概率论复习提纲

第一章 随机事件和概率基本概念：随机试验、样本点、样本空间、随机事件、事件发生、事件关系、事件运算、事件互不相容、概率、概率空间、古典概型、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式、事件独立、试验独立。

典型例题：1. 一批产品由90件正品和10件次品组成，从中任取一件，问取得正品的概率多大.2. 甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为 0.7，乙命中目标的概率为0.8 求：(1)甲、乙两人同时命中目标的概率；(2)恰有一人命中目标的概率；(3)目标被命中的概率.3. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.4. 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%, 丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为90%, 丙厂产品正品率为85%, 如果从这批产品中随机抽取一件, 试计算该产品是正品的概率多大.第二章 随机变量及其分布函数基本概念：随机变量、分布函数、二项分布、正态分布、条件分布、2χ-分布、t -分布、F -分布。

典型例题：1、有1000件产品，其中900件是正品，其余是次品. 现从中每次任取1件，有放回地取5件，试求这5件所含次品数ξ的分布列.2、 设随机变量ξ的分布密度为p （x ）＝ ，⎩⎨⎧<≥-0x 002x ae x ，求：（1）常数a ； （2）P （ξ＞3）.3、已知随机变量ξ的分布列为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-25.013.02.005.037.073101 ，（1）求η＝2－ξ的分布列； （2）求η＝3＋ξ2分布列.4、设ξ服从N （5，32），求P （ξ＜10），P （102≤<ξ）.5、 某工厂生产的一批零件，合格率为95%，今从中抽取100件，试求下列事件的概率：（1）被检验的100件中恰好有4件不合格品； （2）不合格的件数不少于4件； （3）不合格的件数在4到6之间. 6、 已知随机变量ξ的分布密度为)(x p ξ＝　，　其他，　⎪⎩⎪⎨⎧<<0412ln 21x x ，且η＝2－ξ，试求η的分布密度. 7、设随机变量X 服从（-2，２）上的均匀分布，求随机变量2X Y =的概率密度函数为)(y f Y .8. 设G 是由直线y=x ，y=3，x=1所围成的三角形区域，二维随机变量),Y X （在G 上服从二维均匀分布求：（1）),Y X （的联合概率密度；（2）}1{≤-X Y P ；（3）X 的边缘概率密度。

