为杨氏模量10510a β=⨯,且90.2810a -=⨯m故201.7910β=⨯,再同两原子质量一同代入频率式则波长02c πλω==1.53×10-14m8.立方晶体有三个弹性模量C 11,C 12和C 44.铝的C 11=10.82×1010N·m -2,C 44=2.85×1010N·m -2,铝沿[100]方向传播的弹性波纵波速度l υ=,横波速度t υ=,Al 的密度ρ=2.70×103kg·m -3.求德拜模型中铝的振动模式密度g<ω>.解：由题条件知36.3310l υ=⨯,33.2510t υ=⨯若所考虑的晶体体积为V,则。
第二章 声波的基本性质 §2.1 概述2.1.1 声波的物理量1、声压p 指由声扰动产生的逾量压强，即声波引起的介质压强起伏与介质 静压的差值。
0p P P P =∆=- 声压p 通常是空间和时间的函数。
(,)p p r t = 介质中的实际压强为0P P p =+ （2-1-1）2、介质的密度和温度与声压的概念相似，声扰动或声波同样可以引起介质密度和温度的起伏。
0=-δρρ 0T T =-τ （2-1-2）δ和τ同样是空间和时间的函数。
不过一般情况下，这种起伏通常较小（详见小振幅声波或线性声学基本假设），可以近似认为：0=ρρ ，0T T = 即忽略密度和温度的起伏，近似认为它们为常量。
3、声波中的质点振动位移s 和振动速度v 指产生或传播声波的质点（或微元体）在其平衡位置附近的振动位移和振动 速度。
通常它们是矢量（场）。
4、声速c指声波在介质中的传播速度，分为相速度和群速度。
关于它们以后再介绍。
5、声波的频率f 、角频率ω、波长λ、周期T 等是我们熟悉的物理量，此处不再赘述。
描述声波的物理量还有许多，以后还要陆续介绍。
2.1.2 声波分类关于声波有多种分类方法很多，常见的分类方法主要有：根据波阵面（或等相位面）的形状或波源的几何特征，可以将声波分为： 1、 球面波（点源）；2、柱面波（直线源）；3、平面波（平面源） 根据波的振动方向与波传播方向的几何关系，可以将声波分为： 1、纵波，振动方向与波传播方向平行； 2、横波，振动方向与波传播方向垂直； 根据介质的几何尺寸和形状，还可将其中的声波分类为体波和导波，前者指在无限大介质中传播的波，而后者则指在有限介质中传播的波。
另外根据介质的理想化程度和对其数学描述的近似程度，把声学划分为：线性声学 理想介质理想介质 线性声学非线性声学 实际介质 声学 或 声学线性声学 理想介质实际介质 非线性声学非线性声学 实际介质流体介质因具有不可压缩性，同时其粘滞系数较小，对剪切应力的传递能力有限，因此其中只能传播纵波。
弹性模量的测定整理弹性模量的定义及其相互关系材料在弹性变形阶段，其应⼒和应变成正⽐例关系（即符合胡克定律），其⽐例系数称为弹性模量（ElasticModulus）。
弹性模量的单位是GPa。
“弹性模量”是描述物质弹性的⼀个物理量，是⼀个总称，包括“杨⽒模量”、“剪切模量”、“体积模量”等。
所以，“弹性模量”和“体积模量”是包含关系。
⼀般地讲，对弹性体施加⼀个外界作⽤（称为“应⼒”）后，弹性体会发⽣形状的改变（称为“应变”），“弹性模量”的⼀般定义是：应⼒除以应变。
线应变：对⼀根细杆施加⼀个拉⼒F，这个拉⼒除以杆的截⾯积S，称为“线应⼒”，杆的伸长量dL除以原长L，称为“线应变”。
线应⼒除以线应变就等于杨⽒模量E=(F/S)/(dL/L)。
剪切应变：对⼀块弹性体施加⼀个侧向的⼒f（通常是摩擦⼒），弹性体会由⽅形变成菱形，这个形变的⾓度a称为“剪切应变”，相应的⼒f除以受⼒⾯积S称为“剪切应⼒”。
剪切应⼒除以剪切应变就等于剪切模量G=(f/S)/a。
体积应变：对弹性体施加⼀个整体的压强P，这个压强称为“体积应⼒”，弹性体的体积减少量(-dV)除以原来的体积V 称为“体积应变”，体积应⼒除以体积应变就等于体积模量:K=P/(-dV/V)。
意义：弹性模量可视为衡量材料产⽣弹性变形难易程度的指标，其值越⼤，使材料发⽣⼀定弹性变形的应⼒也越⼤，即材料刚度越⼤，亦即在⼀定应⼒作⽤下，发⽣弹性变形越⼩。
弹性模量E 是指材料在外⼒作⽤下产⽣单位弹性变形所需要的应⼒。
它是反映材料抵抗弹性变形能⼒的指标，相当于普通弹簧中的刚度。
说明：弹性模量只与材料的化学成分有关，与其组织变化⽆关，与热处理状态⽆关。
各种钢的弹性模量差别很⼩，⾦属合⾦化对其弹性模量影响也很⼩。
