09概率论复习提纲

2008—2009年第一学期《概率论与数理统计》复习大纲一复习方法与要求学习任何数学课程，要求掌握的都是基本概念、基本定理、基本方法，《概率论与数理统计》同样。

对这些基本内容，俗称三基，自己作出罗列与总结是学习的重要一环，希望尝试自己完成。

学习数学离不开作题，复习时也同样。

作为本科的一门课程，在课本中我们讲述了大纲所要求的基本内容。

考虑到学生的特点，在学习中可以有所侧重。

其中第一、二章介绍的概率的基本概念与关系；第三章介绍的一维离散型随机变量的分布以及随机变量的期望、方差；第四章介绍的一维连续型随机变量的分布以及随机变量的期望、方差；第五章二维随机变量的分布，主要要求掌握二维随机变量的联合分布律、边缘分布律以及随机变量独立的判别。

随机变量的数字特征。

中心极限定理；第六章介绍的总体、样本、统计量等术语；常用统计量的定义式与分布（t分布、F分布、2χ分布）；第七章的矩估计、极大似然估计与一个正态总体期望与方差的区间估计；第八章一个正态总体期望与方差的假设检验是应该掌握的基本知识与方法。

对上述内容之外部分，不作要求。

二期终考试题型：选择题、填空题和计算题。

三应熟练掌握的主要内容：1 掌握古典概型定义，熟悉其概率计算公式。

掌握摸球等课本所举类型概率的计算。

2 熟练掌握事件的和、差、积、独立等基本概率公式，以及条件概率、全概、贝叶斯公式，并利用它们计算概率。

3 掌握离散型随机变量分布律的定义、性质，会求简单离散型随机变量的分布律。

4 掌握泊松分布、二项分布的分布律。

5 掌握随机变量的分布函数的定义、性质。

6理解连续型随机变量的概率密度曲线、分布函数以及随机变量取值在某一区间上的概率的几何意义。

7掌握随机变量X在区间（a，b）内服从均匀分布的定义，会写出X的概率密度。

8 掌握正态分布μ(N),2σ概率密度。

9 有离散型随机变量的分布律会求分布函数，有离散型随机变量的分布函数会求分布律。

10有连续型随机变量的概率密度会求分布函数，有分布函数，会求概率密度。

概率论总复习期未考试, 一般只有解答题, 没有填空和选择这样的题型．大家以往年的试卷也了解考试的题型和难度.前五章都属于考试的范围.在复习时, 首先应当进一步掌握各部分的基本内容, 做到明确概念, 清楚理解定理, 熟悉对应的题型, 并进行适当的总结归纳. 不过从考试出发, 可以有所侧重, 首先考试的题目注重基本概念和基本运算的考察, 不求题型的偏和难, 所以复习时紧扣课本内容和课后的习题. 以下列出各部分基本内容和一些习题, 其中标有星号的部分是大家在复习时更要注意的. 在处理习题时，更重要的是理解题目所要考察的内容及熟悉结题的过程，而不是知道一个题目的结果．(有些题目是书后的习题，不会处理时自己去找一下答案．)一 随机事件与概率本章给出了概率论中最基本的概率和概率计算的方法．包括：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念 概率的基本性质，古典型概率．条件概率，概率的基本公式，事件的独立性，独立重复试验等．基本要求：1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算；2．＊理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质．会计算古典型概率，掌握概率的乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯公式；3．＊理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算．习题：1. 设B A ⊂，2.0)(=A P ，3.0)(=B P ，求()P AB ．0.12. 已知5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)|(=A B P ，求)(B A P ⋃．0.53.4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，8.0)|(=B A P ，求)|(B A P ．0.44. 若()0.4P A =，()P A B = 0.7，且A 与B 相互独立，求 ()P B 0.5，()P AB0.2 ()P A B 0.45. 某工厂生产过程中出现次品的概率为0.05，每100个产品为一批，检查产品质量时，在每批中取一半来检查,如果发现次品不多于一个，则这批产品可以认为是合格的．求一批产品被认为是合格的概率． 6. 一种设备使用到1000小时不能正常工作的概率为0.05，使用到2000小时不能正常工作的概率为0.10，求已经工作了1000小时的设备能继续工作到2000小时的概率．0.9/0.95二 随机变量及其概率分布本章讨论随机变量及其概率分布，给出了随机变量的分布函数的概念及其性质；分别考察了离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率密度及一些常见随机变量的概率分布，并且研究了随机变量函数的概率分布．基本要求：1．＊理解随机变量及其概率分布的概念．理解分布函数(){},.F x P X x x =≤-∞<<∞的概念及性质．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－l 分布、二项分布、泊松（Poisson ）分布及其应用；3．＊理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用；4．＊会求随机变量函数的分布．习题：1. 设随机变量ξ的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它,010,)(x Ax x f , 则确定常数A ，并求ξ 的分布函数，及3{0}4P ξ<<，()E ξ，()D ξ和2(1)E ξ-．2. 