ang 《概率论与数理统计》总复习提纲第一块 随机事件及其概率内 容 提 要基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，几何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独立性，贝努里试验.1、随机试验、样本空间与随机事件（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为E .1） 试验可在相同的条件下重复进行；2） 每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果；3） 每次试验前不能确定哪一个结果会出现.（2）样本空间：随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间ω记为Ω；试验的每一个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为w .（3）随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的子集，必然事件（记为Ω）和不可能事件（记为Φ）.2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件A 发生必导致B 发生”，记为B A ⊂或A B ⊃；B A B A ⊂⇔=且A B ⊂.（2）互不相容性：φ=AB ；B A 、互为对立事件Ω=⋃⇔B A 且Φ=AB .（3）独立性：（1）设A B 、为事件，若有)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与B 相互独立. 等价于：若)|()(A B P B P =(0)(>A P ).（2）多个事件的独立：设n A A A ,,,21 是n 个事件，如果对任意的)1(n k k ≤<，任意的n i i i k ≤<<<≤ 211，具有等式)()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P =，称n 个事件n A A A ,,,21 相互独立．3、事件的运算（1）和事件（并）：“事件A 与B 至少有一个发生”，记为B A ⋃.（2）积事件（交）：“ 事件A 与B 同时发生”，记为B A ⋂或AB .（3） 差事件、对立事件(余事件)：“事件发生A 而B 不发生”，记为A B -称为A 与B 的差事件；B B =-Ω称为B 的对立事件；易知：B A B A =-.4、事件的运算法则1) 交换律：A B B A ⋃=⋃，BA AB =；2) 结合律：C B A C B A ⋃⋃=⋃⋃)()(，)()(BC A C AB =；3) 分配律：BC AC C B A ⋃=⋃)(，))(()(C B C A C AB ⋃⋃=⋃；4) 对偶(De Morgan)律：B A B A =⋃，B A AB ⋃=，可推广k k k k k k k k A A A A ==,5、概率的概念 （1）概率的公理化定义：（了解）ΩΩ设是一个样本空间，为的某些子集组成F ()A P A ∀∈的一个事件域.,定义在上的一个集值函数满足:F.F1()0;P A ≥）非负性：2()1;P Ω=）规范性：123,,A A ）可列可加性：设是可列个互不相容事件，则11()()n n n n P A P A ∞∞===∑().P A A 则称为事件的概率（2）频率的定义：（了解）事件A 在n 次重复试验中出现A n 次，则比值n n A称为事件A 在n 次重复试验中出现的频率，记为)(A f n ，即n n A f An =)(.（3）概率的统计定义：（了解）频率具有稳定性，即()n k f A n=随n 的增大越来越靠近某个常数p ，称p 为事件A 的（统计）概率.在实际问题中，当n 很大时，取()().n P A p f A =≈（4）古典概率（有限等可能型）： 若试验的基本结果数为有限个，且每个事件发生的可能性相等，则（试验对应古典概型）事件A 发生的概率为： n A k n k A A P )()(＝＝中样本点总数中所含样本点数Ω=.（5）几何概率（无限等可能型）：（了解）若试验基本结果数无限，随机点落在某区域g 的概率与区域g 的测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其位置及形状无关，则（试验对应几何概型），“在区域Ω中随机地取一点落在区域A 中”这一事件A 发生的概率为：()A P A Ω的测度＝的测度.（6）主观概率：（了解）人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的个人信念.6、概率的基本性质（1）不可能事件概率为零： ()0P Φ=.（2）有限可加性：设n A A A ,,,21 是n 个两两互不相容的事件，即i jA A =Φ，（i j ≠）n j i ,2,1,,=，则有)(21n A A A P ⋃⋃⋃ ＝)(1A P ＋)()(2n A P A P ++ .（3）单调不减性：若事件,()()B A P B P A ⊃≥则，且()()()P B A P B P A -=-.（4） 互逆性：()1()P A P A =-且()1P A ≤.（5） 加法公式：对任意两事件B A 、，有=⋃)(B A P )()(B P A P +－)(AB P ；此性质可推广到任意n 个事件n A A A ,,,21 的情形.（6）可分性：对任意两事件B A 、，有)()()(B A P AB P A P +=，且()()()P A B P A P B ⋃≤+7、条件概率与乘法公式（1）条件概率：设B A 、是两个事件，若()0,P A >则)()()|(A P AB P A B P =称为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率．（2）乘法公式：设()0,()0,P A P B >>则)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P ==.称为事件B A 、的概率乘法公式.其可推广成有即个的情形,详见书上第16页，其主要的意义在说明了前面的事件对后面的事件发生的概率产生影响.8、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式（1）全概率公式：设n A A A ,,,21 是Ω的一个划分，且0)(>i A P ，),,2,1(n i =，则对任何事件B ∈F.，有 ∑=n i i i A B P A P B P 1)|()()(＝称为全概率公式.应用背景：若影响某一事件（“结果”）发生有几种不同的情况（“原因”），那么计算结果的概率就要用全概率公式, 相当于其是由原因计算结果.（2）贝叶斯(Bayes)公式：设n A A A ,,,21 是Ω的一个划分，且0)(>i A P ),,2,1(n i =，则对任何事件B ∈F.，有),,1(,)|()()|()()|(1n j A B P A P A B P A P B A P ni ii j j j ==∑= 称为贝叶斯公式或逆概率公式.应用背景：若影响某一事件（“结果”）发生有几种不同的情况（“原因”），那么若告诉你结果已发生，那么要计算某一种情况（“原因”）发生的概率时，就要用到贝叶斯公式，相当其主要的应用是要由结果计算原因.9、贝努里(Bernoulli)概型（1）只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为E ．E 也叫做“成功—失败”试验,“成功”的概率常用)(A P p =表示，其中A ＝“成功”.（2）把E 重复独立地进行n 次，所得的试验称为n 重贝努里试验，记为nE ．（3）把E 重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为∞E ．以上三种贝努里试验统称为贝努里概型．（4）n E 中成功k 次的概率是：)0(,)1(n k q p C p p C k n k k n k n k k n ≤≤=---其中1(01)p q p +=≤≤.