泊松⽐（Poisson'sratio ），以法国数学家SimeomDenisPoisson 为名，是横向应变与纵向应变之⽐值它是反映材料横向变形的弹性常数。
第一章 超声波探伤的物理基础第四节 超声平面在平界面上斜入射的行为超声平面波以一定的倾斜角入射到异质界面上时，就会产生声波的反射和折射、并且遵循反射和折射定律。
在一定条件下，界面上还会产生波型转换现象。
一、斜入射时界面上的反射、折射和波型转换(1) 超声波在固体界面上的反射1. 固体中纵波斜入射于固体——气体界面图1–25中，L α为纵波入射角，1L α为纵波反射角，1S α为横波反射角，其反射定律可用下列数学式表示：1S 1S 1L 1L L L sin C sin C sin C α=α=α (1–34) 因入射纵波L 与反射纵波L 1在同一介质内传播，故它们的声速相同，即1L L C C =，所以1L L α=α。
又因同一介质中纵波声速大于横波声速，即1S 1L C C ＞，所以1S 1L αα＞。
2. 横波斜入射于固体——气体界面图1–26中，S α为横波入射角，1S α为横波反射角，1L α为纵波反射角。
由反射定律可知：1L 1L 1S 1S S S sin C sin C sin C α=α=α (1–35)图1–25 纵波斜入射 图1–26 横波斜入射因入射横波S 与反射横波S 1在同一介质内传播，故它们的声速相同，即1S S C C =，所以1S S α=α。
又因同一介质中1S 1L C C ＞，所以，1S 1L αα＞。
结论：当超声波在固体中以某角度斜入射于异质面上，其入射角等于反射角，纵波反射角大于横波反射角，或者说横波反射声束总是位于纵波反射声束与法线之间。
图(1–27)表示钢及铝材中纵波入射时的横波反射角，也可以看成横波入射时的纵波反射角。
(2) 超声波的折射1. 纵波斜入射的折射图1–28中L α为第一介质的纵波入射角，L β为第二介质的纵波折射角，S β为第二介质的横波折射角，其折射定律可用下列数学式表示：S2S L 2L L L sin C sin Csin C β=β=α (1–36)图1–27 钢及铝村中纵波入射时的横波反射角(或横波入射时的纵波反射角) 图1–28 纵波斜入射在第二介质中，因2S 2L C C ＞，所以S L sin sin ββ＞，S L ββ＞，横波折射声束总是位于纵波折射声束与法线之间。
声波在非均匀介质中的折射和反射现象声波是一种机械波，它传播的媒介是各种物质，其中包括液体、固体和气体。
当声波遇到介质的界面时，会发生折射和反射现象。
这些现象通过声波的传播速度改变来展现出来。
首先，我们来了解一下声波的传播速度。
在均匀介质中，声波的传播是通过分子之间的振动传递能量实现的。
声波的传播速度取决于介质的性质，例如密度和弹性模量。
当声波从一个介质传播到另一个介质时，由于介质性质的差异，声波的传播速度会发生改变。
折射是声波遇到非均匀介质边界时发生的现象。
当声波从一个介质传播到另一个介质时，由于介质的性质不同，声波的传播速度也会发生变化。
根据折射原理，当声波从一种介质传播到另一种介质时，入射波与介质分界面的法线之间的角度（入射角）以及两种介质的声速决定了出射波的传播方向和角度（折射角）。
当声波从一个介质传播到另一个介质时，如果两个介质的声速不同，折射就会发生。
折射角的大小取决于入射角和两种介质的声速比。
当声波由低声速介质传播到高声速介质时，折射角会变小，而当声波由高声速介质传播到低声速介质时，折射角会变大。
这种折射现象在日常生活中很常见，例如我们在游泳的时候，当我们从空气进入水中的时候，声音会突然变得更加混沌和模糊。
相反，当声波从一个介质传播到另一个介质时，如果两个介质的声速相等，那么折射现象就不会发生。
这是因为在这种情况下，声波对两个介质的传播速度没有差异，所以它保持直线传播，不会改变传播方向和角度。
这种情况在两个密度相同的介质之间的界面上很常见，例如空气与空气之间的界面或水与水之间的界面。
除了折射外，反射也是声波遇到非均匀介质边界时常发生的现象。
反射是指当声波遇到一个界面时，一部分能量被反射回原介质，形成一个从界面反射回来的声波。
这种反射现象是由于声波遇到介质的界面时，介质的性质发生突变，导致声波反射回来。
反射现象在许多方面都有实际应用，例如声纳技术和声波图像。
总结起来，声波在非均匀介质中的折射和反射现象是由于介质的性质在不同区域之间的差异引起的。