随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它２011)(x x C x f , 确定常数C 的值，并求分布函数3. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=11100)(2x x x x x F ，确定{1}P X ≤，{2}P X ≥．4. 设随机变量X 在]4,1[上服从均匀分布，现在对X 进行3次独立试验，求至少有2次观察值大于2的概率． 5. 若),2(~2σN X ，且{}3.042=<<X P ，求{}0P X <, {}2230P X X +-<.6. 设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布，谋求随机变量2Y X =的概率密度()X f x .7. 设随机变量ξ的概率分布律为(a) 求常数α; (b) 求ξ落入区间)5.1,5.1(-内的概率.三、二维随机变量及其概率分布本章研究多维随机变量及其分布．二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，二维连续性随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和相关性，常用二维随机变量的概率分布，两个随机变量简单函数的分布．基本要求：1．理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的分布的概念和性质．理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布；理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度；2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件；3．＊掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度；4．＊会求两个随机变量函数的分布，特别是两个随机变量线性函数的概率密度．习题：1. 设二维随机变量(ηξ,)的分布函数()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++=y B A x B A y B A x B A y x F arctan arctan 211arctan arctan ,(a)求常数B A ,；(b)求()0,0≥≥ηξP . 2. 若),(ηξ的联合概率密度为（a ）确定常数k ；（b ）求(1,0)P ξη<<．3. 设二维随机变量 ),(ηξ 的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤+=其它,01,1),1(),(y x xy A y x f .(a) 求系数A ;(b) 求边际分布密度)(x f ξ和)(y f η; (c) 判定ηξ,是否相互独立; (d) 求),(ηξCov 和ξηρ.221, 2(,),0, kx y xf x y ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它4. 设二维随机变量 ),(ηξ 的联合概率密度为(2)2,0,0(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它， 求随机变量2Z ξη=+的分布函数．四、随机变量的数字特征本章研究随机变量的数学期望（均值）、方差和标准差及其性质，随机变量函数的数学期望，矩、协方差，相关系数及其性质．基本要求：1．＊理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2. ＊会应用切比雪夫不等式；3. ＊会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望.习题：1. 设有两个随机变量Y X ,，2)(-=X E ，4)(=Y E ，4)(=X D ，9)(=Y D 且5.0-=XY ρ，求()22323E X XY Y -+-．2. 设随机变量X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式估计{}()2.P X E X -≥3. 已知X 和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4)N ，且相关系数,1/2X Y ρ=-，设/3/2Z X Y =+,(a) 求Z 的数学期望和方差；(b) 求X 与Z 的相关系数,X Z ρ,并说明其相关性．4. 一商店经销某种商品，每周进货的数量与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布．商店每出售一单位的商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其它商店调剂供应，这时每单位商品获利为200元．试计算该种商品每周所得利润的期望值．5. 教材p145，这几个应用题．五、大数定律和中心极限定理本章内容包括：切比雪夫（Chebyshev ）不等式，切比雪夫大数定律，伯努利大数定律，辛钦（Khinchine ）大数定律；棣莫弗－拉普拉斯（De Moivre-Lapelace）定理, 列维－林德伯格（Levy-Undbe）定理，本章能做的题型仅有一种，即用中心极限定理处理概率问题．基本要求：1．了解这些基本大数定律及中心极限定理的内容和意义；2．＊会用中心极限定理处理概率问题．习题：1. 重复掷硬币1000次，设每次出现正面的概率为0.5，求下面两个事件的概率：(a) 出现正面次数在460次和540次之间；(b) 出现反面的次数大于650次．2. 某种产品优质品占1/4, 现从中任取2000件，优质品少于100件的概率．。