疑 难 分 析1、必然事件与不可能事件必然事件是在一定条件下必然发生的事件，不可能事件指的是在一定条件下必然不发生的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的方便，把它们看作特殊的随机事件.2、互逆事件与互斥（不相容）事件如果两个事件A 与B 必有一个事件发生，且至多有一个事件发生，则A 、B 为互逆事件；如果两个事件A 与B 不能同时发生，则A 、B 为互斥事件.因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆，而互斥适用与多个事件的情形.作为互斥事件在一次试验中两者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且只发生一个.3、两事件独立与两事件互斥两事件A 、B 独立，则A 与B 中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关，这时)()()(B P A P AB P =生，这两事件的发生是有影响的，这时0)(,=Φ=AB P AB .可以用图形作一直观 解释.在图1.1左边的正方形中，图1.1)(21)(,41)(B P A P AB P ===，表示样本空间中两事件的独立关系，而在右边的正方形中，0)(=AB P ，表示样本空间中两事件的互斥关系.4、条件概率)|(B A P 与积事件概率)(AB P)(AB P 是在样本空间Ω内，事件AB 的概率，而)|(B A P 是在试验E 增加了新条件B 发生后的缩减的样本空间B Ω中计算事件A 的概率.虽然A 、B 都发生，但两者是不同的，一般说来，当A 、B 同时发生时，常用)(AB P ，而在有包含关系或明确的主从关系时，用)|(B A P .如袋中有9个白球1个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题（1）求的就是一个积事件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题.5、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，而该结果又不能简单地看作这诸多事件之和时，可考虑用全概率公式，在对样本空间进行划分时，一定要注意它必须满足的两个条件.贝叶斯公式用于试验结果已知，追查是何种原因（情况、条件）下引发的概率.第二块 随机变量及其分布内 容 提 要基本内容：随机变量，随机变量的分布的概念及其性质，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率分布，常见随机变量的分布，随机变量函数的分布.1、随机变量设Ω是随机试验的样本空间，如果对于试验的每一个可能结果Ω∈ω，都有唯一的实数)(ωX 与之对应，则称)(ωX 为定义在Ω上的随机变量，简记为X .随机变量通常用大写字母Z Y X 、、等表示.根据其取值的情形可以分成为⎧⎪⎨⎪⎩离散型随机变量（可能取值至多可列）随机变量连续型随机变量（可能取值充满某个区间）奇异型随机变量2、离散型随机变量及其分布列如果随机变量X 只能取有限个或可列个可能值，则称X 为离散型随机变量.如果X 的一切可能值为 ,,21x x ，并且X 取k x 的概率为k p ，则称),3,2,1}({ ===k x X P p k k 为离散型随机变量X 的概率函数（概率分布或分布律）.也称分布列，常记为1212n n x x x p p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 其中1,0=≥∑i i i p p .常见的离散型随机变量的分布有：（1）两点分布（0-1分布）：记为(1,)((1,))X b p B p ，分布列为10,1,0,)1(}{1<<=-==-p k p p k X P k k 或 01~X q p ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）二项分布：记为(,)((,))X b n p B n p ，概率函数10,,,1,0,)1(}{<<=-==-p n k p p C k X P k n k k n （3）泊松分布，记为()(())X P πλλ，概率函数0,,1,0,!}{>===-λλλ k k e k X P k泊松定理： 设0>λ是一常数，n 是任意正整数，设λ=nnp ，则对于任一固定的非负整数k ，有!)1(lim k e p p C k k n n k n k n n λλ--∞→=-.根据泊松定理可得，当n 很大(大于50)且p 很小（一般是小于0.05）时，二项分布可以用泊松分布近似代替，即!)1(k e p p C k k n k k n λλ--≈-，其中np =λ3、分布函数及其性质 分布函数的定义：设X 为随机变量，x 为任意实数，函数)}({)(+∞<<-∞≤=x x X P x F称为随机变量X 的分布函数.分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下性质：（1）有界性： )(1)(0+∞<<-∞≤≤x x F ； （2）单调性： 如果21x x <，则)()(21x F x F ≤；（3）右连续： 即)()0(x F x F =+；（4）极限性： 1)(lim ,0)(lim ==+∞→-∞→x F x F x x ；（5）完美性： )()(}{}{}{121221x F x F x X P x X P x X x P -=≤-≤=≤<.4、连续型随机变量及其分布如果对于随机变量X 的分布函数)(x F ，存在非负函数()p x ，使对于任一实数x ，有()()xF x p t dt -∞=⎰，则称X 为连续型随机变量.函数()p x 称为X 的概率密度函数，简称为概率密度.概率密度函数具有以下性质：（1）()0p x ≥； （2）()1p x dx +∞-∞=⎰； （3）2112{}()x x P x X x p t dt <≤=⎰； （4）0}{1==x X P ；（5）如果()p x 在x 处连续，则()()F x p x '=.常用连续型随机变量的分布：（1）均匀分布：记为),(~b a U X ，概率密度为1,,()0,a x b p x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<=b x bx a a b a x a x x F ,1,,0)(性质：若a c d b <<<，则().d c P c X d b a -<<=- （2）指数分布：记为()X Exp θ，概率密度为/1,0,()0,x e x p x θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他， 分布函数为/1,0,()0,x e x F x θ-⎧->=⎨⎩其他. 无记忆性质：对于任意,0,s t >有{|}{}P X s t X s P X t >+>=>.（3）正态分布：记为),(~2σμN X ，概率密度为2()2(),x p x X μσ--=-∞<<+∞，相应的分布函数为 ⎰∞---=x x dt e x F 22)(21)(σμπ当1,0==σμ时，即)1,0(~N X 时，称X 服从标准正态分布.这时分别用)(x ϕ和)(x Φ表示X 的密度函数和分布函数，即⎰∞---=Φ=x t x dt e x e x 222221)(,21)(ππϕ 性质：① 若2(,)X N μσ,则其密度函数关于x μ=对称，从而1()()2P X P X μμ>=<=. ② )(1)(x x Φ-=-Φ.③ 若2(,)X N μσ,则(0,1)X N μσ-，即一般正态分布),(~2σμN X 的分布函数)(x F 与标准正态分布的分布函数)(x Φ有关系：)()(σμ-Φ=x x F .5、随机变量函数的分布 （1）离散型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，其分布列为(表2-2)：表2-2则)(X g Y =任为离散型随机变量，其分布列为(表2-3)：表2-3i y 有相同值时，要合并为一项，对应的概率相加.（2）连续型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，概率密度为()X p x ，则)(X g Y =的概率密度有两种方法可求.1）定理法：若)(x g y =在X 的取值区间内有连续导数)(x g '，且)(x g 单调时，)(X g Y =是连续型随机变量，其概率密度为⎩⎨⎧<<'=其它,0,)()]([)(βαy y h y h f y f XY .