第一章 随机事件和概率
基本概念：随机试验、样本点、样本空间、随机事件、事件发生、事件关系、事
件运算、事件互不相容、概率、概率空间、古典概型、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式、事件独立、试验独立。
典型例题：
1. 一批产品由90件正品和10件次品组成，从中任取一件，问取得正品的概率多大.
2. 甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为 0.7，乙命中目标的概率为0.8 求：(1)甲、乙两人同时命中目标的概率；(2)恰有一人命中目标的概率；(3)目标被命中的概率.
3. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.
4. 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%, 丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为90%, 丙厂产品正品率为85%, 如果从这批产品中随机抽取一件, 试计算该产品是正品的概率多大.
第二章 随机变量及其分布函数
基本概念：随机变量、分布函数、二项分布、正态分布、条件分布、2χ-分布、
t -分布、F -分布。
典型例题：
1、有1000件产品，其中900件是正品，其余是次品. 现从中每次任取1件，有放回地取5
件，试求这5件所含次品数ξ的分布列.
2、 设随机变量ξ的分布密度为p （x ）＝ ，⎩
⎨⎧<≥-0x 00
2x ae x ，求：
（1）常数a ； （2）P （ξ＞3）.
3、已知随机变量ξ的分布列为
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-25.013.02.005.037.073101
，
（1）求η＝2－ξ的分布列； （2）求η＝3＋ξ2分布列.
4、设ξ服从N （5，32
），求P （ξ＜10），P （102≤<ξ）.
5、 某工厂生产的一批零件，合格率为95%，今从中抽取100件，试求下列事件的概率：
（1）被检验的100件中恰好有4件不合格品； （2）不合格的件数不少于4件； （3）不合格的件数在4到6之间. 6、 已知随机变量ξ的分布密度为
)(x p ξ＝ ， 其他
， ⎪⎩⎪
⎨⎧<<0412
ln 21
x x ，且η＝2－ξ，试求η的分布密度. 7、设随机变量X 服从（-2，２）上的均匀分布，求随机变量2
X Y =的概率密度函数为
)(y f Y .
8. 设G 是由直线y=x ，y=3，x=1所围成的三角形区域，二维随机变量
),Y X （在G 上服从二维均匀分布求：（1）),Y X （的联合概率密度；（2）}1{≤-X Y P ；（3）X 的边缘概率密
度。
9. 设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出二维随机变量
),Y X （的联合分布率及关于X 和关于Y 的边缘分布率中部分数值，试将其余数值填入表中空白处。
10. 设二维随机变量),Y X （的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他,
00
,0,2),()2(y x e y x f y x ，求随机变量
Y X Z 2+=的分布函数和分布密度函数。
第三章 随机变量的数字特征
基本概念：数学期望、方差、协方差、相关系数、条件数学期望 典型例题：
1. 设X 是一个随机变量，其密度函数为⎪⎩⎪
⎨⎧<≤-<≤-+=其他,010,101,1)(x x x x x f ，求(),()E X D X .
2. 设随机变量X 与Y 独立，同服从正态分布)2
1
,0(N 分布，求
（1）)();(Y X D Y X E --； （2）)),(min());,(max(Y X E Y X E 。
3. 设随机变量),Y X （的概率密度为(2),0,0
(,)0,
x y ke x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他，求
（1）确定常数k ；（2）),Y X （的分布函数；（3）求)20,10{≤<≤<Y X P ；
（4）求(),x f x ()y f y ；（5）X 与Y 是否相互独立？
4. 设随机变量X 与Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其它
,01
,1),(2
2y x y x f π，验证X 与Y 互不相关，
但也不相互独立。
5. ），（Y X 服从二维正态分布, )3,1(~2
N X ，)4,0(~2
N Y 。
X 与Y 的相关系数
1
,232
XY X Y
Z ρ=-=
-，求（1）)(),(Z D Z E ；（2）X 与Z 的相关系数XZ ρ。
第四章 特征函数与母函数
基本概念：特征函数、母函数、 典型例题：
1. 设随机变量(,)B n p ξ ，求()t ϕ
2. 设随机变量(0,1)N ξ ，求()t ϕ
3. 设随机变量(,)B n p ξ ，求()s ξψ
第五章 极限定理
典型例题：
1 设随机变量X 的方差为2，则根据切比晓夫不等式估计≤≥-}2|{|）（X E X P 。
2 根据贝努里大数定理，设A n 是n 重贝努里试验中事件A 出现的次数，又A 在每次实验中出现的概率为)10(<<p p ，则对任意的0>ε，有 。
3 根据中心极限定理，设随机变量n X X ,,1 相互独立，服从同一分布，且具有有限的均
值与方差，),2,1(0)(,)(2 =≠==i X D X E i i σμ，随机变量σ
μ
n n X
Y n
i i
n -=
∑=1
的分布函
数)(x F n ，对任意的x ，满足P x F n n =∞
→)(lim { }= 。
二．某保险公司多年的统计资料表示，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔户中因盗窃而向保险公司索赔的户数。
（1）写出X 的概率分布；
（2）求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值。
三．某单位设置一电话总机，共有200架分机。
设每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的。
设每时刻每个分机有5%的概率要使用外线通话。
问总机需要多少外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用？
四．设501,,X X 是相互独立的随机变量，且都服从参数为03.0=λ的泊松分布，记
∑==50
1
i i X Y ，试计算}3{≥Y P 。