《概率论与数理统计》总复习（通信、信管、电子09级）考试时间：第十八周，具体待定注意事项：凭有效证件参加考试；带计算器；禁止夹带、作弊；手机关机或静音。

第一章 随机事件及概率1. 掌握事件之间的关系，古典概型的计算－1.22. 掌握概率的基本性质，并用其进行概率的基本计算(加法、减法、乘法公式)－1.3, 1.43. 掌握全概率公式和贝叶斯公式进行概率计算－1.54. 掌握事件独立性的概念－1.6练习：1-1 设事件i A 为第i 次射击命中目标(1,2,3)i =, 则事件“三次射击中恰有一次命中目标”可用i A 表示为: ；事件“三次射击中都没有命中目标”可用i A 表示为: ；1-2 设,A B 为随机事件, 且()0.4,()0.3,()0.6P A P B P A B ==+=, 则()P AB = . 1-3 设()0P AB =, 则( )成立. (A)A 与B 互不相容(B) ()()P A B P A -=(C)()0P A =或()0P B = (D) A 与B 相互独立1-4 某工厂有三个车间生产同一产品, 第一、二、三车间生产的产品为次品的概率分别为0.05, 0.03, 0.01, 各车间的产品数量分别为250, 200, 150件, 出厂时, 三车间的产品完全混合, 现从中任取一产品, 求该产品是次品的概率.习题一、 4, 7, 11, 15, 17, 22, 23, 25第二章 随机变量及其分布1. 掌握随机变量的分布律/概率密度函数的概念及性质－2.2-2.32. 熟记常见r.v.的分布律/概率密度函数（结合第四章的表）－2.2-2.33. 分布函数性质, 正态概率计算－2.44. 会求随机变量(简单)函数的分布－2.5练习：2-1 设随机变量X 的概率分布为(),5kaP X k ==a 为常数, k =1,2,…, 则a = . 2-2 某种奖券中奖率为p , 某人每次购买一张，如果没有中奖再继续购买一张，直到中奖为止，则该人购买次数X 的概率函数为 。

《概率论与数理统计》复习提要第一章 随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =⋃=⋃（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk k nk k A P A P 11)()( （n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1） 定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有（3） 全概率公式： ∑==ni i i B A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni i i k k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）第二章 随机变量与概率分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑ii p =1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i i i p D X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)( ,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； （5）对离散随机变量，∑≤=xx i i i p x F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有 （1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6． 随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y gy gf y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。

第一章 随机事件和概率基本概念：随机试验、样本点、样本空间、随机事件、事件发生、事件关系、事件运算、事件互不相容、概率、概率空间、古典概型、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式、事件独立、试验独立。

典型例题：1. 一批产品由90件正品和10件次品组成，从中任取一件，问取得正品的概率多大.2. 甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为 0.7，乙命中目标的概率为0.8 求：(1)甲、乙两人同时命中目标的概率；(2)恰有一人命中目标的概率；(3)目标被命中的概率.3. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.4. 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%, 丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为90%, 丙厂产品正品率为85%, 如果从这批产品中随机抽取一件, 试计算该产品是正品的概率多大.第二章 随机变量及其分布函数基本概念：随机变量、分布函数、二项分布、正态分布、条件分布、2χ-分布、t -分布、F -分布。

典型例题：1、有1000件产品，其中900件是正品，其余是次品. 现从中每次任取1件，有放回地取5件，试求这5件所含次品数ξ的分布列.2、 设随机变量ξ的分布密度为p （x ）＝ ，⎩⎨⎧<≥-0x 002x ae x ，求：（1）常数a ； （2）P （ξ＞3）.3、已知随机变量ξ的分布列为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-25.013.02.005.037.073101 ，（1）求η＝2－ξ的分布列； （2）求η＝3＋ξ2分布列.4、设ξ服从N （5，32），求P （ξ＜10），P （102≤<ξ）.5、 某工厂生产的一批零件，合格率为95%，今从中抽取100件，试求下列事件的概率：（1）被检验的100件中恰好有4件不合格品； （2）不合格的件数不少于4件； （3）不合格的件数在4到6之间. 6、 已知随机变量ξ的分布密度为)(x p ξ＝　，　其他，　⎪⎩⎪⎨⎧<<0412ln 21x x ，且η＝2－ξ，试求η的分布密度. 7、设随机变量X 服从（-2，２）上的均匀分布，求随机变量2X Y =的概率密度函数为)(y f Y .8. 设G 是由直线y=x ，y=3，x=1所围成的三角形区域，二维随机变量),Y X （在G 上服从二维均匀分布求：（1）),Y X （的联合概率密度；（2）}1{≤-X Y P ；（3）X 的边缘概率密度。