其中)()}.(),(max{)},(),(min{y h g g g g +∞-∞=+∞-∞=βα是)(x g 的反函数. 2）分布函数法：先求)(X g Y =的分布函数∑⎰∆=≤=≤=k y xY k dxx fy X g P y Y P y F )()(})({}{)(然后求 ()[()]Y Y p y F y '=. 结论：若2(,)X N μσ，则22(0)(,)aX b a N a b a μσ+≠+.疑 难 分 析1、随机变量与普通函数随机变量是定义在随机试验的样本空间Ω上，对试验的每一个可能结果Ω∈ω，都有唯一的实数)(ωX 与之对应.从定义可知：普通函数的取值是按一定法则给定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；又普通函数的定义域是一个区间，而随机变量的定义域是样本空间. 2、分布函数)(x F 的连续性定义左连续或右连续只是一种习惯.有的书籍定义分布函数)(x F 左连续，但大多数书籍定义分布函数)(xF为右连续. 左连续与右连续的区别在于计算)(xF时，xX=点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于}{1==xXP，故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由于}{1≠=xXP，则定义左连续或右连续时)(xF值就不相同，这时，就要注意对)(xF定义左连续还是右连续.第三块 多维随机变量及其分布内 容 提 要基本内容：多维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量的联合分布列，二维连续型随机变量的联合分布函数和联合密度函数，边际分布，随机变量的独立性和不相关性，常用多维随机变量，随机向量函数的分布.1、二维随机变量及其联合分布函数 12(),(),,()(,,),n X X X F P ωωωΩ如果随机变量定义在同一概率空间上则称12(),(),,()n X X X X ωωωω=（）（为n 维(n 元)随机变量或随机向量.n 当=2时,称为二维随机变量,常记为(,).X Y 联合分布函数的定义： 设12(),(),,()n XX X X n ωωωω=（）（）是维随机变量,,nx R n ∀∈则称元函数121122(,,,),,,)n n n F x x x P X x X x X x =≤≤≤（为随机向量12(),(),,()n X X X X ωωωω=（）（的联合分布函数2,,n =特别时称为二维联合分布函数即(,)(,)F x y P X x Y y =≤≤二维联合分布函数具有以下基本性质：（1）单调性： ),(y x F 是变量x 或y 的非减函数； （2）有界性： 1),(0≤≤y x F ；（3）极限性：1),(0),(0),(0),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F x F y F ，　，　，，但注意(,)(),(,)()Y X F y F y F x F x +∞=+∞=，其中()X F x 与()Y F y 分别表示X 与Y 的分布函数.（4）连续性: ),(y x F 关于x 右连续，关于y 也右连续；（5）非负性: 对任意点),(),,(2211y x y x ，若2121,y y x x <<，则0),(),(),(),(11211222≥+--y x F y x F y x F y x F .上式表示随机点),(Y X 落在区域],[2121y Y y x X x ≤<≤<内的概率为：},{2121y Y y x X x P ≤<≤<.2、二维离散型随机变量及其联合分布列如果二维随机变量),(Y X 所有可能取值是有限对或可列对，则称),(Y X 为二维离散型随机变量.设),(Y X 为二维离散型随机变量,它的所有可能取值为,2,1,),,(=j i y x j i 将),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ij j i 或表3.1称为),(Y X 的联合分布列.表3.1联合分布列具有下列性质：（1）≥ij p ；（2）111=∑∑∞=∞=i j ijp.3、二维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在一个非负函数),(y x p ,使得二维随机变量),(Y X 的分布函数),(y x F 对任意实数y x ,有⎰⎰∞-∞-=xydydx y x p y x F ),(),(，则称),(Y X 是二维连续型随机变量，称),(y x p 为),(Y X 的联合密度函数（或概率密度函数）.联合密度函数具有下列性质：（1）非负性 对一切实数y x ,，有0),(≥y x p ； （2）规范性1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x p ；（3）在任意平面域D 上，),(Y X 取值的概率⎰⎰=∈Ddxdyy x p D Y X P ),(}),{(；（4）如果),(y x p 在),(y x 处连续，则),(),(2y x p y x y x F =∂∂∂.常用连续型随机变量的分布：(1) 设D 是平面上的一个有界区域，其面积为A .若二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为1,(,),(,)0,x y D f x y A ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它，则称(,)X Y 服从区域D 上的二维均匀分布.(2) 二元正态分布：其密度函数不要求背，具体的请见课本P67. 4、二维随机变量的边缘分布设),(Y X 为二维随机变量，则称},{)(+∞<<-∞≤=Y x X P x F X },{)(y Y X P y F Y ≤+∞<<-∞=分别为),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘（边际）分布函数.当),(Y X 为离散型随机变量，则称),2,1(),2,1(1.1. ====∑∑∞=∞=j p p i p p i ij j j ij i 分别为),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘分布列.当),(Y X 为连续型随机变量，则称⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dxy x p y p dy y x p x p Y X ),()(,),()( 分别为),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘密度函数. 性质：221212(,)(,,,,)X Y N μμσσρ，则211(,)XN μσ，222(,)Y N μσ.5、随机变量的独立性设),(y x F 及)()(y F x F Y X 、分别是),(Y X 的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数y x ,有)()(),(y F x F y x F Y X ⋅=则称随机变量X 与Y 相互独立.设),(Y X 为二维离散型随机变量，X 与Y 相互独立的充要条件是),2,1,(.. ==j i p p p j i ij .设),(Y X 为二维连续型随机变量，X 与Y 相互独立的充要条件是对几乎一切实数y x ,，有)()(),(y p x p y x p Y X =.性质：221212(,)(,,,,)X Y N μμσσρ，则0X Y ρ=⇔与相互独立.6、两个随机变量函数的分布设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为),(y x p ，),(Y X Z ϕ=是Y X ,的函数，则Z 的分布函数为dxdyy x p z F zy x Z ⎰⎰≤=),(),()(ϕ.对于一般的函数ϕ,求()Z F z 通过分布函数的方法，如第三章，习题29就是使用这种方法.但对于以下的几个，更加常用的是公式的方法. 若),(Y X 为连续型随机变量，概率密度函数为),(y x p .