概率论与数理统计复习提要第一章 随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则 1BA AB A B B A =⋃=⋃2)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃3))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ 4B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： 11)(0≤≤A P 21)(=ΩP3对互不相容的事件n A A A ,,,21 ,有∑===nk kn k kA P A P 11)()( n 可以取∞4 0)(=φP 5)(1)(A P A P -=6)()()(AB P A P B A P -=-,若B A ⊂,则)()()(A P B P A B P -=-,)()(B P A P ≤ 7)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃8)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率 6．条件概率（1） 定义：若0)(>B P ,则)()()|(B P AB P B A P =（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组,0)(>i B P ,则有 （3） 全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ 注意独立性的应用第二章 随机变量与概率分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值,i i p x X P ==)(满足10≥i p ,2∑iip=13对任意R D ⊂,∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ,满足11)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；2⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；3对任意R a ∈,0)(==a X P4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=,具有以下性质 11)( ,0)(=+∞=-∞F F ；2单调非降；3右连续； 4)()()(a F b F b X a P -=≤<,特别)(1)(a F a X P -=>； 5对离散随机变量,∑≤=xx i ii px F :)(；6对连续随机变量,⎰∞-=x dt t f x F )()(为连续函数,且在)(x f 连续点上,)()('x f x F =5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数,则有 15.0)0(=Φ；2)(1)(x x Φ-=-Φ；3若),(~2σμN X ,则)()(σμ-Φ=x x F ；4以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数,则)(1)(αααu u X P Φ-==>6． 随机变量的函数 )(X g Y = 1离散时,求Y 的值,将相同的概率相加；2X 连续,)(x g 在X 的取值范围内严格单调,且有一阶连续导数,则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=,若不单调,先求分布函数,再求导;第四章 随机变量的数字特征 1．期望1 离散时 ∑=iii px X E )(,∑=iiipx g X g E )())(( ；2 连续时⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(,⎰+∞∞-=dx x f x g X g E )()())((；3 二维时∑=ji ij jip yx g Y X g E ,),()),((,dy dx y x f y x g Y X g E ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=),(),()),((4C C E =)(；5)()(X CE CX E =； 6)()()(Y E X E Y X E +=+； 7Y X ,独立时,)()()(Y E X E XY E = 2．方差1方差222)()())(()(EX X E X E X E X D -=-=,标准差)()(X D X =σ；2)()( ,0)(X D C X D C D =+=； 3)()(2X D C CX D =；4Y X ,独立时,)()()(Y D X D Y X D +=+ 3．协方差1)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E Y X Cov -=--=； 2),(),( ),,(),(Y X abCov bY aX Cov X Y Cov Y X Cov ==； 3),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+；40),(=Y X Cov 时,称Y X ,不相关,独立⇒不相关,反之不成立,但正态时等价； 5),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+ 4．相关系数 )()(),(Y X Y X Cov XY σσρ=；有1||≤XY ρ,1)( ,,1||=+=∃⇔=b aX Y P b a XY ρ5．k 阶原点矩)(k k X E =ν,k 阶中心矩kk X E X E ))((-=μ第五章 大数定律与中心极限定理1．Chebyshev 不等式 2)(}|)({|εεX D X E X P ≤≥- 或2)(1}|)({|εεX D X E X P -≥<-2．大数定律3．中心极限定理 1设随机变量n X X X ,,,21 独立同分布2)( ,)(σμ==i i X D X E ,则) ,(~21σμn n N X ni i ∑=近似, 或) ,(~121n N X n n i i σμ∑=近似 或)0,1(~ 1N n n X ni i近似σμ∑=-,2设m 是n 次独立重复试验中A 发生的次数,p A P =)(,则对任意x ,有)(}{lim x x npqnp m P n Φ=≤-∞→或理解为若),(~p n B X ,则),(~npq np N X 近似第六章 样本及抽样分布 1．总体、样本（1） 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布注意样本分布的求法； （2） 样本数字特征：样本均值∑==n i i X n X 11μ=)(X E ,n X D 2)(σ=；样本方差∑=--=ni i X X n S 122)(1122)(σ=S E 样本标准差∑=--=ni i X X n S 12)(11 样本k 阶原点矩∑==n i k i k X n 11ν,样本k 阶中心矩∑=-=n i ki k X X n 1)(1μ2．统计量：样本的函数且不包含任何未知数3．三个常用分布注意它们的密度函数形状及分位点定义12χ分布 )(~2222212n X X X n χχ+++= ,其中n X X X ,,,21 独立同分布于标准正态分布)1,0(N ,若)(~ ),(~2212n Y n X χχ且独立,则)(~212n n Y X ++χ； 2t 分布 )(~/n t nY X t =,其中)(~ ),1,0(~2n Y N X χ且独立；3F 分布 ),(~//2121n n F n Y n X F =,其中)(~),(~2212n Y n X χχ且独立,有下面的性质),(1),( ),,(~11221112n n F n n F n n F F αα=- 4．正态总体的抽样分布 1)/,(~2n N X σμ； 2)(~)(11222n Xni i∑=-χμσ；3)1(~)1(222--n S n χσ且与X 独立； 4)1(~/--=n t nS X t μ；5)2(~)()(21212121-++---=n n t n n n n S Y X t ωμμ,2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S ω 6)1,1(~//2122222121--=n n F S S F σσ 第七章 参数估计 1．矩估计：1根据参数个数求总体的矩；2令总体的矩等于样本的矩；3解方程求出矩估计 2．极大似然估计：1写出极大似然函数；2求对数极大似然函数3求导数或偏导数；4令导数或偏导数为0,解出极大似然估计如无解回到1直接求最大值,一般为min }{i x 或max }{i x 3．估计量的评选原则1无偏性：若θθ=)ˆ(E ,则为无偏； 2 有效性：两个无偏估计中方差小的有效；复习资料一、填空题15分题型一：概率分布的考察 相关公式P379相关例题 1、设(,)X U a b ,()2E X =,1()3D Z =,则求a,b 的值; 2、已知(,),()0.5,()0.45Xb n p E X D X ==,则求n,p 的值;题型二：正态总体均值与方差的区间估计 相关公式P163 相关例题1、样本容量已知2、样本容量未知 题型三：方差的性质 相关公式P103 相关例题 1、题型四：2t χ分布、分布的定义 相关公式P140、P138相关例题 1、2(0,1),(4),,,/X XYX Y Y nχ若且相互独立？2、()302123301,,,,0,1,?ii X X X X N X=∑若变量……服从则题型五：互不相容问题相关公式P4 相关例题1、()0.6,,,().P A A B P AB =若互不相容求 二、选择题15分 题型一：方差的性质 相关公式见上,略 相关例题见上,略题型二：考察统计量定义不能含有未知量 题型三：考察概率密度函数的性质见下,略题型四：和、乘、除以及条件概率密度见下,略 题型五：对区间估计的理解P161 题型六：正态分布和的分布 相关公式P105 相关例题题型七：概率密度函数的应用 相关例题设()X f x ==已知{}{},P X a P X a a >=<则求。