（1）Y X Z +=的分布:dyy y z p dx x z x p z p Z ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-=),(),()(.特别地，若X 与Y 相互独立，则()()()()().Z X Y X Y p z p x p z x dx p z y p y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰（2）Z X Y =-的分布：()(,).Z p z p z y y dy +∞-∞=+⎰特别地，若X 与Y 相互独立，则()()().Z X Y p z p z y p y dy +∞-∞=+⎰（3）Z XY =的分布：1()(,).||Z zp z p x dx x x+∞-∞=⎰特别地，若X 与Y 相互独立，则1()()().||Z X Y zp z p x p dx x x+∞-∞=⎰（4）Y XZ =的分布若),(Y X 为连续型随机变量，概率密度函数为),(y x p ，则Z 的概率函数为：⎰+∞∞-=dyy yz p y z p Z ),()(.性质：①若(,),(,),(,)X b n p Y b m p X Y X Y b n m p ++且与相互独立，则.②若1212(),()().XY X Y X Y πλπλπλλ++且与相互独立，则③若221122(,),(,)XN YN μσμσ，且X 与Y 相互独立的，则22221212(,).X bY cN a b c a b μμσσ+++++a7．最大值与最小值的分布 1,,n X X n 设是相互独立的个随机变量,则1()()(max(,,))Y n F y P Y y P X X y =≤=≤1()ni i F y ==∏1()()(min(,,))Y n F y P Y y P X X y =≤=≤11(1())n i i F y ==--∏其中的()i F y 表示的是随机变量i X 的分布函数.疑 难 分 析1、事件},{y Y x X ≤≤表示事件}{x X ≤与}{y Y ≤的积事件，为什么},{y Y x X P ≤≤不一定等于}{}{y Y P x X P ≤⋅≤？如同仅当事件B A 、相互独立时，才有)()()(B P A P AB P ⋅=一样，这里},{y Y x X P ≤≤依乘法原理}|{}{},{x X y Y P x X P y Y x X P ≤≤⋅≤=≤≤.只有事件}{x X P ≤与}{y Y P ≤相互独立时，才有}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤，因为}{}|{y Y P x X y Y P ≤=≤≤.2、二维随机变量),(Y X 的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布，因而也唯一确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯一确定联合分布.但由)|()(),(|x y p x p y x p X Y X ⋅=知，一个条件分布和它对应的边缘分布，能唯一确定联合分布.但是，如果Y X 、相互独立，则}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤，即)()(),(y F x F y x F Y X ⋅=.说明当Y X 、独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件分布也唯一确定联合分布.3、两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？为什么？两个随机变量Y X 、相互独立，是指组成二维随机变量),(Y X 的两个分量Y X 、中一个分量的取值不受另一个分量取值的影响，满足}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤.而两个事件的独立性，是指一个事件的发生不受另一个事件发生的影响，故有)()()(B P A P AB P ⋅=.两者可以说不是一个问题.但是，组成二维随机变量),(Y X 的两个分量Y X 、是同一试验E 的样本空间上的两个一维随机变量，而B A 、也是一个试验1E 的样本空间的两个事件.因此，若把“x X ≤”、“y Y ≤”看作两个事件，那么两者的意义近乎一致，从而独立性的定义几乎是相同的.第四块 随机变量的数字特征内 容 提 要基本内容：随机变量的数学期望和方差、标准差及其性质，随机变量函数的数学期望，原点矩和中心矩，协方差和相关系数及其性质.1、随机变量的数学期望设离散型随机变量X 的分布列为 ,2,1,}{===k p x X P k k ，如果级数∑∞=1k kk p x 绝对收敛，则称级数的和为随机变量X 的数学期望.设连续型随机变量X 的密度函数为)(x p ，如果广义积分⎰+∞∞-dxx xp )(绝对收敛，则称此积分值⎰+∞∞-=dxx xp X E )()(为随机变量X 的数学期望.数学期望有如下性质：（1）设C 是常数，则C C E =)(； （2）设C 是常数，则)()(X CE CX E =；（3）若21X X 、是随机变量，则)()()(2121X E X E X X E +=+； 对任意n 个随机变量n X X X ,,,21 ，有)()()()(2121n n X E X E X E X X X E +++=+++ ；（4）若21X X 、相互独立，则)()()(2121X E X E X X E =； 对任意n 个相互独立的随机变量n X X X ,,,21 ，有)()()()(2121n n X E X E X E X X X E =.2、随机变量函数的数学期望（1）设离散型随机变量X 的分布律为,2,1,}{===k p x X P k k ，则X 的函数)(X g Y =的数学期望为2,1,)()]([1==∑∞=k p x g x g E k k k ，式中级数绝对收敛.设连续型随机变量X 的密度函数为)(x p ，则X 的函数)(X g Y =的数学期望为⎰+∞∞-=dxx p x g x g E )()()]([，式中积分绝对收敛.（2）若二维离散型随机变量(,)X Y 的联合分布列为3、随机变量的方差设X 是一个随机变量，则})]({[)()(2X E X E X Var X D -==称为X 的方差.)()(X X D σ=称为X 的标准差或均方差.计算方差也常用公式22)]([)()(X E X E X D -=. 方差具有如下性质：（1）设C 是常数，则0)(=C D ；（2）设C 是常数，则)()(2X D C CX D =； （3）22()()()2(())(())D aX bY a D X b D Y abE X E X Y E Y ±=+±--=22()()2cov(,)a D X b D Y ab X Y +±=22()()2a D X b D Y ab ρ+±. 特别地，若X Y 与相互独立，则22()()()D aX bY a D X b D Y ±=+.更加一般地，对任意n 个相互独立的随机变量n X X X ,,,21 ，有)()()()(2121n n X D X D X D X X X D +++=+++ ；（4）0)(=X D 的充要条件是：存在常数C ，使))((1}{X E C C X P ===. 4、几种常见分布的数学期望与方差：（1）~(1,),.(),()(1)X B p E X p D X p p ==-； （2）)1()(,)().,(~p np X D np X E p n B X -==； （3）~().(),()X P E X D X λλλ==；（4）12/)()(,2/)()().,(~2a b X D b a X E b a U X -=+=； （5）()XExp θ,则2(),()E X D X θθ==；（6）22)(,)().,(~σμσμ==XDXENX.6、协方差与相关系数随机变量),(YX的协方差为)]}()][({[),cov(YEYXEXEYX--=.它是1+1阶混合中心矩，有计算公式：)()()(),cov(YEXEXYEYX-=.随机变量),(YX的相关系数为DYDXYXXY),cov(=ρ.相关系数具有如下性质：（1）1≤XYρ；（2）⇔=1XYρ存在常数ba,，使}{baXYP+==1，即X与Y以概率1线性相关；（3）若YX,独立，则0=XYρ，即YX,不相关.