《概率论与数理统计》复习资料一、复习纲要注：以下是考试的参照内容，不作为实质考试范围，仅作为复习参照之用。

考试内容以教课纲领和实行计划为准；注明“认识”的内容一般不考。

1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，认识概率的古典定义2、能较娴熟地求解古典概率；认识概率的公义化定义3、掌握概率的基天性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的观点；掌握加法公式与乘法公式4、能正确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的观点及性质。

5、理解随机变量的观点，认识(0 —1) 散布、二项散布、泊松散布的散布律。

6、理解散布函数的观点及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。

7、掌握指数散布 ( 参数) 、平均散布、正态散布，特别是正态散布概率计算8、会求一维随机变量函数散布的一般方法，求一维随机变量的散布律或概率密度。

9、会求散布中的待定参数。

10、会求边沿散布函数、边沿散布律、条件散布律、边沿密度函数、条件密度函数，会鉴别随机变量的独立性。

11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的观点及计算。

12、理解二维随机变量的观点，理解二维随机变量的结合散布函数及其性质，理解二维失散型随机变量的结合散布律及其性质，理解二维连续型随机变量的结合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。

13、认识求二维随机变量函数的散布的一般方法。

14、会娴熟地求随机变量及其函数的数学希望和方差。

会娴熟地默写出几种重要随机变量的数学希望及方差。

15、较娴熟地求协方差与有关系数.16、认识矩与协方差矩阵观点。

会用独立正态随机变量线性组合性质解题。

17、认识大数定理结论，会用中心极限制理解题。

18、掌握整体、样本、简单随机样本、统计量及抽样散布观点，掌握样本均值与样本方差及样本矩观点，掌握2散布 ( 及性质 ) 、t 散布、F散布及其分位点观点。

19、理解正态整体样本均值与样本方差的抽样散布定理；会用矩预计方法来预计未知参数。