反之，不一定成立.（4）(Schwarz inequality) 设(X,Y)是二维随机变量,若X与Y的方差都存在,则2[(,)]Cov X Y DX DY≤⋅疑难分析1、随机变量的数字特征在概率论中有什么意义？知道一个随机变量的分布函数，就掌握了这个随机变量的统计规律性.但求得一个随机变量的分布函数是不容易的，而且往往也没有这个必要.随机变量的数字特征则比较简单易求，也能满足我们研究分析具体问题的需要，所以在概率论中很多的应用，同时也刻画了随机变量的某些特征，有重要的实际意义.例如，数学期望反映了随机变量取值的平均值，表现为具体问题中的平均长度、平均时间、平均成绩、期望利润、期望成本等；方差反映了随机变量取值的波动程度；偏态系数、峰态系数则反映了随机变量取值的对称性和集中性.因此，在不同的问题上考察不同的数字特征，可以简单而切实地解决我们面临的实际问题.2、在数学期望定义中为什么要求级数和广义积分绝对收敛？首先，数学期望是一个有限值；其次，数学期望反映随机变量取值的平均值.因此，对级数和广义积分来说，绝对收敛保证了值的存在，且对级数来说，又与项的次序无关，从而更便于运算求值.而由于连续型随机变量可以离散化，从而广义积分与无穷级数有同样的意义.要求级数和广义积分绝对收敛是为了保证数学期望的存在与求出.3、相关系数XY ρ反映了随机变量X 和Y 之间的什么关系？相关系数XY ρ是用随机变量X 和Y 的协方差和标准差来定义的，它反映了随机变量X 和Y 之间的相关程度.当1=XY ρ时，称X 与Y 依概率1线性相关；当0=XY ρ时，称X 与Y 不相关；当10<<XY ρ时，又分为强相关与弱相关.4、两个随机变量X 与Y 相互独立和不相关是一种什么样的关系？（1）若X 、Y 相互独立，则X 、Y 不相关.因为X 、Y 独立，则)()()(Y E X E XY E =，故0)()()(),cov(=--=Y E X E XY E Y X ，从而0=XY ρ，所以X 、Y 不相关.（2）若X 、Y 不相关，则X 、Y 不一定独立.如：⎩⎨⎧≤+=.,0,1,/1),(22 其它　y x y x p π 因为0)()(==Y E X E ，4/1)()(==Y D X D 0,0),cov(==XY Y X ρ，知X 、Y 不相关.但π/12)(2x x p X -=，π/12)(2y y p Y -=,)()(),(Y p x p y x p y X ≠,知X 、Y 不独立.（3）若X 、Y 相关，则X 、Y 一定不独立.可由反证法说明.（4）若X 、Y 不相关，则X 、Y 不一定不相关.因为X 、Y 不独立，)()()(Y E X E XY E ≠，但若0)()()(===XY E Y E X E 时，可以有0=XY ρ，从而可以有X 、Y 不相关.但是，也有特殊情况，如),(Y X 服从二维正态分布时，X 、Y 不相关与X 、Y 独立是等价的.第五块 大数定律和中心极限定理内 容 提 要基本内容：切比雪夫（Chebyshev ）不等式，切比雪夫大数定律，伯努里（Bernoulli ）大数定律，辛钦（Khinchine ）大数定律，棣莫弗-拉普拉斯（De Moivre-Laplace ）定理，列维-林维德伯格(Levy-Lindberg)定理.1、切贝雪夫不等式设随机变量X 的数学期望μ=)(X E ，方差2)(σ=X D ，则对任意正数ε，有不等式 22}{εσεμ≤≥-X P 或221}{εσεμ-><-X P 成立.2、大数定律（了解）（1）贝努利大数定律:设A n 是n 次重复独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在一次试验中发生的概率，则对于任意给定的0>ε，有1}|{|lim =<-∞→εp n n P A n .贝努利大数定理给出了当n 很大时，A 发生的频率/A n n 依概率收敛于A 的概率，证明了频率的稳定性.(2)辛钦大数定律：设 ,,,,21n X X X 相互独立,服从同一分布的随机变量序列,且()k E X μ=(1,2,k =),则对任意给定的0>ε，有11lim {||} 1.nk n k P X n με→∞=-<=∑3、中心极限定律（1）林德贝格-勒维中心极限定理:设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列，有有限的数学期望和方差，μ=)(i X E ，),2,1(0)(2 =≠=i X D i σ.则对任意实数x ，随机变量σμσμn n X n X Y n i i n i i n ∑∑==-=-=11)(的分布函数)(x F n 满足⎰∞--∞→∞→=≤=x t n n n n dt e x Y P x F 2/221}{lim )(lim π.（2）李雅普诺夫定理:（了解）设 ,,,,21n X X X 是不同分布且相互独立的随机变量，它们分别有数学期望和方差：i i X E μ=)(,),2,1(0)(2 =≠=i X D i i σ.记 ∑==n i i nB 122σ,若存在正数δ，，使得当∞→n 时，有0}{1122→-∑=++n i i i n X E B δδμ, 则随机变量n n i i n i i n i i n i i n i i n B X X D X E X Z ∑∑∑∑∑=====-=-=11111)()(μ的分布函数)(x F n 对于任意的x ，满足⎰∑∑∞--==∞→∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=x t n n i i n i i n n n dt e x B X x F 2/11221lim )(lim πμ.当n 很大时,),(~),1,0(~12.1.∑∑==n i n i n i i n B N X N Z μ.（3）德莫佛—拉普拉斯定理:设随机变量),2,1( =n n η服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，则对于任意的x ，恒有 ⎰∞--∞→=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--x t n n dt e x p np np P 2/221)1(lim πη.疑 难 分 析1、依概率收敛的意义是什么？依概率收敛即依概率1收敛.随机变量序列}{n x 依概率收敛于a ，说明对于任给的0>ε，当n 很大时，事件“ε<-a x n ”的概率接近于 1.但正因为是概率，所以不排除小概率事件“ε<-a x n ”发生.依概率收敛是不确定现象中关于收敛的一种说法.2、大数定律在概率论中有何意义？大数定律给出了在试验次数很大时频率和平均值的稳定性.从理论上肯定了用算术平均值代替均值，用频率代替概率的合理性，它既验证了概率论中一些假设的合理性，又为数理统计中用样本推断总体提供了理论依据.所以说，大数定律是概率论中最重要的基本定律.3、中心极限定理有何实际意义？许多随机变量本身并不属于正态分布，但它们的极限分布是正态分布.中心极限定理阐明了在什么条件下，原来不属于正态分布的一些随机变量其总和分布渐进地服从正态分布.为我们利用正态分布来解决这类随机变量的问题提供了理论依据.4、大数定律与中心极限定理有何异同？相同点：都是通过极限理论来研究概率问题，研究对象都是随机变量序列，解决的都是概率论中的基本问题，因而在概率论中有重要意义.不同点：大数定律研究当 时，概率或平均值的极限，而中心极限定理则研究随机变量总和的分布的极限.例 题 解 析【例3】一本书共有100万个印刷符号.排版时每个符号被排错的概率为0.0001，校对时每个排版错误被改正的概率为0.9，求校对后错误不多于15个的概率.分析：根据题意构造一个独立同分布的随机变量序列，具有有限的数学期望和方差，然后建立一个标准化的随机变量，应用中心极限定理求得结果.解：设随机变量⎩⎨⎧=.,0,1　其它 错个印刷符号校对后仍印　第n X n 则)1(≥n X n 是独立同分布随机变量序列，有5101.00001.0}1{-=⨯===n X P p .作)10(,61==∑=n X Y n k K n ，nY 为校对后错误总数.按中心极限定理（德—拉定理），有 )58.1(]))101(1010/[5(15}15{553Φ≈-Φ=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=≤--npq np npq np Y P Y P n n9495.0=.。

概率论与数理统计复习提纲概率论与数理统计总复习第⼀讲随机事件及其概率⼀随机事件，事件间的关系及运算 1.样本空间和随机事件 2.事件关系,运算和运算律⑴事件的关系和运算⑶运算律:交换律,结合律,分配律；对偶律: B A B A ?=?,B A B A ?=?；⼆概率的定义和性质 1.公理化定义(P7)2.概率的性质(P8.五个) ⑴)(1)(A P A P -=；⑵)()()()(AB P B P A P B A P -+=?；3.古典概型和⼏何概型4.条件概率 )()()|(A P AB P A B P =三常⽤的计算概率的公式1.乘法公式 )()()()()(B A P B P A B P A P AB P ==2.全概率公式和贝叶斯公式(P17-20.) 四事件的独⽴性1.定义:A 和B 相互独⽴ )()(B P A B P =或)()()(B P A P AB P ?=，2.贝努利试验在n 重贝努利试验中，事件=k A {A 恰好发⽣k 次})0(n k ≤≤的概率为：k n nk n k p p C A P --=)1()(第⼆讲随机变量及其概率分布⼀随机变量及其分布函数1.随机变量及其分布函数 )()(x X P x F ≤=)(+∞<<-∞x2.分布函数的性质(P35.四个)⑴0)(lim =-∞→x F x ；1)(lim =+∞→x F x ；(常⽤来确定分布函数中的未知参数)⑵)()()(a F b F b X a P -=≤<(常⽤来求概率) ⼆离散型随机变量及其分布律1.分布律2.常⽤的离散型分布三连续型随机变量 1.密度函数 ?∞-=xdt t f x F )()(2.密度函数的性质(P39.七个) ⑴1)(=?+∞∞-dx x f ；（常⽤来确定密度函数中的参数）⑵?=≤adx x f b X a P )()(；（计算概率的重要公式）⑶对R x ∈?，有0)(==c X P (换⾔之,概率为0的事件不⼀定是不可能事件). 3.常⽤连续型分布重点:正态分布:)0,(21)(22)(>=--σσµσπσµ都是常数，x ex f标准正态分布)1,0(N :2221)(x ex -=π四随机变量函数的分布1.离散情形设X 的分布律为则)(X g Y =的分布律为2.连续情形设X 的密度函数为)(x f X ,若求)(X g Y =的密度函数,先求Y 的分布函数,再通过对其求导,得到Y 的密度函数。

《概率论与数理统计》复习提要第一章 随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =⋃=⋃（2）)()()()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃ （3）))(()()()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1） 定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）第二章 随机变量与概率分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； （5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有 （1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6． 随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。

概率论复习提纲第一章随机事件和概率（11）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P( )=1- P(B)第二章随机变量及其分布（5）八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二项分布在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。

事件发生的次数是随机变量，设为，则可能取值为。

，其中，则称随机变量服从参数为，的二项分布。

记为。

当时，，，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

泊松分布设随机变量的分布律为，，，则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者P( )。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。

超几何分布随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。

几何分布，其中p≥0，q=1-p。

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。

均匀分设随机变量的值只落在[a，b]内，其密度函数在[a，b]上为常数，即a≤x≤b布其他，则称随机变量在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。

分布函数为a≤x≤b0， x<a，1， x>b。

当a≤x1<x2≤b时，X落在区间（）内的概率为。

指数分布,0, ,其中，则称随机变量X服从参数为的指数分布。

X的分布函数为,x<0。

记住积分公式：正态分布设随机变量的密度函数为，，其中、为常数，则称随机变量服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为。

具有如下性质：1° 的图形是关于对称的；2° 当时，为最大值；若，则的分布函数为。

参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数记为，，分布函数为。

是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝。

如果 ~ ，则 ~ 。

第三章二维随机变量及其分布（2）期望的性质（1） E(C)=C（2） E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。

概率论复习课提纲一、古典概率用古典概型求概率的题在练习册中较多，初步统计有：习题一中的2、3、4、9、13；习题二中的1、2、4；习题四中的1；检测题1-二、三等。

一）、计数原理1、加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

2、乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。

二）、排列组合1、无重复的排列与组合 1）、无重复的排列 Ⅰ、基础知识从n 个不同元素中，任取m(≤n)个不同元素，按照一定顺序排成一列（或从n 个不同元素中，有序地任取m 个不同元素），叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的一个排列。

从n 个不同元素中，任取m(≤n)个不同元素的排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的排列数，用符号m n P 或mn A 表示。

由乘法原理得：)!(!1m -n )2()1(n n m n n n P mn -=+-⋅-⋅=）（ （约定0！=1）（取第一个元素放在第一个位置有n 种方法；取定第一位后，由于元素不允许重复，选择第二位时则只有n-1种方法，…，选择第m 位则只有n-(m-1)=n-m+1种方法）。

特别地，当m=n 时，就得到n 个不同元素的全排列数公式 !123)2()1(n n n n P n n =⋅⋅-⋅-⋅=2）、无重复的组合从n 个不同元素中，任取m(≤n)个不同元素并成一组（或从n 个不同元素中，无序地任取m 个不同元素），叫做从n 个不同元素中任出m 个不同元素的组合。

从n 个不同元素中，任取m(≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个不同元素组合数，用符号mn C 表示，其计算公式为：)!(!!m!1m -n )2()1(n !n m m n n n m P C m n mn-=+-⋅-⋅==）（ （约定0！=1） （事实上，对每一个从n 个不同元素m 个不同元素的组合，将其元素进行全排列可产生m!个不同的排列。